В.М. Мадорский БрГУ им. А.С. Пушкина (г. Брест, Беларусь) О ВАРИАНТАХ МЕТОДА КАНТОРОВИЧАКРАСНОСЕЛЬСКОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Приближенное решение недифференцируемым оператором операторного Gx 0 , уравнения предложено находить с в работе [1] с помощью локального процесса xn1 xn F x0 Gxn , 1 n 0,1,... (1) F x дифференцируемый оператор, хорошо аппроксимирующий Gx по равномерной метрике и формулируется теорема о сходимости процесса(1). Недостатки данной теоремы заключаются в том, что процесс (1) является локальным линейным процессом, то есть линейно сходится к решению с «хорошего» начального приближения и проблема заключается в том, как найти это начальное приближение. Кроме того, константы, участвующие в формулировке теоремы, трудно, либо настолько завышенными, находятся либо достаточно что применить теорему невозможно. Дополнительная трудность заключается в выборе оператора F, который должен хорошо аппроксимировать G по равномерной метрике. Поэтому для решения нелинейного операторного уравнения f ( x) g ( x) 0 (2) f , g – нелинейные операторы, действующие из некоторой выпуклой 1 области D из X в X, Х – банахово пространство, при этом f CD , g CD , предлагается нелокальный алгоритм с регулировкой шага: Шаг 1. Решается линейная система для определения поправки x n (n f ( xn ) g ( xn ) f ( xn ))( xn1 xn ) n f ( xn ) n1 g ( xn ), n 0, 1, ... (3) Шаг 2. Находится очередное приближение xn1 xn xn . (4) Шаг 3. Проверяется выполнение условия || f ( xn1 ) || , -малая величина (параметр останова). Если условие выполняется, то конец просчетов, иначе Шаг 4. Производится пересчет шаговой длины по формуле: если f ( xn 1 ) f ( xn ) , то n 1 : 1 , иначе n1 n1 n || f ( x ) g ( x ) || 0 n1 0 , || f ( x ) n g ( x ) || n n1 n1 min 1, n1 n , 2 ; 0 0 n (5) 0 , 1 10 6 ,10 1 , 1 0 ; и переход на шаг 1. Относительно оператора f предполагаем, что производная Фреше f (x) оператора f удовлетворяет условию Липшица с некоторой константой L и f ( xn ) g ( xn ) f ( xn ) 1 n B , x D . Относительно оператора g полагаем, что x D имеет место соотношение || n g ( xn 1 ) n 1 g ( xn ) || n L || xn || || f ( xn ) n 1 g ( xn ) || . Теорема 1. Пусть в области (6) B || f ( x0 ) 1 g ( x0 ) || D S x0 , 1 q 0 существует x * – решение уравнения (2), операторы f и g удовлетворяют перечисленным выше условиям, начальное приближение x0 и шаговые длины 0 , 1 таковы, что 0 0 ( KB LB 2 ) || f ( x0 ) 1 g ( x0 ) || 1 . Тогда алгоритм (3) – (5) со сверхлинейной (локально с квадратичной) скоростью сходится к x * . Рассмотрим сходимость процесса (3) – (5) в условиях Вертгейма, то есть если производная Фреше оператора f (x) удовлетворяет условию Гельдера вида || f ( x) f ( y ) || L || x y || p , L 0 , 0 p 1 . (7) Теорема 2.[2] Пусть в интересующей нас области D выполняются условия теоремы 1, оператор f (x) удовлетворяет условию (7), начальное приближение x0 и шаговые длины 0 , 1 таковы, что 0 0p ( KB LB 1 p ) || f ( x0 ) 1 g ( x0 ) || p 1. Тогда алгоритм (3) – (5) со сверхлинейной скоростью сходится к x * . Теорема 3. [2] Если операторы f и g недифференцируемы, но оператор первой разделенной разности f ( xn , y n ) 1 по норме равномерно ограничен в интересующей нас области D константой B 0 , оператор f ( x, y) удовлетворяет условию Липшица с некоторой константой L имеет место соотношение (6), а шаговая длина n и начальное приближение x0 таковы, что выполняется условие 1 0 0 ( KB LBM ) || f ( x 0 ) 1 g ( x 0 ) || 1, || E f ( xn , y n ) || M , то итерационный процесс (8), (4), (5) со сверхлинейной скоростью сходится к x * – решению уравнения (2), если решение в D существует. f ( xn , yn )( xn 1 xn ) n ( f ( xn ) n 1 g ( xn )), y n xn n ( f ( xn ) n1 g ( xn )). Доказательства сформулированных выше теорем, проводятся по схеме, предложенной автором в работе [2]. ЛИТЕРАТУРА 1. Красносельский, М.А. [и др.] Приближённое решение операторных уравнений./ М.А. Красносельский – Москва: Наука, 1969. – 455с. 2. Мадорский, В.М. Квазиньютоновские процессы для решения нелинейных уравнений./ В.М. Мадорский – Брест: БрГУ, 2005. – 174с. (8)