ØÊÎËÀ  «ÊÂÀÍÒÅ» Ãðàâèòàöèîííîå «îòòàëêèâàíèå» Â.ÂÎÐÎÍÎÂ Ç ÀÊÎÍ ÂÑÅÌÈÐÍÎÃÎ ÒßÃÎÒÅÍÈß ÎÒÍÎÑÈÒÑß Ê ×ÈÑËÓ ôóíäàìåíòàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ. Êàçàëîñü áû, íåò îñíîâàíèÿ ñîìíåâàòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè åãî îñíîâíîãî òåçèñà î âçàèìíîì ïðèòÿæåíèè òåë â ïðèðîäå. Îäíàêî ñóùåñòâóþò ñèòóàöèè, â êîòîðûõ âñåìèðíîå òÿãîòåíèå ïðèâîäèò ê ñîâåðøåííî íåîæèäàííûì ýôôåêòàì. Âîò îá ýòèõ íåîáû÷íûõ ñëó÷àÿõ è õîòåëîñü áû ïîãîâîðèòü. Âîîáðàçèì áåñêîíå÷íóþ âñåëåííóþ, çàïîëíåííóþ âîäîé. Êàê áóäóò âçàèìîäåéñòâîâàòü äðóã ñ äðóãîì ðàçëè÷íûå òåëà â ýòîé âñåëåííîé? Âðîäå áû, îòâåò î÷åâèäåí: îíè áóäóò ïðèòÿãèâàòüñÿ, ïîä÷èíÿÿñü çàêîíó âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Íî íå ñòîèò òîðîïèòüñÿ ñ âûâîäàìè. Äàâàéòå ðàçáåðåì íåñêîëüêî ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ. Äëÿ íà÷àëà èññëåäóåì âçàèìîäåéñòâèå äâóõ ñâèíöîâûõ äðîáèíîê. Ñðàçó ñòîèò îãîâîðèòüñÿ, ÷òî òåðìèí «âçàèìîäåéñòâèå» çäåñü íå î÷åíü ïîäõîäèò, òàê êàê íà äðîáèíêè äåéñòâóþò íå òîëüêî ñèëû âçàèìíîãî ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ, íî è ãðàâèòàöèÿ âñåëåííîé, è ñèëû óïðóãîñòè âîäíîé ñðåäû.  ïåðâóþ î÷åðåäü, ïîñòàðàåìñÿ ó÷åñòü âñå ñèëû, èìåþùèå ãðàâèòàöèîííóþ ïðèðîäó. Ó÷åò ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ðàññìîòðèì ñèëû, äåéñòâóþùèå íà äðîáèíêó 1 (ðèñ.1). Ïðîâåäåì ÷åðåç åå öåíòð Ðèñ. 1 37-53.p65 ρñðåäû ö m1m2 æ ç1 - ρ ÷. r2 è âåùåñòâà ø Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå äî ñêîáîê, ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ çàêîíîì âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, è åñëè ïëîòíîñòü ñðåäû ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ, òî ìû ïîëó÷àåì ñòàíäàðòíóþ ôîðìóëèðîâêó çàêîíà. (×òî è äîëæíî ïðîèçîéòè, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà îïèñûâàåò ãðàâèòàöèîííîå âçàèìîäåéñòâèå òåë â âàêóóìå.) Åñëè ïëîòíîñòü ñðåäû ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàòü, òî ñèëà âçàèìíîãî ïðèòÿæåíèÿ áóäåò óìåíüøàòüñÿ, ïîêà íå îáðàòèòñÿ â íîëü ïðè ðàâåíñòâå ïëîòíîñòåé ñðåäû è âåùåñòâà. Åñëè æå ïëîòíîñòü ñðåäû áóäåò áîëüøå ïëîòíîñòè ïîìåùåííûõ â íåå ýëåìåíòîâ âåùåñòâà, òî ñèëà ñòàíåò îòðèöàòåëüíîé, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò îòòàëêèâàíèþ ýòèõ ýëåìåíòîâ. Òàê, äâà äåðåâÿííûõ øàðèêà â âîäíîé âñåëåííîé áóäóò îòòàëêèâàòüñÿ ñ ñèëîé F=G F=G m1m2 r2 37 æ ρâîäû ö ç1 ÷, ρ äð ø è ρ m1m2 1 - âîäû . ρ äåðåâà r2 Òàêèì îáðàçîì, òÿãîòåíèå ñïîñîáíî ïîðîäèòü îòòàëêèâàíèå! Ýòîò ýôôåêò âçàèìíîãî îòòàëêèâàíèÿ ìîæíî ïîÿñíèòü, ââîäÿ â ðàññìîòðåíèå «ïîëÿ», ïîðîæäàåìûå âíåñåíèåì â áåñêîíå÷íóþ îäíîðîäíóþ ñðåäó ýëåìåíòîâ âåùåñòâà ñ èíîé ïëîòíîñòüþ. Ïîÿâëåíèå áîëåå ïëîòíîãî âåùåñòâà ïðèâîäèò ê ñîçäàíèþ «ïîëÿ» òÿãîòåíèÿ. Ïðè÷åì òÿãîòåíèå ñîçäàåòñÿ òîëüêî çà ñ÷åò «èçáûòî÷íîé» ïëîòíîñòè â îáúåìå âåùåñòâà. Åñëè æå ïëîòíîñòü âåùåñòâà ìåíüøå ïëîòíîñòè ñðåäû, òî âîçíèêàåò «ïîëå» îòòàëêèâàíèÿ. Îñîáåííîñòü ýòèõ «ïîëåé» â òîì, ÷òî îíè ïðîÿâëÿþò ñâîè ñâîéñòâà âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, íà êàêîå âåùåñòâî (ñ ïëîòíîñòüþ áîëüøåé èëè ìåíüøåé ïëîòíîñòè ñðåäû) îíè äåéñòâóþò. Íàïðÿæåííîñòü òàêîãî «ïîëÿ» ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå (ðå÷ü èäåò î öåíòðàëüíîì ïîëå) E=G ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé îáå äðîáèíêè. Îíà ðàçäåëèò âñåëåííóþ íà äâå ïîëóâñåëåííûå. Äëÿ óäîáñòâà íàçîâåì èõ ëåâîé è ïðàâîé. Ýòè äâå ïîëóâñåëåííûå ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ðàçäåëÿþùåé èõ ïëîñêîñòè, íî â ïðàâîé åñòü äîïîëíèòåëüíàÿ äðîáèíêà 2. Ñèììåòðè÷íûå ÷àñòè ïîëóâñåëåííûõ äåéñòâóþò íà äðîáèíêó 1 ñ ñîâåðøåííî ðàâíûìè ñèëàìè ïðèòÿæåíèÿ. Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ÿâëÿåòñÿ èòîãîì äåéñòâèÿ äâóõ ðàçëè÷àþùèõñÿ ñôåðè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ.  ïðàâîé ÷àñòè ýòî äðîáèíêà, à â ëåâîé âîäà â îáúåìå äðîáèíêè. Òàê êàê ìàññà äðîáèíêè áîëüøå ur ìàññû ñîîòâåòñòâóþùåãî ýëåìåíòà âîäû, òî ïîëíàÿ ñèëà F1 , äåéñòâóþùàÿ íà äðîáèíêó 1, áóäåò íàïðàâëåíà âïðàâî, íî îêàæåòñÿ ìåíüøå ñèëû ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ ê äðîáèíêå 2. Ðàññ÷èòàåì ýòó ñèëó: mäð mäð mäð mâîäû -G = F1 = Fäð - Fâîäû = G r2 r2 2 æ ö mäð mäð ρ = G 2 mäð - mâîäû = G 2 ç1 - âîäû ÷ , ρ äð ø r r è ãäå r ðàññòîÿíèå ìåæäó äðîáèíêàìè. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà ôîðìóëà â ñëó÷àå ðàçíûõ ïî ìàññå äðîáèíîê ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó F1 = G à â ñëó÷àå âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö ëþáîãî âåùåñòâà â ëþáîé áåñêîíå÷íîé ñðåäå ïðèíèìàåò âèä mâåùåñòââà r 2 1- ρñðåäû ρâåùåñòâà . Òåïåðü ïîïðîáóåì èññëåäîâàòü áîëåå ñëîæíûé ñëó÷àé. Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè ýëåìåíòû âåùåñòâà, èìåþùèå îäíó è òó æå ïëîòíîñòü. À êàê áóäóò âçàèìîäåéñòâîâàòü òåëà ñ ðàçëè÷íûìè ïëîòíîñòÿìè? Äëÿ îïðåäåëåííîñòè âûáåðåì äåðåâÿííûé øàðèê è ñâèíöîâóþ äðîáèíêó è âîñïîëüçóåìñÿ ïîíÿòèÿìè «ïîëåé» îòòàëêèâàíèÿ è òÿãîòåíèÿ. Äðîáèíêà, èìåÿ èçáûòî÷íóþ ïëîòíîñòü, ñîçäàåò «ïîëå» òÿãîòåíèÿ è ïîýòîìó áóäåò ïðèòÿãèâàòü äåðåâÿííûé øàðèê (ðèñ.2). À Ðèñ. 2 ýòîò øàðèê, îáëàäàÿ íåäîñòàòî÷íîé ïëîòíîñòüþ, ñîçäàåò «ïîëå» îòòàëêèâàíèÿ è ïîòîìó áóäåò îòòàëêèâàòü ñâèíöîâóþ äðîáèíêó. Òàêèì îáðàçîì, ñèëû, äåéñòâóþùèå íà äðîáèíêó è øàðèê, áóäóò íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ìîäóëü êàæäîé ñèëû, ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé çàìåíå èíäåêñîâ 1 (äëÿ äðîáèíêè) è 2 (äëÿ øàðèêà), ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå F12 = G 29.05.09, 14:34 m1m2 r 2 1- ρñðåäû ρ2 . !& ÊÂÀÍT 2009/¹3 Íî íàðóøåíèå òðåòüåãî çàêîíà Íüþòîíà (ñèëû íå òîëüêî íå íàïðàâëåíû íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó, íî, â îáùåì ñëó÷àå, è íå ðàâíû ïî ìîäóëþ), êàê è çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, òîëüêî êàæóùååñÿ. Äåëî â òîì, ÷òî ñèëû, îïèñûâàåìûå ïîñëåäíåé ôîðìóëîé, íå ÿâëÿþòñÿ ñèëàìè âçàèìîäåéñòâèÿ. Íàðÿäó ñ ãðàâèòàöèîííûì âçàèìîäåéñòâèåì òåë ýòà ôîðìóëà ó÷èòûâàåò ãðàâèòàöèîííîå âëèÿíèå âñåëåííîé, ïîðîæäåííîå åå àñèììåòðèåé ïî îòíîøåíèþ ê êàæäîìó èç òåë. È ðàçëè÷èå â ñèëàõ «âçàèìîäåéñòâèÿ» ïîðîæäàåòñÿ èìåííî ðàçëè÷íûì âëèÿíèåì âñåëåííîé íà íàõîäÿùèåñÿ â íåé ýëåìåíòû. Ïîäâîäÿ ïðîìåæóòî÷íûé èòîã, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ó÷åò âñåõ ñèë, èìåþùèõ ãðàâèòàöèîííóþ ïðèðîäó, ïîêàçûâàåò, ÷òî çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ âûçûâàåò íå òîëüêî ïðèòÿæåíèå òåë. Íî íåîáõîäèìî ïîìíèòü, ÷òî ìû ïîêà íå ïðèíèìàëè âî âíèìàíèå íàëè÷èå ñèë óïðóãîñòè âîäíîé ñðåäû. Ýòèì è çàéìåìñÿ. Ó÷åò àðõèìåäîâîé ñèëû. Êàæåòñÿ âïîëíå î÷åâèäíûì, ÷òî â îäíîðîäíîé âîäíîé âñåëåííîé äàâëåíèå âî âñåõ òî÷êàõ îäèíàêîâî. Àðõèìåäîâà ñèëà âîçíèêàåò òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîÿâëÿåòñÿ íåîäíîðîäíîå âêëþ÷åíèå. Ðàññ÷èòàåì ýòó ñèëó äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà îíà âûçûâàåòñÿ ïîÿâëåíèåì ñâèíöîâîé äðîáèíêè. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíî âûáðàííûé ýëåìåíò âîäû (ðèñ.3). Îí íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ, à çíà÷èò, ñèëà, äåéñòâóþ- äåðåâÿííûõ øàðèêà â âîäíîé âñåëåííîé òîæå áóäóò ïðèòÿãèâàòüñÿ. È òîãäà ïîñëåäíþþ ôîðìóëó ìîæíî ïåðåïèñàòü â áîëåå îáùåì âèäå: F=G m1m2 r2 2 ρñðåäû ö æ ç1 - ρ ÷ . è âåùåñòâà ø Îäíàêî è ýòó ôîðìóëó íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñ÷åòà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òåëà ñ ðàçëè÷íûìè ïëîòíîñòÿìè. Âåðíåìñÿ ê ñèòóàöèè ñ äåðåâÿííûì øàðèêîì è ñâèíöîâîé äðîáèíêîé. Íàéäåì ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà ñâèíöîâóþ äðî- Ðèñ. 5 áèíêó. Äåðåâÿííûé øàðèê ñîçäàåò ñèëó îòòàëêèâàíèÿ, íî â ïðîòèâîïîëîæíóþ r ñòîðîíó äåéñòâóåò àðõèìåäîâà ñèëà (ðèñ.5). Ïîëíóþ ñèëó Fäð íàéäåì êàê âåêòîðíóþ ñóììó ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèë: Fäð = FA - Fîòòàëê = ρâîäûVäð Eîòòàëê - mäð Eîòòàëê = æ ρâîäû ö - 1÷ mäð Eîòòàëê = = ç ρ è äð ø Ðèñ. 3 ùàÿ ñî ñòîðîíû «ïîëÿ» òÿãîòåíèÿ äðîáèíêè, ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóåòñÿ àðõèìåäîâîé ñèëîé. Íàéäåì ýòó ñèëó: æ ρâîäû ö mäåðåâà - 1÷ mäðG =ç r2 è ρ äð ø FA = Fïð = mýë-òà âîäû E«ïîëÿ» = ρâîäûVýë-òà âîäû E«ïîëÿ» . = G Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ôîðìóëà, òàê íàïîìèíàþùàÿ êëàññè÷åñêèé øêîëüíûé âàðèàíò FA = ρVg , ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ è äëÿ «ïîëÿ» îòòàëêèâàíèÿ (â ýòîì ñëó÷àå îíà òàêæå áóäåò íàïðàâëåíà ïðîòèâ «ïîëÿ»). À òåïåðü ìîæíî ïîïðîáîâàòü ó÷åñòü âñå ñèëû.urÂåðíåìñÿ ê ñëó÷àþ äâóõ ñâèíöîâûõ äðîáèíîê. Ïîëíàÿ ñèëà F1 , äåéñòâóþùàÿ íà ïåðâóþ äðîáèíêó, ðàâíà âåêòîðíîé ñóììå ñèëû, âûçâàííîé «ïîëåì» âòîðîé äðîáèíêè, è àðõèìåäîâîé ñèëû (ðèñ.4): F1 = F«ïîëÿ»2 - FA = m1E«ïîëÿ»2 - ρâîäûV1E«ïîëÿ»2 = æ ö æ ö ρ ρ m = ç1 - âîäû ÷ m1E«ïîëÿ»2 = ç1 - âîäû ÷ m1G 22 ρ ρ r è è äð ø äð ø 2 ρâîäû ö m1m2 æ ç1 ÷ . ρ äð ø r2 è Ïîëíàÿ ñèììåòðèÿ ýòîé ôîðìóëû îòíîñèòåëüíî èíäåêñîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà âòîðóþ äðîáèíêó, áóäåò ïî âåëè÷èíå òàêîé æå: F2 = F1 . Íàëè÷èå = G m1m2 æ ρâåù1 - ρñðåäû ö æ ρâåù2 - ρñðåäû ö ç ÷ç ÷. ρâåù1 ρâåù2 r2 è øè ø Î÷åâèäíî, ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ïëîòíîñòè òåë îäèíàêîâû, âíå çàâèñèìîñòè îò èõ ñîîòíîøåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ ñðåäû ýòè òåëà áóäóò ïðèòÿãèâàòüñÿ äðóã ê äðóãó (F > 0). Ïðèòÿæåíèå áóäåò íàáëþäàòüñÿ è â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïëîòíîñòè íå ðàâíû, íî îáå ëèáî áîëüøå, ëèáî ìåíüøå ïëîòíîñòè ñðåäû. Òîãäà âûðàæåíèÿ â ñêîáêàõ â ïîñëåäíåé ôîðìóëå áóäóò îäíîãî çíàêà, è ñèëà áóäåò ïîëîæèòåëüíîé. Îòòàëêèâàíèå òåë âîçìîæíî ëèøü òîãäà, êîãäà ïëîòíîñòü îäíîãî òåëà áîëüøå ïëîòíîñòè ñðåäû, à ïëîòíîñòü äðóãîãî ìåíüøå.  ýòîì ñëó÷àå ñèëà ìåíÿåò çíàê íà îòðèöàòåëüíûé, ÷òî ãîâîðèò îá îòòàëêèâàíèè òåë. Åñëè æå ïëîòíîñòü îäíîãî èç òåë ñîâïàäàåò ñ ïëîòíîñòüþ ñðåäû, òî ñèëà îáðàùàåòñÿ â íîëü. Ðèñ. 4 êâàäðàòà âûðàæåíèÿ â ñêîáêàõ â ýòîé ôîðìóëå òîæå íå ñëó÷àéíî. Åñëè ïëîòíîñòü ñðåäû îêàçûâàåòñÿ áîëüøå ïëîòíîñòè âåùåñòâà, òî çíàê ñèëû íå ìåíÿåòñÿ. À çíà÷èò, äâà 37-53.p65 38 öæ ö mäåðåâà mäð æ ρâîäû ρ - 1÷ ç1 - âîäû ÷ . ç 2 ρ äåðåâà ø r è ρ äð øè Ìû âèäèì, ÷òî Fäð < 0 , à çíà÷èò, ñèëà îòòàëêèâàíèÿ áîëüøå àðõèìåäîâîé ñèëû. Òàêèì îáðàçîì, äåðåâÿííûé øàðèê è ñâèíöîâàÿ äðîáèíêà áóäóò îòòàëêèâàòüñÿ äðóã îò äðóãà. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî òàêàÿ æå ïî ìîäóëþ, íî ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííàÿ ñèëà áóäåò äåéñòâîâàòü è íà äåðåâÿííûé øàðèê. Èòàê, îáùàÿ ôîðìóëà, îïèñûâàþùàÿ «âçàèìîäåéñòâèå» äâóõ òåë â áåñêîíå÷íîé æèäêîé ñðåäå, èìååò ñëåäóþùèé âèä: F=G æ ρâîäû ö ç1 ÷ = ρ äð ø è æ ρâîäû ö ç1 ÷ = ρ äåðåâà ø è 29.05.09, 14:34 ØÊÎËÀ Çàãàäêè ìàãíèòíîé ñòðåëêè È.ËÅÅÍÑÎÍ Ò ÐÓÄÍÎ ÍÀÉÒÈ ×ÅËÎÂÅÊÀ, ÍÈ ÐÀÇÓ ÍÅ ÂÈÄÅÂØÅÃÎ êîìïàñ. Ýòîò ïðîñòåíüêèé ïðèáîð íåîáõîäèì è ïóòåøåñòâåííèêó, è îõîòíèêó, è äàæå ãðèáíèêó, èäóùåìó çà ãðèáàìè â íåçíàêîìûé ëåñ. Êàêèå æå òàéíû ìîæåò ñêðûâàòü â ñåáå òàêîé ïðèáîð? Ñèíèé êîíåö ñòðåëêè êîìïàñà ïîêàçûâàåò íà ñåâåð, êðàñíûé ïîêàçûâàåò íà þã êàçàëîñü áû, âîò è âåñü ñåêðåò. Îêàçûâàåòñÿ, íå âñå òàê ïðîñòî, è ñ ýòîãî ëèøü íà÷èíàåòñÿ íàøà ñåðèÿ çàãàäîê ïðî ìàãíèòíóþ ñòðåëêó. Çàãàäêà ïåðâàÿ. Âñåãäà ëè ñèíèé êîíåö ñòðåëêè êîìïàñà ïîêàçûâàåò íà ñåâåð? Äàëåå. Ìíîãèå âèäåëè ïîäêîâîîáðàçíûå èëè ïîëîñîâûå ìàãíèòû. Åñëè ïîëîñîâîãî ìàãíèòà íåò, íî åñòü ñèëüíûé ïîäêîâîîáðàçíûé, ñ åãî ïîìîùüþ ëåãêî íàìàãíèòèòü ñòàëüíóþ ïîëîñêó (èëè ïðîñòî äëèííóþ èãîëêó), ñäåëàâ èç íåå ïîëîñîâîé ìàãíèò. Êîíöû ìàãíèòà, ãäå îáíàðóæèâàþòñÿ íàèáîëåå ñèëüíûå ìàãíèòíûå äåéñòâèÿ, íàçûâàþò ïîëþñàìè ìàãíèòà. Ñëîâî «ïîëþñ» ïðîèñõîäèò îò ãðå÷åñêîãî pólos îñü, ïîýòîìó â äàëüíåéøåì âìåñòî «êîíåö ñòðåëêè» èëè «êîíåö ìàãíèòà» áóäåì ãîâîðèòü «ïîëþñ». Ó êàæäîãî ìàãíèòà, êàê è ó çåìíîãî øàðà, åñòü äâà ïîëþñà: ñåâåðíûé è þæíûé, òîëüêî ýòè ïîëþñà íàçûâàþòñÿ ìàãíèòíûìè. Ïî òðàäèöèè, òó ïîëîâèíó ìàãíèòíîé ñòðåëêè, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò íà ñåâåð, îêðàøèâàþò â ñèíèé öâåò è åå êîíåö íàçûâàþò ñåâåðíûì ïîëþñîì ìàãíèòà; åãî îáîçíà÷àþò áóêâîé N. Òó æå ïîëîâèíó ìàãíèòíîé ñòðåëêè, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò íà þã, îêðàøèâàþò â êðàñíûé öâåò è åå êîíåö íàçûâàþò þæíûì ïîëþñîì ìàãíèòà; åãî îáîçíà÷àþò áóêâîé S. Òàê æå îêðàøèâàþò è îáîçíà÷àþò ëþáûå ïîñòîÿííûå ìàãíèòû. Òàêîå îáîçíà÷åíèå ïðèøëî â ðóññêèé ÿçûê èç ãîëëàíäñêîãî âî âðåìåíà ïðàâëåíèÿ Ïåòðà I. À ïðè ÷åì òóò ãîëëàíäöû? Äåëî â òîì, ÷òî êîãäà-òî Ãîëëàíäèÿ áûëà âëàäû÷èöåé ìîðåé è ñîïåðíè÷àëà ñ Àíãëèåé. Òàê, 21 àâãóñòà 1673 ãîäà îêîëî ãîëëàíäñêîãî îñòðîâà Òåêñåëü ñîñòîÿëîñü ìîðñêîå ñðàæåíèå ìåæäó ãîëëàíäñêèì è îáúåäèíåííûì àíãëî-ôðàíöóçñêèì ôëîòàìè; â ýòî âðåìÿ øëà óæå òðåòüÿ àíãëî-ãîëëàíäñêàÿ âîéíà (16721674).  áîþ, äëèâøåìñÿ âåñü äåíü, ãîëëàíäöû îäåðæàëè ïîáåäó, õîòÿ ÷èñëåííûé ïåðåâåñ áûë íà ñòîðîíå ïðîòèâíèêà. Ãîëëàíäèÿ çàõâàòèëà â òå âðåìåíà îáøèðíûå êîëîíèè, îñîáåííî â Þãî-Âîñòî÷íîé Àçèè. Äî ñèõ ïîð â ãîñóäàðñòâå Ñóðèíàì â Þæíîé Àìåðèêå ãîëëàíäñêèé ýòî îôèöèàëüíûé ÿçûê. Åñëè ó âàñ åñòü äâà ìàãíèòà èëè îäèí ìàãíèò è êîìïàñ (åãî ñòðåëêà òîò æå ìàãíèò, òîëüêî ìàëåíüêèé è ëåãêèé), òî ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ñèíèé ïîëþñ îäíîãî ìàãíèòà ïðèòÿãèâàåò êðàñíûé ïîëþñ äðóãîãî, à îäèíàêîâî ðàñêðàøåííûå ïîëþñà äðóã îò äðóãà îòòàëêèâàþòñÿ. Åñëè ïîäâåñèòü ïîëîñîâîé ìàãíèò òî÷íî çà åãî ñåðåäèíó íà íèòêå ïîäàëüøå îò æåëåçíûõ ïðåäìåòîâ, íèòêó ê ÷åìó-íèáóäü ïðèâÿçàòü è ïîäîæäàòü, ïîêà ìàãíèò ïåðåñòàíåò ðàñêà÷èâàòüñÿ, òî ìû óâèäèì, ÷òî ïîëîñêà ïîâåðíóëàñü òàê æå, êàê è ñòðåëêà êîìïàñà. Èíûìè ñëîâàìè, îäíèì êîíöîì îíà áóäåò 37-53.p65 39  !' «ÊÂÀÍÒÅ» ïîêàçûâàòü íà ñåâåð, äðóãèì íà þã. Çíà÷èò, íàøà íàìàãíè÷åííàÿ ïîëîñêà òîæå êîìïàñ, òîëüêî áîëüøîé è íåóäîáíûé. Òåïåðü ñëåäóþùàÿ çàãàäêà. Çàãàäêà âòîðàÿ. ×òî áóäåò, åñëè íàìàãíè÷åííóþ ïîëîñêó ðàçðåçàòü ïîïîëàì òî÷íî ïîñåðåäèíå? È åùå îäíà çàãàäêà. Çàãàäêà òðåòüÿ. Ìîæíî ëè íàìàãíèòèòü øàð? Åñëè åñòü çàãàäêè, äîëæíû áûòü è ðàçãàäêè. Äåéñòâèòåëüíî, îòêóäà ñòðåëêà êîìïàñà çíàåò, ãäå ó Çåìëè ñåâåð, à ãäå þã? Îêàçûâàåòñÿ, Çåìëÿ òîò æå ìàãíèò, òîëüêî øàðîîáðàçíûé. Ïðèøëè ê òàêîìó ïîíèìàíèþ ëþäè äàëåêî íå ñðàçó (êàê è íå ñðàçó äîãàäàëèñü, ÷òî íàøà Çåìëÿ íå ïëîñêàÿ, à øàðîîáðàçíàÿ). Âîò êàê ýòî ïðîèçîøëî. Äðåâíåãðå÷åñêèé ôèëîñîô Ôàëåñ â VI âåêå äî íîâîé ýðû îïèñàë óäèâèòåëüíîå ÿâëåíèå, èçâåñòíîå ëþäÿì, âåðîÿòíî, çàäîëãî äî ýòîãî. Ýòî ÿâëåíèå ìàãíåòèçì. Ïî îäíîé èç ëåãåíä, òàêîå íàçâàíèå îíî ïîëó÷èëî îò ãðå÷åñêîãî ãîðîäà Ìàãíåçèÿ (íûíå îí íàçûâàåòñÿ Ìàíèññà è íàõîäèòñÿ â Òóðöèè), ãäå áûë íàéäåí ìèíåðàë, ñïîñîáíûé ïðèòÿãèâàòü æåëåçî. Ñåé÷àñ ýòîò ìèíåðàë íàçûâàåòñÿ ìàãíåòèòîì, èëè ìàãíèòíûì æåëåçíÿêîì; îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîåäèíåíèå æåëåçà è êèñëîðîäà. À âîò êòî è êîãäà èçîáðåë êîìïàñ, íåèçâåñòíî, õîòÿ ýòî èçîáðåòåíèå îäíî èç âåëè÷àéøèõ îòêðûòèé ÷åëîâåêà. Âîçìîæíî, êòî-òî ñëó÷àéíî îáíàðóæèë, ÷òî åñëè êóñîê ìàãíåòèòà âûòÿíóòîé ôîðìû ïîäâåñèòü íà íèòêå èëè ïóñòèòü ïëàâàòü íà äåðåâÿííîé äîùå÷êå, òî îäèí åãî êîíåö âñåãäà áóäåò ïîêàçûâàòü íà ñåâåð, à äðóãîé íà þã, êàê áû ìû íè êðóòèëè íèòêó èëè äîùå÷êó. Ðàíüøå ñ÷èòàëè, ÷òî êîìïàñ èçîáðåëè êèòàéöû ÷óòü ëè íå ïÿòü òûñÿ÷ ëåò íàçàä, îäíàêî ïåðâûé êèòàéñêèé äîêóìåíò, â êîòîðîì óïîìèíàåòñÿ êîìïàñ, äàòèðîâàí XI âåêîì íîâîé ýðû. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, åùå â Ñðåäíèå âåêà ýòèì ñòàðèííûì îòêðûòèåì øèðîêî ïîëüçîâàëèñü ìîðåïëàâàòåëè, îïðåäåëÿÿ ïî ïðèìèòèâíîìó êîìïàñó ñâîé ïóòü â îòêðûòîì ìîðå. Ñî âðåìåíåì îáíàðóæèëîñü, ÷òî êóñîê ìàãíåòèòà ìîæåò ïåðåäàâàòü ñâîå «âîëøåáíîå» ñâîéñòâî ñòàëüíûì ïðåäìåòàì íàïðèìåð, èãîëêå, è èç íåå ïîëó÷èòñÿ áîëåå óäîáíûé êîìïàñ.  1269 ãîäó ôðàíöóç Ïüåð äå Ìåðèêóð, ïî ïðîçâàíèþ Ïåðåãðèí, íàïèñàë êíèæêó «Ïèñüìà î ìàãíèòå», â êîòîðîé ñîáðàë ðàçëè÷íûå ñâåäåíèÿ î ìàãíèòå êàê èçâåñòíûå ðàíåå, òàê è îòêðûòûå èì ëè÷íî. Èìåííî Ïåðåãðèí, ýêñïåðèìåíòèðóÿ ñ ìàãíèòàìè, îáíàðóæèë, ÷òî ó íèõ åñòü äâà îñîáûõ êîíöà äâà ïîëþñà. Ïîñêîëüêó îíè ïîêàçûâàëè íà ñåâåð è íà þã, èõ òàê è íàçâàëè ñåâåðíûì è þæíûì ïîëþñàìè ìàãíèòà. Êîãäà Ïåðåãðèí ïîäâåñèë íà íèòêàõ áëèçêî äðóã ê äðóãó äâå ìàãíèòíûå ñòðåëêè, îêàçàëîñü, ÷òî èõ îäíîèìåííûå ïîëþñà îòòàëêèâàþòñÿ, à ðàçíîèìåííûå ïðèòÿãèâàþòñÿ. Ïåðåãðèí îáíàðóæèë åùå îäíî âàæíåéøåå ñâîéñòâî ìàãíèòîâ: åñëè Ñòàðèííûé êèòàéñêèé êîìïàñ 29.05.09, 14:34 " ÊÂÀÍT 2009/¹3 Óèëüÿì Ãèëüáåðò ðàçëîìèòü ïîñòîÿííûé ìàãíèò íà äâå ÷àñòè, ïîëó÷àòñÿ äâà íîâûõ ìàãíèòà ñ äâóìÿ ïîëþñàìè ñåâåðíûì è þæíûì ó êàæäîãî. Ïîëó÷èòü êàêîé-íèáóäü îäèí ïîëþñ íå óäàëîñü íè Ïåðåãðèíó, íè êîìó-ëèáî ïîñëå íåãî. Ýòî è åñòü îòâåò íà âòîðóþ çàãàäêó. Ïî÷åìó òàê ïîëó÷àåòñÿ, áóäåò ðàññìîòðåíî âî âòîðîé ÷àñòè ñòàòüè. À òåïåðü îòâåò íà òðåòüþ çàãàäêó: íàìàãíèòèòü øàð ìîæíî, è ýòî îáíàðóæèë àíãëèéñêèé ôèçèê è âðà÷ Óèëüÿì Ãèëüáåðò.  1600 ãîäó îí îïóáëèêîâàë êíèãó «Î ìàãíèòå, ìàãíèòíûõ òåëàõ è î áîëüøîì ìàãíèòå Çåìëå».  íåé îí ðàññêàçàë î ñâîèõ ýêñïåðèìåíòàõ ñ ìàãíèòàìè. Âîò ÷òî îí îáíàðóæèë: Ìàãíèò îáëàäàåò â ðàçëè÷íûõ ÷àñòÿõ ðàçëè÷íîé ïðèòÿãàòåëüíîé ñèëîé; íà ïîëþñàõ ýòà ñèëà íàèáîëåå çàìåòíà. Ìàãíèò èìååò äâà ïîëþñà: ñåâåðíûé è þæíûé, îíè ðàçëè÷íû ïî ñâîèì ñâîéñòâàì; ðàçíîèìåííûå ïîëþñà ïðèòÿãèâàþòñÿ, îäíîèìåííûå îòòàëêèâàþòñÿ. Ìàãíèò, ïîäâåøåííûé íà íèòêå, ðàñïîëàãàåòñÿ îïðåäåëåííûì îáðàçîì â ïðîñòðàíñòâå, óêàçûâàÿ ñåâåð è þã. Íåâîçìîæíî ïîëó÷èòü ìàãíèò ñ îäíèì ïîëþñîì: ñêîëüêî íè ðàçëàìûâàé ìàãíèò, êàæäûé âíîâü ïîëó÷åííûé êóñî÷åê âñåãäà áóäåò èìåòü äâà ïîëþñà. Çåìíîé øàð áîëüøîé ìàãíèò. Ïðè ñèëüíîì íàãðåâàíèè ìàãíèòíûå ñâîéñòâà ó ïðèðîäíûõ è èñêóññòâåííûõ ìàãíèòîâ èñ÷åçàþò. Ìàãíèòû îêàçûâàþò ñâîå äåéñòâèå ÷åðåç ñòåêëî, êîæó è âîäó. Íî ñàìûé çàìå÷àòåëüíûé îïûò Ãèëüáåðò ïðîâåë ñ íàìàãíè÷åííûì øàðîì, âûòî÷åííûì èç ìèíåðàëà ìàãíåòèòà. Ó íåãî òîæå îêàçàëèñü äâà ïîëþñà ñåâåðíûé è þæíûé, è, íàõîäÿñü îêîëî ýòîãî øàðà, ñòðåëêà êîìïàñà âñåãäà ïîêàçûâàëà íà ýòè ïîëþñà, ò.å. âåëà ñåáÿ òàê æå, êàê â îòíîøåíèè Çåìëè. Ïîýòîìó Ãèëüáåðò íàçâàë ñâîé øàð «òåðåëëîé», ò.å. ìàëåíüêîé çåìëåé. Ñëîâî ýòî ïðîèñõîäèò îò ëàòèíñêîãî terra çåìëÿ; â ðóññêîì ÿçûêå íåìàëî ñëîâ ñ ýòèì êîðíåì: òåððèòîðèÿ, òåððàñà (óñòóï íà ñêëîíå ãîðû), òåððàðèóì (ïîìåùåíèå äëÿ çåìíîâîäíûõ), òåððèêîí (êó÷à çåìëè è ïóñòîé ïîðîäû), òåððàêîòà (îáîææåííàÿ ãëèíà), òåððåíêóð (ðàçìå÷åííûå äîðîæêè äëÿ ëå÷åáíîé õîäüáû, îáû÷íî â ãîðèñòîé ìåñòíîñòè), à òàêæå òåððà èíêîãíèòà íåâåäîìàÿ çåìëÿ. Ãèëüáåðò âïåðâûå äîãàäàëñÿ, ÷òî çåìíîé øàð òîæå ìàãíèò, ïîýòîìó íàìàãíè÷åííàÿ ñòðåëêà êîìïàñà è ïîêàçûâàåò íà ïîëþñà ýòîãî ãèãàíòñêîãî ìàãíèòà. À âñåãäà ëè ñòðåëêà êîìïàñà îäíèì êîíöîì ïîêàçûâàåò íà ñåâåð, à äðóãèì íà þã? Îêàçûâàåòñÿ è ýòî îòâåò íà ïåðâóþ çàãàäêó, íå âñåãäà. Åñëè èäòè (åõàòü, ïëûòü, ëåòåòü) ê ñåâåðíîìó èëè þæíîìó ãåîãðàôè÷åñêîìó ïîëþñó, òî ïîêà 37-53.p65 40 ïóòåøåñòâåííèê îò íåãî äàëåêî, ñî ñòðåëêîé êîìïàñà îáû÷íî íèêàêèõ íåîæèäàííîñòåé íå ïðîèñõîäèò. Íî ïðè ïðèáëèæåíèè ê ïîëþñó ñòðåëêà íà÷èíàåò ïîíåìíîãó «ñõîäèòü ñ óìà». È ìîðÿêè äàâíî ýòî çàìåòèëè.  íà÷àëå XVI âåêà, êîãäà áûëà îòêðûòà Àìåðèêà è êîðàáëè íà÷àëè çàïëûâàòü äàëåêî íà ñåâåð, îáíàðóæèëîñü ñòðàííîå ÿâëåíèå. Ìîðÿêè çíàëè, ÷òî â ÿñíóþ íî÷ü íèêàêîé êîìïàñ èì íå íóæåí: íàïðàâëåíèå íà ñåâåð ïîêàçûâàåò Ïîëÿðíàÿ çâåçäà. Íî êîãäà îíè ñðàâíèëè ýòî íàïðàâëåíèå ñ ïîêàçàíèåì êîìïàñà, îáíàðóæèëîñü óäèâèòåëüíîå ÿâëåíèå: ÷åì äàëüøå îíè çàïëûâàëè íà ñåâåð, òåì ñèëüíåå ñèíÿÿ ñòðåëêà êîìïàñà îòêëîíÿëàñü îò ñåâåðà! Óãîë ìåæäó îñüþ ñòðåëêè êîìïàñà è òî÷íûì íàïðàâëåíèåì íà ïîëþñ (îíî ñîâïàäàåò ñ ãåîãðàôè÷åñêèì ìåðèäèàíîì) íàçâàëè ìàãíèòíûì ñêëîíåíèåì. Ýòî ñêëîíåíèå ðàçëè÷íî â ðàçíûõ òî÷êàõ çåìíîãî øàðà. ×òî æå ïðîèñõîäèò ñ êîìïàñîì íà Ñåâåðíîì ïîëþñå? Îêàçûâàåòñÿ, ñèíÿÿ ÷àñòü ñòðåëêè ïîêàçûâàåò â ñòîðîíó ñåâåðíîé ÷àñòè Êàíàäû. Òàì, íà íåêîòîðîé ãëóáèíå, è íàõîäèòñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ îäèí èç ìàãíèòíûõ ïîëþñîâ Çåìëè; äðóãîé æå ìàãíèòíûé ïîëþñ ðàñïîëîæåí â Àíòàðêòèêå. Ïî÷åìó òàê ïðîèñõîäèò, â òî÷íîñòè íåèçâåñòíî. Áîëåå òîãî, óñòàíîâëåíî, ÷òî ìàãíèòíûå ïîëþñà Çåìëè ìåäëåííî ïåðåäâèãàþòñÿ. Òàê, â Ïàðèæå â 1580 ãîäó íàáëþäàëîñü ìàêñèìàëüíîå ìàãíèòíîå ñêëîíåíèå ê âîñòîêó îò ìåðèäèàíà, îíî ñîñòàâëÿëî 9,5°. À ÷åðåç 230 ëåò, â 1810 ãîäó, áûëî çàôèêñèðîâàíî óæå ìàêñèìàëüíîå ñêëîíåíèå â äðóãóþ ñòîðîíó ê çàïàäó îò ìåðèäèàíà, è ñîñòàâèëî îíî öåëûõ 22,3°. Çíà÷èò, ìàãíèòíûå ïîëþñà Çåìëè «ãóëÿþò», ïåðåìåùàÿñü ñ ìåñòà íà ìåñòî. Áîëåå òîãî, î÷åíü ðåäêî ðàç â òûñÿ÷è ëåò îíè ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè. Ó÷åíûå íå èñêëþ÷àþò, ÷òî â áëèæàéøèå ñòî-äâåñòè ëåò òàêîå ìîæåò âíîâü ïðîèçîéòè. È òðóäíî ïðåäñêàçàòü, êàê ýòî îòðàçèòñÿ íà æèâûõ ñóùåñòâàõ. Ìàãíèòíîå ñêëîíåíèå ÷àñòî èìååò è ìåñòíûå îòêëîíåíèÿ èíîãäà î÷åíü ñèëüíûå; èõ íàçûâàþò äåâèàöèåé (îò ëàòèíñêîãî deviatio óêëîíåíèå îò ïóòè). Íàïðèìåð, çíàìåíèòàÿ Êóðñêàÿ ìàãíèòíàÿ àíîìàëèÿ âûçâàíà çàëåæàìè ìàãíèòíîé ðóäû, êîòîðàÿ äåéñòâóåò íà ñòðåëêó. Ìàëåíüêèå «ìàãíèòíûå àíîìàëèè» ëåãêî îáíàðóæèòü è ó ñåáÿ äîìà, åñëè íåïîäàëåêó îò êîìïàñà áóäóò íàõîäèòüñÿ æåëåçíûå ïðåäìåòû. Ìîæíî òîëüêî ïðåäñòàâèòü, ñêîëüêî íåïðèÿòíîñòåé è äàæå íåñ÷àñòèé ïðèíîñèëè ìîðåïëàâàòåëÿì òàêèå «ìåñòíûå àíîìàëèè». Âåäü äàæå íà äåðåâÿííûõ ïàðóñíûõ ñóäàõ âñåãäà áûëî ìíîãî æåëåçíûõ ïðåäìåòîâ: ïóøêè, ÿäðà, ÿêîðÿ. Ïîëîæåíèå óñóãóáèëîñü ïîñëå òîãî, êàê íà ñìåíó ïàðóñíûì ñóäàì ïðèøëè æåëåçíûå ïàðîõîäû.  1854 ãîäó ñòðàøíîå íåñ÷àñòüå ïîòðÿñëî Âåëèêîáðèòàíèþ: íà âîñòî÷íîì áåðåãó Èðëàíäèè ðàçáèëîñü ñóäíî «Òýéëîð» âîäîèçìåùåíèåì 2000 òîíí ñ íåñêîëüêèìè ñîòíÿìè ýìèãðàíòîâ, íàïðàâëÿâøèõñÿ â Àìåðèêó. Áóëüøàÿ ÷àñòü ïàññàæèðîâ è êîìàíäû ïîãèáëà. À âåäü ýòî áûëî íîâîå ñóäíî, ëåãêî âûäåðæàâøåå äâóõäíåâíûé øòîðì â íà÷àëå ïëàâàíèÿ. Ðàññëåäîâàíèå ïîêàçàëî, ÷òî âèíîé âñåìó íåïðàâèëüíîå ïîêàçàíèå êîìïàñà, âûçâàííîå äåâèàöèåé. Íàäî ñêàçàòü, ÷òî ñîâðåìåííûå êîìïàñû èìåþò ñïåöèàëüíûå ïðèñïîñîáëåíèÿ äëÿ óíè÷òîæåíèÿ äåâèàöèè. À âîò è ïîñëåäíÿÿ çàãàäêà. Åñëè ñèíèé ïîëþñ ìàãíèòà íàçûâàþò ñåâåðíûì, à êðàñíûé þæíûì, òî ñèíèé êîíåö ñòðåëêè êîìïàñà äîëæåí ïîêàçûâàòü íå íà ñåâåð, à íà þã: âåäü ïðèòÿãèâàþòñÿ òîëüêî ðàçíîèìåííûå ïîëþñà! Ïî÷åìó æå ñèíÿÿ ïîëîâèíêà ñòðåëêè êîìïàñà ïîêàçûâàåò íå íà þã, à íà ñåâåð? Åñëè ñèíèé êîíåö ñòðåëêè ïîêàçûâàåò íà ñåâåð, ñëåäîâàòåëüíî, òàì íàõîäèòñÿ þæíûé ìàãíèòíûé ïîëþñ Çåìíîãî øàðà, à â þæíîì ïîëóøàðèè ñåâåðíûé ìàãíèòíûé ïîëþñ!? Çàãàäêà ÷åòâåðòàÿ. Êàêîé æå ìàãíèòíûé ïîëþñ íàõîäèòñÿ íà ñåâåðå çåìíîãî øàðà? (Ïðîäîëæåíèå ñëåäóåò) 29.05.09, 14:34 ÊÂÀÍÒÛ «Íóëåâûå» ëèíçû Â.ÄÐÎÇÄÎÂ Ë ÈÍÇÎÉ ÍÀÇÛÂÀÞÒ ÏÐÎÇÐÀ×ÍÎÅ ÒÅËÎ, ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÎÅ äâóìÿ ïîâåðõíîñòÿìè, ïðåëîìëÿþùèìè ñâåòîâûå ëó÷è, êîòîðîå ñïîñîáíî ñîçäàâàòü îïòè÷åñêèå èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòîâ. Íàèáîëåå ïðîñòû â èçãîòîâëåíèè ëèíçû ñî ñôåðè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè. Åñëè òîëùèíà ëèíçû çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ðàäèóñîâ êðèâèçíû åå ïîâåðõíîñòåé, ëèíçà íàçûâàåòñÿ òîíêîé. Êàê èçâåñòíî, îïòè÷åñêàÿ ñèëà òàêîé ëèíçû D íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå æ 1 1 ö D = n - 1 ç ± ± , è R1 R2 ÷ø ãäå n îòíîñèòåëüíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà ëèíçû, R1 è R2 ðàäèóñû êðèâèçíû ñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé. Ïåðåä ñëàãàåìûìè â ñêîáêå çíàêè âûáèðàþòñÿ òàê: äëÿ âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè «ïëþñ», äëÿ âîãíóòîé «ìèíóñ». Ïðèâåäåííîìó îïðåäåëåíèþ ëèíçû óäîâëåòâîðÿåò, íàïðèìåð, ïðîçðà÷íîå òåëî, èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå 1. Îäíà åãî ïîâåðõíîñòü âûïóêëàÿ, äðóãàÿ âîãíóòàÿ, ðàäèóñû êðèâèçíû ïîâåðõíîñòåé ðàâíû: R1 = R2 = R , à òîëùèíà ìàëà: l = R . (Ðàçóìååòñÿ, ïðè ýòîì öåíòðû êðèâèçíû îáåèõ ïîâåðõíîñòåé íå ñîâïàäàþò, à ñìåùåíû íà l.) Çíà÷èò, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèâåäåííîé ôîðìóëîé, îïòè÷åñêàÿ ñèëà ýòîé ëèíçû ðàâíà íóëþ. Ïîñêîëüêó äàííàÿ ëèíçà íå áóäåò íè ñîáèðàþùåé, íè ðàññåèâàþùåé, íàçîâåì Ðèñ. 1 åå «íóëåâîé». Î÷åâèäíî, ÷òî äâîÿêîâûïóêëàÿ òîíêàÿ ëèíçà «íóëåâîé» áûòü íå ìîæåò. Åñëè, êîíå÷íî, íå ïîìåñòèòü åå â æèäêîñòü ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ, ðàâíûì ïîêàçàòåëþ ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà. Íî çäåñü ìû ìîë÷àëèâî ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íàøà ëèíçà íàõîäèòñÿ â âîçäóõå. Èíòåðåñíî, à íå ñóùåñòâóåò ëè äâîÿêîâûïóêëàÿ «íóëåâàÿ» ëèíçà ñðåäè òîëñòûõ ëèíç? Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò, è " ÈÍÒÅÐÍÅÒÀ Ðèñ. 2 èçîáðàçèì åå òàêîé, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 2. Âîçüìåì ðàäèóñû êðèâèçíû ñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé îäèíàêîâûìè: R1 = R2 = R , à òîëùèíó ëèíçû îáîçíà÷èì l. Î÷åâèäíî, ÷òî ëèíçà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ÷åðåç òî÷êó Î ñåðåäèíó îòðåçêà ÀÂ. Ïóñòèì íà ëèíçó ëó÷, ïàðàëëåëüíûé ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè è íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè h = R îò íåå (ïàðàêñèàëüíûé ëó÷). Åñëè ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ ëó÷ ïðîéäåò ÷åðåç òî÷êó Î, òî, ïî ñîîáðàæåíèÿì ñèììåòðèè, èç ëèíçû îí âûéäåò ïàðàëëåëüíî âõîäÿùåìó ëó÷ó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè òàêîì óñëîâèè òîëñòàÿ ëèíçà ôîêóñèðîâàòü ëó÷è íå áóäåò, ò.å. åå îïòè÷åñêàÿ ñèëà áóäåò ðàâíà íóëþ. Ðàññ÷èòàåì òîëùèíó íàøåé òîëñòîé «íóëåâîé» ëèíçû, ò.å. âûðàçèì l ÷åðåç R è n. Ïðè ýòîì ñèíóñû è òàíãåíñû ìàëûõ óãëîâ çàìåíèì çíà÷åíèÿìè ýòèõ óãëîâ â ðàäèàííîé ìåðå. Ïî çàêîíó ïðåëîìëåíèÿ ëó÷à, â òî÷êå Ñ èìååì α = nβ . Èç òðåóãîëüíèêîâ ÀÎÑ è ÀDÑ íàõîäèì 2h h h α-β = = , α= . l 2 l R Äåëèì ïî÷ëåííî ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ ðàâåíñòâ: β 2R 1- = . α l Èç çàêîíà ïðåëîìëåíèÿ âûðàæàåì îòíîøåíèå óãëîâ β è α : β 1 = . α n Äàëüíåéøåå ÿñíî: 1 2R 2Rn = ,è l= . n l n -1 Åñëè âçÿòü, íàïðèìåð, çíà÷åíèå n = 1,5, òî îêàæåòñÿ, ÷òî l = = 6R, ò.å. «íóëåâàÿ» ëèíçà áóäåò âåñüìà òîëñòîé. Îêàçûâàåòñÿ, ëèíçû ñ íóëåâîé îïòè÷åñêîé ñèëîé (àôîêàëüíûå ëèíçû) íàõîäÿò ñâîå ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå. Òàêèå ëèíçû õîòÿ è íå ðàññåèâàþò è íå ñîáèðàþò ñâåòîâûå ïó÷êè, íî ñîçäàþò àáåððàöèè, ò.å. èñêàæåíèÿ îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé ïðåäìåòîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ ñàìûìè ïðåäìåòàìè. Ïîýòîìó èõ èñïîëüçóþò â ñëîæíûõ îáúåêòèâàõ â êà÷åñòâå êîìïåíñàòîðîâ àáåððàöèé. 1- ÊÂÀÍÒÛ ÈÍÒÅÐÍÅÒÀ Êàê íàðèñîâàòü ïðÿìóþ? (Íà÷àëî ñì. íà 2-é ñòðàíèöå îáëîæêè)  1784 ãîäó Äæ.Óàòò èçîáðåë ìåõàíèçì, íàçâàííûé âïîñëåäñòâèè «ïàðàëëåëîãðàììîì Óàòòà» (ðèñ. 1). Íà ïîêàçàííûõ ïóíêòèðîì ó÷àñòêàõ òðàåêòîðèè ñåðåäèíà ñðåäíåãî çâåíà îòêëîíÿåòñÿ îò ïðÿìîé äîâîëüíî ñèëüíî, íî ó÷àñòîê, ïîêàçàííûé ñïëîøíîé ëèíèåé, äàåò äîñòàòî÷íóþ âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ òî÷íîñòü. Äðóãîå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ïðåäëîæèë Ï.Ë.×åáûø¸â. Åñëè ïîäîáðàòü äëèíû çâåíüåâ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 2, òî îòìå÷åííàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ëèíèè, êîòîðàÿ õîòÿ è íå ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì ïðÿìîé, íî íà ãëàç ïî÷òè íåîòëè÷èìà îò îòðåçêà (ðèñ. 3). Èñïîëüçóÿ ýòîò ìåõàíèçì («ïðÿìèëî ×åáûø¸- 37-53.p65 41 âà»), à òàêæå «ëÿìáäà-îáðàçíûé ìåõàíèçì ×åáûø¸âà», ìîæíî èçãîòîâèòü «òàáóðåòêó» (ðèñ. 4), «ñèäåíèå» êîòîðîé ïåðåìåùàåòñÿ ïî÷òè ïàðàëëåëüíî çåìëå.  1864 ãîäó Ì.Ïîñåëüå ïðåäëîæèë ìåõàíèçì äëÿ òî÷íîãî ðèñîâàíèÿ îòðåçêà, îñíîâàííûé íà ñâîéñòâàõ èíâåðñèè (ðèñ. 5). Ïðè äâèæåíèè êðóãà, êàñàþùåãîñÿ èçíóòðè îêðóæíîñòè âäâîå áîëüøåãî ðàäèóñà (ðèñ. 6), ëþáàÿ òî÷êà ãðàíèöû êðóãà (â ÷àñòíîñòè, òî÷êè P è H) äâèæåòñÿ ïî äèàìåòðó íåïîäâèæíîé îêðóæíîñòè. Ýòî ôàêò (òåîðåìà Êîïåðíèêà) èñïîëüçóåòñÿ â ìåõàíèçìå ðèñóíêà 7: òî÷êà P äâèæåòñÿ âåðòèêàëüíî. Àíàëîãè÷íûé øàðíèðíûé ìåõàíèçì (ðèñ.8, 9) ðåàëèçóåò òî÷íîå ïàðàëëåëüíîå ïåðåìåùåíèå îòðåçêà: ïðàâîå íèæíåå çâåíî äâèæåòñÿ ãîðèçîíòàëüíî. Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèëè Ì.Ïàíîâ, À.Ñïèâàê 29.05.09, 14:34 " ÂÀÍT 2009/¹3 Ì À Ò Å Ì À ÒÊÈ ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Î ëåìíèñêàòå Áåðíóëëè À.ÀÊÎÏßÍ ×òî òàêîå ëåìíèñêàòà? Ëåìíèñêàòîé ñ ôîêóñàìè F1, F2,K , Fn íàçûâàåòñÿ êðèâàÿ íà ïëîñêîñòè, îáëàäàþùàÿ òåì ñâîéñòâîì, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè íà íåé ïðîèçâåäåíèå ðàññòîÿíèé äî ôîêóñîâ ïîñòîÿííî. Íà ðèñóíêå 1 ïðèâåäåíî ñåìåéñòâî ëåìíèñêàò ñ òðåìÿ ôîêóñàìè. Óðàâíåíèå ëåìíèñêàòû ñ n ôîêóñàìè èìååò ñòåïåíü 2n. Óïðàæíåíèå 1. Íàïèøèòå ýòî óðàâíåíèå. Ëåìíèñêàòû ñ äâóìÿ ôîêóñàìè íàçûâàþòñÿ îâàëàìè Êàññèíè. Ñðåäè íèõ íàèáîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ëåìíèñêàòà Áåð- Ðèñ. 1 Ðèñ. 2 íóëëè (ðèñ.2) òàêàÿ êðèâàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè íà íåé ïðîèçâåäåíèå ðàññòîÿíèé äî ôîêóñîâ ðàâíî êâàäðàòó ïîëî2 æ F1F2 ö ÷ . Î÷å2 ø âèíû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè: F1X × F2 X = ç è âèäíî, ÷òî ýòà ëåìíèñêàòà ïðîõîäèò ÷åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà ñ êîíöàìè â ñâîèõ ôîêóñàõ. Ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ óçëîâîé, èëè äâîéíîé òî÷êîé ëåìíèñêàòû. Ëåìíèñêàòà Áåðíóëëè îáëàäàåò ìíîæåñòâîì î÷åíü èíòåðåñíûõ ñâîéñòâ. Íàïðèìåð, ïëîùàäü, îãðàíè÷èâàåìàÿ åþ, 1 2 ðàâíà F1F2 . Çäåñü ìû äîêàæåì íåñêîëüêî äðóãèõ èíòåðåñ2 íûõ ñâîéñòâ, ïðè ýòîì ïîñòàðàåìñÿ èñïîëüçîâàòü òîëüêî «ãåîìåòðè÷åñêèå àðãóìåíòû», ò.å. äîêàçûâàòü ôàêòû ïî âîçìîæíîñòè áåç âû÷èñëåíèé. Êàê ïîñòðîèòü ëåìíèñêàòó Áåðíóëëè? Ñóùåñòâóåò î÷åíü ïðîñòîé ñïîñîá íàðèñîâàòü ëåìíèñêàòó Áåðíóëëè ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé êîíñòðóêöèè èç òðåõ ñêðåïëåííûõ øàðíèðàìè «ïàëî÷åê». Ïåðâûå äâå ïàëî÷êè F1 A è F2 B , ïðèêðåïëåííûå ê òî÷êàì F1 è F2 ñîîòâåòñòâåí1 F1F2 , íî, èìåþò äëèíó 2 ïðè÷åì òî÷êè A è B âñåãäà ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò ïðÿìîé F1F2 . Òðåòüÿ ïàëî÷êà ñîåäèíÿåò òî÷êè A è B è èìååò äëèíó F1F2 (ðèñ.3). Ðèñ. 3 Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè 37-53.p65 42 «âðàùåíèè» ýòèõ ïàëî÷åê ñåðåäèíà AB áóäåò äâèãàòüñÿ ïî ëåìíèñêàòå Áåðíóëëè ñ ôîêóñàìè F1 è F2 . Äàâàéòå äîêàæåì ýòî. Îáîçíà÷èì ñåðåäèíó AB ÷åðåç X (ðèñ. 4). Çàìåòèì, ÷òî F1 AF2 B ðàâíîáîêàÿ òðàïåöèÿ. Êðîìå òîãî, òðåóãîëüíèêè AF1X è ABF1 ïîäîáíû, ïîñêîëüêó óãîë A ó íèõ îáùèé, Ðèñ. 4 AF1 AB = = 2 . Ïî òåì æå à AX AF1 ñàìûì ïðè÷èíàì ïîäîáíû è òðåóãîëüíèêè BXF2 è BF2 A , òàê êàê ó íèõ îáùèé óãîë B è îòíîøåíèå äëèí ñòîðîí ïðè óãëå B ðàâíî 2 . Ïîýòîìó ìû ìîæåì âûïèñàòü ñëåäóþùóþ öåïî÷êó ðàâåíñòâ óãëîâ: ÐAF1X = ÐABF1 = ÐBAF2 = ÐXF2 B . Îáðàòèì òàêæå âíèìàíèå íà òî, ÷òî óãëû ïðè A è F2 ó òðàïåöèè F1 AF2 B ðàâíû, à ïîñêîëüêó ðàâíû è óãëû AF1X è XF2 B , ïîëó÷àåì, ÷òî ðàâíû è óãëû F1 AX è XF2 A . Ñëåäîâàòåëüíî, òðåóãîëüíèêè F1 AX è F2 AX ïîäîáíû, îòêóäà F1X AX = Þ XF1 × XF2 = AX 2 = F1O2 . AX XF2 Èòàê, ïðîèçâåäåíèå ðàññòîÿíèé îò òî÷êè X äî F1 è F2 ðàâíî êâàäðàòó ïîëîâèíû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó F1 è F2 . À çíà÷èò, òî÷êà X äâèæåòñÿ ïî ëåìíèñêàòå Áåðíóëëè. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî òðàåêòîðèåé òî÷êè X áóäåò âñÿ ëåìíèñêàòà Áåðíóëëè. Èíòóèòèâíî ýòî ïîíÿòíî, ïîñêîëüêó òî÷êà X äâèæåòñÿ íåïðåðûâíî è «ïîÿâëÿåòñÿ» âî âñåõ «êðàéíèõ» òî÷êàõ ëåìíèñêàòû. Óïðàæíåíèå 2. Êàêîâà áóäåò òðàåêòîðèÿ òî÷êè X, åñëè îò êîíñòðóêöèè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû òî÷êè A è B âñåãäà ëåæàëè ïî îäíó ñòîðîíó îò F1F2 ? Ïóñòü O ñåðåäèíà îòðåçêà F1F2 óçëîâàÿ òî÷êà ëåìíèñêàòû. Îáîçíà÷èì ÷åðåç M è N ñåðåäèíû îòðåçêîâ F1 A è F1B ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.5). Ñäâèíåì uuuuur òî÷êó O íà âåêòîð NF1 , ïîëó÷èâøóþñÿ òî÷êó îáîçíà÷èì ÷åðåç O¢ . Çàìåòèì, ÷òî òðåóãîëüíèêè F1MO¢ è NXO ðàâíû, êðîìå òîãî, âûïîëíåíî ðàâåíñòâî 1 F1M = F1O ¢ = F1O . 2 Òàêèì îáðàçîì, òî÷êè M è Ðèñ. 5 1 F1O . O¢ ëåæàò íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â F1 è ðàäèóñîì 2 Èç ýòîãî ìîæíî ïîëó÷èòü åùå îäèí ýëåãàíòíûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ëåìíèñêàòû Áåðíóëëè. À èìåííî, ìåòîä Ìàêëîðåíà. Äàâàéòå ïîñòðîèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â îäíîì èç ôîêóñîâ è ðàäèóñîì 1 F1O (ðèñ.6). Äàëåå, 2 íà êàæäîé ñåêóùåé ABO (ãäå A è B ýòî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñåêóùåé è îêðóæíîñòè) âûáåðåì òàêèå òî÷êè X è X¢ , ÷òî Ðèñ. 6 29.05.09, 14:34 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ AB = OX = OX¢ . Ìíîæåñòâî òî÷åê X è X¢ â îáúåäèíåíèè îáðàçóþò ëåìíèñêàòó Áåðíóëëè ñ ôîêóñàìè F1 è F2 . Îòìåòèì åùå îäèí èíòåðåñíûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ëåìíèñÐèñ. 7 êàòû ñ ïîìîùüþ «ïàëî÷åê». Äàííàÿ êîíñòðóêöèÿ èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 7. Äëèíà ïàëî÷êè F1 A ðàâíà F1O . Òî÷êà A òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîíöîì ïàëî÷åê AX è AY, äëèíà êàæäîé èç êîòîðûõ ðàâíà 2F1O . Êðîìå òîãî, ñåðåäèíû ýòèõ ïàëî÷åê òî÷êè B è C AX ñîåäèíåíû ñ O ïàëî÷êàìè äëèíû . Ïðè âðàùåíèè òî÷êè 2 A ïî îêðóæíîñòè êàæäàÿ èç òî÷åê X è Y îïèñûâàåò ïîëîâèíó ëåìíèñêàòû Áåðíóëëè ñ ôîêóñàìè F1 è F2 . Óïðàæíåíèå 3. Äîêàæèòå ýòî. Ëåìíèñêàòà è ðàâíîñòîðîííÿÿ ãèïåðáîëà Ãîðàçäî áîëåå èçâåñòíîé ôèãóðîé ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëà ìíîæåñòâî òî÷åê X òàêèõ, ÷òî âåëè÷èíà F1X - F2 X ïîñòîÿííà. Òî÷êè F1 è F2 íàçûâàþòñÿ ôîêóñàìè ãèïåðáîëû. Ñðåäè ãèïåðáîë ñëåäóåò âûäåëèòü ðàâíîñòîðîííþþ ãèïåðáîëó FF ìíîæåñòâî òî÷åê X òàêèõ, ÷òî F1X - F2 X = 1 2 . 2 1 Óïðàæíåíèå 4. Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå y = çàäàåò ðàâíîñòîx ðîííþþ ãèïåðáîëó, è íàéäèòå åå ôîêóñû. Îêàçûâàåòñÿ, ëåìíèñêàòà Áåðíóëëè ÿâëÿåòñÿ èíâåðñíûì îáðàçîì ðàâíîñòîðîííåé ãèïåðáîëû. Íàïîìíèì, ÷òî òàêîå èíâåðñèÿ. Îïðåäåëåíèå. Èíâåðñèåé îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå O è ðàäèóñîì r íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå ïëîñêîñòè, ïåðåâîäÿùåå êàæäóþ òî÷êó X â òî÷êó X * , ëåæàùóþ íà ëó÷å OX è òàêóþ, ÷òî OX × OX * = r 2 . Èíâåðñèÿ îáëàäàåò îäíèì î÷åíü óäîáíûì ñâîéñòâîì ïðè èíâåðñèè îêðóæíîñòè ïåðåõîäÿò â îêðóæíîñòè èëè ïðÿìûå. Ïîäðîáíåå ïðî èíâåðñèþ ìîæíî ïðî÷åñòü, íàïðèìåð, â êíèãå [1]. Ìû æå çäåñü äîêàæåì ñëåäóþùóþ ëåììó, êîòîðàÿ ïðèãîäèòñÿ íàì â äàëüíåéøåì. Ëåììà. Ïóñòü A ïðîåêöèÿ òî÷êè O íà íåêîòîðóþ ïðÿìóþ l. Òîãäà ïðè èíâåðñèè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì O ïðÿìàÿ l ïåðåéäåò â îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì OA* , ãäå A* èíâåðñíûé îáðàç òî÷êè A. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà ïðÿìîé l, à B* åå èíâåðñíûé îáðàç (ðèñ.8). Ïîñêîëüêó r2 r2 è OB* = , OA* = OA OB ïîëó÷àåì, ÷òî òðåóãîëüíèêè OAB è OB* A* ïîäîáíû. Ñëåäîâàòåëüíî, óãîë OB* A* ïðÿìîé, è òî÷êà B* ëåæèò íà îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì OA* . Ñòîèò òàêæå îòìåòèòü, ÷òî öåíòðîì ýòîé îêðóæíîñòè áóäåò òî÷êà O1* , èíâåðñíàÿ òî÷êå O1 , ñèììåòðè÷íîé O îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ëåìíèñêàòà Áåðíóëëè ñ ôîêóñàìè F1 è F2 è ðàâÐèñ. 8 íîñòîðîííÿÿ ãèïåðáîëà ñ 37-53.p65 43 ÊÐÓÆÎÊ "! ôîêóñàìè F1 è F2 èíâåðñíû îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â O è ðàäèóñîì OF1 . Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè ïðè äîêàçàòåëüñòâå êîððåêòíîñòè ïîñòðîåíèÿ ëåìíèñêàòû Áåðíóëëè ñ ïîìîùüþ òðåõ ïàëî÷åê (ñì. ðèñ.4). Îáîçíà÷èì ÷åðåç P òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ F1 A è F2 B , à ÷åðåç Q òî÷êó, ñèììåòðè÷íóþ åé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé F1F2 (ðèñ.9). Çàìåòèì, ÷òî F2Q - F1Q = F2 P - F1P = FF = AP - F1P = F1 A = 1 2 . 2 Çíà÷èò, òî÷êè P è Q ëåæàò íà ðàâíîñòîðîííåé ãèïåðáîëå ñ öåíòðàìè â Ðèñ. 9 F1 è F2 . Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî òî÷êè X è Q èíâåðñíû îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â O è ðàäèóñîì OF1 . Äëÿ íà÷àëà äîêàæåì, ÷òî òðåóãîëüíèêè F1XO è PF1O ïîäîáíû. Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî F1XOB òðàïåöèÿ, ïîýòîìó ÐOXF1 + ÐXF1B = 180° , êðîìå òîãî, âûïîëíåíî ðàâåíñòâî ÐAF1O + ÐOF1P = 180° . À ïîñêîëüêó óãëû XF1B è AF1O ðàâíû, ïîëó÷àåì, ÷òî ðàâíû è óãëû OXF1 è OF1P . Äàëåå, ïîñêîëüêó óãëû XF2 B è XF1 A ðàâíû, òî ÐXF1P + ÐPF2 X = 180° , ò.å. ÷åòûðåõóãîëüíèê PF1XF2 âïèñàííûé. Ñëåäîâàòåëüíî, ÐF2 F1X = ÐF2 PX = ÐF1PO . Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âåðíî â ñèëó òîãî, ÷òî òî÷êè O è X ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà ê F1B . Èòàê, òðåóãîëüíèêè F1XO è PF1O ïîäîáíû ïî äâóì óãëàì. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî óãëû F1OX è F1OP ðàâíû, à çíà÷èò, òî÷êà Q ëåæèò íà ëó÷å OX. Êðîìå òîãî, èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ F1XO è QF1O (êîòîðûé ñèììåòðè÷åí ∆PF1O ) ñëåäóåò, ÷òî OX OF1 = Þ OX × OQ = OF12 . OF1 OQ À ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè Q è X èíâåðñíû îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â O è ðàäèóñîì OF1 . Èç ðèñóíêà 9 ìîæíî ñäåëàòü åùå îäíî íàáëþäåíèå, à èìåííî, ÷òî òî÷êè X è O ëåæàò íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå P. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòà îêðóæíîñòü êàñàåòñÿ ëåìíèñêàòû Áåðíóëëè (ïðî äâå êðèâûå ãîâîðÿò, ÷òî îíè êàñàþòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå, åñëè êàñàòåëüíûå ê êðèâûì â ýòîé òî÷êå ñîâïàäàþò). Äàâàéòå äîêàæåì ýòî. Ðàññìîòðèì ïðÿìóþ l êàñàòåëüíóþ ê ãèïåðáîëå â òî÷êå Q (ðèñ. 10). Èç ëåììû ñëåäóåò, ÷òî ïðè èíâåðñèè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì O è ðàäèóñîì F1O ïðÿìàÿ l äîëæíà ïåðåéòè â îêðóæíîñòü ωl , ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó O, à òàêæå êàñàþùóþñÿ ëåìíèñêàòû â òî÷êå X, ïîñêîëüêó òî÷êà X èíâåðñíà Q. Èç ëåììû ñëåäóåò òàêæå, ÷òî öåíòð ýòîé îêðóæíîñòè ëåæèò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç O è ïåðïåíäèêóëÿðíîé l. Ïîêàæåì, ÷òî ýòà ïðÿìàÿ OP ñèììåòðè÷íà ïðÿìîé OQ îòíî- Ðèñ. 10 29.05.09, 14:34 "" ÊÂÀÍT 2009/¹3 ñèòåëüíî F1F2 . Èç ýòîãî áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî òî÷êà P ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè ωl . Ïåðåéäåì â ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé ôîðìóëà ñîîòâåòñòâóþùåé ãèïåðáîëû áóäåò çàïèñûâàòüñÿ êàê Ðèñ. 11 1 y = . Ïóñòü ïðÿìàÿ l x ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ è îñü îðäèíàò â òî÷êàõ R è S ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.11). Êàê èçâåñòíî, ïðîèçâîäíàÿ ôóíê-1 1 â òî÷êå x0 ðàâíà 2 . Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òî öèè x0 x òî÷êà Q ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà RS, à OQ ìåäèàíîé ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ROS. (Ïîäðîáíåå îá ýòîì ìîæíî ïðî÷èòàòü â ñòàòüå À.Çàñëàâñêîãî «Àôôèííàÿ ãåîìåòðèÿ» â «Êâàíòå» ¹1.) Ñëåäîâàòåëüíî, óãëû QOR è QRO ðàâíû. Íî ïîñêîëüêó ðàâíû è óãëû POS è QOR, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðÿìàÿ OP ïåðïåíäèêóëÿðíà RS. ×òî è òðåáîâàëîñü. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïîñêîëüêó îêðóæíîñòü ωl êàñàåòñÿ ëåìíèñêàòû â òî÷êå X, ðàäèóñ PX ýòîé îêðóæíîñòè áóäåò íîðìàëüþ (ïåð- Ðèñ. 12 ïåíäèêóëÿðîì ê êàñàòåëüíîé) ê ëåìíèñêàòå â òî÷êå X (ðèñ.12).  ñèëó òîãî, ÷òî òðåóãîëüíèê XPO ðàâíîáåäðåííûé, à ïðÿìûå XO è PO ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî F1O , ìîæíî âûïèñàòü ñëåäóþùóþ öåïî÷êó ðàâåíñòâ óãëîâ: ÐPXO = ÐXOP = 2ÐPOF1 . Ýòî äàåò íàì î÷åíü ïðîñòîé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ íîðìàëè ê ëåìíèñêàòå Áåðíóëëè. À èìåííî, äëÿ ëþáîé òî÷êè X ïðîâåäåì ïðÿìóþ, îáðàçóþùóþ ñ ïðÿìîé OX óãîë 2ÐXOF1 . Ýòà ïðÿìàÿ è áóäåò íîðìàëüþ ê ëåìíèñêàòå. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 1. À.À. Çàñëàâñêèé. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ì.: ÌÖÌÍÎ, 2004. 2. Ìàðêóøåâè÷ À.È. Çàìå÷àòåëüíûå êðèâûå. Ì.: Ãîñòåõèçäàò, 1952. Ôîðìóëà êðþêîâ À.ÑÏÈÂÀÊ ×òî äëÿ íàñ ãîëîâîëîìêà, äóõîì òàéíû ðàçóì áóäèò î÷åâèäíî, äëÿ ïîòîìêà ïðîñòî øêîëüíûì êóðñîì áóäåò. È.Ãóáåðìàí Ä ÈÀÃÐÀÌÌÛ È ÒÀÁËÈÖÛ ÀËÜÔÐÅÄÀ ÞÍÃÀ (18731940) èçó÷àþòñÿ â ìàòåìàòèêå óæå áîëåå ñòà ëåò. Ñîâðåìåííàÿ êîìáèíàòîðèêà íåìûñëèìà áåç íèõ. Ïîÿâèâøèñü ñíà÷àëà â ðàáîòàõ ïî ðàçáèåíèÿì ÷èñåë íà ñëàãàåìûå, à çàòåì â âàæíîé è äîâîëüíî òðóäíîé îáëàñòè àëãåáðû òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé ñèììåòðè÷åñêèõ ãðóïï, äèàãðàììû Þíãà ñòàëè îáíàðóæèâàòüñÿ â ñàìûõ ðàçíûõ îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè.  ýòîé ñòàòüå ðàññêàçûâàåòñÿ îá îäíîé çíàìåíèòîé ôîðìóëå äëÿ êîëè÷åñòâà òàáëèö Þíãà äàííîé ôîðìû î ôîðìóëå êðþêîâ. Ïîëüçîâàòüñÿ åþ â âû÷èñëåíèÿõ ñìîæåò è ïÿòèêëàññíèê, òàê ÷òî êàæäûé ÷èòàòåëü æóðíàëà ÷òî-òî èç ýòîé ñòàòüè ïî÷åðïíåò. Íî ëó÷øå, êîíå÷íî, ïîíÿòü èçëàãàåìîå çäåñü åå äîêàçàòåëüñòâî, êîòîðîå çàìå÷àòåëüíî òåì, ÷òî ïðè ðåøåíèè ÷èñòî êîìáèíàòîðíîé çàäà÷è áóäóò èñïîëüçîâàíû àíòèñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû. ×òî ýòî òàêîå òîæå ðàññêàçàíî â ñòàòüå. Ïåðâûå ïðèìåðû Íà ðèñóíêå 1 ïîêàçàíû âñå ñóùåñòâóþùèå 16 ñïîñîáîâ òàê çàïîëíèòü äèàãðàììó, ñîñòîÿùóþ èç 6 êëåòîê, ÷èñëàìè îò 1 äî 6, ÷òî ÷èñëà âîçðàñòàþò ïðè äâèæåíèè ñëåâà íàïðàâî è ñâåðõó âíèç. Íà ðèñóíêå 2 ïÿòü çàïîëíåíèé äèàãðàììû èç 5 êëåòîê (äðóãèõ ñïîñîáîâ, êàê ëåãêî óáåäèòüñÿ, íåò); íà ðèñóíêå 3 äâà çàïîëíåíèÿ äèàãðàììû èç 3 êëåòîê; íà ðèñóíêå 4 åäèíñòâåííûé ñïîñîá çàïîëíèòü «ñòîëáèê» âûñîòîé 5 (î÷åâèäíî, ñïîñîá åäèíñòâåííûé è ïðè ëþáîé äðóãîé âûñîòå ñòîëáèêà). 37-53.p65 44 Ðèñ. 1 Ðèñ. 2 Ðèñ. 3 Ðèñ. 4 Îïðåäåëåíèÿ ×òîáû ïîíÿòü, ÷òî òàêîå äèàãðàììà Þíãà, ïðåäñòàâüòå ñåáå ëèñò áóìàãè (êàêîãî óãîäíî ðàçìåðà) â êëåòî÷êó è îòðåæüòå îò íåãî íåñêîëüêî êëåòîê, ñîáëþäàÿ óñëîâèå: âìåñòå ñ ëþáîé îòðåçàííîé êëåòêîé îòðåçàåì è âñå êëåòêè, ðàñïîëîæåííûå íèæå èëè ïðàâåå íåå. Äðóãèìè ñëîâàìè, äèàãðàììà Þíãà ñîñòîèò èç ñâîåãî ëåâîãî âåðõíåãî óãëà íåêîòîðîé êëåòêè A è îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: âìåñòå ñ ëþáîé ñâîåé êëåòêîé B îíà ñîäåðæèò è âñå êëåòêè ïðÿìîóãîëüíèêà, ëåâûì âåðõíèì óãëîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ êëåòêà A, à ïðàâûì íèæíèì êëåòêà B. Òàáëèöà Þíãà ýòî äèàãðàììà èç n êëåòîê, çàïîëíåííàÿ ÷èñëàìè îò 1 äî n òàê, ÷òî ÷èñëà âîçðàñòàþò ïðè äâèæåíèè ñëåâà íàïðàâî è ñâåðõó âíèç (äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òàêèå çàïîëíåíèÿ). ×èñëà ñî÷åòàíèé Ðàññìîòðèì äèàãðàììó, ñîñòîÿùóþ èç m + n + 1 êëåòîê, m + 1 èç êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû â âåðõíåé ñòðîêå, à n + 1 â ëåâîì ñòîëáöå. Ïðèìåð äëÿ m = 3 è n = 2 ðèñóíîê 5; ÷èñëî 1 â ëþáîì ñëó÷àå ðàñïîëîæåíî â ëåâîì âåðõíåì óãëó; çàïîëíåíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî òåì, êàêèå èìåííî òðè ÷èñëà ñòîÿò â Ðèñ. 5 íåçàïîëíåííûõ êëåòêàõ âåðõíåé ñòðîêè. Èíòåðåñóþùåå íàñ êîëè÷åñòâî çàïîëíåíèé îáîçíà÷àþò Cmm+ n è íàçûâàþò ÷èñëîì ñî÷åòàíèé èç m + n ïî m. ×èñëî ñî÷åòàíèé ýòî êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ âûáðàòü m ýëåìåíòîâ èç ìíîæå- 29.05.09, 14:34 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ñòâà {2, 3, , m + n + 1}, ñîñòîÿùåãî èç m + n ýëåìåíòîâ. Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ, îáðàçîâàííûé ÷èñëàìè Cmm+ n , è ñâîéñòâà ýòèõ ÷èñåë â âûñøåé ñòåïåíè âàæíû äëÿ êîìáèíàòîðèêè. Îäíà èç âàæíåéøèõ åå ôîðìóë ôîðìóëà m + n ! Cmm+ n = . m!n! Êàê òîëüêî ìû ñôîðìóëèðóåì ôîðìóëó êðþêîâ, ñòàíåò ÿñíî, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ãëóáîêèì îáîáùåíèåì ýòîé ôîðìóëû. "# ÊÐÓÆÎÊ íîé è ïðàâîé òàáëèöàõ òàêèõ êëåòîê ïî òðè. Çíà÷èò, äîñòàòî÷íî ðåøèòü çàäà÷ó äëÿ êàæäîé èç âîñüìè äèàãðàìì ðèñóíêà 9 è ñëîæèòü ðåçóëüòàòû. Îáëåã÷àåò ðàáîòó òî, ÷òî ðåçóëüòàòû äëÿ ïåðâîé, òðåòüåé, ïÿòîé è ñåäüìîé äèàãðàìì íå îòëè÷àþòñÿ; íå îòëè÷àåòñÿ è âòîðàÿ äèàãðàììà îò øåñòîé. Êîëè÷åñòâî çàïîëíåíèé ÷åòâåðòîé äèàãðàììû ðàâíî C63 = 20 . Ïðè ïîìîùè ðèñóíêîâ 10, 11 è 12 ëåãêî íàéòè îòâåòû ÷èñëà 4 + 5 + 10 + 16 = 35, 16 + 5 = 21 è 5 + 5 + ×èñëà Êàòàëàíà  ïðåäûäóùåì íîìåðå íàøåãî æóðíàëà îïóáëèêîâàíà ñòàòüÿ «Ðàçðåçàíèÿ íà òðåóãîëüíèêè», ïîñâÿùåííàÿ ÷èñëàì Êàòàëàíà. Äîêàçàííàÿ òàì ôîðìóëà òîæå ÷àñòíûé ñëó÷àé ôîðìóëû êðþêîâ. Íàïîìíþ âêðàòöå, î ÷åì ðå÷ü. ×èñëà Êàòàëàíà ïî÷òè ñòîëü æå çíàìåíèòû, êàê ÷èñëà Ôèáîíà÷÷è: â ñòàòüå «×èñëà Êàòàëàíà» («Êâàíò» ¹3 çà 2004 ãîä) äàíî òðè äåñÿòêà ðàçíûõ îïðåäåëåíèé, à íàóêå èçâåñòíî áîëåå ñîòíè. Âîò îäíî èç ñàìûõ êîðîòêèõ îïðåäåëåíèé: ÷èñëî Êàòàëàíà ýòî êîëè÷åñòâî òàáëèö Þíãà ðàçìåðîì 2 ´ n . Òî æå ìîæíî ñêàçàòü è äðóãèìè ñëîâàìè. Ëþáîé òàêîé òàáëèöå ìîæíî ñîïîñòàâèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç 2n ñêîáîê, åñëè ñòàâèòü îòêðûâàþùèå ñêîáêè íà ïîçèöèè, íîìåðà êîòîðûõ ñòîÿò â âåðõíåé ñòðîêå, à çàêðûâàþùèå ñêîáêè íà îñòàëüíûå ìåñòà: íà ðèñóíêå 6 èçîáðàæåíû âñå 5 ñóùåñòâóþùèõ ðàññòàíîâîê äëÿ n = 3 âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñèñòåìàìè ñêîáîê. Âîçíèêàþùèå òàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðàâèëüíûå â òîì ñìûñëå, ÷òî ïðè ÷òåíèè ñëåâà íàïðàâî íè â êàêîé ìîìåíò êîëè÷åñòâî îòêðûâøèõñÿ ñêîáîê íå îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå êîëè÷åñòâà çàêðûâøèõñÿ, à ïîñëå ïðî÷òåíèÿ ïîñëåäíåé (çàêðûâàþùåé) ñêîáêè ýòè êîëè÷åñòâà ñòàíîâÿòñÿ ðàâíûìè n. Óïðàæíåíèÿ 1. Óáåäèòåñü, ÷òî: à) çàïîëíåíèé ïðÿìîóãîëüíîé òàáëèöû ðàçìåðîì 2 ´ 3 ñòîëüêî æå, ñêîëüêî çàïîëíåíèé òàáëèöû ðèñóíêà 2; á) çàïîëíåíèé òàáëèöû ðàçìåðîì 2 ´ 2 ñòîëüêî æå, ñêîëüêî çàïîëíåíèé òàáëèöû Þíãà ñ äèàãðàììîé ðèñóíêà 3. 2. Íàéäèòå âñå çàïîëíåíèÿ òàáëèöû ðàçìåðîì 2 ´ 4 . Îòáðàñûâàíèå êëåòîê Âûÿñíèì, ñêîëüêî ñóùåñòâóåò çàïîëíåíèé äèàãðàììû ðèñóíêà 7. Íå ñîâåòóþ âûïèñûâàòü âñå òàáëèöû ïîäðÿä: îòâåò ñëèøêîì âåëèê, ÷òîáû âû ïîëó÷èëè óäîâîëüñòâèå îò òàêîé ðàáîòû. À ãëàâíîå ìû õîòèì íàéòè íå îòâåò äëÿ îäíîé êîíêðåòíîé äèàãðàììû, à îáùèå çàêîíîìåðíîñòè. Íà÷íåì. Ãäå ìîæåò ñòîÿòü ÷èñëî 9?  êëåòêå, íè ïðàâåå, íè íèæå êîòîðîé íè÷åãî íåò. Òàêèå êëåòêè íà ðèñóíêå 7 ïîìå÷åíû ñòðåëî÷êàìè. Îòáðàñûâàÿ èõ ïî îäíîé, ïîëó÷àåì äèàãðàììû ðèñóíêà 8. Äëÿ êàæäîé èç íèõ ìû ïîñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ è ñëîæèì ðåçóëüòàòû. ×èñëî 8 â ëåâîé äèàãðàììå ðèñóíêà 8 ìîæåò ñòîÿòü íà îäíîé èç äâóõ îòìå÷åííûõ ñòðåëî÷êàìè êëåòîê, à â öåíòðàëü- 37-53.p65 Ðèñ. 11 Ðèñ. 10 Ðèñ. 6 Ðèñ. 7 Ðèñ. 9 + 4 = 14 äëÿ ïåðâîé, âòîðîé è âîñüìîé äèàãðàìì ðèñóíêà 9 ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðèñóíêà 7 ñóùåñòâóåò 4 × 35 + 20 + 2 × 21 + 14 = 216 çàïîëíåíèé. Îòâåò íàéäåí. Íàì íå ïðèøëîñü ðèñîâàòü âñå 216 òàáëèö îäíó çà Ðèñ. 8 45 äðóãîé. Íî íàø ñïîñîá íå ñàìûé áûñòðûé. Áûñòðåå äàåò îòâåò îòêðûòàÿ â 1954 ãîäó ôîðìóëà êðþêîâ. Êðþêè Êðþê êëåòêè ýòî îíà ñàìà, à òàêæå êëåòêè, ðàñïîëîæåííûå ñïðàâà îò íåå, è êëåòêè, ðàñïîëîæåííûå ñíèçó. Äëèíà êðþêà ýòî êîëè÷åñòâî åãî êëåòîê. Íà ðè- Ðèñ. 12 ñóíêå 13 äëÿ íåêîòîðûõ èç âñòðåòèâøèõñÿ íàì äèàãðàìì óêàçàíû äëèíû êðþêîâ (â êàæäîé êëåòêå çàïèñàíà äëèíà êðþêà, ñîäåðæàùåãî ýòó êëåòêó) è ïîêàçàíî, êàê äëÿ êàæäîé èç íèõ âûãëÿäèò ôîðìóëà êðþêîâ. Ðèñ. 13 29.05.09, 14:34