Коллоквиум по курсу «Методы математической физики» Коллоквиум будет проходить в форме письменной аудиторной работы, время для выполнения заданий – 1 час. Каждый билет будет содержать вопрос по теме «Функциональный анализ» и 2 задачи. (Примеры задач — в гл.1 учебного пособия «Математическая физика. Методы решения задач» авт. Ю.Д. Панов, Р.Ф. Егоров.) Вопросы 1. Метрическое пространство (определение, аксиомы метрики). Сходимость последовательности, фундаментальная последовательность в метрическом пространстве (определения). Непрерывность метрики. 2. Ограниченное множество, компактное множество в метрическом пространстве (определения). Теорема Хаусдорфа. 3. Нормированное пространство (определение, аксиомы нормы). Свойства метрики, порожденной нормой. Банахово пространство(определение). Непрерывность нормы. 4. Аксиомы скалярного произведения. Гильбертово пространство (определение). Непрерывность скалярного произведения. 5. Свойства ортогональных векторов. Теорема об ортогонализации по Шмидту. 6. Теорема об ортогональном разложении. 7. Полная система, базис (определения). Признак полноты системы в гильбертовом пространстве. 8. Теорема Фурье. 9. Линейный оператор (определение). Оператор, непрерывный в точке (определение). Лемма о линейном непрерывном операторе. 10. Ограниченный оператор, норма оператора (определения). Лемма о равносильности ограниченности и непрерывности линейного оператора. 11. Вполне непрерывный оператор (определение). Лемма о произведении непрерывного и вполне непрерывного оператора. Лемма об операторе, обратном вполне непрерывному. 12. Теорема о пределе последовательности вполне непрерывных операторов. 13. Неотрицательный оператор (определение). Симметричный оператор: определение и свойства. 14. Свойства симметричного вполне непрерывного оператора. 15. Теорема Гильберта. 16. Интегральный оператор Фредгольма: определение и свойства.
