Óðîêè 55-56 Ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. 14-15.12.10 Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Âñïîìíèì îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà: Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü çàäàíà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ v(t) íà îòðåçêå âðåìåíè [t1 ; t2 ]. Ïåðåìåùåíèå òî÷êè çà âðåìÿ îò t = a äî t = b íàçûâàåòñÿ (îïðåäåëåííûì) èíòåãðàëîì ôóíêöèè v(t) ïî îòðåçêó [a; b] è îáîçíà÷àåòñÿ 1. Zb v(t)dt. a Åñëè x(t) ôóíêöèÿ ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè, òî Zb a b v(t)dt = x(b) − x(a) = x(t) a . Ìû çíàåì, ÷òî v(t) = x0(t), ò. å. x(t) îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ ôóíêöèè v(t). Çàìåòèì, ÷òî åñëè âçÿòü äðóãóþ ïåðâîîáðàçíóþ V (t), òî, ïîñêîëüêó V (t) = x(t) + C , òî Rb V (b) − V (a) = x(b) + C − x(a) − C = v(t)dt. a Òàêèì îáðàçîì, ïî îïðåäåëåíèþ, åñëè åñòü ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåëåííàÿ è íåïðåðûâíàÿ íà D(f ), [a; b] ⊂ D(f ), è F (x) îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ f (x), òî îïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ïî îòðåçêó [a; b] íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü F (b) − F (a) (ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà). Óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè âàæíî âñïîìíèì, íàïðèìåð, âû÷èñëåíèå ïåðâîîáðàçíîé äëÿ 1 1+x . Âîîáùå-òî èíòåãðàë ìîæíî îïðåäåëÿòü íå òîëüêî äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, à äëÿ áîëåå îáùåãî êëàññà ôóíêöèé, íàçûâàåìûõ êâàäðèðóåìûìè, íî ýòî òåìà äëÿ áîëåå ñåðüåçíîãî ðàçãîâîðà. 2. Ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ra 1) f (x)dx = 0. 2 a 2) Rb a f (x)dx = − 3) Rb Rc a f (x)dx = a Ra b f (x)dx. f (x)dx + Rb c f (x)dx. Rb Rb Rb kf (x) + mg(x) dx = k f (x)dx + m g(x)dx 4) a a a Ïåðâûå òðè ñâîéñòâà ñëåäóþò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ, ÷åòâåðòîå èç ñâîéñòâ ïåðâîîáðàçíîé. Òàêæå, ïîñêîëüêó âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, ïî ñóòè, ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ íåîïðåäåëåííîãî, ïðè íàõîæäåíèè èíòåãðàëîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü çàìåíó ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Rb Íàïðèìåð, ïóñòü íàäî âû÷èñëèòü èíòåãðàë f ϕ(x) ϕ0(x)dx. Ïîêàæåì, ÷òî áóäåò a âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: Zϕ(b) Zb f ϕ(x) ϕ0 (x)dx = f (t)dt. a Ïóñòü F (t) = f (t), à 0 ϕ(a) G (x) = f ϕ(x) ϕ0 (x). 0 F ϕ(x) 0 Òîãäà 0 = F ϕ(x) ϕ (x) = f ϕ(x) ϕ0(x) = G0 (x), 0 à ýòî çíà÷èò, ÷òî F è G îòëè÷àþòñÿ íà êîíñòàíòó. Ïîñêîëüêó ëåâàÿ ÷àñòü èíòåãðàëüíîãî ðàâåíñòâà ðàâíà Zb f ϕ(x) ϕ0 (x)dx = G(b) − G(a), a à ïðàâàÿ Zϕ(b) f (t)dt = F ϕ(b) − F ϕ(a) , ϕ(a) òî ðàâåíñòâî âåðíî. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî èñïîëüçîâàòü èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Íàïðèìåð, ïóñòü íàäî âû÷èñëèòü e Z x ln xdx. 1 Îáîçíà÷èì çà F (x) ïåðâîîáðàçíóþ x ln x, òîãäà Ze 1 e x ln xdx = F (x) 1 = x2 ln x − 2 Z e x dx 1 , 2 èëè Ze 1 Èëè â îáùåì ñëó÷àå Zb a x2 ln x e − x ln xdx = 1 2 b v(x)du(x) = u(x)v(x) a − Ze x dx. 2 1 Zb u(x)dv(x). a Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ïóñòü òåëî äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v(t) = v. Ïîñòðîèì ãðàôèê ñêîðîñòè íà îòðåçêå [a; b] . Ïðîéäåííûé ïóòü áóäåò ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ âðåìåíè äâèæåíèÿ íà ñêîðîñòü: x(t) ba = (b − a) · v, èëè ïëîùàäè ïîäãðàôèêà ôóíêöèè v(t). Îïðåäåëåíèå 2. Åñëè f (x) íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå I , [a; b] ⊂ I è ∀x ∈ [a; b] f (x) > 0, òî ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x), îñüþ àáñöèññ è âåðòèêàëüíûìè ïðÿìûìè x = a è x = b íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèåé èëè ïîäãðàôèêîì ôóíêöèè f (x). Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå ïîñòîÿííîé ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ðàâåí ïëîùàäè ñîîòâåñòâóþùåé êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè. ×òî äåëàòü, åñëè ôóíêöèÿ íå ïîñòîÿííà? Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ S(t), ðàâíóþ ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îáðàçîâàííîé ãðàôèêîì ôóíêöèè f (x), îñüþ àáñöèññ, ïðÿìîé x = a ñëåâà è ïðÿìîé x = t ñïðàâà. Òîãäà 3. ∆S = S(t + ∆t) − S(t) Ïîñêîëüêó f (x) íåïðåðûâíà íà [a; b], òî îíà íåïðåðûâíà íà ∆t, à çíà÷èò, äîñòèãàåò íà ýòîì îòðåçêå ñâîåãî íàèáîëüøåãî M è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ m. Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî m∆t 6 ∆S 6 M∆t Ïîäåëèì íåðàâåíñòâî íà ∆t è ðàññìîòðèì ïðåäåë ïðè ∆t → 0. Ïîñêîëüêó ïðè ∆t → 0 m → f (t), M → f (t), òî 0 f (t) 6 S (t) 6 f (t), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî S 0(t) = f (t). Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Zt a 0 f (x)dx = f (t), è ïîëó÷èì, ÷òî Zt f (x)dx = S(t) + C. a Ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî â òî÷êå t = a: Za f (x)dx = S(a) + C, a îòêóäà C = 0. Ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî â òî÷êå t = b: Zb f (x)dx = S(b), a ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî ïëîùàäü ïîäãðàôèêà ðàâíà îïðåäåëåííîìó èíòåãðàëó: Tåîðåìà Íþòîíà-Ëåéáíèöà . Åñëè f (x) íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå I , [a; b] ⊂ I Rb è ∀x ∈ [a; b] f (x) > 0, òî f (x)dx ðàâåí ïëîùàäè ñîîòâåòñâóþùåé êðèâîëèíåéíîé a òðàïåöèè. Ñëåäñòâèå. Åñëè f (x) íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå I , [a; b] ⊂ I è ∀x ∈ [a; b] f (x) 6 0, Rb òî f (x)dx ðàâåí ïëîùàäè ñîîòâåòñâóþùåé êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, âçÿòîé ñî çíàêîìa ìèíóñ. 4. Ðåøåíèå çàäà÷. −1 R √ 1) Âû÷èñëèòå èíòåãðàë −2x − x2dx. −2 Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì ñìûñëîì èíòåãðàëà è ïîñòðîèì ãðàôèê √ ôóíêöèè y −2x − x2: y= p −2x − x2 ⇔ y 2 = −2x − x2; ⇔ y > 0. x2 + 2x + 1 + y 2 = 1; y > 0. Íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî äóãà, îãðàíè÷åííàÿ x = −2 è x = −1. Ïëîùàäü ýòîé ÷àñòè −1 R √ π êðóãà ðàâíà 4 , ïîýòîìó −2x − x2dx = π4 . 2) Âû÷èñëèòå R4 0 −2 (|x − 1| + |3 − x|) dx. Ðåøåíèå. Ïîñòðîèì ãðàôèê ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè íà îòðåçêå [0; 4], è ðàññìîòðèì ïëîùàäü ïîëó÷èâøåéñÿ ôèãóðû. Èç ýëåìåíòàðíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé R4 ïîëó÷àåì, ÷òî ïëîùàäü ðàâíà äåñÿòè, ò. å. (|x − 1| + |3 − x|) dx = 10. 0 3) Íàéäèòå ìèíèìóìû ôóíêöèè Ðåøåíèå. Ïóñòü F (x) = Rx 0 Rx 0 2 cos2 t − sin 2t dt 2 cos2 t − sin 2t dt, íà îòðåçêå [0; π]. òîãäà F 0 (x) = 2 cos2 x − sin 2x = 2 cos x(cos x − sin x). Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå F 0(x) íà ïîëóîêðóæíîñòè îò 0 äî π. Êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè F (x) ÿâëÿþòñÿ òî÷êè 0; π4 , π2 , π . Çíàêè íà ïðîìåæóòêàõ ÷åðåäóþòñÿ, íà÷èíàÿ ñ ¾+¿. Ïîýòîìó ìèíèìóì F (x) äîñòèãàåòñÿ òîëüêî â òî÷êå π2 . Âû÷èñëèì F ( π2 ): π π Z2 Z2 0 2 cos2 t − sin 2t dt = = 0 (1 + cos 2t − sin 2t) dt = π π 1 1 t + sin 2t + cos 2t 02 = − 1. 2 2 2 √ 4) Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè y = 3 − x è y = | − x − 1| − 2. Ðåøåíèå. Ïîñòðîèì ãðàôèêè îáåèõ ôóíêöèé. Âèäíî, ÷òî ïëîùàäü íóæíîé ôèãóðû R2 √ ðàâíà 3 − x, ïëþñ ïëîùàäü íèæíåãî òðåóãîëüíèêà, ìèíóñ ïëîùàäè âåðõíèõ òðå−6 óãîëüíè÷êîâ. Îòâåò: 16 31 . 5) Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè y = x2 + 2|x| − 8 è y = 4 − x2. Ðåøåíèå. Ïîñòðîèì ãðàôèêèôóíêöèé. Ïî ÷åðòåæó âèäíî, ÷òî ïëîùàäü ôèãóðû ðàâíà 2 R 2 (4 − x2 ) − (x2 + 2x − 8) dx = 29 13 . 0 6) Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè y = − x2 + 192 è x = −|8 − y|. Îòâåò: 3 23 . 2 7) Âû÷èñëèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = (2x−1) , êàñàòåëüíîé ê íåìó â òî÷êå ñ àáñöèññîé x0 = 1 è ïðÿìîé x = 2. Îòâåò: 2 23 . 5. Äîìàøíåå çàäàíèå. 2 2 1) Ðåøèòå çàäà÷è ïðîøëîãî äîìàøíåãî çàäàíèÿ. 2) Ðåøèòå çàäà÷è, íåðåøåííûå â êëàññå.