Литература - Prof. Telman Aliev

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА ЗАДАЧ
С ДВИЖУЮЩИМИСЯ ИСТОЧНИКАМИ В СИСТЕМАХ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Р.А.Теймуров
Сумгаитский филиал Азербайджанского Института Учителей, Баку, Азербайджан
rafiqt@mail.ru
Несмотря на прикладную важность задач с управлениями подвижных источников,
они в настоящее время наиболее мало изучены [1-2,5]. Для некоторых классов линейных
и нелинейных краевых задач, в которых участвует импульсные функции, исследованы
вопросы существования и единственности обобщенного решения. В частности, в [1] эти
вопросы исследованы при условии, что управлением является только интенсивности
неподвижных источников.
В настоящей работе исследуется задача оптимального управления процессами,
описываемыми совокупностью уравнением параболического типа и обыкновенным
дифференциальным уравнением с управлениями
подвижных источников. Для
рассмотренной ниже задачи оптимального управления доказана теорема существования и
единственности решения, получены необходимые условия оптимальности в виде
точечного и интегрального принципов максимума, найдены достаточные условия
дифференцируемости по Фреше критерия качества и выражение для его градиента.
1. Постановка задачи.
Пусть состояние управляемого обьекта описывается функциями u ( x, t ) и s (t ) ,
причем u ( x, t ) внутри области   {0  x  l ,0  t  T } удовлетворяет уравнению
параболического типа
n
u t  a 2 u xx   p k (t ) ( x  s k (t )),
(1)
k 1
с начальным и граничными условиями
(2)
u x x0  0, u x xl  0, 0  t  T ,
u ( x, o)   ( x), 0  x  l ,
(3)
где a, l , T  0 заданные числа;  ( x)  L2 (0, l ) -заданная функция;  () - функция Дирака;
p(t )  ( p1 (t ), p2 (t ),..., pn (t ))  L2 (0, T ) управляющая
функция.
А
функция
s(t )  ( s1 (t ), s 2 (t ),..., s n (t ))  H 1 (0, T ) (гильбертово
пространство[1])
предполагается
решением следующей задачи Коши:

s(t )  f ( s, , t ), 0  t  T , s(o)  s0 ,
(4)
  (t )  (1 (t ),2 (t ),...,r (t ))  L2 (0,T ) управляющая функция; функция f (s, , t )  ( f 1 (s,  , t ), f 2 (s, , t ),..., f n (s, , t )) является
непрерывным, имеет непрерывные производные по s и  при ( s, , t )  E n  E r  [o, T ]
и они ограничены: f (s,, t )  M  , f s (s,, t )  M s .
Для краткости обозначим H  L2 (0,T )  L2 (0,T ) -гильбертово пространство пар
  ( p(t ), (t )) со скалярным произведением
где
s0 -заданное
вещественное
число;
T
  1 , 2  H   [ p1 (t )  p 2 (t )   1 (t )   2 (t )]dt
0
1
и с нормой 
H
 (   ,  H )  ( p
2
L2

2
L2
).
Требуется найти такие управления   ( p(t ),  (t )) из множества V

 V    ( p,) : p  p(t )  ( p1 (t ),..., pn (t )),  (t )  (1 (t ),...,r (t )),

pi (t )  L2 (0,T ), j (t )  L2 (o, T ),0  pi (t )  Ai ,0   j (t )  B j , i  1, n, j  1, r ,
(5)
чтобы функционал
l T
n T
0 0
k 1 0
J ( )    [u ( x, t )  u~( x, t )] 2 dxdt  1   [ pk (t )  ~
pk (t )] 2 dt 
(6)
r T
~
  2   [m (t )  m (t )]2 dt ,
m1 0
принимал
наименьшее
возможное
значение
при
ограничениях
(1)-(4).
1 , 2  0,1   2  0, Ai  0, i  1, n, B j  0, j  1, r  заданные
Здесь
числа;
~
~
  ( ~p (t ), (t ))  H ,
p(t )  ( ~
p1 (t ), ~
p2 (t ),..., ~
pn (t ))  L2 (0,T ),
u~( x, t ))  L2 (Q) ,
~
~
~
~
 (t )  (1 (t ),2 (t ),...,r (t )  L2 (0, T )) - заданные функции.
2. Корректность постановки задачи.
Определение. Задачу о нахождении функции (u ( x, t ), s (t ))  (u ( x, t ; ), s (t ; )) из
условий (1)-(4) при заданном управлении  V назовем редуцированной задачей. Под
решением
редуцированной
задачи
(1)-(4),
соответствующей
управлению
1, 0
1
  ( p(t ), (t )) V , понимается функция (u ( x, t ), s (t )) из (V2 (), H (0, T )) , где
функция u  u ( x, t ) удовлетворяет интегральному тождеству
l T
[u
l
n T
0
k 1 0
 a u x x ]dxdt   ( x) ( x,0)dx    pk (t ) ( sk (t ), t )dt ,
2
t
0 0
для    ( x, t ) W21,1 () и  ( x, T )  0,
интегральному уравнению
а
(7)
функция s (t )  s (t ; ) удовлетворяет
t
s(t )   f ( s( ), ( ), )d  s0 , 0  t  T .
(8)
0
 V
Из результатов работ [3-4] следует, что при каждом фиксированном
редуцированная задача (1)-(4) имеет единственное решение из (V2 (), H (0, T )) .
Пусть выполнены условия, принятые при постановке задачи (1)-(6). Тогда задача (1)-(6)
1, 0
1
имеет хотя бы одно решение. Следует отметить, что задача (1)-(6) при  j  0, j  1,2
некорректна в классическом смысле[5]. Однако имеет место
Теорема 1. Существует плотное подмножество K пространства
H
такое, что для
любого   K при  i  0, i  1,2 , задача (1)-(6) имеет единственное решение.
3. Необходимое условия оптимальности.
Пусть    ( x, t ) - решение из V21,0 () сопряженной задачи
 t  a 2 xx  2[u ( x, t )  u~( x, t )], ( x, t )  ,
2
(9)
 x x0  0,  x xl  0, 0  t  T ,
 ( x, T )  0, 0  x  l ,
(10)
(11)
и q  q(t )  решение из H (0, T ) сопряженной задачи
1

q(t )   f s ( s (t ), (t ), t )q(t )  p(t ) x ( s(t ), t ), 0  t  T , q(T )  0 ,
(12)
Функция    ( x, t ) удовлетворяет интегральному тождеству
l T
l T
  [
 a  x1x ]dxdt 2  [u ( x, t )  u~( x, t )]1 ( x, t )dxdt,
2
1t
0 0
(13)
0 0
для 1  1 ( x, t ) W21,1 () и 1 ( x,0)  0,
интегральному уравнению
T
q(t )  
а функция
q  q(t ) удовлетворяет
 f s (s( ), ( ), )q( )  p( ) x (s( ), )d , 0  t  T.
(14)
t
Сопряженная задача (9)-(12) является смешанной задачей для линейного
параболического уравнения. Если в соотношениях (9)-(12) вместо переменной t взять
новую независимую переменную   T  t , то получим краевую задачу того же типа, что
(1)-(4). Поэтому из фактов, установленных для задачи (1)-(4), следует, что для каждого
заданного   ( p(t ), (t )) V задача
(9)-(12) имеет единственное решение из
(V2 (), H 1 (0, T )) .
1, 0
Функцию
H (t , s, , q, )   ( s(t ), t ) p(t )  f ( s(t ), (t ), t )q(t ) 
+ 1
n
 [ p (t )  ~p (t )]
k 1
k
(15)
~

  2  [m (t )  m (t )]2  ,
m1

r
2
k
назовем функцией Гамильтона-Понтрягина задачи (1)-(6).
Теорема 2. Пусть функция f ( s, , t ) непрерывна по совокупности своих
аргументов вместе со своим частными производными по переменным s ,
при
( s, , t )  E n  E r  [0,T ] и, кроме того, выполнены следующие условия:
f (s  s,  , t )  f (s,, t )  L( s   ) ,
f s (s  s,  , t )  f s (s,, t )  L( s   ),
f (s  s,  , t )  f (s,, t )  L( s   ),
при всех ( s  s,   , t ), ( s, , t )  E n  E r  [0, T ] , где L  const  0 .
Тогда функционал (1) дифференцируем по Фреше и для его градиента справедливо
выражение
J ( )  
H

 (
3
H H
,
),
p 
(16)
H  H H
H  H  H H
H
,
 
,
,...,
 
,
,...,
p  p1 p 2
p n    1 2
r
H
  ( s k (t ), t )  2 1 ( p k (t )  ~
p k (t )), k  1, n,
p k
где

,

n
f k ( s(t ), (t ), t )
H
~

qk (t )  2 2 (m (t )  m (t )), m  1, r.
m k 1
m
Теорема
3
.
Пусть
выполнены
все
условия
теоремы
2
и
(u * ( x, t ), s * (t )), ( * ( x, t ), q * (t ))  соответственно решения задачи (1)-(2) и (9)-(12) при
*
*
   V . Тогда для оптимальности управления   ( p * (t ), * (t )) необходимо
выполнение условия
*
H (t , s * (t ), * ( x, t ), q * (t ),  (t ))  max H (t , s * (t ), * ( x, t ), q * (t ),  ).
V
Литература
1. Лионс Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с
частными производными. М.:Мир, 1972.
2. А.Г.Бутковский, Л.М.Пустыльников. Теория подвижного управления системами с
распределенными параметрами. М.:Наука, 1980.
3. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.М.:Наука, 1973.
4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.-М.Наука,1988.
5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Mетоды решения некорректных задач.-М.Наука,1974.
6. Р.Теймуров. О существовании и единственности решения задачи оптимального
управления подвижными источниками. // Proceedings of Institute of Mathematics
and Mechanics of National Academy of Sciences of Azerbaijan, 2009, vol.
XXXI(XXXIX), pp.219-224.
4