ÊÂÀÍT 2007/¹1 Ýòþä î ôîðìóëå Ýéëåðà Â.ÐÛÆÈÊ, Á.ÑÎÒÍÈ×ÅÍÊÎ Ä Ëß ÒÐÅÓÃÎËÜÍÈÊÀ, ÂÏÈÑÀÍÍÎÃÎ Â ÎÊÐÓÆ- íîñòü ðàäèóñà R è îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè ðàäèóñà r, èçâåñòíà ôîðìóëà Ýéëåðà: d2 = R2 - 2Rr , ãäå d ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè ýòèõ îêðóæíîñòåé. Ýòà ôîðìóëà äîêàçûâàåòñÿ âî ìíîãèõ çàäà÷íèêàõ1 .  íåêîòîðûõ êíèãàõ2 ìîæíî íàéòè ôîðìóëó Ýéëåðà äëÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêà; ïðè ýòîì óêàçàíà òîëüêî çàâèñèìîñòü ìåæäó ýòèìè âåëè÷èíàìè, íî íåò ÿâíîãî âûðàæåíèÿ äëÿ îäíîé èç íèõ. Âñòàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ ìîæíî ëè ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n-óãîëüíèêà (ðàçóìååòñÿ, âûïóêëîãî)?  íàñòîÿùåé ñòàòüå ìû îòâåòèì íà ýòîò âîïðîñ, è îòâåò áóäåò óòâåðäèòåëüíûì. Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò îñíîâàíî íà êèíåìàòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèÿõ. Ñ íèìè ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ ïî êíèãàì 3 , à òàêæå ïî íàøèì ïðåäûäóùèì ñòàòüÿì (ñì. «Êâàíò» ¹5 çà 2002 ã. è ¹1 çà 2005 ã.). Ðèñ. 1  äàëüíåéøåì ìû áóäåì óïîòðåáëÿòü òàêóþ ñèñòåìó îáîçíà÷åíèé è òåðìèíîâ â n-óãîëüíèêå (ðèñ.1): k íîìåð ýëåìåíòà n-óãîëüíèêà, R ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè, r ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè, O1 öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè, O2 öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè, O1O2 ëèíèÿ öåíòðîâ, d ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè O1 , O2 , ρ = r R, δ = d R, Ak k-ÿ âåðøèíà n-óãîëüíèêà A1 A2 A3 K An , ak = Ak Ak +1 ñòîðîíà n-óãîëüíèêà A1 A2 A3 K An , Bk òî÷êà êàñàíèÿ ñòîðîíû n-óãîëüíèêà ak è âïèñàííîé îêðóæíîñòè, Rk = O1 Ak ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûé â âåðøèíó Ak , rk = O2 Bk ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûé â òî÷êó êàñàíèÿ Bk , Ck ñåðåäèíà ñòîðîíû ak , bk = Ak Bk äëèíà îòðåçêà êàñàòåëüíîé, 1 Ñì., íàïðèìåð, êíèãó: Â.Â.Ïðàñîëîâ. Çàäà÷è ïî ïëàíèìåòðèè. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2001. 2 Ñì., íàïðèìåð, êíèãó: Ç.À.Ñêîïåö, Â.À.Æàðîâ. Çàäà÷è è òåîðåìû ïî ãåîìåòðèè. Ïëàíèìåòðèÿ. Ì.: Ó÷ïåäãèç, 1962. 3 Ñì., íàïðèìåð, êíèãó: Þ.È.Ëþáè÷, Ë.À.Øîð. Êèíåìàòè÷åñêèé ìåòîä â ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷àõ. Ì.: Íàóêà, 1976. ϕk = ÐAkO1O2 óãîë ìåæäó ðàäèóñîì Rk è ëèíèåé öåíòðîâ O1O2 , αk = ϕk +1 - ϕk óãîë, ïîä êîòîðûì ñòîðîíà Ak Ak +1 âèäíà èç öåíòðà O1 , ϕ& k = ϕk ¢t = ωk óãëîâàÿ ñêîðîñòü ðàäèóñà Rk . Òðåóãîëüíèê è äâå îêðóæíîñòè (òðåóãîëüíèê Ýéëåðà) Íà÷íåì ñ òàêîãî ïîñòðîåíèÿ. Ïóñòü íàì äàíû îêðóæíîñòü ðàäèóñà R ñ öåíòðîì O1 (áóëüøàÿ îêðóæíîñòü) è îêðóæíîñòü ðàäèóñà r ñ öåíòðîì O2 (ìåíüøàÿ îêðóæíîñòü), ðàñïîëîæåííàÿ âíóòðè ïåðâîãî êðóãà. Ïóñòü A1 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà áîëüøåé îêðóæíîñòè. Ïðîâåäåì åå ðàäèóñ O1 A1 . Èç òî÷êè A1 ïðîâåäåì êàñàòåëüíóþ ê ìåíüøåé îêðóæíîñòè, è òî÷êó, â êîòîðîé îíà ïåðåñå÷åò áîëüøóþ îêðóæíîñòü, íàçîâåì A2 . Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì òî÷êè A3 è A4 (ðèñ. 2,à,á). Íàì áû õîòåëîñü ïîëó÷èòü ñîâïàäåíèå òî÷åê A4 è A1 , òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì òðåóãîëüíèê, âïèñàííûé â áîëüøóþ îêðóæíîñòü è îïèñàííûé îêîëî ìåíüøåé îêðóæíîñòè. Åñëè çàôèêñèðîâàòü R, d è òî÷êó A1 íà áîëüøåé îêðóæíîñòè, òî òàêîãî ñîâïàäåíèÿ ìîæíî äîáèòüñÿ, èçìåíÿÿ ðàäèóñ r (ðèñ.2,â). Çàäàäèìñÿ òåïåðü âîïðîñîì: áóäóò ëè ñîâïàäàòü òî÷êè A1 è A4 , åñëè â ñèòóàöèè íà ðèñóíêå 2,â èçìåíèòü íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå òî÷êè A1 ? Ïóñòü â íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè ðàäèóñ R1 = = O1 A1 îáðàçóåò ñ ëèíèåé öåíòðîâ óãîë ϕ1 è èìååò óãëîâóþ ñêîðîñòü ϕ& 1 . Íàé- Ðèñ. 2 äåì óãëîâóþ ñêîðîñòü ðàäèóñà R4 . Åñëè óãëîâûå ñêîðîñòè ýòèõ ðàäèóñîâ îäèíàêîâû, òî òî÷êè A1 è A4 ñîâïàäàþò; åñëè ýòè ñêîðîñòè íå ðàâíû, òî òî÷êè A1 è A4 â ïðîöåññå âðàùåíèÿ ðàäèóñà O1 A1 ðàçîéäóòñÿ. ÝÒÞÄ Î ÔÎÐÌÓËÅ Ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ìåòîäû êèíåìàòèêè ñëîæíîãî äâèæåíèÿ òî÷êè è êèíåìàòèêè ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà (ñì. «Êâàíò» ¹6 çà 2003 ã. è ¹1 çà 2005 ã.). Íàïîìíèì âêðàòöå, ÷òî ñëîæíîå äâèæåíèå òî÷êè ýòî åå äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî äâóõ ñèñòåì îòñ÷åòà, îäíà èç êîòîðûõ ñ÷èòàåòñÿ íåïîäâèæíîé, à äðóãàÿ ïîäâèæíîé. Òîãäà äâèæåíèå òî÷êè îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà íàçûâàåòñÿ åå àáñîëþòíûì äâèæåíèåì, à îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà îòíîñèòåëüíûì äâèæåíèåì. Ñîîòâåòñòâåííî, ñêîðîñòü òî÷êè ïðè àáñîëþòíîì äâèæåíèè íàçûâàåòñÿ åå àáñîëþòíîé ñêîðîñòüþ, à ñêîðîñòü òî÷êè ïðè îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè íàçûâàåòñÿ åå îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòüþ. Áîëåå ñëîæíî ïîíÿòèå ïåðåíîñíîãî äâèæåíèÿ è ïåðåíîñíîé ñêîðîñòè. Ïåðåíîñíûì äâèæåíèåì òî÷êè íàçûâàåòñÿ äâèæåíèå ïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé, ïåðåíîñíîé ñêîðîñòüþ òî÷êè ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà òîãî ïóíêòà ïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, ñ êîòîðûì â äàííûé ìîìåíò ñîâïàäàåò äâèæóùàÿñÿ òî÷êà. Ïðèìåð. Òåïëîõîä ïëûâåò ïî ðåêå, à ïî ïàëóáå èäåò ÷åëîâåê. Ïóñòü íåïîäâèæíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà ñâÿçàíà ñ áåðåãàìè ðåêè, à ïîäâèæíàÿ ñ òåïëîõîäîì. Òîãäà äâèæåíèå ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî òåïëîõîäà ÿâëÿåòñÿ åãî îòíîñèòåëüíûì äâèæåíèåì, à îòíîñèòåëüíî áåðåãîâ àáñîëþòíûì. Ïåðåíîñíûì äâèæåíèåì ÷åëîâåêà ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå òåïëîõîäà îòíîñèòåëüíî áåðåãîâ. Ñîîòâåòñòâåííî: àáñîëþòíàÿ ñêîðîñòü ÷åëîâåêà ýòî åãî ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî áåðåãîâ, îòíîñèòåëüíàÿ åãî ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî òåïëîõîäà, à ïåðåíîñíàÿ ýòî ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî áåðåãîâ òîé òî÷êè ïàëóáû, â êîòîðîé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè íàõîäèòñÿ ÷åëîâåê. Òàêæå âêðàòöå íàïîìíèì íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè ïëîñêîãî (ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî) äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà. Ïóñòü ïëîñêàÿ ôèãóðà äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ åå ñîäåðæèò. Òîãäà îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè ëþáîì íåïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè ýòîé ôèãóðû (êîãäà åå óãëîâàÿ ñêîðîñòü ω íå ðàâíà íóëþ) îíà ñîäåðæèò òàêóþ òî÷êó Ð, ñêîðîñòü â äàííûé ìîìåíò r uuur êîòîðîé âðåìåíè ðàâíà íóëþ: VP = 0 . Ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ ìãíîâåííûì öåíòðîì ñêîðîñòåé äàííîé ôèãóðû (èíà÷å ìãíîâåííûì öåíòðîì âðàùåíèé). Ïðèìåð. Êîëåñî êàòèòñÿ ïî ðåëüñó áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ; â ýòîì ñëó÷àå òî÷êà êàñàíèÿ êîëåñà è ðåëüñà ìãíîâåííûé öåíòð ñêîðîñòåé êîëåñà. Ïðè ýòîì ñêîðîñòè òî÷åê ýòîé ïëîñêîé ôèãóðû òàêîâû, êàê áóäòî ôèãóðà âðàùàåòñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè, ñîâïàäàþùåé ñ uuuìãíîâåííûì öåíòðîì ñêîðîñòåé Ð. Òàê, r ñêîðîñòü VA íåêîòîðîé òî÷êè À ðàâíàuuurïî ìîäóëþ uuur PA × ω è ïåðïåíäèêóëÿðíà îòðåçêó ÐÀ: VA ^ PA . Ïóñòü îòðåçîê A1 A2 ëåæèò íà ïðÿìîé L1L2 (ðèñ.3). Ïóñòü òåïåðü ïðÿìàÿ L1L2 îáêàòûâàåò îêðóæíîñòü ðàäèóñà r áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ â òî÷êå êàñàíèÿ B1 . Òî÷êè A1 è A2 ó÷àñòâóþò â ñëîæíîì äâèæåíèè: îíè ïåðåíîñÿòñÿ ýòîé ïðÿìîé è äâèæóòñÿ ïî ýòîé ïðÿìîé.  ðåçóëüòàòå ñëîæåíèÿ ýòèõ äâèæåíèé êàæäàÿ èç òî÷åê A1 è A2 äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà R. ! ÝÉËÅÐÀ Ðàññìîòðèì äâèæåíèå òî÷êè A1 . Ïóñòü óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïðÿìîé L1L2 (ñòîðîíû a1 = A1 A2 òðåóãîëüíèêà, ëåæàùåé íà ïðÿìîé L1L2 ) ðàâíà ωL . Òîãäà ωL = ωa1 = ϕ& a1 . Òàê êàê ïðÿìàÿ L1L2 íå ïðîñêàëüçûâàåò ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà r, ñêîðîñòü òî÷êè B1 (òî÷êè êàñàíèÿ) ðàâíà íóëþ è ïîýòîìó îíà Ðèñ. 3 ÿâëÿåòñÿ ìãíîâåííûì öåíòðîì ñêîðîñòåé ýòîé ïðÿìîé. Ïîýòîìó ïåðåíîñíàÿ ur ñêîðîñòü V ïåð òî÷êè A1 ïåðïåíäèêóëÿðíà îòðåçêó B1 A1 = b1 è uur ðàâíà Vïåð = ωL B1 A1 = ϕ& a1 b1 . Âåêòîð VA1 àáñîëþòíîé ñêîðîñòè òî÷êè A1 íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê áîëüøåé îêðóæíîñòè è ïî ìîäóëþ ðàâåí VA1 = Vàáñ = ω1R = ϕ& 1R (çäåñü ω1 = ϕ& 1 óãëîâàÿ ñêîðîñòü ðàäèóñà O1 A1 ). uur Îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü V îòí òî÷êè A1 íàïðàâëåíà ïî ïðÿìîé L1L2 ; åå âåëè÷èíà íàñ íå èíòåðåñóåò. îr ñëîæåíèè ñêîðîñòåé èìååì ðàâåíñòâî uurÏî òåîðåìå uur uu V àáñ = V ïåð + V îòí . Íà ðèñóíêå 3 ýòà ñóììà ïîñòðîåíà. Âèäíî, ÷òî ur ur α Vïåð = Vàáñ sin Ð V îòí ,V àáñ = Vàáñ sin 1 2 (çäåñü α1 óãîë ìåæäó ðàäèóñàìè O1 A1 è O1 A2 ). Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà óêàçàííûå âûøå çíà÷åíèÿ Vïåð è α a α Vàáñ , ïîëó÷èì ϕ& a1 b1 = ϕ& 1R sin 1 . Íî R sin 1 = 1 , è 2 2 2 ïîýòîìó a ϕ& a1 b1 = ϕ& 1 1 . (1) 2 Ðàññìîòðèì àíàëîãè÷íûì îáðàçîì äâèæåíèå òî÷êè A2 êàê òî÷êè òîé æå ñòîðîíû a1 è ïîëó÷èì a ϕ& a1 b2 = ϕ& 2 1 (çäåñü b2 = B1 A2 ). (2) 2 Òî÷íî òàêèì æå îáðàçîì ïîëó÷èì àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ óãëîâûõ ñêîðîñòåé ñòîðîí a2 è a3 è ðàäèóñîâ O1 A3 è O1 A4 . Ñòîðîíà a2 ñîñòîèò èç äâóõ îòðåçêîâ êàñàòåëüíûõ ê ìàëîé îêðóæíîñòè: a2 = A2 A3 = A2 B2 + B2 A3 . Íî A2 B2 = A2 B1 = b2 . Ïîýòîìó a2 = b2 + b3 b3 = B2 A3 . Àíàëîãè÷íî, a3 = A3 A4 = b3 + b4 b4 = B3 A4 . Äëÿ ñòîðîíû A2 A3 ïîëó÷èì ðàâåíñòâà: a ϕ& a2 b2 = ϕ& 2 2 2 è a ϕ& a2 b3 = ϕ& 3 2 . 2 (3) (4) " ÊÂÀÍT 2007/¹1 Äëÿ ñòîðîíû A3 A4 ïîëó÷èì ðàâåíñòâà a (5) ϕ& a3 b3 = ϕ& 3 3 2 è a ϕ& a3 b4 = ϕ& 4 3 . (6) 2 Óðàâíåíèÿ (1) (6) ìîæíî çàïèñàòü îäíîé ñòðîêîé: 2ϕ& a3 2ϕ& a1 2ϕ& a2 ϕ& ϕ& ϕ& ϕ& = = = 1 = 2 = 3 = 4 . (7) b1 b2 b3 b4 a1 a2 a3 &ϕ1 ϕ& 4 = Èç ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ëîìàíàÿ b1 b4 îêàçàëàñü çàìêíóòîé, òî b1 = b4 , à ïîòîìó óãëîâûå ñêîðîñòè ϕ& 4 è ϕ& 1 ðàâíû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè äâèæåíèè ïî îïèñàííîé îêðóæíîñòè âåðøèíû A1 çàìêíóòîé ëîìàíîé (òðåóãîëüíèêà) åå çàìêíóòîñòü ñîõðàíèòñÿ. Åñëè òðåóãîëüíèê (è âîîáùå ìíîãîóãîëüíèê) äâèæåòñÿ ìåæäó äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè òàê, ÷òî îí îïèñàí îêîëî îäíîé îêðóæíîñòè è âïèñàí â äðóãóþ îêðóæíîñòü, òî áóäåì íàçûâàòü òàêîå åãî äâèæåíèå ñêîëüæåíèåì ìåæäó äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè (èëè ïðîñòî ñêîëüæåíèåì), ïðî êàæäóþ åãî âåðøèíó è ñòîðîíó áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îíè ñêîëüçÿò âäîëü ñîîòâåòñòâóþùåé îêðóæíîñòè. Òàêîé òðåóãîëüíèê (ìíîãîóãîëüíèê) áóäåì íàçûâàòü òðåóãîëüíèêîì (ìíîãîóãîëüíèêîì) Ýéëåðà. Ïðåæäå ÷åì íàõîäèòü ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó R, r è d â êîíêðåòíûõ ñëó÷àÿõ, ïîëó÷èì îäíî âàæíîå ðàâåíñòâî. Ðàññìîòðèì ðèñóíîê 4. Íà íåì èçîáðàæåí ýëåìåíò ìíîãîóãîëüíèêà, ñîäåðæàùèé ñòîðîíó a1 = = A1 A2 , ðàäèóñû O1 A1 è O1 A2 è ðàäèóñ r = O2 B1 , ïðîâåäåííûé â òî÷êó êàÐèñ. 4 ñàíèÿ ñòîðîíû a1 è âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Ïóñòü óãîë ìåæäó ðàäèóñîì O1 A1 è ëèíèåé öåíòðîâ O1 A0 ðàâåí ϕ1 , à óãîë ìåæäó ðàäèóñîì O1 A2 è ëèíèåé öåíòðîâ O1 A0 ðàâåí ϕ2 . Òîãäà óãîë α1 ìåæäó ðàäèóñàìè O1 A1 è O1 A2 ðàâåí ðàçíîñòè ýòèõ óãëîâ: α1 = ÐA2O1 A1 = ϕ2 - ϕ1 . Âûñîòà òðåóãîëüíèêà A2O1 A1 îòðåçîê O1C1 ÿâëÿåòñÿ â òî æå âðåìÿ áèññåêòðèñîé óãëà ïðè âåðøèíå O1 , ïîýòîìó ÐA2O1C1 = è α1 ϕ + ϕ1 . + ϕ1 = 2 2 2 Ýòà âûñîòà ñêëàäûâàåòñÿ èç äâóõ îòðåçêîâ: ÐC1O1 A0 = ÐC1O1 A1 + ÐA1O1 A0 = Ìíîãîóãîëüíèê è äâå îêðóæíîñòè Òî÷íî òàêèì æå îáðàçîì, êàê ýòî ìû ñäåëàëè äëÿ òðåóãîëüíèêà, ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè n-óãîëüíèê (çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ) îäíîâðåìåííî âïèñàí è îïèñàí, òî ïðè ñêîëüæåíèè îäíîé èç åãî âåðøèí ïî îïèñàííîé îêðóæíîñòè îñòàëüíûå åãî âåðøèíû áóäóò ñêîëüçèòü ïî òîé æå îêðóæíîñòè, à åãî ñòîðîíû ïî âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè. Íåîáõîäèìàÿ äëÿ ýòîãî çàìêíóòîñòü ëîìàíîé A1 A2 K An +1 îáåñïå÷èâàåòñÿ ðàâåíñòâîì óãëîâûõ ñêîðîñòåé ðàäèóñîâ O1 A1 è O1 An +1 : ϕ& 1 = ϕ& n +1 . Ïðè ñêîëüæåíèè ìíîãîóãîëüíèêà A1 A2 K An ìåíÿþòñÿ âåëè÷èíû åãî óãëîâ è äëèíû ñòîðîí, íî íåêîòîðûå ñâîéñòâà íåèçìåííû. Î òàêèõ ñâîéñòâàõ ðå÷ü ïîéäåò äàëüøå. Ïîêà æå çàìåòèì, ÷òî äëÿ íåãî ñîõðàíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (7), êîòîðîå êðàòêî ìîæíî çàïèñàòü òàê: 2ϕ& ak ϕ& = k = c (k = 1, 2, , n). (8) ak bk Ñëîâàìè ýòî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: îòíîøåíèÿ 2ϕ& ak ϕ& è k ðàâíû è íå çàâèñÿò îò èíäåêñà k. bk ak Äàëüíåéøèå ðåçóëüòàòû áóäóò îñíîâàíû íà ñëåäóþùåì «ðóêîâîäÿùåì ïðèíöèïå»: Ïîñêîëüêó ïðè ñêîëüæåíèè ìíîãîóãîëüíèêà îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè R, r è d, òî ìîæíî íàéòè ñîîòíîøåíèå ìåæäó ýòèìè âåëè÷èíàìè, ïåðåìåñòèâ äàííûé ìíîãîóãîëüíèê â òàêîå ïîëîæåíèå, â êîòîðîì ýòî ñîîòíîøåíèå íàõîäèòñÿ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî, à èìåííî, â òàêîå ïîëîæåíèå, êîãäà ìíîãîóãîëüíèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ O1O2 . α1 ϕ2 - ϕ1 = , 2 2 O1C1 = O1K + KC1 = d cos ϕ2 + ϕ1 +r 2 (çäåñü òî÷êà K ïðîåêöèÿ òî÷êè O2 íà ïðÿìóþ O1C1 ). Íî âåðíî è òàêîå ðàâåíñòâî: O1C1 = O1 A2 cos α1 ϕ - ϕ1 = R cos 2 . 2 2 Èòàê, èìååì ϕ2 - ϕ1 ϕ + ϕ1 = r + d cos 2 . 2 2 Ðàçäåëèëè îáå ÷àñòè íà R: R cos (9) ϕ2 - ϕ1 ϕ + ϕ1 r d = + cos 2 . 2 2 R R r d =ρ, Ó÷èòûâàÿ îáîçíà÷åíèÿ = δ , ïîëó÷èì òàêóþ R R ôîðìóëó: cos cos ϕ2 - ϕ1 ϕ + ϕ1 = ρ + δ cos 2 . 2 2 (10) Òàêîå æå ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëþáîãî àíàëîãè÷íîãî ýëåìåíòà ìíîãîóãîëüíèêà, ò.å. cos ϕk +1 - ϕk ϕ + ϕk = ρ + δ cos k +1 2 2 (k = 1, 2, , n). (11) Ýòà ôîðìóëà âåðíà êàê äëÿ çàìêíóòîé ëîìàíîé, òàê è äëÿ íåçàìêíóòîé. Åñëè ëîìàíàÿ çàìêíóòà, òî÷êà An +1 ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé A1 è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ϕn +1 = ϕ1 + 360° . Íà÷íåì òåïåðü âû÷èñëåíèå ρ è δ â êîíêðåòíûõ ñëó÷àÿõ. ÝÒÞÄ Î ÔÎÐÌÓËÅ Âû÷èñëåíèå äëÿ òðåóãîëüíèêà Ýéëåðà ýòîìó Ìû ïîëó÷èì ôîðìóëó Ýéëåðà äëÿ ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà; êàê áûëî ñêàçàíî ðàíåå â «ðóêîâîäÿùåì ïðèíöèïå», îíà áóäåò âåðíà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Íà ðèñóíêå 5 òðåóãîëüíèê A1 A2 A3 ðàñïîëîæåí ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ è O1O2 . Çäåñü íóæíûå íàì ñîîòíîøåíèÿ ïîÿâëÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç ðèñóíêà. Èç íåãî ïîëó÷àåì òàêèå ðàâåíÐèñ. 5 ñòâà: α1 O2 B1 r ρ = = = cos . O2 A1 R - d 1 - δ 2 Êðîìå òîãî, cos α1 = cos ÐA2O1 A1 = - cos ÐC2O1 A2 = OC r-d = - ρ - δ . = - 1 2 =O1 A2 R α1 - 1 , òî 2 ρ2 - ρ - δ = 2 -1. 1 - δ2 Ïîñêîëüêó cos α1 = 2 cos2 Îòñþäà ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå 2 2 2ρ2 + ρ 1 - δ - 1 - δ 1 + δ = 0 . Ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü ýòîãî óðàâíåíèÿ òàêîé: ρ = 0,5 1 - δ2 , îòêóäà r = 0,5 R2 - d2 . R (12) Òåì ñàìûì, ìû ïîëó÷èëè èçâåñòíîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó âåëè÷èíàìè R, r è d, à èìåííî ôîðìóëó Ýéëåðà äëÿ òðåóãîëüíèêà. Âû÷èñëåíèå äëÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêà Ýéëåðà Íà ðèñóíêå 6 èçîáðàæåí âïèñàííûé è îïèñàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ O1O2 (äåëüòîèä).  ýòîì ñëó÷àå α OB r ρ , = cos 1 = 2 1 = O2 A1 R - d 1 - δ 2 à cos r α2 O2 B2 ρ = = = 2 O2 A3 R + d 1+ δ . Êðîìå òîãî, α1 + α2 = 180° , ò.å. α1 α2 + = 90° , à ïî2 2 cos2 èëè # ÝÉËÅÐÀ α1 α + cos2 2 = 1 , 2 2 ρ2 1 - δ2 + ρ2 1 + δ2 = 1. (13) 2 2 1 1- δ , Îòñþäà ρ = 2 1 + δ2 è 2 ρ= èëè 1 1 - δ2 2 1+ δ 2 Ðèñ. 6 , r= 1 R2 - d2 . (14) R2 + d2 Ýòó ôîðìóëó, àíàëîãè÷íóþ ôîðìóëå (12) äëÿ òðåóãîëüíèêà, áóäåì íàçûâàòü ôîðìóëîé Ýéëåðà äëÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêà. 2 Âû÷èñëåíèå äëÿ ïÿòèóãîëüíèêà Ýéëåðà  ýòîì ñëó÷àå íàõîæäåíèå íóæíîé íàì çàâèñèìîñòè ñóùåñòâåííî ñëîæíåå, ÷åì â ïðåäûäóùèõ.  îáùåì ñëó÷àå îíî ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ íåêîòîðîãî êóáè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Ðàññìîòðèì ïÿòèóãîëüíèê Ýéëåðà, ñèììåòðè÷íûé (ñîãëàñíî «ðóêîâîäÿùåìó ïðèíöèïó») îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ O1O2 (ðèñ.7). Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ äâóìÿ ïåðâûìè ðàâåíñòâàìè èç (11), ò.å. ïðè k = 1 è k = = 2. Òàê êàê â íàøåì ñëó÷àå ϕ1 = 0 è (ïîýòîìó) ϕ2 = α1 , ïåðâîå ðàâåíñòâî (ïðè k = 1) çàïèñûâàåòñÿ òàê: α ρ cos 1 = , Ðèñ. 7 2 1- δ à âòîðîå ðàâåíñòâî (ïðè k = 2) çàïèøåòñÿ òàê: ϕ - α1 ϕ + α1 = ρ + δ cos 3 cos 3 . 2 2 Âòîðîå ðàâåíñòâî ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó ϕ3 ϕ α α cos 1 + 1 + δ sin 3 sin 1 = ρ . (15) 2 2 2 2 Òðåòüå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç ðàññìîòðåíèÿ ðèñóíêà 7: α ö α æ cos ϕ3 = cos ç180° - 3 ÷ = - cos 3 = è 2ø 2 1 - δ cos = - O1B3 r-d == - ρ - δ = δ - ρ . O1 A3 R Äàëüíåéøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ òàêîâû. Ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (15) çíà÷åíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ $ ÊÂÀÍT 2007/¹1 Ïîäñòàâèâ (17) è (19) â (18), ïîëó÷èì: ϕ α sin 1 + cos 3 = 1 , 2 2 èëè ôóíêöèé: cos ϕ3 = 2 1 + cos ϕ3 = 2 1+ δ - ρ , 2 sin ϕ3 = 2 1 - cos ϕ3 = 2 1- δ + ρ , 2 α α ρ2 = sin 1 = 1 - cos2 1 = 1 2 2 1 - δ 2 è ïîëó÷èì ρ 1 - δ 2 - ρ2 1- δ Ïîñëå èçáàâëåíèÿ îò èððàöèîíàëüíîñòåé è íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ òðåòüåé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî ρ : + 1 - δ 2 2 3 = 0. Ýòî óðàâíåíèå óïðîùàåòñÿ, åñëè ââåñòè íîâóþ ïåðå1 - δ2 ìåííóþ y = . Îòíîñèòåëüíî ýòîé ïåðåìåííîé 2ρ ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ y 3 + y 2 - y - δ2 = 0 . (16) Èñòèííîñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïðîâåðèòü äëÿ ñëó÷àÿ ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà, êîãäà δ = 0 . Âû ìîæåòå ïðîäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî. Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ìîæíî èññëåäîâàòü ãðàôè÷åñêè, à òàêæå ðåøèòü ïî ôîðìóëå Êàðäàíî èëè èñïîëüçóÿ òðèãîíîìåòðèþ. È ýòî òîæå âû ìîæåòå ïðîäåëàòü ñàìîñòîÿòåëüíî. Âû÷èñëåíèå äëÿ øåñòèóãîëüíèêà Ýéëåðà Ðàññìîòðèì øåñòèóãîëüíèê Ýéëåðà, ñèììåòðè÷íûé (ñîãëàñíî «ðóêîâîäÿùåìó ïðèíöèïó») îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ O1O2 (ðèñ.8). Âîñïîëüçóåìñÿ ïåðâûìè òðåìÿ ðàâåíñòâàìè èç (11), ò.å. ïðè k = 1, k = 2 è k = = 3. Òàê êàê ϕ1 = 0 è (ïîýòîìó) ϕ2 = α1 , ïåðâîå ðàâåíñòâî çàïèøåòñÿ òàê: α ρ cos 1 = , (17) Ðèñ. 8 2 1- δ à âòîðîå òàê: ϕ3 ϕ α1 α 1 - δ cos cos + 1 + δ sin 3 sin 1 = ρ . (18) 2 2 2 2 Òðåòüå æå ðàâåíñòâî ϕ4 - ϕ3 ϕ + ϕ3 = ρ + δ cos 4 2 2 (ïîñêîëüêó ϕ4 = 180° ) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó ϕ ρ sin 3 = . 2 1+ δ ρ2 (1 − δ )2 + 1− ρ2 (1 + δ )2 = 1. (21) Ýòà ôîðìóëà ñèìïàòè÷íà, à ïîïûòêà íàéòè ÿâíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó ρ è δ ïðèâîäèò ê òàêîìó, óâû, íåêðàñèâîìó âûðàæåíèþ: 1+ δ - ρ 1+ δ 1- δ - ρ + = ρ. 1 - δ + ρ 2 1- δ 2 ρ3 × 8δ2 + 4ρ2 × 1 - δ2 - 2ρ × 1 - δ2 1− (20) cos (19) ρ= 3 2 1 − δ2 1 + δ2 + ( 1 + δ2 ) 2 . + 12δ2 Äëÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ Ýéëåðà ñ ÷èñëîì ñòîðîí, áîëüøèì 6, ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå çíà÷åíèÿ ρ è δ â íåÿâíîì âèäå. Ïîëó÷åíèå ÿâíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó íèìè ñâÿçàíî ñ ãðîìîçäêèìè è âðÿä ëè ïðåîäîëèìûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè. Ïîòîìó ìû è îãðàíè÷èâàåìñÿ ïîëó÷åíèåì ôîðìóëû Ýéëåðà òîëüêî äëÿ òðåõ-, ÷åòûðåõ-, ïÿòè- è øåñòèóãîëüíèêîâ Ýéëåðà. Çàäà÷è Çàäà÷à 1. Öåíòð îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà îêðóæíîñòè ëåæèò íà âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Âû÷èñëèòå îòíîøåíèå ðàäèóñîâ ýòèõ îêðóæíîñòåé. Ðåøåíèå. Ðàñïîëîæèì òðåóãîëüíèê òàê, ÷òîáû îäíà èç åãî ñòîðîí êàñàëàñü âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè â öåíòðå îïèñàííîé îêðóæíîñòè O1 (ðèñ.9). Òîãäà ýòà ñòîðîíà áóäåò äèàìåòðîì îïèñàííîé îêðóæíîñòè, Ðèñ. 9 à ñàì òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûì è ðàâíîáåäðåííûì. Ïîýòîìó R = O1 A1 = O1O2 + O2 A1 = r + r 2 = r 1 + 2 . Îòñþäà ïîëó÷àåì 1 = 2 − 1. 2 +1 Çàäà÷à 2. Îòíîøåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó öåíòðàìè âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê îêðóæíîñòè è îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà îêðóæíîñòè ê ðàäèóñó ïîñëåäíåé d = δ .  êàêèõ ãðàíèöàõ ëåæàò óãëû ýòîãî ðàâíî R òðåóãîëüíèêà? Ðåøåíèå. Îöåíèì îäèí èç óãëîâ äàííîãî òðåóãîëüíèêà A1 A2 A3 ïóñòü ýòî áóäåò óãîë ïðè âåðøèíå A1 , êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì êàê α (ðèñ.10,à). Òîãäà α r sin = , ãäå r ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè, à 2 l l = O2 A1 . Ïðè ñêîëüæåíèè òðåóãîëüíèêà çíà÷åíèå l ρ= r = R ÝÒÞÄ Î ÔÎÐÌÓËÅ Ðèñ. 10 ìåíÿåòñÿ îò íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ lmin = R - d (ðèñ.10,á) äî íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ lmax = r r α = = = R + d (ðèñ.10,â). Ïîýòîìó sin max = 2 lmin R-d ρ r r α ρ = = = è sin min = . Òàê êàê 1- δ 2 lmax R + d 1+ δ α 1+ δ 1 - δ2 α 1- δ ρ= , òî sin max = è sin min = . 2 2 2 2 2 1- δ 1+ δ Îòñþäà îòâåò: 2 arcsin . £ α £ 2 arcsin 2 2 Çàìå÷àíèå 1. Åñëè ïîìèìî çíà÷åíèÿ δ çàäàíî òàêæå çíà÷åíèå ρ , òî ýòà çàäà÷à èìååò è äðóãîå ïðîñòîå ðåøåíèå íàéäèòå åãî. Ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ áîëåå êðàñèâûé îòâåò: arccos ρ + δ £ α £ arccos ρ - δ . Çàìå÷àíèå 2. Îöåíèâ îäèí èç óãëîâ òðåóãîëüíèêà, ìû òåì ñàìûì îöåíèëè ëþáîé óãîë ñêîëüçÿùåãî òðåóãîëüíèêà. Òåïåðü ðàññìîòðèì àíàëîãè÷íûå çàäà÷è äëÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Çàäà÷à 3. Îêðóæíîñòü, âïèñàííàÿ â ÷åòûðåõóãîëüíèê Ýéëåðà, ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð îïèñàííîé îêîëî íåãî îêðóæíîñòè. ×åìó ðàâíî îòíîøåíèå ðàäèóñîâ ýòèõ îêðóæíîñòåé? Ýòó çàäà÷ó âû ñìîæåòå ñäåëàòü ñàìîñòîÿòåëüíî. Îòâåò: ρ = δ = 5 -2. Çàäà÷à 4. Îòíîøåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó öåíòðàìè âïèñàííîé â ÷åòûðåõóãîëüíèê îêðóæíîñòè è îïèñàííîé îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà îêðóæíîñòè ê ðàäèóñó d = δ .  êàêèõ ãðàíèöàõ ëåæàò óãëû ïîñëåäíåé ðàâíî R ýòîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà? Ðåøåíèå. Íà ðèñóíêå 6 ÷åòûðåõóãîëüíèê A1 A2 A3 A4 ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ O1O2 . Âåðøèíà ñêîëüçÿùåãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà Ýéëåðà ïîî÷åðåäíî çàíèìàåò ïîëîæåíèå A1, A2 , A3 è A4 . Êàê è ïðè ñêîëüæåíèè òðåóãîëüíèêà (çàäà÷à 2), óãîë ïðè âåðøèíå ÷åòûðåõóãîëüíèêà äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ βmax , êîãäà ðàññòîÿíèå îò öåíòðà âïèñàííîé îêðóæíîñòè äî ýòîé âåðøèíû ìèíèìàëüíî è ðàâíî R d (â âåðøèíå A1 ), à ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ βmin êîãäà ýòî ðàññòîÿíèå ìàêñèìàëüíî è ðàâíî R + d (â âåðøèíå A3 ). % ÝÉËÅÐÀ Î÷åâèäíî, ÷òî β α ρ sin min = cos 2 = , 2 2 1+ δ à β α ρ cos min = cos 1 = . 2 2 1- δ Ïîýòîìó sin βmin = β β = 2 sin min cos min = 2 2 2ρ2 = . 1 - δ2 2 Ïîäñòàâèì ñþäà çíà÷åíèå ρ èç ôîðìóëû (14) è 1 - δ2 . Ïîñêîëüêó βmin + βmax = ïîëó÷èì sin βmin = 1 + δ2 = 180° , òî arcsin 1 - δ2 1 + δ2 £ β £ 180° - arcsin 1 - δ2 1 + δ2 . Çàäà÷à 5. Âåðøèíû A1 è A4 øåñòèóãîëüíèêà Ýéëåðà A1 A2 A3 A4 A5 A6 ëåæàò íà ëèíèè öåíòðîâ O1O2 (ñì. ðèñ.8). Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè ðàâåí R. Äîêàæèòå, ÷òî a1 + a3 = 2R ( a1 = A1 A2 , a3 = A3 A4 ). Ðåøåíèå. Èìååì òàêèå ðàâåíñòâà: ϕ α a1 = 2R sin 2 = 2R sin 1 , 2 2 ϕ ϕ4 - ϕ3 180° - ϕ3 = 2R cos 3 . = 2R sin 2 2 2 Îòñþäà ïîëó÷àåì, ó÷èòûâàÿ óðàâíåíèå (20), a3 = 2R sin α ϕ ö æ a1 + a3 = 2R ç sin 1 + cos 3 ÷ = 2R . è 2 2ø Çàäà÷à 6. Ïóñòü èçâåñòíû öåíòðàëüíûå óãëû αk , ïîä êîòîðûìè ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêà Ýéëåðà âèäíû èç öåíòðà îïèñàííîé îêðóæíîñòè. ×åìó ðàâíî îòíîøåíèå ðàäèóñîâ âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé? Ðåøåíèå. Óìíîæèì êàæäîå èç ðàâåíñòâ (11) íà ϕ - ϕk sin k +1 è ñëîæèì ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà: 2 n å sin k =1 ϕk +1 - ϕk ϕ - ϕk = cos k +1 2 2 n = ρ ∑ sin k =1 n ϕk + 1 − ϕk ϕ − ϕk ϕ + ϕk + δ ∑ k +1 cos k +1 . 2 2 2 k =1 Ïðåîáðàçóÿ ýòî âûðàæåíèå, ïîëó÷èì 1 n sin (ϕk +1 − ϕk ) = 2 k∑ =1 n = ρ ∑ sin k =1 Íî n ϕk + 1 − ϕk 1 n + δ ∑ (sin ϕk +1 − sin ϕk ) . 2 2 k =1 å sin ϕk +1 - sin ϕk k =1 = 0 (ó÷èòûâàÿ, ÷òî ϕn +1 = & ÊÂÀÍT 2007/¹1 = 360° + ϕ1 ). È òàê êàê ϕk +1 - ϕk = αk , ïîëó÷èì n ρ= ∑ sin αk k =1 n α 2∑ sin k 2 k =1 . (22) Çàìå÷àíèå. Åñëè ìíîãîóãîëüíèê Ýéëåðà ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèêîì ñ óãëàìè α, β, γ , òî ôîðìóëà (22) âûãëÿäèò òàê: sin 2α + sin 2β + sin 2γ ρ= (23) 2 sin α + sin β + sin γ . Çàäà÷à 7. ×åòûðåõóãîëüíèê Ýéëåðà ÿâëÿåòñÿ òðàïåöèåé (ðèñ. 11). Çíàÿ δ , íàéäèòå óãîë α ìåæäó åå äèàãîíàëÿìè. Ðåøåíèå. ßñíî, ÷òî òðàïåöèÿ A1 A2 A3 A4 ðàâíîáîêàÿ. Óãîë α ðàâåí ïîëóñóììå äóã, êîòîðûå âûñåêàþò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè Ðèñ. 11 äèàãîíàëè A1 A3 è A2 A4 , ò.å. α = 0,5 α1 + α 3 . Òàê êàê ó òðàïåöèè α1 = α 3 , òî α = α1 . Î÷åâèäíî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà α + α2 α = α1 = 180° - 4 , 2 α4 α = ÐA1O1B4 , 2 = ÐA2O1B2 . Íàéäåì ãäå 2 2 α 4 + α2 α α α α == cos 4 cos 2 - sin 4 sin 2 . cos 2 2 2 2 2 Èç ðèñóíêà 11 ñëåäóåò OB r+d α =ρ+δ, cos 4 = 1 4 = 2 O1 A1 R cos à ïîòîìó Íàéäåì òåïåðü sin Òîãäà öèÿ îïèñàíà îêîëî îêðóæíîñòè, ñóììû ïàð åå ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû: a1 + a3 = a2 + a4 . Ïîýòîìó ïåðèìåòð Ð ðàâåí 2 a1 + a3 . Íî a1 = a3 , è ïîòîìó ïåðèìåòð Ð ðàâåí 4a1 . Òàê êàê òðàïåöèÿ âïèñàíà â α îêðóæíîñòü, òî a1 = 2R sin 1 .  ïðåäûäóùåé çàäà÷å 2 ìû ïîëó÷èëè ðàâåíñòâî cos α = cos α1 = δ2 . Ïîýòîìó a1 = 2R α4 α sin 2 = 2 2 P = 4 2 R 1 - δ2 . A1 A2 = a1 , A2 A3 = a2 ,  äåëüòîèäå A1 A2 A3 A4 A3 A4 = a3 , A4 A1 = a4 . Åãî ïåðèìåòð ðàâåí P1 = 2 a1 + a3 = 2 a1 + a2 = α1 α ö æ α α + sin 2 ÷ . = 2 æç 2R sin 1 + 2R sin 2 ö÷ = 4R ç sin è 2 2ø è 2 2ø α1 α2 + = 90° , òî 2 2 ρ r OB α α = , sin 1 = cos 2 = 2 2 = R + d 1+ δ 2 2 O2 A3 Òàê êàê sin α4 α cos 2 = ρ2 - δ2 . 2 2 2 r ρ OB α2 α = = cos 1 = 2 1 = . R - d 1- δ 2 2 O2 A1 Òîãäà ρ ö 8 Rρ æ ρ P1 = 4 R ç + = è 1 + δ 1 - δ ø÷ 1 - δ2 . α4 α sin 2 : 2 2 1 - ρ + δ 1 - cos α1 = 2 R 1 - δ2 , 2 è α2 O1B2 r - d = = = ρ- δ, O1 A2 R 2 cos sin Ðèñ. 12 2 1 - ρ - δ = ρ2 . α ö æα cos ç 4 + 2 ÷ = - δ2 . è 2 2ø Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì: cos α = δ2 , è α = arccos δ2 . Çàäà÷à 8. ×åòûðåõóãîëüíèê Ýéëåðà ïðè ñêîëüæåíèè ñòàíîâèòñÿ â íåêîòîðûå ìîìåíòû âðåìåíè òðàïåöèåé (ðèñ.12,à) èëè äåëüòîèäîì (ðèñ.12,á).  êàêîì ñëó÷àå åãî ïåðèìåòð ìåíüøå? Ðåøåíèå. Ïóñòü â òðàïåöèè A1 A2 A3 A4 A1 A2 = a1 , A2 A3 = a2 , A3 A4 = a3 , A4 A1 = a4 . Ïîñêîëüêó òðàïå- Ïîäñòàâèì â ýòî ðàâåíñòâî ρ = P1 = 4 2R 1 + δ2 1 − δ2 2 1 + δ2 è ïîëó÷èì . ×òîáû âûÿñíèòü, êàêîé èç íàéäåííûõ ïåðèìåòðîâ ìåíüøå, íàéäåì îòíîøåíèå ïåðèìåòðà òðàïåöèè ê ïåðèìåòðó äåëüòîèäà. Îíî ðàâíî 1 - δ4 < 1 . Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ïåðèìåòð òðàïåöèè ìåíüøå ïåðèìåòðà äåëüòîèäà. (Îêîí÷àíèå ñëåäóåò)