Силы инерции

ÈÞÍÜ
ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ
2014
ÌÀÉ
Þ
¹3
ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
ÆÓÐÍÀË
ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ
 íîìåðå:
!
Ðåêîíñòðóêöèÿ ãåíîìà: ãîëîâîëîìêà èç ìèëëèàðäà êóñî÷êîâ.
Ô.Êîìïî, Ï.Ïåâçíåð
Î÷åðê èñòîðèè èññëåäîâàíèé íåéòðèíî (îêîí÷àíèå). Þ.Ãàïîíîâ
'
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
Çàäà÷è Ì2341–Ì2348, Ô2348–Ô2354
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2326–Ì2333, Ô2333–Ô2339
Ó×ÐÅÄÈÒÅËÜ
Ðîññèéñêàÿ àêàäåìèÿ íàóê
ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
À.Ë.Ñåìåíîâ
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß
Í.Í.Àíäðååâ, À.ß.Áåëîâ, Ê.Þ.Áîãäàíîâ,
Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ, Ñ.Ä.Âàðëàìîâ,
À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ,
Í.Ï.Äîëáèëèí, Ñ.À.Äîðè÷åíêî,
Â.Í.Äóáðîâñêèé,
À.À.Åãîðîâ, À.À.Çàñëàâñêèé,
Ï.À.Êîæåâíèêîâ (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî
ðåäàêòîðà), Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.À.Ëåîíîâè÷,
Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Â.Þ.Ïðîòàñîâ,
Í.Õ.Ðîçîâ, À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî,
Â.Ã.Ñóðäèí, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà,
À.È.×åðíîóöàí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî
%
&
«ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ
Çàäà÷è
Ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷åíèå íà ïàëüöàõ. Â.Ñûùåíêî
!
!$
Ñâåðõçâóêîâûå àâòîáóñû, ëîäêè è... äåðåâüÿ. Å.Ñîêîëîâ
Ñèðåíåâûé òóìàí... À.Ñòàñåíêî
!
ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ»
Ñèëû èíåðöèè
!%
ÍÀØÀ ÎÁËÎÆÊÀ
Êàê Àðõèìåä âçâåñèë ïàðàáîëó?
!&
"
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Åùå ðàç î òî÷êå Òîððè÷åëëè. Ë.Ðàäçèâèëîâñêèé
Ñíîâà î ðûöàðÿõ è ëæåöàõ. Ë.Áîéêî, Ì.Áîéêî
"#
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Ïàðû. Âëàæíîñòü. À.×åðíîóöàí
"'
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ
#
#$
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
XXII Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí»
Âñåðîññèéñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå 2014 ãîäà
#%
Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ
ðåäàêòîðà)
ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ
À.Â.Àíäæàíñ, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.È.Áåðíèê,
Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé,
Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Ñ.Ï.Íîâèêîâ,
Ë.Ä.Ôàääååâ
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß
1970 ÃÎÄÀ
ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
È.Ê.Êèêîèí
ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ
ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ
À.Í.Êîëìîãîðîâ
Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ,
Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí,
Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ,
Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ,
Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé,
À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ,
Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Ï.Ñàâèí,
È.Ø.Ñëîáîäåöêèé, Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé,
ß.À.Ñìîðîäèíñêèé, Â.À.Ôàáðèêàíò,
ß.Å.Øíàéäåð
ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ
I
II
III
IV
Èëëþñòðàöèÿ ê ñòàòüå Þ.Ãàïîíîâà
Êîëëåêöèÿ ãîëîâîëîìîê
Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà
Ïðîãóëêè ñ ôèçèêîé
ÊÂÀÍT 2014/¹3
Ðåêîíñòðóêöèÿ ãåíîìà:
ãîëîâîëîìêà èç ìèëëèàðäà
êóñî÷êîâ
Ô.ÊÎÌÏÎ, Ï.ÏÅÂÇÍÅÐ
Ñ
ÎÂÐÅÌÅÍÍÀß ÁÈÎËÎÃÈß ÅÙÅ ÍÅ ÍÀÓ×ÈËÀÑÜ
÷èòàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íóêëåîòèäîâ â áîëüøèõ ìîëåêóëàõ ÄÍÊ áóêâó çà áóêâîé. Âìåñòî
ýòîãî ó÷åíûå ðàñøèôðîâûâàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
êîðîòêèõ (äëèíîé ïðèìåðíî 100–300 íóêëåîòèäîâ)
êóñî÷êîâ ÄÍÊ, íàçûâàåìûõ ðèäàìè, íå èìåÿ íè ìàëåéøåãî ïðåäñòàâëåíèÿ, èç êàêîãî ìåñòà ãåíîìà áûë âûðåçàí êàæäûé êóñî÷åê. Ïðîöåññ ñáîðêè ãåíîìà èç òàêèõ
ðèäîâ, íàçûâàåìûé ïî-íàó÷íîìó ñåêâåíèðîâàíèåì ÄÍÊ,
ñðîäíè ïîïûòêå ñîáðàòü ãîëîâîëîìêó èç ìèëëèàðäà
êóñî÷êîâ. Ýòî ñåðüåçíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à, è ìû
ðàññêàæåì óâëåêàòåëüíóþ èñòîðèþ åå ìàòåìàòè÷åñêîãî
è áèîëîãè÷åñêîãî àñïåêòîâ.
Ñåêâåíèðîâàíèå ÄÍÊ – ââåäåíèå
Ñåêâåíèðîâàíèå ÄÍÊ è çàäà÷à
î ïåðåêðûâàþùèõñÿ êóñî÷êàõ
Ïðåäñòàâüòå, ÷òî öåëûé òèðàæ êàêîé-òî ãàçåòû ëåæàë
â îäíîì ÿùèêå, à ïîòîì ýòîò ÿùèê âçîðâàëñÿ. Äîïóñòèì, ÷òî ãàçåòû íå ñãîðåëè, êàê ýòî ñëó÷èëîñü áû â
ðåàëüíîé æèçíè, à ðàçëåòåëèñü íà ìàëåíüêèå êóñî÷êè
íàïîäîáèå êîíôåòòè (ðèñ.1). Åñòåñòâåííûé âîïðîñ:
ìîæíî ëè ïî ýòèì îáðûâêàì âîññòàíîâèòü òî, ÷òî áûëî
íàïèñàíî â ãàçåòå?
Çàäà÷à èíòåðåñíåå, ÷åì ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íà ïåðâûé
âçãëÿä, – îíà íå ñâîäèòñÿ ëèøü ê ñêëåèâàíèþ îáðûâêîâ
äðóã ñ äðóãîì, êàê áóäòî ýòî áûëè êóñî÷êè ïàçëà. Âîïåðâûõ, ìû âïîëíå ìîãëè ïîòåðÿòü ÷àñòü îáðûâêîâ. Âîâòîðûõ, â ñóíäóêå áûëî ìíîãî ýêçåìïëÿðîâ ãàçåòû, è
ïîýòîìó êàêèå-òî îáðûâêè ìîãóò ïåðåêðûâàòüñÿ ìåæäó
ñîáîé è ñîäåðæàòü êóñêè îäíèõ è òåõ æå ôðàç. Òàêèì
îáðàçîì, çàäà÷ó î âîññòàíîâëåíèè ãàçåòû ìîæíî íàçâàòü çàäà÷åé î ïåðåêðûâàþùèõñÿ êóñî÷êàõ.
Õîòü íàøà àíàëîãèÿ ñ îáðûâêàìè ãàçåò íåñêîëüêî
ïðèòÿíóòà çà óøè, çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ òåêñòà ãàçåòû
ïî ñâîåé ñóòè àíàëîãè÷íà çàäà÷å ñáîðêè ÄÍÊ èç
ôðàãìåíòîâ.
Íàïîìíèì, ÷òî ÄÍÊ ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê
öåïî÷êó èç çâåíüåâ (íóêëåîòèäîâ) ÷åòûðåõ òèïîâ,
îáîçíà÷àåìûõ áóêâàìè À, Ò, à è Ö. Ê ñîæàëåíèþ,
òåõíîëîãèÿ, êîòîðàÿ ïîçâîëèëà áû íàì ÷èòàòü öåëûé
ãåíîì ïîñëåäîâàòåëüíî, íóêëåîòèä çà íóêëåîòèäîì, åùå
íå ïðèäóìàíà. Òåì íå ìåíåå, ó÷åíûå íàó÷èëèñü îïðåäåëÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íóêëåîòèäîâ â êîðîòêèõ êóñî÷êàõ ÄÍÊ. Íà äàííûé ìîìåíò ñàìûå ðàñïðîñòðàíåííûå òåõíîëîãèè èìåþò äåëî ñ ðèäàìè äëèíîé
âñåãî ëèøü 100–300 íóêëåîòèäîâ (ðèñ.2).
Ïðî÷èòûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ðèäîâ èç íåñêîëüêèõ êîïèé îäíîãî ãåíîìà, è ïîëó÷àåòñÿ ãèãàíòñêèé ïàçë (â êîòîðîì êóñî÷êè ìîãóò ïåðåêðûâàòüñÿ). Íàïðèìåð, ãåíîì ìëåêîïèòàþùåãî äëèíîé â 3 ìèëëèàðäà íóêëåîòèäîâ
ïîòðåáóåò ñáîðêè ïàçëà èç ìèëëèàðäà êóñî÷êî⠖ êàæåòñÿ, ýòî ðåêîðä äëÿ ãîëîâîëîìîê
òàêîãî ðîäà.
Ðèñ.1. Ïîñëå âçðûâà ÿùèêà ñ ãàçåòàìè îò íèõ îñòàíåòñÿ ëèøü êó÷à îáðûâêîâ.
Ìîæíî ëè ïî íèì âîññòàíîâèòü ñîäåðæàíèå ãàçåòû?
Ïåðåâîä ñòàòüè ñ àíãëèéñêîãî Ä.Âèíîãðàäîâà.
Ðèñ.2. Ïðè ñåêâåíèðîâàíèè ÄÍÊ ìíîãî÷èñëåííûå (îáû÷íî èõ áîëüøå ìèëëèàðäà) êîïèè ýòîé
ìîëåêóëû «ðâóòñÿ» â ñëó÷àéíûõ ìåñòàõ, ÷òîáû
ïîëó÷èëèñü ãîðàçäî áîëåå êîðîòêèå ðèäû
ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß
ÃÅÍÎÌÀ:
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñåêâåíèðîâàíèÿ
ãåíîìà ñâîäèòñÿ ê ÷òåíèþ (ò.å. îïðåäåëåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè) ðèäîâ (áèîëîãè÷åñêàÿ ÷àñòü) è ñáîðêå ôðàãìåíòîâ (ìàòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü). Ïåðâàÿ çàäà÷à âåäåò
ñâîþ äîëãóþ è çàïóòàííóþ èñòîðèþ ñ
70-õ ãîäîâ, êîãäà Óîëòåð Ãèëáåðò (Walter
Hilbert) è Ôðåä Ñýíãåð (Fred Sanger)
ïîëó÷èëè Íîáåëåâñêóþ ïðåìèþ çà èçîáðåòåíèå ïåðâîãî ìåòîäà ÷òåíèÿ ðèäîâ. Â
íà÷àëå 1990-õ íà ðûíêå ïîÿâèëèñü ñîâðåìåííûå ñåêâåíàòîðû (ìàøèíû äëÿ îïðåäåëåíèÿ êóñî÷êîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÄÍÊ), è ñ ýòîãî ìîìåíòà äëÿ çàäà÷è
ñåêâåíèðîâàíèÿ íà÷àëàñü íîâàÿ ýðà. Â
2000 ãîäó íåñêîëüêî ñîòåí òàêèõ ìàøèí,
ðàáîòàÿ áåç îñòàíîâêè áîëåå ãîäà, ïðî÷èòàëè äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî ðèäîâ,
÷òîáû óäàëîñü âîçìîæíî îïðåäåëèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãåíîìà ÷åëîâåêà. Ñáîðêà ýòîãî ãåíîìà ïîòðåáîâàëà íåñêîëüêèõ
ìåñÿöåâ ðàáîòû îäíèõ èç ñàìûõ ïðîèçâîäèòåëüíûõ ñóïåðêîìïüþòåðîâ òîãî âðåìåíè.
Ñëîæíîñòè ñáîðêè ôðàãìåíòîâ
ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ
ÈÇ
ÌÈËËÈÀÐÄÀ
ÊÓÑÎ×ÊÎÂ
!
Ðèñ.3. à) Ïðè âîññòàíîâëåíèè ãàçåòû ïîìîãàþò ëîãè÷åñêèå ñâÿçè ìåæäó
ñëîâàìè: õîòÿ ýòè äâà îáðûâêà è íå ïåðåñåêàþòñÿ, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî
îíè äîëæíû áûòü ðàñïîëîæåíû áëèçêî äðóã ê äðóãó, ïîòîìó ÷òî ñëîâà «murder»
(«óáèéñòâî») è «suspect» («ïîäîçðåâàåìûé») ñâÿçàíû ïî ñìûñëó.
á)  ýòîì ñëó÷àå êóñî÷êè «oz» è «zone» ñêîðåå âñåãî ÿâëÿþòñÿ ÷àñòÿìè ñëîâà
«ozone» («îçîí»), è ìîæíî ýòè äâà îáðûâêà ñêëåèòü, äàæå íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî
îíè ïåðåñåêàþòñÿ âñåãî ïî îäíîé áóêâå.  çàäà÷å ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, ãäå â
àëôàâèòå âñåãî 4 áóêâû, òàêèõ ïîäñêàçîê íå áóäåò – ïðàâèëà ýòîãî «ÿçûêà» íàì
ïîêà ïî÷òè íå èçâåñòíû.
â) Ïîâòîðÿþùèåñÿ ôðàãìåíòû óñëîæíÿþò çàäà÷ó, êàê âèäíî íà ïðèìåðå
ãîëîâîëîìêè «Triazzle», â êîòîðîé êàæäàÿ ðûáêà âñòðå÷àåòñÿ íå ìåíüøå òðåõ
ðàç.
ã) Ñåêâåíàòîðû ÄÍÊ íå èäåàëüíû: çäåñü êðàñíûé íóêëåîòèä «Ò» áûë îïðåäåëåí
íåïðàâèëüíî, è íà ñàìîì äåëå íà åãî ìåñòå äîëæåí áûòü «Ö». Îøèáêà âñåãî
â îäíîì íóêëåîòèäå ìîæåò ïðèâåñòè ê òîìó, ÷òî ìû áóäåì ñ÷èòàòü äâà ðèäà
ïåðåñåêàþùèìèñÿ, õîòÿ íà ñàìîì äåëå îíè òàêîâûìè íå ÿâëÿþòñÿ
×óòü ïîçæå ìû äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî
ðàññêàæåì î òîì, êàê ÷èòàþò ðèäû, à ïîêà
îñòàíîâèìñÿ íà âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷å
ñáîðêè ôðàãìåíòî⠖ êàê, èñïîëüçóÿ
ïîëó÷åííûå ðèäû, îïðåäåëèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âñåãî ãåíîìà.
Õîòÿ è âîññòàíîâëåíèå ãàçåòû, è ñáîðêà
ôðàãìåíòîâ ñâîäÿòñÿ ê ñêëàäûâàíèÿ ïàçëà, çàäà÷à
ñáîðêè çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå, è íå òîëüêî èç-çà ñâîåãî
ãèãàíòñêîãî ìàñøòàáà (íàïîìíèì, ÷òî íàì ìîæåò ïîòðåáîâàòüñÿ îáðàáîòàòü ìèëëèàðä ðèäîâ). Âî-ïåðâûõ,
ãàçåòà íàïèñàíà íà íåêîòîðîì ïîíÿòíîì ÿçûêå. Åãî
ïðàâèëà áóäóò ïîäñêàçûâàòü íàì, ìîãóò ëè êàêèå-òî
äâà îòðûâêà íàõîäèòüñÿ ðÿäîì, âíå çàâèñèìîñòè îò
òîãî, ïåðåêðûâàþòñÿ îíè èëè íåò (ðèñ.3,à). Â òî æå
âðåìÿ ïðàâèëà «ÿçûêà» ÄÍÊ ïî áîëüøåé ÷àñòè íåèçâåñòíû áèîëîãàì, è èñõîäÿ èç îäíîé òîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî ïîíÿòü, ìîãóò ëè
äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ðèäà ðàñïîëàãàòüñÿ áëèçêî èëè
äàëåêî äðóã îò äðóãà.
Âòîðàÿ ñëîæíîñòü ñáîðêè ôðàãìåíòîâ ñîñòîèò â òîì,
÷òî àëôàâèò ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÄÍÊ ñîñòîèò âñåãî
èç 4 áóêâ: À, Ò, Ã è Ö. Ðàáîòà ñ ìàëåíüêèì àëôàâèòîì
óñëîæíÿåò âîññòàíîâëåíèå èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîñêîëüêó áîëüøåå êîëè÷åñòâî ïåðåñå÷åíèé áóäåò
âûçâàíî ñëó÷àéíûìè ïðè÷èíàìè (ðèñ.3,á).
Â-òðåòüèõ, ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÄÍÊ ñîäåðæèò ìíîæåñòâî «êîíñåðâàòèâíûõ ó÷àñòêîâ» – íóêëåîòèäíûõ «ñëîâ», êîòîðûå ïîâòîðÿþòñÿ ìíîãî ðàç ïîäðÿä ïðàêòè÷åñêè áåç èçìåíåíèé. Íàïðèìåð, â ãåíîìå
÷åëîâåêà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàê íàçûâàåìîãî Aluïîâòîðà (äëèíîé ïðèìåðíî 300 íóêëåîòèäîâ) âñòðå÷àåòñÿ ñâûøå ìèëëèîíà ðàç, ïðè÷åì â êàæäîì âõîæäåíèè
èçìåíåíû âñåãî íåñêîëüêî íóêëåîòèäîâ. Ïîýòîìó äëÿ
êîíêðåòíîãî ôðàãìåíòà áûâàåò òðóäíî îïðåäåëèòü, â
êàêîì èìåííî êîíñåðâàòèâíîì ó÷àñòêå ãåíîìà îí íàõîäèòñÿ. Ïîäõîäÿùåé èëëþñòðàöèåé ýòîãî çàòðóäíåíèÿ
ìîæåò áûòü ïîïóëÿðíàÿ êîãäà-òî â ÑØÀ ãîëîâîëîìêà
«Triazzle». Õîòÿ ïî ñóòè ýòî îáû÷íûé ïàçë âñåãî èç 16
êóñî÷êîâ, èñõîäíîå èçîáðàæåíèå ñîäåðæèò ìíîãî îäèíàêîâûõ ôèãóðîê, ïîâòîðÿþùèõñÿ íà ìíîãèõ êóñî÷êàõ, èç-çà ÷åãî ñîáðàòü «Triazzle» ñóùåñòâåííî ñëîæíåå, ÷åì îáû÷íûé ïàçë (ðèñ.3,â)
Íàêîíåö, ñîâðåìåííûå ñåêâåíàòîðû äàëåêî íå ñîâåðøåííû, è ñ÷èòûâàåìûå èìè ðèäû ñîäåðæàò ìíîãî
îøèáîê. Ïîýòîìó, íàïðèìåð, äâà ðèäà, íàõîäèâøèåñÿ
â ãåíîìå äàëåêî äðóã îò äðóãà, ìîãóò áûòü â ðåçóëüòàòå
îøèáêè èíòåðïðåòèðîâàíû êàê ïåðåñåêàþùèåñÿ
(ðèñ.3,ã).
Òåïåðü, êîãäà ìû âûÿñíèëè, êàêèå òðóäíîñòè ñâÿçàíû ñ ïðîöåññîì ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, ìîæíî ðàññêàçàòü î ìàòåìàòè÷åñêîì àïïàðàòå, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî
ìîæíî ïîäîéòè ê çàäà÷å ñáîðêè ôðàãìåíòîâ.
Ìàòåìàòèêà ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ
Èñòîðè÷åñêèé ýêñêóðñ
Ïåðåä òåì êàê ïåðåéòè íåïîñðåäñòâåííî ê ìàòåìàòèêå, äàâàéòå íåìíîãî îòâëå÷åìñÿ, ÷òîáû ëó÷øå ïðåäñòàâèòü èñòîðè÷åñêèé êîíòåêñò. Íà÷íåì ñ XVIII âåêà è
ïðóññêîãî ãîðîäà Êåíèãñáåðãà (â íàñòîÿùåå âðåìÿ –
"
ÊÂÀÍT 2014/¹3
Êàëèíèãðàä). Êåíèãñáåðã ðàñïîëàãàëñÿ òîãäà íà äâóõ
áåðåãàõ ðåêè Ïðåãîëè è äâóõ åå îñòðîâàõ. Ýòè ÷åòûðå
÷àñòè ãîðîäà ñîåäèíÿëèñü ìåæäó ñîáîé ñåìüþ ìîñòàìè
(ðèñ.4,à). Æèòåëè Êåíèãñáåðãà ëþáèëè ïðîãóëèâàòüñÿ, è èì ñòàëî ëþáîïûòíî: ìîæíî ëè ïðîéòè ïî
êàæäîìó èç ñåìè ìîñòîâ ðîâíî îäèí ðàç è âåðíóòüñÿ
ïîñëå ýòîãî â èñõîäíóþ òî÷êó? Ýòîò âîïðîñ ñòàëè
íàçûâàòü «çàäà÷åé î Êåíèãñáåðñêèõ ìîñòàõ». Îêîí÷àòåëüíûé îòâåò íà íåãî äàë â 1735 ãîäó âåëèêèé ìàòåìàòèê Ëåîíàðä Ýéëåð (åãî ïîðòðåò ïðèâåäåí íà ðèñóíêå
14). Ðåøåíèå Ýéëåðà, êîòîðîå ìû îáñóäèì ÷óòü íèæå,
î÷åíü ëþáîïûòíî, ïîòîìó ÷òî åãî ìîæíî ïðèìåíèòü íå
òîëüêî ê ìîñòàì Êåíèãñáåðãà, íî è ê ëþáîé äðóãîé ñåòè
ìîñòîâ.
Âòîðàÿ èñòîðèÿ ñëó÷èëàñü â Äóáëèíå, ãäå â 1857 ãîäó
èðëàíäñêèé ìàòåìàòèê Óèëüÿì Ãàìèëüòîí (åãî ïîðòðåò
ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 14) èçîáðåë «Èêîñàýäðè÷åñêóþ 1
èãðó». Ýòà «èãðà», íàñëàæäàòüñÿ êîòîðîé äîâîëüíî
íåïðîñòî äàæå ïî ñîâðåìåííûì ìåðêàì, ñîñòîÿëà èç
äåðåâÿííîé äîñêè ñ 20 ëóíêàìè, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ
áûëè ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé ëèíèÿìè, è 20 ïðîíóìåðîâàííûõ ôèøåê, êîòîðûå ìîæíî áûëî âñòàâëÿòü â ýòè
ëóíêè (ðèñ.5,à). Öåëü èãðû çàêëþ÷àëàñü â ñëåäóþùåì:
êîé 1. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè áû ìû øëè ïî ëèíèÿì îò
ôèøêè ê ôèøêå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ íîìåðîâ, òî ìû
ïîáûâàëè áû ó êàæäîé ôèøêè ðîâíî îäèí ðàç è â êîíöå
âåðíóëèñü áû ê èñõîäíîé.
Ãðàôû
Çàêîí÷èâ ñ èñòîðè÷åñêèì ýêñêóðñîì, ïåðåéäåì ê
îïðåäåëåíèÿì. Íàçîâåì ãðàôîì íàáîð âåðøèí, ñîåäèíåííûõ ðåáðàìè, ãäå êàæäîå ðåáðî ñâÿçûâàåò äâå
âåðøèíû. Àáñòðàêòíîñòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ìîæåò
íåñêîëüêî îòïóãíóòü, ïîýòîìó ïîÿñíèì, ÷òî ãðàô âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê êàðòó äîðîæíîé ñåòè,
ãäå ãîðîäà – ýòî âåðøèíû, à äîðîãè, èõ ñîåäèíÿþùèå,
– ðåáðà.
Òåîðèÿ ãðàôîâ (îáëàñòü ìàòåìàòèêè, çàíèìàþùàÿñÿ
èçó÷åíèåì ãðàôîâ) ïðèìåíèìà êî ìíîãèì òèïàì çàäà÷.
Ïðèëîæåíèÿ ýòîé òåîðèè âêëþ÷àþò â ñåáÿ íå òîëüêî
äîðîæíûå è òåëåôîííûå èëè êîìïüþòåðíûå ñåòè, íî è
ìåíåå î÷åâèäíûå ïðèìåðû, òàêèå êàê èçó÷åíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèé èëè ìîäåëèðîâàíèå ññûëîê ìåæäó
web-ñòðàíèöàìè â èíòåðíåòå.
 ÷àñòíîñòè, ìû ìîæåì ïðèìåíèòü òåîðèþ ãðàôîâ è
ê äâóì íàøèì èñòîðè÷åñêèì çàäà÷àì.  çàäà÷å î
Êåíèãñáåðñêèõ ìîñòàõ ìû ïîëó÷èì
ãðàô K, åñëè ñîïîñòàâèì êàæäîé èç
÷åòûðåõ ÷àñòåé ãîðîäà ïî âåðøèíå, à
çàòåì ïðîâåäåì ìåæäó äâóìÿ òàêèìè
âåðøèíàìè ïî îäíîìó ðåáðó äëÿ êàæäîãî ìîñòà, êîòîðûé ñâÿçûâàåò äâå
ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòè ãîðîäà
(ðèñ.4,á). À äëÿ «Èêîñàýäðè÷åñêîé
èãðû» ìû ïîñòðîèì ãðàô I, ñîïîñòàâèâ
êàæäîé ëóíêå âåðøèíó è ïðåâðàòèâ
ñîåäèíÿþùèå èõ ëèíèè â ñîîòâåòñòâóþùèå ðåáðà (ðèñ.5,á).
Ðèñ.4. à) Ñòàðûé Êåíèãñáåðã, èëëþñòðàöèÿ Éîàõèìà Áåðèíãà, 1613 ã.
á) «Ãðàô ìîñòîâ Êåíèãñáåðãà», êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ñæàòü êàæäûé îñòðîâ â
òî÷êó, à ìîñòû èçîáðàçèòü ëèíèÿìè
Ðèñ.5. à) «Èêîñàýäðè÷åñêàÿ èãðà». á) Ñîîòâåòñòâóþùèé ãðàô
ðàññòàâèòü ôèøêè ïî ëóíêàì òàê, ÷òîáû ôèøêà 1 áûëà
ñîåäèíåíà íà äîñêå ëèíèåé ñ ôèøêîé 2, òà, â ñâîþ
î÷åðåäü, ñîåäèíÿëàñü ñ ôèøêîé 3, è òàê äàëåå âïëîòü
äî ôèøêè 20, êîòîðàÿ äîëæíà áûòü ñâÿçàíà ñ ôèø1 Èíòåðåñíî, ÷òî õîòü èãðà è íàçûâàåòñÿ èêîñàýäðè÷åñêîé,
â äåéñòâèòåëüíîñòè â íåé ïðèõîäèòñÿ ñîâåðøàòü îáõîä ðåáåð
äîäåêàýäðà.
Ýéëåðîâû è ãàìèëüòîíîâû öèêëû
Òåïåðü ìû îáîáùèì äâå íàøè èñòîðè÷åñêèå çàäà÷è íà âñå âîçìîæíûå
ãðàôû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó íàñ åñòü
íåêèé ãðàô, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì G,
è ïðåäñòàâèì, ÷òî íà êàêîé-òî âåðøèíå
â G ñèäèò ìóðàâåé. Òàê æå, êàê æèòåëè
Êåíèãñáåðãà, õîäèâøèå ïî ìîñòàì ìåæäó ðàçíûìè ÷àñòÿìè ãîðîäà, ìóðàâåé
ìîæåò ïîëçàòü ïî ðåáðàì îò âåðøèíû
ê âåðøèíå. Åñëè ìóðàâåé âåðíóëñÿ
òóäà, îòêóäà íà÷àë, ðåçóëüòàòîì åãî
ïðîãóëêè áóäåò öèêë íà G. Ìû çàäàäèìñÿ äâóìÿ âîïðîñàìè î öèêëàõ íà G:
1. Ñóùåñòâóåò ëè öèêë íà G, ïðè
êîòîðîì ìóðàâåé ïðîïîëçåò ïî êàæäîìó ðåáðó â òî÷íîñòè îäèí ðàç?
2. Ñóùåñòâóåò ëè öèêë íà G, ïðè êîòîðîì ìóðàâåé
ïîáûâàåò â êàæäîé âåðøèíå ðîâíî îäèí ðàç?
Ïåðâûé âîïðîñ íàçûâàåòñÿ Çàäà÷åé ýéëåðîâà öèêëà
(ÇÝÖ) – çàìåòüòå, ÷òî ðåøåíèå ÇÝÖ â òîì ñëó÷àå,
êîãäà íàøèì ãðàôîì ÿâëÿåòñÿ K, ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ çàäà÷è î Êåíèãñáåðñêèõ ìîñòàõ. Ïîýòîìó ìû
îïðåäåëèì ýéëåðîâ öèêë íà ãðàôå G êàê öèêë íà G,
ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß
ÃÅÍÎÌÀ:
ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ
êîòîðûé ïðîõîäèò ïî êàæäîìó ðåáðó â G ðîâíî îäèí
ðàç.
Âòîðîé âîïðîñ íàçûâàåòñÿ Çàäà÷åé ãàìèëüòîíîâà
öèêëà (ÇÃÖ), ïîòîìó ÷òî âûèãðûø â ãàìèëüòîíîâîé
«Èêîñàýäðè÷åñêîé èãðå» áóäåò ïî ñóòè ðåøåíèåì ÇÃÖ
äëÿ ãðàôà I (ðèñ.6). Àíàëîãè÷íî, ãàìèëüòîíîâ öèêë
â ãðàôå G – ýòî öèêë íà G,
êîòîðûé ïðîõîäèò ÷åðåç
êàæäóþ âåðøèíó îäèí è
òîëüêî îäèí ðàç.
Íàêîíåö ìû îïðåäåëèì
ñâÿçíûé ãðàô êàê òàêîé, â
êîòîðîì ìóðàâåé, íà÷àâ
äâèæåíèå íà ïðîèçâîëüíîé
âåðøèíå, ìîæåò äîñòèãíóòü
Ðèñ.6. Ïðèìåð ãàìèëüòîíîâà
ëþáîé äðóãîé âåðøèíû ïî
öèêëà â «Èêîñàýäðè÷åñêîé
ðåáðàì ãðàôà. Äëÿ íàøèõ
èãðå»
öåëåé èìååò ñìûñë èçó÷àòü
ÇÝÖ è ÇÃÖ òîëüêî äëÿ ñâÿçíûõ ãðàôîâ. Âåäü ãðàô, íå
ÿâëÿþùèéñÿ ñâÿçíûì, àâòîìàòè÷åñêè íå ñîäåðæèò íè
ýéëåðîâà, íè ãàìèëüòîíîâà öèêëà. Ïîýòîìó â ýòîì
ðàçäåëå êàæäûé ãðàô áóäåò ïîäðàçóìåâàòüñÿ ñâÿçíûì.
Òåîðåìà Ýéëåðà
ÈÇ
ÌÈËËÈÀÐÄÀ
ÊÓÑÎ×ÊÎÂ
#
Êàê ïîíèìàòü òî, ÷òî äâà óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû? Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè îäíî óòâåðæäåíèå âåðíî, òî
è äðóãîå îáÿçàòåëüíî òîæå âåðíî, è íàîáîðîò. Ðàâíîñèëüíîñòü óòâåðæäåíèé î ñòåïåíÿõ âåðøèí è ñóùåñòâîâàíèè ýéëåðîâà öèêëà ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ìîùíûì
ðåçóëüòàòîì, ïîòîìó ÷òî ñ åãî ïîìîùüþ äëÿ ëþáîãî
ãðàôà G ìû ñìîæåì îïðåäåëèòü, åñòü ëè ó G ýéëåðîâ
öèêë, íå ïåðåáèðàÿ âñå öèêëû. Âìåñòî ýòîãî äîñòàòî÷íî áóäåò ïðîâåðèòü ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû, à
ýòî äîâîëüíî ëåãêàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ çàäà÷à äàæå äëÿ
áîëüøîãî ãðàôà.
Çàìåòèì, ÷òî ïðèìåíåíèå òåîðåìû Ýéëåðà íåìåäëåííî äàåò ðåøåíèå çàäà÷è î Êåíèãáåðñêèõ ìîñòàõ. Ìû
óæå ïîêàçàëè âûøå, ÷òî íå ó êàæäîé âåðøèíû K ÷åòíàÿ
ñòåïåíü. Ïîýòîìó K íå ñîäåðæèò ýéëåðîâà öèêëà, è
ìàðøðóò, î êîòîðîì ìå÷òàëè ãðàæäàíå Êåíèãñáåðãà, íå
ñóùåñòâóåò.
Ñ XVII âåêà â ïëàíèðîâêå Êåíèãñáåðãà ìíîãîå èçìåíèëîñü, íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî àíàëîãè÷íûé ãðàô, íàðèñîâàííûé äëÿ ñîâðåìåííîãî ãîðîäà Êàëèíèíãðàäà,
òîæå íå ñîäåðæèò ýéëåðîâà öèêëà (ðèñ.7); îäíàêî,
òåïåðü â ýòîì ãðàôå åñòü ýéëåðîâ ïóòü, ÷òî îçíà÷àåò,
÷òî îáèòàòåëü Êàëèíèíãðàäà ìîæåò ïðîéòèñü ïî êàæäîìó ìîñòó â òî÷íîñòè îäèí ðàç, íî íå ìîæåò ïðè ýòîì
âåðíóòüñÿ òóäà, îòêóäà íà÷àë. Òàêèì îáðàçîì, æèòåëè
Êàëèíèíãðàäà íàêîíåö-òî äîñòèãëè, ïî êðàéíåé ìåðå,
÷àñòè÷íî, öåëè æèòåëåé Êåíèãñáåðãà. Ïðàâäà, ñåé÷àñ
Ïåðåõîä îò êîíêðåòíûõ èñòîðè÷åñêèõ ïðèìåðîâ ê
îáùèì âîïðîñàì î ïðîèçâîëüíûõ ãðàôàõ î÷åíü ïîìîæåò íàì â äàëüíåéøåì èçëîæåíèè. Õîòÿ
ÇÝÖ è ÇÃÖ íà ïåðâûé âçãëÿä êàæóòñÿ
ïîõîæèìè, ñïåöèàëèñòû â îáëàñòè òåîðèè
àëãîðèòìîâ âñêîðå îáíàðóæèëè, ÷òî ó íèõ
ñîâåðøåííî ðàçíûå àëãîðèòìè÷åñêèå ñâîéñòâà: ÇÝÖ ìîæåò áûòü áûñòðî ðåøåíà
äàæå äëÿ îãðîìíûõ ãðàôîâ, â òî âðåìÿ
êàê ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ
ÇÃÖ äëÿ áîëüøèõ ãðàôîâ îñòàåòñÿ íåèçâåñòíûì è, ìîæåò áûòü, âîâñå íå ñóùåñòâóåò.
Äëÿ íà÷àëà ìû îáñóäèì ÇÝÖ. Êàê ìû
óæå óïîìèíàëè, ðåøåíèå çàäà÷è î Êåíèãáåðñêèõ ìîñòàõ îáîáùàåòñÿ íà ïðîèçâîëüíóþ ñåòü èç ìîñòîâ. Ïîä ýòèì ìû èìåëè â
Ðèñ.7. à) Ñïóòíèêîâàÿ ôîòîãðàôèÿ ñîâðåìåííîãî Êàëèíèíãðàäà; ìîñòû
âèäó, ÷òî ðåøåíèå Ýéëåðà ñîäåðæèò ïðîâûäåëåíû ãîëóáûì öâåòîì.
ñòîå óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè ÇÝÖ äëÿ ïðîá) «Ãðàô ìîñòîâ Êàëèíèíãðàäà». Ëþáîïûòíûé âîïðîñ: ãäå íóæíî ïîñòðîèòü
èçâîëüíîãî ãðàôà.
íîâûå ìîñòû, ÷òîáû â ïîëó÷èâøåìñÿ ãðàôå áûë ýéëåðîâ öèêë?
Ïåðåä òåì êàê èçëîæèòü ðåçóëüòàò Ýéëåðà, íàì ïîíàäîáèòñÿ îäíî îïðåäåëåíèå.
ïðîãóëèâàòüñÿ ïî Êàëèíèíãðàäó äàëåêî íå òàê ïðèÿòÍàçîâåì ñòåïåíüþ âåðøèíû v ãðàôà G ÷èñëî ðåáåð,
íî, êàê ýòî áûëî â 1735, ïîñêîëüêó ñòàðûé Êåíèãñáåðã
ñîåäèíÿþùèõ v ñ äðóãèìè âåðøèíàìè G. Íàïðèìåð,
áûë ñèëüíî ðàçðóøåí àíãëèéñêîé áîìáàðäèðîâêîé â
äëÿ Êåíèãñáåðñêîãî ãðàôà K íà ðèñóíêå 4,á âåðõíÿÿ,
1944 è ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ïåðåñòðîåí.
íèæíÿÿ è ïðàâàÿ âåðøèíû èìåþò ñòåïåíü 3, à ó ëåâîé
âåðøèíû, îáîçíà÷àþùåé îñíîâíîé îñòðîâ ÊåíèãñáåðÒåîðåìà Ýéëåðà äëÿ îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ
ãà, ñòåïåíü ðàâíà 5. Òàêèì îáðàçîì, ñòåïåíü âåðøèíû
v ãðàôà K ðàâíà ÷èñëó ìîñòîâ ñîåäèíÿþùèõ ñîîòâåò×òîáû ïðèìåíèòü òåîðåìó Ýéëåðà äëÿ íàøåé çàäà÷è
ñòâóþùóþ ýòîé âåðøèíå ÷àñòü ãîðîäà ñ äðóãèìè ðàéîñáîðêè ôðàãìåíòîâ, íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåãêà èçìåíèòü
íàìè.
åå óòâåðæäåíèå. Âíà÷àëå ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó íàñ åñòü
Ïåðâàÿ òåîðåìà Ýéëåðà. Íàëè÷èå ó ãðàôà G ýéëåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô, ò.å. ãðàô, â êîòîðîì ó êàæäîãî
ðîâà öèêëà ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ñòåïåíü êàæäîé
ðåáðà çàäàíî íàïðàâëåíèå: ðåáðî, âûõîäÿùåå èç v ê w,
âåðøèíû ãðàôà G ÷åòíà (íàïîìíèì, ÷òî ãðàô ïðåäïîîòëè÷àåòñÿ îò ðåáðà, âûõîäÿùåãî èç w ê v. Ìîæíî
ëàãàåòñÿ ñâÿçíûì).
ïðåäñòàâëÿòü ñåáå îðèåíòèðîâàííûé ãðàô êàê ñõåìó
$
ÊÂÀÍT 2014/¹3
óëèö ñ îäíîñòîðîííèì äâèæåíèåì; òîãäà íàø èñõîäíûé
íåîðèåíòèðîâàííûé ãðàô áóäåò ñõåìîé óëèö ñ äâóñòîðîííèì äâèæåíèåì. Ñîîòâåòñòâåííî, ýéëåðîâ öèêë â
îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G – ýòî ïðîñòî ýéëåðîâ öèêë,
êîòîðûé ïðîõîäèò ïî óëèöàì â ïðàâèëüíîì íàïðàâëåíèè. Ãàìèëüòîíîâ öèêë â G îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî
(ðèñ.8).
Ðèñ.8. à) Ïðîñòîé ïðèìåð îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà. Ñòðåëêè
îïðåäåëÿþò îðèåíòàöèþ íà ðåáðàõ.
á) Ïðèìåð ýéëåðîâà öèêëà â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå; ðåáðà
ïðîíóìåðîâàíû â ïîðÿäêå èõ îáõîäà ïî öèêëó.
â) Ïðèìåð ãàìèëüòîíîâà öèêëà (âûäåëåí êðàñíûì) â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå
Äëÿ êàæäîé âåðøèíû v â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå G
îïðåäåëèì âõîäÿùóþ ñòåïåíü âåðøèíû v êàê ÷èñëî
ðåáåð, âõîäÿùèõ â v, à èñõîäÿùóþ ñòåïåíü v êàê ÷èñëî
ðåáåð, âûõîäÿùèõ èç v. Òåïåðü ìû ãîòîâû ñôîðìóëèðîâàòü ðåçóëüòàò Ýéëåðà ïðèìåíèòåëüíî ê îðèåíòèðîâàííûì ãðàôàì.
Âòîðàÿ òåîðåìà Ýéëåðà. Íàëè÷èå ó îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà G ýéëåðîâà öèêëà ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî
ó êàæäîé âåðøèíû G ðàâíû âõîäÿùàÿ è èñõîäÿùàÿ
ñòåïåíè (íàïîìíèì, ÷òî ãðàô ïðåäïîëàãàåòñÿ ñâÿçíûì).
Äîêàçàòåëüñòâî âòîðîé òåîðåìû Ýéëåðà ïðèâåäåíî
â êîíöå ýòîé ñòàòüè âìåñòå ñ îáñóæäåíèåì òîãî, êàê
ìîæíî íàéòè ýéëåðîâ öèêë äîñòàòî÷íî «áûñòðî» â
ñìûñëå òåîðèè êîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé. Îñíîâíàÿ
èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî íàì íå íàäî ïðîâåðÿòü ïî
î÷åðåäè âñå âîçìîæíûå öèêëû â îðèåíòèðîâàííîì
ãðàôå G äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîíÿòü, ñîäåðæèò ëè G
ýéëåðîâ öèêë. Äîñòàòî÷íî ëèøü ïîñ÷èòàòü âõîäÿùèå
è èñõîäÿùèå ñòåïåíè âñåõ âåðøèí: åñëè ó êàæäîé
âåðøèíû âõîäÿùàÿ è èñõîäÿùàÿ ñòåïåíè ñîâïàäàþò,
òî ýéëåðîâ öèêë ìîæíî ëåãêî ïîñòðîèòü; åñëè æå åñòü
õîòü îäíà âåðøèíà, ó êîòîðîé âõîäÿùàÿ è èñõîäÿùàÿ
ñòåïåíè ðàçëè÷íû, òî ïðîâåñòè ýéëåðîâ öèêë íåâîçìîæíî.
Ðåøàåìûå è íåðåøàåìûå çàäà÷è
Âäîõíîâëåííûå òåîðåìîé Ýéëåðà, ìû ìîæåì çàäàòüñÿ âîïðîñîì, ñóùåñòâóåò ëè ïîäîáíûé ïðîñòîé
ðåçóëüòàò äëÿ ðåøåíèÿ ÇÃÖ. Íî íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî
âûèãðàòü â «Èêîñàýäðè÷åñêóþ èãðó» íå òàê óæ ñëîæíî, ðåøåíèå ÇÃÖ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ãðàôà îñòàåòñÿ
íåèçâåñòíûì.
Ãëàâíàÿ òðóäíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî åñëè äëÿ
ðåøåíèÿ ÇÝÖ ó íàñ åñòü òåîðåìà Ýéëåðà, òî äëÿ ÇÃÖ
àíàëîãè÷íîå ïðîñòîå óñëîâèå íåèçâåñòíî. Êîíå÷íî,
âû âñåãäà ìîæåòå çàäåéñòâîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ ÇÃÖ
ìåòîä «ãðóáîé ñèëû», ò.å. çàïðîãðàììèðîâàòü êîìïüþòåð ïåðåáèðàòü âñå ïóòè ïî ãðàôó è ñîîáùàòü, êàê
òîëüêî îí íàéäåò ãàìèëüòîíîâ öèêë. Ïîíÿòü ýòîò
ìåòîä äîâîëüíî ëåãêî, íî ïðåäñòàâüòå ñåáå îãðîìíûé
ãðàô, â êîòîðîì íåò ãàìèëüòîíîâà öèêëà. Äëÿ ýòîãî
ãðàôà êîìïüþòåðó ïðèäåòñÿ ïðîâåðèòü êàæäûé ïóòü
ïî íåìó, ïåðåä òåì êàê ñîîáùèòü âàì, ÷òî ãàìèëüòîíîâà ïóòè íå ñóùåñòâóåò. Êàòàñòðîôè÷åñêèé íåäîñòàòîê ýòîãî ìåòîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ñðåäíåì ãðàôå
âñåãî ëèøü èç òûñÿ÷è âåðøèí ðàçíûõ ïóòåé ñóùåñòâóåò áîëüøå, ÷åì àòîìîâ âî âñåëåííîé!
ÇÃÖ áûëà îäíîé èç ïåðâûõ àëãîðèòìè÷åñêèõ çàäà÷,
êîòîðóþ íå óäàëîñü ðåøèòü äàæå ñàìûì áëåñòÿùèì
ó÷åíûì. Ïîñëå ìíîãèõ ëåò áåñïëîäíûõ óñèëèé ñïåöèàëèñòû â îáëàñòè computer science íà÷àëè çàäóìûâàòüñÿ, ÿâëÿåòñÿ ëè ÇÃÖ ýôôåêòèâíî ðàçðåøèìîé.
Äðóãèìè ñëîâàìè, íå ìîæåò ëè îêàçàòüñÿ òàê, ÷òî èõ
íåóäà÷è â ïîèñêàõ áûñòðîãî àëãîðèòìà âûçâàíû íå
íåäîñòàòêîì ñîîáðàçèòåëüíîñòè, à òåì, ÷òî ýôôåêòèâíîãî àëãîðèòìà äëÿ ðåøåíèÿ ÇÃÖ ïðîñòî íå ñóùåñòâóåò. Áîëåå òîãî, â 1970-õ ãîäàõ ó÷åíûå-êîìïüþòåðùèêè îáíàðóæèëè åùå òûñÿ÷è ðàçíûõ àëãîðèòìè÷åñêèõ çàäà÷ ñ òîé æå ñóäüáîé, êàê ó ÇÃÖ: íåñìîòðÿ
íà òî, ÷òî îíè ÷ðåçâû÷àéíî ïðîñòî âûãëÿäÿò, íèêòî
íå ñìîã ïðèäóìàòü äëÿ íèõ ýôôåêòèâíîãî ðåøåíèÿ.
ÇÃÖ âìåñòå ñî ìíîãèìè èç ýòèõ çàäà÷ òåïåðü íàçûâàþò «NP-ïîëíûìè»2 çàäà÷àìè.
Åùå áîëüøå óñèëèë ðàçî÷àðîâàíèå, âûçâàííîå íåóäà÷åé âñåõ ïîïûòîê íàéòè ïðîñòîå óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè ÇÃÖ, òàêîé ôàêò: õîòÿ âñå NP-ïîëíûå çàäà÷è
ðàçëè÷íû, îêàçûâàåòñÿ, îíè âñå ýêâèâàëåíòíû äðóã
äðóãó – åñëè íàéòè áûñòðûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ îäíîé òàêîé çàäà÷è, òî èç íåãî àâòîìàòè÷åñêè ïîëó÷èòñÿ áûñòðûé àëãîðèòì äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ! Çàäà÷à
ýôôåêòèâíîãî ðåøåíèÿ NP-ïîëíûõ çàäà÷ (èëè îêîí÷àòåëüíîãî äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî òàêîãî ðåøåíèÿ
íå ñóùåñòâóåò) íàñòîëüêî ôóíäàìåíòàëüíà äëÿ
computer science è ìàòåìàòèêè, ÷òî îíà âîøëà â ñïèñîê «Çàäà÷ Òûñÿ÷åëåòèÿ» îò Ìàòåìàòè÷åñêîãî Èíñòèòóòà Êëýÿ, îïóáëèêîâàííûé â 2000 ãîäó: íàéäèòå
ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì äëÿ êàêîé-íèáóäü NP-ïîëíîé
çàäà÷è èëè äîêàæèòå, ÷òî åãî íåò, è èíñòèòóò âðó÷èò
âàì ïðèç â ðàçìåðå ìèëëèîíà äîëëàðîâ.
Ñ ýòîãî ìîìåíòà ìû áóäåì íàçûâàòü ÇÝÖ «ïðîñòîé»,
à ÇÃÖ – «ñëîæíîé». Íå çàáûâàéòå îá ýòîì ðàçëè÷èè,
ïîñêîëüêó â ñêîðîì âðåìåíè îíî ñòàíåò êðèòè÷íûì.
2
NP – îò ñëîâ non-deterministic polynomial (àíãë.).
ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß
ÃÅÍÎÌÀ:
ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ
Îò Ýéëåðà è Ãàìèëüòîíà ê ñáîðêå ãåíîìà
Ñáîðêà ãåíîìà êàê çàäà÷à
ïîèñêà ãàìèëüòîíîâà öèêëà
Âîîðóæåííûå íåîáõîäèìîé ìàòåìàòèêîé, âåðíåìñÿ ê
ñáîðêå ôðàãìåíòîâ. Ïðåäïîëîæèì, ìû ïðî÷èòàëè âñå
íàøè ðèäû. Ñäåëàåì òåïåðü ÷åòûðå äîïóùåíèÿ, ÷òîáû
óïðîñòèòü èçëîæåíèå:
1. Ìû ðåêîíñòðóèðóåì êîëüöåâîé ãåíîì 3 .
2. Âñå ðèäû èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó l (áóäåì òàêæå
íàçûâàòü èõ l-ìåðàìè).
3. Âñå âîçìîæíûå ïîäñòðîêè äëèíû l, âñòðå÷àþùèåñÿ
â íàøåì ãåíîìå, áûëè ïðî÷èòàíû êàê ðèäû.
4. Ðèäû áûëè ïðî÷èòàíû áåç êàêèõ-ëèáî îøèáîê.
Íà ñàìîì äåëå ìîæíî îáîéòèñü è áåç ýòèõ óïðîùåíèé, íî òîãäà ïðèäåòñÿ îáñóæäàòü ñëèøêîì ìíîãî
òåõíè÷åñêèõ ìîìåíòîâ.
Íà çàðå ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ áûëà ïðåäëîæåíà
ñëåäóþùàÿ èäåÿ ñáîðêè ôðàãìåíòîâ. Ïîñòðîèì ãðàô
G, îáðàçîâàâ âåðøèíó äëÿ êàæäîãî ðèäà (l-ìåðà);
ñîåäèíèì l-ìåð R1 ñ l-ìåðîì R2 îðèåíòèðîâàííûì
ðåáðîì, åñëè ñòðîêà, îáðàçîâàííàÿ ïîñëåäíèìè l – 1
ñèìâîëàìè R1 (íàçûâàåìàÿ ñóôôèêñîì R1 ) ñîâïàäàåò
ñî ñòðîêîé îáðàçîâàííîé ïåðâûìè l – 1 ñèìâîëàìè R2
(íàçûâàåìîé ïðåôèêñîì R2 ). Íàïðèìåð, â ñëó÷àå l =
= 5 ìû ñîåäèíèì ÃÃÖÀÒ ñ ÃÖÀÒÖ îðèåíòèðîâàííûì
ðåáðîì, íî íå íàîáîðîò. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà G
ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 9,à.
Òåïåðü ðàññìîòðèì öèêë â G. Îí íà÷èíàåòñÿ ñ l-ìåðà
R1 è çàòåì ïî îðèåíòèðîâàííîìó ðåáðó ïåðåõîäèò ê
äðóãîìó l-ìåðó R2 ; áóäåì ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ïåðåõîä
ïî ýòîìó ðåáðó êàê òî, ÷òî ìû íà÷àëè ñ R1 è,
ïðèñîåäèíèâ ê íåìó åäèíñòâåííûé íîâûé ñèìâîë èç
R2 , îáðàçîâàëè ñòðîêó S äëèíû l + 1.  ñëó÷àå
ïðèâåäåííîãî âûøå ïðèìåðà, ïåðåéäÿ îò ÃÃÖÀÒ ê
ÃÖÀÒÖ, ìû ïîëó÷èì ñòðîêó ÃÃÖÀÒÖ. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ïåðâûå l ñèìâîëîâ ñòðîêè S îáðàçóþò R1 , à
ÈÇ
ÌÈËËÈÀÐÄÀ
ÊÓÑÎ×ÊÎÂ
%
åì ê S îäèí íîâûé ñèìâîë; ïðè ýòîì ïîñëåäíèå l
ñèìâîëîâ íàøåé ñòðîêè îáðàçóþò ðèä òåêóùåé âåðøèíû.  êîíöå öèêëà íàøà (öèêëè÷åñêàÿ) ñòðîêà S áóäåò
ñîäåðæàòü âñå l-ìåðû, ïî êîòîðûì ìû ïðîøëè ïî
äîðîãå. Ïðîäîëæàÿ ýòó ìûñëü, êàæäûé ãàìèëüòîíîâ
öèêë â G, êîòîðûé ïðîõîäèò ÷åðåç âñå âåðøèíû G,
äîëæåí ñîîòâåòñòâîâàòü ñòðîêå íóêëåîòèäîâ, êîòîðàÿ
ñîäåðæèò êàæäûé èç íàøèõ l-ìåðîâ. Äàëåå, òàê êàê
êàæäàÿ ïîäñòðîêà èç S äëèíû l ñîîòâåòñòâóåò êàêîìóòî l-ìåðó, òî S èìååò ìèíèìàëüíóþ âîçìîæíóþ äëèíó
è ÿâëÿåòñÿ êàíäèäàòîì äëÿ èñêîìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÄÍÊ (ðèñ.9,á).
Íåäîñòàòîê ýòîãî äîâîëüíî ýëåãàíòíîãî ìåòîäà â òîì,
÷òî îí îñíîâûâàåòñÿ íà ðåøåíèè ÇÃÖ è ïîòîìó íà
ïðàêòèêå íå ïðèãîäåí, êðîìå ñëó÷àåâ, êîãäà íàø ãðàô
G íåâåëèê. Ñòàëî áûòü, ýòîò ìåòîä íå ïîäõîäèò äëÿ
ãðàôîâ, ïîëó÷åííûõ èç ãåíîìîâ, êîòîðûå ìîãóò ñîäåðæàòü ìèëëèàðäû âåðøèí.
Ñáîðêà ãåíîìà êàê çàäà÷à
ïîèñêà ýéëåðîâà öèêëà
Íî íå âñå åùå ïîòåðÿíî. Äàâàéòå ïîñòóïèì äîâîëüíî
íåîæèäàííûì îáðàçîì è âìåñòî âåðøèíû ñîïîñòàâèì
êàæäîìó ðèäó ðåáðî. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïðåôèêñû
è ñóôôèêñû âñåõ ðèäîâ. Çàìåòèì, ÷òî ó ðàçíûõ ðèäîâ
ìîãóò áûòü îáùèå ñóôôèêñû è ïðåôèêñû; íàïðèìåð ó
ðèäîâ ÖÀÃÖ è ÖÀÃÒ äëèíû 4 åñòü îáùèé ïðåôèêñ ÖÀÃ.
Ïîñòðîèì ãðàô E, ãäå âåðøèíû ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûì ïðåôèêñàì è ñóôôèêñàì; ñîåäèíèì (l – 1)-ìåð A
ñ (l – 1)-ìåðîì B îðèåíòèðîâàííûì ðåáðîì, åñëè åñòü
ðèä, ÷üèì ïðåôèêñîì ÿâëÿåòñÿ A, è ÷üèì ñóôôèêñîì
ÿâëÿåòñÿ B. Íà ðèñóíêå 10 ïðèâåäåí ýòîò ãðàô äëÿ òîãî
æå íàáîðà ðèäîâ, ÷òî è íà ðèñóíêå 9.
Ðåøàþùèé âîïðîñ: ÷åìó ñîîòâåòñòâóåò öèêë â E?
Ñíîâà ïðåäñòàâüòå ñåáå, ÷òî âû ìóðàâåé, âûïîëçàþùèé
èç êàêîé-òî âåðøèíû â E ïî îðèåíòèðîâàííîìó ðåáðó
â äðóãóþ âåðøèíó, äâèãàÿñü ïî íàïðàâëåíèþ ñòðåëîê.
Êàê è â ñëó÷àå ñ G, ñîñòàâëÿåì ïî äîðîãå
ñòðîêó S, çàïèñûâàÿ ïîñëåäíèé ñèìâîë èç
âòîðîé âåðøèíû ïîñëå òåõ, êîòîðûå áûëè
íàïèñàíû â ïåðâîé.
Ïîíÿòíî, ÷òî ñíà÷àëà S áóäåò ïðîñòî ðèäîì,
ñîîòâåòñòâóþùèì ðåáðó ìåæäó ïåðâûìè äâóìÿ âåðøèíàìè. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî íà
ðèñóíêå 10 ìû ïîìåòèëè êàæäîå ðåáðî ñîîòâåòñòâóþùèì 3-ìåðîì.
Áóäåì ïîâòîðÿòü ýòîò ïðîöåññ ïî ìåðå òîãî,
êàê ìóðàâåé ïîëçåò ïî E. Ñ êàæäûì íîâûì
ðåáðîì ìû äîáàâëÿåì åùå îäèí íóêëåîòèä ê
ñòðîêå S è, òàêèì îáðàçîì, óçíàåì åùå îäèí
ðèä. Ïîýòîìó ýéëåðîâ öèêë íà E áóäåò ïîðîæÐèñ.9. à) Ãðàô H äëÿ íàáîðà 3-ìåðîâ ÀÒÃ, ÖÃÒ, ÃÃÖ, ÀÀÒ, ÃÒÃ, ÒÃÃ, ÒÃÖ, ÖÀÀ,
äàòü (öèêëè÷åñêóþ) ñòðîêó S, êîòîðàÿ ñîäåðÃÖÀ è ÃÖÃ
æèò
âñå íàøè ðèäû, ïîýòîìó S áóäåò êàíäèá) Ãàìèëüòîíîâ ïóòü â H. Êàêàÿ öèêëè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóêâ
äàòîì
äëÿ èñêîìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÄÍÊ.
ñîîòâåòñòâóåò ýòîìó öèêëó?
Íî òåïåðü, â îòëè÷èå îò òîãî, ÷òî áûëî ñ
ãðàôîì G, ó íàñ íåò âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðóäíåíèé:
ïîñëåäíèå l ñèìâîëîâ ñòðîêè S îáðàçóþò R2 . Â êàæäîé
ÇÝÖ ëåãêî ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ýéëåðà.
íîâîé âåðøèíå, â êîòîðóþ ìû ïîïàäàåì, ìû äîïèñûâàÒàêèì îáðàçîì, ìû ñâåëè ñáîðêó ôðàãìåíòîâ ê ëåãêî
ðåøàåìîé âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷å – åñëè, êîíå÷íî, â
3 Ó áàêòåðèé îáû÷íî òàê îíî è åñòü.
ãðàôå E âîîáùå åñòü ýéëåðîâ öèêë!
&
ÊÂÀÍT 2014/¹3
Âñå ãðàôû äå Áð¸éíà îáëàäàþò âàæíûì ñâîéñòâîì:
êàæäûé èç íèõ ñîäåðæèò ýéëåðîâ öèêë. Íàïðèìåð, íà
ðèñóíêå 12 ìîæíî âèäåòü, ÷òî ó êàæäîé âåðøèíû
B (2, 4 ) åñòü äâà âõîäÿùèõ è äâà âûõîäÿùèõ ðåáðà, èç
Ðèñ.10. Ãðàô E äëÿ òîãî æå íàáîðà ðèäîâ, ÷òî è íà ðèñóíêå
9. Ìîæåòå ëè âû íàéòè ýéëåðîâ öèêë â ýòîì ãðàôå? Êàêàÿ
öèêëè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóêâ ñîîòâåòñòâóåò ýòîìó
öèêëó?
Íà ñàìîì äåëå, ýòîò ìåòîä íóæäàåòñÿ â óòî÷íåíèè –
ïîãîâîðèì îá ýòîì ïîñëå íåáîëüøîãî îòñòóïëåíèÿ.
Îòñòóïëåíèå – ãðàôû äå Áð¸éíà
 1946 ãîäó ãîëëàíäñêèé ìàòåìàòèê Íèêîëàñ äå
Áð¸éí (åãî ïîðòðåò ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 14,â) çàèíòåðåñîâàëñÿ çàäà÷åé ïîñòðîåíèÿ êîëüöåâîé ñòðîêè ìèíèìàëüíîé äëèíû, ñîäåðæàùåé â êà÷åñòâå ïîäñòðîê âñå
âîçìîæíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç l äâîè÷íûõ öèôð.
Íàïðèìåð, çàêîëüöîâàííàÿ ñòðîêà 00011101 ñîäåðæèò
âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç 3 äâîè÷íûõ öèôð: 000, 001,
010, 011, 100, 101, 110 è 111. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî
00011101 – ýòî êðàò÷àéøàÿ òàêàÿ ñòðîêà, ïîòîìó ÷òî â
íåé íå ñîäåðæèòñÿ íèêàêèõ «ëèøíèõ» öèôð, ò.å.
êàæäàÿ ïîäñòðîêà äëèíû 3 ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì
âõîæäåíèåì îäíîãî èç
ïðèâåäåííûõ âûøå äâîè÷íûõ ÷èñåë (ðèñ.11).
Äå Áð¸éí èññëåäîâàë
êîíêðåòíûé êëàññ ãðàôîâ,
îïðåäåëåííûé ñëåäóþùèì
îáðàçîì. Ðàññìîòðèì àëôàâèò èç n áóêâ è ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî l. Âûïèøåì âñå nl −1 âîçìîæíûõ
ñëîâ äëèíû l – 1, ãäå ñëîâî
äëèíû l – 1 – ýòî ïðîñòî
Ðèñ.11. Ïîèñê ìèíèìàëüíîé ñòðîêà èç l – 1 ñèìâîëîâ
êîëüöåâîé ñòðîêè, ñîäåðæà- íàøåãî àëôàâèòà. Äå
ùåé â êà÷åñòâå ïîäñòðîê âñå Áð¸éí ïîñòðîèë ãðàô
B (n, l ) (íûíå íàçûâàåìûé
âîçìîæíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàäàííîé äëèíû. Çäåñü ãðàôîì äå Áð¸éíà), â êîïîêàçàíà äâîè÷íàÿ ñòðîêà òîðîì âåðøèíàì ñîîòâåò00011101 è âûäåëåíû âõîæ- ñòâóþò âñå nl −1 âîçìîæäåíèÿ â íåå ïîñëåäîâàòåëü- íûõ ñëîâ äëèíû l – 1;
íîñòåé 000 è 110. Çàìåòèì,
îðèåíòèðîâàííîå ðåáðî ñî÷òî â ýòó ñòðîêó âõîäÿò âñå
åäèíÿåò ñëîâà w1 è w2 ,
äâîè÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç òðåõ öèôð áåç ïîâòî- åñëè ñóùåñòâóåò l-áóêâåíðîâ, ïîýòîìó ñòðîêà 00011101 íîå ñëîâî W, äëÿ êîòîðîãî
w1 ÿâëÿåòñÿ ïðåôèêñîì, à
èìååò ìèíèìàëüíóþ âîçw2 – ñóôôèêñîì (ðèñ.12).
ìîæíóþ äëèíó
Ðèñ.12. Ãðàô äå Áð¸éíà B(2, 4) ñ «àëôàâèòîì» èç äâóõ
ñèìâîëî⠖ öèôð 0 è 1. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî èç òåîðåìû
Ýéëåðà ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ãðàôå åñòü ýéëåðîâ öèêë (ýòîò
öèêë ïîêàçàí íà ðèñóíêå 19)
÷åãî ñëåäóåò, ÷òî ó ýòîãî ãðàôà åñòü ýéëåðîâ öèêë.
×òîáû ïîíÿòü, ïî÷åìó ýòî âåðíî äëÿ âñåõ ãðàôîâ äå
Áð¸éíà B (n, l ) , ðàññìîòðèì âåðøèíó w, ñîîòâåòñòâóþùóþ ñëîâó äëèíû l – 1. Ñóùåñòâóåò n ñëîâ äëèíû l
ñ ïðåôèêñîì w (êàæäîå òàêîå ñëîâî ïîëó÷àåòñÿ äîáàâëåíèåì îäíîé èç n áóêâ â êîíåö w), è ïîýòîìó èñõîäÿùàÿ ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû â B (n, l ) ðàâíà n.
Ïîõîæèì îáðàçîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò n
ñëîâ äëèíû l ñ ñóôôèêñîì w (êàæäîå òàêîå ñëîâî
ïîëó÷àåòñÿ ïðèïèñûâàíèåì îäíîé èç n áóêâ ê íà÷àëó
w), è ïîýòîìó âõîäÿùàÿ ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû â
B (n, l ) òîæå ðàâíà n. Ñòàëî áûòü, ó êàæäîé âåðøèíû
â B (n, l ) èñõîäÿùàÿ è âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ðàâíû n, è
òîãäà èç òåîðåìû Ýéëåðà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ó B (n, l )
äîëæåí áûòü ýéëåðîâ öèêë.
Ñâÿçü ñ íàøåé áèîëîãè÷åñêîé çàäà÷åé ñòàíåò ÿñíîé
òîãäà, êîãäà ìû çàìåòèì, ÷òî ãðàô E ñîäåðæèòñÿ â
ãðàôå äå Áð¸éíà B (4, l ) .  ñàìîì äåëå: âåðøèíàìè E
ÿâëÿþòñÿ âñå (l – 1)-ìåðû âñòðå÷àþùèåñÿ â âèäå ïðåôèêñîâ èëè ñóôôèêñîâ íàøèõ ðèäîâ, à âåðøèíû
B (4, l ) – ýòî âñå âîçìîæíûå (l – 1)-ìåðû.
Êîïèéíîñòü ðèäîâ è äðóãèå óñëîæíåíèÿ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàøåãî ãåíîìà – ÀÒÃÖÀÒÃÖ. Òîãäà ìû ïîëó÷èì 4 ðèäà äëèíû 3:
ÀÒÃ, ÒÃÖ, ÃÖÀ è ÖÀÒ, èç êîòîðûõ, ê ñîæàëåíèþ,
ìîæíî îøèáî÷íî ðåêîíñòðóèðîâàòü ýòîò ãåíîì êàê
ÀÒÃÖ. Âñå äåëî â òîì, ÷òî êàæäûé èç ýòèõ ðèäîâ â
ïðàâèëüíîì ãåíîìå âñòðå÷àåòñÿ äâàæäû. Ïîýòîìó íàì
ïîíàäîáèòñÿ ïåðåäåëàòü ïðîöåññ ñáîðêè ãåíîìà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòíû íå òîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âñåõ ðèäîâ, íî è òî, ñêîëüêî ðàç äàííûé l-ìåð
âñòðå÷àåòñÿ â ãåíîìå (ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êîïèéíîñ-
ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß
ÃÅÍÎÌÀ:
ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ
òüþ ðèäà). Îêàçûâàåòñÿ, ìû ñìîæåì ñïðàâèòüñÿ ñî
ñáîðêîé ôðàãìåíòîâ è â ýòîì ñëó÷àå.
Ìû èñïîëüçóåì äëÿ ýòîãî ïðàêòè÷åñêè òîò æå ãðàô
E, ñ îäíèì ëèøü èçìåíåíèåì: åñëè êîïèéíîñòü êàêîãîòî l-ìåðà ðàâíà k, òî áóäåì ñîåäèíÿòü åãî ïðåôèêñ ñ
ñóôôèêñîì íå îäíèì, à k ðåáðàìè. Ïðîäîëæèì ðàçáèðàòü íàø ïðèìåð èç ðèñóíêà 10: åñëè âî âðåìÿ ÷òåíèÿ
ðèäîâ îáíàðóæèëîñü, ÷òî ó ÷åòûðåõ 3-ìåðîâ ÒÃÖ,
ÃÖÃ, ÖÃÒ è ÃÒÃ êîïèéíîñòü ðàâíà 2, à ó øåñòè 3ìåðîâ ÀÒÃ, ÒÃÖ, ÃÃÖ, ÃÖÀ, ÖÀÀ è ÀÀÒ êîïèéíîñòü
ðàâíà 1, òî ìû ïîñòðîèì ãðàô, èçîáðàæåííûé íà
Ðèñ.13. Ãðàô ñ ðèñóíêà 10, â êîòîðûé äîáàâèëèñü êðàòíûå
ðåáðà – áûëî ó÷òåíî, ÷òî êîïèéíîñòü íåêîòîðûõ ðèäîâ
áîëüøå 1. Ê ñ÷àñòüþ, òàêîå îáîáùåíèå íå óñëîæíÿåò çàäà÷ó
ïîèñêà ýéëåðîâà öèêëà, è öèêë äëÿ íîâîãî ãðàôà òàêæå áóäåò
äàâàòü êàíäèäàòà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè «ÄÍÊ»
ðèñóíêå 13.  îáùåì ñëó÷àå, ëåãêî âèäåòü, ÷òî ãðàô ñ
ðåáðàìè, äîáàâëåííûìè ñîãëàñíî êîïèéíîñòè, òîæå
ýéëåðîâ, ïîñêîëüêó ïîëóñòåïåíè èñõîäà è çàõîäà âåðøèíû (ñîîòâåòñòâóþùåé (l – 1)-ìåðó) ðàâíû ÷èñëó
ðàç, êîòîðîå ýòîò (l – 1)-ìåð âñòðå÷àåòñÿ â ãåíîìå.
Íà ïðàêòèêå òî÷íóþ èíôîðìàöèþ î êîïèéíîñòè
(l – 1)-ìåðîâ â ãåíîìå ñ ïîìîùüþ ñîâðåìåííûõ òåõíîëîãèé ñåêâåíèðîâàíèÿ ïîëó÷èòü äîâîëüíî ñëîæíî. Òåì
íå ìåíåå, ó÷åíûå-àëãîðèòìèñòû íåäàâíî ïðèäóìàëè
ñïîñîá âîññòàíîâëåíèÿ ãåíîìíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
äàæå òîãäà, êîãäà ýòè äàííûå îòñóòñòâóþò.
Åñòü è äðóãèå îñëîæíåíèÿ: ìàøèíû, ñåêâåíèðóþùèå
ÄÍÊ, ïîäâåðæåíû îøèáêàì, äëèíà ðèäîâ ìîæåò ðàçëè÷àòüñÿ è òàê äàëåå. Îäíàêî, â
êîíå÷íîì ñ÷åòå, äëÿ âñåõ ìåòîäîâ
ñáîðêè ôðàãìåíòîâ îêàçûâàåòñÿ
î÷åíü ïîëåçíî ïðèìåíèòü êàêîé-íèáóäü âàðèàíò ãðàôîâ äå Áð¸éíà äëÿ
òîãî, ÷òîáû ñâåñòè åñòåñòâåííîå ïîñòðîåíèå ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ ê
àëãîðèòìè÷åñêè áîëåå ïðîñòîé çàäà÷å îá ýéëåðîâûõ öèêëàõ.
ÈÇ
ÌÈËËÈÀÐÄÀ
ÊÓÑÎ×ÊÎÂ
'
ñàìè ïðè âñåì æåëàíèè íå ñìîãëè áû âñòðåòèòüñÿ äðóã
ñ äðóãîì. Çàòî â 1988 ãîäó âñòðåòèëèñü ïóòè òðåõ
äðóãèõ ó÷åíûõ (ðèñ.15). Ðàäîå Äðìàíàö (Radoje
Drmanac, Ñåðáèÿ), Àíäðåé Ìèðçàáåêîâ (Ðîññèÿ) è
Ýäâèí Ñàóçåðí (Edwin Southern, Âåëèêîáðèòàíèÿ)
îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî ðàçðàáîòàëè ôóòóðèñòè÷åñêèé è íà òîò ìîìåíò ñîâåðøåííî íåâåðîÿòíûé ìåòîä
÷òåíèÿ ðèäîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì ÄÍÊ-÷èïîâ. Íèêòî èç
ýòèõ òðåõ áèîëîãîâ íå çíàë î ðàáîòàõ Ýéëåðà, Ãàìèëüòîíà è äå Áð¸éíà; íèêòî íå ìîã è ïðåäïîëîæèòü, ÷òî
ðåçóëüòàòû èõ ñîáñòâåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ñòîëêíóò èõ
ëèöîì ê ëèöó ñ ýòèìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ãèãàíòàìè.
 1977 ãîäó Ôðåä Ñýíãåð (Fred Sanger) ñ êîëëåãàìè îòñåêâåíèðîâàëè ïåðâûé âèðóñ – êðîøå÷íûé áàêòåðèîôàã ϕX174 äëèíîé 5375 íóêëåîòèäîâ. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â êîíöå 1980-õ áèîëîãè ðåãóëÿðíî
ñåêâåíèðîâàëè âèðóñû äëèíîé â ñîòíè òûñÿ÷ íóêëåîòèäîâ, ìûñëü î ñåêâåíèðîâàíèè áàêòåðèàëüíîãî ãåíîìà (íå ãîâîðÿ î ÷åëîâå÷åñêîì) êàçàëàñü ïðåæäåâðåìåííîé è ñ ýêñïåðèìåíòàëüíîé, è ñ âû÷èñëèòåëüíîé
òî÷åê çðåíèÿ. Äðìàíàö, Ìèðçàáåêîâ è Ñàóçåðí ïîíÿëè, ÷òî âàæíåéøèì íåäîñòàòêîì èñõîäíîé òåõíîëîãèè ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, ðàçðàáîòàííîé â 1970-õ,
ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî äëÿ áîëåå äëèííûõ ãåíîìîâ îíà
ñëèøêîì çàòðàòíà. Â ñàìîì äåëå, ÷òåíèå îäíîãî ðèäà
â êîíöå 1980-õ ñòîèëî áîëåå îäíîãî äîëëàðà è ïîýòîìó ñåêâåíèðîâàíèå ãåíîìà êàêîãî-íèáóäü ìëåêîïèòàþùåãî ñòîèëî áû ìèëëèàðäû äîëëàðîâ. Èç-çà ýòîé
âûñîêîé öåíû ïðî÷èòàòü âñå l-ìåðû ãåíîìà áûëî íåâîçìîæíî, à ýòî íåïðåìåííîå óñëîâèå óñïåøíîãî ïðèìåíåíèÿ ýéëåðîâà ïîäõîäà. ÄÍÊ-÷èïû áûëè èçîáðåòåíû äëÿ òîãî, ÷òîáû óäåøåâèòü ÷òåíèå âñåõ l-ìåðîâ
â ãåíîìå, ïóñòü è ñ ìåíüøåé, íåæåëè ó èñõîäíîé
òåõíîëîãèè ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, äëèíîé ðèäà l. Íàïðèìåð, â òî âðåìÿ êàê òðàäèöèîííûå òåõíîëîãèè
ñåêâåíèðîâàíèÿ ñ÷èòûâàëè ðèäû äëèíîé ïðèáëèçèòåëüíî 500 íóêëåîòèäîâ, èçîáðåòàòåëè ÄÍÊ-÷èïîâ
îðèåíòèðîâàëèñü íà ÷òåíèå ðèäîâ äëèíîé îêîëî 15
íóêëåîòèäîâ.
ÄÍÊ-÷èïû óñòðîåíû òàê: ñíà÷àëà ñèíòåçèðóþò
âñå 4l âîçìîæíûõ l-ìåðîâ (ò.å. âñå ôðàãìåíòû ÄÍÊ
äëèíû l), ïîòîì èõ ïðèñîåäèíÿþò ê ÄÍÊ-ìèêðî÷èïó,
êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ðåøåòêó ñ îòäåëüíîé
ÿ÷åéêîé äëÿ êàæäîãî l-ìåðà. Ïîòîì áåðóò (íåèçâåñò-
Êîðîòêàÿ èñòîðèÿ ÷òåíèÿ ðèäîâ
Ñêàçêà î òðåõ áèîëîãàõ: ÄÍÊ-÷èïû
Õîòÿ ìàòåìàòè÷åñêîå íàñëåäèå
Ýéëåðà, Ãàìèëüòîíà è äå Áð¸éíà
(ðèñ. 14) òåñíî ïåðåïëåëîñü, îíè
Ðèñ.14. Òðè ìàòåìàòèêà. Ñëåâà íàïðàâî: Ëåîíàðä Ýéëåð, Óèëüÿì Ãàìèëüòîí, Íèêîëàñ
äå Áð¸éí
ÊÂÀÍT 2014/¹3
íàïèñàë, ÷òî, ó÷èòûâàÿ îáúåì ðàáîòû, íåîáõîäèìûé äëÿ ïðîèçâîäñòâà ÄÍÊ-ìèêðî÷èïà, «ïðèìåíåíèå ÄÍÊ-÷èïîâ äëÿ ñåêâåíèðîâàíèÿ áûëî áû çàìåíîé îäíîé óñòðàøàþùåé çàäà÷è íà äðóãóþ». Êàê
îêàçàëîñü, «Science» îøèáàëñÿ: â
ñåðåäèíå 1990-õ íåáîëüøîå ÷èñëî
ìîëîäûõ êîìïàíèé óñîâåðøåíñòâîâàëè òåõíîëîãèþ ñîçäàíèÿ áîëüøèõ ÄÍÊ-ìèêðî÷èïîâ. Ê ñîæàëåíèþ, ÄÍÊ-÷èïû â êîíå÷íîì èòîãå
íå ñìîãëè îñóùåñòâèòü ìå÷òó ñâîèõ
Ðèñ.15. Òðè áèîëîãà. Ñëåâà íàïðàâî: Ðàäîå Äðìàíàö, Àíäðåé Ìèðçàáåêîâ, Ýäâèí
ñîçäàòåëåé. ×èïû íåïðèãîäíû äëÿ
Ñàóçåðí
ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, ïîòîìó ÷òî
òî÷íîñòü ãèáðèäèçàöèè ÄÍÊ ñ ÷èïàìè ñëèøêîì íèçêà,
íûé) ôðàãìåíò ÄÍÊ, íà íåãî íàíîñÿò ôëþîðåñöåíòà çíà÷åíèå l – ñëèøêîì ìàëî.
íóþ4 ìåòêó, è ðàñòâîð ñ ýòèì ïîìå÷åííûì ôðàãìåíÒåì íå ìåíåå, íåóäà÷à ÄÍÊ-÷èïîâ èìåëà ïîëåçíûé
òîì ÄÍÊ íàíîñÿò íà ÄÍÊ-ìèêðî÷èï.  ðåçóëüòàòå
ïîáî÷íûé ýôôåêò: õîòÿ èñõîäíàÿ öåëü (ñåêâåíèðîâàíóêëåîòèäû ôðàãìåíòà ÄÍÊ ãèáðèäèçèðóþòñÿ (ñâÿíèå ÄÍÊ) è íå áûëà íà òîò ìîìåíò äîñòèãíóòà, âìåñòî
çûâàþòñÿ) ñ êîìïëåìåíòàðíûìè ïàðàìè íà ìèêðî÷èïå
íåå âîçíèêëè äâå íîâûõ íåîæèäàííûõ îáëàñòè ïðèìå(À ñâÿçûâàåòñÿ ñ Ò, Ö ñ Ã). Âñå ÷òî îñòàåòñÿ, –
íåíèÿ ìèêðî÷èïîâ. Ñåãîäíÿ ÷èïû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ
âûÿñíèòü ñ ïîìîùüþ ñïåêòðîñêîïèè, â êàêèõ ìåñòàõ
èçìåðåíèÿ óðîâíÿ ýêñïðåññèè 5 ãåíîâ è äëÿ àíàëèçà
íà ìèêðî÷èïå ôëþîðåñöåíöèÿ ñàìàÿ ÿðêàÿ: òîãäà íàãåíåòè÷åñêèõ âàðèàöèé. Ýòè íîâûå ïðèëîæåíèÿ ïðèâåøèìè ðèäàìè áóäóò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîìïëåìåíëè ê ñîçäàíèþ ìíîãîìèëëèàðäíîé èíäóñòðèè ÄÍÊòàðíûå ê òåì, ÷òî ðàñïîëîæåíû â ñîîòâåòñòâóþùèõ
÷èïîâ, âêëþ÷àþùåé êîìïàíèè «Hyseq» (îñíîâàíà Ðàÿ÷åéêàõ ìèêðî÷èïà. Èçîáðàæåíèå ÄÍÊ-ìèêðî÷èïà äëÿ
äîå Äðìàíàöåì) è «Oxford Gene Technology» (îñíîâàíàáîðà ðèäîâ èç íàøåãî ïîñòîÿííîãî ïðèìåðà ïðèâåíà ñýðîì Ýäâèíîì Ñàóçåðíîì).
äåíî íà ðèñóíêå 16.
Íåäàâíÿÿ ðåâîëþöèÿ â ñåêâåíèðîâàíèè ÄÍÊ
Ðèñ.16. ÄÍÊ-ìèêðî÷èï, ñîäåðæàùèé âñå âîçìîæíûå 3-ìåðû.
 äåñÿòè êëåòî÷êàõ, êîòîðûå âûäåëåíû öâåòîì, ïðåäñòàâëåíû 3-ìåðû, äîïîëíèòåëüíûå ê ðèäàì ñ ðèñóíêîâ 9 è 10.
Íàïðèìåð, ÖÀÖ âûäåëåí, ïîýòîìó äîïîëíèòåëüíûé ê íåìó
ðèä ÃÒà áûë íà òåõ ðèñóíêàõ. Îòìåòèì, ÷òî ÄÍÊ-ìèêðî÷èï íå
ñîäåðæèò íèêàêîé èíôîðìàöèè î êîïèéíîñòè ðèäîâ
Ïîíà÷àëó ïî÷òè íèêòî íå âåðèë, ÷òî èäåÿ ìèêðî÷èïîâ
ñðàáîòàåò, ïîòîìó ÷òî è áèîõèìè÷åñêàÿ çàäà÷à ñèíòåçà
ìèëëèîíîâ êîðîòêèõ ôðàãìåíòîâ ÄÍÊ, è ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êàçàëèñü ñëèøêîì ñëîæíûìè.  1988 ãîäó æóðíàë «Science»
4 Íà
ñàìîì äåëå â òî âðåìÿ ðå÷ü øëà íå î ôëþîðåñöåíòíîé,
à î ðàäèîàêòèâíîé ìåòêå.
Ïîñëå îñíîâàíèÿ êîìïàíèè «Hyseq» Ðàäîå Äðìàíàö íå îñòàâèë ñâîåé ìå÷òû îá èçîáðåòåíèè àëüòåðíàòèâíîãî ñïîñîáà ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ. Â 2005 îí
îñíîâàë êîìïàíèþ «Complete Genomics», êîòîðàÿ íåäàâíî ðàçðàáîòàëà òåõíîëîãèþ ÷òåíèÿ (ïî÷òè) âñåõ lìåðîâ â ãåíîìå, òåì ñàìûì ïîçâîëèâ, íàêîíåö, ïðèìåíåíèå ìåòîäà ýéëåðîâîé ñáîðêè. Õîòÿ èñïîëüçóåìàÿ Äðìàíàöåì òåõíîëîãèÿ ÷èïîâ ñ «íàíîøàðèêàìè»
äîñòàòî÷íî ñèëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäëîæåííîé èì â
1988 ãîäó òåõíîëîãèè ÄÍÊ-÷èïîâ, íàñëåäèå òîé èäåè
â ÷èïàõ ñ íàíîøàðèêàìè äîâîëüíî îùóòèìî, ïîäòâåðæäàÿ òåì ñàìûì ñòàðóþ èñòèíó, ÷òî õîðîøèå èäåè íå
óìèðàþò, äàæå åñëè îíè ïðîâàëèâàþòñÿ. Áîëåå òîãî,
íåêîòîðûå äðóãèå êîìïàíèè, âêëþ÷àÿ «Illumina» è
«Life Technologies», ñîðåâíóþòñÿ ñ «Complete
Genomics», èñïîëüçóÿ ñâîè ñîáñòâåííûå òåõíîëîãèè
äëÿ ÷òåíèÿ (ïî÷òè) âñåõ l-ìåðîâ â ãåíîìå. ÄÍÊ-÷èïû
îêàçàëèñü íåñïîñîáíû âûäàâàòü òî÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðèäîâ äëèíîé õîòÿ áû 15 íóêëåîòèäîâ, íî
òåõíîëîãèè ñåêâåíèðîâàíèÿ ñëåäóþùåãî ïîêîëåíèÿ
÷èòàþò ðèäû äëèíû 25 íóêëåîòèäîâ 6 è äàæå áîëüøå
(ïðè ýòîì ñ÷èòûâàÿ ñîòíè ìèëëèîíîâ òàêèõ ðèäîâ çà
îäèí ýêñïåðèìåíò). Çà ïîñëåäíèå 5 ëåò ýòè ðàçðàáîòêè â îáëàñòè òåõíîëîãèé ñåêâåíèðîâàíèÿ ïîëíîñòüþ
ïðåîáðàçèëè ãåíîìèêó, è òåïåðü áèîëîãè ãîòîâÿòñÿ ê
ñáîðêå ãåíîìîâ âñåõ ìëåêîïèòàþùèõ íà Çåìëå
5 Ýêñïðåñèÿ
ãåíî⠖ ïðîöåññ ïðîèçâîäñòâà áåëêà, êîäèðóåìîãî ýòèì ãåíîì.
6  íàñòîÿùåå âðåìÿ – áîëåå 100.
ÐÅÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈß
ÃÅÍÎÌÀ:
ÃÎËÎÂÎËÎÌÊÀ
ÈÇ
ÌÈËËÈÀÐÄÀ
ÊÓÑÎ×ÊÎÂ
øèíû èñõîäÿùàÿ è âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ðàâíû, òî ýòî
óñëîâèå ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ
ãðàôà H. Òàê êàê G —
ñâÿçíûé, íàéäåòñÿ íåêîòîðàÿ âåðøèíà w èç H, èç
êîòîðîé åñòü èñõîäÿùèå
ðåáðà, ïðèíàäëåæàùèå êàê
ãðàôó H, òàê è C1 . Êàê è
âûøå, â ãðàôå H âûäåëèì
öèêë C2 , íà÷èíàþùèéñÿ â
âåðøèíå w. Òåïåðü ó íàñ
äâà öèêëà C1 è C2 , íå èìåþùèå îáùèõ ðåáåð, è îáà
îíè ïðîõîäÿò ÷åðåç âåðøèíó w. Ìû ìîæåì îáúåäèíèòü ýòè äâà öèêëà C1 è
Ðèñ.17. Ê 2010 ãîäó áûëè ðàñøèôðîâàíû ãåíîìû âñåãî äåâÿòè ìëåêîïèòàþùèõ: ÷åëîâåêà,
C2 â îäèí «ñóïåðöèêë» C
ìûøè, êðûñû, ñîáàêè, øèìïàíçå, ìàêàêè, îïîññóìà, ëîøàäè è êîðîâû. Ñ òåõ ïîð óæå ìíîãîå
(ðèñ. 18).
èçìåíèëîñü, íî ìíîãîå åùå âïåðåäè
Äàëåå ïðîâåðÿåì, ÿâëÿåòñÿ ëè öèêë C ýéëåðîâûì.
(ðèñ.17), âñå åùå îñíîâûâàÿñü íà ïðåêðàñíîé èäåå,
 ñëó÷àå åñëè íåò, ïîâòîðÿåì ïðîöåäóðó «íàðàùèâàêîòîðóþ Ëåîíàðä Ýéëåð ïðèäóìàë â 1735 ãîäó.
íèÿ» öèêëà.
Ýòà ïðîöåäóðà íå ìîæåò ïðîäîëæàòüñÿ áåñêîíå÷íî (â
Äîêàçàòåëüñòâî âòîðîé òåîðåìû Ýéëåðà
ãðàôå êîíå÷íîå ÷èñëî ðåáåð), ïîýòîìó íà î÷åðåäíîì
øàãå ìû ïîëó÷èì ýéëåðîâ öèêë.
Ìû äîêàæåì òåîðåìó â ñëó÷àå îðèåíòèðîâàííûõ
ãðàôîâ (òåîðåìà äëÿ íåîðèåíòèðîâàííûõ ãðàôîâ äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì).
Èòàê, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ìû äîëæíû ïðîâåðèòü,
÷òî (1) ó ãðàôà ñ ýéëåðîâûì öèêëîì èñõîäÿùàÿ è
âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ëþáîé âåðøèíû ðàâíû, (2) åñëè â
ñâÿçíîì ãðàôå èñõîäÿùàÿ è âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ëþáîé
âåðøèíû ðàâíû, òî äëÿ íåãî èìååòñÿ ýéëåðîâ öèêë.
1. Ïóñòü ãðàô èìååò ýéëåðîâ öèêë. Ðàññìîòðèì
íåêîòîðóþ âåðøèíó v. Ïðîéäåì ïî ýéëåðîâîìó öèêÐèñ.18. Îáúåäèíåíèå öèêëîâ. Åñëè äâà öèêëà ïðîõîäÿò ÷åðåç
ëó, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé âåðøèíû, îòëè÷íîé îò v.
îäíó è òó æå âåðøèíó w, òî èõ ìîæíî îáúåäèíèòü â îäèí
Êàæäûé ðàç, êîãäà ìû âõîäèì ïî íåêîòîðîìó ðåáðó â
öèêë, ïðîñòî ïîìåíÿâ ïîðÿäîê ïðîõîäà âåðøèí, âûõîäÿùèõ
âåðøèíó, ìû âûõîäèì èç íåå ïî äðóãîìó ðåáðó. Òåì
èç w
ñàìûì, åñëè â âåðøèíå v ìû ïîáûâàëè k ðàç, òî
Çàìå÷àòåëüíàÿ îñîáåííîñòü äîêàçàòåëüñòâà, ïðåäâõîäÿùàÿ è âûõîäÿùàÿ ñòåïåíè ýòîé âåðøèíû
ñòàâëåííîãî âûøå, — åãî «êîíñòðóêòèâíîñòü». Âåäü
ðàâíû k, ò.å. ðàâíû.
ìû íå òîëüêî ïîëó÷èëè äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, íî è
2. Íàîáîðîò, ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî â ñâÿçíîì
ïîëó÷èëè äîñòàòî÷íî ïðîñòîé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ
ãðàôå èñõîäÿùàÿ è âõîäÿùàÿ ñòåïåíè ëþáîé âåðøèíû
ýéëåðîâà öèêëà.
ðàâíû. Áóäåì ÿâíî ñòðîèòü ýéëåðîâ îáõîä ñëåäóþùèì
Ýòîò àëãîðèòì â äåéñòâèòåëüíîñòè áóäåò áûñòðî
îáðàçîì. Âîçüìåì íåêîòîðóþ âåðøèíó v â ãðàôå G è
ðàáîòàòü è ïðèìåíèì ê ãðàôàì ãåíîìà, êîëè÷åñòâî
ëþáîå ðåáðî, âûõîäÿùåå èç v. Ïðîéäåì ïî ýòîìó
ðåáåð â êîòîðûõ ìîæåò ñîñòàâëÿòü ìèëëèàðäû. Íàêîðåáðó â ñëåäóþùóþ âåðøèíó. Ïðîäîëæèì ïóòü, êàæíåö ìû íàó÷èëèñü ñîáèðàòü íàø ãèãàíòñêèé ïàçë.
äûé ðàç âûáèðàÿ ðåáðî, ïî êîòîðîìó ìû åùå íå
Íà ðèñóíêå 19 ìû ïðèìåíÿåì àëãîðèòì ê ãðàôó äå
ïðîõîäèëè.  êîíöå êîíöîâ ìû ïðèäåì â íà÷àëüíóþ
Áð¸éíà ñ ðèñóíêà 12.
âåðøèíó v, ïðè ýòîì îáðàçóåòñÿ íåêîòîðûé öèêë
C1 . Ïî÷åìó íàøå «ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå» ïî ðåáðàì
Çàêëþ÷åíèå
ãðàôà çàâåðøèòñÿ ïîñòðîåíèåì öèêëà? Ýòî ñëåäóåò èç
óñëîâèÿ ðàâåíñòâà âõîäÿùåé è èñõîäÿùåé ñòåïåíåé:
Ìû ïîçíàêîìèëèñü ñ Ýéëåðîì, Ãàìèëüòîíîì è äå
âåäü êàæäûé ðàç ïîñëå òîãî, êàê ìû ïðèøëè â âåðøèíó,
Áð¸éíîì – òðåìÿ ìàòåìàòèêàìè òðåõ âåêîâ, æèâøèõ â
îòëè÷íóþ îò v, ìû ñìîæåì ïîêèíóòü åå ïî åùå íå
ðàçíûõ ñòðàíàõ è ñòàâèâøèõ ïåðåä ñîáîé ñîâåðøåííî
ïðîéäåííîìó ðåáðó.
ðàçíûå çàäà÷è.  èõ ðàáîòå è òîì, âî ÷òî îíà ïðåâðàÄëÿ öèêëà C1 åñòü äâå âîçìîæíîñòè: ëèáî C1 óæå
òèëàñü â íàñòîÿùèé ìîìåíò â ñîâðåìåííîé áèîëîãèè,
ÿâëÿåòñÿ ýéëåðîâûì öèêëîì, ëèáî íåò. Âî âòîðîì
ìû ìîæåì ïî÷óâñòâîâàòü äóõ íàñòîÿùåãî ïðèêëþ÷åñëó÷àå âðåìåííî óäàëèì ðåáðà C1 èç G. Ïîëó÷èì
íèÿ. Ïðè ýòîì ïåðâûå áèîëîãè, êîòîðûå ðàáîòàëè íàä
íîâûé ãðàô H. Òàê êàê â öèêëå C1 äëÿ êàæäîé âåðçàäà÷åé ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ, íå èìåëè íèêàêîãî
ÊÂÀÍT 2014/¹3
âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà îíà
áûëà âîçâðàùåíà ê æèçíè âûäàþùèìèñÿ ìàòåìàòèêàìè,
ñðåäè ïðî÷èõ è Óèëüÿìîì Ãàìèëüòîíîì. Òåîðèÿ ãðàôîâ
îêîí÷àòåëüíî ðàñöâåëà â XX
âåêå, ñòàâ îäíèì èç îñíîâíûõ
íàïðàâëåíèé ìàòåìàòè÷åñêèõ
èññëåäîâàíèé.
Ïåðâûå ìåòîäû ñåêâåíèðîâàíèÿ ÄÍÊ áûëè íåçàâèñèìî
è îäíîâðåìåííî èçîáðåòåíû â
1977 ãîäó Ôðåäîì Ñýíãåðîì ñ
êîëëåãàìè ñ îäíîé ñòîðîíû è
Óîëòåðîì Ãèëüáåðòîì (Walter
Gilbert) ñ êîëëåãàìè – ñ äðóãîé. Ïîäõîä ê ñåêâåíèðîâàíèþ ÄÍÊ ñ ïîìîùüþ ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ áûë âïåðâûå
ïðåäëîæåí â 1984 ãîäó
(H.Peltola, H.Soderlund,
E.Ukkonen), à âïîñëåäñòâèè
ðàçâèò Äæîíîì Êåñåñèîãëó
(John Kececioglu) è Þäæèíîì Ìàéåðñîì (Eugene Myers).
Ðèñ.19. Ïîèñê ýéëåðîâà öèêëà â ãðàôå B(2, 4)
Ðàçâèòèå ìåòîäîâ ñåêâåíèðîñ ðèñóíêà 12. Ñíà÷àëà ðàçáèâàåì ãðàô íà
âàíèÿ ÄÍÊ ïðèâåëî ê ðàñöèêëû (à). Çàòåì ïî î÷åðåäè îáúåäèíÿåì
øèôðîâêå ïîëíîãî ãåíîìà áàêýòè öèêëû, ïðèìåíÿÿ îïèñàííûé âûøå àëãîòåðèè H. influenzae äëèíîé
ðèòì (á).  èòîãå ïîëó÷èòñÿ åäèíñòâåííûé
1800 Êá â ñåðåäèíå 1990-õ.
ýéëåðîâ öèêë (â); öèôðû íà ðåáðàõ îáîçíàÃåíîì ÷åëîâåêà áûë îòñåêâå÷àþò ïîðÿäîê îáõîäà.  íàøåì ñëó÷àå öèêë
íèðîâàí ñ èñïîëüçîâàíèåì ãàäàåò ñòðîêó 0000110010111101
ìèëüòîíîâà ïîäõîäà â 2001.
Èñïîëüçîâàíèå ÄÍÊ-÷èïîâ
áûëî ïðåäëîæåíî îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî â 1988 ãîäó Ðàäîå Äðìàíàöåì è êîëëåãàìè
ïðåäñòàâëåíèÿ î òîì, êàê ïðèìåíèòü äëÿ ýòîãî òåîðèþ
â Þãîñëàâèè, Àíäðååì Ìèðçàáåêîâûì è êîëëåãàìè â Ðîññèè
ãðàôîâ; áîëåå òîãî, ïåðâàÿ ñòàòüÿ, îáúåäèíèâøàÿ ìàòåè Ýäâèíîì Ñàóçåðíîì è êîëëåãàìè â Âåëèêîáðèòàíèè.
ìàòè÷åñêèå èäåè ýòîãî òðèî äëÿ ñáîðêè ôðàãìåíòîâ,
Ýéëåðîâ ïîäõîä ê ÄÍÊ-÷èïàì áûë îïèñàí Ï.Ïåâçíåðîì.
áûëà îïóáëèêîâàíà ñïóñòÿ ìíîãèå ãîäû ïîñëå ñìåðòè
Ýéëåðîâ ïîäõîä ê ñåêâåíèðîâàíèþ ÄÍÊ áûë îïèñàí R. Idury
Ýéëåðà è Ãàìèëüòîíà, êîãäà äå Áð¸éíó áûëî óæå çà 70.
è M. Waterman, à â äàëüíåéøåì ðàçâèò â 2001 ãîäó
Òàê ÷òî, âîçìîæíî, ñòîèò ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ýòèõ òðîèõ
(P.A. Pevzner, H.Tang è M.Waterman), êîãäà óæå ïî÷òè
ó÷åíûõ íå êàê èñêàòåëåé ïðèêëþ÷åíèé, à êàê îäèíîêèõ
íèêòî íå âåðèë, ÷òî åãî ñòàíåò âîçìîæíî ïðèìåíèòü íà
ïðàêòèêå.
ñòðàííèêîâ. Êàæäûé èç íèõ ëþáèë ðåøàòü àáñòðàêòÏðèìåðíî â òî æå âðåìÿ Ñèäíè Áðåííåð (Sydney Brenner)
íûå ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è, äàæå íå ïðåäïîëàãàÿ (êàê
ñ êîëëåãàìè ïðåäñòàâèëè ìåòîä Massively Parallel Signature
ýòî ÷àñòî áûâàåò ó ìàòåìàòèêîâ), ÷òî èõ îòâåòû ìîãóò
Sequencing (MPSS, ìåòîä ñèëüíî ðàñïàðàëëåëåííîãî ñåêâåáûòü îäíàæäû ïðèìåíåíû â ðåàëüíîì ìèðå óæå áåç íèõ
íèðîâàíèÿ
ïîäïèñåé), êîòîðûé îçíàìåíîâàë íà÷àëî ýðû
ñàìèõ.
ñåêâåíèðîâàíèÿ íîâîãî ïîêîëåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîðîòêèõ ðèäîâ. Íà ïðîòÿæåíèè ïîñëåäíåãî äåñÿòèëåòèÿ MPSS
Ïðèìå÷àíèÿ
âìåñòå ñ òåõíîëîãèÿìè, ðàçðàáîòàííûìè òàêèìè êîìïàíèÿÐåøåíèå Ýéëåðà äëÿ çàäà÷è î Êåíèãñáåðñêèõ ìîñòàõ áûëî
ìè, êàê «Complete Genomics», «Illumina» è «Life Techïðåäñòàâëåíî â Àêàäåìèè íàóê è õóäîæåñòâ â Ñàíêò-Ïåòåðnologies», ñîâåðøèëè ïåðåâîðîò â ãåíîìèêå. Òåõíîëîãèè
áóðãå 26 àâãóñòà 1735 ãîäà. Ýéëåð áûë ñàìûì ïëîäîâèòûì
íîâîãî ïîêîëåíèÿ ñ÷èòûâàþò äîâîëüíî êîðîòêèå ðèäû, äëèàâòîðîì ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàáîò âñåõ âðåìåí: ïîìèìî òåîðèè
íîé îò 30 äî 100 íóêëåîòèäîâ, óñëîæíÿÿ ýòèì çàäà÷ó ñáîðêè
ãðàôîâ îí âïåðâûå èñïîëüçîâàë çàïèñü f ( x ) äëÿ îáîçíà÷åôðàãìåíòîâ. ×òîáû ðàçðåøèòü ýòîò âîïðîñ, áûëî ðàçðàáîòàíèÿ ôóíêöèè, i äëÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ èç –1 è ïîñòîÿííîé π
íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ñðåäñòâ ñáîðêè, âñå èç êîòîðûõ
äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè. Íàïðÿæåííî ðàáîòàÿ
ñëåäóþò ýéëåðîâó ïîäõîäó.
âñþ ñâîþ æèçíü, îí îñëåï. Â 1735 ãîäó îí ïåðåñòàë âèäåòü
Çàèíòåðåñîâàííûé ÷èòàòåëü ìîæåò ïðîñëóøàòü â èíòåðíåïðàâûì ãëàçîì, íî íå áðîñèë çàíÿòèé ìàòåìàòèêîé.  1766
òå (áåñïëàòíî) êóðñ ïî áèîèíôîðìàöèîííûì àëãîðèòìàì,
ãîäó îí ïîòåðÿë çðåíèå è íà ëåâîì ãëàçó è âñå ðàâíî
êîòîðûé íà÷íåòñÿ 15 ñåíòÿáðÿ. Ïîäðîáíîñòè ïî ññûëêå
ïðîäîëæèë ðàáîòàòü, ñêàçàâ ëèøü, ÷òî «òåïåðü ó ìåíÿ áóäåò
https://www.coursera.org/course/bioinformatics
ìåíüøå ïîâîäîâ îòâëåêàòüñÿ». Óæå ñîâåðøåííî îñëåïíóâ, îí
Òàêæå ðåêîìåíäóåì êíèãó «Áèîèíôîðìàòèêà äëÿ áèîëîîïóáëèêîâàë ñîòíè ñòàòåé.
ãîâ» («Bioinformatics for biologists») ïîä ðåäàêöèåé Ï.ÏåâÏîñëå ðàáîòû Ýéëåðà, ðåøàþùåé çàäà÷ó î Êåíèãñáåðñêèõ
çíåðà è Ð.Øàìèðà, âûïóùåííóþ íà àíãëèéñêîì ÿçûêå
ìîñòàõ, î òåîðèè ãðàôîâ çàáûëè áîëåå ÷åì íà ñòî ëåò, íî âî
èçäàòåëüñòâîì «Cambridge university press» â 2011 ãîäó.
Î÷åðê èñòîðèè èññëåäîâàíèé
íåéòðèíî
Þ.ÃÀÏÎÍÎÂ
È
ÒÀÊ, Ê 1956 ÃÎÄÓ ÑÒÀËÎ ßÑÍÎ ÑËÅÄÓÞÙÅÅ.
×òî êàñàåòñÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, òî, â
ïðèíöèïå, îíà ïîñòðîåíà, îñòàâàëèñü òîëüêî
ïðîáëåìû ðàñõîäèìîñòåé, ñ êîòîðûìè ôèçèêà åùå
äîëãî âîçèëàñü è â êàêîé-òî ìåðå ïðîäîëæàåò âîçèòüñÿ
è ñåãîäíÿ. Íî ýòî óæå ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ âûñîêèìè
òî÷íîñòÿìè òåîðèé. Çàòåì âïåðâûå ôèçèêè îáðàòèëè
âíèìàíèå íà òàê íàçûâàåìûå äèñêðåòíûå ñèììåòðèè –
îòðàæåíèå ïðîñòðàíñòâåííîå, îòðàæåíèå âðåìåííóå è
ïðåîáðàçîâàíèå çàðÿäà (êîãäà âû ïåðåõîäèòå îò ÷àñòèö
ê àíòè÷àñòèöàì). Íó âîò, ýòè èäåè áûëè ðàçâèòû.
Äàëüøå – è ýòî áûëî ñàìîå èíòåðåñíîå – â K-ìåçîíàõ,
êîòîðûå â ýòî âðåìÿ óæå íàó÷èëèñü ðîæäàòü íà óñêîðèòåëÿõ, âîçíèêëà ñîâåðøåííî íîâàÿ ïðîáëåìà. Îïÿòü
ïàðàäîêñ, è îïÿòü îí ñâÿçàí â êàêîé-òî ìåðå, êàê ìû
óâèäèì äàëüøå, ñ ôèçèêîé ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (â
äàííîì ñëó÷àå ýòî ôèçèêà ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, à íå
ñîâñåì íåéòðèíî, íî â íåéòðèíî èìååò ìåñòî òî æå
ñàìîå). À èìåííî, ýòî τ - θ -ïðîáëåìà. Èçìåðÿÿ Kìåçîííûå ðàñïàäû, íàøëè òàêèå ÷àñòèöû, êîòîðûå
ðàñïàäàþòñÿ íà äâà ïèîíà èëè íà òðè ïèîíà (ðàçíûå
÷àñòèöû, åñòåñòâåííî). Ïðè ýòîì ìàññû ýòèõ ÷àñòèö
ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò. Êàê ýòî ìîæåò áûòü? Âîò
ïðîáëåìà, êîòîðàÿ ìó÷èëà ôèçèêîâ ñ 1953 ïî 1956 ãîä,
à îòâåò íà íåå îêàçàëñÿ ñîâåðøåííî óíèêàëüíûì: â ýòèõ
ðàñïàäàõ íàðóøàåòñÿ ÷åòíîñòü, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè. È âîò, ýòà ãèïîòåçà áûëà âûäâèíóòà â 1956 ãîäó
Ëè è ßíãîì, è áóêâàëüíî çà ãîä ýêñïåðèìåíò ïî
ïðîâåðêå ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè â áåòà-ðàñïàäå áûë
ñäåëàí, ýòî âñå áûëî ïîäòâåðæäåíî, è âûÿñíèëîñü, ÷òî
ó íåéòðèíî åñòü ñîâåðøåííî íîâûå ñâîéñòâà. Ñåé÷àñ ÿ
âàì íåñêîëüêî ñëîâ íà ýòó òåìó ñêàæó.
×òî òàêîå ÷åòíîñòü? Íàïîìíþ. Âñå ôèçèêè çíàþò,
÷òî åñòü âåêòîðû: ðàäèóñ, ñêîðîñòü, èìïóëüñ… Åñòü
îïåðàöèÿ îòðàæåíèÿ. Íó âîò, íàðèñóåì, íàïðèìåð,
èìïóëüñ â íåêèõ êîîðäèíàòàõ x, y, z. Äàâàéòå ïðîèçâåäåì îòðàæåíèå. Åñëè ÿ ñäåëàþ ïîëíîå îòðàæåíèå âñåãî
– è îñåé, è ñàìîãî èìïóëüñà òîæå, òî ýòî áóäåò âàðèàíò
âîçìîæíûé, íî íå ñîâñåì òà îïåðàöèÿ, ñ êîòîðîé ìû
õîòèì ðàáîòàòü. ß æå õî÷ó îòðàçèòü èìïóëüñ, íî
ñîõðàíèòü êîîðäèíàòû, ò.å. ïðîâåñòè îòðàæåíèå â
ñòàðûõ êîîðäèíàòàõ. ßñíî, ÷òî âåêòîð ïðè òàêîé
îïåðàöèè ïðîñòî ïîìåíÿåò çíàê: r ïîìåíÿåòñÿ íà -r ,
v íà -v , p íà - p . Îäíàêî ñóùåñòâóþò äðóãèå
âåëè÷èíû, òèïà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ, êîòîðûå èìåþò äðóãèå ñâîéñòâà. Âîò, íàïðèìåð,
Îêîí÷àíèå. Íà÷àëî – â ïðåäûäóùåì íîìåðå æóðíàëà.
Þðèé Âëàäèìèðîâè÷ Ãàïîíîâ
ìîìåíò ñèëû èëè ìîìåíò èìïóëüñà. Åñëè âû äåëàåòå
îòðàæåíèå, òî, ïîñêîëüêó ó âàñ åñòü äâà âåêòîðà è îáà
çíàê ìåíÿþò, ýòè ïñåâäîâåêòîðû, êàê ìû èõ íàçûâàåì,
íå ìåíÿþò çíàêà.  ÷àñòíîñòè, ðàç åñòü ìîìåíò, òî,
åñòåñòâåííî, êðó÷åíèå ñàìîé ÷àñòèöû òîæå ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü êàê íåêèé ìîìåíò, êîòîðûé òîæå íå
äîëæåí ìåíÿòü ñâîé çíàê ïðè îòðàæåíèè. È, íàêîíåö,
åñëè ÿ åå, ýòó ÷àñòèöó, ñâåäó â òî÷êó, ñäåëàþ åå
òî÷å÷íîé, òî âîçíèêàåò ïîíÿòèå ñïèíà. ß íå õî÷ó ñåé÷àñ
âëåçàòü â ýòè ïîíÿòèÿ, ôèçèêè çíàþò, ÷òî ýòî òàêîå, ÿ
ïðîñòî íåìíîãî ïðèìèòèâèçèðóþ êàðòèíó, ÷òîáû âàì
ïðîùå áûëî ïîíèìàòü ñèòóàöèþ. Ïîëÿðèçàöèÿ ñïèí÷àñòèö êàê ðàç èìååò òå æå ñâîéñòâà, ÷òî è âåêòîðíîå
ïðîèçâåäåíèå.
Äàâàéòå òåïåðü ðàññìîòðèì òàêîé ïðîöåññ. Ïóñêàé ó
íàñ åñòü íåéòðèíî, è ïóñêàé íåéòðèíî ëåòèò ïî èìïóëüñó
p , à ïîëÿðèçîâàíî ïðîòèâ èìïóëüñà.  äåéñòâèòåëüíîñòè ðåàëüíûå íåéòðèíî òàê è óñòðîåíû – îíè ïîëÿðèçîâàíû ïðîòèâ ñâîåãî èìïóëüñà. Ïðîâåäåì îòðàæåíèå.
Òîãäà â îòðàæåíèè, ò.å. â çåðêàëå, âû óâèäèòå, ÷òî
èìïóëüñ ó âàñ ïîìåíÿëñÿ, à ñïèí íå èçìåíèëñÿ. Ó âàñ
ïîÿâèëàñü ÷àñòèöà, ó êîòîðîé ñïèí è èìïóëüñ íàïðàâëåíû â îäíó è òó æå ñòîðîíó. À ñ òî÷êè çðåíèÿ
ñåãîäíÿøíåé ôèçèêè ýòî – àíòèíåéòðèíî. Çíà÷èò, â
"
ÊÂÀÍT 2014/¹3
çåðêàëå (âû ñìîòðèòå â çåðêàëî) âìåñòî íåéòðèíî âû
âèäèòå àíòèíåéòðèíî, à íå íåéòðèíî. Âîò ïàðàäîêñ, ñ
êîòîðûì ñòîëêíóëèñü ôèçèêè â 1956–57 ãîäàõ. Òî÷íî
òàê æå âû ìîæåòå ñäåëàòü, íàïðèìåð, òàêîé ýêñïåðèìåíò. Ðàññìîòðèòå ïîëÿðèçîâàííîå ÿäðî, êîòîðîå ó âàñ
ðàñïàäàåòñÿ, âûëåòàþò ýëåêòðîíû ïîä óãëîì θ , è âû
äåëàåòå îòðàæåíèå. Ó âàñ ïîëÿðèçîâàííîå ÿäðî îñòàíåòñÿ ïîëÿðèçîâàíî â òó æå ñòîðîíó, à èìïóëüñ ïîìåíÿåò
çíàê. Åñëè áû ó âàñ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè âûïîëíÿëñÿ, òî îáà ïðîöåññà áûëè áû îäèíàêîâû. À íà ñàìîì
äåëå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè áåòà-ðàñïàäå ÷àñòèöû âûëåòàþò â îñíîâíîì ïî èëè ïðîòèâ ìîìåíòà ÿäðà. Âîò ýòî
è åñòü çíàìåíèòûé ýêñïåðèìåíò Âó, êîòîðûé áûë ñäåëàí
â 1957 ãîäó áóêâàëüíî çà ïîëãîäà. È áûëî ïîêàçàíî: äà,
â ôèçèêå ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ò.å. â íåéòðèííîé
ôèçèêå, íàðóøàåòñÿ ÷åòíîñòü. È âîò çäåñü âûÿñíèëîñü,
÷òî Íèëüñ Áîð áûë ïðàâ. Äåéñòâèòåëüíî, Íèëüñ Áîð ÷òî
ãîâîðèë? Îí ïðèäèðàëñÿ ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè,
íî îí áûë ïðàâ â ñâîåé ëîãèêå: íà óðîâíå â 10 -13 - 10 -17 ñì
çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ìîãóò áûòü äðóãèìè. È â ýòîì ïëàíå
åãî èäåÿ êàê áû îæèëà çàíîâî. Íè÷åãî íå ïðîïàäàåò,
õîðîøèå èäåè ñîõðàíÿþòñÿ è äàëüøå. Âîò ñåãîäíÿøíÿÿ
òî÷êà çðåíèÿ: áåçìàññîâîå íåéòðèíî ïîëÿðèçîâàíî ïðîòèâ èìïóëüñà, à àíòèíåéòðèíî – ïî èìïóëüñó. Ìèð
âíóòðè, â ñëàáîì âçàèìîäåéñòâèè, îêàçûâàåòñÿ íåñèììåòðè÷íûì.  çåðêàëå âû âèäèòå íå íåéòðèíî, à
àíòèíåéòðèíî. È åùå îäíî îòêðûòèå áûëî ñäåëàíî
âñêîðå ïîñëå ýòîãî: ïðîöåññû, ñâÿçàííûå ñ íàïðàâëåíèåì âðåìåíè, òîæå îêàçàëèñü ðàçíûìè. Áûëè îòêðûòû
ïðîöåññû â ðàñïàäå K -ìåçîíîâ, êîòîðûå ïî âðåìåíè è
ïðîòèâ (ñî ñìåíîé çíàêà âðåìåíè) – ðàçíûå.
Èòàê, âîò ÷òî ïðîèçîøëî â òåîðåòè÷åñêèé ïåðèîä ñ
1953 ïî 1967 ãîä. Ëè è ßíã ïðèäóìàëè ãèïîòåçó äëÿ
ðåøåíèÿ ïðîáëåìû τ - θ , ò.å. ãèïîòåçó î íàðóøåíèè
÷åòíîñòè. Îíî áûëî ýêñïåðèìåíòàëüíî îòêðûòî â 1957
ãîäó – ñíà÷àëà â áåòà-ðàñïàäå ÿäåð, ïîòîì â áåòà-ðàñïàäå
ðàçëè÷íûõ ÷àñòèö: µ -ìåçîíîâ, π -ìåçîíîâ, K-ìåçîíîâ;
íûíå ýòî òðèâèàëüíîñòü. È, íàêîíåö, ÷òî áûëî äåéñòâèòåëüíî íîâîñòüþ äëÿ ôèçèêîâ, îíî áûëî îáíàðóæåíî âî
âçàèìîäåéñòâèè íóêëîíîâ ñ íóêëîíàìè â ÿäðàõ. Êñòàòè,
ýòî äî ñèõ ïîð íåêîòîðàÿ çàãàäêà. Ìû ïðåêðàñíî çíàåì,
÷òî åñòü òàê íàçûâàåìûå íàðóøàþùèå ÷åòíîñòü ÿäåðíûå
ñèëû. Ýòè ñèëû ñóùåñòâóþò, îíè ýêñïåðèìåíòàëüíî
ïîêàçàíû. Ê ñëîâó ñêàçàòü, Ðîññèÿ çäåñü î÷åíü ìíîãî
ïîðàáîòàëà – íàïðèìåð Ëîáàø¸â (ýêñïåðèìåíòàòîð) è
Àáîâ Þðèé Ãåîðãèåâè÷. Íî ïî ñèþ ïîðó ýòà îáëàñòü
ÿâëåíèé íèêàê íå ñâÿçàíà ñ îñòàëüíûìè, âû íå ìîæåòå
ðàññ÷èòàòü åå, èñõîäÿ èç ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà æèâåò ñàìà ïî ñåáå, à ÿäåðíàÿ ôèçèêà
ñ åå íàðóøåíèåì íóêëîí-íóêëîííîãî ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ æèâåò ñàìà ïî ñåáå.
Íàêîíåö, áûëî îòêðûòî ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå è â
àòîìàõ òîæå – âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÿäðîì è ýëåêòðîíàìè, êðîìå îáû÷íîãî êóëîíîâñêîãî, èìååò åùå íåêóþ
ìàëåíüêóþ äîáàâêó. Ýòà äîáàâêà ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî
ýëåêòðîí ñ íóêëîíàìè åùå âçàèìîäåéñòâóåò ñëàáûì
îáðàçîì. Âîò ýòè ïðîöåññû áûëè âïåðâûå òîãäà îòêðûòû. À òåîðèÿ, ïîñëå òîãî êàê áûëî îòêðûòî, ÷òî
íåéòðèíî íà ñàìîì äåëå èìååò ñòðîãî îïðåäåëåííóþ
ïîëÿðèçàöèþ, à àíòèíåéòðèíî èìååò ñîâåðøåííî äðó-
ãóþ ïîëÿðèçàöèþ, âåðíóëàñü ê Âåéëþ, ò.å. ê òîìó
ïðåäåëüíîìó ñëó÷àþ, êîòîðûé ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç
óðàâíåíèÿ Äèðàêà è êîòîðûé èãíîðèðîâàëñÿ â 1928–29
ãîäàõ. Îêàçàëîñü, ÷òî íåéòðèíî îïèñûâàåòñÿ èìåííî
óðàâíåíèåì Âåéëÿ. Âîçüìèòå óðàâíåíèå Äèðàêà, ïîëîæèòå ìàññó ðàâíîé íóëþ, ïîëó÷èòå íåéòðèíî. Âñå
ïðîñòî! Íî òîãäà ýòî îòðèöàëîñü. Îòðèöàëîñü, ïîòîìó
÷òî íàðóøåíèå ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè áûëî. Íèêòî íå
ìîã â ýòî ïîâåðèòü.
È âîò òåïåðü òàêàÿ èíòåðåñíàÿ ïàðàäîêñàëüíàÿ âåùü.
ß ãîâîðþ ïðî 1956 ãîä. Èòàê, âåðíóëèñü ê äâóõêîìïîíåíòíîìó íåéòðèíî. Áûëà ïîïûòêà Ëàíäàó ââåñòè
íàðóøåíèå ÷åòíîñòè, íî ñîõðàíèòü õîòÿ áû èäåþ î òîì,
÷òî åñëè âû ñìîòðèòå íà íåéòðèíî, òî â çåðêàëå ó âàñ
àíòèíåéòðèíî, ò.å. ââåñòè òàê íàçûâàåìîå CP-ñîõðàíåíèå 1 . Ýòî ñîõðàíåíèå, ê ñîæàëåíèþ, òîæå îêàçàëîñü
íàðóøåííûì, õîòÿ íàìíîãî â ìåíüøåé ñòåïåíè (òàê,
äîëÿ ðàñïàäîâ íåéòðàëüíûõ K-ìåçîíîâ ñ íàðóøåíèåì
ÑÐ-èíâàðèàíòíîñòè ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî 10-3 ). Çàòåì,
è ýòî áûëî ñôîðìóëèðîâàíî â îñíîâíîì Ôåéíìàíîì,
áûë ðåàëüíî íàïèñàí ãàìèëüòîíèàí 2 ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ íàðóøåíèåì ÷åòíîñòè (òàê íàçûâàåìîå V-A
ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå 3 ). È åùå áûëî îòêðûòî íàðóøåíèå CP-÷åòíîñòè (ò.å., åñëè õîòèòå, T-÷åòíîñòè 4 ) â
ýêñïåðèìåíòå – ýòî ñëåäóþùèé ìîìåíò.
È, íàêîíåö, ïðèáëèçèòåëüíî â 1963–66 ãîäû áûëà
ñôîðìóëèðîâàíà òàê íàçûâàåìàÿ Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü 5 .
Ýòî ìîäåëü, â êîòîðîé (ÿ íåìíîãî äàëüøå áóäó îá ýòîì
ãîâîðèòü) îáúåäèíåíû äâå âåùè: ýëåêòðîìàãíèòíîå
âçàèìîäåéñòâèå è ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå – òî, êîòîðîå
ïðîèñõîäèò ñ íåéòðèíî. Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü áûëà
ñôîðìóëèðîâàíà èìåííî â ýòî âðåìÿ, íî åùå ïîòðåáîâàëîñü äîñòàòî÷íî áîëüøîå âðåìÿ, ïîðÿäêà 20 ëåò,
÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíîñòü.
1 CP-ñèììåòðèÿ, èëè êîìáèíèðîâàííàÿ ÷åòíîñòü, ýòî èíâà-
ðèàíòíîñòü ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò îäíîâðåìåííî ïðîñòðàíñòâåííîå (P) çåðêàëüíîå îòðàæåíèå ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû è çàìåíà
êàæäîé ÷àñòèöû íà ñîîòâåòñòâóþùóþ åé àíòè÷àñòèöó (C,
çàðÿäîâîå ñîïðÿæåíèå).
2 Ãàìèëüòîíèàí – îïåðàòîð ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû ïðè
êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîì îïèñàíèè.
3 V-A-òåîðèÿ – óíèâåðñàëüíàÿ òåîðèÿ ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ó÷èòûâàþùàÿ íàðóøåíèå ÷åòíîñòè (P-ñèììåòðèè)
ïðè ñëàáîì âçàèìîäåéñòâèè. Ïðåäëîæåíà â 1957 ãîäó Ì.ÃåëëÌàííîì, Ð.Ôåéíìàíîì, Ð.Ìàðøàêîì è Äæ.Ñóäàðøàíîì.
4 T-ñèììåòðèÿ, èëè ñèììåòðèÿ ïî îòíîøåíèþ ê îáðàùåíèþ
âðåìåíè, ýòî èíâàðèàíòíîñòü ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ îòíîñèòåëüíî çàìåíû âðåìåíè t íà –t. Ïîñêîëüêó ôóíäàìåíòàëüíûì êà÷åñòâîì ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ ñ÷èòàåòñÿ CPT-ñèììåòðèÿ (ò.å. èíâàðèàíòíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê îäíîâðåìåííîìó
ïðîñòðàíñòâåííîìó çåðêàëüíîìó îòðàæåíèþ ôèçè÷åñêîé
ñèñòåìû, çàðÿäîâîìó ñîïðÿæåíèþ è îáðàùåíèþ âðåìåíè),
òî íàðóøåíèå CP-ñèììåòðèè âîçìîæíî ëèøü ïðè îäíîâðåìåííîì íàðóøåíèè T-ñèììåòðèè.
5 Òî÷íåå, çäåñü èäåò ðå÷ü î òåîðèè ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, êîòîðàÿ áûëà ñôîðìóëèðîâàíà ê 1967 ãîäó Ñ.Âàéíáåðãîì, Ø.Ãëýøîó è À.Ñàëàìîì è ëåãëà â îñíîâó (íàðÿäó ñ
êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêîé) ñîçäàííîé â òå÷åíèå ñëåäóþùåãî äåñÿòèëåòèÿ Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ôèçèêè ýëåìåíòàðíûõ
÷àñòèö.
Î×ÅÐÊ
ÈÑÒÎÐÈÈ
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÉ
Íî âîò ÷òî èíòåðåñíî: íåñìîòðÿ íà òî ÷òî, êàçàëîñü
áû, âñå ñôîðìóëèðîâàíî è âñå îòêðûòî, îñòàâàëèñü äâà
îñòðîâêà â ýòî âðåìÿ, êîòîðûå áûëè íå ïîíÿòû. Ïåðâûé
– ýòî ãèïîòåçà Ïîíòåêîðâî î íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèÿõ,
ïðî êîòîðûå ÿ ñåé÷àñ ñêàæó, è âòîðîé – ìàéîðàíîâñêàÿ
ãèïîòåçà.
Òàê âîò, òåïåðü ÿ õî÷ó ñêàçàòü íåñêîëüêî ñëîâ î
Áðóíî Ïîíòåêîðâî è åãî ãèïîòåçå 1957 ãîäà. Ýòî –
ãèïîòåçà îñöèëëÿöèé, îíà áûëà îïóáëèêîâàíà îïÿòü â
ïðåïðèíòå, òîëüêî òåïåðü â Äóáíå. Ïîìíÿ ïðî ðàáîòó
Ìàéîðàíà (Ïîíòåêîðâî â êàêîé-òî ìåðå áûë åãî ó÷åíèêîì), îí âñå âðåìÿ äóìàë î òîì, íåéòðèíî è àíòèíåéòðèíî ýòî îäíî è òî æå èëè íåò? Åñëè ýòî îäíî è òî æå,
òî ïîëó÷àþòñÿ îäíè ïðîöåññû, åñëè ýòî ðàçíûå âåùè,
òî – äðóãèå ïðîöåññû. È âîò, ðàçìûøëÿÿ íàä ýòèì,
Áðóíî Ïîíòåêîðâî ñôîðìóëèðîâàë òàêóþ î÷åíü ëþáîïûòíóþ ãèïîòåçó.  çàêëþ÷åíèè ñâîåé ñòàòüè îí ïèøåò, ÷òî åñëè ó âàñ íåò íåéòðèíî è àíòèíåéòðèíî, à åñòü
íàðóøåíèå ñîõðàíåíèÿ ëåïòîííîãî çàðÿäà (ò.å. åñëè
íåéòðèííûé çàðÿä íå ñîõðàíÿåòñÿ), òî ïðè ýòîì âîçìîæíî ïðåâðàùåíèå íåéòðèíî â àíòèíåéòðèíî â ïðîöåññå äâèæåíèÿ, ( ν ´ ν ), è òîãäà áóäóò ïðîèñõîäèòü
ïðîöåññû, ïîõîæèå íà òå, êîòîðûå áûëè îòêðûòû â K 0 ìåçîíàõ. À â K 0 -ìåçîíàõ â ýòî âðåìÿ áûëè îòêðûòû
îñöèëëÿöèè, êîãäà K 0 ïåðåõîäèò â àíòè- K 0 è àíòè- K 0
ïåðåõîäèò â K 0 . È Ïîíòåêîðâî íàïèñàë äàæå, ÷òî, ïîâèäèìîìó, ýòîò ïðîöåññ ìîæåò áûòü î÷åíü âåðîÿòíî
îòêðûò, êàê ìèíèìóì, â àñòðîôèçèêå, â àñòðîôèçè÷åñêèõ ìàñøòàáàõ. Áîëüøå òîãî, îí äàæå äàë îöåíêó
äëèíû ýòèõ îñöèëëÿöèé. Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ íåéòðèíî,
êîòîðûå, íàïðèìåð, èñïóñêàåò Ñîëíöå, ýòî 1 ÌýÂ, è
òîãäà äëèíà îñöèëëÿöèé ïîðÿäêà 103 êì. À ñåãîäíÿ
îñöèëëÿöèè îòêðûòû, è èõ âåëè÷èíà ïîðÿäêà 100–
200 êì. Èíûìè ñëîâàìè, ìàññà íåéòðèíî íå ðàâíà
íóëþ (Ïîíòåêîðâî äëÿ ìàññû íåéòðèíî ïðåäïîëîæèë
âåëè÷èíó 10 -11 ýÂ). Òàêèì îáðàçîì, åñëè âñå â ýòî
âðåìÿ óâëåêàëèñü Âåéëåì è ñ÷èòàëè, ÷òî ìàññà íåéòðèíî íîëü è íå î ÷åì ãîâîðèòü, òî Ïîíòåêîðâî âûñêàçàë
âîò òàêóþ ãèïîòåçó. È ÿ åùå ðàç ïîä÷åðêèâàþ, ýòî áûëà
íà ñàìîì äåëå ëèíèÿ îò Ìàéîðàíà: ãèïîòåçà Ìàéîðàíà
– ýòî 1937 ãîä, 1946 ãîä – ðàçìûøëåíèÿ Ïîíòåêîðâî
îòíîñèòåëüíî íåéòðèííîé ôèçèêè, à â 1957 ãîäó, óæå
â Ðîññèè, îí âûñêàçûâàåò èäåþ íåéòðèííûõ îñöèëëÿöèé. Â òî âðåìÿ íåéòðèíî áûëî îäíî. Íî, êñòàòè, îí
ïèøåò, ÷òî åñëè íåéòðèíî áóäåò íå îäíî, à íåñêîëüêèõ
òèïîâ, òî òîæå ìîãóò áûòü íåéòðèííûå îñöèëëÿöèè 6 .
È â 1958 ãîäó Ïîíòåêîðâî âûñêàçûâàåò èäåþ, ÷òî
íåéòðèíî íà ñàìîì äåëå íå îäíî, à èõ ìîæåò áûòü äâà,
÷òî âîçìîæíû íåéòðèíî, ñâÿçàííûå ñ ýëåêòðîíàìè, è
íåéòðèíî, ñâÿçàííûå ñ ìþîíàìè. Ïî åãî èäåå â ÖÅÐÍå
áûë ïîñòàâëåí ýêñïåðèìåíò, â êîòîðîì áûëè îòêðûòû
äâà òèïà íåéòðèíî: íåéòðèíî ýëåêòðîííîå è íåéòðèíî
ìþîííîå (1962 ã.). Âîò òàê. À ïîòîì íàì ãîâîðÿò, ÷òî
ÿïîíöû â 1962 ãîäó ïåðâûå ñêàçàëè: «íåéòðèííûå
îñöèëëÿöèè».
Õîðîøî. Ïîéäåì äàëüøå.
Êàê âèäèòå, âñå íå ïðîñòî. Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü åñòü,
à îí (Ïîíòåêîðâî) – âñå ñâîå. Îí ãîâîðèò î òîì, ÷òî ó
6 Îñöèëëÿöèè óæå íå ìåæäó íåéòðèíî è àíòèíåéòðèíî, à
ìåæäó äâóìÿ òèïàìè íåéòðèíî.
ÍÅÉÒÐÈÍÎ
#
íåéòðèíî ìîãóò áûòü ñîâåðøåííî äðóãèå ñâîéñòâà. Ýòî
âðåìÿ, ïðèáëèçèòåëüíî ñ 1956 ïî 1966 ãîä, – «òåîðåòè÷åñêîå» âðåìÿ, âðåìÿ äèñêóññèé, òàì ìíîãî ÷åãî ñëîæèëîñü, ìíîãî áûëî âûñêàçàíî âñÿêèõ èäåé. Ïîñëå ýòîãî
òåîðåòèêè çàòèõëè, íà÷àëè ðàáîòàòü ýêñïåðèìåíòàòîðû. Ýêñïåðèìåíòàòîðû çà ñëåäóþùèå 20 ëåò äîêàçûâàþò, ÷òî Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü äåéñòâèòåëüíî ðàáîòàåò.
Âîçíèêàþò òðè ãëàâíûõ – òåïåðü óæå íàó÷èëèñü ñ
íåéòðèíî ðàáîòàòü – íàïðàâëåíèÿ â íåéòðèííîé ôèçèêå. Âî-ïåðâûõ, íåéòðèíî íèçêèõ ýíåðãèé – ðåàêòîðíûå
íåéòðèíî â îñíîâíîì èëè áåòà-ðàñïàä. Èäóò èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ íåéòðèíî, äåëàþòñÿ îöåíêè íà ìàññó
íåéòðèíî, ïîëÿðèçàöèþ íåéòðèíî, èùóòñÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî íåéòðèíî íå ðàâíî àíòèíåéòðèíî. È,
íàêîíåö, áûë îòêðûò òàê íàçûâàåìûé íåéòðàëüíûé
êàíàë ðåàêöèè, êîãäà íåéòðèíî íå ðîæäàåò ýëåêòðîí â
îáðàòíîì ïðîöåññå, à ïðîñòî ðàññåèâàåòñÿ. Ðàññåèâàåòñÿ, è âñå. Ïðè÷åì îíî ìîæåò ðàññåèâàòüñÿ íà íóêëîíàõ
– íó, íà äåéòðîíå, íàïðèìåð, è íà ýëåêòðîíàõ. Ïðè
ýòîì îêàçàëîñü, ÷òî â òàêèõ ïðîöåññàõ ôèçèêè âûíóæäåíû ðàáîòàòü ñ ñîâåðøåííî ýêñòðåìàëüíî ìàëûìè
ñå÷åíèÿìè: 10 -43 ñì2 – ýòî åùå õîðîøî. Ñåé÷àñ ðàáîòàþò íà ãðàíè 10 -46 ñì2 . Ôàíòàñòè÷åñêè ìàëûå âåëè÷èíû
– íè÷åãî íèæå ìû íå ñìîæåì ìåðèòü. Íî èìåííî òîãäà
ýòî áûëî îñîçíàíî.
Âòîðîå íàïðàâëåíèå – íåéòðèíî âûñîêèõ ýíåðãèé.
Îíî âîçíèêëî, â ÷àñòíîñòè, â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ôèçèêè
íàó÷èëèñü ðàáîòàòü ñ óñêîðèòåëüíûìè ïó÷êàìè. Â
ïó÷êàõ ïè-ìåçîíîâ, íàïðèìåð, ó âàñ íåéòðèíî ðîæäàþòñÿ îò ðàñïàäà ïèîíîâ, è ýòè íåéòðèíî èìåþò ýíåðãèþ, óæå ãîðàçäî áîëüøóþ – íå ïîðÿäêà 1 ÌýÂ, êàê â
ðåàêòîðíîé ôèçèêå, à ïîðÿäêà 1 ÃýÂ è äàæå âûøå. À
ñå÷åíèå âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî ñ íóêëîíàìè, è âîîáùå âñåõ ñëàáûõ ïðîöåññîâ â ýòîé îáëàñòè, ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ýíåðãèè ïàäàþùåãî íåéòðèíî. Ðàç
òàê, òî âû òåïåðü ìîæåòå, áåðÿ ïó÷êè íåéòðèíî äîñòàòî÷íî âûñîêèõ ýíåðãèé, âûõîäèòü íà áîëüøèå ñå÷åíèÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, ýòî íàïðàâëåíèå ðàçâèâàëîñü, ïîÿâèëèñü íîâûå ìåòîäû ðåãèñòðàöèè íåéòðèíî, â ÷àñòíîñòè
– êàìåðû âñÿêèå, è áûëî äîêàçàíî, ÷òî íåéòðèíî
ýëåêòðîííîå íå ïîõîæå íà íåéòðèíî ìþîííîå, ÷òî
íåéòðèíî ìþîííîå íå ïîõîæå íà ñâîå àíòèíåéòðèíî è
÷òî ñóùåñòâóåò åùå òðåòèé òèï íåéòðèíî, òàê íàçûâàåìîå òàó-íåéòðèíî, îò ðàñïàäà òàó-ìåçîíà. Òàêèì îáðàçîì, ïîÿâèëèñü òðè ñåìåéñòâà íåéòðèíî. Áûëè èññëåäîâàíû ïðîöåññû ðàññåÿíèÿ íåéòðèíî íà ýëåêòðîíàõ è íà
íóêëîíàõ è â ïàðàëëåëü ñ ýòèì áûëè îòêðûòû íîâûå
êâàðêè, c, b, t, ïðè÷åì áûëà íàéäåíà íåêàÿ àíàëîãèÿ
ìåæäó íåéòðèíî è êâàðêàìè. Íåéòðèíî åñòü òðåõ
òèïîâ, è êâàðêîâ åñòü òðè ñåìåéñòâà. Íàêîíåö, ñàìûì
ìîùíûì äîêàçàòåëüñòâîì òîãî, ÷òî Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ðåàëèçóåòñÿ â ïðèðîäå, áûëî äâà îòêðûòèÿ: ïåðâîå – îòêðûòèå íåéòðàëüíûõ ïðîöåññîâ 7 , êîòîðûå
ïðåäñêàçàíû òîëüêî â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, è âòîðîå –
7 Íåéòðàëüíûå òîêè – îäèí èç ìåõàíèçìîâ ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, îñóùåñòâëÿåìûé çà ñ÷åò îáìåíà âèðòóàëüíûìè Záîçîíàìè ìåæäó êâàðêàìè è ëåïòîíàìè áåç èçìåíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà íà÷àëüíûõ è êîíå÷íûõ ÷àñòèö. Ïðåäñêàçàíû â 1973 ãîäó À.Ñàëàìîì, Ø.Ãëýøîó è Ñ.Âàéíáåðãîì,
ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîäòâåðæäåíû â 1974 ãîäó â ÖÅÐÍå.
$
ÊÂÀÍT 2014/¹3
îòêðûòèå W- è Z-áîçîíîâ (ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö –
ïåðåíîñ÷èêîâ ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ), 1983 ãîä. Ïðè÷åì âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî èõ ìàññà ñòðîãî ñîîòâåòñòâóåò
Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Âñå, ôèçèêè äîëæíû áûëè óñïîêîèòüñÿ, Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ðàáîòàåò.
È ïàðàëëåëüíî âîçíèêàåò òðåòüå íàïðàâëåíèå – íåéòðèííàÿ àñòðîôèçèêà. Íà÷èíàþòñÿ ïîèñêè íåéòðèíî îò
Ñîëíöà, îò çâåçä, îò êîëëàïñà ñâåðõíîâûõ, âîçíèêàåò
èäåÿ î òîì, ÷òî âî Âñåëåííîé ñóùåñòâóåò íåéòðèííîå
ìîðå – íåéòðèíî î÷åíü íèçêèõ ýíåðãèé, êîòîðûå îáðàçóþò íåêèé ôîí. Íà÷èíàþòñÿ ñîëíå÷íûå ýêñïåðèìåíòû. Îäèí èç ïåðâûõ ýêñïåðèìåíòîâ êàê ðàç âåëñÿ ïî
ðåàêöèè, êîòîðóþ ïðåäëîæèë Ïîíòåêîðâî: íåéòðèíî
ïàäàåò íà õëîð, ïîëó÷àåòñÿ àðãîí. Ýòî ýêñïåðèìåíò
Äýâèñà, êîòîðûé äåëàëñÿ â òå÷åíèå 30 ëåò â Õîóìñòåéêå
â Àìåðèêå. È, íàêîíåö, âîçíèêàþò ïîäçåìíûå ëàáîðàòîðèè è ïåðâûå íåéòðèííûå òåëåñêîïû.
Èòàê, â ýòîò ïåðèîä íàøå çíàíèå î ñâîéñòâàõ íåéòðèíî ðàñøèðÿåòñÿ äî ïðîöåññîâ ðàññåÿíèÿ, èäóò èññëåäîâàíèÿ â ðàìêàõ Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, íåéòðèíî ïðåâðàùàåòñÿ â èíñòðóìåíò èññëåäîâàíèÿ, ïîÿâëÿþòñÿ íåéòðèííûå ïó÷êè è íåéòðèííûå äåòåêòîðû. Âûÿâëÿåòñÿ
îñîáàÿ ðîëü íåéòðèíî â ìèðîâîé êàðòèíå Âñåëåííîé.
Âîò êàêàÿ ëþáîïûòíàÿ êàðòèíà âîçíèêëà, åñëè ïîñìîòðåòü íà÷èíàÿ ñ 30-õ ãîäîâ. Ïîÿâèëàñü ãèïîòåçà
íåéòðàëüíûõ ÷àñòèö, 1930 ãîä, ïðîèçîøëî îòêðûòèå
íåéòðîíà. Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà áûëà ñôîðìóëèðîâàíà, âîçíèêëà íåéòðîí-ïðîòîííàÿ ìîäåëü ÿäðà.
È ïàðàëëåëüíî íà÷èíàþòñÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ, ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñÿùèå
îò òåîðåòèêîâ, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, òåîðåòè÷åñêèå
èññëåäîâàíèÿ. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ – áåòàðàñïàä ÿäåð, ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, íîâûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ìåòîäû – èäóò íà÷èíàÿ ñ 1930–32 ãîäîâ è äî
êîíöà 1956 ãîäà. Çäåñü âîçíèêàåò òà ñàìàÿ ïðîáëåìà
τ − θ , î êîòîðîé ÿ ðàññêàçàë. Òåîðåòèêè òîæå, êàê
ãîâîðèòñÿ, íå äðåìëþò, ðàçâèâàþò ñâîè ñîáñòâåííûå
ìåòîäû, ðàçìûøëåíèÿ: Ôåðìè ïðèäóìàë ôåíîìåíîëîãè÷åñêóþ òåîðèþ áåòà-ðàñïàäà; âîçíèêàåò ãèïîòåçà
Ìàéîðàíà, êîòîðàÿ åùå âèñèò ñàìà ïî ñåáå, íèêòî
íè÷åãî íå ìîæåò ïðî íåå ñêàçàòü. Ïîÿâëÿåòñÿ èäåÿ î
òîì, ÷òî äîëæíà áûòü ñèììåòðèÿ ïî îòíîøåíèþ ê
ïðîñòðàíñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèÿì, êîòîðàÿ êàê ðàç
çäåñü è íàðóøèëàñü. Âîò òàê ñîøëèñü òåîðåòè÷åñêàÿ è
ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ôèçèêà.
 1956–58 ãîäû âîçíèêàåò ìîùíûé ñêà÷îê, êîãäà
ýêñïåðèìåíò íóæäàåòñÿ â òåîðèè, à òåîðèÿ íóæäàåòñÿ
â ýêñïåðèìåíòå. Íà÷èíàþòñÿ îïÿòü ñîâåðøåííî íåçàâèñèìûå ïðîöåññû, ÿ ýòî ïîä÷åðêèâàþ – î÷åíü ìàëî
âëèÿþùèå äðóã íà äðóãà: ñ îäíîé ñòîðîíû, ðàçâèòèå
ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ìåòîäîâ, ñ äðóãîé ñòîðîíû – ðàçâèòèå òåîðèè. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå ìåòîäû – â ÷èñòîé
ôèçèêå âûñîêèõ ýíåðãèé, ñ àñòðîôèçè÷åñêèìè îáúåêòàìè. À â ïëàíå òåîðèè – ýòî ñòðóêòóðà ÷àñòèö, Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü, íîâûå êâàðêè. È ê ñåðåäèíå 1980-õ ãîäîâ
ñêëàäûâàåòñÿ âîò òàêàÿ ñèòóàöèÿ: óòâåðæäåíà Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü è íà÷èíàåòñÿ ïîèñê âûõîäà èç Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Âîïðîñ – ÷òî äàëüøå? Íó íåëüçÿ æå
îñòàíîâèòüñÿ, äîëæíî áûòü ðàçâèòèå äàëüøå. Òîãäà –
÷òî? Åñòü ëè ÷òî-íèáóäü âíå Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè? Âîò
ýòîò âîïðîñ ñåáå âïåðâûå çàäàþò ôèçèêè. Íî äëÿ òîãî
÷òîáû î íåì ãîâîðèòü, ÿ íàïîìíþ âàì, ÷òî òàêîå
Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ñ ñåãîäíÿøíåé òî÷êè çðåíèÿ.
Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ,
ÿ áóäó î íåé â îñíîâíîì ãîâîðèòü, ñ òî÷êè çðåíèÿ
ìàòåìàòèêè – ñâîåîáðàçíàÿ âåùü. Âðåìÿ îò âðåìåíè â
ôèçèêå âîçíèêàþò òàêèå ìîäåëè, â êîòîðûõ îáúåäèíÿþòñÿ ìàòåìàòèêà è ôèçèêà. È ýòî êàê ðàç îñîáûå òî÷êè,
êîãäà äåéñòâèòåëüíî ïðîèñõîäèò êàêîé-òî âçðûâ íàøåãî ïîíèìàíèÿ. Ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü ñ òî÷êè çðåíèÿ
ìàòåìàòèêè ýòî òàê íàçûâàåìàÿ SU(2)–U(1) ñèììåòðèÿ, êîòîðàÿ õîðîøî èçó÷åíà ìàòåìàòèêàìè óæå äàâíî,
åùå ñ êîíöà ïðîøëîãî âåêà. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè:
ñóùåñòâóþò ëåïòîíû, êîòîðûå îáðàçóþò äóáëåòû
ëåâûõ è ñèíãëåòû ïðàâûõ ÷àñòèö.8 Ñîîòâåòñòâåííî –
äëÿ ýëåêòðîííûõ, ìþîííûõ è òàó-ñåìåéñòâ. Âîò ìàññû
ýòèõ ÷àñòèö: 0,5 Ìý ó ýëåêòðîíà, 105 Ìý ó ìþîíà,
1777 Ìý ó òàó-÷àñòèöû. Íåéòðèíî æå ñóùåñòâóþò
òîëüêî ëåâûå, íèêàêèõ ïðàâûõ íåéòðèíî íåò â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Åñòü ëè ìàññà ó íåéòðèíî? Âîò ïåðâûé
âîïðîñ, êîòîðûé âîçíèêàåò. Ïî Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè,
íà ýòîì óðîâíå, íåò ìàññû, íîëü, íåéòðèíî òîëüêî
ëåâûå, è íèêàêèõ âîïðîñîâ íåò.
Ó êâàðêî⠖ òî æå ñàìîå, åñòü äóáëåòû êâàðêîâ è åñòü
ñèíãëåòû, åñòü ïðàâûå è åñòü ëåâûå. Åñòü u- è d-êâàðêè,
c- è s-êâàðêè, t- è b-êâàðêè. Âîò ìàññû êâàðêîâ íà
ñåãîäíÿøíèé äåíü: îò 2–5 Ìý äëÿ u- è d-êâàðêîâ äî
180 ÃýÂ ó t-êâàðêîâ. Îíè íå òàê äàâíî îòêðûòû,
êñòàòè. Îêàçûâàåòñÿ (è ýòî ïåðâûé âîïðîñ ê òåîðèè),
÷àñòü ýòèõ êâàðêîâ, à èìåííî d, s, b, íå ñàìè ïî ñåáå
âõîäÿò â òåîðèþ, à ñìåøèâàþòñÿ. È ñóùåñòâóåò ÷èñòî
ôåíîìåíîëîãè÷åñêàÿ, íèêàê íå îáúÿñíÿåìàÿ ïîêà ìàòðèöà Êîáàÿøè–Ìàñêàâû, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ýòè ñìåøèâàíèÿ. Îòêóäà îíà âçÿëàñü, ÷òî ýòî òàêîå? Âîïðîñ.
Íî âîçíèêàåò ñëåäóþùèé âîïðîñ: à åñòü ëè ñìåøèâàíèå
íåéòðèíî?
Äàëüøå. Âñå âçàèìîäåéñòâèÿ â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè
óñòðîåíû î÷åíü ïðîñòî. Åñòü òàê íàçûâàåìîå êàëèáðîâî÷íîå âçàèìîäåéñòâèå è åñòü êîíñòàíòû, ñâÿçûâàþùèå
ðàçëè÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ.  íóëåâîì ïðèáëèæåíèè â
òåîðèè âñå áåçìàññîâîå, íè÷åãî íåò ìàññèâíîãî. Çàòåì
âêëþ÷àåòñÿ ìåõàíèçì ïîÿâëåíèÿ ìàññû, òàê íàçûâàåìûé õèããñîâñêèé ìåõàíèçì. Èñòî÷íèê ìàññû – âîò ýòîò
áîçîí Õèããñà, êîòîðûé äî ñèõ ïîð íå îòêðûò9 , à äàëüøå
÷àñòü èç ýòèõ ÷àñòèö, â ÷àñòíîñòè áîçîíîâ, ïîëó÷àåò
ìàññû. Ãàììà-êâàíò îñòàåòñÿ áåçìàññîâûé, à Z- è Wáîçîíû ïîëó÷àþò îïðåäåëåííóþ ìàññó. Çíà÷èò, äëÿ
òîãî ÷òîáû îõàðàêòåðèçîâàòü ýòè óïîìÿíóòûå êîíñòàíòû, äîñòàòî÷íî ââåñòè îäèí ýêñïåðèìåíòàëüíûé óãîë,
óãîë Âàéíáåðãà10 . Ïðè ýòîì âïåðâûå â ôèçèêå âîçíèêàåò íåêèé ìåõàíèçì ïîÿâëåíèÿ ìàññû. Ìû äî ñèõ ïîð
íå çíàåì, ïðàâèëüíûé èëè íåïðàâèëüíûé ìåõàíèçì
8
×àñòèöû ñ «ëåâîé» ñïèðàëüíîñòüþ – ýòî òå ÷àñòèöû, ó
êîòîðûõ ñïèí íàïðàâëåí ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ
÷àñòèöû. Ó «ïðàâûõ» ñïèí íàïðàâëåí ïî äâèæåíèþ ÷àñòèöû.
9 Áîçîí Õèããñà îòêðûò ýêñïåðèìåíòàëüíî â 2012 ãîäó (áûë
ïðåäñêàçàí áðèòàíñêèì ôèçèêîì Ï.Õèããñîì â 1964 ãîäó).
10 Ïàðàìåòð â òåîðèè ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ,
êîòîðûé îïðåäåëÿåò ñâÿçü ìåæäó êîíñòàíòàìè ñëàáîãî è
ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèé.
Î×ÅÐÊ
ÈÑÒÎÐÈÈ
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÉ
ïðåäëîæåí, íî, âî âñÿêîì ñëó÷àå, íà òîì óðîâíå, íà
êîòîðîì ìû ñåãîäíÿ ôèçèêó ïîíèìàåì, ýòîò ìåõàíèçì
ðàáîòàåò.
Èòàê, ñóùåñòâóþò ëåïòîíû è êâàðêè, ýòî ÷àñòèöûôåðìèîíû, ò.å. ÷àñòèöû ñ ïîëîâèííûì ñïèíîì. Ñóùåñòâóþò ïåðåäàò÷èêè êàëèáðîâî÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ –
γ -êâàíòû, W- è Z-áîçîíû, è âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîèñõîäÿò óíèâåðñàëüíî: âîò ó âàñ ëåòèò êâàðê èëè ëåïòîí, îí
èñïóñêàåò ïðè âçàèìîäåéñòâèè îäèí èç ýòèõ áîçîíîâ è
ïåðåõîäèò â íîâîå ñîñòîÿíèå. Ýòî ñõåìà âñåõ âçàèìîäåéñòâèé, êîòîðûå ìû ñåé÷àñ çíàåì è êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Çíà÷èò, âîçíèêàåò óíèâåðñàëüíàÿ âçàèìîñâÿçü âñåõ ïîëåé, ò.å. âîçìîæíî, ÷òî
åñòü äàæå íåêàÿ îáùàÿ åäèíàÿ êîíñòàíòà, êîòîðàÿ
ïîñòåïåííî, çà ñ÷åò ðàçíûõ ýòàïîâ íàðóøåíèÿ ñïîíòàííîé ñèììåòðèè, ïåðåõîäèò â äðóãèå, è èñòî÷íèêîì
âîçíèêíîâåíèÿ ìàññû ÿâëÿåòñÿ ñïîíòàííîå íàðóøåíèå
ñèììåòðèè âàêóóìà. Âîò ÷òî ñåãîäíÿ ìû çíàåì.
Êàêèå íåäîñòàòêè ó ýòîé òåîðèè? Ïðåæäå âñåãî,
íåïîíÿòíî, êàê ýòè ïîêîëåíèÿ îáðàçîâàëèñü, ïî÷åìó ó
íèõ ñîâåðøåííî ðàçíûå ìàññû è ò.ï. Äàëüøå. Êàêîâà
ìàññà íåéòðèíî? Çäåñü (â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè) îíà
íîëü, íî, ìîæåò áûòü, îíà íå íîëü? Ïî÷åìó ïðîèñõîäèò
ñìåøèâàíèå ýòèõ ïîêîëåíèé? È, íàêîíåö, îòêóäà âçÿëèñü âîò ýòî íàðóøåíèå è âîò ýòà êîíñòàíòà, êîòîðàÿ
ñâÿçàíà ñ ýòèìè íàðóøåíèÿìè (ò.å. óãîë Âàéíáåðãà)?
Çäåñü ÿ õî÷ó îáðàòèòü âàøå âíèìàíèå íà î÷åíü èíòåðåñíóþ àíàëîãèþ ìåæäó íüþòîíîâñêîé òåîðèåé, êîòîðóþ
âñå çíàþò, è Ñòàíäàðòíîé ìîäåëüþ. Â Ñòàíäàðòíîé
ìîäåëè âû èìååòå áåçìàññîâûå ÷àñòèöû, â íóëåâîì
ïðèáëèæåíèè. Áåçìàññîâûå ÷àñòèöû – ýòî âåùü, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ãåîìåòðèþ. Íå íóæíî íèêàêîé ôèçèêè,
÷òîáû îïèñàòü áåçìàññîâûå ÷àñòèöû. ×èñòàÿ ãåîìåòðèÿ, ñ òî÷êè çðåíèÿ ñîâðåìåííîé âûñøåé ãåîìåòðèè.
Òî÷íî òàê æå â íüþòîíîâñêîé òåîðèè âû èìååòå èíåðöèîííîå äâèæåíèå – åñëè ó âàñ íåò íèêàêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, âñå âûêëþ÷åíî, òî ÷àñòèöû áóäóò äâèãàòüñÿ ïî
èíåðöèè ïî ïðÿìûì. Íî ïðÿìûå – ýòî îïÿòü æå ÷èñòàÿ
ãåîìåòðèÿ. Â îñíîâó è òîé, è äðóãîé òåîðèé ïîëîæåíà
÷èñòàÿ ãåîìåòðèÿ. À äàëüøå âêëþ÷àåòñÿ ôèçèêà. Â
íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêå âêëþ÷àþòñÿ ñèëû, è âñå ÷àñòèöû íà÷èíàþò äâèãàòüñÿ ïî íåêîòîðûì òðàåêòîðèÿì, ò.å.
íà÷èíàåòñÿ íàðóøåíèå ãåîìåòðèè. Òî÷íî òàê æå â
ôèçèêå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö âêëþ÷àþòñÿ êàëèáðîâî÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ, õèããñîâñêèé ìåõàíèçì, è ó âàñ âñå
íà÷èíàåòñÿ, âîçíèêàåò ôèçèêà. Ôèçèêà îòëè÷àåòñÿ îò
ìàòåìàòèêè òåì, ÷òî â íåé åñòü íàðóøåíèå ñèììåòðèè.
Âîò òàêèå ìàëåíüêèå ðàçìûøëåíèÿ…
Íó, òåïåðü ìû ïåðåõîäèì, äåëàåì øàã, ê ñîâðåìåííîé
òåîðèè, ê ñîâðåìåííîé ôèçèêå. Ñ 1980-õ ãîäîâ òåîðèÿ
íà÷èíàåò èñêàòü âûõîä èç Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè. Åñòü
äâà ïóòè, ïî êîòîðûì èäåò òåîðèÿ. Ïåðâàÿ èäåÿ áûëà
ñâÿçàíà ñ Âåëèêèì îáúåäèíåíèåì. Äàâàéòå â Ñòàíäàðòíîé ìîäåëè, ãäå ó íàñ áûëà ïðîñòåéøàÿ ñèììåòðèÿ,
ââåäåì âñå áîëåå è áîëåå âûñîêèå ìàòåìàòè÷åñêèå
ñèììåòðèè – âìåñòî SO(2) ðàññìîòðèì SO(5) è ò.ä.
Èíûìè ñëîâàìè, ìàòåìàòè÷åñêè áóäåì âñå áîëåå è
áîëåå ðàñøèðÿòü ïîëå ýòèõ ÷àñòèö. Ïðè ýòîì ìû
íà÷íåì îáúåäèíÿòü ìåæäó ñîáîé ýëåêòðîäèíàìèêó ñ
ôèçèêîé ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, çàòåì ïðèñîåäèíèì ê
ÍÅÉÒÐÈÍÎ
%
íèì ñèëüíîå âçàèìîäåéñòâèå, ïîòîì äîáàâèì ãðàâèòàöèþ, è òàêèì îáðàçîì ó íàñ áóäåò ðàçâèâàòüñÿ òåîðèÿ.
Âîò îáùàÿ èäåÿ òåîðèè Âåëèêîãî îáúåäèíåíèÿ. Íî
âîçìîæåí äðóãîé ïóòü – è, ñêîðåå âñåãî, ïî ýòîìó ïóòè
ïîøëà Ïðèðîäà: à âäðóã ó íåéòðèíî (èìåííî ó íåéòðèíî â äàííîì ñëó÷àå) åñòü íåñòàíäàðòíûå ñâîéñòâà?
Íàïðèìåð, åñòü ìàéîðàíîâñêîå íåéòðèíî, ò.å. íåéòðèíî ðàâíî àíòèíåéòðèíî. Èëè ó âàñ åñòü îñöèëëÿöèè –
ïåðåõîä íåéòðèíî ýëåêòðîííîãî è ìþîííîãî â òàóíåéòðèíî. Èëè îñöèëëÿöèè â âåùåñòâå, êîòîðûå áûëè
ïðèäóìàíû íåìíîæêî ïîçæå. Ó íåéòðèíî åñòü ìàãíèòíûé ìîìåíò, à äàâàéòå ââîäèòü ïðåöåññèþ ýòîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íåéòðèíî â âåùåñòâå. È òàê äàëåå, ò.å.
âòîðîé ïóòü – ýòî ïóòü, ñâÿçàííûé ñ íåñòàíäàðòíîñòüþ
íåéòðèíî.
È êàê íà ýòî íà÷èíàþò îòâå÷àòü ýêñïåðèìåíòû? Íàäî
ñêàçàòü, ÷òî î÷åíü èíòåðåñíûì ìîìåíòîì, ñâÿçàííûì ñ
ðàçâèòèåì ýêñïåðèìåíòà, îêàçàëñÿ âçðûâ ñâåðõíîâîé.
 1987 ãîäó, ñïåöèàëüíî äëÿ ôèçèêîâ, â Áîëüøîì
Ìàãåëëàíîâîì îáëàêå âçîðâàëàñü ñâåðõíîâàÿ. Â äåíü
Ñîâåòñêîé Àðìèè, 23 ôåâðàëÿ. Èìåííî ïî ýòîé ïðè÷èíå ðîññèéñêèå ôèçèêè íå âñå çàðåãèñòðèðîâàëè ýòîò
âçðûâ. Íàïðèìåð, â Êðàñíîÿðñêå ïîä çåìëåé áûë
âûõîäíîé äåíü â ÷åñòü 23 ôåâðàëÿ. È âïåðâûå â
èñòîðèè ÷åëîâå÷åñòâà áûë íàáëþäåí âçðûâ ñâåðõíîâîé
íå òîëüêî â ñâåòîâîé îáëàñòè, íî è â íåéòðèííîé
îáëàñòè. À èìåííî, áûëî çàðåãèñòðèðîâàíî ïðèáëèçèòåëüíî îêîëî äâóõ äåñÿòêîâ íåéòðèííûõ âñïûøåê,
íåéòðèííûõ ñëåäîâ â ïÿòè îñíîâíûõ äåòåêòîðàõ, êîòîðûå â ýòî âðåìÿ ðàáîòàëè íà çåìëå. Íî äàæå è çäåñü
âîçíèêëà î÷åíü çàáàâíàÿ ñèòóàöèÿ, åùå îäíà çàãàäêà
íåéòðèíî. Âñå çàðåãèñòðèðîâàëè ýòè âñïûøêè ïðèáëèçèòåëüíî â îäíî è òî æå âðåìÿ. Õîòÿ, íàäî ñêàçàòü,
âîçíèêëà ôàíòàñòè÷åñêàÿ ñèòóàöèÿ – ó ÿïîíöåâ(!)
÷àñû ñëîìàëèñü. Ïðè÷åì íå ïðîñòî ñëîìàëèñü – òàì íà
ìèíóòó ãäå-òî îòëè÷èå áûëî, õîòÿ âñå âñïûøêè â
ñåêóíäàõ ñ÷èòàþòñÿ. Íî, â êîíöå êîíöîâ, äîãîâîðèëèñü, ñäâèíóëè ÿïîíñêèå ÷àñû â íóæíîå ìåñòî, è âðîäå
âñå ñîøëîñü. Òàê âîò, çà ïÿòü ÷àñîâ äî ýòîé âñïûøêè –
ýòî çàðåãèñòðèðîâàëè ïÿòü äåòåêòîðî⠖ áûëî çàðåãèñòðèðîâàíî åùå ÷åòûðå ñîáûòèÿ. Âîò ýòî – çàãàäêà,
êîòîðàÿ ñóùåñòâóåò äî ñèõ ïîð, ïðàâäà â ïîñëåäíåå
âðåìÿ ìû íà÷èíàåì åå ðàçãàäûâàòü. Íèêòî ïðîñòî â ýòî
íå âåðèë â òå÷åíèå âñåõ äâàäöàòè ëåò.
Äàëüøå – ðåàêòîðíûå íåéòðèíî. Ê ýòîìó âðåìåíè
áûëè ïîìåðåíû âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðèíî ñ ïðîòîíàìè,
ñ äåéòðîíàìè, ñ ýëåêòðîíàìè, èçìåðåí ìàãíèòíûé
ìîìåíò íåéòðèíî, è íà÷àëè èñêàòü íåéòðèííûå îñöèëëÿöèè â ðåàêòîðíûõ íåéòðèíî. È, íàêîíåö, áûëà
ïðèäóìàíà ñîâñåì èíòåðåñíàÿ âåùü. Îêàçûâàåòñÿ, ñ
ïîìîùüþ íåéòðèíî ìîæíî äèàãíîñòèðîâàòü ðàáîòó
ðåàêòîðî⠖ íà ðàññòîÿíèè 100 ì ïîñòàâèòü äåòåêòîðû
è ñìîòðåòü, êàê ðàáîòàþò ðåàêòîðû.  Èðàíå, íàïðèìåð. È ñîîáùàòü â ÌÀÃÀÒÝ – ñåãîäíÿ îíè íàðàáàòûâàþò ïëóòîíèé èëè íå íàðàáàòûâàþò. Ýòî íàçûâàåòñÿ
íåéòðèííîé äèàãíîñòèêîé. Ê ñîæàëåíèþ, îíà ïîêà íå
ðåàëèçóåòñÿ, íî ïðèíöèïèàëüíî îíà ñóùåñòâóåò, îíà
âîçìîæíà.
Äàëüøå – ñîëíå÷íûå íåéòðèíî. Ïåðâûå ýêñïåðèìåíòû, êàê ÿ óæå ãîâîðèë, ýòî áûëè ýêñïåðèìåíòû Äýâèñà.
&
ÊÂÀÍT 2014/¹3
Ñîëíå÷íûå íåéòðèíî èçó÷àëèñü ñ ïîìîùüþ õëîð-àðãîíîâîãî ìåòîäà, ïîòîì áûë ñîçäàí áîëüøîé äåòåêòîð
Êàìèîêàíäà â ßïîíèè, è áûëî äîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóåò äåôèöèò íåéòðèíî îò Ñîëíöà. Ýòîò äåôèöèò ïîòîì
áûë ïîäòâåðæäåí â ýêñïåðèìåíòàõ ó íàñ íà Áàêñàíå, íà
äåòåêòîðå Ñóïåð-Êàìèîêàíäà, è, íàêîíåö, â Ñîëíå÷íîé
íåéòðèííîé îáñåðâàòîðèè â Êàíàäå.
Äàëüøå – óñêîðèòåëüíûå íåéòðèíî. Äåéñòâèòåëüíî,
â óñêîðèòåëÿõ íà÷àëè ðàáîòàòü ñ âûñîêèìè ýíåðãèÿìè,
è áûë íàéäåí ýôôåêò, êîòîðûé äî ñèõ ïîð îñòàåòñÿ
íåïîíÿòûì. Â Àìåðèêå, íà óñêîðèòåëå â Ëîñ-Àëàìîñå,
áûëè çàðåãèñòðèðîâàíû íåîáû÷íûå íåéòðèííûå îñöèëëÿöèè. Åñòü îíè èëè íåò – ìû äî ñèõ ïîð íå çíàåì.
Ìîæåò áûòü, ýòî îøèáêà, ìîæåò áûòü – íåò. Íàêîíåö,
â óñêîðèòåëüíûõ íåéòðèíî íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ
òîæå ðàáîòàþò ñ îñöèëëÿöèÿìè, ñåãîäíÿ ýòî óæå ñòàíîâèòñÿ òðèâèàëüíîñòüþ.
Äàëüøå – àòìîñôåðíûå íåéòðèíî. Íåéòðèíî, êîòîðûå ðîæäàþòñÿ â ïðîöåññàõ â êîñìè÷åñêèõ ëó÷àõ,
ìîæíî òîæå ðåãèñòðèðîâàòü, è â 1998–99 ãîäàõ áûëè
íàéäåíû îñöèëëÿöèè ýòèõ íåéòðèíî. Ïîêà ýòî îñòàåòñÿ
çàãàäêîé, õîòÿ èäåò ìíîãî èññëåäîâàíèé ïî áåòà-ðàñïàäó íåéòðîíà. Òî îí âëåçàåò â Ñòàíäàðòíóþ ìîäåëü, òî
äåëàåòñÿ ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò è îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
òàì ðàñõîæäåíèå íà íåñêîëüêî ñèãìà11 . È òàê äî ñèõ
ïîð. Äî ïîñëåäíåãî âðåìåíè ìû áûëè óâåðåíû, ÷òî
âðåìÿ æèçíè íåéòðîíà ìåðÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ îäíîé
ñåêóíäû. À íåäàâíî Àíàòîëèé Ñåðåáðîâ èç Ëåíèíãðàäà
ñäåëàë ýêñïåðèìåíò è ïîêàçàë, ÷òî ó íåãî ïîëó÷èëîñü
îòëè÷èå íà 10 ñåêóíä.
Íó è, íàêîíåö, – ìàññà íåéòðèíî. Åùå Ïîíòåêîðâî
ïðåäëîæèë èñïîëüçîâàòü òðèòèé, äëÿ òîãî ÷òîáû èçìåðèòü ìàññó íåéòðèíî. Ñåé÷àñ ýòè ýêñïåðèìåíòû âåäóòñÿ, è îíè ïîçâîëèëè íàì ñêàçàòü, ÷òî ìàññà ýëåêòðîííîãî íåéòðèíî, êîòîðîå âûëåòàåò èç òðèòèÿ, âî âñÿêîì
ñëó÷àå ìåíüøå ÷åì 2 ýÂ. ×òî òîæå íåïëîõî.
ß çàêàí÷èâàþ ñâîé ðàññêàç îá èñòîðèè ðàçâèòèÿ
íàøèõ ïðåäñòàâëåíèé î íåéòðèíî. Êàê âèäèòå, î÷åíü
ìíîãî íîâîãî è íåîæèäàííîãî, ìíîãî êëþ÷åâûõ äëÿ
ôèçèêè èäåé ïðèíåñëà ýòà îáëàñòü. ß äóìàþ, ÷òî
èìåííî â íåé íàì è â áóäóùåì ñëåäóåò æäàòü ñþðïðèçîâ, íîâûõ èäåé è ïîâîðîòíûõ ìîìåíòîâ â ðàçâèòèè
ôèçèêè.
Èìåííîé êîììåíòàðèé
(ðàñïîëîæåíèå – ïî ìåðå óïîìèíàíèÿ â òåêñòå ñòàòüè )
×æýíäàî Ëè (ðîä. â 1926 ã.) – êèòàéñêèé è àìåðèêàíñêèé ôèçèê. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå
(ñîâìåñòíî ñ ×.ßíãîì) «çà ïðèñòàëüíîå èçó÷åíèå òàê
íàçûâàåìûõ çàêîíîâ ÷åòíîñòè, êîòîðîå ïðèâåëî ê âàæíûì
îòêðûòèÿì â îáëàñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö» çà 1957 ãîä.
×æýíüíèí ßíã (ðîä. â 1922 ãîäó) – êèòàéñêèé è
àìåðèêàíñêèé ôèçèê. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî
ôèçèêå (ñîâìåñòíî ñ ×.Ëè) çà 1957 ãîä.
Öçÿíüñþí Âó (1912–1997) – àìåðèêàíñêèé ôèçèê êèòàéñêîãî ïðîèñõîæäåíèÿ, ïîñòàâèëà çíàìåíèòûé «ýêñïåðèìåíò Âó», äîêàçàâøèé íåñîõðàíåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé
÷åòíîñòè â ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ.
11
Ñèãìà ( σ ) – âåëè÷èíà ñòàíäàðòíîé îøèáêè èçìåðåíèÿ.
Âëàäèìèð Ìèõàéëîâè÷ Ëîáàø¸â (1934–2011) – ñîâåòñêèé è ðîññèéñêèé ôèçèê-ÿäåðùèê.
Þðèé Ãåîðãèåâè÷ Àáîâ (ðîä. â 1922 ã.) – ñîâåòñêèé è
ðîññèéñêèé ôèçèê, îòêðûâàòåëü ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
íóêëîíîâ â ÿäðàõ.
Ðè÷àðä Ôèëëèïñ Ôåéíìàí (1918–1988) – âûäàþùèéñÿ
àìåðèêàíñêèé ó÷åíûé, îäèí èç àâòîðîâ çíàìåíèòûõ «Ôåéíìàíîâñêèõ ëåêöèé ïî ôèçèêå», ïðåêðàñíûé ïîïóëÿðèçàòîð íàóêè. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå
(ñîâìåñòíî ñ Ñ.Òîìîíàãîé è Äæ.Øâèíãåðîì) çà 1965 ãîä.
Ðàéìîíä Äýâèñ ìëàäøèé (1914–2006) – àìåðèêàíñêèé
õèìèê è ôèçèê. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå
«çà ñîçäàíèå íåéòðèííîé àñòðîíîìèè» çà 2002 ãîä.
Ñòèâåí Âàéíáåðã (ðîä. â 1933 ã.) – àìåðèêàíñêèé
ôèçèê. Óãîë Âàéíáåðãà – îäèí èç ïàðàìåòðîâ òåîðèè
ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ Ãëýøîó–Âàéíáåðãà–Ñàëàìà. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå (ñîâìåñòíî
ñ Ø.Ãëýøîó è À.Ñàëàìîì) çà 1979 ãîä.
Ïèòåð Óýéð Õèããñ (ðîä. â 1929 ã.) – áðèòàíñêèé ôèçèêòåîðåòèê, ÷ëåí Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà. Â
1960-å ãîäû ïðåäñêàçàë ñóùåñòâîâàíèå íîâîé ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû, íàçûâàåìîé òåïåðü áîçîíîì Õèããñà. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå (ñîâìåñòíî ñ Ô.Ýíãëåðîì) çà 2013 ãîä.
Àíàòîëèé Ïàâëîâè÷ Ñåðåáðîâ (ðîä. â 1944 ã.) –
ðîññèéñêèé ôèçèê, ñïåöèàëèñò â îáëàñòè èññëåäîâàíèÿ
ôóíäàìåíòàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé è íåéòðîííîé ôèçèêè.
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà
1. Èñòîðèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà è ñâÿçàííûå ñ íèì ïðåäñòàâëåíèÿ è ñîáûòèÿ ôèçèêè òåõ ëåò îïèñàíû ñàìèì Ï. Äèðàêîì
â ñòàòüå «Ðåëÿòèâèñòñêîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ýëåêòðîíà»
(Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê, 1979, ò. 129, â. 4, ñ. 681–691). Â
ðóññêîì ïåðåâîäå ñòàòüÿ äîñòóïíà â èíòåðíåòå ïî àäðåñó:
http://ufn.ru/ufn79/ufn79_8/Russian/r798e.pdf
2. Îá èñòîðèè ãèïîòåçû Ëàíäàó î ñóùåñòâîâàíèè «ïëîòíûõ
çâåçä», êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïåðâîå ïðåäñêàçàíèå íåéòðîííûõ çâåçä (ñäåëàííîå äî îòêðûòèÿ íåéòðîíà),
ìîæíî ïðî÷èòàòü â ñòàòüå Ä.Ã.ßêîâëåâà, Ï.Õýíñåëÿ, Ã.Áåéìà è Ê.Ïåòèêà «Ë.Ä.Ëàíäàó è êîíöåïöèÿ íåéòðîííûõ çâåçä»
(Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê, 2013, ò. 183, â. 3, ñ. 307–314).
Àäðåñ ñòàòüè â èíòåðíåòå: http://ufn.ru/ru/articles/2013/
3/f/
3. Ãèïîòåçà Ìàéîðàíà ïîäðîáíî îáñóæäàåòñÿ â ñòàòüå
ñàìîãî Ý.Ìàéîðàíà «Ñèììåòðè÷íàÿ òåîðèÿ ýëåêòðîíà è
ïîçèòðîíà» (Ôèçèêà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö è àòîìíîãî ÿäðà,
2003, ò. 34, â. 1, ñ. 242–256), à òàêæå â ñòàòüå Þ.Â.Ãàïîíîâà
«Íà÷àëî ìàéîðàíîâñêîé ôèçèêè. Ïàìÿòè Ý.Ìàéîðàíû» (òàì
æå, ñ. 240–241). Îáå ñòàòüè äîñòóïíû â èíòåðíåòå ïî
àäðåñàì: http://www1.jinr.ru/Archive/Pepan/v-34-1/
7.htm; http://www1.jinr.ru/Archive/Pepan/v-34-1/v-341-6.pdf
4. Îá ýâîëþöèè Âñåëåííîé, ñóïåðãðàâèòàöèè è ñóïåðñòðóíàõ, î êâàíòîâîé õðîìîäèíàìèêå, ïîïûòêàõ ïîñòðîåíèÿ
åäèíîé òåîðèè ïîëÿ è èõ ñîçäàòåëÿõ ïðåêðàñíî íàïèñàíî â
ïîïóëÿðíîé êíèãå Áàððè Ïàðêåðà «Ìå÷òà Ýéíøòåéíà. Â
ïîèñêàõ åäèíîé òåîðèè ñòðîåíèÿ Âñåëåííîé» (Ì.: Íàóêà,
Ãëàâíàÿ ðåäàêöèÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 1991,
ïåðåâîä ñ àíãëèéñêîãî Â.È. è Î.È.Ìàöàðñêèõ, ïîä ðåäàêöèåé ß.À.Ñìîðîäèíñêîãî). Àäðåñ êíèãè â èíòåðíåòå: http://
www.ega-math.narod.ru/Reid/Parker.htm
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
Çàäà÷è
ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå
Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è
íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå
çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ,
íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå.
Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò».
Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ
êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå «Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹3–2014» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ
Âû ïîñûëàåòå, íàïðèìåð «Ì2341» èëè «Ô2348».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî.  ïèñüìî
âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå
ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå ìîæíî ïðèñûëàòü òàêæå ïî ýëåêòðîííûì
àäðåñàì: math@kvant.ras.ru è phys@kvant.ras.ru ñîîòâåòñòâåííî.
Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì êîíâåðòå â äâóõ
ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî
ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).
 íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü.
Çàäà÷à M2345 ïðåäëàãàëàñü íà XII Óñòíîé îëèìïèàäå ïî ãåîìåòðèè, çàäà÷à Ì2346 – íà VII Þæíîì ìàòåìàòè÷åñêîì
òóðíèðå, çàäà÷à Ì2348 – íà XVII Êóáêå ïàìÿòè À.Í.Êîëìîãîðîâà.
Çàäà÷è Ì2341–Ì2348, Ô2348–Ô2354
M2341. Íà ñòîðîíàõ BC è AC òðåóãîëüíèêà âûáèðàþòñÿ òî÷êè M è N ñîîòâåòñòâåííî. Îòðåçêè AM è BN
äåëÿò òðåóãîëüíèê íà ÷åòûðå ÷àñòè. Ïóñòü s – íàèìåíüøàÿ èç ïëîùàäåé ýòèõ ÷àñòåé, à S – íàèáîëüøàÿ.
Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå îòíîøåíèÿ
s/S.
È.Àêóëè÷
M2342. Ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëîâà, ñîñòîÿùèå èç áóêâ À
è Á. Íàéäèòå íàèìåíüøåå n, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùåìó óñëîâèþ: â ëþáîì ñëîâå äëèíû n íàéäóòñÿ
äâà èäóùèõ ïîäðÿä îäèíàêîâûõ ïîäñëîâà äëèíû áîëüøå 1.
À.Ñïèâàê
M2343. Íà îêðóæíîñòè äëèíû 1 îòìå÷åíû m êðàñíûõ
òî÷åê – âåðøèí íåêîòîðîãî ïðàâèëüíîãî m-óãîëüíèêà è
n ñèíèõ òî÷åê – âåðøèí íåêîòîðîãî ïðàâèëüíîãî
n-óãîëüíèêà. Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå
ìèíèìàëüíîé äëèíû äóãè, äâà êîíöà êîòîðîé – êðàñíàÿ
è ñèíÿÿ òî÷êè.
Â.Øàðè÷
M2344. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî n íàçîâåì ïðàâèëüíûì,
åñëè äëÿ ëþáîãî 100-çíà÷íîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a
âåðíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: ÷èñëî a n (â äåñÿòè÷íîé çàïèñè) îêàí÷èâàåòñÿ íà a òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà a2 îêàí÷èâàåòñÿ íà a. Íàéäèòå âñå ïðàâèëüíûå
÷èñëà.
Â.Ñåíäåðîâ
M2345. Îòðåçîê AD – äèàìåòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè
îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC. ×åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò ýòîãî òðåóãîëüíèêà ïðîâåëè ïðÿìóþ,
ïàðàëëåëüíóþ ñòîðîíå BC, êîòîðàÿ ïåðåñåêàåò ñòîðîíû AB è AC â òî÷êàõ E è F ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.1).
Äîêàæèòå, ÷òî ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà DEF â äâà ðàçà
áîëüøå ñòîðîíû BC.
Ä.Ïðîêîïåíêî
M2346. Äëÿ èçîáðàæåíèÿ
ìíîæåñòâ ÷àñòî ðèñóþò òàê
íàçûâàåìûå êðóãè Ýéëåðà.
Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 2
èçîáðàæåíû òðè âûïóêëûå
ôèãóðû A, B, C, ãðàíèöû
êîòîðûõ äåëÿò ïëîñêîñòü íà Ðèñ. 1
îáëàñòè òàê, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà ôèãóð åñòü îáëàñòü, ïðèíàäëåæàùàÿ
â òî÷íîñòè ôèãóðàì èç ýòîãî ïîäìíîæåñòâà. Âûÿñíèòå, ìîæíî ëè äëÿ
êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n > 3 íàðèñîâàòü
àíàëîãè÷íóþ äèàãðàììó, èëëþñòðèðóþùóþ ïåðåñå÷åíèå n
ïîäìíîæåñòâ. Èíà÷å
ãîâîðÿ, ïðè êàêèõ
n > 3 íà ïëîñêîñòè
ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî âûïóêëûõ ôèÐèñ. 2
ãóð M1,…, Mn òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî
íåïóñòîãî ïîäìíîæåñòâà S ⊂ {1, 2, …, n} íàéäåòñÿ òî÷êà, êîòîðàÿ ëåæèò âíóòðè Mi ïðè i ∈ S è âíå Mi
ïðè i ∉ S ?
Ï.Êîæåâíèêîâ
M2347.  êàæäîé ãðàíè÷íîé êëåòêå òàáëèöû
2013 × 2013 ïîñòàâèëè ïî öåëîìó ÷èñëó. Äîêàæèòå,
÷òî ìîæíî çàïîëíèòü âñå îñòàëüíûå êëåòêè öåëûìè
ÊÂÀÍT 2014/¹3
÷èñëàìè òàê, ÷òîáû ñóììà ÷èñåë â êàæäîì êâàäðàòå
3 × 3 , ñîäåðæàùåìñÿ â òàáëèöå, áûëà ðàâíà íóëþ.
Ä.Õðàìöîâ
ñîñóäà èìååò ôîðìó êóáà ñ äëèíîé ðåáðà À, ïðè÷åì
êàæäîå ðåáðî ïàðàëëåëüíî îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò.
Á.Ïàñêàëü
M2348. Äëÿ ÷èñåë x1, x2 , …, xn îáîçíà÷èì
1
.
[x1, x2 , …, xn ] =
1
x1 −
1
x2 −
1
−
xn
Ïóñòü a1, …, ak , b1, …, bn – íàòóðàëüíûå ÷èñëà, íå ìåíüøèå 2, äëÿ êîòîðûõ [a1, …, ak ] + [b1, …, bn ] > 1 . Äîêàæèòå, ÷òî íàéäóòñÿ òàêèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà p ≤ k è
q ≤ n , ÷òî a1, …, ap  + b1, …, bq  = 1 .
À.Óñòèíîâ
Ô2351.  íåïîäâèæíîé ãîðèçîíòàëüíîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå ñ æåñòêèìè è íå ïðîâîäÿùèìè òåïëî ñòåíêàìè íàõîäèòñÿ ãàçîîáðàçíûé ãåëèé. Òåìïåðàòóðà ãàçà
î÷åíü ìàëà (íàïðèìåð, ïîðÿäêà 0,1 Ê). Êîíöåíòðàöèÿ
ìîëåêóë ãàçà n0 çíà÷èòåëüíî ìåíüøå âåëè÷èíû D-3 ,
ãäå D – õàðàêòåðíûé ðàçìåð ìîëåêóë ãåëèÿ. Âíåçàïíî
ïîðøåíü, ïåðåêðûâàþùèé òðóáó, ïðèõîäèò â äâèæåíèå
âäîëü îñè ñèììåòðèè òðóáû ñ áîëüøîé ïîñòîÿííîé
ñêîðîñòüþ v (ðàâíîé, íàïðèìåð, 3 êì/ñ). Êàêîé áóäåò
òåìïåðàòóðà ãàçà T ïåðåä ïîðøíåì? Êàêîå äàâëåíèå p
áóäåò îêàçûâàòü ãàç íà ïîðøåíü? Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ u
áóäåò óäàëÿòüñÿ îò ïîðøíÿ ãðàíèöà ðàçäåëà ìåæäó
îáëàñòüþ, çàíÿòîé ãàçîì ïðè íèçêîé òåìïåðàòóðå, è
îáëàñòüþ, ãäå ìîëåêóëû äâèãàþòñÿ ñ óïîðÿäî÷åííîé
ñêîðîñòüþ, ðàâíîé v? Êàêîé áóäåò êîíöåíòðàöèÿ n
ìîëåêóë âáëèçè ïîðøíÿ?
Â.Ñåðãååâ
Ô2348. Íà îäíîðîäíóþ øåðîõîâàòóþ ãîðèçîíòàëüíóþ
ïîâåðõíîñòü íåïîäâèæíîé äîñêè ìàññîé M è äëèíîé L
ïîïàë äâèãàâøèéñÿ ãîðèçîíòàëüíî è ïîñòóïàòåëüíî
ïëîñêèé ìàëåíüêèé áðóñîê, êîòîðûé ïðîñêîëüçèë ïîñòóïàòåëüíî âäîëü âñåé äîñêè è ñúåõàë ñ íåå. Äîñêà
íàõîäèëàñü íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Ñ
êàêèì óñêîðåíèåì äâèãàëàñü ïîñòóïàòåëüíî äîñêà, åñëè
çà âðåìÿ ñêîëüæåíèÿ ïî íåé áðóñêà âûäåëèëîñü êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q?
À.Øåðîíîâ
Ô2349. ×åòûðå ãëàäêèõ òîíêèõ ñòåðæíÿ çàêðåïëåíû
íåïîäâèæíî (ðèñ. 3). Äâà èç íèõ ïàðàëëåëüíû äðóã
äðóãó è ãîðèçîíòàëüíû, à
äâà äðóãèõ ïàðàëëåëüíû
äðóã äðóãó è âåðòèêàëüíû.
Äâà îäèíàêîâûõ ìàëåíüêèõ
øàðèêà ñîåäèíåíû íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòüþ
äëèíîé L. Äèàìåòðû øàðèêîâ áîëüøå ðàññòîÿíèé ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ñòåðæíÿìè.  íà÷àëüíûé ìîìåíò
øàðèêè óäåðæèâàþò òàê,
Ðèñ. 3
÷òî îíè íåïîäâèæíû, íèòü
ïðè ýòîì âûïðÿìëåíà è ïî÷òè ãîðèçîíòàëüíà. Ïîñëå
îòïóñêàíèÿ øàðèêè ïðèøëè â äâèæåíèå è óäàðèëèñü î
ãîðèçîíòàëüíûé ïîë îäíîâðåìåííî. Êàêîâî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå H îò ãîðèçîíòàëüíûõ ñòåðæíåé äî
ïîëà? Êàêèìè áûëè ïðè òàêîì ðàññòîÿíèè ñêîðîñòè
øàðèêîâ çà ìãíîâåíèå äî èõ óäàðîâ î ïîë?
Ñ.Äìèòðèåâ
Ô2350. Ñîñóä ñ æåñòêèìè ñòåíêàìè çàïîëíåí íåñæèìàåìîé æèäêîñòüþ ïëîòíîñòüþ ρ . Âíóòðåííîñòü ñîñóäà
èìååò ôîðìó øàðà ðàäèóñîì R. Äåêàðòîâû îñè êîîðäèíàò âûáðàííîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà òàêîâû,
÷òî óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g èìååò êîîðäèíàòû 0, 0, –g. Ñîñóä äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî ñ óñêîðåíè
åì a . Âñå ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ ax , ay , az ïîëîæèòåëüíû. Ìèíèìàëüíîå äàâëåíèå æèäêîñòè âíóòðè ñîñóäà
ðàâíî pmin . Êàêîâî ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå æèäêîñòè
âíóòðè ñîñóäà? Íàéäèòå îòâåò íà ýòîò æå âîïðîñ â
ñëó÷àå, êîãäà âíóòðåííîñòü çàïîëíåííîãî æèäêîñòüþ
Ô2352. Îäèí ìîëü ãåëèÿ íàãðåâàëñÿ îò íà÷àëüíîé
òåìïåðàòóðû T0 = 200 Ê â ïðîöåññå ñ ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòüþ, êîòîðàÿ çàâèñåëà îò àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðû T ïî çàêîíó C (T ) = RT T0 . (Çäåñü R – óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ.) Ïðè äîñòèæåíèè íåêîòîðîé
òåìïåðàòóðû ðàáîòà, êîòîðóþ ñîâåðøèë ãàç, îêàçàëàñü
ðàâíîé íóëþ. Íà ýòîì ïðîöåññ çàâåðøèëñÿ. Êàêóþ
ðàáîòó ñîâåðøèë ãàç íà ó÷àñòêå ïðîöåññà, êîãäà îí
ðàñøèðÿëñÿ? Íàéäèòå îòíîøåíèå îáúåìà ãàçà â êîíå÷íîé òî÷êå ïðîöåññà ê åãî íà÷àëüíîìó îáúåìó ïðè
òåìïåðàòóðå T0 .
À.Øåðîíîâ
Ô2353. Äâà ìàÿòíèêà èìåþò îäèíàêîâûå äëèíû ëåãêèõ íåðàñòÿæèìûõ íèòåé, êîíöû êîòîðûõ ïðèêðåïëåíû ê ïîòîëêó, è îäèíàêîâûå ìàëåíüêèå ãðóçû íà
êîíöàõ íèòåé. Ãðóçû îòâåëè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ,
ñîõðàíÿÿ íàòÿíóòîñòü íèòåé, ïðè ýòîì íèòè ñîñòàâèëè
îäèíàêîâûå óãëû ñ âåðòèêàëüþ. Îäèí èç ãðóçîâ òîëêíóëè â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì íèòè, ê êîòîðîé ýòîò ãðóç ïðèêðåïëåí, è îäíîâðåìåííî îòïóñòèëè áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè âòîðîé ãðóç.
Òðåíèÿ â ñèñòåìå íåò. Íèòü ïåðâîãî ìàÿòíèêà â ïðîöåññå äâèæåíèÿ âñåãäà ñîñòàâëÿåò ñ âåðòèêàëüþ îäèí è òîò
æå óãîë. Îêàçàëîñü, ÷òî ýòè äâà ìàÿòíèêà îäíîâðåìåííî ïîïàäàþò êàæäûé â ñâîå íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ïîñëå
òîãî, êàê ïðîéäåò âðåìÿ, ðàâíîå 100 ïåðèîäàì êîëåáàíèé ïåðâîãî ìàÿòíèêà è 101 ïåðèîäó êîëåáàíèé âòîðîãî
ìàÿòíèêà. Íà êàêîé óãîë áûëè îòêëîíåíû íèòè îò
âåðòèêàëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò? Ïåðèîä ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà äëèíîé L â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè ñ
óñêîðåíèåì ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g ïðè ìàëîì çíà÷åíèè
ìàêñèìàëüíîãî óãëà îòêëîíåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ α ( α < 1 ) õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé
L
αˆ
1
Ê
.
T = T0 Á1 + sin2 ˜ , ãäå T0 = 2π
Ë
g
4
2¯
Ôîëüêëîð
Ô2354. Òîëñòîñòåííûé ñâåòîíåïðîíèöàåìûé ÿùèê óñòàíîâëåí ïîä îòêðûòûì íåáîì â ïàñìóðíûé äåíü, êîãäà
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
âñå íåáî îäèíàêîâî ñâåòëîå è ñîëíöà íå âèäíî. Â åãî
âåðõíåé ñòåíêå (êðûøêå) ïðîñâåðëåíî âåðòèêàëüíîå
îòâåðñòèå, è ÷åðåç íåãî â ÿùèê ïðîïóùåí äëèííûé
îäíîðîäíûé ïðîçðà÷íûé öèëèíäð (ñâåòîâîä) êðóãëîãî
ñå÷åíèÿ ðàäèóñîì r = 1 ñì. Ñòåíêè öèëèíäðà ãëàäêèå,
îíè íå êàñàþòñÿ ñòåíîê äûðêè, ïîêðàøåííûõ â ÷åðíûé
öâåò. Âåðõíèé òîðåö ñâåòîâîäà íàõîäèòñÿ ñíàðóæè, à
íèæíèé – âíóòðè ÿùèêà. Ïîä òîðöîì öèëèíäðà íà
ãîðèçîíòàëüíîì äíå ÿùèêà ëåæèò ïëîñêèé ýêðàí. Ðàññòîÿíèå îò íèæíåãî òîðöà öèëèíäðà äî ýêðàíà
L = 1 ì r . Íà ýêðàíå íàáëþäàåòñÿ ñâåòëîå ïÿòíî
ðàäèóñîì R = 1 ì. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ
ñâåò â ìàòåðèàëå, èç êîòîðîãî ñäåëàí öèëèíäð?
Å.Óóñòàëó
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2326–Ì2333,
Ô2333–Ô2339
Ì2326. Íà øàõìàòíîé äîñêå ñòîÿò 8 íå áüþùèõ äðóã
äðóãà ëàäåé. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî êàæäóþ èç íèõ
ïåðåäâèíóòü õîäîì êîíÿ òàê, ÷òî îíè ïî-ïðåæíåìó íå
áóäóò áèòü äðóã äðóãà. (Âñå âîñåìü ëàäåé ïåðåäâèãàþòñÿ «îäíîâðåìåííî», ò.å. åñëè, íàïðèìåð, äâå ëàäüè
áüþò äðóã äðóãà õîäîì êîíÿ, òî èõ ìîæíî ïîìåíÿòü
ìåñòàìè.)
Ëàäüþ èç ïåðâîé ñòðîêè ïåðåñòàâèì âî âòîðóþ ñòðîêó,
èç âòîðîé – â ïåðâóþ. Àíàëîãè÷íî îáîéäåìñÿ ñ ëàäüÿìè
èç òðåòüåé è ÷åòâåðòîé, ïÿòîé è øåñòîé, ñåäüìîé è
âîñüìîé ñòðîê. Ëàäüþ èç ïåðâîãî ñòîëáöà ïåðåñòàâèì
â òðåòèé, èç òðåòüåãî – â ïåðâûé. Àíàëîãè÷íî îáîéäåì-
ñÿ ñ ëàäüÿìè èç âòîðîãî è ÷åòâåðòîãî, ïÿòîãî è ñåäüìîãî, øåñòîãî è âîñüìîãî ñòîëáöîâ. (Ïðèìåð òàêîé ïåðåñòàíîâêè ïîêàçàí íà ðèñóíêå.) Òîãäà êàæäàÿ ëàäüÿ
áóäåò ïåðåñòàâëåíà õîäîì êîíÿ, è â êàæäûõ ñòðîêå è
ñòîëáöå áóäåò ïî ëàäüå, òàê
÷òî îíè íå áóäóò áèòü äðóã
äðóãà.
Å.Áàêàåâ
Ì2327. Äàí ïðàâèëüíûé
òðåóãîëüíèê ABC ñ öåíòðîì O. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåðøèíó C, ïåðåñåêàåò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà AOB â
òî÷êàõ D è E. Äîêàæèòå,
÷òî òî÷êè A, O è ñåðåäèíû
îòðåçêîâ BD, BE ëåæàò
íà îäíîé îêðóæíîñòè.
«ÊÂÀÍÒÀ»
Ïóñòü C¢ , D¢ , E ¢ – ñåðåäèíû îòðåçêîâ BC, BD, BE
ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè òî÷êà D
ëåæèò ìåæäó Ñ è E (ñì. ðèñóíîê). Òîãäà òî÷êà D¢
ëåæèò íà ñðåäíåé ëèíèè C¢E ¢ òðåóãîëüíèêà CBE. Â
ïðàâèëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC âåðøèíà A, öåíòð O è
òî÷êà C¢ òàêæå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Óãîë ABC
ðàâåí ïîëîâèíå äóãè AOB, ïîýòîìó BC – êàñàòåëüíàÿ.
Òîãäà
1
1
C¢E ¢ ◊ C¢D¢ = CE ◊ CD = CB2 = C ¢B2 = C ¢O ◊ C ¢A .
4
4
Èç ðàâåíñòâà C¢E ¢ ◊ C¢D¢ = C¢O ◊ C¢A ïî òåîðåìå, îáðàòíîé ê òåîðåìå î ïðîèçâåäåíèè îòðåçêîâ ñåêóùèõ, è
ñëåäóåò âïèñàííîñòü ÷åòûðåõóãîëüíèêà AOD ¢ E ¢ .
À.Çàñëàâñêèé
Ì2328. Êàæäîå ëè öåëîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå ñóììû êóáîâ íåñêîëüêèõ öåëûõ ÷èñåë, ñðåäè
êîòîðûõ íåò îäèíàêîâûõ?
Îòâåò. Äà, êàæäîå.
Çàìåòèì, ÷òî
(n + 7 )3 − (n + 6 )3 − (n + 5 )3 + (n + 4 )3 −
3
3
3
– (n + 3 ) + (n + 2 ) + ( n + 1) - n3 = 48 .
3
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷èñëî ( 48k + 1) ïðè ëþáîì k äàåò
ïðè äåëåíèè íà 48 îñòàòîê 1. Ñêëàäûâàÿ íåñêîëüêî
ðàçëè÷íûõ êóáîâ òàêîãî âèäà, ìû ìîæåì ïîëó÷èòü
ñóììó ñ ëþáûì íàïåðåä çàäàííûì îñòàòêîì îò äåëåíèÿ
íà 48, à ïîòîì, ïðèáàâëÿÿ èëè âû÷èòàÿ íóæíîå êîëè÷åñòâî ðàç óêàçàííûå âûøå êîìáèíàöèè, ðàâíûå 48
(ÿñíî, ÷òî âûáèðàòü n ìîæíî òàê, ÷òîáû âñå êóáû,
êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â ñóììå, áûëè ðàçëè÷íûìè),
ïîëó÷èòü ëþáîå ÷èñëî ñ òàêèì îñòàòêîì.
Êîììåíòàðèé. Èçâåñòíî (ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðîáëåìû Âàðèíãà), ÷òî êàæäîå öåëîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â
âèäå ñóììû íå áîëåå äåâÿòè òî÷íûõ êóáîâ. Íî ïîñêîëüêó íåêîòîðûå èç ýòèõ êóáîâ ìîãóò îêàçàòüñÿ ðàâíûìè,
çàäà÷à Ì2328 ñðàçó íå âûòåêàåò èç ýòîãî ôàêòà.
È.Ðóáàíîâ, À.Ñåìåíîâ, À.Øàïîâàëîâ, Ë.Ìåäíèêîâ
Ì2329. Â îêðóæíîñòü âïèñàí 101-óãîëüíèê. Èç êàæäîé åãî âåðøèíû îïóñòèëè ïåðïåíäèêóëÿð íà ïðÿìóþ,
ñîäåðæàùóþ ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Äîêàæèòå,
÷òî õîòÿ áû ó îäíîãî èç ïåðïåíäèêóëÿðîâ îñíîâàíèå
ïîïàäåò íà ñòîðîíó (à íå íà åå ïðîäîëæåíèå).
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå çàäà÷è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âïèñàííîãî (2n + 1) -óãîëüíèêà A1 A2 … A2n +1 . Ïðîâåäåì âñå
áîëüøèå äèàãîíàëè A1 An +1, A2 An + 2,… (ìû ñ÷èòàåì,
ÊÂÀÍT 2014/¹3
÷òî A2n + 2 = A1, A2n + 3 = A2,… ). Ïîëó÷èòñÿ «çâåçäà» ñ
2n + 1 ðåáðàìè. Îêðàñèì äèàãîíàëü Ak Ak + n â ñèíèé
öâåò, åñëè äóãà Ak Ak +1 Ak + n ìåíüøå ïîëîâèíû îêðóæíîñòè (ò.å. óãîë, íà íåå îïèðàþùèéñÿ, – îñòðûé), è â
êðàñíûé öâåò â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Îáîéäåì «çâåçäó»
ïî ðåáðàì (íà ðèñóíêå ïîêàçàí ïðèìåð äëÿ ñåìèóãîëüíèêà). Çàìåòèì, ÷òî äâà êðàñíûõ ðåáðà íå ìîãóò èäòè
ïîäðÿä, òàê êàê ñóììà äâóõ ñîîòâåòñòâóþùèõ èì äóã
ìåíüøå ïîëíîé îêðóæíîñòè. ×åðåäîâàòüñÿ öâåòà íå
ìîãóò èç-çà íå÷åòíîñòè ÷èñëà 2n + 1. Çíà÷èò, íàéäóòñÿ
äâå ñèíèå äèàãîíàëè, èäóùèå ïîäðÿä. Ïóñòü ýòî, íàïðèìåð, äèàãîíàëè An +2 A1 è A1 An +1 . Òîãäà â òðåóãîëüíèêå An + 2 A1 An +1 óãëû A1 An + 2 An +1 è A1 An +1 An + 2 –
îñòðûå, ñëåäîâàòåëüíî, âûñîòà, îïóùåííàÿ èç âåðøèíû A1 , ïîïàäàåò íà ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó
An +1 An + 2 .
È.Ðóáàíîâ, À.Ñåìåíîâ, À.Øàïîâàëîâ, Ë.Ìåäíèêîâ
Ì2330. à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíà
áåñêîíå÷íàÿ âëåâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öèôð A =
= …625, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì: ïðè âîçâåäåíèè â
êâàäðàò ÷èñëà, îêàí÷èâàþùåãîñÿ íà k ïîñëåäíèõ öèôð
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè A, ïîëó÷àåòñÿ òîæå ÷èñëî, îêàí÷èâàþùååñÿ íà k ïîñëåäíèõ öèôð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè A.
á) Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïåðèîäè÷íà.
Ïóñòü ïîñëåäíèå n öèôð îáðàçóþò n-çíà÷íîå ÷èñëî xn
(çäåñü äîïóñêàåì, ÷òîáû ÷èñëî íà÷èíàëîñü ñ íóëÿ),
ïðè÷åì x1 = 5 .
a) Óñëîâèå çàäà÷è îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëî xn2 - xn =
= xn ( xn - 1) äîëæíî äåëèòüñÿ íà 10n . Ïîñêîëüêó xn
äåëèòñÿ íà 5 è íå÷åòíî, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî xn äîëæíî
äåëèòüñÿ íà 5n , à ( xn − 1) — íà 2n . Ïîëîæèì xn = 5n tn ,
xn − 1 = 2n sn . ×èñëî xn +1 ïîëó÷àåòñÿ èç xn ïðèïèñûâàíèåì ñëåâà íåêîòîðîé öèôðû c: xn +1 = c ⋅ 10n + xn .
Óñëîâèå xn +1 5n +1 ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî 2n c + tn 5 .
Çíàÿ îñòàòêè îò äåëåíèÿ ÷èñåë 2n è tn íà 5, îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿåòñÿ îñòàòîê c ïðè äåëåíèè íà 5. Àíàëîãè÷íî,
xn +1 − 1 2n +1 ⇔ 5n c + sn − 1 2 , ïîýòîìó ÷åòíîñòü ÷èñëà c
ïðîòèâîïîëîæíà ÷åòíîñòè ÷èñëà sn . Òàêèì îáðàçîì, ïî
÷èñëó xn öèôðà c îïðåäåëÿåòñÿ, ïðè÷åì åäèíñòâåííûì
îáðàçîì.
á) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïåðèîäè÷íà,
ïóñòü A — ïåðèîä äëèíû k, B — ïðåäïåðèîä äëèíû n
( 0 ≤ B < 10n − 1 ïðè n > 0 ; â ñëó÷àå, êîãäà ïðåäïåðèîä
îòñóòñòâóåò, ñ÷èòàåì, ÷òî n = 0, B = 0).
Ïîëîæèì N = km + n . Òîãäà
…
xN = AA
AB =
m ðàç
(
)
n m 1k
n
n +k
+ … + 10 + ( − ) =
= B + A 10 + 10
= B + 10n A
10n A  10 N A
10km − 1 
−
B
.
=

+
10k − 1  10k − 1
10k − 1 
(
)
k
n
k
Ïîëîæèâ q = 10 − 1 , p = 10 − 1 B − 10 A , èìååì
p 10 N A
2
, qxN = p + 10 N A . Òàê êàê xN
xN = +
−
q
q
− xN 10 N , òî (qxN ) − q (qxN )10 N ⇒ p2 − qp 10 N .
Ïîñëåäíåå âûïîëíåíî ïðè N = km + n äëÿ âñåõ m, â òî
âðåìÿ êàê p è q íå çàâèñÿò îò m, çíà÷èò, p2 − pq = 0 ,
îòêóäà p = 0 èëè p = q.
k
n
Åñëè p = 0, òî 10 − 1 B = 10 A . Ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà ïîëîæèòåëüíà, ïîýòîìó B > 0. Íî òàê êàê
n
ÍÎÄ 10k − 1,10 = 1 , òî B10n ⇒ B ≥ 10 — ïðîòèâî2
(
(
)
)
(
)
ðå÷èå. Åñëè æå p = q, òî 10k - 1 ( B - 1) = 10n A , è èç
ýòîãî ðàâåíñòâà ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íîå ïðîòèâîðå÷èå.
Çàìå÷àíèå. Çàäà÷ó á) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü íà
ÿçûêå âûñøåé àëãåáðû òàê: â êîëüöå 10-àäè÷åñêèõ
÷èñåë íåò íåòðèâèàëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ x2 = x .
À.Êàíåëü-Áåëîâ
Ì2331*. Ïåòÿ è Âàñÿ èãðàþò â òàêóþ èãðó. Ñíà÷àëà
íà ñòîëå ëåæàò 11 êó÷åê ïî 10 êàìíåé. Èãðîêè õîäÿò
ïî î÷åðåäè, íà÷èíàåò Ïåòÿ. Êàæäûì õîäîì èãðîê
áåðåò 1, 2 èëè 3 êàìíÿ, íî Ïåòÿ êàæäûé ðàç âûáèðàåò
âñå êàìíè èç ëþáîé îäíîé êó÷è, à Âàñÿ âñåãäà âûáèðàåò âñå êàìíè èç ðàçíûõ êó÷åê (åñëè èõ áîëüøå îäíîãî).
Ïðîèãðûâàåò òîò, êòî íå ìîæåò ñäåëàòü õîä. Êòî
èç èãðîêîâ ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå ïîáåäó, êàê áû íè
èãðàë åãî ñîïåðíèê?
Îòâåò. Âàñÿ.
Ðàñïîëîæèì êàìíè, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå, ãäå êó÷è
ñîîòâåòñòâóþò ñòîëáöàì. Ïåòÿ äîëæåí áðàòü íåñêîëüêî
êàìíåé èç îäíîãî ñòîëáöà, à Âàñÿ – èç ðàçíûõ. Ñòðàòåãèÿ Âàñè – äåëàòü õîäû, ñèììåòðè÷íûå Ïåòèíûì
îòíîñèòåëüíî ïóñòîé äèàãîíàëè. Èçíà÷àëüíî êàðòèíêà
ñèììåòðè÷íà. Ïîñêîëüêó ñòðîêà, ñèììåòðè÷íàÿ ñòîëáöó, íå èìååò ñ íèì îáùèõ êàìíåé, òî Âàñÿ êàæäûé ðàç
ñìîæåò âîññòàíàâëèâàòü íàðóøåííóþ ñèììåòðèþ, ò.å.
ó íåãî âñåãäà åñòü õîä. Òàê êàê èãðà êîíå÷íà, òî êîãäàòî Ïåòÿ ïðîèãðàåò.
Å.Áàêàåâ
Ì2332*. Ïóñòü òî÷êè I è O – öåíòðû âïèñàííîé è
îïèñàííîé îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà ABC ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü OC – öåíòð îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îñíîâàíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà AIB (ò.å.
îêðóæíîñòè äåâÿòè òî÷åê òðåóãîëüíèêà AIB). Ïóñòü
EC – òî÷êà, ñèììåòðè÷íàÿ òî÷êå OC îòíîñèòåëüíî
áèññåêòðèñû óãëà AIB. Îïðåäåëèì òî÷êè EA è EB
àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè EA , EB
è EC ëåæàò íà ïðÿìîé OI.
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
Ïóñòü òî÷êè Ia , Ib , Ic – öåíòðû âíåâïèñàííûõ îêðóæíîñòåé, êàñàþùèõñÿ ñòîðîí BC, CA, AB ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê). Òàê êàê ïðÿìûå CIc è Ia Ib –
áèññåêòðèñû âíóòðåííåãî è âíåøíåãî óãëà ACB, òî
ïðÿìàÿ IcC – âûñîòà â òðåóãîëüíèêå Ia Ib Ic . Àíàëîãè÷íî, ïðÿìûå Ia A è Ib B ÿâëÿþòñÿ åãî âûñîòàìè.
Ïîýòîìó òðåóãîëüíèê ABC ÿâëÿåòñÿ îðòîòðåóãîëüíèêîì (ò.å. òðåóãîëüíèêîì ñ âåðøèíàìè â îñíîâàíèÿõ
âûñîò) òðåóãîëüíèêà Ia Ib Ic . Òàê êàê òî÷êà I ÿâëÿåòñÿ
îðòîöåíòðîì òðåóãîëüíèêà Ia Ib Ic , òî òðåóãîëüíèê ABC
ÿâëÿåòñÿ òàêæå îðòîòðåóãîëüíèêîì òðåóãîëüíèêà
IIa Ib .
Çàìåòèì, ÷òî òî÷êè A, B, Ia , Ib ëåæàò íà îäíîé
îêðóæíîñòè (ñ äèàìåòðîì Ia Ib ), ïîýòîìó òðåóãîëüíèêè
IIa Ib è IAB ñîâìåùàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ –
ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû óãëà AIB ñ
ïîñëåäóþùåé ãîìîòåòèåé ñ öåíòðîì I. Ñëåäîâàòåëüíî,
îêðóæíîñòü (ABC) (îïèñàííàÿ îêîëî îðòîòðåóãîëüíèêà
òðåóãîëüíèêà IIa Ib ) è îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî
îðòîòðåóãîëüíèêà òðåóãîëüíèêà AIB, ñîâìåùàþòñÿ òåì
æå ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ. Çíà÷èò, è èõ öåíòðû Î
è OC , è ëó÷è IOC è IO ïåðåâîäÿòñÿ äðóã â äðóãà ýòèì
æå ïðåîáðàçîâàíèåì. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà EC ëåæèò
íà ïðÿìîé IO.
Àíàëîãè÷íî, òî÷êè EA è EB ëåæàò íà ïðÿìîé IO.
Ñ.Èëüÿñîâ
M2333*. Ãðàô – ýòî êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âåðøèí,
íåêîòîðûå ïàðû âåðøèí ñîåäèíåíû ðåáðàìè. Ãîâîðÿò, ÷òî ãðàô ïðàâèëüíî ðàñêðàøåí â m öâåòîâ,
åñëè êàæäîé èç åãî âåðøèí ïðèïèñàí îäèí èç m
äàííûõ öâåòîâ òàê, ÷òî ëþáûå äâå âåðøèíû, ñîåäèíåííûå ðåáðîì, îêðàøåíû â ðàçíûå öâåòà. Âåðøèíû
íåêîòîðîãî ãðàôà ðàçáèòû íà òðè ìíîæåñòâà A, B,
C òàê, ÷òî âåðøèíû èç ìíîæåñòâà A íå ñâÿçàíû
ðåáðàìè ñ âåðøèíàìè èç ìíîæåñòâà C. Èçâåñòíî,
÷òî åñëè óäàëèòü èç ãðàôà âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà
C (âìåñòå ñ âûõîäÿùèìè ðåáðàìè), òî ïîëó÷åííûé
ãðàô ìîæíî ïðàâèëüíî ðàñêðàñèòü â k öâåòîâ, à åñëè
óäàëèòü èç íåãî âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà A – òî â n
öâåòîâ.  êàêîå ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî öâåòîâ
ìîæíî ñ ãàðàíòèåé ïðàâèëüíî ðàñêðàñèòü òàêîé
ãðàô?
«ÊÂÀÍÒÀ»
!
Îòâåò. k + n – 1.
Ïîêàæåì, ÷òî â k + n – 1 öâåò ïðàâèëüíî ðàñêðàñèòü âñå
âåðøèíû ìîæíî âñåãäà. Ðàñêðàñèì B » C â n öâåòîâ,
íàçîâåì îäèí èç ýòèõ öâåòîâ ïåðâûì, è ïóñòü D –
ñîâîêóïíîñòü âñåõ âåðøèí èç B, ïîêðàøåííûõ â ïåðâûé öâåò. Òåïåðü ðàñêðàñèì A » D â k öâåòîâ (ïðè
ýòîì âåðøèíû èç ìíîæåñòâà D ïåðåêðàøèâàåì), èñïîëüçîâàâ â êà÷åñòâå îäíîãî èç íèõ ïåðâûé öâåò (à
îñòàëüíûå k – 1 öâåòîâ âçÿâ îòëè÷íûìè îò óæå èñïîëüçîâàííûõ n öâåòîâ). Ó âåðøèí, íå âõîäÿùèõ â A » D ,
ñîõðàíèì ïðåæíþþ ðàñêðàñêó. Ïîñêîëüêó íèêàêèå
âåðøèíû èç A » D íå ñâÿçàíû ðåáðàìè ñ âåðøèíàìè
èç C, ïîêðàøåííûìè â ïåðâûé öâåò (èç D – â ñèëó
ïðàâèëüíîñòè ðàñêðàñêè B » C â n öâåòîâ, èç A – ïî
óñëîâèþ), ïîëó÷èòñÿ ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà ãðàôà â
k + n – 1 öâåò.
Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ìåíüøåãî ÷èñëà öâåòîâ ìîæåò è
íå õâàòèòü. Ðàñïîëîæèì kn òî÷åê â âèäå ïðÿìîóãîëüíèêà èç n ñòðîê è k ñòîëáöîâ. Ïðèìåì ýòî ìíîæåñòâî
çà B. Ñíèçó äîáàâèì íóëåâóþ ñòðîêó èç k òî÷åê,
ïðèìåì åå çà A, ñëåâà äîáàâèì íóëåâîé ñòîëáåö,
ïðèìåì åãî çà C. Ðåáðàìè â B ñîåäèíèì ëþáûå äâå
òî÷êè, íå ëåæàùèå íè â îäíîé ñòðîêå, íè â îäíîì
ñòîëáöå.  A ñîåäèíèì ðåáðàìè êàæäûå äâå òî÷êè, â
C – òîæå. Êðîìå òîãî, ñîåäèíèì ðåáðàìè êàæäóþ
òî÷êó èç A ñî âñåìè òî÷êàìè èç B, íå ëåæàùèìè ñ
íåé â îäíîì ñòîëáöå, è êàæäóþ òî÷êó èç C ñî âñåìè
òî÷êàìè èç B, íå ëåæàùèìè ñ íåé â îäíîé ñòðîêå.
Î÷åâèäíû ïðàâèëüíûå ðàñêðàñêè A » B â k öâåòîâ
(ïî ñòîëáöàì) è C » B â n öâåòîâ (ïî ñòðîêàì).
Ïîêàæåì, ÷òî ïîëó÷åííûé ãðàô íåëüçÿ ðàñêðàñèòü
ìåíüøå ÷åì â k + n – 1 öâåò.
Äîïóñòèì, åñòü ïðàâèëüíàÿ ðàñêðàñêà A » B » C â
k + n – 2 öâåòà. Ïîñêîëüêó òî÷êè ìíîæåñòâà A ðàñêðàøåíû â k ðàçëè÷íûõ öâåòîâ, à òî÷êè ìíîæåñòâà C
– â n ðàçëè÷íûõ öâåòîâ, òî èìåþòñÿ m ≥ 2 öâåòîâ
(íàçîâåì èõ îáùèìè), â êîòîðûå ïîêðàøåíû òî÷êè
îáîèõ ýòèõ ìíîæåñòâ. Îòìåòèì ñòðîêè è ñòîëáöû, â
êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ òàêèå òî÷êè; íà èõ ïåðåñå÷åíèè
íàõîäèòñÿ m2 òî÷åê ìíîæåñòâà B. Çàìåòèì, ÷òî â
êàæäûé èç m îáùèõ öâåòîâ ìîæåò áûòü ïîêðàøåíî
íå áîëüøå îäíîé èç ýòèõ m2 òî÷åê, à èìåííî, òî÷êà,
ñòîÿùàÿ íà ïåðåñå÷åíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòîëáöà è
ñòðîêè. Ñòàëî áûòü, ñðåäè ýòèõ m2 òî÷åê åñòü m2 - m
òî÷åê, ðàñêðàøåííûõ â äðóãèå öâåòà. Ýòî íå ìîãóò
áûòü îáùèå öâåòà, íî íå ìîãóò áûòü è äðóãèå öâåòà,
èñïîëüçîâàííûå ïðè ðàñêðàñêå òî÷åê ìíîæåñòâ A è
Ñ, ïîòîìó ÷òî ñî âñåìè òî÷êàìè òàêèõ öâåòîâ òî÷êè
èç îòìå÷åííûõ ñòðîê è ñòîëáöîâ ñâÿçàíû ðåáðàìè.
Âñåãî ïðè ðàñêðàñêå òî÷åê èç A è Ñ áûëî èñïîëüçîâàíî k + n – m öâåòîâ. Èç óïîìÿíóòûõ âûøå m2 - m
òî÷åê ìîæíî âûáðàòü m òî÷åê, íèêàêèå äâå èç êîòîðûõ íå ëåæàò â îäíîé ñòðîêå èëè îäíîì ñòîëáöå.
Êàæäûå äâå èç ýòèõ m òî÷åê ñâÿçàíû ðåáðîì, ïîýòîìó îíè ðàñêðàøåíû íå ìåíåå ÷åì â m öâåòîâ. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî âñåãî èñïîëüçîâàíî íå ìåíåå k + n öâåòîâ.
Ïðîòèâîðå÷èå.
È.Áîãäàíîâ
"
ÊÂÀÍT 2014/¹3
Ô2333. Ïðèÿòåëè Âàñÿ è Ïåòÿ ïî óòðàì ãóëÿþò â
ïàðêå. Îäíàæäû âìåñòå ñ Ïåòåé íà ïðîãóëêó âûøåë
è åãî ïåñ Øàðèê. Âîò Âàñÿ, íå òîðîïÿñü, áåæèò
òðóñöîé ïî ïðÿìîé äîðîæêå íàâñòðå÷ó Ïåòå ñî ñêîðîñòüþ v = 2 ì/ñ, à Ïåòÿ èäåò ñ Øàðèêîì íàâñòðå÷ó
Âàñå ñî ñêîðîñòüþ u = 1 ì/ñ. Ðîâíî â 12:00:00 Ïåòÿ
óâèäåë Âàñþ, êîòîðûé â ýòîò ìîìåíò áûë îò íåãî íà
ðàññòîÿíèè L = 300 ì. Îí òóò æå îòïóñòèë Øàðèêà,
è òîò ñî âñåõ íîã ñî ñêîðîñòüþ 3 (u + v) = 9 ì/ñ
áðîñèëñÿ áåæàòü ê òîâàðèùó ñâîåãî õîçÿèíà. Øàðèê,
äîáåæàâ äî Âàñè, íåêîòîðîå âðåìÿ èäåò ðÿäîì ñ íèì,
à çàòåì áðîñàåòñÿ ê ñâîåìó õîçÿèíó. Äîáåæàâ äî íåãî
è ïðîéäÿñü íåìíîãî ðÿäîì ñ Ïåòåé, îí ñíîâà áåæèò ê
Âàñå, è òàê ïîâòîðÿåòñÿ íåñêîëüêî ðàç. Çà âðåìÿ
ñáëèæåíèÿ ïðèÿòåëåé Øàðèê ïðîâåë âîçëå êàæäîãî èç
íèõ îäíî è òî æå âðåìÿ. Îáùàÿ äëèíà ïóòè, êîòîðûé
óñïåë ïðîéòè è ïðîáåæàòü ïåñ, ðàâíà 2,5L = 750 ì.
Êàêóþ ÷àñòü ïðîìåæóòêà âðåìåíè îò 12:00:00 äî
12:01:40 Øàðèê áåæàë ñî ñêîðîñòüþ 9 ì/ñ? Ñêîðîñòè
ïðèÿòåëåé íå èçìåíÿëèñü.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç τ âðåìÿ, êîòîðîå Øàðèê íàõîäèëñÿ
ðÿäîì ñ êàæäûì èç ìàëü÷èêîâ. Òîãäà, äâèãàÿñü âìåñòå
ñ íèìè, îí ïðîøåë ÷àñòü ïóòè, ðàâíóþ
L1 = τ (v + u ) .
Âñå îñòàëüíîå âðåìÿ
L
- 2τ
t=
u+v
îí áåãàë ñî ñêîðîñòüþ V = 3 (u + v) è çà ýòî âðåìÿ
«íàáåãàë» ðàññòîÿíèå
êðàí îòêðîþò è óñòàíîâèòñÿ ðàâíîâåñèå? Ñâåðõó âñå ñîñóäû îòêðûòû. Îáúåìîì ñîåäèíèòåëüíîé
òðóáêè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïëîùàäè ãîðèçîíòàëüíûõ ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé ñîñóäîâ
îäèíàêîâûå.
Òàê êàê æèäêîñòè íåñæèìàåìû, ïîñëå îòêðûòèÿ êðàíà â ëåâîì
ñîñóäå ñòîëá æèäêî- Ðèñ. 2
ñòè ïëîòíîñòüþ ρ ïîíèçèòñÿ íà x, à â ïðàâîì ïîäíèìåòñÿ íà x (ðèñ.2).
Çàïèøåì óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ, ïðèðàâíÿâ äàâëåíèÿ â
òî÷êàõ 1 è 2:
ρg (4h - 2x ) = 0,8ρg (3h - x ) ,
îòêóäà íàõîäèì x = 4h 3 . Ñëåäîâàòåëüíî, æèäêîñòè
ïëîòíîñòüþ 0,8ρ îñòàíåòñÿ ñòîëá âûñîòîé
4
5
H = 3h - h = h .
3
3
Ì.Çàìÿòíèí
Ô2335. Íà ëåãêîì æåñòêîì äâóõúÿðóñíîì ðû÷àãå
ñëîæíîé êîíñòðóêöèè óðàâíîâåøåíû 4 ãðóçà (ñì.
ðèñóíîê). Íàéäèòå ìàññó ãðóçà mx , åñëè ìàññû òðåõ
L2 = tV .
Èç óñëîâèÿ èçâåñòíî, ÷òî
L1 + L2 = 2,5L è V = 3 (u + v) .
Îòñþäà ïîëó÷àåì
L
1
τ=
= 10 c .
2 2V - u - v
Ñî ñêîðîñòüþ 9 ì/ñ øàðèê áåæàë âñå îñòàâøååñÿ
âðåìÿ, ò.å. 100 c - 2 ◊ 10 c = 80 c .
À.Âëàñîâ
Ô2334. Äâà ñîîáùàþùèõñÿ öèëèíäðè÷åñêèõ ñîñóäà
âûñîòîé 5h, ÷àñòè÷íî çàïîëíåííûå æèäêîñòüþ ïëîòíîñòüþ ρ äî âûñîò 4h
è 2h ñîîòâåòñòâåííî,
ñìåùåíû ïî âåðòèêàëè
íà âûñîòó 2h (ðèñ.1).
Êðàí â òðóáêå èçíà÷àëüíî çàêðûò.  ïðàâûé ñîñóä äîáàâëÿþò
æèäêîñòè ïëîòíîñòüþ
0,8ρ ñòîëüêî, ÷òî îíà
çàíèìàåò îáúåì âûñîòîé 3h. Êàêîé ïî âûñîòå ñòîëá æèäêîñòè
ïëîòíîñòüþ 0,8ρ îñòàíåòñÿ â ïðàâîì ñîñóäå ïîñëå òîãî, êàê
Ðèñ. 1
îñòàëüíûõ ãðóçîâ èçâåñòíû; m = 6 êã. Äëèíû ÷àñòåé
ðû÷àãà çàäàíû íà ðèñóíêå.
Íåñìîòðÿ íà ñëîæíóþ êîíñòðóêöèþ ðû÷àãà, äëÿ âñåé
ñèñòåìû ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì ìîìåíòîâ.
Áóäåì âû÷èñëÿòü ìîìåíòû ñèë îòíîñèòåëüíî òî÷êè
îïîðû ðû÷àãà. Òîãäà ïîëó÷èì
mg ◊ 3L + 3mg ◊ L = mg ◊ 4L + mx g ◊ 3L ,
îòêóäà íàéäåì
2
m = 4 êã .
3
Ç.Ìèõàéëîâ
mx =
Ô2336. Íà ðèñóíêå 1 ïðåäñòàâëåíà (â îòíîñèòåëüíûõ
åäèíèöàõ) çàâèñèìîñòü îáúåìà ïîðöèè âîçäóõà ìàññîé m =
= 10 ã îò åãî òåìïåðàòóðû
(ýòî ïðèìåðíî øåñòàÿ ÷àñòü
îêðóæíîñòè åäèíè÷íîãî ðàäèóñà). Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå pmax , êîòîðîãî
äîñòèãàë âîçäóõ â ïðîöåññå
íàãðåâàíèÿ, åñëè V0 = 1 ë, à
T0 = 300 Ê.  ýòîé çàäà÷å
âîçäóõ ìîæíî ñ÷èòàòü èäåàëüíûì ãàçîì.
Ðèñ. 1
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
Çàïèøåì óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà:
pV = νRT , èëè
Ðèñ. 2
V
νRT0 T
=
.
V0
pV0 T0
Âèäíî, ÷òî ïðîöåññ ñ ïîñòîÿííûì äàâëåíèåì (èçîáàðè÷åñêèé) â çàäàííûõ êîîðäèíàòàõ
ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ïðÿìóþ,
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Ïðè÷åì ÷åì áîëüøå
äàâëåíèå, òåì áîëüøå óãîë α .
Òàêèì îáðàçîì, òî÷êó, â êîòîðîé äàâëåíèå áûëî ìàêñèìàëüíî, ìîæíî íàéòè, ïðîâåäÿ êàñàòåëüíóþ èç íà÷àëà êîîðäèíàò ê ãðàôèêó ïðîöåññà (òî÷êà A íà ðèñóíêå 2). Ïîñêîëüêó ðàäèóñ îêðóæíîñòè åäèíè÷íûé, sin α = 1 2 ; çíà÷èò,
α = 30∞ è
L = 2 cos α = 3 ,
x A = L sin α =
3
3
, y A = L cos α = .
2
2
#
«ÊÂÀÍÒÀ»
Òàê êàê ñèñòåìà çàìêíóòà, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ
çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè, ïðè÷åì
ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿäîâ âíóòðè ïàðû íå áóäåì
ó÷èòûâàòü, òàê êàê îíà íå èçìåíÿåòñÿ:
0 = 2mu1 - 2 ◊ 2mu2 ,
kq ◊ 2q kq ◊ 2q kq ◊ 2q kq ◊ 2q 2 ◊ mu12 2 ◊ 2mu22
+
+
+
=
+
,
2L
2L
3L
L
2
2
ãäå u1 – ñêîðîñòü ïðàâîé ïàðû, u2 – ñêîðîñòü ëåâîé
ïàðû. Èç ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïîëó÷àåì
u1 =
2q 7k
q
è u2 =
3 Lm
3
7k
.
Lm
Ì.Èâàíîâ
Ô2338. Íà äâóõ ñòåíàõ òðåíàæåðíîãî çàëà âèñÿò
òðè îäèíàêîâûõ ïëîñêèõ çåðêàëà. Êàêîå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ñâîèõ èçîáðàæåíèé âèäèò ñïîðòñìåí,
ñòîÿùèé â öåíòðå çàëà? Êàêîå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî èçîáðàæåíèé ñïîðòñìåíà îäíîâðåìåííî ìîæåò
âèäåòü ñòîðîííèé íàáëþäàòåëü? Èçîáðàçèòå ïëàí
çàëà è âûäåëèòå íà íåì îáëàñòè, èç êîòîðûõ îí
ìîæåò âèäåòü èçîáðàæåíèå ñïîðòñìåíà. Äëÿ êàæäîé
îáëàñòè ñäåëàéòå îòäåëüíûé ðèñóíîê. Íà îòäåëüíîì
Çíàÿ êîîðäèíàòû òî÷êè íà ãðàôèêå, íàéäåì ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèå:
m x AT0
pmax =
R
ª 5 ◊ 105 Ïà ,
Μ y AV0
ãäå Μ = 29 ã ìîëü – ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà.
À.Áû÷êîâ
Ô2337. Âäîëü îäíîé ïðÿìîé ðàñïîëîæåíû äâå ïàðû
ñêðåïëåííûõ çàðÿäîâ. Âåëè÷èíû çàðÿäîâ è èõ ìàññû
óêàçàíû íà ðèñóíêå. Ñ êàêèìè óñêîðåíèÿìè íà÷íóò
ðàçëåòàòüñÿ ýòè
ïàðû? Êàêèå ñêîðîñòè îíè ïðèîáðåòóò ïîñëå ðàçëåòà íà áîëüøîå
ðàññòîÿíèå? Ñ÷èòàéòå äâèæåíèå
ïàð çàðÿäîâ ïîñòóïàòåëüíûì. Ðàññòîÿíèå L, çàðÿä q
è ìàññà m çàäàíû.
Çàïèøåì äëÿ ïðàâîé ïàðû çàðÿäîâ âòîðîé çàêîí Íüþòîíà:
Ê 1
2
1 ˆ
+
2kq2 Á 2 +
˜ = 2ma1 ,
2
(3L)2 ¯
Ë L (2L)
ãäå a1 – óñêîðåíèå ýòîé ïàðû. Îòñþäà íàõîäèì
29 kq2
.
a1 =
18 mL2
Ïî òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà, íà ëåâóþ ïàðó çàðÿäîâ
ñî ñòîðîíû ïðàâîé äåéñòâóåò òàêàÿ æå ïî âåëè÷èíå
ñèëà. Îäíàêî ìàññà ëåâîé ïàðû â äâà ðàçà áîëüøå,
ïîýòîìó åå óñêîðåíèå áóäåò ðàâíî
a2 =
a1 29 kq2
=
.
2
36 mL2
Ðèñ. 1
ðèñóíêå èçîáðàçèòå îáëàñòü, èç êîòîðîé íàáëþäàòåëü ìîæåò âèäåòü ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî èçîáðàæåíèé. Ïëàí òðåíàæåðíîãî çàëà ñ çåðêàëàìè (âèä ñâåðõó)
ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 1. Ñ÷èòàéòå ñïîðòñìåíà íå
ñëèøêîì êðóïíûì (ïî÷òè òî÷å÷íûì).
Òî÷å÷íûé ïðåäìåò è åãî èçîáðàæåíèå â ïëîñêîì çåðêàëå ðàâíîóäàëåíû îò ïëîñêîñòè çåðêàëà. Îáà îíè ëåæàò
íà ïåðïåíäèêóëÿðå, ïðîâåäåííîì ê ïëîñêîñòè ýòîãî çåðêàëà. Íà ðèñóíêå 2 ïîêàçàíà
îáëàñòü À, èç êîòîðîé âèäíî
èçîáðàæåíèå S1 ñïîðòñìåíà
S. Íà ðèñóíêå 3 ïîêàçàíû äâå
îáëàñòè B, èç êîòîðûõ âèäíî
èçîáðàæåíèå ñïîðòñìåíà S2 . Ðèñ. 2
$
ÊÂÀÍT 2014/¹3
òðèòèÿ τ ) ðàñïàäóòñÿ
∆N = N0 - N ª N0
Ðèñ. 3
Ðèñ. 4
Íà ðèñóíêå 4 ïîêàçàíà îáëàñòü Ñ, èç êîòîðîé â çåðêàëå
1 âèäíî èçîáðàæåíèå S3 «ïðåäìåòà» S2 . Âñå òðè
èçîáðàæåíèÿ áóäóò âèäíû èç
òîé ÷àñòè êîìíàòû – îáëàñòü
D íà ðèñóíêå 5, – â êîòîðîé
ïåðåêðûâàþòñÿ îáëàñòè À, Â,
Ñ.
Èòàê, èç ïîñòðîåíèé âèäíî,
÷òî ñïîðòñìåí ìîæåò âèäåòü
Ðèñ. 5
òîëüêî îäíî ñâîå èçîáðàæåíèå S1 â çåðêàëå 1. À ñòîðîííèé íàáëþäàòåëü ìîæåò
âèäåòü 3 èçîáðàæåíèÿ èç îáëàñòè D.
Ì.Çàìÿòíèí
Ô2339. Â âàêóóìèðîâàííûé ñîñóä åìêîñòüþ V =
= 1,5 ë ñ æåñòêèìè è íå ïðîâîäÿùèìè òåïëî ñòåíêàìè âïðûñíóëè m = 1,1 ã æèäêîé òÿæåëîé âîäû T2O
ïðè òåìïåðàòóðå 0 ∞C è ãåðìåòèçèðîâàëè ñîñóä.
Ïåðèîä ïîëóðàñïàäà ÿäåð òðèòèÿ τ = 12,33 ãîäà.
Ïðè ðàñïàäå îäíîãî ìîëÿ ÿäåð òðèòèÿ âûäåëÿåòñÿ
E = 1,79 ÃÄæ ýíåðãèè. Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü
òÿæåëîé âîäû òàêàÿ æå, êàê è ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü îáû÷íîé âîäû, ò.å. 75,6 Äæ ( ìîëü ◊ Ê ) . Òåïëîòà èñïàðåíèÿ òîæå òàêàÿ æå, êàê è äëÿ îáû÷íîé
âîäû, ò.å. L = 40 êÄæ/ìîëü. Êàêàÿ òåìïåðàòóðà
è êàêîå äàâëåíèå áóäóò âíóòðè ñîñóäà ÷åðåç âðåìÿ
t = 2 ÷ ïîñëå íà÷àëà ýêñïåðèìåíòà?
Ïðè óñëîâèè ÷òî ÿäðà êèñëîðîäà èìåþò àòîìíóþ ìàññó
16, ìîëÿðíàÿ ìàññà òÿæåëîé âîäû T2O ðàâíà
Μ = 22 ã ìîëü . Ñëåäîâàòåëüíî, â ñîñóä âïðûñíóëè
âñåãî 0,05 ìîëü âîäû. Êîëè÷åñòâî ÿäåð òðèòèÿ, â
ìîëÿõ, â ñîñóäå ðàâíî 2 (m Μ ) = 0,1 ìîëü .
ßäåðíûå ðåàêöèè ðàñïàäà ÿäåð òðèòèÿ ïðîèñõîäÿò ñ
âåðîÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò òîãî, â ñîñòàâ
êàêîãî õèìè÷åñêîãî âåùåñòâà âõîäÿò àòîìû ñ òàêèìè
ÿäðàìè. Ïðè êàæäîì ðàñïàäå îäíîãî ÿäðà òðèòèÿ
îáðàçóåòñÿ îäíî ÿäðî ãåëèÿ-3, âûñâîáîæäàåòñÿ îäèí
ýëåêòðîí è, êðîìå òîãî, âîçíèêàåò è ïîêèäàåò ñîñóä
àíòèíåéòðèíî:
3
1T
fi 23 He + e - + ν .
ßäðî ãåëèÿ-3, âîçëå êîòîðîãî äî ðàñïàäà ÿäðà òðèòèÿ
è òàê íàõîäèëñÿ îäèí ýëåêòðîí, òóò æå ïðèñîåäèíÿåò ê
ñåáå èç áëèæàéøåãî îêðóæåíèÿ åùå îäèí ýëåêòðîí, è
îáðàçóåòñÿ àòîì ãåëèÿ – õèìè÷åñêè èíåðòíîãî ãàçà.
 ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà
÷èñëî ðàäèîàêòèâíûõ ÿäåð â ñîñóäå áóäåò ìåíÿòüñÿ ñî
âðåìåíåì òàê:
N = N0 ◊ 2-t τ ,
ãäå N0 – èñõîäíîå êîëè÷åñòâî ðàäèîàêòèâíûõ ÿäåð. Çà
âðåìÿ t = 2 ÷ (t ãîðàçäî ìåíüøå âðåìåíè ïîëóðàñïàäà
t
ln 2
τ
ÿäåð òðèòèÿ.  íàøåì ñëó÷àå N0 = 0,1 ìîëü , è
∆N = 1,28 ◊ 10 -6 ìîëü . Â ðåçóëüòàòå ðàñïàäîâ âûäåëèòñÿ òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ
U = E∆N = 2296 Äæ .
Ïðè ýòîì çà 2 ÷àñà â ñîñóäå ñ òÿæåëîé âîäîé íàêîïÿòñÿ
è ïðîäóêòû ðàñïàäà – àòîìû ãåëèÿ-3 â êîëè÷åñòâå
∆N = 1,28 ◊ 10 -6 ìîëü è íåêîòîðûå äðóãèå âåùåñòâà.
Íàïðèìåð, êàêîå-òî âðåìÿ æèâóò ïî îòäåëüíîñòè è
îáðàçîâàâøèåñÿ â ðåçóëüòàòå ðàñïàäîâ ÿäåð ýëåêòðîíû, êîòîðûå ìîãóò ïðèñîåäèíÿòüñÿ ê îêðóæàþùèì
ìîëåêóëàì âîäû, è õèìè÷åñêè àêòèâíûå ðàäèêàëû ÎÒ.
Ìîãóò îáðàçîâûâàòüñÿ (íàâåðíîå, ñ íåáîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ) ìîëåêóëû êèñëîðîäà O2 , à òàêæå ìîëåêóëû
òÿæåëîãî âîäîðîäà T2 è ìîëåêóëû ïåðåêèñè òÿæåëîé
âîäû TO2 . Îáùåå êîëè÷åñòâî âñåõ ýòèõ âåùåñòâ çíà÷èòåëüíî ìåíüøå èñõîäíîãî êîëè÷åñòâà òÿæåëîé âîäû
(0,05 ìîëü).
Ïîíÿòíî, ÷òî òÿæåëàÿ âîäà (âìåñòå ñ íåáîëüøèì êîëè÷åñòâîì äðóãèõ âåùåñòâ) â òåïëîèçîëèðîâàííîì ñîñóäå
áóäåò íàãðåâàòüñÿ, èñïàðÿòüñÿ è ÷àñòè÷íî èëè âñÿ
ïåðåéäåò â ïàð. Îöåíèì êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êîòîðîå
íåîáõîäèìî äëÿ èñïàðåíèÿ âñåé èìåþùåéñÿ â ñîñóäå
æèäêîé âîäû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ïîìåñòèëè â ñîñóä
íå èìåþùèé òåïëîåìêîñòè ïîðøåíü, êîòîðûé óäåðæèâàåò âîäó ïîä äàâëåíèåì 105 Ïà. Òîãäà ñíà÷àëà âîäà
ïîäîãðååòñÿ äî 100 ∞C , è íà ýòî ïîòðåáóåòñÿ 378 Äæ
ýíåðãèè. Çàòåì âîäà ïåðåéäåò â ïàð ïðè òåìïåðàòóðå
100 ∞C , íà ÷òî ïîòðåáóåòñÿ 2000 Äæ ýíåðãèè. Ïðè
ýòîì îáúåì ïîä ïîðøíåì âûðàñòåò äî âåëè÷èíû
22,4 ë ◊ 0,05 ◊ 373 273 = 1,53 ë . Âñïîìíèì, ÷òî ïî óñëîâèþ çàäà÷è îáúåì ñîñóäà ðàâåí 1,5 ë – íàì ïîâåçëî!
Èòàê, ïðèìåðíî ÷åðåç 2 ÷àñà âñÿ âîäà â íàøåì «óñîâåðøåíñòâîâàííîì» ñîñóäå èñïàðèòñÿ, è ê ýòîìó ìîìåíòó
â ñîñóäå áóäåò òåìïåðàòóðà 100 ∞C è äàâëåíèå 105 Ïà.
«Âåðíåì» òåïåðü âîäÿíîìó ïàðó ýíåðãèþ, êîòîðàÿ
ïîøëà íà òî, ÷òîáû îí ñîâåðøèë ðàáîòó ïî ïðåîäîëåíèþ äåéñòâèÿ âíåøíèõ ñèë, ñîçäàâàâøèõ òî ñàìîå
äàâëåíèå 105 Ïà ñî ñòîðîíû ïîðøíÿ. Ýòà ðàáîòà ðàâíà
p∆V = 105 Ïà ◊ (1,53 - 0) ◊ 10 -3 ì3 = 153 Äæ . Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî äëÿ èñïàðåíèÿ âîäû â ñîñóäå áåç ïîðøíÿ
ïîòðåáóåòñÿ 378 Äæ + 2000 Äæ – 153 Äæ = 2225 Äæ
ýíåðãèè. Ýòà âåëè÷èíà ìåíüøå òîãî êîëè÷åñòâà òåïëîòû, ÷òî âûäåëèëîñü â ñîñóäå çà äâà ÷àñà. Îñòàâøàÿñÿ
ýíåðãèÿ (2296 - 2225) Äæ = 71 Äæ ïîéäåò íà èçîõîðíûé íàãðåâ âîäÿíîãî ïàðà. Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü
âîäÿíîãî ïàðà ðàâíà 3R ª 25 Äæ (ìîëü ◊ Ê ) , ïîýòîìó
ïàð íàãðååòñÿ äî òåìïåðàòóðû
(
T = 373 Ê +
)
71 Äæ
ª 430 Ê .
25 Äæ (ìîëü ◊ Ê ) ◊ 0,05 ìîëü
Äàâëåíèå ïðè ýòîì äîñòèãíåò âåëè÷èíû
430 Ê
p = 105 Ïà ◊
ª 1,15 ◊ 105 Ïà .
373 Ê
Í.Óêëîíîâ
«ÊÂÀÍÒ»
1.
ÄËß
ÌËÀÄØÈÕ
ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ
%
Çàäà÷è
Ìàøà õîòåëà êóïèòü áóëî÷êó öåíîé â öåëîå ÷èñëî
ðóáëåé. Ðîâíî îíà çàïëàòèòü íå ñìîãëà è ïðèãîòîâèëà
êàê ìîæíî ìåíüøóþ ñóììó, íî ÷òîáû íà áóëî÷êó
õâàòèëî. Â èòîãå îíà äàëà ïðîäàâùèöå 9 ðóáëåé è
ïîëó÷èëà ñäà÷ó. Ñêîëüêî ñòîèëà áóëî÷êà?
Ñ.Èâàíîâ, Á.Äðóæèíèí
4. Ïåòÿ õî÷åò ïðèäóìàòü àíàëîã èãðû «êàìåíü –
2.
Âåëîñèïåäèñòû Àëåøà, Áîðÿ è Âàñÿ îäíîâðåìåííî
ñòàðòóþò èç îäíîé è òîé æå òî÷êè êîëüöåâîãî òðåêà
(ñêîðîñòü êàæäîãî ïîñòîÿííà). Ïåðâûìè ïîñëå ñòàðòà
ïðîåõàëè äðóã ìèìî äðóãà Àëåøà è Áîðÿ (â îäíó
ñòîðîíó èëè â ðàçíûå – íåèçâåñòíî). Èçâåñòíî, ÷òî
íîæíèöû – áóìàãà» äëÿ 10 ïðåäìåòîâ.  íåé äîëæíû
âûïîëíÿòüñÿ äâà óñëîâèÿ: ïðî ëþáûå äâà ïðåäìåòà
ìîæíî ñêàçàòü, êàêîé èç íèõ êîãî áüåò; ëþáûå äâà
ïðåäìåòà ðàâíîïðàâíû (ò.å. êàæäûé ïðåäìåò áüåò îäíî
è òî æå ÷èñëî ïðåäìåòîâ). Ñìîæåò ëè Ïåòÿ ïðèäóìàòü
òàêóþ èãðó?
Ã.Æóêîâ
5.
Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé
Àëåøà åäåò ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, à Âàñÿ – ïðîòèâ
÷àñîâîé ñòðåëêè.  êàêîì íàïðàâëåíèè åäåò Áîðÿ?
Á.Ôðåíêèí
3. Â ðÿä ñëåâà íàïðàâî ñòîÿëè íåñêîëüêî ñòîëáîâ,
ìåæäó êàæäûìè äâóìÿ ñîñåäíèìè áûë íàòÿíóò ïðîâîä. Ïîäóë âåòåð, âñå ñòîëáû óïàëè âëåâî, íî ïðîâîäà
ïðè ýòîì íå ïîðâàëèñü è ñíîâà îêàçàëèñü íàòÿíóòûìè.
Äîêàæèòå, ÷òî èçíà÷àëüíî âñå ïðîâîäà áûëè ïàðàëëåëüíû çåìëå.
Ñ.Äîðè÷åíêî
Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 6–8
êëàññîâ.
Íà ñòàðîé ïå÷àòíîé ìàøèíêå Íåçíàéêè íà ïå÷àòü
êàæäîé êîíêðåòíîé öèôðû âñåãäà ðàñõîäóåòñÿ îäíî è
òî æå êîëè÷åñòâî ÷åðíèë. Íåçíàéêà ãîâîðèò, ÷òî íà ýòîé
ìàøèíêå íåëüçÿ íàïå÷àòàòü äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà,
îäíî â 9 ðàç áîëüøåå äðóãîãî, èñòðàòèâ íà êàæäîå
÷èñëî îäíî è òî æå êîëè÷åñòâî ÷åðíèë. Ìîæíî ëè
óòâåðæäàòü, ÷òî îí íàâåðíÿêà îøèáàåòñÿ?
Å.Áàêàåâ
&
ÊÂÀÍT 2014/¹3
Ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷åíèå
íà ïàëüöàõ
(Óðîê ôèçèêè â Êîëëåäæå Ýéíøòåéíà1 )
Â.ÑÛÙÅÍÊÎ
Î
ÁÚßÂËÅÍÈÅ ÍÀ ÊËÀÑÑÍÎÉ ÄÎÑÊÅ ÂÎÇÂÅÙÀËÎ: «ÑÅ-
ãîäíÿøíåå çàíÿòèå ïðîâîäèò ïðîôåññîð Âàí-Òåëëåð». Ïðîçâåíåë çâîíîê, íàäïèñü ïîëûõíóëà ñèíèì
ïëàìåíåì è èñ÷åçëà, îñòàâèâ äîñêó áåçóïðå÷íî ÷èñòîé.
 òîò æå ìîìåíò äâåðü îòêðûëàñü, è â àóäèòîðèþ
âîøåë âûñîêèé ÷åëîâåê ñ êóñòèñòûìè áðîâÿìè. Íèêêè
íå ñðàçó óçíàëà ñòàðîãî ïðîôåññîðà, ïðîøåäøåãî êóðñ
îìîëîæåíèÿ.
– Çäðàâñòâóéòå! Êîëëåãà Äåðìþððåé óåõàë íà êîíôåðåíöèþ, è ñåãîäíÿøíèé óðîê ïðîâåäó ÿ. Ñóäÿ ïî
ïðîãðàììå, âû óæå îñâîèëè èçðÿäíûé êóñîê ýëåêòðîäèíàìèêè. – Ïðîôåññîð îáâåë âçãëÿäîì êëàññ. –
Ñåé÷àñ ïîñìîòðèì, êàê âû åå ïîíÿëè.
– Ïðîôåññîð, ñêîëüêî ìîæíî îáñóæäàòü ðåçóëüòàòû
ïîçàïðîøëîãî âåêà? – ñ ïðåòåíçèåé â ãîëîñå ïðîèçíåñ
ïðèíö Äèòáèò. – Ïåðâàÿ êîíòðîëüíàÿ, âòîðàÿ êîíòðîëüíàÿ, êîëëîêâèóì…
– Äà-äà, â ìîå âðåìÿ ïîñëå òðåõ äâîåê ïîäðÿä
ñòóäåíò âûëåòàë èç êîëëåäæà… – ïî ëèöó ïðîôåññîðà
ðàçëèëàñü áëàæåííàÿ óëûáêà, ðåçêî êîíòðàñòèðîâàâøàÿ ñ íåäîâîëüíîé ôèçèîíîìèåé ïðèíöà. – Èòàê, êòî
èç âàñ ñêàæåò, êàê ïîðîäèòü ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó?
 îòâåò ðàçäàëñÿ õîð ãîëîñîâ:
– Ïîäâèãàòü ýëåêòðîí ñ óñêîðåíèåì! Ïîêà÷àòü òóäàñþäà!
– À êòî âîçüìåòñÿ îáúÿñíèòü, ïî÷åìó óñêîðåííî
äâèæóùèéñÿ çàðÿä èçëó÷àåò?
– … óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà … çàïàçäûâàþùèå ïîòåíöèàëû … – ïîñëûøàëîñü ñ ðàçíûõ ñòîðîí, êòî-òî äàæå
íà÷àë ïåðåáðàñûâàòü ÷åðåç øêîëüíûé êîìïüþòåð
ôîðìóëû íà äîñêó è ñòåíû.
– Äîñòàòî÷íî, äîñòàòî÷íî! – Ïðîôåññîð ïîäíÿë
ëàäîíè ïåðåä ñîáîé. – ß âåðþ, ÷òî âû çíàåòå, êàê âñå
ýòî âûâîäèòñÿ, èíà÷å áû âû çäåñü íå ñèäåëè, – è
ïðîôåññîð îïÿòü ïëîòîÿäíî óëûáíóëñÿ. – Íî ñàìûå
âíèìàòåëüíûå èç âàñ ìîãëè çàìåòèòü, ÷òî ÿ çàäàë
íåñêîëüêî èíîé âîïðîñ: êòî ìîæåò ÎÁÚßÑÍÈÒÜ, ïî÷åìó óñêîðåííî äâèæóùèéñÿ çàðÿä èçëó÷àåò? Äîñòóïíî,
ïî ðàáî÷å-êðåñòüÿíñêè?
– Ïî ðàáî÷å-êàê?.. – ñêðèâèë ãóáû íå ïîâåðèâøèé
ñâîèì óøàì ïðèíö Äèòáèò.
Óëûáêà ñïîëçëà ñ ëèöà ïðîôåññîðà. Îêàçûâàåòñÿ, îí
è áåç äåðåâÿííîé êëþêè ìîã âûãëÿäåòü âåñüìà ãðîçíî.
– Êðåñòüÿíñêè! – ñ íàæèìîì ïîâòîðèë Âàí-Òåëëåð,
âïåðèâ â ïðèíöà òàêîé òÿæåëûé âçãëÿä, ÷òî ñ òîãî
1 Îá
ýòîì óäèâèòåëüíîì êîëëåäæå ìîæíî óçíàòü èç êíèãè
Í.Ãîðüêàâîãî «Àñòðîâèòÿíêà» (Ì.: ÀÑÒ, 2011). (Ïðèì. ðåä.)
ìèãîì ñëåòåëî ïðîöåíòîâ òðèäöàòü îáû÷íîé íàãëîñòè.
Ñêâîçü èñòîí÷èâøóþñÿ îáîëî÷êó íàñëåäíûé îòïðûñê
äèíàñòèè Äèòáèòîâ ïî÷óâñòâîâàë áóðàâÿùèå âçãëÿäû
ñâîèõ ïîäïåâàë, ÿñíåå âñÿêèõ ñëîâ ãîâîðèâøèå: «Óñòóïèøü – çíà÷èò ñëàáàê!»
Íåèçâåñòíî, ÷åì áû âñå ýòî êîí÷èëîñü, åñëè áû â òîò
æå ìîìåíò âåñü îñòàëüíîé êëàññ íå ïîâåðíóëñÿ, áóäòî
ïî êîìàíäå, óêàçûâàÿ íà äåâî÷êó ñ õðóñòàëüíûìè
âîëîñàìè:
– Íèêêè! Îíà çíàåò! Îíà íà ñâîåì àñòåðîèäå êàðòîøêó âûðàùèâàëà!
«È áàîáàáû âûïàëûâàëà!» – ïðîâîð÷àëà ïðî ñåáÿ
Íèêêè, à âñëóõ ïðîèçíåñëà:
– Âîîáùå-òî ïîìèäîðû, ïðîôåññîð…
– Ïîìèäîðû òîæå ïàñëåíîâûå, òîæå íåïëîõî… Èòàê,
ìèññ Ãðèíâè÷?
– Åñëè ýëåêòðîí äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîìåðíî, òî âñåãäà ìîæíî íàéòè èíåðöèàëüíóþ ñèñòåìó
îòñ÷åòà, â êîòîðîé îí ïîêîèòñÿ. À ó ïîêîÿùåãîñÿ
ýëåêòðîíà ýíåðãèÿ ìèíèìàëüíà, åìó ïðîñòî íå÷åãî
èçëó÷àòü. À òàê êàê ôèçèêà ÿâëåíèÿ íå ìåíÿåòñÿ ïðè
ïåðåõîäå èç îäíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà â
äðóãóþ, òî è ðàâíîìåðíî äâèæóùèéñÿ ýëåêòðîí èçëó÷àòü íå áóäåò. Çíà÷èò, äëÿ âîçìîæíîñòè èçëó÷àòü
îñòàåòñÿ òîëüêî óñêîðåííîå äâèæåíèå.
– Íó ÷òî æ, ìèññ Íèêêè. Âñå ïðàâèëüíî, ïðèâëå÷åíèå
«ÊÂÀÍÒ»
ÄËß
ÌËÀÄØÈÕ
ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè âïîëíå äîñòîéíî ó÷åíèöû
øêîëû Ýéíøòåéíà. Òîëüêî âîò ïîñëåäíÿÿ ôðàçà ìíå íå
î÷åíü íðàâèòñÿ, îíà íå îòâå÷àåò íà ïîñòàâëåííûé
âîïðîñ. Òîò ôàêò, ÷òî ðàâíîìåðíî äâèæóùèéñÿ çàðÿä
èçëó÷àòü íå ìîæåò, ñàì ïî ñåáå åùå íå îçíà÷àåò, ÷òî åãî
óñêîðåííî äâèæóùèéñÿ ñîáðàò èçëó÷àòü ÁÓÄÅÒ. Ïîïðîáóéòå åùå ðàç. Ïî÷åìó æå óñêîðåííî äâèæóùèéñÿ
çàðÿä èçëó÷àåò?
«Äà, âúåäëèâîñòè ó ïðîôåññîðà íå óáàâèëîñü!» –
ïîäóìàëà Íèêêè, à âñëóõ îáðàòèëàñü ê øêîëüíîìó
êîìïüþòåðó: – Âèáðàòîð Ãåðöà, ïîæàëóéñòà!
Íà áîëüøîì ýêðàíå ïîÿâèëàñü êëàññè÷åñêàÿ êàðòèíêà (ðèñ.1).
Ðèñ. 1
– Âîçüìåì äâà ìåòàëëè÷åñêèõ øàðà, ñîåäèíåííûõ
ïðîâîäÿùèì ñòåðæíåì. Ïóñòü ïîä äåéñòâèåì ãåíåðàòîðà (íà ðèñóíêå íå ïîêàçàí) íåêîòîðàÿ ÷àñòü ýëåêòðîíîâ
ñêîíöåíòðèðóåòñÿ â íèæíåì øàðå. Òîãäà ìåæäó øàðàìè âîçíèêíåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Åñëè òåïåðü ïîçâîëèòü ýëåêòðîíàì ïåðåòåêàòü èç íèæíåãî øàðà â âåðõíèé, òî â ñòåðæíå âîçíèêíåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê, ñîçäàþùèé ìàãíèòíîå ïîëå. Çàòåì ñèòóàöèÿ ïîâòîðèòñÿ ñ
èçìåíåíèåì ïîëÿðíîñòè. Ãåíåðàòîð áóäåò ïîääåðæèâàòü íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ ýëåêòðîíîâ.
– Õîðîøî, à òåïåðü êàâåðçíûé âîïðîñ. – Ïðîôåññîð
ñíîâà óëûáíóëñÿ. – Âáëèçè âàøåãî äèïîëÿ ìàãíèòíîå
ïîëå äîñòèãàåò ìàêñèìóìà, êîãäà ìàêñèìóìà äîñòèãàåò òîê â ñîåäèíÿþùåì øàðû ñòåðæíå, ò.å. êîãäà çàðÿäû
â îáîèõ øàðàõ îáðàùàþòñÿ â íîëü, à ñ íèìè – è
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â ïðèëåãàþùåé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà. Èíûìè ñëîâàìè, ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ
âáëèçè äèïîëÿ
ñäâèíóòû ïî ôàçå
íà 90° äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà. Íî
âåäü â ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå, óíîñÿùåéñÿ ïðî÷ü îò
äèïîëÿ, ýòè ïîëÿ
êîëåáëþòñÿ ñèíÐèñ. 2
ôàçíî (ðèñ.2), îäíîâðåìåííî äîñòèãàÿ ìàêñèìóìà â âûáðàííîé òî÷êå
ïðîñòðàíñòâà è îäíîâðåìåííî æå îáðàùàÿñü â íîëü!
– Íî âåäü ýòî íå âîïðîñ, à óòâåðæäåíèå, ïðîôåññîð!
– âåðíûé ðûöàðü Äæåððè, ñèäåâøèé ñ Íèêêè çà îäíîé
ïàðòîé, ìóæåñòâåííî ïðèíÿë îãîíü íà ñåáÿ.
– Âåðíî, þíîøà! Âîïðîñ ìîã áû áûòü òàêèì: «Êàê æå
òàê ïîëó÷àåòñÿ?», íî ÿ íå ñòàë åãî ôîðìóëèðîâàòü ïî
òîé ïðîñòîé ïðè÷èíå, ÷òî íà íåãî íåâîçìîæíî îòâåòèòü
áåç àíàëèçà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. È âîîáùå, ïðîñëå-
ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ
'
äèòü ïåðåñòðîéêó ïîëÿ âáëèçè àíòåííû â ïîëå èçëó÷åíèÿ – íå òàêàÿ ïðîñòàÿ çàäà÷à. À ìû âåäü ñåãîäíÿ
äîãîâîðèëèñü îáõîäèòüñÿ áåç ñëîæíîé ìàòåìàòèêè, íå
òàê ëè?
– È âñå-òàêè, – ïðîôåññîð ñíîâà îáðàòèëñÿ ê Íèêêè,
– â âàøåì ðàññóæäåíèè îïÿòü åñòü ïðèâëåêàòåëüíûé
äëÿ íàøèõ ñåãîäíÿøíèõ öåëåé ýëåìåíò. Âû ïîïûòàëèñü
èçîáðàçèòü ïîëå èçëó÷åíèÿ ñèëîâûìè ëèíèÿìè. Ïîñëå
Ãåðöà ýòî äåëàëè ðåäêî, õîòÿ íè÷åãî áîëåå íàãëÿäíîãî
â îáëàñòè ýëåêòðîäèíàìèêè íå ïðèäóìàíî. È ïîýòîìó
ñåé÷àñ ÿ âàì êîå-÷òî ïîêàæó. Ëîâêîñòü ðóê è íèêàêîãî
ìîøåííè÷åñòâà! – Ïðîôåññîð âñêèíóë ðóêè è ïðîäåìîíñòðèðîâàë àóäèòîðèè ïóñòûå ëàäîíè. – Âíèìàíèå
íà äîñêó! – È ïðîôåññîð ïðûæêîì âñêî÷èë íà ýñòðàäó.
Ýíòóçèàçì ïðîôåññîðà ìàëî-ïîìàëó ïåðåäàâàëñÿ
ó÷åíèêàì. ×òî òàêîãî óäèâèòåëüíîãî îí ñìîæåò èì
ïîêàçàòü ïîñëå ïðîåêöèé ìíîãîìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé,
ôîòîãðàôèé äàëåêèõ ãàëàêòèê è óïàêîâàííûõ â óìîïîìðà÷èòåëüíûå ñòðóêòóðû
áåëêîâûõ ìîëåêóë?
– Èòàê, ïóñòü ñíà÷àëà íàø
çàðÿä ïîêîèòñÿ. Ðèñóåì ðàñõîäÿùèåñÿ îò íåãî ñèëîâûå
ëèíèè. – Ïðîôåññîð ïðîâåë ðàç äâàäöàòü ñòèëîñîì
ïî äîñêå, îñòàâëÿÿ ñëåãêà
êîðÿâûå ëèíèè. Øêîëüíûé
êîìïüþòåð òóò æå ïîäïðàâèë èõ è ñíàáäèë ñòðåëî÷Ðèñ. 3
êàìè (ðèñ.3).
– À òåïåðü ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ñêîðîñòü çàðÿäà
ìãíîâåííî, ñêà÷êîì èçìåíèëàñü îò íóëÿ äî íåêîòîðîãî
êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ v…
– Ïðîôåññîð, à ðàçâå òàê áûâàåò? – ñïðîñèë ìàëü÷èê
â î÷êàõ ñ ïåðâîé ïàðòû.
– Íó, êîíå÷íî æå, íåò. Ýòî íåêîå ïðèáëèæåíèå,
èäåàëèçàöèÿ. Åñëè ó íàñ îñòàíåòñÿ âðåìÿ, ìû îáñóäèì
ïðåäåëû åãî ïðèìåíèìîñòè. Òàê âîò, ïîïðîáóåì ïîíÿòü, êàê áóäåò âûãëÿäåòü
íàøà êàðòèíêà ñïóñòÿ âðåìÿ t ïîñëå ñòàðòà. Ñèãíàë î
òîì, ÷òî çàðÿä ïðèøåë â
äâèæåíèå, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà c.
Íàðèñóåì ñôåðó ðàäèóñîì
ct ñ öåíòðîì â òî÷êå, îòêóäà
ñòàðòîâàë çàðÿä (ðèñ.4).
Ïîëå ñíàðóæè ýòîé ñôåðû
åùå íå «çíàåò» î òîì, ÷òî
Ðèñ. 4
ïðîèçîøëî, è îñòàåòñÿ òàêèì æå, êàêèì îíî áûëî äî
íà÷àëà äâèæåíèÿ çàðÿäà. – È ïðîôåññîð ñäåëàë íåîæèäàííûé âûïàä â ñòîðîíó Íèêêè: – À ÷òî áóäåò âíóòðè
ñôåðû?
– Ïîëå ðàâíîìåðíî äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà! – íå äàëà
çàñòàòü ñåáÿ âðàñïëîõ Íèêêè.
– Âåðíî! Ïóñòü äëÿ ïðîñòîòû äâèæåíèå åãî ìåäëåííîå, ò.å. v c . Òîãäà ñèëîâûå ëèíèè áóäóò âûãëÿäåòü
òî÷íî òàê æå, êàê è ó íåïîäâèæíîãî çàðÿäà. Òîëüêî
èñõîäèòü îíè áóäóò èç òîãî ìåñòà, êóäà çà âðåìÿ t
!
ÊÂÀÍT 2014/¹3
ïåðåìåñòèëñÿ çàðÿä. – Ïðîôåññîð ïðîâåë ëàäîíüþ
âíóòðè îêðóæíîñòè, è êîìïüþòåð ñòåð ïðåæíèå ëèíèè
(ðèñ.5), òàêòè÷íî ïîäîæäàë, ïîêà ïðîôåññîð íàðèñóåò
íîâûå, ïîñëå ÷åãî ïîäïðàâèë èõ (ðèñ.6).
Ðèñ. 5
Ðèñ. 6
– À òåïåðü âñïîìíèì, ÷òî ñèëîâûå ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íåïðåðûâíû, íà÷èíàòüñÿ è çàêàí÷èâàòüñÿ
îíè ìîãóò òîëüêî íà çàðÿäàõ, à íà íàøåé ñôåðå íèêàêèõ
çàðÿäîâ íåò.
«Íó äà, òåîðåìà Ãàóññà, ÷åòâåðòîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà», – ïîäóìàëà Íèêêè. – «Âñå-òàêè ñîâñåì áåç
óðàâíåíèé îí íå îáîøåëñÿ».
– À ðàç òàê, – ïðîäîëæàë ïðîôåññîð, ïî ãîëîñó
êîòîðîãî ìîæíî áûëî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ðàññêàç
äîñòèã êóëüìèíàöèè, – òî êàæäàÿ èç íàøèõ ñèëîâûõ
ëèíèé âíóòðè ñôåðû ñîåäèíèòñÿ âîò òàêèì êóñî÷êîì
(öåëèêîì ëåæàùèì íà ñôåðå) ñ ñîîòâåòñòâóþùåé
ëèíèåé ñíàðóæè (ðèñ.7). Òàê
÷òî íà ñôåðå ìû ïîëó÷àåì
áåñêîíå÷íóþ ãóñòîòó ñèëîâûõ ëèíèé, à çíà÷èò, áåñêîíå÷íóþ íàïðÿæåííîñòü
ïîëÿ. Íî íå ñòîèò áåñïîêîèòüñÿ, ýòî ïðîñòî ñëåäñòâèå
íàøåé èäåàëèçàöèè ñ ìãíîâåííûì óñêîðåíèåì.
– À òåïåðü ñàìîå ãëàâíîå. Ýòà ñôåðà ñ ëåæàùèìè
íà íåé ñèëîâûìè ëèíèÿìè
Ðèñ. 7
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ «ðàñïóõàåò» ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà. Ñêàæèòå ìíå, ÷òî ýòî çà
ïîëå òàêîå, êîòîðîå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ
ñâåòà è íàïðÿæåííîñòü êîòîðîãî ïåðïåíäèêóëÿðíà
íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ?
 îòâåò ðàçäàëñÿ äðóæíûé õîð ãîëîñîâ:
– Ýòî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà! – È äàæå âûñîêîìåðíûå àðèñòîêðàòû îùóòèëè â ýòîò ìèã ðàäîñòü ìàëåíüêîãî îòêðûòèÿ.
Ïðîôåññîð ñèÿë, äîâîëüíûé ïðîèçâåäåííûì âïå÷àòëåíèåì.
– Âîò òàê óñêîðåíèå çàðÿäà è ïîðîæäàåò èçëó÷åíèå!
Çíàê óñêîðåíèÿ íå âàæåí, ïîäîáíóþ êàðòèíêó ìîæíî
íàðèñîâàòü è äëÿ ìãíîâåííîãî òîðìîæåíèÿ çàðÿäà. Ñ
ïîìîùüþ ýòîãî ðèñóíêà ìîæíî äàæå äåëàòü êîå-êàêèå
êîëè÷åñòâåííûå ïðåäñêàçàíèÿ. Íàïðèìåð, ÿ ìîãó ñ
óâåðåííîñòüþ óòâåðæäàòü, ÷òî â íàïðàâëåíèè óñêîðåíèÿ èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ áóäåò íóëåâîé. Ñìîòðèòå, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèëîâàÿ ëèíèÿ íå ïðåòåðïåâàåò
èçëîìà, è ãóñòîòà ëèíèé íà ñôåðå, ñîîòâåòñòâóþùèõ
ïîëþ èçëó÷åíèÿ, áóäåò â ýòîì ìåñòå íóëåâîé.
– À òåïåðü îáðàòèòå âíèìàíèå âîò íà ÷òî. Èçëó÷åíèå
ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí – ýòî ïðÿìîå ñëåäñòâèå òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, êîòîðàÿ ãëàñèò, ÷òî âñÿêîå âçàèìîäåéñòâèå (â íàøåì ñëó÷àå ýòî ñèãíàë îá èçìåíåíèè
ñêîðîñòè ÷àñòèöû) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ÍÅ ìãíîâåííî.
Åñëè áû èçìåíåíèå ïîëÿ âñëåä çà èçìåíåíèåì ïîëîæåíèÿ çàðÿäà ïðîèñõîäèëî áû ìãíîâåííî âî âñåì ïðîñòðàíñòâå, êàê ñ÷èòàëè âî âðåìåíà Íüþòîíà, íàøà
êàðòèíêà áûëà áû íåïðàâèëüíîé. Íå áûëî áû íèêàêîé
ñôåðû, íà êîòîðîé ôîðìèðóåòñÿ ïîïåðå÷íîå ïîëå
èçëó÷åíèÿ, è íèêàêîãî èçëó÷åíèÿ âîîáùå íå áûëî áû.
– Íî òîãäà ñâÿçü áûëà áû ìãíîâåííîé: ïîäâèãàë
çàðÿä çäåñü, è âñå îá ýòîì ñðàçó çíàþò, – ïîñëûøàëàñü
ðåïëèêà èç ãëóáèíû àóäèòîðèè. – À òî ñ Ìàðñîì ïî
òåëåôîíó ãîâîðèòü – îäíî ìó÷åíèå!
– À âîò è íåò! – âîçðàçèë ïðîôåññîð. – Òîëüêî ïîëå
èçëó÷åíèÿ óáûâàåò ñ ðàññòîÿíèåì êàê 1/r. Ñòàòè÷åñêèå
ïîëÿ (êîòîðûå òîëüêî áû è îñòàëèñü â âàøåì âîîáðàæàåìîì ìèðå) óáûâàþò íå ìåäëåííåå ÷åì ïî çàêîíó
îáðàòíûõ êâàäðàòîâ, òàê ÷òî íèêàêîé äàëüíåé ñâÿçè íå
ïîëó÷èòñÿ.
– Ñîâñåì êàê ëþáîâü, – âñòàâèëà ïðèíöåññà Äçèíòàðà, – êîãäà ïðåäìåò ëþáâè íàõîäèòñÿ âäàëè îò òåáÿ
äâà äíÿ, ëþáîâü îñëàáåâàåò â ÷åòûðå ðàçà, à êîãäà
öåëûõ òðè äíÿ – óæå â äåâÿòü ðàç! – Ïîñëå òîãî êàê
êëàññ îòñìåÿëñÿ, äåâî÷êà, äîâîëüíàÿ ïðîèçâåäåííûì
ýôôåêòîì, äîáàâèëà: – Òàê ïèñàëè â íàó÷íî-ïîïóëÿðíûõ êíèãàõ âîñåìíàäöàòîãî âåêà!
Ìàëü÷èê â î÷êàõ ñ ïåðâîé ïàðòû íå äàë äèñêóññèè
óéòè â ñòîðîíó:
– Òàê ÷òî æå ñ ïðèìåíèìîñòüþ òåîðèè, ïðîôåññîð?
– «Ìãíîâåííîñòü» èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè îçíà÷àåò,
÷òî ïðîìåæóòîê âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî çàðÿä
äâèãàëñÿ óñêîðåííî, íàìíîãî êîðî÷å äðóãèõ õàðàêòåðíûõ âðåìåí äàííîé çàäà÷è. À êàêîå âðåìÿ ÿâëÿåòñÿ
õàðàêòåðíûì â çàäà÷å îá èçëó÷åíèè ýëåêòðîìàãíèòíîé
âîëíû?
– Ïåðèîä âîëíû? – ïðåäïîëîæèëà Íèêêè.
– Âåðíî! Òàê ÷òî íàøà èäåàëèçàöèÿ ñ ìãíîâåííûì
óñêîðåíèåì çàðÿäà âïîëíå çàêîííà, åñëè ìû èíòåðåñóåìñÿ èçëó÷åíèåì äîñòàòî÷íî íèçêèõ ÷àñòîò.
– À íàìíîãî êîðî÷å – ýòî ñêîëüêî?
–  õîðîøåé òåîðèè – â äåñÿòü ðàç ìåíüøå, à â
ïëîõîé – â äâà.
Êëàññ îòðåàãèðîâàë îæèäàåìûì ñìåõîì.
– Íî çà÷åì íóæíû ïëîõèå òåîðèè? – Íèêêè áûëà
ñëåãêà ðàçî÷àðîâàíà.
– À åñëè äðóãèõ íåò? Ñîçäàéòå ëó÷øóþ – âñå â âàøèõ
ðóêàõ!
Ïðîçâåíåë çâîíîê. Ïðîôåññîð îçàðèë êëàññ çàêëþ÷èòåëüíîé óëûáêîé.
– Äî ñâèäàíèÿ! – è, îáåðíóâøèñü îò ñàìîé äâåðè,
äîáàâèë: – À ñàæàòü êàðòîøêó ñåé÷àñ ñàìîå âðåìÿ! ß
äîãîâîðþñü, ÷òîáû âàì âûäåëèëè ó÷àñòîê. Ïîñëå òàêèõ
óïðàæíåíèé óìñòâåííàÿ ðàáîòà äîñòàâëÿåò åùå áîëüøåå íàñëàæäåíèå!
ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»
Ñâåðõçâóêîâûå
àâòîáóñû, ëîäêè
è… äåðåâüÿ
Ãðèáíèêè è àâòîáóñ
Õîòÿ ãðèáíèêè è óòâåðæäàþò, ÷òî ãðèáû íà÷èíàþò ïîïàäàòüñÿ êàê ðàç òîãäà, êîãäà îïàçäûâàåøü íà àâòîáóñ, âñå-òàêè
ëó÷øå íå äîâîäèòü äåëî äî êðèòè÷åñêîé îòìåòêè. Ñëåäóåò
÷åòêî ñëåäèòü çà âðåìåíåì è ðàññ÷èòûâàòü ñâîé ãðàôèê
äâèæåíèÿ.
Âîò êëàññè÷åñêàÿ çàäà÷à íà òàêîé ðàñ÷åò.
Çàäà÷à 1. Ïî ïðÿìîìó øîññå äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé
ñêîðîñòüþ àâòîáóñ (ðèñ.2). Íàðèñóéòå òàê íàçûâàåìóþ
Å.ÑÎÊÎËÎÂ
Â
ÑÒÀÒÜÅ «ÑÂÅÐÕÇÂÓÊÎÂÛÅ ÑÀÌÎËÅÒÛ È ÊÎÍÓÑ ÌÀÕÀ»
(«Êâàíò» ¹3 çà 2010 ã.) áûëî ïîêàçàíî, íàñêîëüêî
ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå êîíóñà Ìàõà ïðè èññëåäîâàíèè êèíåìàòèêè ñâåðõçâóêîâûõ ñàìîëåòîâ. Íàïîìíèì, ÷òî
ýòî òàêîé êîíóñ, ó êîòîðîãî óãîë α ïðè âåðøèíå îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì sin α = c v , ãäå â ÷èñëèòåëå è â çíàìåíàòåëå ñòîÿò ñêîðîñòè çâóêà è ñàìîëåòà ñîîòâåòñòâåííî.
Êîíóñû Ìàõà – âïîëíå ðåàëüíûå îáðàçîâàíèÿ, ñîïðîâîæäàþùèå áûñòðî äâèæóùèåñÿ ïðåäìåòû: ðåàêòèâíûå ñàìîëåòû, ïóëè è ñíàðÿäû, ìåòåîðèòû. Îíè ïðîÿâëÿþòñÿ êàê
óïëîòíåíèÿ âîçäóõà, êîòîðûå ìîæíî âèäåòü íà ôîòîãðàôèÿõ. Ïåðâóþ òàêóþ ôîòîãðàôèþ ïîëó÷èë ñàì Ýðíñò Ìàõ
(èíòåðåñíî, ÷òî äëÿ ýòîãî åìó ïðèøëîñü ñêîíñòðóèðîâàòü
îñîáûé ôîòîàïïàðàò).
Êîíóñû Ìàõà ìîæíî óâèäåòü è â îáû÷íîé æèçíè (ðèñ.1),
íàäî òîëüêî âíèìàòåëüíî ñìîòðåòü. Îñîáåííî õîðîøî îíè
âèäíû íà ìåëêîé âîäå. Íàïðèìåð – ïîñëå äîæäÿ ïî óëèöàì
áåãóò øèðîêèå, íî ìåëêèå ïîòîêè âîäû. Åñëè íà èõ ïóòè
ïîïàäàåò êàìåíü, òî îáòåêàþùàÿ åãî âîäà îáðàçóåò íà ïîâåðõíîñòè ïîòîêà äâå ëèíèè âîçâûøåíèÿ – êîíóñ Ìàõà. À
áûâàåò, âîëíà íàáåæèò íà ïåñ÷àíûé áåðåã è ïðè åå îòñòóïëåíèè çà êàæäîé ðàêóøêîé îáðàçóåòñÿ ñâîé ëè÷íûé ìàëåíüêèé
êîíóñ Ìàõà.
– À ÿ âèäåë, êàê âîðîíà øëà ïî ìåëêîé ëóæå, èùà ìåñòî,
ãäå ïîïèòü, è âîëíû îò åå ëàï ñëîæèëèñü â êîíóñ Ìàõà.
– À ÿ âèäåëà, êàê êàïëè âîäû, ïàäàþùèå ñ âåñëà, îáðàçîâûâàëè íà ïîâåðõíîñòè âîäû êîíóñû Ìàõà.
– Ýòî î÷åíü õîðîøèå ïðèìåðû. Äîáàâëþ, ÷òî åùå ìîæíî
ïðîñòî ïðîâåñòè ïî ïîâåðõíîñòè ëóæè ïðóòèêîì, è ïðè ýòîì
òîæå îáðàçóåòñÿ êîíóñ Ìàõà.
– À òî ÷òî âåðøèíû äåðåâüåâ èìåþò êîíè÷åñêóþ ôîðìó, ýòî
òîæå êîíóñû Ìàõà?
– Åñëè áîòàíèêè ïîäòâåðäÿò, ÷òî ïîáåãè ðàñòóò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, òî äà.
À âîò â çàäà÷àõ êîíóñû Ìàõà âñòðå÷àþòñÿ íå òîëüêî ïðè
äâèæåíèè ñâåðõçâóêîâûõ ñàìîëåòîâ, ìåòåîðèòîâ è ïóëü, íî
è ïðè äâèæåíèè îáû÷íûõ àâòîáóñîâ èëè ëîäîê.
Ðèñ. 1
Ðèñ. 2
îáëàñòü äîñòèæèìîñòè àâòîáóñà, ò.å. îáëàñòü, èç êîòîðîé ãðèáíèê åùå ìîæåò óñïåòü íà íåãî. Ïðèìèòå, ÷òî
ñêîðîñòü ãðèáíèêà â ïÿòü ðàç ìåíüøå ñêîðîñòè àâòîáóñà.
Îáñóæäåíèå. Ïðèêèíåì, ÷òî íàì íàäî ñäåëàòü äëÿ òîãî,
÷òîáû ïîëó÷èòü îòâåò. Âî-ïåðâûõ, â êàæäóþ òî÷êó ïëîñêîñòè
(à èõ áåñêîíå÷íî ìíîãî) íàì íàäî ïîìåñòèòü ïî ãðèáíèêó.
Âî-âòîðûõ, íàì íàäî ðàçðåøèòü êàæäîìó ãðèáíèêó äâèãàòüñÿ âî âñåõ âîçìîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ (à èõ òîæå áåñêîíå÷íî
ìíîãî), ÷òîáû âûÿñíèòü, ñìîæåò ëè îí õîòü ïðè êàêîìíèáóäü íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ
óñïåòü íà àâòîáóñ.
– Ìíå ëè÷íî êàæåòñÿ, ÷òî ãðèáíèêó íàäî âñåãäà èäòè ïî ïåðïåíäèêóëÿðó ÎÀ ê äîðîãå (ðèñ.3).
Ýòî ñàìûé êîðîòêèé ïóòü, è îí
çàéìåò ìåíüøå âñåãî âðåìåíè.
– Äà, ïóòü ÎÀ ñàìûé êîðîòêèé, íî äëÿ ãðèáíèêà îí íå ëó÷øèé – âåäü ó ãðèáíèêà íåò öåëè Ðèñ. 3
âûéòè íà äîðîãó êàê ìîæíî áûñòðåå, à åñòü öåëü âûéòè íà äîðîãó ðàíüøå àâòîáóñà. Ïðè
òàêîì óñëîâèè ïóòü OA1 , êîòîðûé èäåò ÷óòü ïðàâåå, áóäåò
äëÿ ãðèáíèêà ÿâíî ïðåäïî÷òèòåëüíåå.
– À ìíå íå î÷åíü ïîíÿòíî, ïî÷åìó áîëåå äëèííûé ïóòü OA1
ïðåäïî÷òèòåëüíåå äëÿ ãðèáíèêà. È ñîâñåì íå ïîíÿòíî, ïî÷åìó ýòî ÿâíî âèäíî!
– Íó ÷òî æå, äàâàéòå íàáåðåìñÿ òåðïåíèÿ è ïîñëóøàåì
îáúÿñíåíèÿ.
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ãðèáíèê îêàçûâàåòñÿ ñîâñåì
ðÿäîì ñ äîðîãîé, åìó ïðàêòè÷åñêè âñå ðàâíî êóäà èäòè, ëèøü
áû íå â ñòîðîíó îò äîðîãè. Íî âîò êîãäà îí íàõîäèòñÿ äàëåêî
îò äîðîãè, ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî, èäÿ ïî ïåðïåíäèêóëÿðó
ÎÀ, îí îïîçäàåò íà àâòîáóñ, à èäÿ ïî òðîïå OA1 , óñïååò, õîòÿ
è áóäåò èäòè äîëüøå. Âîçüìåì êîíêðåòíûé ïðèìåð. Ïóñòü îòðåçîê ÎÀ
èìååò äëèíó 10 êì, à òî÷êà A1
ëåæèò íà 100 ì ïðàâåå òî÷êè À, è
ïóñòü ãðèáíèê, èäóùèé ïî òðîïå
ÎÀ, ÷óòü-÷óòü îïîçäàë íà àâòîáóñ.
À âîò ó ãðèáíèêà, èäóùåãî ê òî÷êå
A1 , åùå åñòü âðåìÿ – âåäü àâòîáóñó
íàäî åùå ïðîåõàòü äî ýòîé òî÷êè
öåëûõ 100 ì.
– Íó òàê è ãðèáíèêó íàäî áîëüøå
ïðîéòè!
– Êîíå÷íî, íî íà ñêîëüêî áîëü(Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 34)
…äâèæåíèÿ äðóã ïî îòíîøåíèþ ê äðóãó òåë, çàêëþ÷åííûõ
â êàêîì-ëèáî ïðîñòðàíñòâå, îäèíàêîâû, ïîêîèòñÿ ëè ýòî
ïðîñòðàíñòâî èëè äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî
áåç âðàùåíèÿ.
Èñààê Íüþòîí
…öåíòðîáåæíûå ñèëû íåîäèíàêîâûõ òåë, äâèæóùèõñÿ ñ
îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ ïî ðàâíûì îêðóæíîñòÿì, îòíîñÿòñÿ
ìåæäó ñîáîé êàê âåñà ýòèõ òåë, ò.å. êàê êîëè÷åñòâà âåùåñòâà
â íèõ…
Õðèñòèàí Ãþéãåíñ
Åñëè â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ê êàæäîé èç òî÷åê
ñèñòåìû, êðîìå ôàêòè÷åñêè äåéñòâóþùèõ íà íåå âíåøíèõ
è âíóòðåííèõ ñèë, ïðèëîæèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ñèëû èíåðöèè, òî ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà ñèë áóäåò íàõîäèòüñÿ â ðàâíî-
âåñèè è ê íåé ìîæíî áóäåò ïðèìåíÿòü âñå óðàâíåíèÿ
ñòàòèêè.
Æàí Ëåðîí ĒÀëàìáåð
Âðÿä ëè ìîæíî íàçâàòü äðóãóþ òåîðåìó ìåõàíèêè,
êîòîðàÿ âûçûâàëà áû ñòîëüêî ðàçíîãî ðîäà íåäîðàçóìåíèé, êàê íà÷àëî ĒÀëàìáåðà. Ðåàëüíû èëè ôèêòèâíû òå
ñèëû èíåðöèè, î êîòîðûõ ãîâîðèòñÿ â ýòîì íà÷àëå?
Åâãåíèé Íèêîëàè
×òîáû ðàáîòàòü ñ çàêîíàìè Íüþòîíà, [íàäî] ïîäïðàâèòü
ñèëû, ââåñòè â íèõ äîáàâî÷íûé ÷ëåí. Äðóãèìè ñëîâàìè,
ïîÿâëÿåòñÿ êàæóùàÿñÿ, ìèñòè÷åñêàÿ, íîâàÿ ñèëà íåâåäîìîãî ïðîèñõîæäåíèÿ…
Ðè÷àðä Ôåéíìàí
?
À òàê ëè õîðîøî çíàêîìû âàì
ñèëû èíåðöèè
Îïÿòü èíåðöèÿ? Âåäü ñîâñåì íåäàâíî – â ïðîøëîì
âûïóñêå «Êàëåéäîñêîïà» – î íåé óæå øëà ðå÷ü. Âåðíî,
òåìàòè÷åñêè ýòè âûïóñêè ñâÿçàíû. Ìîæíî ñêàçàòü, îäèí
ïðîäîëæàåò äðóãîé, íî íå çàìåíÿåò åãî è íå ïîâòîðÿåò.
Îáðàòèòå âíèìàíèå íà äîáàâëåíèå â çàãîëîâîê ëèøü
îäíîãî ñëîâà – «ñèëû». Îáñóäèòü, êàê ýòà äîáàâêà
ðàñøèðÿåò ðàçãîâîð îá èíåðöèè è âûâîäèò åãî çà
ðàìêè ñôîðìóëèðîâàííîãî â ïðîøëûé ðàç ïîíÿòèÿ, è
ïðèçâàíû ñåãîäíÿøíèå ñþæåòû.
×òî æå ýòî çà òàèíñòâåííûå ñèëû, íå äàþùèå ïîêîÿ è
òåîðåòèêàì, è ïðàêòèêàì? Ìîæíî ëè èìè óïðàâëÿòü,
ïîñòàâèòü íàì íà ñëóæáó, åñëè äåñÿòèëåòèÿìè íå óäàâàëîñü ïðèéòè ê îáùåìó ïîíÿòèéíîìó çíàìåíàòåëþ? Íå
áåñïîêîéòåñü: è îáóçäàòü ñèëû èíåðöèè, è íàó÷èòüñÿ
îáåçîïàñèòü ìàøèíû è ìåõàíèçìû, ãäå îíè ìîãëè áû
ïðîÿâèòü ñâîé «áóéíûé íðàâ», ÷åëîâåê íàëîâ÷èëñÿ. È
íàéòè èì ïðèìåíåíèå â ñàìûõ ñîâðåìåííûõ óñòðîéñòâàõ ìèêðîìåõàíèêè – îò ðîáîòîòåõíèêè äî ñèñòåì
âèðòóàëüíîé ðåàëüíîñòè – ñìîã. È îáúÿñíèòü ñ èõ
ïîìîùüþ ìíîãèå ïðèðîäíûå ÿâëåíèÿ – ñóìåë. Áîëåå
òîãî, äîòîøíûé ðàçáîð ïî êîñòî÷êàì êàçàâøèõñÿ êîìóòî ÿñíûìè, à êîìó-òî çàãàäî÷íûìè âîïðîñîâ ïðèâåë ê
îñìûñëåíèþ ñàìûõ îñíîâ óñòðîéñòâà ìèðà è ê ïîÿâëåíèþ íîâûõ îïèñûâàþùèõ ýòîò ìèð ôóíäàìåíòàëüíûõ
òåîðèé.
Âîò êàê íàñ – «ïî èíåðöèè» – äàëåêî çàíåñëî!
Îòäàäèì æå äîëæíîå ýòîìó êàâåðçíîìó, íî çàìå÷àòåëüíîìó ïîíÿòèþ, à òàêæå è âåëèêîìó ó÷åíîìó, äàâíûì-äàâíî çàòåÿâøåìó ñâÿçàííóþ ñ ýòèì ïîíÿòèåì
èñòîðèþ, – Ãàëèëåî Ãàëèëåþ. Òåì áîëåå â ãîä åãî 450ëåòíåãî þáèëåÿ.
Âîïðîñû è çàäà÷è
1. Â àâòîìîáèëå, äâèæóùåìñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, ðîíÿþò êàìåíü. Íàáëþäàòåëè â àâòîìîáèëå è íà
äîðîãå âèäÿò, ÷òî åãî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî ðàçíûì
òðàåêòîðèÿì. Êàêàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé?
2. ×åëîâåê äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïëàòôîðìû ïðÿìîëèíåéíî, íî íåðàâíîìåðíî, à ïëàòôîðìà äâèæåòñÿ
îòíîñèòåëüíî çåìëè ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîìåðíî. Êàêîé ìîæåò áûòü òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî çåìíîãî íàáëþäàòåëÿ?
3. Íà ëèøåííîì òðåíèÿ ïîëó äâèæóùåãîñÿ òðàìâàÿ
íåïîäâèæíî ëåæèò áèëüÿðäíûé øàð. Âðåìÿ îò âðåìåíè
øàð íà÷èíàåò íåðàâíîìåðíî êàòàòüñÿ ïî ïîëó. Êîãäà
ýòî ïðîèñõîäèò? 4. Êàêàÿ ñèëà F äîëæíà äåéñòâîâàòü íà òåëî ìàññîé
m, ÷òîáû îíî äâèãàëîñü ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî
îòíîñèòåëüíî âàãîíà, äâèæóùåãîñÿ ïîñòóïàòåëüíî ñ
óñêîðåíèåì a ?
5. ×åìó ðàâåí óãîë α îòêëîíåíèÿ îò âåðòèêàëè íèòè
ñ ïîäâåøåííûì íà íåé òÿæåëûì ãðóçèêîì ìàññîé m â
âàãîíå, äâèæóùåìñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîìó ïóòè ñ óñêîðåíèåì a? Çàâèñèò ëè ýòîò óãîë îò ìàññû ãðóçèêà?
6. Ñîñóä, ÷àñòè÷íî çàïîëíåííûé ðòóòüþ, äâèæåòñÿ ñ
ãîðèçîíòàëüíûì óñêîðåíèåì, èç-çà ÷åãî ïîâåðõíîñòü
ðòóòè íàêëîíåíà ê ãîðèçîíòó ïîä íåêîòîðûì óãëîì α .
Èçìåíèòñÿ ëè ýòîò óãîë, åñëè ïîâåðõ ðòóòè íàëèòü âîäó?
7. Êàê áóäåò âåñòè ñåáÿ âîçäóøíûé øàðèê, çàïîëíåííûé ãåëèåì, â çàêðûòîì àâòîìîáèëå, óñêîðÿþùåìñÿ
âïåðåä?
8. Ñîñóä ñ âîäîé ñêîëüçèò âíèç ïî ãëàäêîé íàêëîííîé
ïëîñêîñòè ñ óãëîì íàêëîíà α . Êàêîé óãîë ñ ãîðèçîíòîì
îáðàçóåò ïîâåðõíîñòü âîäû? Èçìåíèòñÿ ëè îòâåò, åñëè
ñêîëüæåíèå áóäåò ïðîèñõîäèòü ñ òðåíèåì?
9. Ñ íåêîòîðîé âûñîòû íà÷èíàåò ïàäàòü ñîñóä ñ âîäîé,
â êîòîðîì â íà÷àëüíûé ìîìåíò íà
íåêîòîðîé ãëóáèíå íàõîäèòñÿ êóñî÷åê
ïðîáêè. Êàê áóäåò äâèãàòüñÿ ïðîáêà
îòíîñèòåëüíî ñòåíîê ñîñóäà, åñëè ïðåíåáðå÷ü ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà?
10. Îïðîêèíóòàÿ ïðîáèðêà óêðåïëåíà
íåïîäâèæíî íàä ñîñóäîì ñ âîäîé, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Êàê èçìåíèòñÿ
óðîâåíü âîäû â íåé, åñëè âñÿ ñèñòåìà íà÷íåò ñâîáîäíî
ïàäàòü?
11. Ïåðèîä êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà,
íàõîäÿùåãîñÿ â íåïîäâèæíîé ðàêåòå, ðàâåí T. Êàêèì
ñòàíåò ýòîò ïåðèîä ïðè âåðòèêàëüíîì ñïóñêå ðàêåòû ñ
óñêîðåíèåì 2g?
12. Ñàìîëåò ëåòèò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, îïèñûâàÿ
îêðóæíîñòü íà ïîñòîÿííîé âûñîòå. Êàêîå íàïðàâëåíèå
áóäåò óêàçûâàòü íèòü îòâåñà, ïîäâåøåííîãî â ñàëîíå
ñàìîëåòà?
13. Âåëîñèïåäèñò äâèæåòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé, âðàùàþùåéñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè ïëîñêîñòè â òàêîì
íàïðàâëåíèè è ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òî îòíîñèòåëüíî
çåìëè îí îñòàåòñÿ íåïîäâèæíûì. Äîëæåí ëè îí íàêëîíÿòüñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ê îñè âðàùåíèÿ ïëîñêîñòè?
14. Ñ ïîìîùüþ ðû÷àæíûõ âåñîâ âçâåñèëè 10 êèëîãðàììîâ àïåëüñèíîâ íà ýêâàòîðå. Èçìåíèòñÿ ëè ðåçóëüòàò âçâåøèâàíèÿ íà ïîëþñå?
15. Â öèëèíäðå, íàïîëíåííîì âîäîé è çàêðûòîì ñî
âñåõ ñòîðîí, íàõîäÿòñÿ ïðîáêà, êóñî÷åê ñâèíöà è íåêîòîðîå òåëî A, ïëîòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà ïëîòíîñòè
âîäû. Öèëèíäð ïðèâîäÿò â áûñòðîå âðàùåíèå âîêðóã
åãî îñè. Êàê áóäóò ðàñïîëîæåíû òåëà â öèëèíäðå, åñëè
îñü âðàùåíèÿ âåðòèêàëüíà?
16. Âîçäóõ èç ñóáòðîïè÷åñêîãî ïîÿñà ïîâûøåííîãî
äàâëåíèÿ ïåðåõîäèò â ýêâàòîðèàëüíûé ïîÿñ ïîíèæåííîãî äàâëåíèÿ.  êàêóþ ñòîðîíó – íà çàïàä èëè íà
âîñòîê – îí áóäåò îòêëîíÿòüñÿ ïðè ñâîåì äâèæåíèè?
Ìèêðîîïûò
Ïîïðîáóéòå ðàñêðóòèòü íåáîëüøîå âåäðî ñ âîäîé â
âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òîáû âîäà
íå âûëèâàëàñü. Ïîëó÷èëîñü? Òîãäà îáúÿñíèòå ÿâëåíèå.
Ëþáîïûòíî, ÷òî…
…î ñóùåñòâîâàíèè öåíòðîáåæíîé ñèëû èíåðöèè äîãàäûâàëñÿ åùå Àðèñòîòåëü, à Ïòîëåìåé ñ÷èòàë, ÷òî åñëè
áû Çåìëÿ âðàùàëàñü âîêðóã ñâîåé îñè, òî èç-çà öåíòðîáåæíîé ñèëû ìû íå ñìîãëè áû óäåðæèâàòüñÿ íà åå
ïîâåðõíîñòè. Êåïëåð è Ãàëèëåé îïðîâåðãëè ýòó òî÷êó
çðåíèÿ, îäíàêî ïîëàãàëè, ÷òî ïðè óäàëåíèè îò öåíòðà
âðàùåíèÿ öåíòðîáåæíàÿ ñèëà äîëæíà óìåíüøàòüñÿ.
…èçó÷àÿ äâèæåíèå ìàÿòíèêà, Ãþéãåíñ óñòàíîâèë, ÷òî
åñëè ìàññèâíîå òåëî, ïîäâåøåííîå íà íèòè, äâèæåòñÿ
ïî îêðóæíîñòè, òî íèòü íà÷èíàåò ðàñòÿãèâàòüñÿ êàê áû
åùå îäíîé ñèëîé, äîïîëíèòåëüíîé ê ñèëå òÿæåñòè. Îí
íàçâàë åå öåíòðîáåæíûì ñòðåìëåíèåì è ïðèâåë îïðåäåëÿþùèå åå çàêîíîìåðíîñòè, ñîõðàíèâøèå ñâîå çíà÷åíèå äî ñèõ ïîð. Ïðè÷åì äëÿ Ãþéãåíñà ýòî áûëà
îòíþäü íå ôèêòèâíàÿ, à âïîëíå ðåàëüíàÿ ñèëà òîé æå
ïðèðîäû, ÷òî è ñèëà òÿæåñòè.
…íà òî, ÷òî â ïðîöåññå ïàäåíèÿ íà âðàùàþùóþñÿ
Çåìëþ òåëî äîëæíî ñìåùàòüñÿ íà âîñòîê, óêàçàë åùå â
1679 ãîäó Íüþòîí íà çàñåäàíèè Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà. Â îáñóæäåíèè âûñòóïèë ïåðâûé Êîðîëåâñêèé àñòðîíîì Äæîí Ôëåìñòèä, óòâåðæäàâøèé, ÷òî
ýòîò ýôôåêò äàâíî èçâåñòåí â àðòèëëåðèè. Òàê, ïðè óãëå
âîçâûøåíèÿ îðóäèÿ â 87° âûïóùåííîå ÿäðî ïàäàåò
îáðàòíî â æåðëî, íà ïîêîÿùåéñÿ æå Çåìëå ýòîò óãîë
äîëæåí áûë áû ðàâíÿòüñÿ 90° .
…èäåàëüíî òî÷íûå, ðèòìè÷íî èäóùèå ÷àñû íàçûâàþò
èíåðöèàëüíûìè. Õîä âñåõ ïîäîáíûõ ÷àñîâ âî âñåõ
èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà îäèíàêî⠖ â ìèðå
ñóùåñòâóåò åäèíîå, âñåîáùåå è óíèâåðñàëüíîå âðåìÿ,
èìåíóåìîå àáñîëþòíûì. Ýòî ïîëîæåíèå – âàæíåéøèé
ðåçóëüòàò êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè Ãàëèëåÿ–Íüþòîíà,
ïðèíèìàåìûé â íåé â êà÷åñòâå àêñèîìû.
…âåëèêèé ôðàíöóçñêèé ó÷åíûé ĒÀëàìáåð áûë øèðîêî îáðàçîâàííûì ÷åëîâåêîì – ìàòåìàòèêîì, ìåõàíèêîì è ôèëîñîôîì-ïðîñâåòèòåëåì. Åãî èçáðàëè âî âñå
ñóùåñòâóþùèå â òî âðåìÿ Àêàäåìèè íàóê, â òîì ÷èñëå
è â Ïåòåðáóðãñêóþ. Ïðèâåäåííûé â ýïèãðàôå çíàìåíèòûé ïðèíöèï, ïîçâîëÿâøèé ñâîäèòü äèíàìè÷åñêèå çàäà÷è ê ñòàòè÷åñêèì, ĒÀëàìáåð ñôîðìóëèðîâàë â 1743
ãîäó â «Òðàêòàòå î äèíàìèêå», êîãäà åìó áûëî âñåãî 26
ëåò.
…â íåèíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ïðè ó÷åòå ñèë
èíåðöèè ê íèì íåëüçÿ ïðèìåíÿòü òðåòèé çàêîí Íüþòîíà, òàê êàê íåò íèêàêèõ ñèë ïðîòèâîäåéñòâèÿ, ïðèëîæåííûõ ê äðóãîìó òåëó ñî ñòîðîíû äàííîãî, äà íåò è
ñàìîãî «äðóãîãî» òåëà. Òàêæå â ýòèõ ñèñòåìàõ íåñïðàâåäëèâû è ñëåäñòâèÿ èç òðåòüåãî çàêîíà, â òîì ÷èñëå
çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà.
…ñïîðû îá èñòèííîñòè èëè ôèêòèâíîñòè ñèë èíåðöèè
ïðîäîëæàëèñü áîëåå äâóõñîò ëåò. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè
ïåðåõîäå ê èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îò íèõ ìîæíî ïðîñòî èçáàâèòüñÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíè âûçûâàþò
âïîëíå ðåàëüíûå ñîáûòèÿ – ðàçðûâ ìàõîâèêîâ, ñõîä ñ
ðåëüñîâ è êðóøåíèÿ ïîåçäîâ è òàê äàëåå.
…àâñòðèéñêèé ôèçèê è ôèëîñîô Ýðíñò Ìàõ ñ÷èòàë
èñòî÷íèêîì ïðîèñõîæäåíèÿ ñèë èíåðöèè âðàùàþùóþñÿ âîêðóã íàáëþäàòåëÿ Âñåëåííóþ. Ïðè òàêîì ïîäõîäå
èíåðòíàÿ ìàññà ëþáîãî òåëà áûëà îáóñëîâëåíà âëèÿíèåì âñåõ òåë îêðóæàþùåãî ìèðà. Ýòó òî÷êó çðåíèÿ,
íàçâàííóþ ïðèíöèïîì Ìàõà, ïåðâîíà÷àëüíî ðàçäåëÿë
è Ýéíøòåéí, íî âïîñëåäñòâèè îò íåå îòêàçàëñÿ.
…â ïðèðîäå äåéñòâèå ñèë èíåðöèè îñîáåííî ÿðêî
ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè äâèæåíèè îãðîìíûõ ìàññ âîäû è
âîçäóõà â îêåàíå è â àòìîñôåðå. Òàê, òå÷åíèå Ãîëüôñòðèì, äâèãàÿñü íà ñåâåð â ñåâåðíîì ïîëóøàðèè, ïîä
äåéñòâèåì êîðèîëèñîâîé ñèëû èíåðöèè îòêëîíÿåòñÿ
âïðàâî, îáåäíÿÿ òåïëîì Êàíàäó è îáîãðåâàÿ Åâðîïó.
Ýòîé æå ñèëå îáÿçàíû ñâîèì ïîÿâëåíèåì ãèãàíòñêèå
öèêëîíè÷åñêèå âèõðè, çàêðó÷èâàþùèåñÿ â ñåâåðíîì
ïîëóøàðèè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè è ïî ÷àñîâîé – â
þæíîì.
…áåç èíåðöèàëüíîé íàâèãàöèè íåìûñëèìû ñåãîäíÿ
êàê ïîëåòû êîñìè÷åñêèõ êîðàáëåé è àâèàëàéíåðîâ, òàê
è ïëàâàíèå ñóäîâ íàäâîäíîãî è îñîáåííî ïîäâîäíîãî
ôëîòà. Îäíèì èç ïðèìåíÿåìûõ â èíåðöèàëüíîé íàâèãàöèè ïðèáîðîâ ÿâëÿåòñÿ ÷óâñòâèòåëüíåéøèé àêñåëåðîìåòð, ïîçâîëÿþùèé èçìåðÿòü óñêîðåíèÿ ïîäâèæíûõ
îáúåêòîâ ñ òî÷íîñòüþ äî 10−7 g .
×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå» î ñèëàõ èíåðöèè
(ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò)
1. «Ïðèíöèï Òîððè÷åëëè è öåíòðîáåæíàÿ ñèëà èíåðöèè» –
2005, ¹3, ñ.35;
2. «Ïîäâîäíûå êàìíè» ñèëû Àðõèìåäà» – 2009, ¹2, ñ.46;
3. «Çàäà÷è ìåõàíèêè â íåèíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà»
– 2010, ¹2, ñ.51;
4. «Ôèçè÷åñêèé êàëåéäîñêîï. Âûïóñê 3» – 2012, Ïðèëîæåíèå ¹3, ñ.16, 126;
5. «Êàëåéäîñêîï «Êâàíòà» – 2014, ¹1, ñ.32.
Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷
!"
ÊÂÀÍT 2014/¹3
(Íà÷àëî ñì. íà ñ. 31)
øå? Íà ñêîëüêî òðîïà OA1 äëèííåå ïåðïåíäèêóëÿðà: íà 100,
íà 50, íà 20 ì? Îêàçûâàåòñÿ, âñåãî íà 50 ñì! (Óáåäèòåñü â
ýòîì, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ êàëüêóëÿòîðà.) Ïîýòîìó âòîðîé
ãðèáíèê âûéäåò íà äîðîãó â òî÷êå A1 , ìîæåò, íà ïîëñåêóíäû
ïîçæå ïåðâîãî. À âîò àâòîáóñó åùå åõàòü è åõàòü!
À òî ÷òî ïóòü OA1 áîëåå âûèãðûøíûé, äëÿ îïûòíîãî
÷åëîâåêà ñðàçó î÷åâèäíî ïî ñëåäóþùåé ïðè÷èíå. Ïåðïåíäèêóëÿð ÎÀ – ñàìûé êîðîòêèé èç âñåõ îòðåçêîâ, âåäóùèõ ê
äîðîãå, è âñå áëèçêèå ê íåìó îòðåçêè ëèøü ÷óòü-÷óòü äëèííåå
åãî. Ïîýòîìó, ñìåùàÿ êîíå÷íóþ òî÷êó òðîïû ïåðïåíäèêóëÿðíî îòðåçêó ÎÀ âïðàâî, ìû ëèøü íåìíîãî óâåëè÷èâàåì
ïóòü ãðèáíèêà, íî ñóùåñòâåííî óâåëè÷èâàåì ïóòü àâòîáóñà.
Èòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òî äâèæåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî äîðîãå íå ñàìûé ëó÷øèé âûáîð äëÿ ãðèáíèêà. À êàêîé æå ïóòü
ëó÷øèé? Óâû, ìû ýòîãî ïîêà íå çíàåì, è ïîýòîìó ñòàíäàðòíûé ïîäõîä îñòàåòñÿ äëÿ íàñ ïî-ïðåæíåìó íåïðèñòóïíûì.
Íàäî èñêàòü ÷òî-òî íåñòàíäàðòíîå. Ïîäñêàçêà ó íàñ óæå åñòü
– ãäå-òî çäåñü äîëæåí ïîÿâèòüñÿ êîíóñ Ìàõà.
Ðåøåíèå. Ïîñòóïèì íàîáîðîò – ïîñàäèì â àâòîáóñ ìíîãîìíîãî ãðèáíèêîâ è ïîâåçåì èõ èç ãîðîäà â ëåñ. È ïðè ýòîì
äîãîâîðèìñÿ, ÷òî â êàæäîé òî÷êå øîññå ìíîãî-ìíîãî ãðèáíèêîâ (íî íå âñå) áóäóò âûõîäèòü èç àâòîáóñà è ðàñõîäèòüñÿ âî
âñå ñòîðîíû. Òàêèì îáðàçîì, àâòîáóñ åäåò ïî äîðîãå ñî
Ðèñ. 5
À òåïåðü – çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.
Çàäà÷à 2. Ãðèáíèêè Åãîð, Ïåòð è Èâàí âîçâðàùàëèñü èç ëåñà.
Åãîð ïîøåë ïî ëåâîé òðîïèíêå (ðèñ.5). Îí øåë äî äîðîãè 30 ìèí
è óñïåë òî÷íî ê àâòîáóñó. Èâàí ïîøåë ïðàâîé òðîïèíêîé. Øåë
îí 40 ìèí è òîæå óñïåë ïðÿìî ê àâòîáóñó. À Ïåòð ïîøåë ïî ñàìîé
êîðîòêîé òðîïèíêå è äîøåë äî äîðîãè çà 24 ìèí. Ñêîëüêî
âðåìåíè Ïåòð æäàë àâòîáóñà? Ñêîðîñòè âñåõ ãðèáíèêîâ îäèíàêîâû.
Çàäà÷à 3. À åùå áûë ñ ãðèáíèêàìè Ñèäîð, êîòîðûé ðàññóäèë
òàê: «Çà÷åì õîäèòü íå îïòèìàëüíûìè ïóòÿìè? ß ïîéäó îïòèìàëüíûì ïóòåì, à âðåìÿ, êîòîðîå ó ìåíÿ ñåé÷àñ åñòü â çàïàñå,
ïîòðà÷ó ëó÷øå íà ñáîð ãðèáîâ. Íå çðÿ ãîâîðÿò îïûòíûå ãðèáíèêè – ÷åì ìåíüøå âðåìåíè äî àâòîáóñà, òåì áîëüøå ãðèáîâ â
ëåñó!» Ñêàæèòå: ñêîëüêî âðåìåíè åñòü ó Ñèäîðà â çàïàñå, åñëè
îí äåéñòâèòåëüíî çíàåò îïòèìàëüíûé ïóòü?
Ðèñ. 4
ñêîðîñòüþ v, à îò íåãî âî âñå ñòîðîíû, êàê çâóê îò ñàìîëåòà,
ðàñõîäÿòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñ ãðèáíèêè. È ó íàñ îáðàçóåòñÿ…
êîíóñ Ìàõà (ðèñ.4) ñ óãëîì ðàñòâîðà α = arcsin (c v ) , ãäå ñ
– ñêîðîñòü ãðèáíèêà, à v – ñêîðîñòü àâòîáóñà.  êàæäîé òî÷êå
âíóòðè êîíóñà îêàæåòñÿ ïî äâà ãðèáíèêà, íà ñàìîì êðàþ –
îäèí, à çà êðàåì – íèêîãî. Êîíóñ Ìàõà è áóäåò òîé îáëàñòüþ,
èç êîòîðîé ïóòíèê ìîæåò óñïåòü íà àâòîáóñ. Äîêàçàòü?
Ïîæàëóéñòà.
Ëþáîé ïóòíèê, íàõîäÿùèéñÿ âíóòðè èëè íà êðàþ êîíóñà
Ìàõà, ìîæåò óñïåòü íà àâòîáóñ. Äëÿ ýòîãî åìó äîñòàòî÷íî
ïðîñòî ïîéòè â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì òîìó, ïî
êîòîðîìó â äàííóþ òî÷êó ïðèøåë îäèí èç ãðèáíèêîâ. Ïðè÷åì ïóòíèê âûéäåò íà äîðîãó êàê ðàç ê ïîäõîäó àâòîáóñà.
Òî÷íî òàê æå íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî íè îäèí ïóòíèê,
ñòîÿùèé âíå ïîñòðîåííîãî íàìè êîíóñà Ìàõà, íè çà ÷òî íå
óñïååò íà àâòîáóñ (ïðîâåäèòå ýòî äîêàçàòåëüñòâî ñàìîñòîÿòåëüíî).
Èòàê, îòâåò ê íàøåé çàäà÷å òàêîâ: îáëàñòü äîñòèæèìîñòè
àâòîáóñà – ýòî êîíóñ Ìàõà ñ âåðøèíîé â àâòîáóñå è óãëîì ïðè
âåðøèíå 2α = 2 arcsin (c v ) . Êàæäûé ïóòíèê, íàõîäÿùèéñÿ
âíóòðè ýòîãî êîíóñà, èìååò âûáîð – ó íåãî åñòü äâà ïóòè, ïî
êîòîðûì îí ìîæåò âûéòè íà äîðîãó òî÷íî ê ïîäõîäó àâòîáóñà, à òàêæå îí ìîæåò âûáðàòü ëþáîé ïóòü, ëåæàùèé ìåæäó
íèìè. Ïðàâäà, â ýòîì ñëó÷àå åìó ïðèäåòñÿ íåêîòîðîå âðåìÿ
ïîäîæäàòü àâòîáóñ. Äëÿ ïóòíèêà æå, ñòîÿùåãî íà îáðàçóþùåé êîíóñà, åñòü òîëüêî îäèí âàðèàíò âîçâðàùåíèÿ – åìó
íàäî èäòè ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé îáðàçóþùåé.
Ðèñ. 6
Çàäà÷à 4. Ïîñòðîéòå îáëàñòü äîñòèæèìîñòè àâòîáóñà, äëÿ
ñëó÷àåâ: à) äîðîãà äåëàåò ïîâîðîò íà 90° (ðèñ.6,à); á) âîäèòåëü
áåðåò ïàññàæèðîâ ñòðîãî íà îñòàíîâêàõ O1, O2, O3 (ðèñ.6,á).
×èñëî Ìàõà äëÿ àâòîáóñà è ïóòíèêà ñ÷èòàéòå ðàâíûì äâóì.
Ïåðåïðàâà ÷åðåç ðåêó
Ïðåäñòàâèì, ÷òî ìû ñòîèì íà áåðåãó áûñòðîé øèðîêîé
ðåêè (ðèñ.7). Ïðèìåì, ÷òî øèðèíà ðåêè L = 120 ì, ñêîðîñòü
åå òå÷åíèÿ v = 4 ì/ñ, à â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè åñòü âåñåëüíàÿ
ëîäêà, íà êîòîðîé ìû ìîæåì ïëûòü ñî ñêîðîñòüþ ñ =
= 3 ì/ñ. Èòàê, ñ ýòîãî ìîìåíòà âåëè÷èíû L, v è ñ ôèêñèðîâàíû. Ìû ñâîáîäíû ëèøü â îäíîì – â âûáîðå êóðñà ëîäêè,
ò.å. â âûáîðå íàïðàâëåíèÿ, â êîòîðîì ìû áóäåì ãðåñòè.
Ðèñ. 7
ØÊÎËÀ
Õîòèì ñðàçó æå ïðåäóïðåäèòü ÷èòàòåëÿ âîò î ÷åì. Â
ñïîêîéíîé âîäå (íà îçåðå) êóäà ìû íàïðàâëÿåì ëîäêó
(ãðåáåì), òóäà æå îíà è äâèæåòñÿ. À âîò íà ðåêå ýòî óæå
ðàçíûå íàïðàâëåíèÿ. Íà ðèñóíêå 7 ïîêàçàíî, ÷òî ïðîèñõîäèò
íà ðåêå ñ ëîäêîé çà îäíó ñåêóíäó. Ìû ãðåáåì (íàïðàâëÿåì
ëîäêó) ïîä óãëîì β ê áåðåãó è ïåðåìåùàåìñÿ îòíîñèòåëüíî
âîäû íà ðàññòîÿíèå ñ. Íî êðîìå ýòîãî åñòü òå÷åíèå, è îíî
ñíîñèò íàñ çà ñåêóíäó íà ðàññòîÿíèå v. Â ðåçóëüòàòå ìû
äâèæåìñÿ îòíîñèòåëüíî áåðåãà ïîä ñîâñåì äðóãèì óãëîì α
è ñîâñåì ñ äðóãîé ñêîðîñòüþ u.
Âîò íåñêîëüêî çàäà÷, ñâÿçàíûõ c ïåðåïðàâîé ÷åðåç ðåêó.
Çàäà÷à 5. Çà êàêîå ìèíèìàëüíîå âðåìÿ íàøà ëîäêà (ñì.
ðèñ.7) ìîæåò ïåðåïðàâèòüñÿ ÷åðåç ðåêó? Êàêîé êóðñ (óãîë
β ) ñëåäóåò ïðè ýòîì âûáèðàòü ãðåáöó? Íà êàêîå ðàññòîÿíèå d åå ñíåñåò âäîëü áåðåãà? Êàêîâ ïóòü s ëîäêè îòíîñèòåëüíî áåðåãà?
Îáñóæäåíèå. Ìû äóìàåì, ÷òî ó èçëèøíå ñàìîóâåðåííûõ
ðåáÿò åñòü ëè÷íûé îïûò îòíîñèòåëüíî ýòîé ñèòóàöèè, è îíè
ñðàçó æå äîãàäàþòñÿ, êàê ñëåäóåò âåñòè ëîäêó, ÷òîáû âðåìÿ
ïåðåïðàâû áûëî ìèíèìàëüíûì. «Èçëèøíå ñàìîóâåðåííûìè» ìû íàçûâàåì òåõ ðåáÿò, êîòîðûå, åäâà íàó÷èâøèñü
ïëàâàòü â ïðóäó èëè áàññåéíå, íà÷èíàþò ïîêîðÿòü íàñòîÿùèå
ðåêè ñ áûñòðûì òå÷åíèåì. Õîðîøî, åñëè ðå÷êà ìàëåíüêàÿ è
ñèë õâàòàåò. À åñëè äåëî ïðèíèìàåò íåøóòî÷íûé îáîðîò:
ñèëû íà èñõîäå, à ïðîòèâîïîëîæíûé áåðåã åùå äàëåêî?
Âîò çäåñü ìû è ïîïàäàåò â ñèòóàöèþ, êîãäà íàì íàäî êàê
ìîæíî áûñòðåå îêàçàòüñÿ íà äðóãîì áåðåãó. Êàê æå íàäî ñåáÿ
âåñòè? Êîíå÷íî, ïëûòü ïåðïåíäèêóëÿðíî òå÷åíèþ, ò.å. äåðæàòü êóðñ β = 90° . È íè÷åãî, ÷òî òå÷åíèå ñíîñèò âíèç, ãëàâíîå,
÷òîáû êàæäûé ãðåáîê ïðèáëèæàë íàñ ê æåëàííîìó áåðåãó.
Èòàê, ìû âìåñòå ñ âàìè îòâåòèëè íà ñàìûé ãëàâíûé âîïðîñ
çàäà÷è. Îñòàëüíûå îòâåòû ïðåäëàãàåì âàì ïîëó÷èòü ñàìîñòîÿòåëüíî.
À òåïåðü – çàäà÷à ïîñëîæíåå.
Çàäà÷à 6. Ëîäî÷íèêó íàäî ïåðåïðàâèòüñÿ ÷åðåç ðåêó òàê,
÷òîáû ñíîñ ëîäêè áûë ìèíèìàëüíûì. Êàêîé êóðñ (óãîë β )
åìó ñëåäóåò äëÿ ýòîãî âûáðàòü? Êàêîé óãîë (óãîë α )
îáðàçóåò òðàåêòîðèÿ ëîäêè ñ áåðåãîì? Ñêîëüêî âðåìåíè
(t) ïîíàäîáèòñÿ ëîäî÷íèêó äëÿ òàêîé ïåðåïðàâû? Íà êàêîå
ðàññòîÿíèå (d) ñíåñåò ëîäêó? Êàêîé ïóòü (s) ïðîäåëàåò
ëîäêà îòíîñèòåëüíî áåðåãà?
 ýòîé ñèòóàöèè íàì óæå âðÿä ëè ïîìîæåò ëè÷íûé îïûò.
Äàæå åñëè êòî-òî è ïåðåïðàâëÿëñÿ ÷åðåç ðåêó, ïûòàÿñü ïëûòü
ñ íàèìåíüøèì ñíîñîì, íå ôàêò, ÷òî îí íàøåë ïðàâèëüíûé
êóðñ. Ïîýòîìó ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è ñëåäóåò ïðèáåãíóòü
ê ðàññóæäåíèÿì. À ðàññóæäåíèÿ ëó÷øå ïðîâîäèòü, êîãäà
ïåðåä ãëàçàìè ðèñóíîê, íà êîòîðîì ñðàçó âèäíû âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû ïåðåïðàâû.
– À åñòü ëè òàêîé ÷óäî-ðèñóíîê?
– Åñòü! È ãëàâíûé åãî ýëåìåíò – êîíóñ Ìàõà.
Íà÷èíàåì êîíñòðóèðîâàíèå. Ïðè÷åì íå ñî ñêîðîñòè ñ, à ñî
ñêîðîñòè v (ðèñ.8). Çà ñåêóíäó ðåêà ñíåñåò ëîäêó âïðàâî íà
ðàññòîÿíèå v. Ïîñëå ýòîãî ìû ñàìè äîëæíû ïåðåìåñòèòü
ëîäêó íà ðàññòîÿíèå ñ, ïðè ýòîì íàïðàâèòü åå ìû ìîæåì â
ëþáóþ ñòîðîíó. Ïîýòîìó ðèñóåì ïîëóîêðóæíîñòü ðàäèóñîì
ñ. Êàæäàÿ òî÷êà ýòîé êðèâîé ñîîòâåòñòâóåò êîíêðåòíîìó
âûáîðó êóðñà. À ñêîðîñòü ëîäêè îòíîñèòåëüíî áåðåãà – ýòî
âåêòîð, ñîåäèíÿþùèé òî÷êó Î è âûáðàííóþ íàìè òî÷êó íà
îêðóæíîñòè.
Ðèñ. 8
Ðèñ. 9
Â
«ÊÂÀÍÒÅ»
!#
Èòàê, âñå âàðèàíòû íàëèöî. Ïðàâäà, êîíóñà Ìàõà ïîêà
åùå íà ðèñóíêå íåò. Ïîðàáîòàåì íåìíîãî ñ íàøèì ðèñóíêîì
– ïîãîâîðèì î ðàçíûõ òî÷êàõ íà íåì (ðèñ.9).
– Òî÷êà 1 ( β = 180° ), êàê áû âû íàçâàëè åå?
– Òàêîé âûáîð ïåðåïðàâû ìîæíî íàçâàòü ñàìûì áûñòðûì
ñïîñîáîì äâèæåíèÿ. Ñêîðîñòü ëîäêè â ýòîì ñëó÷àå îòíîñèòåëüíî áåðåãà ñàìàÿ áîëüøàÿ: umax = v + c . Õîòÿ ïîíÿòíî,
÷òî ïðè òàêîì âûáîðå íàïðàâëåíèÿ ìû íèêîãäà íå ïåðåïðàâèìñÿ ÷åðåç ðåêó.
– Òî÷êó 2 ( β = 0 ) ìîæíî íàçâàòü ñàìûì ìåäëåííûì
óäàëåíèåì îò èñõîäíîé òî÷êè. Ëîäêà çäåñü äâèæåòñÿ ñ ñàìîé
ìàëåíüêîé ñêîðîñòüþ: umin = v − c .
– À òî÷êà 3 ( β = 90° ) – ýòî òî÷êà èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è,
ò.å. òî÷êà íàèáûñòðåéøåé ïåðåïðàâû.
– Îñòàëîñü ñîâñåì íåìíîãî: íàéòè íà îêðóæíîñòè òî÷êó
ìèíèìàëüíîãî ñíîñà. Îòâåò ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, åñëè
ïîìåñòèòü íàø ðèñóíîê íà êàðòó ðåêè (ðèñ.10). Òîãäà ñðàçó
Ðèñ. 10
âèäíî, ÷òî ñíîñ áóäåò ìèíèìàëåí, åñëè òðàåêòîðèÿ ëîäêè
êàñàåòñÿ íàøåé îêðóæíîñòè âûáîðà.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ òî÷êà 4 – òî÷êà ïåðåïðàâû ñ ìèíèìàëüíûì ñíîñîì.
Òåïåðü íà íàøåé ðèñóíêå ïîÿâèëñÿ êîíóñ Ìàõà ñ óãëîì ïðè
îñíîâàíèè α = arcsin (c v ) .
Îñòàëüíûå îòâåòû, ñâÿçàííûå ñ ïåðåïðàâîé ñ ìèíèìàëüíûì ñíîñîì, ïîëó÷èòå ñàìè.
Èñïîëüçóÿ íàøè ïîëåçíûå ðàññóæäåíèÿ è ðèñóíêè, ðåøèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ñëåäóþùèå çàäà÷è.
Çàäà÷à 7. Ïðè ïåðåïðàâå ëîäî÷íèê âåë ëîäêó òàê, ÷òîáû
ïåðåïëûòü ðåêó êàê ìîæíî áûñòðåå. À îáðàòíî îí âîçâðàùàëñÿ
òàê, ÷òîáû ñíîñ ëîäêè áûë ìèíèìàëåí. Èçâåñòíî, ÷òî íà
îáðàòíûé ïóòü îí çàòðàòèë â äâà ðàçà áîëüøå âðåìåíè. Íàéäèòå,
âî ñêîëüêî ðàç ñêîðîñòü òå÷åíèÿ áîëüøå ñêîðîñòè ëîäêè. Âî
ñêîëüêî ðàç ïóòü ëîäêè òóäà áîëüøå, ÷åì ïóòü îòòóäà?
Çàäà÷à 8. Îáû÷íî ëîäî÷íèê ïåðåïðàâëÿåòñÿ ÷åðåç ðåêó çà
12 ìèí. À êîãäà îí âûáèðàåò äëÿ ïåðåïðàâû íîâûé êóðñ,
ñîñòàâëÿþùèé óãîë 90° ïî îòíîøåíèþ ê ïåðâîìó, òî îí òðàòèò
íà ïåðåïðàâó âñåãî 9 ìèí.
1) Ñêîëüêî âðåìåíè ëîäî÷íèê áóäåò òðàòèòü íà ïåðåïðàâó,
åñëè áóäåò äåðæàòü êóðñ ïåðïåíäèêóëÿðíî áåðåãîâîé ëèíèè?
2) ×åìó ðàâíî îòíîøåíèå ñêîðîñòè òå÷åíèÿ ê ñêîðîñòè ëîäêè,
åñëè è ïðè ñòàðîì è ïðè íîâîì êóðñå ëîäî÷íèêà ñíîñèò íà îäíî
è òî æå ðàññòîÿíèå?
Çàäà÷à 9. Äâà ëîäî÷íèêà âûáèðàþò ðàçíûå êóðñû äëÿ ñâîèõ
ëîäîê, íî ïðåñåêàþò ðåêó çà îäíî è òî æå âðåìÿ t0 . Ïðè ýòîì
âòîðóþ ëîäêó ñíîñèò ïðè ïåðåïðàâå â n ðàç äàëüøå, ÷åì ïåðâóþ.
1) Çà êàêîå ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ëîäî÷íèêè ìîãëè áû ïåðåïðàâëÿòüñÿ ÷åðåç ðåêó, åñëè ñêîðîñòü òå÷åíèÿ â Ì ðàç áîëüøå
ñêîðîñòè ëîäêè?
2) Ïðè êàêîì ìàêñèìàëüíîì Ì ýòî âîçìîæíî?
Ñêîðîñòè îáåèõ ëîäîê â ñïîêîéíîé âîäå îäèíàêîâû.
– À åñëè ñêîðîñòü ëîäêè áîëüøå ñêîðîñòè ðåêè, åñòü òàêèå
çàäà÷è?
– Êîíå÷íî, åñòü. Òîëüêî òåïåðü êàðòèíêà, íà êîòîðîé
âèäíû âñå âàðèàíòû íàøåãî âûáîðà, âûãëÿäèò íåñêîëüêî
èíà÷å (ðèñ.11). Íî ìíîãîå íà ýòîé êàðòèíêå îñòàåòñÿ è îò
ñòàðîãî ñëó÷àÿ. Òî÷êà 1, ïî-ïðåæíåìó, òî÷êà ñàìîé áîëüøîé
ñêîðîñòè ëîäêè îòíîñèòåëüíî áåðåãà, òî÷êà 2 – òî÷êà ñàìîé
ìàëåíüêîé ñêîðîñòè ëîäêè, òî÷êà 3 – òî÷êà íàèáûñòðåéøåé
!$
ÊÂÀÍT 2014/¹3
– Æàëêî òîëüêî, ÷òî òåïåðü íà ðèñóíêå íåò íàøåãî
õîðîøåãî çíàêîìîãî – êîíóñà Ìàõà!
– Íó ÷òî æå, êîëè êîíóñ Ìàõà ñòàë âàì õîðîøèì çíàêîìûì, ýòî î÷åíü ïðèÿòíî. Îäíàêî âîçìîæíî, ÷òî âû è áåç íåãî
óæå ñìîæåòå ðåøàòü ñëîæíûå çàäà÷è. Íàïðèìåð, òàêóþ.
Ðèñ. 11
ïåðåïðàâû, à âîò òî÷êó 4 òåïåðü ñëåäóåò íàçûâàòü íåñêîëüêî
èíà÷å – òî÷êà ïåðåïðàâû áåç ñíîñà. Âåäü òåïåðü, êîãäà
ñêîðîñòü ëîäêè áîëüøå ñêîðîñòè òå÷åíèÿ, íàì âïîëíå ïî
ñèëàì íà ðàâíûõ áîðîòüñÿ ñ íèì è äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû
ëîäêó ñîâñåì íå ñíîñèëî.
Ñèðåíåâûé
òóìàí…
À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ
È
ÌÅÍÍÎ ÒÀÊ ÍÀ×ÈÍÀÅÒÑß ÈÇÂÅÑÒÍÀß ÑÒÀÐÀß ÏÅÑÍß:
«Ñèðåíåâûé òóìàí íàä íàìè ïðîïëûâàåò,
Íàä òàìáóðîì ãîðèò ïîëíî÷íàÿ çâåçäà…»
Íî ïî÷åìó òóìàí îêàçàëñÿ ñèðåíåâûì?
Èëè âîò åùå èç À.Ñ.Ïóøêèíà («Áóðÿ»):
Çàäà÷à 10. Ëîäî÷íèê âçÿë çà ïðàâèëî ïåðåïðàâëÿòü ñâîèõ
ïàññàæèðîâ íà äðóãîé áåðåã ñòðîãî ïåðïåíäèêóëÿðíî áåðåãîâîé
ëèíèè (áåç ñíîñà). Ñêîëüêî âðåìåíè áóäåò äëèòüñÿ òàêàÿ
ïåðåïðàâà, åñëè øèðèíà ðåêè L = 120 ì, ñêîðîñòü ëîäêè â
ñïîêîéíîé âîäå ñ = 5 ì/ñ, ñêîðîñòü òå÷åíèÿ v = 4 ì/ñ? Ïîä
êàêèì óãëîì îòíîñèòåëüíî áåðåãà ëîäî÷íèêó ñëåäóåò íàïðàâëÿòü
ñâîþ ëîäêó, ÷òîáû ñíîñà íå áûëî? Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ áóäåò
ïåðåìåùàòüñÿ ëîäêà îòíîñèòåëüíî áåðåãà?
ñâåòà ñ òî÷êè çðåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè äîëæíî áûòü
îäèíàêîâûì íà ëþáîì ðàññòîÿíèè ìÿ÷à îò ñòåíêè.
À ÷òî åñëè íà ïóòè òåõ æå ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé ïîìåñòèòü
íåïðîçðà÷íûé ýêðàí c îòâåðñòèåì ðàäèóñîì r (ðèñ.1,á)? Â
ýòîì ñëó÷àå íà áåëîé ñòåíå ïîëó÷èì êàðòèíó, äîïîëíèòåëüíóþ ê ïåðâîé. Äîïîëíèòåëüíóþ â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè
âñòàâèòü ìÿ÷ â îòâåðñòèå, òî ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà
ñòàíåò ðàâíîé íóëþ.
Îäíàêî, ýòî ñïðàâåäëèâî ñ òî÷êè çðåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé
îïòèêè. Â íåé íè ñëîâà íåò î äëèíå âîëíû ñâåòà λ , à âåäü
èìåííî îíà îïðåäåëÿåò âîñïðèÿòèå öâåòà – ñèðåíåâûé, àëûé,
êðàñíûé, ñèíèé... ×åì áîëüøå λ , òåì âîëíà «êðàñíåå», ÷åì
ìåíüøå – òåì «ñèíåå». Ïðåäñòàâèì ñåáå òî æå ñàìîå îòâåðñòèå ðàäèóñîì r â íåïðîçðà÷íîì ýêðàíå ñîñòîÿùèì èç äâóõ
ïîëîâèíîê ïëîùàäüþ πr 2 2 êàæäàÿ (ðèñ.2). Ñîãëàñíî ïðèíöèïàì âîëíîâîé (óæå íå ãåîìåòðè÷åñêîé!) îïòèêè, ýòè äâå
«Òû âèäåë äåâó íà ñêàëå
 îäåæäå áåëîé íàä âîëíàìè…
Êîãäà ëó÷ ìîëíèé îçàðÿë
Åå âñå÷àñíî áëåñêîì àëû셻
Êàê æå òàê: îäåæäû – áåëûå, ëó÷ ìîëíèé åùå áåëåå, à â
ðåçóëüòàòå – áëåñê àëûé! Íå ñâÿçàíî ëè ýòî ñ òåì, ÷òî «áóøóÿ
â áóðíîé ìãëå, èãðàëî ìîðå ñ áåðåãàìè … è âåòåð áèëñÿ è
ìåòàë», ò.å. ñ ïðèñóòñòâèåì ìîðñêèõ áðûçã è êàïåëü?
Íî çàãëÿíåì åùå äàëüøå íàçàä – â ãëóáü âåêîâ.  êèòàéñêèõ è ðèìñêèõ (îöåíèòå ðàññòîÿíèå!) õðîíèêàõ 186 ãîäà
ñîîáùàåòñÿ î êðàñíîì íåáå. È ÷òî æå? Îêàçûâàåòñÿ, â òó
ïîðó ïðîèçîøëî èçâåðæåíèå âóëêàíà … â Íîâîé Çåëàíäèè!
– âîîáùå â äðóãîì ïîëóøàðèè.
À â áîëåå áëèçêèå ê íàì âðåìåíà, â 1950 ãîäó, íà áîëüøåé
÷àñòè Åâðîïû Ñîëíöå è Ëóíà êàçàëèñü ãîëóáûìè ïîñëå
ïîæàðîâ â ëåñàõ Êàíàäû!
Òóò óæ ÿâíî âîçíèêàåò ïîäîçðåíèå î âçàèìîäåéñòâèè ñâåòà ñ
ìåëêèìè ÷àñòèöàìè.
Íî – âñå ïî ïîðÿäêó.
Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî
ôóòáîëüíûé ìÿ÷ ðàäèóñîì r îñâåùàåòñÿ ïàðàëëåëüíûìè ëó÷àìè
ñâåòà èíòåíñèâíîñòè I
(ðèñ.1,à). Òîãäà íà áåëîé ñòåíå ïîÿâèòñÿ ÷åòêèé äèñê òåíè, ïðè÷åì
Ðèñ.1. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà
çà ìÿ÷îì è çà îòâåðñòèåì (ãåîìåòðè÷åñ- ýòî ñòóïåí÷àòîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè
êàÿ îïòèêà)
Ðèñ.2. Èíòåðôåðåíöèÿ îò äâóõ ïîëóäèñêîâ. Ñëåâà – ïàäàþùèé
ôðîíò âîëíû (ñ äëèíîé λ ), ñïðàâà – êàðòèíà ðàñïðåäåëåíèÿ
èíòåíñèâíîñòè çà îòâåðñòèåì
ïîëîâèíêè ôðîíòà âîëíû, ïàäàþùåé ñëåâà íà îòâåðñòèå,
ìîæíî ñ÷èòàòü äâóìÿ íåçàâèñèìûìè èñòî÷íèêàìè âòîðè÷íûõ âîëí. Ñ ýòîé èäåè è íà÷èíàåòñÿ èçëîæåíèå ïðèíöèïà
Ôðåíåëÿ – âåëèêîãî îïòèêà, æèâøåãî âî âðåìåíà Íàïîëåîíà, Àëåêñàíäðà I è Ïóøêèíà.
Ðàññìàòðèâàÿ ýòó êàðòèíó èçäàëåêà, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòè
äâå ïîëîâèíêè èçëó÷àþò âòîðè÷íûå âîëíû êàê äâà òî÷å÷íûõ
èñòî÷íèêà, ðàñïîëîæåííûõ â «öåíòðå òÿæåñòè» êàæäîãî èç
ïîëóäèñêîâ. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè äâóìÿ òî÷êàìè îáîçíà÷èì áóêâîé d. Òîãäà â íàïðàâëåíèè, ñîîòâåòñòâóþùåì óãëó
θ , îäíà èç ýòèõ äâóõ âîëí îòñòàíåò îò äðóãîé íà îòðåçîê
∆ = d sin θ (ñì. çàøòðèõîâàííûé ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê íà ðèñóíêå 2). È òóò âîçíèêàþò äâå âîçìîæíîñòè – ýòà
ðàçíîñòü õîäà ìîæåò ñòàòü ðàâíîé öåëîìó ÷èñëó äëèí âîëí
(÷åòíîìó ÷èñëó ïîëóâîëí): ∆ = mλ = 2mλ 2 èëè íå÷åòíîìó
÷èñëó äëèí ïîëóâîëí: ∆ = (2n + 1) λ 2 . ßñíî, ÷òî â ïåðâîì
ñëó÷àå â íàïðàâëåíèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëàì
mλ
θm
,
(∗ )
max = arcsin
d
ýòè äâå âîëíû óñèëÿò äðóã äðóãà, âî âòîðîì – ïîãàñÿò. Òàêèì
îáðàçîì, êàðòèíà ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ñâåòà, ïðî-
ÍÀØÀ
øåäøåãî ÷åðåç îòâåðñòèå, ò.å. òàê íàçûâàåìàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà, ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àåòñÿ îò òîé, ÷òî ïðåäñêàçûâàåò ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà. Ãäå æå ïðàâäà!?
Ñ îäíîé ñòîðîíû, ìû ÿñíî âèäèì ðåçêóþ òåíü îò ëó÷à íà
ñòåíå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òå, êòî çàíèìàþòñÿ ðàäèîôèçèêîé,
òî÷íî çíàþò, ÷òî êðóãëàÿ àíòåííà ðàäèóñîì r, ïîñûëàþùàÿ
âîëíó íà ñïóòíèê, ñîáèðàåò ýíåðãèþ â ïó÷îê ñ õàðàêòåðíûì
λ
ïðè n = 0 (íàïðàâïîëóóãîëîì ðàñòâîðà ïîðÿäêà arcsin
2r
ëåíèå íà 1-é ìèíèìóì), à íå â âèäå «ñòóïåíüêè», êàê íà
ðèñóíêå 1,á. ßñíî, ÷òî òóò äåëî â îòíîøåíèÿõ ðàçìåðîâ.
Îäíî èõ íèõ ìû óæå çíàåì – ýòî äèôðàêöèîííûé ïàðàìåòð
λ
. Î÷åâèäíî, ÷òî äðóãîå îòíîøåíèå äîëæíî áûòü ñâÿçàíî ñ
r
òåì, «áëèçêî» èëè «äàëåêî» íàõîäèòñÿ ýêðàí îò îòâåðñòèÿ.
Èçìåðåííîå â ðàäèóñàõ îòâåðñòèÿ ýòî ðàññòîÿíèå x äàåò åùå
x
. È â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ,
îäèí áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð
r
λx
÷òî ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà ïðàâà ïðè 2 1 , à âîëíîâàÿ –
r
λx
ïðè 2 1 . (Êñòàòè çàìåòèì, ÷òî â «Êâàíòå» ¹1 çà 2014 ãîä
r
â ñòàòüå «Çà÷åì «áëèçîðóêî ùóðèòüñÿ»?» äîïóùåíà îïå÷àòêà. Íà ñòðàíèöå 42 ïîñëåäíþþ ôîðìóëó ñëåäóåò ÷èòàòü òàê:
p=
λ x
◊ .) Íåêîòîðûå ãîâîðÿò, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà
d d
âåðíà ïðè λ → 0 . Ïîíÿòíî, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ x è r.
Íî âåðíåìñÿ ê ñèðåíåâîìó òóìàíó, äåâå íà ñêàëå, ñèíåìó
è êðàñíîìó íåáó. Åñëè ðàññìîòðåííîå âûøå îòâåðñòèå çàêðûòü äèñêîì èëè øàðèêîì òîãî æå ðàäèóñà, òî ñâåò âñþäó çà
âîññòàíîâëåííûì íåïðîçðà÷íûì ýêðàíîì èñ÷åçíåò. Çíà÷èò,
ñ òî÷êè çðåíèÿ äîïîëíèòåëüíîé êàðòèíû, íà îñè çà îäèíîêèì
øàðèêîì äîëæíà áûòü âîëíà, â òî÷íîñòè êîìïåíñèðóþùàÿ
(ãàñÿùàÿ) âîëíó, êîòîðàÿ áûëà çà îòâåðñòèåì â ýêðàíå.
Èíòåíñèâíîñòè ýòèõ äâóõ âîëí îäèíàêîâû, à ôàçû ïðîòèâîïîëîæíû. Äâåñòè ëåò íàçàä ìûñëü î òîì, ÷òî çà íåïðîçðà÷íûì ýêðàíîì äîëæíî áûòü ñâåòëîå ïÿòíî, êàçàëàñü íåëåïîé.
Òåì áîëåå ïîòðÿñàþùèì îêàçàëñÿ äåìîíñòðàöèîííûé îïûò
Àðàãî, ñäåëàâøèé ýòîò ôàêò î÷åâèäíûì.
Èòàê, âîëíû îãèáàþò êðàÿ øàðèêà. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèåé âîëí íà êðàþ ïðåïÿòñòâèÿ. Áîëåå òîãî,
îêàçàëîñü, ÷òî â äèôðàêöèîííîì ïðåäåëå ( r λx ) èç
!%
ÎÁËÎÆÊÀ
ïàðàëëåëüíîãî ïó÷êà ëó÷åé äèôðàêöèÿ «èçûìàåò» ñòîëüêî
ýíåðãèè, ÷òî øàðèê ïðåäñòàâëÿåòñÿ èìåþùèì ïëîùàäü ñå÷åíèÿ 2πr 2 , ò.å. âäâîå áîëüøóþ, ÷åì ñ òî÷êè çðåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Ãîâîðÿò ïðè ýòîì, ÷òî êîýôôèöèåíò ðàññåÿíèÿ ðàâåí äâóì: Qs = 2 .
Äàëåå. ßñíî, ÷òî ñ óìåíüøåíèåì ðàçìåðà øàðèêà äîëæíà
óìåíüøàòüñÿ è äîëÿ ðàññåèâàåìîé èì ýíåðãèè – âåäü ïðè
ñòðåìëåíèè åãî ðàçìåðà ê ìîëåêóëÿðíîìó ýòà äîëÿ äîëæíà
ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ –
èíà÷å àòìîñôåðà áûëà
áû íåïðîçðà÷íà äëÿ
ñîëíå÷íûõ ëó÷åé. À â
ðåçóëüòàòå ñâÿçü ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì ðàññåÿíèÿ
èìååò âèä, êà÷åñòâåííî ïîêàçàííûé íà ðèñóíêå 3. Òóò íåò íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî: âèäíà ïåðèîäè÷íîñòü ïî
r
, òàê íàïîìèíàþùàÿ Ðèñ.3. Êà÷åñòâåííàÿ êàðòèíà âçàèìîñâÿλ
çè êîýôôèöèåíòà ðàññåÿíèÿ è äèôðàêñîîòíîøåíèå ( * ); âèäöèîííîãî ïàðàìåòðà
íî ñòðåìëåíèå ê íóëþ
r
→ 0 . È, êîíå÷íî, âèäåí âïîëíå îæèäàåìûé ìàêñèïðè
λ
ìóì, êîãäà äëèíà âîëíû ñðàâíèìà ñ ðàçìåðîì øàðèêà.
Êñòàòè, â ñëó÷àå âîäÿíûõ êàïåëü ýòîò ìàêñèìóì ïî÷òè â
÷åòûðå ðàçà ïðåâûøàåò ãåîìåòðè÷åñêîå ñå÷åíèå áîëüøîãî
êðóãà (Qs ≈ 4 ) .
Òåïåðü âñå ïîíÿòíî. Ïîñêîëüêó áåëûé ñâåò ìîëíèé èëè
Ñîëíöà ñîäåðæèò íåïðåðûâíûé íàáîð äëèí âîëí, ðàäèóñ
÷àñòèö èëè êàïåëü, ðàññåèâàþùèõ ýòîò ñâåò, ìîæåò îêàçàòüñÿ
ñîîòâåòñòâóþùèì ìàêñèìàëüíîìó çíà÷åíèþ A íà ðèñóíêå 3
ïðè äëèíå âîëíû êðàñíîãî ñâåòà, â òî âðåìÿ êàê ñîñåäíèé
ìèíèìóì B îêàæåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì ñèíåìó öâåòó
( λ ñèí < λ êðàñí ) – âîò è ïîëó÷àåòñÿ «áëåñê àëûé». À ñèðåíåâûé öâåò – ýòî ñìåñü êðàñíîãî è ôèîëåòîâîãî (ïðîâåðüòå íà
àêâàðåëüíûõ êðàñêàõ). Îí ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ, êîãäà ðàçìåðû êàïåëü òàêîâû, ÷òî ìû ïîïàäàåì â äâà ñîñåäíèõ ìàêñèìóìà A è Ñ.
Îñòàëüíûå ñëó÷àè íåîáû÷íûõ îêðàñîê çàïûëåííîãî íåáà
×èòàòåëü ñìîæåò òåïåðü îáúÿñíèòü ñàìîñòîÿòåëüíî.
ÍÀØÀ ÎÁËÎÆÊÀ
Êàê Àðõèìåä âçâåñèë ïàðàáîëó?
(Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè)
«Àðõèìåä æåëàåò ÷èòàòåëþ ðàäîâàòüñÿ», – òàê íà÷èíàëàñü
áû ýòà ñòàòüÿ, åñëè áû åå àâòîðîì áûë Àðõèìåä.
Âû÷èñëåíèþ ïëîùàäè (êâàäðàòóðû) ñåãìåíòà ïàðàáîëû
áûëî ïîñâÿùåíî ïèñüìî Àðõèìåäà Äîñèôåþ â Àëåêñàíäðèþ.
 íåì Àðõèìåä ïðèâåë äâà ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ – ãåîìåòðè÷åñêèé è ìåõàíè÷åñêèé. Ñ ãåîìåòðè÷åñêèì ñïîñîáîì, â
êîòîðîì ïëîùàäü ñåãìåíòà ïàðàáîëû ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âïèñàííûõ â íåãî òðåóãîëüíèêîâ, ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ, íàïðèìåð, â ñòàòüå À.Áåíäóêèäçå, îïóáëèêîâàííîé â «Êâàíòå» ¹7 çà 1971 ãîä. Çäåñü æå
ïðèâîäèòñÿ ïîïóëÿðíîå èçëîæåíèå ìåõàíè÷åñêîãî ñïîñîáà,
êîòîðûé èíîãäà íàçûâàþò ìåõàíè÷åñêèì èíòåãðèðîâàíèåì.
Íàðèñóåì ïàðàáîëó y = ax2 íà ëèñòå ïëîòíîé áóìàãè è
âûðåæåì ÷àñòü ëèñòà ìåæäó êðèâîé è îñüþ õ â äèàïàçîíå îò
õ = 0 äî õ = l. Òåïåðü
ïîëîæèì âûðåçàííóþ
ôèãóðó íà ïðàâóþ ÷àøó
âåñîâ òàê, ÷òîáû åå öåíòð
òÿæåñòè íàõîäèëñÿ ïîä
òî÷êîé ïîäâåñà ÷àøè, è
óðàâíîâåñèì åå ãðóçîì íà
ëåâîé ÷àøå (ðèñ.1). Î÷åâèäíî, åñëè çíàòü âåñ
Ðèñ.1
åäèíèöû ïëîùàäè èñïîëüçîâàííîãî ëèñòà áóìàãè, òî «âåñ ïàðàáîëû» äàñò íàì
âåëè÷èíó åå ïëîùàäè S.
×òîáû íàéòè çàâèñèìîñòü «âåñà ïàðàáîëû» îò âåëè÷èí a è
l, âìåñòî ëåâîé ÷àøè ïðèêðåïèì ê ðû÷àãó òðåóãîëüíèê ÀÎÂ,
âûðåçàííûé èç òîé æå áóìàãè, ÷òî è íàøà ïàðàáîëà (ðèñ.2).
(Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 44)
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Çàäà÷à î òî÷êå Òîððè÷åëëè – êðàñèâàÿ è åñòåñòâåííàÿ,
íàñòîÿùàÿ æåì÷óæèíà ãåîìåòðèè. Îíà óæå íå ðàç îáñóæäàëàñü íà ñòðàíèöàõ «Êâàíòà» (ñì., íàïðèìåð, ñòàòüþ
Â.Ïðîòàñîâà è Â.Òèõîìèðîâà «Ïðîñòðàíñòâî Lp è çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà» â «Êâàíòå» ¹2 çà 2012 ã.).
Íî èíîãäà èíòåðåñíî ñîáðàòü âìåñòå ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê òàêèì çàäà÷àì, ÷òîáû óâèäåòü ñâÿçü ìåæäó ðàçíûìè
îáëàñòÿìè è îùóòèòü åäèíñòâî ìàòåìàòèêè.
Èìåííî â òàêîì êëþ÷å àâòîð ïóáëèêóåìîé íèæå ñòàòüè
è ïðåäëàãàåò âçãëÿíóòü íà òî÷êó Òîððè÷åëëè.
Åùå ðàç
î òî÷êå
Òîððè÷åëëè
Ë.ÐÀÄÇÈÂÈËÎÂÑÊÈÉ
Ââåäåíèå
Âîò îäíà èç ìîèõ ëþáèìûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷:
Çàäà÷à. Äàí òðåóãîëüíèê ABC. Íàéäèòå òàêóþ òî÷êó Ò,
÷òî ñóììà ðàññòîÿíèé îò íåå äî âåðøèí òðåóãîëüíèêà,
ÀÒ + BT + CT, áóäåò íàèìåíüøåé.
ß êîëëåêöèîíèðóþ åå ðåøåíèÿ, ïîêà ÷òî â êîëëåêöèè 6
øòóê. Åñëè âåðèòü Âèêèïåäèè (à ïåðâîèñòî÷íèêîâ ÿ íå
÷èòàë), òî Ïüåð Ôåðìà ïðåäëîæèë ýòó çàäà÷ó, à Ýâàíäæåëèñòà Òîððè÷åëëè åå ðåøèë.
Ðåøåíèÿ 1 è 2 ÿ ïðî÷åë â ñòàðûõ âûïóñêàõ «Êâàíòà»,
ðåøåíèå 3 ïîíÿòíî òåì, êòî èçó÷àë âûñøóþ ìàòåìàòèêó,
ðåøåíèå 4 íàøåë À.Ãëàäêèõ, ðåøåíèå 5 ïðèäóìàë ìîé îòåö,
à ðåøåíèå 6 ÿ óçíàë èç ñòàòüè Ã.Ãàí÷åâà è Í.Íèêîëîâà â
æóðíàëå «Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîñâåùåíèå» (òðåòüÿ ñåðèÿ,
âûïóñê 12). Î øåñòîì ðåøåíèè ìíå ñîîáùèë À.Çàñëàâñêèé,
êîãäà ñòàòüÿ óæå áûëà ÷àñòè÷íî íàïèñàíà, îí æå âûñêàçàë
ðÿä öåííûõ çàìå÷àíèé ïî ïîâîäó ýòîé ñòàòüè, çà ÷òî ÿ åìó
î÷åíü ïðèçíàòåëåí. Êîíå÷íî, êàêèå-òî èç ýòèõ ðåøåíèé,
âèäèìî, áûëè ïðèäóìàíû ãîðàçäî ðàíüøå, ïîñêîëüêó çàäà÷à
î÷åíü ñòàðàÿ. Çà ïîñëåäíèå 350 ëåò åå ðåøàëî ìíîãî ëþäåé,
ïîýòîìó óñòàíîâèòü ïåðâîãî àâòîðà òîé èëè èíîé èäåè
íåâîçìîæíî.
Êàêîâ æå îòâåò?
Îêàçûâàåòñÿ, îòâåò â ýòîé çàäà÷å ðàçáèâàåòñÿ íà äâà
ñëó÷àÿ. Ïåðâûé ñëó÷àé (îí ìåíåå èíòåðåñåí) – êîãäà ó
òðåóãîëüíèêà åñòü óãîë, íå ìåíüøèé 120° (îáðàçíî ãîâîðÿ,
«î÷åíü òóïîé óãîë»). Òîãäà âåðøèíà ýòîãî óãëà è áóäåò
èñêîìîé òî÷êîé.
Âòîðîé ñëó÷àé, êîãäà âñå óãëû òðåóãîëüíèêà ìåíüøå
120° , áîëåå èíòåðåñåí. Â
ýòîì ñëó÷àå òî÷êà Ò çàäàåòñÿ óñëîâèåì: âñå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà âèäíû èç
íåå ïîä óãëîì 120° (òàêàÿ
òî÷êà íîñèò èìÿ Òîððè÷åëëè, èíîãäà åå íàçûâàþò òî÷Ðèñ. 1
êîé Ôåðìà). Äðóãèìè ñëî-
âàìè, ∠ATB = ∠ATC = ∠BTC = 120° . Ïîñòðîèòü åå ëåãêî.
Äåëî â òîì, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, èç êîòîðûõ
îòðåçîê ÀÂ âèäåí ïîä îäíèì è òåì æå óãëîì, ñîñòîèò
èç äâóõ äóã îêðóæíîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êè A è B
(ðèñ. 1). Èñêîìàÿ òî÷êà ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà, ïîýòîìó îñòàåòñÿ îäíà äóãà èëè åå
÷àñòü. Ýòî äóãà îêðóæíîñòè, îïèñàííîé âîêðóã ðàâíîñòîðîííåãî
òðåóãîëüíèêà, ïðèìûêàþùåãî ê
ñòîðîíå ÀÂ. Èòàê, ñòðîèì íà ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà âîâíå ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè, îïèñûâàåì âîêðóã íèõ îêðóæíîñòè è
ñìîòðèì íà èõ äóãè, ëåæàùèå
âíóòðè èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà.
Êàæäàÿ èç ýòèõ äóã ñîäåðæèò
Ðèñ. 2
íàøó òî÷êó (ðèñ. 2).  äåéñòâèòåëüíîñòè, ìîæíî îïðåäåëèòü íàøó òî÷êó êàê ïåðåñå÷åíèå
ëþáûõ äâóõ èç ýòèõ äóã. Âåäü åñëè óãëû, ïîä êîòîðûìè
âèäíû äâå ñòîðîíû, ðàâíû 120° , òî íà òðåòüþ ñòîðîíó
îñòàåòñÿ òîò æå óãîë. Ïîýòîìó ýòè òðè äóãè ïåðåñåêàþòñÿ â
îäíîé òî÷êå. Îñíîâíàÿ òðóäíîñòü – äîêàçàòü, ÷òî ïîñòðîåííàÿ òî÷êà è åñòü òà, êîòîðóþ òðåáóåòñÿ íàéòè â çàäà÷å.
Ñëó÷àé «î÷åíü òóïîãî óãëà»
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïåðâûé, ìåíåå èíòåðåñíûé âàðèàíò,
÷òîáû ïîòîì ïðî íåãî çàáûòü (âïðî÷åì, êàæäîå èç ïðèâåäåííûõ íèæå øåñòè äîêàçàòåëüñòâ ìîæíî, íåñêîëüêî âèäîèçìåíèâ, ïðèìåíèòü è ê ýòîìó ñëó÷àþ). Ïðåäïîëîæèì ÷òî
∠ABC ≥ 120° . Òîãäà íóæíî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñÿêîé òî÷êè
Õ, îòëè÷íîé îò Â, áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî
AÂ + CÂ < ÀÕ + BÕ + CÕ.
Ïóñòü P, Q – ïðîåêöèè òî÷êè Õ íà ïðÿìûå
AB, BC ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè òî÷êà  íàõîäèòñÿ ìåæäó À è P
(ðèñ.3), òî
ÀX ≥ ÀP > AB,
BX + CX ≥ BC.
Ðèñ. 3
Ñêëàäûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå. Çíà÷èò, íåî÷åâèäåí òîëüêî òîò ñëó÷àé,
êîãäà P íàõîäèòñÿ íà
ëó÷å ÂÀ. Ïî òåì æå
ïðè÷èíàì áóäåì ñ÷è- Ðèñ. 4
òàòü, ÷òî Q íàõîäèòñÿ íà ëó÷å ÂÑ (ðèñ.4). Òîãäà â ÷åòûðåõóãîëüíèêå XPBQ óãëû P è Q – ïðÿìûå, ∠B ≥ 120° , à
∠X ≤ 60° . Ìû äîêàæåì ÷òî
BX ≥ BP + BQ .
(∗ )
Ïðèáàâèâ ê íåðàâåíñòâó ( ∗ ) î÷åâèäíûå íåðàâåíñòâà
AX ≥ AP ,
CX ≥ CQ ,
ïîëó÷èì èñêîìîå óòâåðæäåíèå. Ðàâåíñòâî â ïîñëåäíèõ äâóõ
íåðàâåíñòâàõ äîñòèãàåòñÿ, òîëüêî åñëè òî÷êà Õ ëåæèò è íà
ïðÿìîé ÀÂ, è íà ïðÿìîé ÂÑ, ò.å. ñîâïàäàåò ñ èõ òî÷êîé
ïåðåñå÷åíèÿ B.
Èòàê, îñòàëîñü äîêàçàòü íåðàâåíñòâî ( ∗ ). Ýòî ìîæíî
ñäåëàòü, íàïðèìåð, òàêèìè äâóìÿ ñïîñîáàìè.
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
Ïåðâûé ñïîñîá
Ïîâåðíåì òðåóãîëüíèê BXP âîêðóã òî÷êè X òàê, ÷òîáû
åãî ñòîðîíà XP ïîïàëà íà ïðÿìóþ XQ. Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííûé òðåóãîëüíèê B′XP′ (ðèñ.5). Çàìåòèì, ÷òî ∠PXQ =
= 180° − ∠PBQ ≤ 60° . Ïî ïîñòðîåíèþ, ∠P′XP = ∠PXB +
+ ∠BXP′ = ∠P′XB′ + ∠P′XB = ∠B′XB , ò.å. è ∠B′XB ≤ 60° .
Çíà÷èò, B′B íå ìîæåò áûòü íàèáîëüøåé ñòîðîíîé òðåóãîëüíèêà B′XB , è
ïîñêîëüêó îòðåçêè ÂÕ è B′X ðàâíû,
òî B′B ≤ BX .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îòðåçîê BB′ íå
ìåíüøå åãî ïðîåêöèè íà ïðÿìóþ BQ,
ò.å. íå ìåíüøå ñóììû BQ + P′B′ .
Èòàê, BX ≥ BB′ ≥ BQ + B′P′ = BQ +
Ðèñ. 5
+ BP , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Âòîðîé ñïîñîá
Ïóñòü u, v – åäèíè÷íûå âåêòîðû, âûõîäÿùèå èç òî÷êè Â
â íàïðàâëåíèè òî÷åê À, Ñ ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñêîëüêó óãîë
ìåæäó
ýòèìè âåêòîðàìè íå ìåíüøå 120° , òî äëèíà âåêòîðà
u + v íå áîëüøå 1. Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ, ïîëó÷àåì
BP + BQ = BX, u + BX, v = BX, u + v ≤ BX ,
(
) (
) (
)
÷òî è òðåáîâàëîñü.
Áîëåå èíòåðåñíûé ñëó÷àé
Ïåðåôîðìóëèðóåì íàøó çàäà÷ó òàê:
Åñëè èç âíóòðåííåé òî÷êè Ò òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ âñå
ñòîðîíû âèäíû ïîä ðàâíûìè óãëàìè, òî ñóììà ðàññòîÿíèé
îò Ò äî âåðøèí À, Â, Ñ ìåíüøå, ÷åì îò ëþáîé äðóãîé òî÷êè.
Ïåðåéäåì ê ðåøåíèÿì.
Ïåðâîå ðåøåíèå (ôèçèêà)
Ìîæåò, ýòî è íå ðåøåíèå â ïîëíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðîãîñòè, à èíòóèòèâíîå îáúÿñíåíèå? Ñóäèòå ñàìè, íî ìíå îíî
íðàâèòñÿ.
Èòàê, ïóñòü íàø òðåóãîëüíèê íàðèñîâàí íà ãîðèçîíòàëüíîé äîñêå. Ñäåëàåì â êàæäîé âåðøèíå îòâåðñòèå. ×åðåç
êàæäîå îòâåðñòèå ïðîòÿíåì
âåðåâêó è ñâÿæåì ýòè òðè
âåðåâêè ãäå-íèáóäü âíóòðè
òðåóãîëüíèêà. Ê ïðîòèâîïîëîæíûì êîíöàì âåðåâîê ïðèêðåïèì îäèíàêîâûå ãèðè ïî
1 êã (ðèñ.6). Òåïåðü îòïóñòèì
ýòó ñèñòåìó, è îíà, ñîãëàñíî
çàêîíàì ôèçèêè, ïðèäåò â ïîëîæåíèå ñ ìèíèìóìîì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè.
Ðèñ. 6
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
ïðîïîðöèîíàëüíà ñóììàðíîé âûñîòå ãðóçîâ íàä çåìëåé.
Çíà÷èò, ñóììàðíàÿ âûñîòà ãðóçîâ áóäåò ìèíèìàëüíà, ò.å.
ñóììàðíàÿ äëèíà âåðåâîê îò îòâåðñòèé äî ãèðü ìàêñèìàëüíà.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììàðíàÿ äëèíà âåðåâîê âíóòðè òðåóãîëüíèêà, ðàâíàÿ ñóììå ðàññòîÿíèé îò óçëà äî âåðøèí, ìèíèìàëüíà. Òàêèì îáðàçîì, ýòà ôèçè÷åñêàÿ ñèñòåìà ðåøàåò
íàøó çàäà÷ó.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñóììà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà óçåë,
áóäåò ðàâíà íóëþ. Ñèëà ðàâíà íàòÿæåíèþ âåðåâêè è íàïðàâëåíà âäîëü âåðåâêè. Íàòÿæåíèå âåðåâêè ðàâíî âåñó
ãðóçà, ïîñêîëüêó âåñ è íàòÿæåíèå, íåéòðàëèçóÿ äðóã äðóãà, äåðæàò ãðóç â íåïîäâèæíîñòè. Çíà÷èò, ñèëû, äåéñòâóþùèå íà óçåë, – ýòî òðè âåêòîðà îäèíàêîâîé äëèíû, â ñóììå
äàþùèå íîëü.
ÊÐÓÆÎÊ
!'
Óïðàæíåíèå 1. Åñëè ñóììà òðåõ åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ ðàâíà
íóëþ, òî óãëû ìåæäó íèìè ðàâíû ïî 120∞.
Èç ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèé è óïðàæíåíèÿ 1 ñëåäóåò, ÷òî
óãëû ìåæäó âåðåâêàìè ðàâíû 120°, ÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
Âòîðîå ðåøåíèå (êëàññè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ: ïîâîðîò)
Ïóñòü Õ – ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Ïîñòðîèì íà ñòîðîíå AB âî
âíåøíþþ ñòîðîíó ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ABF (ðèñ.7).
Ðàññìîòðèì ïîâîðîò âîêðóã âåðøèíû À íà 60° ,
êîòîðûé ïåðåâîäèò âåðøèíó B â òî÷êó F. Òîò æå
ïîâîðîò ïåðåâåäåò òî÷êó Õ
â íåêóþ òî÷êó Í. Òðåóãîëüíèêè ABF è AXH, î÷åâèäíî, ðàâíîñòîðîííèå, à
BX = FH, ïîñêîëüêó íàø Ðèñ. 7
ïîâîðîò ïåðåâîäèò BX â
FH. Çíà÷èò, ÀÕ + BX + CX = HX + FH + CX ≥ FC ,
ïîñêîëüêó ïðÿìîé ïóòü FÑ, êîíå÷íî, íå äëèííåå, ÷åì ïóòü
âäîëü ëîìàíîé FÍÕÑ. Ðàâåíñòâî ìîæåò äîñòèãàòüñÿ, òîëüêî
åñëè òî÷êè Í, Õ ëåæàò íà îòðåçêå FÑ. Íî òîãäà ∠CXA
äîïîëíÿåò äî ðàçâåðíóòîãî óãëà óãîë ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà, à çíà÷èò, îí ðàâåí 120° . Ïî òîé æå ïðè÷èíå,
∠FHA = 120° . Íî ∠FHA = ∠BXA . Èòàê, ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ, êîãäà ∠BXA è ∠CXA ðàâíû 120° , ÷òî è òðåáîâàëîñü.
Ðàññìàòðèâàÿ ýòó êàðòèíêó, ìîæíî óâèäåòü äðóãèå ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ òî÷êè Òîððè÷åëëè. Íàïðèìåð, èç ýòîãî ðåøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî îíà ëåæèò íà ïðÿìîé ÑF. Âïðî÷åì, ýòî
ìîæíî áûëî çàìåòèòü è ðàíüøå: ïî òåîðåìå î âïèñàííîì óãëå
(â îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè A, B, F, T),
∠FTA = 60° , ïîýòîìó óãëû FTA è ATC – ñìåæíûå. Êðîìå
òîãî, îòðåçîê ÑF ðàâåí òîé ñàìîé ìèíèìàëüíîé ñóììå
ðàññòîÿíèé. Àíàëîãè÷íî, åñëè ìû ïîñòðîèì ðàâíîñòîðîííèå
òðåóãîëüíèêè BCD è ACE
âîâíå íà äðóãèõ äâóõ ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà, òî îòðåçêè
AD è BE áóäóò èìåòü òàêóþ
æå äëèíó è áóäóò ïðîõîäèòü
÷åðåç òî÷êó Òîððè÷åëëè, ïðè÷åì îòðåçêè AD, BE, CF áóäóò ïåðåñåêàòüñÿ â òî÷êå T
ïîä ðàâíûìè óãëàìè (ðèñ.8).
Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ÷åðåç òî÷êó
Òîððè÷åëëè ïðîõîäÿò óæå 6
ëèíèé: ïðÿìûå AD, BE, CF è
îêðóæíîñòè, îïèñàííûå âîêðóã òðåóãîëüíèêîâ ABF, BCD, Ðèñ. 8
ACE! Òåì ñàìûì, ìîæíî ñòðîèòü òî÷êó Òîððè÷åëëè êàê ïåðåñå÷åíèå ëþáûõ äâóõ èç ýòèõ
ëèíèé – íàïðèìåð, äâóõ ïðÿìûõ.
Óïðàæíåíèå 2. Ïóñòü KLM – ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê,
Z – òî÷êà íà äóãå KM åãî îïèñàííîé îêðóæíîñòè. Äîêàæèòå, ÷òî
ZK + ZM = ZL.
Óêàçàíèå: KLM – ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, ïîñòðîåííûé
íà ñòîðîíå KM òðåóãîëüíèêà KZM.
Òðåòüå ðåøåíèå (ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç)
Äëÿ òðåòüåãî ðåøåíèÿ íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà (êòî áîèòñÿ ïðîèçâîäíûõ,
ìîæåò åãî ïðîïóñòèòü). Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ îò äâóõ ïåðåìåííûõ f ( x, y ) , îïðåäåëåííóþ äëÿ òî÷åê X ïëîñêîñòè ñ
êîîðäèíàòàìè ( x, y ) . Åñëè ñ÷èòàòü ïåðåìåííóþ y ïîñòîÿí-
"
ÊÂÀÍT 2014/¹3
íîé, ýòà ôóíêöèÿ ïðåâðàùàåòñÿ â îáû÷íóþ ôóíêöèþ îò
îäíîé ïåðåìåííîé x. Ïðîèçâîäíàÿ ïîëó÷åííîé ôóíêöèè
(åñëè îíà ñóùåñòâóåò) íàçûâàåòñÿ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ïî
x ôóíêöèè f (îáîçíà÷åíèå: ∂f ∂x ). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî y.
Ãðàäèåíòîì ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ âåêòîð, ñîñòàâëåííûé èç
÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ:
 ∂f ∂x 
∇f = 
.
 ∂f ∂y 
Âñïîìíèì, ÷òî äëÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé f ( x )
(îïðåäåëåííîé íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé) â òî÷êå ìàêñèìóìà èëè
ìèíèìóìà ïðîèçâîäíàÿ äîëæíà îáðàùàòüñÿ â íîëü (åñëè îíà
ñóùåñòâóåò). Àíàëîãè÷íî, â òî÷êàõ ìàêñèìóìà èëè ìèíèìóìà ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ åå ãðàäèåíò äîëæåí îáðàùàòüñÿ â íîëü.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè À, ò.å. ôóíêöèþ
f ( X ) = AX. Åå ãðàäèåíò èìååò äëèíó 1 è ñîíàïðàâëåí ñ
âåêòîðîì AX. Çíà÷èò, ãðàäèåíò ôóíêöèè ñóììû ðàññòîÿíèé
AX + BX + CX ðàâåí ñóììå òðåõ åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ,
ñìîòðÿùèõ â íàïðàâëåíèÿõ ÀÕ, ÂÕ, ÑÕ.  òî÷êå ìèíèìóìà
ýòîé ôóíêöèè ñóììà ýòèõ òðåõ åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ äîëæíà
áûòü ðàâíà íóëþ. Ñîãëàñíî óïðàæíåíèþ 1, ýòî âîçìîæíî,
òîëüêî åñëè óãëû ìåæäó ýòèìè âåêòîðàìè ðàâíû ïî 120° .
Íà ñàìîì äåëå, ïðèâåäåííîå ðàññóæäåíèå íå ïîëíî, òàê êàê
ðàâåíñòâî ãðàäèåíòà íóëþ ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì, íî íå
äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ìèíèìóìà (ìîæåò áûòü ìàêñèìóì
èëè âîâñå îòñóòñòâèå ýêñòðåìóìà). Çàâåðøèòü ðåøåíèå ìîæíî, èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå âûïóêëîñòè ôóíêöèè (ôóíêöèè ÀÕ,
ÂÕ, ÑÕ – âûïóêëû âíèç, è çíà÷èò, èõ ñóììà òàêæå âûïóêëà
âíèç, à â òîé òî÷êå, ãäå ãðàäèåíò ðàâåí íóëþ, äîñòèãàåòñÿ
ãëîáàëüíûé ìèíèìóì âûïóêëîé âíèç ôóíêöèè).
×åòâåðòîå ðåøåíèå (ãåîìåòðèÿ êîíèê)
Äëÿ ÷åòâåðòîãî äîêàçàòåëüñòâà íàì ïîòðåáóåòñÿ îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ýëëèïñà.
Ýëëèïñ – ýòî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê Õ, äëÿ êîòîðûõ
ïðè íåêîòîðûõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ À,  è ðàññòîÿíèè
l > AB âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
AX + BX = l.
Òî÷êè À,  íàçûâàþòñÿ ôîêóñàìè ýëëèïñà.
Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ýëëèïñà. Ïóñòü Õ – òî÷êà íà
ýëëèïñå, À è  – ôîêóñû ýòîãî ýëëèïñà. Òîãäà îòðåçêè ÀÕ è
ÂÕ ïåðåñåêàþò êàñàòåëüíóþ â òî÷êå Õ ïîä îäíèì è òåì æå
óãëîì.
Ó ýòîãî ôàêòà ìîæíî íàéòè íåñêîëüêî ðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ
ñìûñëîâ. Íàïðèìåð: áèëüÿðäíûé øàðèê, âûïóùåííûé èç
îäíîãî ôîêóñà ýëëèïòè÷åñêîãî áèëüÿðäíîãî ñòîëà, îòðàçèâøèñü îò ñòåíêè, ïðîéäåò ÷åðåç âòîðîé ôîêóñ. Èëè: äâà
÷åëîâåêà, íàõîäÿùèåñÿ â ðàçíûõ ôîêóñàõ áîëüøîé ýëëèïòè÷åñêîé ñêîðëóïû, ñìîãóò ìåæäó ñîáîé ãîâîðèòü áåç ìèêðîôîíà – ÷òî îäèí ñêàæåò, òî äðóãîé è óñëûøèò, ñ òîé æå
ãðîìêîñòüþ. Èëè: åñëè çàæå÷ü ñâå÷êó â ôîêóñå çåðêàëüíîé
ýëëèïòè÷åñêîé ñêîðëóïû, òî ìû è âî âòîðîì ôîêóñå óâèäèì
òàêóþ æå ãîðÿùóþ ñâå÷êó, ïîñêîëüêó âñå ëó÷è, âûõîäÿùèå
èç «íàñòîÿùåé» ñâå÷êè, ïðîéäóò è ÷åðåç âòîðîé ôîêóñ. Ïîâèäèìîìó, èìåííî ïîñëåäíèé ïðèìåð äàë íàçâàíèå ýòîé
òåîðåìå. Çàìåòèì, ÷òî èç-çà âîëíîâîé ñòðóêòóðû ñâåòà è
çâóêà, äëÿ ïîñëåäíèõ äâóõ ýôôåêòîâ âàæíî è ïåðâîå ñâîéñòâî ýëëèïñà, êîòîðîå ìû âçÿëè çà îïðåäåëåíèå. Ëó÷è,
âûïóùåííûå èç îäíîãî ôîêóñà, íå ïðîñòî ïðîéäóò ÷åðåç
äðóãîé ôîêóñ, íî è ïðèäóò òóäà â îäèíàêîâîé ôàçå.
Äîêàçàòåëüñòâî îïòè÷åñêîãî ñâîéñòâà ýëëèïñà. Ïóñòü À
è  – ôîêóñû, Õ – òî÷êà íà ýëëèïñå (ðèñ.9). Ïðîâåäåì ÷åðåç
òî÷êó Õ êàñàòåëüíóþ ê ýëëèïñó è îòðàçèì òî÷êó  îòíîñè-
òåëüíî ýòîé êàñàòåëüíîé, ïîëó÷èì òî÷êó B′ . Ïî ñóòè, íóæíî
äîêàçàòü, ÷òî Õ ëåæèò íà îòðåçêå AB′ .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê.
Òîãäà âîçüìåì òî÷êó Ò ïåðåñå- Ðèñ. 9
÷åíèÿ AB′ è êàñàòåëüíîé. Çàìåòèì, ÷òî AT + TB = ÀÒ + T B′ < ÀX + XB′ = AX + XB.
Çíà÷èò, òî÷êà íà êàñàòåëüíîé ëåæèò âíóòðè ýëëèïñà –
ïðîòèâîðå÷èå.
Ïðèìå÷àíèå. Íà ñàìîì äåëå, ìû çäåñü âîñïîëüçîâàëèñü
èíòóèòèâíî î÷åâèäíûì ôàêòîì, ÷òî ýëëèïñ – âûïóêëàÿ
ôèãóðà. Ýòî ìîæíî âûâåñòè, íàïðèìåð, èç èçâåñòíîãî ôàêòà
î òîì, ÷òî ýëëèïñ ÿâëÿåòñÿ ñå÷åíèåì öèëèíäðà èëè êîíóñà.
Ïåðåéäåì ê ðåøåíèþ.
Ïóñòü T′ – òî÷êà, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé äî âåðøèí
À, Â, Ñ òðåóãîëüíèêà ìèíèìàëüíà. (Êîíå÷íî, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîé òî÷êè íóæíî ïðèìåíèòü íåêîòîðûå ôàêòû èç àíàëèçà.) Íàðèñóåì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â Ñ,
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç T′ , à òàêæå
ýëëèïñ ñ ôîêóñàìè À, Â, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç T′ (ðèñ.10).
Åñëè áû ó ýòèõ êðóãà è ýëëèïñà
áûëà îáùàÿ âíóòðåííÿÿ òî÷êà Õ,
òî âûïîëíÿëèñü áû íåðàâåíñòâà
CX < CT′, ÀÕ + ÂÕ < AT′ + BT′ , à
çíà÷èò, ñóììà ðàññòîÿíèé îò Õ äî Ðèñ. 10
âåðøèí òðåóãîëüíèêà áûëà áû
ìåíüøå, ÷åì îò T′, ÷åãî íå ìîæåò áûòü. Ïîýòîìó îêðóæíîñòü êàñàåòñÿ ýëëèïñà. Îáùàÿ êàñàòåëüíàÿ îáðàçóåò ðàâíûå óãëû ñ À T ′ è ÂT′ è ïåðïåíäèêóëÿðíà ðàäèóñó. Çíà÷èò
∠AT′C = ∠BT′C .
Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ∠AT′B = ∠BT′C , ò.å.
òî÷êà T′ ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé Òîððè÷åëëè.
Ïÿòîå ðåøåíèå (êëàññè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ: ïëîùàäè)
Íàì ïîíàäîáèòñÿ èçâåñòíàÿ ëåììà:
Ëåììà 1. Ïóñòü òî÷êà Õ íàõîäèòñÿ âíóòðè (èëè íà
ñòîðîíàõ) ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà KLM è h – âûñîòà ýòîãî òðåóãîëüíèêà, à k, l, m – ðàññòîÿíèÿ îò Õ äî
ïðÿìûõ LM, KM, KL ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà k + l + m = h.
Åñëè æå Õ íàõîäèòñÿ ñíàðóæè òðåóãîëüíèêà KLM, òî
k + l + m > h.
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1. Ïóñòü ñòîðîíà ðàâíîñòîðîííåãî
òðåóãîëüíèêà ðàâíà à.
Åñëè X íàõîäèòñÿ âíóòðè, òî òðåóãîëüíèê KLM, ïëîùàäü
êîòîðîãî ðàâíà ah/2, ñîñòîèò èç òðåóãîëüíèêîâ XLM, XKM,
XKL, ïëîùàäè êîòîðûõ ðàâíû ak/2, al/2, am/2 ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó
ak al am ah
+
+
=
.
2
2
2
2
Îñòàëîñü óìíîæèòü îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà 2 è ðàçäåëèòü
íà à.
Åñëè æå Õ íàõîäèòñÿ ñíàðóæè, òî òðåóãîëüíèêè XLM,
XKM, XKL âìåñòå ïîêðûâàþò òðåóãîëüíèê KLM, íî òàêæå
ñîäåðæàò êóñî÷êè âíå KLM, òàê ÷òî ðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ
â ñòðîãîå íåðàâåíñòâî.
Óïðàæíåíèå 3. Òî÷êè A1, A2, …, A2 M äåëÿò îêðóæíîñòü íà 2Ì
ðàâíûõ äóã. Ïóñòü Õ – ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà âíóòðè êðóãà.
Îòðåçêè XA1, XA2, …, XA2 M äåëÿò êðóã íà 2Ì îáëàñòåé. Êàæäóþ îáëàñòü êðàñÿò â ÷åðíûé èëè áåëûé öâåò òàê, ÷òîáû ñîñåäíèå
îáëàñòè èìåëè ðàçíûå öâåòà. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà áåëûõ
ïëîùàäåé ðàâíà ñóììå ÷åðíûõ ïëîùàäåé.
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
Òåïåðü ìû ãîòîâû ê ðåøåíèþ.
Ïðîâåäåì ê ïðÿìûì ÀÒ, ÂÒ, ÑÒ
ïåðïåíäèêóëÿðû â òî÷êàõ À, Â, Ñ
ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëó÷èì òðè ïðÿìûå, êîòîðûå çàäàþò ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê KLM (ðèñ. 11).
Ðàññìîòðèì òî÷êó Õ, îòëè÷íóþ
îò Ò. Ñóììà ðàññòîÿíèé îò Õ äî
ñòîðîí òðåóãîëüíèêà KLM òàêàÿ
æå èëè äàæå áîëüøå, ÷åì îò Ò.
Ðèñ. 11
Ðàññòîÿíèÿ îò Õ äî òî÷åê À, Â, Ñ íå
ìåíüøå, ÷åì ñîîòâåòñòâóþùèå ðàññòîÿíèÿ îò X äî ñòîðîí
KLM (ñêàæåì, ðàññòîÿíèå îò Õ äî ïðÿìîé LM íå áîëüøå,
÷åì ÕA). Ïîýòîìó AX + BX + CX ≥ AT + BT + CT .
Ýòî íåðàâåíñòâî ìîæåò îáðàòèòüñÿ â ðàâåíñòâî, òîëüêî
åñëè îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ èç Õ íà ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà KLM, – ýòî òî÷êè À, Â, Ñ. Íî ýòî áû
îçíà÷àëî, ÷òî Õ ëåæèò îäíîâðåìåííî íà ÀÒ, ÂÒ, ÑÒ, ò.å. ÷òî
Õ – ýòî è åñòü Ò.
Óïðàæíåíèå 4. Ïóñòü A1 A2 … An – ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê, R
– ðàäèóñ îïèñàííîé âîêðóã íåãî îêðóæíîñòè, Õ – ïðîèçâîëüíàÿ
òî÷êà. Äîêàæèòå, ÷òî
XA1 + XA2 + … + XAn ≥ nR .
Øåñòîå ðåøåíèå (ãåîìåòðèÿ: èçîãîíàëüíîå ñîïðÿæåíèå)
Äëÿ øåñòîãî äîêàçàòåëüñòâà ïîíàäîáèòñÿ èçîãîíàëüíîå
ñîïðÿæåíèå.
Ïóñòü äàí òðåóãîëüíèê ABC. Çàäàäèì êàæäóþ òî÷êó íà
ïëîñêîñòè òðîéêîé ÷èñåë ( x, y, z ) : ðàññòîÿíèÿìè äî ïðÿìûõ
ÂÑ, ÀÑ, ÀÂ ñîîòâåòñâåííî. Ðàññòîÿíèÿ âîçüìåì ñî çíàêàìè:
áóäåì ñ÷èòàòü ðàññòîÿíèå äî ñòîðîíû ïîëîæèòåëüíûì, åñëè
îíî íàõîäèòñÿ ïî òó æå ñòîðîíó ïëîñêîñòè, ÷òî è òðåòüÿ
âåðøèíà, è îòðèöàòåëüíûì, åñëè íàîáîðîò.
"
ÊÐÓÆÎÊ
×àñòî èìåííî íà îñíîâå ïîñëåäíåãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ôàêòà
äàþò îïðåäåëåíèå èçîãîíàëüíîãî ñîïðÿæåíèÿ.
Óïðàæíåíèå 7*. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ýëëèïñ ñ ôîêóñàìè F, G
âïèñàí â òðåóãîëüíèê ÀÂÑ, òî F, G èçîãîíàëüíî ñîïðÿæåíû
îòíîñèòåëüíî ýòîãî òðåóãîëüíèêà.
Ìíîãî èíòåðåñíîãî ïðî èçîãîíàëüíîå ñîïðÿæåíèå ìîæíî
ïðî÷èòàòü â êíèãå Â.Â.Ïðàñîëîâà «Òî÷êè Áðîêàðà è èçîãîíàëüíîå ñîïðÿæåíèå».
Äîêàæåì ñëåäóþùóþ èçâåñòíóþ ëåììó:
Ëåììà 2. Ïóñòü òî÷êè P è Q èçîãîíàëüíî ñîïðÿæåíû
îòíîñèòåëüíî òðåóãîëüíèêà ABC, à K, L, M – îñíîâàíèÿ
ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ èç Q íà ïðÿìûå BC, CA, AB.
Òîãäà ïðÿìàÿ AP ïåðïåíäèêóëÿðíà LM, ïðÿìàÿ BP ïåðïåíäèêóëÿðíà KM, ïðÿìàÿ CP ïåðïåíäèêóëÿðíà KL.
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìàÿ AP ïåðïåíäèêóëÿðíà LM, îñòàëüíîå àíàëîãè÷íî. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà òî÷êè P è Q ëåæàò âíóòðè òðåóãîëüíèêà, à M è L – íà åãî ñòîðîíàõ (ðèñ.12), îñòàëüíûå ñëó÷àè
ðàçáèðàþòñÿ àíàëîãè÷íî. Êàê ìû çíàåì, óãëû MAP è QAL
ðàâíû. À ïîñêîëüêó ÷åòûðåõóãîëüíèê MALQ âïèñàííûé (â
îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì AQ), óãëû QML è QAL òàêæå
ðàâíû. Òàê êàê óãëû MAP è QML ðàâíû, òî óãîë ìåæäó AP
è ML ðàâåí óãëó ìåæäó AM è MQ, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ëåììà
äîêàçàíà.
Åùå íàì ïîòðåáóåòñÿ òîò ôàêò, êîòîðûé ñðàçó âûòåêàåò èç
ôîðìóëû ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêà: ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà íå áîëüøå, ÷åì ïîëîâèíà ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé, ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà äèàãîíàëè ïåðïåíäèêóëÿðíû.
Óïðàæíåíèÿ
5. Äîêàæèòå, ÷òî ñîîòíîøåíèå x/k = y/l ïðè çàäàííûõ k, l
çàäàåò ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç Ñ.
6. Äîêàæèòå, ÷òî ñîîòíîøåíèå x/k = y/l = z/m ïðè çàäàííûõ
k, l, m çàäàåò òî÷êó. Åñëè ÷èñëà k, l, m ïîëîæèòåëüíû, òî ýòà òî÷êà
íàõîäèòñÿ âíóòðè òðåóãîëüíèêà. Ïîýòîìó òðîéêà ( x, y, z ) çàäàåò
òî÷êó îäíîçíà÷íî. Áîëåå òîãî, íå âñÿêàÿ òðîéêà çàäàåò òî÷êó, à
òîëüêî òàêàÿ, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó xa + yb + zc = 2S,
ãäå a, b, c – ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, à S – åãî ïëîùàäü.
Åñëè âû ðåøèëè ïîñëåäíèå äâà óïðàæíåíèÿ, òî âàì áóäåò
ëåãêî ïîíÿòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå:
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü ðàññòîÿíèÿ (ñî çíàêàìè) îò òî÷êè P
äî ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàâíû x, y, z, à ðàññòîÿíèÿ (ñî
çíàêàìè) îò òî÷êè Q äî ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàâíû k, l, m.
Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî òî÷êè P è Q èçîãîíàëüíî ñîïðÿæåíû
äðóã äðóãó (îòíîñèòåëüíî òðåóãîëüíèêà ABC), åñëè kx =
= ly = mz.
Èç óïðàæíåíèÿ 5 âèäíî, ÷òî åñëè P è Q èçîãîíàëüíî
ñîïðÿæåíû, òî ïðÿìûå ÀP è AQ ñèììåòðè÷íû äðóã äðóãó
îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû óãëà À òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ (è
àíàëîãè÷íî, ÂP è BQ ñèììåòðè÷íû äðóã äðóãó îòíîñèòåëüíî
áèññåêòðèñû óãëà Â, à ÑP è ÑQ ñèììåòðè÷íû äðóã äðóãó
îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû óãëà Ñ). Îòñþäà ïîëó÷àåòñÿ âûâîä, êîòîðûé ðàíüøå ìîã ïîêàçàòüñÿ íåî÷åâèäíûì:
Ïóñòü P – ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, îòëè÷íàÿ îò âåðøèí
òðåóãîëüíèêà ABC. Åñëè îòðàçèòü ïðÿìûå ÀP, ÂP, ÑP
îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùèõ áèññåêòðèñ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ,
òî òðè ïîëó÷åííûå ïðÿìûå ëèáî áóäóò ïåðåñåêàòüñÿ â îäíîé
òî÷êå (è òîãäà ýòà òî÷êà èçîãîíàëüíî ñîïðÿæåíà ê Q), ëèáî
áóäóò ïàðàëëåëüíû.
Ðèñ. 12
Ðèñ. 13
Âîçâðàòèìñÿ ê íàøåé çàäà÷å î òî÷êå Òîððè÷åëëè T è
îáîçíà÷èì ÷åðåç N èçîãîíàëüíî ñîïðÿæåííóþ ê íåé òî÷êó
(ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ òî÷êîé Àïîëëîíèÿ). Ïóñòü K, L, M –
îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ èç òî÷êè N íà
ïðÿìûå BC, CA, AB ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.13). Ïî äîêàçàííîé
íàìè ëåììå, ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà KLM ïåðïåíäèêóëÿðíû
ïðÿìûì ÀÒ, ÂÒ, ÑÒ, à çíà÷èò, îíè îáðàçóþò ìåæäó ñîáîé
óãëû â 60° . Ñëåäîâàòåëüíî, KLM – ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, äëèíó åãî ñòîðîíû îáîçíà÷èì ÷åðåç k. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè X èìååì
k ⋅ ( AX + BX + CX ) = LM ⋅ AX + KM ⋅ BX + KL ⋅ CX ≥
≥ 2 ( SLAMX + SKBMX + SKCLX ) ≥ 2SABC .
Çíà÷èò, AX + BX + CX ≥ 2S ABC k . Ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ,
êîãäà ïðÿìûå ÀÕ, ÂÕ, ÑÕ ïåðïåíäèêóëÿðíû LM, KM, KL
ñîîòâåòñòâåííî, ò.å. ñîâïàäàþò ñ ïðÿìûìè ÀÒ, ÂÒ, ÑÒ. À ýòî
è çíà÷èò, ÷òî Õ è Ò ñîâïàäàþò.
×èòàòåëü ìîæåò óñìîòðåòü ñâÿçü ìåæäó ïîñëåäíèìè äâóìÿ
ðåøåíèÿìè (òðåóãîëüíèêè, îáîçíà÷åííûå KLM â ýòèõ ðåøåíèÿõ, ãîìîòåòè÷íû).
Óïðàæíåíèÿ
8. Ïóñòü a, b, c – ñòîðîíû íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà, ïðè÷åì
à – ñàìàÿ ìàëåíüêàÿ ñòîðîíà. Îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèÿ îò íåêîòî-
"
ÊÂÀÍT 2014/¹3
ðîé âíóòðåííåé òî÷êè òðåóãîëüíèêà äî åãî âåðøèí ÷åðåç p, q, r.
Äîêàæèòå, ÷òî p + q + r < b + c.
9. Íàéäèòå òî÷êó, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé äî ÷åòûðåõ
äàííûõ òî÷åê ìèíèìàëüíà (íóæíî ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ:
êîãäà òî÷êè îáðàçóþò âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê è êîãäà îäíà
òî÷êà ëåæèò â òðåóãîëüíèêå èç òðåõ äðóãèõ òî÷åê).
Ñíîâà î ðûöàðÿõ
è ëæåöàõ
Ë.ÁÎÉÊÎ, Ì.ÁÎÉÊÎ
Í
ÀÂÅÐÍßÊÀ ×ÈÒÀÒÅËÜ ÂÑÒÐÅ×ÀË ÇÀÍÈÌÀÒÅËÜÍÛÅ ÇÀ-
äà÷è î ðûöàðÿõ, êîòîðûå âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâäó, è
ëæåöàõ, êîòîðûå âñåãäà âðóò.
Èíîãäà â ïîäîáíûõ çàäà÷àõ ïîÿâëÿþòñÿ è äðóãèå ïåðñîíàæè.
Êòî òàêèå õèòðåöû?
Çàäà÷à 1 (XXVIII Òóðíèð ãîðîäîâ). Èçâåñòíî, ÷òî ëæåöû
âñåãäà âðóò, ðûöàðè âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâäó, à õèòðåöû
ìîãóò è âðàòü, è ãîâîðèòü ïðàâäó. Âû ìîæåòå çàäàâàòü
âîïðîñû, íà êîòîðûå âîçìîæåí îòâåò «äà» èëè «íåò»
(íàïðèìåð: «Âåðíî ëè, ÷òî ýòîò ÷åëîâåê – õèòðåö?»).
Ïåðåä âàìè òðîå – ëæåö, ðûöàðü è õèòðåö, êîòîðûå çíàþò,
êòî èç íèõ êòî. Êàê è âàì ýòî óçíàòü?
Ó ýòîé çàäà÷è åñòü íåñêîëüêî ðåøåíèé. Ïåðåä òåì êàê
ïðî÷åñòü îäíî èç íèõ â ñëåäóþùåì àáçàöå, ïîïðîáóéòå
ïðèäóìàòü ñâîå!
Êëþ÷îì ê ðåøåíèþ ìîæåò ñòàòü íåêîòîðûé âîïðîñ, çàäàííûé êàæäîìó èç òðåõ ëþäåé, îòâåò íà êîòîðûé îòëè÷èò
ðûöàðÿ îò ëæåöà. Íàïðèìåð, ñïðîñèì ó êàæäîãî èç òðåõ
ëþäåé: «Âû õèòðåö?» Ðûöàðü îòâåòèò «íåò», ëæåö îòâåòèò
«äà». ×òî áû íè îòâåòèë õèòðåö, ñðåäè òðåõ ïîëó÷åííûõ
íàìè îòâåòîâ åñòü ëèáî åäèíñòâåííîå «íåò», ëèáî åäèíñòâåííîå «äà».  ïåðâîì ñëó÷àå ìû îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåì
ðûöàðÿ, ñïðàøèâàÿ êîòîðîãî äàëåå ëåãêî äîáûòü èíôîðìàöèþ ïðî îñòàëüíûõ äâóõ ëþäåé. Âî âòîðîì ñëó÷àå ìû
îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåì ëæåöà. Äàëåå, ñïðàøèâàÿ åãî ïðî
îñòàëüíûõ ëþäåé (ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî îòâåòû ëæåöà ïðîòèâîïîëîæíû èñòèíå), ìû îïÿòü óçíàåì èíôîðìàöèþ ïðî îñòàëüíûõ ëþäåé.
Óïðàæíåíèå (XXVIII Òóðíèð ãîðîäîâ). Ïóñòü â óñëîâèÿõ
çàäà÷è 1 ïåðåä âàìè ÷åòâåðî – ëæåö, ðûöàðü è äâà õèòðåöà (âñå
÷åòâåðî çíàþò, êòî èç íèõ êòî). Äîêàæèòå, ÷òî õèòðåöû ìîãóò
äîãîâîðèòüñÿ îòâå÷àòü òàê, ÷òî âû, ñïðàøèâàÿ ýòèõ ÷åòâåðûõ, íè
ïðî êîãî èç íèõ íå óçíàåòå íàâåðíÿêà, êòî îí.
ßçûêîâûå òðóäíîñòè
Íî ÷òî, åñëè âû íå âïîëíå õîðîøî çíàåòå ìåñòíûé
ÿçûê?
Çàäà÷à 2. ×àñòü æèòåëåé íåêîãî îñòðîâà – ðûöàðè,
îñòàëüíûå – ëæåöû. Îñòðîâèòÿíå ïîíèìàþò íàø ÿçûê, à
ìû ïðî ÿçûê îñòðîâèòÿí çíàåì ëèøü, ÷òî â íåì îäíî èç ñëîâ
«éà» è «âà» îçíà÷àåò «äà», à äðóãîå – «íåò» (íî íå ïîìíèì
òî÷íî, êàê èìåííî). Ïóñòü ìû âñòðåòèëè äâóõ àáîðèãåíîâ,
îäèí èç êîòîðûõ – ðûöàðü, à äðóãîé – ëæåö. Ñìîæåì ëè ìû,
çàäàâ âñåãî îäèí âîïðîñ (ïðåäïîëàãàþùèé îòâåò «äà» èëè
«íåò», ò.å. «éà» èëè «âà»), óçíàòü, êòî èç íèõ êòî? Õîòåëîñü áû ðàñøèðèòü ñâîþ êîëëåêöèþ ðåøåíèé çàìå÷àòåëüíîé çàäà÷è î òî÷êå Òîððè÷åëëè. Åñëè âû íàéäåòå åùå
îäíî êðàñèâîå ðåøåíèå, ïðèñûëàéòå åãî, ïîæàëóéñòà, àâòîðó
ïî àäðåñó levr78@hotmail.com
Íàø âîïðîñ äîëæåí áûòü «èíäèêàòîðîì» ðûöàðåé è ëæåöîâ: ò.å. ëèáî ðûöàðè âñåãäà íà íåãî äîëæíû îòâå÷àòü «éà»,
à ëæåöû – âñåãäà «âà», ëèáî íàîáîðîò. Çàäàäèì ëþáîìó èç
àáîðèãåíîâ âîïðîñ «Éà – ýòî Äà?»
Âàðèàíò 1. Ïóñòü «éà» îçíà÷àåò «äà». Òîãäà ðûöàðü íà
òàêîé âîïðîñ äîëæåí îòâå÷àòü «äà», ò.å. «éà». Ëæåö æå
äîëæåí îòâåòèòü íà òàêîé âîïðîñ «íåò», ò.å. «âà».
Âàðèàíò 2. Ïóñòü «éà» îçíà÷àåò «íåò». Òîãäà ðûöàðü íà
òàêîé âîïðîñ îòâå÷àåò «íåò», ò.å. ýòî îïÿòü æå «éà»! À ëæåö
äîëæåí îòâåòèòü «äà», ò.å. ñíîâà «âà»!
Èòàê, ðûöàðü íà íàø âîïðîñ âñåãäà îòâå÷àåò «éà», à ëæåö
– «âà». Çàäà÷à ðåøåíà.
Íåìíîãî èñòîðèè
 1992 ãîäó àìåðèêàíñêèé ôèëîñîô è ëîãèê Äæîðäæ
Áóëîñ îïóáëèêîâàë çàäà÷ó, êîòîðóþ îí íàçâàë «Càìîé
ñëîæíîé ëîãè÷åñêîé çàäà÷åé». Âíåøíå «Ñàìàÿ ñëîæíàÿ
çàäà÷à» ïîõîæà íà ðàçîáðàííóþ âûøå çàäà÷ó 1, íî â íåé
èìååòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü, êîòîðàÿ áûëà â çàäà÷å
2: ïåðñîíàæè ïîíèìàþò íàø ÿçûê, íî îòâå÷àþò íàì èñêëþ÷èòåëüíî íà ñâîåì ÿçûêå, êîòîðûé íåïîíÿòåí íàì.
Äæ.Áóëîñ íàçûâàåò ïåðñîíàæåé ìèôè÷åñêèìè áîãàìè, ìû
æå ïîçâîëèì ñåáå ñîõðàíèòü áîëåå ïðèâû÷íûå ïåðñîíàæè.
Êðîìå òîãî, ýòî êàæåòñÿ íàì áîëåå åñòåñòâåííûì, ïîñêîëüêó
àâòîðîì «Càìîé ñëîæíîé çàäà÷è» Äæ.Áóëîñ óêàçûâàåò
Ðýéìîíäà Ñìàëëèàíà. Íàì íåèçâåñòíî, äåéñòâèòåëüíî ëè ýòî
òàê, íî áåçóñëîâíî Ð.Ñìàëëèàí – íàèáîëåå èçâåñòíûé ïîïóëÿðèçàòîð çàäà÷ òàêîãî ðîäà. Àâòîðû íàñòîÿùåé ñòàòüè ñ
áîëüøèì èíòåðåñîì â øêîëå ðåøàëè ëîãè÷åñêèå çàäà÷è èç
êíèã Ð.Ñìàëëèàíà. Â ðóññêîì ïåðåâîäå ýòîé êíèãè, êàê
ïðàâèëî, èñïîëüçîâàëèñü èìåííî òàêèå ïåðñîíàæè: ðûöàðè
è ëæåöû.
Ïîñòàíîâêà «Ñàìîé ñëîæíîé ëîãè÷åñêîé çàäà÷è»
Èòàê, äàäèì òî÷íóþ ôîðìóëèðîâêó «Ñàìîé ñëîæíîé ëîãè÷åñêîé çàäà÷è».
Çàäà÷à 3. Íà îñòðîâå Éàâà ëþäè äåëÿòñÿ íà òðè òèïà:
ðûöàðè – òå, êòî âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâäó; ëæåöû – òå,
êòî âñåãäà âðóò; è õèòðåöû – òå, êòî ìîãóò ãîâîðèòü
êàê ïðàâäó, òàê è ëîæü. Ïðåäïîëîæèì, ïåðåä íàìè òðè
÷åëîâåêà – ìèñòåð A, ìèñòåð Á, ìèñòåð Â. Ìû çíàåì,
÷òî ñðåäè íèõ ðîâíî îäèí ðûöàðü, îäèí ëæåö è îäèí
õèòðåö, íî ìû íå çíàåì, êòî èç íèõ êòî. Òðåáóåòñÿ
îïðåäåëèòü, êòî èç ëþäåé – ðûöàðü, êòî – ëæåö, à êòî –
õèòðåö, çàäàâ íå áîëåå òðåõ âîïðîñîâ. Âîïðîñû äîëæíû
áûòü òàêèìè, ÷òîáû íà íèõ ìîæíî áûëî îòâåòèòü «äà»
èëè «íåò». Êàæäûé âîïðîñ çàäàåòñÿ òîëüêî îäíîìó ÷åëîâåêó. Äîïîëíèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî
îñòðîâèòÿíå ïîíèìàþò íàø ÿçûê, íî îòâå÷àþò íàì èñêëþ÷èòåëüíî íà ñâîåì ÿçûêå. Ìû çíàåì, ÷òî â ýòîì
ÿçûêå åñòü äâà ñëîâà «éà» è «âà», êîòîðûå îçíà÷àþò
«äà» è «íåò», íî ìû íå çíàåì, êàêîå èìåííî ñëîâî îçíà÷àåò «äà», à êàêîå – «íåò».
Äàäèì íåñêîëüêî ïîÿñíåíèé ê ôîðìóëèðîâêå, êîòîðûå
óêàçûâàåò â ñâîåé ñòàòüå Äæ.Áóëîñ.
i Ìîæíî çàäàâàòü îäíîìó ÷åëîâåêó áîëåå ÷åì îäèí âîïðîñ
(â òàêîì ñëó÷àå äðóãèì ëþäÿì ìîæåò áûòü íå çàäàíî íè
îäíîãî âîïðîñà).
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
i Êàêîâ áóäåò ñëåäóþùèé âîïðîñ è êîìó îí áóäåò çàäàí,
ìîæåò çàâèñåòü îò îòâåòà íà ïðåäûäóùèé âîïðîñ.
i Íåëüçÿ çàäàâàòü âîïðîñû-ïàðàäîêñû, íà êîòîðûå ìîæíî
îòâåòèòü è «äà» è «íåò» èëè íèêàê íåëüçÿ îòâåòèòü. Íàïðèìåð, «Òû ñåé÷àñ îòâåòèøü «éà»?»
i Õèòðåö îòâå÷àåò íà âîïðîñû ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíî.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäûé ðàç îí ïîäáðàñûâàåò ìûñëåííî
ìîíåòêó è åñëè âûïàäàåò îðåë – îí îòâå÷àåò ïðàâäó, à åñëè
ðåøêà – ëæåò.
Äîáàâèì ê ýòîìó, ÷òî, êîíå÷íî æå, ìèñòåðû À, Á è  çíàþò
äðóã äðóãà è çíàþò, êòî èç íèõ ëæåö, êòî ðûöàðü, à êòî
õèòðåö.
Ïåðåä òåì êàê èçëîæèòü ðåøåíèå, ââåäåì äâå ìûñëåííûå
êîíñòðóêöèè.
Ìèñòåð Éà, ìèñòåð Âà è ìèñòåð Õè
Âûøå ìû íàçâàëè ðûöàðåì ÷åëîâåêà, êîòîðûé âñåãäà
ãîâîðèò ïðàâäó. Äðóãèìè ñëîâàìè ìîæíî ñêàçàòü òàê: ðûöàðü – ýòî ÷åëîâåê, êîòîðûé îòâå÷àåò «äà», åñëè óòâåðæäåíèå, ñôîðìóëèðîâàííîå â âîïðîñå, èñòèííî.  òî æå âðåìÿ
ëæåö – ýòî òîò, êòî îòâå÷àåò íà òàêîå óòâåðæäåíèå «íåò».
Âñïîìíèì, ÷òî îñòðîâèòÿíå èñïîëüçóþò ñâîé ÿçûê. Òàêèì
îáðàçîì, íà âîïðîñ, â êîòîðîì ñôîðìóëèðîâàíî èñòèííîå
óòâåðæäåíèå, è ëæåö è ðûöàðü îòâå÷àþò ëèáî âñåãäà «éà»,
ëèáî âñåãäà «âà». Òîìó, êòî îòâå÷àåò «éà», äàäèì âòîðîå èìÿ
– ìèñòåð Éà. À òîãî, êòî îòâå÷àåò âñåãäà «âà», áóäåì
íàçûâàòü ìèñòåð Âà. Íàêîíåö, õèòðåöà áóäåì íàçûâàòü
ìèñòåð Õè.
Çàìåòèì, ÷òî ìû íå ìîæåì çíàòü î ìèñòåðå Éà, ðûöàðü îí
èëè ëæåö, íî ñàìè îñòðîâèòÿíå À, Á è Â äîëæíû çíàòü, êòî
èç íèõ êòî. Ïîýòîìó ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü íîâûå èìåíà â
âîïðîñàõ. Íàïðèìåð, ìû ìîæåì ñïðîñèòü ó ìèñòåðà À: «Òû
ÿâëÿåøüñÿ ìèñòåðîì Éà?» èëè ñïðîñèòü ó íåãî æå: «Ìèñòåð
Á – ýòî ìèñòåð Âà?»
Êîëîäà êàðò
Òåïåðü âîçüìåì òðè îäèíàêîâûõ ëèñòî÷êà áóìàãè è íà
ïåðâîì íàïèøåì «ìèñòåð Éà», íà âòîðîì – «ìèñòåð Âà», íà
òðåòüåì – «ìèñòåð Õè». Ïîëó÷èì òðè êàðòû – êàðòó Éà,
êàðòó Âà è êàðòó Õè.
Åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ ñîîòâåòñòâèå ìåæäó
ëþäüìè è êàðòàìè. Òàêèì îáðàçîì, åñëè â âîïðîñå âñòðåòèòñÿ ïîíÿòèå «êàðòà ìèñòåðà À», îñòðîâèòÿíå äîëæíû ïîíèìàòü ýòî òàê: íóæíî ïîñìîòðåòü, êòî òàêîé ìèñòåð À – ìèñòåð
Éà, Âà èëè Õè, – è íàéòè êàðòó, íà êîòîðîé íàïèñàíî
ñîîòâåòñòâóþùåå èìÿ. Àíàëîãè÷íî íàäî ïîñòóïàòü, åñëè â
âîïðîñå ïðèñóòñòâóåò ïîíÿòèå «òâîÿ êàðòà».
Òåïåðü ñëîæèì ýòè òðè êàðòû â êîëîäó: ñâåðõó êàðòà Éà,
ïîòîì êàðòà Âà è íèæíÿÿ – êàðòà Õè. Åñëè ó íàñ íåò áóìàãè
è ìû íå ìîæåì èçãîòîâèòü òàêóþ êîëîäó, ìû äîëæíû
ïîïðîñèòü îñòðîâèòÿí ñäåëàòü ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò: ïðåäñòàâèòü ýòè òðè êàðòû èìåííî â òàêîì ïîðÿäêå. Ïî÷åìó
âûáðàí èìåííî òàêîé ïîðÿäîê êàðò? ×óòü ïîçæå ìû äàäèì
ýòîìó ïîÿñíåíèå.
 äàëüíåéøåì â âîïðîñàõ áóäåò âñòðå÷àòüñÿ ïîíÿòèå «îäíà
êàðòà ëåæèò â êîëîäå íà äðóãîé».  äàííîì ñëó÷àå ìû
"!
ÊÐÓÆÎÊ
ïîíèìàåì ýòî òàê: êàðòà íàõîäèòñÿ â êîëîäå âûøå äðóãîé, è
ýòè äâå êàðòû ÿâëÿþòñÿ ñîñåäíèìè â êîëîäå. Òàêèì îáðàçîì,
â íàøåé êîëîäå êàðòà Éà ëåæèò íà êàðòå Âà, à êàðòà Âà ëåæèò
íà êàðòå Õè. Íî êàðòà Éà ÍÅ ëåæèò íà êàðòå Õè.
Òåïåðü ìû ìîæåì ïåðåéòè íåïîñðåäñòâåííî ê âîïðîñàì,
êîòîðûå äîëæíû îïðåäåëèòü, êòî èç îñòðîâèòÿí êòî.
Ðåøåíèå çàäà÷è 3
Ïåðâûé âîïðîñ
Ñïðîñèì ó ìèñòåðà À ñëåäóþùåå:
«Ëåæèò ëè òâîÿ êàðòà â êîëîäå íà êàðòå ìèñòåðà Á?»
Äîêàæåì, ÷òî â ñëó÷àå îòâåòà «éà» íà ýòîò âîïðîñ, ìèñòåð
Á – íå õèòðåö (îí ðûöàðü èëè ëæåö), à â ñëó÷àå îòâåòà «âà»
íà ýòîò âîïðîñ ìèñòå𠠖 íå Õè.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè À – ìèñòåð Õè, òî íè Á, íè  íå ìîãóò
áûòü Õè, ÷òî íàì è íóæíî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìèñòåð À – íå Õè, è ðàññìîòðèì
âàðèàíòû åãî îòâåòîâ íà âîïðîñ.
Ïóñòü À îòâåòèë «éà».
Âàðèàíò 1: ìèñòåð À – ýòî ìèñòåð Éà.
Òîãäà óòâåðæäåíèå â âîïðîñå èñòèííî, è êàðòà ìèñòåðà À
– ýòî êàðòà Éà. Òàê êàê â êîëîäå êàðòà Éà ëåæèò íà êàðòå Âà,
òî ìèñòåð Á – ýòî ìèñòåð Âà.
Âàðèàíò 2: ìèñòåð À – ýòî ìèñòåð Âà.
Ðàç ìèñòåð Âà îòâåòèë «éà», òî óòâåðæäåíèå «êàðòà
ìèñòåðà À ëåæèò íà êàðòå ìèñòåðà Á» – ëîæíî. Çíà÷èò, êàðòà
Âà íå ëåæèò íà êàðòå ìèñòåðà Á. Ïî îïðåäåëåíèþ êîëîäû
êàðòà Âà ëåæèò íà êàðòå Õè. Çíà÷èò, ìèñòåð Á – íå Õè.
Ïóñòü À îòâåòèë «âà».
Âàðèàíò 1: ìèñòåð À – ýòî ìèñòåð Éà.
Óòâåðæäåíèå â âîïðîñå ëîæíî. Êàðòà Éà ëåæèò â êîëîäå
íà êàðòå Âà è íå ëåæèò íà êàðòå Õè. Çíà÷èò, ìèñòåð Á – ýòî
Õè, à ìèñòå𠠖 ýòî ìèñòåð Âà.
Âàðèàíò 2: ìèñòåð À – ýòî ìèñòåð Âà.
Óòâåðæäåíèå èñòèííî. Êàðòà Âà ëåæèò â êîëîäå íà êàðòå
Õè. Çíà÷èò, ìèñòåð Á – ýòî Õè, à ìèñòå𠠖 ýòî ìèñòåð Éà.
Âòîðîé âîïðîñ
Ïåðâûì âîïðîñîì ìû èç ìèñòåðîâ Á è Â îïðåäåëèëè òîãî,
êîòîðûé òî÷íî íå ÿâëÿåòñÿ õèòðåöîì. Âòîðîé âîïðîñ íóæíî
çàäàòü èìåííî ýòîìó, íå ÿâëÿþùåìóñÿ õèòðåöîì, îñòðîâèòÿíèíó.
 îáîèõ ñëó÷àÿõ âîïðîñ áóäåò îäèí è òîò æå è áóäåò î÷åíü
ïîõîæ íà ïðåäûäóùèé:
«Ëåæèò ëè òâîÿ êàðòà â êîëîäå íà êàðòå ìèñòåðà À?»
Êàê ìû âèäåëè âûøå, îòâåò íà ýòîò âîïðîñ óêàçûâàåò íàì
ñðåäè äâóõ îñòðîâèòÿí (òåõ, êîòîðûì íå àäðåñîâàí òåêóùèé
âîïðîñ) îäíîãî, êîòîðûé òî÷íî íå ÿâëÿåòñÿ ìèñòåðîì Õè.
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà âîïðîñ
çàäàåòñÿ Á. Òîãäà èëè À, èëè  – íå Õè. Ïóñòü Â. Òîãäà Õè
– ýòî ìèñòåð À.
Àíàëîãè÷íî âî âñåõ âîçìîæíûõ ñëó÷àÿõ ìû óçíàåì òîãî,
êòî ÿâëÿåòñÿ ìèñòåðîì Õè.
Òðåòèé âîïðîñ
Èòàê, ïðåäûäóùèìè äâóìÿ âîïðîñàìè ìû íàøëè ñðåäè
îñòðîâèòÿí ìèñòåðà Õè. Êàê è â ðåøåíèè çàäà÷è 2, çàäàäèì
ëþáîìó èç äâóõ îñòàâøèõñÿ æèòåëåé îñòðîâà âîïðîñ-«èíäèêàòîð» ðûöàðåé è ëæåöîâ «Éà – ýòî Äà?» è òåì ñàìûì
óçíàåì, êòî åñòü êòî.
Àëãîðèòì ïðåäúÿâëåí è çàäà÷à ðåøåíà!
Ïðèâåäåííîå ðåøåíèå èäåéíî áëèçêî ê îðèãèíàëüíîìó
ðåøåíèþ Äæ. Áóëîñà. Îäíàêî äâå ìûñëåííûå êîíñòðóêöèè
– íîâûå èìåíà ëþäåé è êîëîäà êàðò (îòíîøåíèå ñðåäè íîâûõ
èìåí) – ïîçâîëèëè èçáåæàòü óñëîâíûõ âûñêàçûâàíèé, à
""
ÊÂÀÍT 2014/¹3
òàêæå ãðîìîçäêèõ êîíñòðóêöèé ïðè ïîñòðîåíèè âîïðîñîâ,
çàäàâàåìûõ îñòðîâèòÿíàì, â îðèãèíàëüíîì ðåøåíèè.
Íàïîñëåäîê íåáîëüøîå çàêëþ÷åíèå, êîòîðîå ìû àäðåñóåì
÷èòàòåëÿì, æåëàþùèì ðàçîáðàòüñÿ, îòêóäà âçÿëîñü òàêîå
ðåøåíèå è êàê ìîæíî áûëî åãî ïðèäóìàòü.
Ïîÿñíåíèå ê âûáîðó êîëîäû è ôîðìóëèðîâêå
âîïðîñîâ
Ïåðâûé è âòîðîé âîïðîñû
Êàê ìû âèäåëè, öåëü ïåðâîãî âîïðîñà, êàê è â ðåøåíèè Äæ.
Áóëîñà, – íàéòè îñòðîâèòÿíèíà, êîòîðûé íå ìèñòåð Õè (ò.å.
èëè ðûöàðü, èëè ëæåö). Ïåðâûé âîïðîñ ìû çàäàâàëè ìèñòåðó À.
Ñëó÷àé, êîãäà ìèñòåð À – ýòî ìèñòåð Õè, ìåíåå èíòåðåñåí.
Êàêîé áû âîïðîñ ìû íè çàäàâàëè, îòâåò íà íåãî ìèñòåðà À íå
èìååò áîëüøîé öåííîñòè äëÿ íàñ (ìû íå çíàåì, ñêàçàë îí
ïðàâäó èëè ëîæü). Áîëåå òîãî, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ïåðâûì
âîïðîñîì ìû íå ìîæåì èñêëþ÷èòü ìèñòåðà À èç ñïèñêà
âîçìîæíûõ êàíäèäàòîâ äëÿ ìèñòåðà Õè.
Çíà÷èò, íàøà öåëü: ïåðâûì âîïðîñîì óçíàòü, ÷òî èëè
ìèñòåð Á – íå Õè, èëè  – íå Õè.
Öåííîñòü æå ñëó÷àÿ, êîãäà ìèñòåð À – ýòî ìèñòåð Õè, êàê
ðàç â òîì, ÷òî òîãäà îáà ìèñòåðà (è Á, è Â) íå ÿâëÿþòñÿ
ìèñòåðîì Õè!
Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìèñòåð À – ýòî èëè ìèñòåð Éà,
èëè ìèñòåð Âà. Åñëè áû ìû ïðèäóìàëè òàêîé âîïðîñ, ÷òî
îòâåò «éà» íà íåãî îçíà÷àë áû, ÷òî ìèñòåð Á – íå ìèñòåð Õè,
à îòâåò «âà» îçíà÷àë áû, ÷òî ìèñòå𠠖 íå ìèñòåð Õè, òî ìû
äîñòèãëè áû ïîñòàâëåííîé öåëè.
Ïðåäïîëîæèì, ìû íàøëè òàêîé âîïðîñ, çàäàëè åãî è
ïîëó÷èëè îòâåò «éà». Ðàññìîòðèì, êàêèå âàðèàíòû ìîãóò
áûòü äëÿ ìèñòåðà À.
Ïóñòü ìèñòåð À – ýòî ìèñòåð Éà.
Îòâåò «éà» íà êàêîé-ëèáî âîïðîñ òîãäà îçíà÷àåò, ÷òî
óòâåðæäåíèå â âîïðîñå èñòèííî. Ìû õîòèì, ÷òîáû îíî
Êàê Àðõèìåä âçâåñèë ïàðàáîëó?
(Íà÷àëî ñì. íà ñ. 37)
Ïðè ýòîì çàäà÷ó ñôîðìóëèðóåì íåñêîëüêî äðóãèì îáðàçîì:
êàêîé äîëæíà áûòü ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ â ñîñòîÿíèè
ðàâíîâåñèÿ, ñ÷èòàÿ âåñ
ñàìîé ÷àøè è òðîñèêîâ
ïðåíåáðåæèìî ìàëûì?
Ðåøèì ýòó çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà ðû÷àãà,
ïðèìåíÿÿ åãî ê âûäåëåííûì áåëûì öâåòîì âåðòèêàëüíûì ôðàãìåíòàì
òðåóãîëüíèêà è ïàðàáîëû. Çàìåòèì, ÷òî ïàðàÐèñ.2
áîëà îñòàåòñÿ ëåæàòü íà
ïðàâîé ÷àøå, è ïîýòîìó ïëå÷î ðû÷àãà äëÿ êàæäîãî èç åå
ôðàãìåíòîâ ðàâíî l, òàê êàê ñèëà òÿæåñòè ýòîãî ôðàãìåíòà
ïåðåäàåòñÿ ÷åðåç ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòåé â òî÷êó Ñ è íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç. Åñëè ñ÷èòàòü øèðèíó ôðàãìåíòîâ
ðàâíîé ∆x , òî ðàâåíñòâî ìîìåíòîâ ñèë îòíîñèòåëüíî òî÷êè
Î ñëåâà è ñïðàâà áóäåò èìåòü âèä
x
h ∆x ⋅ x = ax2∆x ⋅ l , îòêóäà h = al 2 .
l
Çíà÷èò, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀΠäîëæíà áûòü ðàâíà
SAOB =
al 3
.
2
îçíà÷àëî: ìèñòåð Á – íå ìèñòåð Õè, ò.å. îí – ìèñòåð Âà (âåäü
ìèñòåð Éà â íàøåì ñëó÷àå – ýòî ìèñòåð À). Äðóãèìè
ñëîâàìè, óòâåðæäåíèå äîëæíî îçíà÷àòü: «Åñëè À – ýòî Éà,
òî Á – Âà».
Ïóñòü òåïåðü ìèñòåð À – ýòî ìèñòåð Âà.
Çíà÷èò, óòâåðæäåíèå â âîïðîñå ëîæíî. Ìû õîòèì ÷òîáû
ýòà ëîæü è â ýòîì ñëó÷àå îçíà÷àëà, ÷òî ìèñòåð Á – ýòî íå Õè.
Ñòðîÿ îòðèöàíèå, ïîëó÷àåì, ÷òî èçíà÷àëüíûé âîïðîñ äîëæåí çâó÷àòü òàê: «Åñëè À – ýòî Âà, òî Á – Õè».
Îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî ïðîâåðèòü, ÷òî â
ñëó÷àå îòâåòà «âà», èìåííî ýòè óòâåðæäåíèÿ â îáîèõ âàðèàíòàõ îçíà÷àþò, ÷òî ìèñòåð Á – ýòî Õè, à çíà÷èò  – ýòî íå
ìèñòåð Õè.
Èòàê, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî äëÿ äîñòèæåíèÿ íàøåé öåëè è
íàõîæäåíèÿ íóæíîãî âîïðîñà ìû äîëæíû íàéòè íåêóþ ñâÿçü
(óñòàíîâèòü êàêîå-òî îòíîøåíèå) ìåæäó Éà è Âà, à òàêæå
ìåæäó Âà è Õè. Ïðè÷åì, êàê ìû âèäèì, ñâÿçü äîëæíà áûòü
îäíîñòîðîííÿÿ.
Âîò ïî÷åìó íàì ïîíàäîáèëàñü êîëîäà êàðò, â êîòîðîé
ïîíÿòèå «îäíà êàðòà ëåæèò íà äðóãîé» – ýòî êàê ðàç
íåîáõîäèìàÿ íàì ñâÿçü!
Âòîðîé âîïðîñ áûë âûáðàí òàêèì æå, ïîñêîëüêó îí,
î÷åâèäíî, ïîìîãàåò îïðåäåëèòü ìèñòåðà Õè.
Ñâÿçü ìîæíî áûëî áû îïèñàòü è ïî-äðóãîìó, ñ ïîìîùüþ
îäíîñòîðîííåãî çíàêîìñòâà (êîãäà ïåðâûé ÷åëîâåê çíàåò
âòîðîãî, íî âòîðîé ìîæåò íå çíàòü ïåðâîãî). Ïðè ýòîì
âîïðîñû èç ðåøåíèÿ ñòàíóò áîëåå ëàêîíè÷íûìè, ñêàæåì «Òû
çíàåøü ìèñòåðà Á?» âìåñòî «Ëåæèò ëè òâîÿ êàðòà â êîëîäå
íà êàðòå ìèñòåðà Á?» Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî óñëîâèþ âñå òðè
îñòðîâèòÿíèíà çíàêîìû äðóã ñ äðóãîì – âîçíèêàåò ïóòàíèöà
ñ ïîíÿòèåì «çíàêîìñòâî».
Òðåòèé âîïðîñ
Âîïðîñîâ-«èíäèêàòîðîâ» ðûöàðåé è ëæåöîâ ìíîãî. Äîêàæèòå, ÷òî ïîäîéäåò, íàïðèìåð, âîïðîñ «Ðûöàðü – ýòî ìèñòåð
Éà?»
Èçâåñòíî, ÷òî öåíòð òÿæåñòè ëþáîãî òðåóãîëüíèêà íàõîäèòñÿ â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí, êîòîðàÿ èõ äåëèò â
îòíîøåíèè 2:1. Ïîýòîìó ïëå÷î ñèëû òÿæåñòè òðåóãîëüíèêà
2
l . Íàïèøåì òåïåðü
ÀΠîòíîñèòåëüíî òî÷êè Î ðàâíî
3
ïðàâèëî ðû÷àãà äëÿ âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ â ñèñòåìå â
ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ. Ñëåâà äåéñòâóåò «ñèëà òÿæåñòè òðåó2
ãîëüíèêà» SAOB ñ ïëå÷îì l , ñïðàâà – íåèçâåñòíûé «âåñ
3
ïàðàáîëû» S ñ ïëå÷îì l. Ïðè ðàâíîâåñèè ñïðàâåäëèâî
ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:
al 3 2
⋅ l = S ⋅l ,
2 3
îòêóäà íàõîäèì ïëîùàäü ïàðàáîëû:
al 3
S=
.
3
Íà ðèñóíêå 3 ôèãóðà KLM âïèñàíà â ïðÿìîóãîëüíèê KLMN, ïðè÷åì Ðèñ.3
ïëîùàäü ïîä ïàðàáîëîé ñîñòàâëÿåò 1/3 ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíèêà. Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíèâ ïðàâèëî ðû÷àãà, Àðõèìåäó óäàëîñü îïðåäåëèòü ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé ôèãóðû,
èëè, êàê ãîâîðÿò, îïðåäåëèòü êâàäðàòóðó ïàðàáîëû – íàéòè
ïðÿìîóãîëüíèê ðàâíîé ïëîùàäè.
Âñå ñâîè ïèñüìà, ñîäåðæàùèå íàó÷íûå ðàáîòû, Àðõèìåä
êîí÷àë îäèíàêîâî: «Áóäü çäîðîâ!» Ê ýòîìó ïðèñîåäèíÿåòñÿ
è àâòîð ýòîé ñòàòüè.
Ê.Áîãäàíîâ
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Ïàðû. Âëàæíîñòü
À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ
ðîñòü èñïàðåíèÿ. Äîïîëíèòåëüíàÿ æèäêîñòü áóäåò èñïàðÿòüñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà ïàð ñíîâà íå ñòàíåò íàñûùåííûì. Åñëè
ïîðøåíü ïðîäîëæàòü ìåäëåííî ñäâèãàòü ââåðõ, òî â íåêîòîðûé ìîìåíò âñÿ æèäêîñòü èñïàðèòñÿ, ïîñëå ÷åãî ìàññà ïàðà
ïåðåñòàíåò èçìåíÿòüñÿ, è äàâëåíèå ïàðà áóäåò èçîòåðìè÷åñêè
óìåíüøàòüñÿ, êàê ó îáû÷íîãî ãàçà (ðèñ.3, êðèâàÿ À––Ñ).
Ï
ÀÐÎÌ ÍÀÇÛÂÀÞÒ ÃÀÇÎÎÁÐÀÇÍÎÅ ÔÀÇÎÂÎÅ ÑÎÑÒÎß-
íèå íåêîòîðîãî âåùåñòâà. Óïîòðåáëÿÿ òåðìèí «ïàð» (à
íå «ãàç»), ìû óêàçûâàåì íà òî, ÷òî ïðè äàííîé òåìïåðàòóðå
ìîãóò ïðîèñõîäèòü âçàèìíûå ïðåâðàùåíèÿ ìåæäó æèäêîé è
ãàçîîáðàçíîé ôàçàìè äàííîãî âåùåñòâà (ìåæäó æèäêîñòüþ è
åå ïàðîì). Áîëåå òîãî, ïàðàìåòðû ïàðà (äàâëåíèå, ïëîòíîñòü, êîíöåíòðàöèÿ) äàþòñÿ îáû÷íî â ñðàâíåíèè ñ ïàðàìåòðàìè íàñûùåííîãî ïàðà, íàõîäÿùåãîñÿ â ðàâíîâåñèè ñî ñâîåé
æèäêîñòüþ ïðè òîé æå òåìïåðàòóðå.
Ðàâíîâåñèå ìåæäó æèäêîñòüþ è åå íàñûùåííûì ïàðîì
íîñèò äèíàìè÷åñêèé õàðàêòåð. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íåïðåðûâíî
ïðîèñõîäÿò äâà ïðîöåññà – ïåðåõîä ìîëåêóë èç æèäêîñòè â
ïàð, ò.å. èñïàðåíèå, è ïîãëîùåíèå æèäêîñòüþ íåêîòîðîé
÷àñòè ïîäëåòàþùèõ ê åå ïîâåðõíîñòè ìîëåêóë, ò.å. êîíäåíñàöèÿ.  ñëó÷àå íàñûùåííîãî ïàðà ýòè äâà ïðîöåññà òî÷íî
êîìïåíñèðóþò äðóãà. Åñëè òåìïåðàòóðà ñèñòåìû çàôèêñèðîâàíà, òî òàêàÿ êîìïåíñàöèÿ íàñòóïàåò òîëüêî ïðè îïðåäåëåííîé êîíöåíòðàöèè (ïðè îïðåäåëåííîé ïëîòíîñòè) ïàðà, ò.å.
ïëîòíîñòü íàñûùåííîãî ïàðà çàâèñèò ëèøü îò åãî òåìïåðàòóðû. Èíòåíñèâíîñòü èñïàðåíèÿ ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû óâåëè÷èâàåòñÿ, ïîýòîìó ïëîòíîñòü íàñûùåííîãî ïàðà ρí (T ) –
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ (ðèñ.1,à). Ïîñêîëüêó, â
Ðèñ. 3
Ïàð, äàâëåíèå êîòîðîãî ìåíüøå äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà
ïðè òîé æå òåìïåðàòóðå, íàçûâàþò íåíàñûùåííûì.
Åñëè íåíàñûùåííûé ïàð ìåäëåííî èçîòåðìè÷åñêè ñæèìàòü, òî åãî äàâëåíèå áóäåò âîçðàñòàòü äî òåõ ïîð, ïîêà îíî
íå ñðàâíÿåòñÿ ñ äàâëåíèåì íàñûùåííîãî ïàðà. Ïðè äàëüíåéøåì ñæàòèè ñèëû ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè ïàðà
îêàçûâàþòñÿ äîñòàòî÷íî ñóùåñòâåííûìè äëÿ òîãî, ÷òîáû
ìîëåêóëû îáúåäèíÿëèñü â êàïåëüêè æèäêîñòè. Äàâëåíèå
áîëüøå ðàñòè íå áóäåò, ìàññà ïàðà áóäåò óìåíüøàòüñÿ, à
ìàññà æèäêîñòè áóäåò ñîîòâåòñòâåííî óâåëè÷èâàòüñÿ (ñì.
ðèñ.3, êðèâàÿ і–À).
Íåíàñûùåííûé ïàð ìîæíî ïðåâðàòèòü â íàñûùåííûé íå
òîëüêî èçîòåðìè÷åñêèì ñæàòèåì, íî è èçîõîðíûì îõëàæäåíèåì. Åñëè â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ρï < ρí è pï < pí , òî ïðè
èçîõîðíîì îõëàæäåíèè ρï îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, à ρí óìåíüøàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå ñðàâíÿåòñÿ ñ ρï (ðèñ.4,à).
Òåìïåðàòóðó, ïðè êîòîðîé ýòî ïðîèñõîäèò, íàçûâàþò òî÷êîé
Ðèñ. 1
ñâîþ î÷åðåäü, äàâëåíèå ïàðà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òåìïåðàòóðû è êîíöåíòðàöèè ïàðà (îíè ñâÿçàíû óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ), äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà pí òàêæå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî åãî òåìïåðàòóðû (íå çàâèñèò îò îáúåìà).
Ïðè÷åì ôóíêöèÿ pí (T ) âîçðàñòàåò ãîðàçäî áûñòðåå (ðèñ.1,á),
÷åì ôóíêöèÿ ρí (T ) .
Åñëè äèíàìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå íàðóøàåòñÿ, òî ëèáî èñïàðåíèå, ëèáî êîíäåíñàöèÿ íà÷èíàþò ïðåâàëèðîâàòü, è ìàññà
æèäêîñòè áóäåò ëèáî óìåíüøàòüñÿ, ëèáî óâåëè÷èâàòüñÿ.
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, æèäêîñòü, íàõîäÿùóþñÿ â ðàâíîâåñèè ñî ñâîèì ïàðîì â öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå ïîä ïîðøíåì
ïðè ôèêñèðîâàííîé òåìïåðàòóðå (ðèñ.2). Åñëè ñäâèíóòü
ïîðøåíü ââåðõ, òî äàâëåíèå è ïëîòíîñòü ïàðà ñíà÷àëà
óìåíüøàòñÿ, ñêîðîñòü êîíäåíñàöèè ñòàíåò ìåíüøå, ÷åì ñêî-
Ðèñ. 4
ðîñû äëÿ äàííîãî çíà÷åíèÿ ρï . Ïðè äàëüíåéøåì îõëàæäåíèè ïàð ñòàíåò íàñûùåííûì, åãî ïëîòíîñòü óìåíüøèòñÿ, íà
ñòåíêàõ ïîÿâÿòñÿ êàïåëüêè æèäêîñòè. Íà ðèñóíêå 4,á èçîáðàæåí òîò æå ïðîöåññ íà ãðàôèêå çàâèñèìîñòè p (T ) : ïðè
èçîõîðíîì îõëàæäåíèè íåíàñûùåííîãî ïàðà åãî äàâëåíèå ð
óìåíüøàåòñÿ ïî ãàçîâûì çàêîíàì, íî äàâëåíèå íàñûùåííîãî
ïàðà pí (T ) ïàäàåò ãîðàçäî áûñòðåå, è â òî÷êå ðîñû îíè
ñðàâíèâàþòñÿ.
Ñòåïåíü íåíàñûùåííîñòè ïàðà çàäàåòñÿ îòíîñèòåëüíîé
âëàæíîñòüþ, ðàâíîé îòíîøåíèþ äàâëåíèÿ ïàðà ê äàâëåíèþ
íàñûùåííîãî ïàðà ïðè òîé æå òåìïåðàòóðå:
ϕ=
Ðèñ. 2
pï
.
pí
(1)
Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè òåìïåðàòóðàõ, çàìåòíî ìåíüøèõ
êðèòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû (äëÿ âîäû, íàïðèìåð,
Tê = 374,15 °C ), êàê äëÿ íàñûùåííîãî, òàê è äëÿ íåíàñûùåííîãî ïàðà ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ âûïîëíÿþòñÿ óðàâíåíèÿ
Ìåíäåëååâà–Êëàïåéðîíà:
ρ
ρ
pí = í RT, pï = ï RT.
Μ
Μ
"$
ÊÂÀÍT 2014/¹3
(Îòìåòèì, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå ñêîðåå íå î÷åâèäíîå, à
óäèâèòåëüíîå. Â ìîäåëè èäåàëüíîãî ãàçà ìû ïðåíåáðåãàåì
âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó ìîëåêóëàìè, à â íàñûùåííîì ïàðå
èìåííî ýòî âçàèìîäåéñòâèå ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ êàïåëåê
æèäêîñòè.) Áëàãîäàðÿ ýòèì óðàâíåíèÿì îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà êàê îòíîøåíèå ïëîòíîñòè
íåíàñûùåííîãî ïàðà ê ïëîòíîñòè íàñûùåííîãî ïàðà (ïðè
òîé æå òåìïåðàòóðå):
ρ
ϕ= ï .
(2)
ρí
Ïðè ýòîì àáñîëþòíîé âëàæíîñòüþ íàçûâàþò ïðîñòî ïëîòíîñòü ïàðà, à äàâëåíèå ïàðà èíîãäà íàçûâàþò óïðóãîñòüþ
ïàðà. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè ìåäëåííîì îõëàæäåíèè ïàð
ìîæåò íà íåêîòîðîå âðåìÿ îêàçàòüñÿ â ìåòàñòàáèëüíîì
ñîñòîÿíèè, â êîòîðîì ϕ > 1 (ëèíèè ÂD íà ðèñóíêàõ 3, 4); ýòî
ñâÿçàíî ñ òðóäíîñòüþ îáðàçîâàíèÿ ñîâñåì ìàëåíüêèõ êàïåëåê
æèäêîñòè, îáëàäàþùèõ áîëüøîé ïîâåðõíîñòíîé ýíåðãèåé.
Î çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà îò òåìïåðàòóðû ìîæíî óçíàòü, íàáëþäàÿ çà êèïåíèåì æèäêîñòè. Åñëè
èíòåíñèâíî íàãðåâàòü æèäêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì âíåøíåì
äàâëåíèè, òî â îáúåìå æèäêîñòè îáðàçóþòñÿ ìàëåíüêèå
ïóçûðüêè, çàïîëíåííûå íàñûùåííûì ïàðîì. Ïðè òåìïåðàòóðå, ïðè êîòîðîé äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ñðàâíèâàåòñÿ
ñ âíåøíèì äàâëåíèåì, ïóçûðüêè ïåðåñòàþò ñõëîïûâàòüñÿ,
îíè âñïëûâàþò, óâåëè÷èâàÿñü â ðàçìåðàõ, è âûáðàñûâàþò
ïàð íàðóæó. Íàïðèìåð, õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïðè íîðìàëüíîì àòìîñôåðíîì äàâëåíèè âîäà êèïèò ïðè 100 °C , ñëåäîâàòåëüíî, ïðè T = 373 Ê íàñûùåííûé âîäÿíîé ïàð èìååò
äàâëåíèå pí = 1 àòì = 100 êÏà. Êàê óæå ãîâîðèëîñü, pí
ñèëüíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû: ïðè 647,3 Ê pí = 221 àòì
(êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà), ïðè 390 Ê pí = 180 êÏà (ñêîðîâàðêà),
ïðè 340 Ê pí = 30 êÏà (íà Ýëüáðóñå), ïðè 300 Ê pí =
= 3,6 êÏà, ïðè 288 Ê pí = 1,7 êÏà.
Ñêàæåì íåñêîëüêî ñëîâ î òåðìîäèíàìèêå ïàðîîáðàçîâàíèÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû ìàññó ∆m æèäêîñòè, íàõîäÿùåéñÿ â
ðàâíîâåñèè ñ íàñûùåííûì ïàðîì (ñì. ðèñ.2), èçîòåðìè÷åñêè
è ðàâíîâåñíî ïðåâðàòèòü â ïàð, åé íàäî ñîîáùèòü êîëè÷åñòâî
òåïëîòû
Q = λ∆m ,
ãäå λ – óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ. Ïðè ýòîì ïàð
ñîâåðøèò ðàáîòó
∆mRT
A = pí ∆V =
,
Μ
à âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû óâåëè÷èòñÿ íà
RT 

∆U = Q − A =  λ −
 ∆m = ∆u∆m .
Μ 

Âèäíî, ÷òî óäåëüíîå èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ∆u ïðè
ïàðîîáðàçîâàíèè ìåíüøå, ÷åì óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ. Îòëè÷èå äëÿ âîäû ïðè 100 °C íåâåëèêî – ïðèìåðíî
7,5%, íî è ïðåíåáðåæèìî ìàëûì åãî íå íàçîâåøü. Ìîæíî
ïðèâåñòè ïðèìåðû, ãäå íàäî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó äëÿ ∆U ,
à íå äëÿ Q. Åñëè, íàïðèìåð, â ïóñòîé ñîñóä ôèêñèðîâàííîãî
îáúåìà ââåëè íåìíîãî âîäû ìàññîé m, òî äëÿ åå èçîòåðìè÷åñêîãî èñïàðåíèÿ íàäî ñîîáùèòü åé êîëè÷åñòâî òåïëîòû ∆u ⋅ m ,
à íå λm (ðàáîòà ïàðà ðàâíà íóëþ). Òàê æå íàäî ïîñòóïàòü,
çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà, åñëè òåïëîîáìåí
ìåæäó êîíäåíñèðóþùèìñÿ ïàðîì è âîäîé ïðîèñõîäèò â
çàêðûòîì ñîñóäå ïîñòîÿííîãî îáúåìà.
Íàäî ñêàçàòü, ÷òî îáû÷íî â øêîëüíûõ çàäà÷àõ îòëè÷èåì
ìåæäó λ è ∆u ïðåíåáðåãàþò.
Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðåøåíèþ êîíêðåòíûõ çàäà÷. Â ïåðâûõ
çàäà÷àõ äëÿ ïîäñ÷åòà ìàññû ïàðà èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå
îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòè.
Çàäà÷à 1.  îäíîì ñîñóäå îáúåìîì V1 = 10 ë íàõîäèòñÿ
âîçäóõ ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ ϕ1 = 40% (èëè ϕ1 =
= 0,4), à â äðóãîì ñîñóäå îáúåìîì V2 = 30 ë – âîçäóõ ïðè
òîé æå òåìïåðàòóðå, íî ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ
ϕ2 = 60% (èëè ϕ2 = 0,6). Ñîñóäû ñîåäèíåíû òîíêîé
òðóáêîé ñ êðàíîì. Êàêàÿ îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü óñòàíîâèòñÿ ïîñëå îòêðûâàíèÿ êðàíà?
Ðåøåíèå.  äàííîì ñëó÷àå î÷åâèäíî, ÷òî â êîíå÷íîì
ñîñòîÿíèè ïàð áóäåò íåíàñûùåííûì. Çàïèøåì óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ ìàññû ïàðà, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå îòíîñèòåëüíîé
âëàæíîñòè â ôîðìå (2):
ϕ1ρíV1 + ϕ2ρíV2 = ϕ′ρí (V1 + V2 ) ,
îòêóäà íàõîäèì
ϕ V + ϕ2V2
ϕ′ = 1 1
= 0,55 , èëè ϕ′ = 55% .
V1 + V2
Çàäà÷à 2. Êàêóþ ìàññó âîäû íàäî äîïîëíèòåëüíî èñïàðèòü â êîìíàòå îáúåìîì V = 49,8 ì 3 , ÷òîáû ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 27 °C ïîâûñèòü îòíîñèòåëüíóþ âëàæíîñòü îò
ϕ1 = 25% äî ϕ2 = 50%? Äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû
ïðè òåìïåðàòóðå 27 °C ðàâíî pí = 3,6 êÏà.
Ðåøåíèå. Ìàññó âîäÿíûõ ïàðîâ â êîìíàòå ïðè äàííîé
âëàæíîñòè íàéäåì èç óðàâíåíèÿ Ìåíäåëååâà–Êëàïåéðîíà,
âûðàçèâ äàâëåíèå ïàðà ÷åðåç îòíîñèòåëüíóþ âëàæíîñòü:
p VΜ (ϕpí ) VΜ
.
(3)
=
m= ï
RT
RT
Äëÿ óâåëè÷åíèÿ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòè îò ϕ1 äî ϕ2 ïðè
ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå íàäî óâåëè÷èòü ìàññó ïàðîâ â êîìíàòå íà
(ϕ − ϕ1 ) píVΜ = 324 ã
∆m = m2 − m1 = 2
.
RT
Îòìåòèì, ÷òî â ýòîé è â ñëåäóþùåé çàäà÷àõ ðå÷ü èäåò
òîëüêî î ïàðöèàëüíîì äàâëåíèè ïàðà. Åñòü ëè â ñîñóäå åùå
è âîçäóõ, äëÿ òàêèõ çàäà÷ íå ñóùåñòâåííî.
Çàäà÷à 3.  çàêðûòîé òåïëèöå îáúåìîì V = 33,2 ì3
îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü âîçäóõà â äíåâíîå âðåìÿ ïðè
òåìïåðàòóðå t1 = 27 °C áûëà ðàâíà ϕ1 = 75%. Êàêàÿ ìàññà
ðîñû âûïàäåò â òåïëèöå íî÷üþ, êîãäà òåìïåðàòóðà ïîíèçèòñÿ äî t2 = 15 °C ? Äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû ïðè
òåìïåðàòóðå 27 °C ðàâíî pí1 = 3,6 êÏà, ïðè òåìïåðàòóðå 15 °C – pí2 = 1,7 êÏà.
Ðåøåíèå.  ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèåì çàäà÷è ðàçóìíî
ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîñêîëüêó ðîñà óæå âûïàäàåò, òî òåìïåðàòóðà îïóñòèëàñü íèæå òî÷êè ðîñû, ò.å. ïàð óæå íàõîäèòñÿ
â íàñûùåííîì ñîñòîÿíèè ( ϕ2 = 1). Ìàññó ðîñû ìîæíî
ðàññ÷èòàòü êàê ðàçíèöó ìåæäó íà÷àëüíîé ìàññîé ïàðà â
îáúåìå òåïëèöû è êîíå÷íîé ìàññîé íàñûùåííîãî ïàðà:
ϕ p VΜ pí2VΜ
mðîñû = m1 − m2 = 1 í1
−
= 223 ã .
RT1
RT2
Åñëè áû ïðåäïîëîæåíèå î âûïàäåíèè ðîñû áûëî íåâåðíûì,
òî îòâåò ïðîñèãíàëèçèðîâàë áû íàì îá ýòîì: ìàññà ðîñû
îêàçàëàñü áû îòðèöàòåëüíîé.
Çàäà÷à 4 (ÅÃÝ). Îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü âîçäóõà â
çàêðûòîì ñîñóäå ðàâíà ϕ1 = 40%. Êàêîé áóäåò îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü ïîñëå èçîòåðìè÷åñêîãî óìåíüøåíèÿ
îáúåìà â 3 ðàçà?
Ðåøåíèå. Ñðåäè ïðåäëàãàåìûõ âàðèàíòîâ åñòü è îòâåò
120%, êîòîðûé âûáèðàþò ìíîãèå øêîëüíèêè. Íà ñàìîì äåëå
óæå ïîñëå óìåíüøåíèÿ îáúåìà â 2,5 ðàçà ïàð ñòàíåò íàñûùåííûì, è ïðè äàëüíåéøåì ñæàòèè áóäåò ïðîèñõîäèòü êîíäåíñàöèÿ âîäû, à îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü îñòàíåòñÿ ðàâíîé
100%. Áîëüøå 100% îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü áûòü íå
ìîæåò.
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
 ñëåäóþùèõ òðåõ çàäà÷àõ ðå÷ü èäåò î äàâëåíèè ïàðà è
ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âîçäóõà â ñîñóäå íåò.
Çàäà÷à 5 (ÅÃÝ).  öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì ïðè êîìíàòíîé
òåìïåðàòóðå t0 äîëãîå âðåìÿ íàõîäÿòñÿ òîëüêî âîäà è åå
ïàð. Ìàññà æèäêîñòè â äâà ðàçà áîëüøå ìàññû ïàðà.
Ïåðâîíà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ïîêàçàíî òî÷êîé 1 íà
pV-äèàãðàììå (ðèñ.5,à). Ìåäëåííî ïåðåìåùàÿ ïîðøåíü,
"%
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
 ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ ðå÷ü ïîéäåò î âëàæíîì âîçäóõå, ò.å.
î ñìåñè ñóõîãî âîçäóõà ñ ïàðàìè âîäû. Äàâëåíèå âëàæíîãî
âîçäóõà ðàâíî ñóììå ïàðöèàëüíûõ äàâëåíèé ñóõîãî âîçäóõà
è âîäÿíîãî ïàðà. Ðàçíèöà ìåæäó íèìè â òîì, ÷òî ìàññà ñóõîãî
âîçäóõà â ñîñóäå íåèçìåííà, à ìàññà âîäÿíîãî ïàðà ìîæåò
èçìåíÿòüñÿ çà ñ÷åò êîíäåíñàöèè èëè èñïàðåíèÿ.
Çàäà÷à 8. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå ïëîòíîñòåé âëàæíîãî, ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ 90%, è ñóõîãî âîçäóõà ïðè
òåìïåðàòóðå t = 27 °C è äàâëåíèè p0 = 1 àòì. Äàâëåíèå
íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû ïðè ýòîé òåìïåðàòóðå ðàâíî pí =
= 3,6 êÏà.
Ðåøåíèå. Ïëîòíîñòü ñóõîãî âîçäóõà ðàâíà
ρâ =
Ðèñ. 5
îáúåì V ïîä ïîðøíåì èçîòåðìè÷åñêè óâåëè÷èâàþò îò V0 äî
6V0 . Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè äàâëåíèÿ p â öèëèíäðå îò îáúåìà V íà îòðåçêå îò V0 äî 6V0 . Óêàæèòå,
êàêèìè çàêîíîìåðíîñòÿìè âû ïðè ýòîì âîñïîëüçîâàëèñü.
Ðåøåíèå. Ïîêà âñÿ âîäà íå èñïàðèòñÿ, äàâëåíèå â ñîñóäå
áóäåò îñòàâàòüñÿ ðàâíûì äàâëåíèþ íàñûùåííîãî ïàðà ïðè
äàííîé òåìïåðàòóðå, à ïëîòíîñòü ïàðà áóäåò íåèçìåííà è
ðàâíà ïëîòíîñòè íàñûùåííîãî ïàðà. Åñëè ïðåíåáðå÷ü íà÷àëüíûì îáúåìîì âîäû, òî âñÿ âîäà èñïàðèòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà îò V0 äî 3V0 (ðèñ.5,á; ãîðèçîíòàëüíûé ó÷àñòîê
1–2). Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè îáúåìà îò 3V0 äî 6V0
ìàññà ïàðà ìåíÿòüñÿ íå áóäåò, äàâëåíèå óìåíüøèòñÿ â 2 ðàçà
â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå (ó÷àñòîê 2–3 – ãèïåðáîëà).
Çàäà÷à 6. Ñîñóä ñîäåðæèò æèäêîñòü è åå íàñûùåííûé
ïàð. Ïðè èçîòåðìè÷åñêîì óâåëè÷åíèè îáúåìà â 4 ðàçà
äàâëåíèå óìåíüøàåòñÿ â 3 ðàçà. Íàéäèòå îòíîøåíèå ìàññû
ïàðà ê ìàññå æèäêîñòè â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè. Îáúåìîì
æèäêîñòè ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå. Ýòà çàäà÷à â êàêîì-òî ñìûñëå îáðàòíàÿ ïðåäûäóùåé. Äàâëåíèå íà÷íåò óìåíüøàòüñÿ òîëüêî ïîñëå òîãî, êàê
âñÿ æèäêîñòü èñïàðèòñÿ. Ñ ýòîãî ìîìåíòà ïàð ïîä÷èíÿåòñÿ
óðàâíåíèþ Ìåíäåëååâà–Êëàïåéðîíà, ò.å. óìåíüøåíèå äàâëåíèÿ â 3 ðàçà ïðîèñõîäèò ïðè óâåëè÷åíèè â 3 ðàçà îáúåìà
ñîñóäà. Ñëåäîâàòåëüíî, íà ïåðâîì ýòàïå, ïîêà ïàð áûë
íàñûùåííûì, îáúåì ñîñóäà óâåëè÷èëñÿ â 4/3 ðàçà. Òàê êàê
ïëîòíîñòü íàñûùåííîãî ïàðà â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå íå
ìåíÿåòñÿ, òî ìàññà ïàðà çà ñ÷åò èñïàðåíèÿ óâåëè÷èëàñü â
4/3 ðàçà. Òàêèì îáðàçîì, íà÷àëüíàÿ ìàññà ïàðà â 3 ðàçà
áîëüøå íà÷àëüíîé ìàññû æèäêîñòè.
Çàäà÷à 7. Æèäêîñòü è åå íàñûùåííûé ïàð íàõîäÿòñÿ â
öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì ïðè íåêîòîðîé òåìïåðàòóðå, ïðè÷åì ìàññà ïàðà âäâîå áîëüøå ìàññû æèäêîñòè. Òåìïåðàòóðó ñèñòåìû èçîáàðíî ïîäíèìàþò äî t2 = 91 °C , îáúåì ïðè
ýòîì óâåëè÷èâàåòñÿ íà 56%. Íà ñêîëüêî ãðàäóñîâ íàãðåëè
ñîäåðæèìîå öèëèíäðà? Îáúåì æèäêîñòè ñ÷èòàòü ìàëûì ïî
ñðàâíåíèþ ñ îáúåìîì öèëèíäðà.
Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òåìïåðàòóðû, òî íà ïåðâîì ýòàïå, ïîêà âñÿ
æèäêîñòü íå èñïàðèëàñü, äëÿ ïîääåðæàíèÿ ïîñòîÿííîãî
äàâëåíèÿ íàäî ïîääåðæèâàòü ïîñòîÿííóþ òåìïåðàòóðó. Â
ýòîì ïðîöåññå îáúåì ìîæåò óâåëè÷èòüñÿ â 1,5 ðàçà (âíà÷àëå
ìàññà æèäêîñòè âäâîå ìåíüøå ìàññû ïàðà). Äàëüíåéøåå
èçîáàðíîå óâåëè÷åíèå îáúåìà â 1,56/1,5 = 1,04 ðàçà ïðîèñõîäèò ñ ïàðîì ïîñòîÿííîé ìàññû, ïîä÷èíÿþùèìñÿ óðàâíåíèþ Ìåíäåëååâà–Êëàïåéðîíà, ò.å. ñ óâåëè÷åíèåì òåìïåðàòóðû òàêæå â 1,04 ðàçà. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ðàâíà
T1 =
T2
364 Ê
=
≈ 350 Ê ,
1,04
1,04
ò.å. ñîñóä íàãðåëè íà 14 Ê.
p0Μ â
.
RT
Ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå âîäÿíîãî ïàðà ðàâíî
pï = ϕpí ,
à ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå âîçäóõà ñîñòàâëÿåò
pâ = p0 − pï = p0 − ϕpí .
Ïëîòíîñòü âëàæíîãî âîçäóõà ðàâíà
ρ′â =
( p0 − pï ) Μ â
RT
+
pïΜ ï p0Μ â pï (Μ â − Μ ï )
=
−
.
RT
RT
RT
Âèäíî, ÷òî ïëîòíîñòü âëàæíîãî âîçäóõà ìåíüøå ïëîòíîñòè
ñóõîãî âîçäóõà. Èõ îòíîøåíèå ðàâíî
ρ′â
ϕp 
Μ 
= 1 − í  1 − ï  = 0,988 .
ρâ
p0 
Μâ 
Çàäà÷à 9.  çàêðûòîì ñîñóäå ïðè òåìïåðàòóðå 100 °C
íàõîäèòñÿ âëàæíûé âîçäóõ ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ
ϕ = 40% ïîä äàâëåíèåì p1 = 2 àòì. Îáúåì ñîñóäà èçîòåðìè÷åñêè óìåíüøèëè â 3 ðàçà. ×åìó áóäåò ðàâíî êîíå÷íîå
äàâëåíèå? Îáúåìîì ñêîíäåíñèðîâàâøåéñÿ âîäû ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå. Äàâëåíèå íàñûùåííûõ âîäÿíûõ ïàðîâ ïðè
100 °C ðàâíî pí = p0 = 1 àòì = 100 êÏà. Ñëåäîâàòåëüíî,
ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå âîäÿíîãî ïàðà â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè
ðàâíî
pï1 = ϕp0 = 0,4 p0 ,
à ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ñóõîãî âîçäóõà ñîñòàâëÿåò
pâ1 = p1 − pï1 = 2 p0 − 0,4 p0 = 1,6 p0 .
Åñëè áû êîíäåíñàöèè íå áûëî, òî ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ïàðà
óâåëè÷èëîñü áû â 3 ðàçà è ñòàëî áû áîëüøå äàâëåíèÿ
íàñûùåííîãî ïàðà, ÷òî íåâîçìîæíî. Çíà÷èò, â êàêîé-òî
ìîìåíò êîíäåíñàöèÿ íà÷àëàñü, è ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ïàðà
ñòàëî ðàâíî äàâëåíèþ íàñûùåííîãî ïàðà:
pï2 = pí = p0 .
Äàâëåíèå ñóõîãî âîçäóõà óâåëè÷èëîñü â 3 ðàçà è ñòàëî ðàâíî
pâ2 = 3 pâ1 = 4,8 p0 .
Êîíå÷íîå äàâëåíèå â ñîñóäå áóäåò ðàâíî
p2 = pâ2 + pï2 = 5,8 p0 = 580 êÏà .
Çàäà÷à 10.  çàêðûòîì ñîñóäå ïðè òåìïåðàòóðå
100 °C íàõîäèòñÿ âëàæíûé âîçäóõ ïîä äàâëåíèåì p1 =
= 2 àòì. Ïîñëå òîãî êàê îáúåì ñîñóäà èçîòåðìè÷åñêè
óìåíüøèëè â 5 ðàç, äàâëåíèå óâåëè÷èëîñü â 4 ðàçà. ×åìó
áûëà âíà÷àëå ðàâíà îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü (â ïðîöåíòàõ)? Îáúåìîì ñêîíäåíñèðîâàâøåéñÿ âîäû ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå. Åñëè áû â ïðîöåññå ñæàòèÿ êîíäåíñàöèÿ âîäû íå
íà÷àëàñü, òî ìàññà ãàçà íå ìåíÿëàñü áû è äàâëåíèå óâåëè÷èëîñü áû â 5 ðàç. Ïîñêîëüêó äàâëåíèå óâåëè÷èëîñü â 4 ðàçà,
òî, çíà÷èò, íà÷àëàñü êîíäåíñàöèÿ, è ñ ýòîãî ìîìåíòà ïàð
"&
ÊÂÀÍT 2014/¹3
íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè íàñûùåíèÿ:
pï2 = pí = p0 .
Ñëåäîâàòåëüíî, êîíå÷íîå ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ñóõîãî âîçäóõà ðàâíî
pâ2 = p2 − pï2 = 4 p1 − pï2 = 8 p0 − p0 = 7 p0 .
Ïîñêîëüêó ìàññà ñóõîãî âîçäóõà íå ìåíÿåòñÿ, åãî íà÷àëüíîå
äàâëåíèå â 5 ðàç ìåíüøå:
p
pâ1 = â2 = 1,4 p0 .
5
Ñëåäîâàòåëüíî, ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå âîäÿíîãî ïàðà â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ðàâíî
Çàäà÷à 13.  ñîñóäå îáúåìîì V1 = 20 ë íàõîäÿòñÿ âîäà,
âîäÿíîé ïàð è âîçäóõ ïðè äàâëåíèè p1 = 3 àòì. Ïðè
èçîòåðìè÷åñêîì ðàñøèðåíèè äî V2 = 40 ë â ñîñóäå ñîõðàíÿåòñÿ íåìíîãî âîäû, à äàâëåíèå óìåíüøàåòñÿ äî p2 = 2 àòì.
Íàéäèòå ìàññó âîäû, èñïàðèâøåéñÿ â ïðîöåññå ðàñøèðåíèÿ.
Îáúåìîì æèäêîñòè ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ïàð îñòàåòñÿ íàñûùåííûì, åãî ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå íå ìåíÿåòñÿ è ñîõðàíÿåòñÿ ðàâíûì pí , à
äàâëåíèå ñóõîãî âîçäóõà óìåíüøàåòñÿ â 2 ðàçà. Ïîëó÷àåì
óðàâíåíèÿ
p1 = pí + pâ1,
îòêóäà íàõîäèì
pí = 1 àòì .
pï1 = p1 − pâ1 = 2 p0 − 1,4 p0 = 0,6 p0 ,
à åãî îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü ñîñòàâëÿåò
0,6 p0
p
ϕ1 = ï1 ⋅ 100% =
⋅ 100% = 60% .
pí
p0
Çàäà÷à 11.  çàêðûòîì ñîñóäå îáúåìîì V = 83 ë íàõîäèòñÿ âëàæíûé âîçäóõ ïðè òåìïåðàòóðå t = 87 °C . Âíà÷àëå
äàâëåíèå â ñîñóäå p1 = 60 êÏà, âëàæíîñòü ϕ1 = 40%. Êàêèì
ñòàëî äàâëåíèå ïîñëå òîãî, êàê â ñîñóä ââåëè ∆m = 20 ã
âîäû? Äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ïðè 87 °C ñîñòàâëÿåò
pí = 60 êÏà. Îáúåìîì âîäû ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå. Íàäî âûÿñíèòü, èñïàðèòñÿ ëè âñÿ äîáàâëåííàÿ
âîäà è ïàð ïðè ýòîì îñòàíåòñÿ íåíàñûùåííûì èëè èñïàðèòñÿ
òîëüêî ÷àñòü âîäû è ïàð ñòàíåò íàñûùåííûì. Íà÷àëüíîå
ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ïàðà ðàâíî pï1 = ϕ1pí = 24 êÏà,
ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ñóõîãî âîçäóõà ðàâíî pâ = pí –
– pï1 = 36 êÏà. Âû÷èñëèì, êàêîå äàâëåíèå ñîçäàâàë áû
äîïîëíèòåëüíûé ïàð, åñëè áû âñÿ âîäà èñïàðèëàñü:
∆pï =
∆mRT
= 40 êÏà .
ΜV
 ýòîì ñëó÷àå ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ïàðà áûëî áû ðàâíî
24 êÏà + 40 êÏà = 64 êÏà, ÷òî áîëüøå äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà. Çíà÷èò, â ñîñóäå áóäåò âîäà è íàñûùåííûé ïàð,
à äàâëåíèå â ñîñóäå ñòàíåò
p2 = pâ + pí = 96 êÏà .
Çàäà÷à 12.  ñîñóä, çàïîëíåííûé âîçäóõîì ïðè äàâëåíèè
p0 = 1 àòì ïðè òåìïåðàòóðå t0 = −23 °C , ïîìåñòèëè
ìàëåíüêóþ ëüäèíêó, ïîñëå ÷åãî ãåðìåòè÷åñêè åãî çàêðûëè.
Çàòåì ñîñóä íàãðåëè äî òåìïåðàòóðû t1 = 227 °C , è îêàçàëîñü, ÷òî äàâëåíèå â íåì ïîâûñèëîñü äî p1 = 3 àòì. Êàêîâà
áóäåò îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü âîçäóõà â ñîñóäå ïîñëå åãî
îõëàæäåíèÿ äî òåìïåðàòóðû t2 = 100 °C ?
Ðåøåíèå. Âîçíèêàåò äâà âîïðîñà: áóäåò ëè ïàð íàñûùåííûì ïîñëå íàãðåâàíèÿ è åñëè íåò, òî ñòàíåò ëè îí íàñûùåííûì ïîñëå îõëàæäåíèÿ? Íà÷àëüíîå äàâëåíèå ïàðà íè÷òîæíî
ìàëî, ïîýòîìó âñå íà÷àëüíîå äàâëåíèå p0 ñîçäàåòñÿ òîëüêî
ñóõèì âîçäóõîì. Ïîñëå óâåëè÷åíèÿ àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðû â 2 ðàçà äàâëåíèå ñóõîãî âîçäóõà óâåëè÷èòñÿ â 2 ðàçà è
ñòàíåò pâ1 = 2 àòì. Çíà÷èò, ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ïàðà
ñîñòàâèò pï1 = p1 − pâ1 = 1 àòì. Äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà
ðàâíî 1 àòì ïðè 100 °C , ïðè 227 °C îíî ãîðàçäî áîëüøå,
çíà÷èò, ïîñëå íàãðåâàíèÿ â ñîñóäå âîäû íå áóäåò. Ïàð
îñòàíåòñÿ íåíàñûùåííûì è ïîñëå îõëàæäåíèÿ ñîñóäà äî
100 °C , ïîñêîëüêó åãî äàâëåíèå ñòàíåò ìåíüøå pí = 1 àòì.
Êîíå÷íîå äàâëåíèå ïàðà íàéäåì èç óñëîâèÿ èçîõîðíîãî
îõëàæäåíèÿ:
pï2 = pï1
Ñëåäîâàòåëüíî, ñîñóä íàõîäèòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå T = 373 Ê.
Ïðè ýòîì ìàññà èñïàðèâøåéñÿ âîäû ðàâíà
p (V − V1 ) Μ
∆m = í 2
= 11,6 ã .
RT
 ñëåäóþùèõ äâóõ çàäà÷àõ êðîìå çàêîíîâ, îïèñûâàþùèõ
ñâîéñòâà âîäÿíûõ ïàðîâ, èñïîëüçóþòñÿ óðàâíåíèÿ ãèäðîñòàòèêè.
Çàäà÷à 14. Äëèííóþ ïðîáèðêó çàïîëíÿþò âîäîé è îïóñêàþò â øèðîêèé ñîñóä ñ âîäîé îòêðûòûì êîíöîì âíèç (ðèñ.
6,à). Äëèíà âûñòóïàþùåé íàä âîäîé ÷àñòè ïðîáèðêè ðàâíà
0,5 ì, ó âåðõíåãî êîíöà îñòàëñÿ ìàëåíüêèé ïóçûðåê âîçäóõà.
Êàêîé áóäåò ðàçíèöà ìåæäó óðîâíÿìè âîäû â ïðîáèðêå è â ñîñóäå, åñëè ïðîáèðêó íàãðåòü äî 100 °C ?
Ðåøåíèå. Ïðè íàãðåâàíèè äî 100 °C â ïóçûðüêå,
çàïîëíåííîì âîäÿíûì ïàðîì, äàâëåíèå ïîäíèìåòñÿ
äî 1 àòì, è ãðàíèöà ìåæäó
Ðèñ. 6
âîäÿíûì ïàðîì è âîäîé îïóñòèòñÿ äî óðîâíÿ âîäû â
ñîñóäå (ðèñ.6,á).
Çàäà÷à 15.  äëèííîé U-îáðàçíîé òðóáêå íàõîäèòñÿ
âîäà ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 0 °C . Ëåâîå êîëåíî òðóáêè
çàïàÿíî, ïðàâîå îòêðûòî, ðàññòîÿíèå îò çàêðûòîãî êîíöà äî óðîâíÿ âîäû h = 0,1 ì (ðèñ.7,à). Íà÷àëüíîå äàâëåíèå
âîçäóõà â ëåâîì êîëåíå p0 = 1 àòì. Íà ñêîëüêî îïóñòèòñÿ óðîâåíü âîäû â ëåâîì êîëåíå, åñëè åãî íàãðåòü äî
òåìïåðàòóðû t2 = 100 °C ?
Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óðîâåíü âîäû â ëåâîì êîëåíå îïóñòèòñÿ íà x < h (âîäà íå âûëèâàåòñÿ èç ïðàâîãî
êîëåíà). Ïðåíåáðåãàÿ íà÷àëüíûì äàâëåíèåì ïàðîâ, ïîëó÷èì, ÷òî êîíå÷íîå äàâëåíèå âîçäóõà â ëåâîì êîëåíå áóäåò
ðàâíî ãèäðîñòàòè÷åñêîìó äàâëåíèþ âîäû â ïðàâîì êîëåíå
(ðèñ.7,á):
pâ2 + pí = p0 + ρg ⋅ 2x ,
à ïîñêîëüêó ïðè 100 °C pí = p0 , òî pâ2 = 2ρgx . Ïîäñòàâëÿÿ
373 Ê
T2
= 1 àòì ⋅
= 0,746 àòì .
500 Ê
T1
Ñîîòâåòñòâåííî, îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü áóäåò 74,6%.
p2 = pí + 0,5 pâ1 ,
Ðèñ. 7
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
â óðàâíåíèå ãàçîâîãî ñîñòîÿíèÿ äëÿ ñóõîãî âîçäóõà
p0hS pâ2 (h + x ) S
=
,
T1
T2
Çíà÷èò, ÷åòûðåõõëîðèñòûé óãëåðîä âûêèïàåò â 25 ðàç áûñòðåå âîäû.
p0h T2
=0,
2ρg T1
èç êîòîðîãî íàõîäèì x = 0,78 ì. Ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî
âîäà íå âûòåêàåò èç ïðàâîãî êîëåíà, îêàçàëîñü íåâåðíûì. Â
òàêîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ãèäðîñòàòè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ïðèîáðåòàåò âèä (ðèñ.7,â):
pâ2 + pí = p0 + ρg (h + x ) ,
è óðàâíåíèå ãàçîâîãî ñîñòîÿíèÿ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
p0h ρg (h + x )
=
.
T1
T2
2
Îòñþäà ïîëó÷àåì
x=
îòêóäà íàéäåì èõ îòíîøåíèå:
m2 pí2Μ 2 558 ìì ðò.ñò. ⋅ 152 ã ìîëü
=
=
≈ 25 .
192 ìì ðò.ñò. ⋅ 18 ã ìîëü
m1
pí1Μ1
ïðèõîäèì ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ
x2 + hx −
"'
p0h T2
− h = 1,07 ì .
ρg T1
Ïîñëåäíÿÿ çàäà÷à õîðîøî èëëþñòðèðóåò ïðîöåññ êèïåíèÿ.
Çàäà÷à 16.  ñòàêàí íàëèòû äâå íåñìåøèâàþùèåñÿ æèäêîñòè: ÷åòûðåõõëîðèñòûé óãëåðîä CCl4 è âîäà. Ïðè
íîðìàëüíîì àòìîñôåðíîì äàâëåíèè CCl4 êèïèò ïðè
76,7 °C , âîäà – ïðè 100 °C . Ïðè ðàâíîìåðíîì íàãðåâàíèè
ñòàêàíà â âîäÿíîé áàíå êèïåíèå íà ãðàíèöå ðàçäåëà æèäêîñòåé íà÷èíàåòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå 65,5 °C . Îïðåäåëèòå,
êàêàÿ èç æèäêîñòåé áûñòðåå âûêèïàåò ïðè òàêîì «ïîãðàíè÷íîì» êèïåíèè è âî ñêîëüêî ðàç. Äàâëåíèå íàñûùåííûõ
ïàðîâ âîäû ïðè 65,5 °C ñîñòàâëÿåò 192 ìì ðò. ñò.
Ðåøåíèå. Ïóçûðåê íà ãðàíèöå äâóõ æèäêîñòåé çàïîëíåí
ñìåñüþ íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû è CCl4 ïðè äàííîé òåìïåðàòóðå. Ïîãðàíè÷íîå êèïåíèå íàñòóïàåò òîãäà, êîãäà äàâëåíèå â ïóçûðüêå ñðàâíèâàåòñÿ ñ àòìîñôåðíûì, ò.å. ñòàíîâèòñÿ
ðàâíûì â Ìîñêâå, íàïðèìåð, 750 ìì ðò.ñò. Ñëåäîâàòåëüíî,
äàâëåíèå CCl4 ïðè ýòîé òåìïåðàòóðå áóäåò ðàâíî
pí2 = p0 − pí1 = (750 − 192) ìì ðò.ñò. = 558 ìì ðò.ñò.
Ìàññó êàæäîãî ïàðà â ïóçûðüêå âûðàçèì èç óðàâíåíèÿ
Ìåíäåëååâà–Êëàïåéðîíà:
p V Μ1
p VΜ 2
m1 = í1
, m2 = í2
,
RT
RT
Óïðàæíåíèÿ
1. Äëÿ ïîâûøåíèÿ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòè íà 20%
( ϕ2 − ϕ1 = 0,2 ) ïðè òåìïåðàòóðå 20 °C â êîìíàòå îáúåìîì 50 ì 3
ïîíàäîáèëîñü èñïàðèòü 180 ã âîäû. Íàéäèòå ïëîòíîñòü (â ã ì 3 )
íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû ïðè òåìïåðàòóðå 20 °C .
2.  çàêðûòîé òåïëèöå îáúåìîì 33,2 ì3 îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü âîçäóõà â íî÷íîå âðåìÿ ïðè òåìïåðàòóðå 15 °C áûëà ðàâíà
92%. Êàêóþ ìàññó (â ã) âîäû íàäî áóäåò äîïîëíèòåëüíî èñïàðèòü â òåïëèöå äíåì, êîãäà òåìïåðàòóðà ïîâûñèòñÿ äî 27 °C ,
÷òîáû îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü íå óïàëà íèæå 75%? Äàâëåíèå
íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû ïðè òåìïåðàòóðå 15 °C ðàâíî 1,7 êÏà,
ïðè òåìïåðàòóðå 27 °C – 3,6 êÏà.
3. Â ñîñóäå ïðè òåìïåðàòóðå 100 °C íàõîäèòñÿ âëàæíûé
âîçäóõ ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ 40% ïîä äàâëåíèåì 1 àòì.
Îáúåì ñîñóäà èçîòåðìè÷åñêè óìåíüøàþò â 5 ðàç. ×åìó áóäåò
ðàâíî êîíå÷íîå äàâëåíèå (â àòì)? Îáúåìîì ñêîíäåíñèðîâàâøåéñÿ âîäû ïðåíåáðå÷ü.
4.  ñîñóäå ïðè òåìïåðàòóðå 100 °C íàõîäèòñÿ âëàæíûé âîçäóõ ïîä äàâëåíèåì 1 àòì. Ïîñëå èçîòåðìè÷åñêîãî óìåíüøåíèÿ
îáúåìà â 4 ðàçà äàâëåíèå óâåëè÷èëîñü â 3,8 ðàçà. ×åìó áûëà
ðàâíà îòíîñèòåëüíàÿ âëàæíîñòü (â ïðîöåíòàõ) â íà÷àëüíîì
ñîñòîÿíèè? Îáúåìîì ñêîíäåíñèðîâàâøåéñÿ âîäû ïðåíåáðå÷ü.
5. Â çàêðûòîì ñîñóäå ïðè òåìïåðàòóðå 100 °C íàõîäèòñÿ
âëàæíûé âîçäóõ ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ 40% ïîä äàâëåíèåì 1 àòì. Îáúåì ñîñóäà èçîòåðìè÷åñêè óìåíüøèëè â 5 ðàç. Âî
ñêîëüêî ðàç íàäî âìåñòî ýòîãî óâåëè÷èòü àáñîëþòíóþ òåìïåðàòóðó, ÷òîáû ïîëó÷èòü òàêîå æå êîíå÷íîå äàâëåíèå? Îáúåìîì
ñêîíäåíñèðîâàâøåéñÿ âîäû ïðåíåáðå÷ü.
6. Â çàêðûòîì ñîñóäå îáúåìîì 83 ë íàõîäèòñÿ âëàæíûé
âîçäóõ ïðè òåìïåðàòóðå 87 °C . Âíà÷àëå äàâëåíèå â ñîñóäå áûëî
60 êÏà, âëàæíîñòü áûëà 40%. Êàêèì ñòàëî äàâëåíèå (â êÏà)
ïîñëå òîãî, êàê â ñîñóä ââåëè 16 ã âîäû? Äàâëåíèå íàñûùåííîãî
ïàðà ïðè 87 °C ñîñòàâëÿåò 60 êÏà. Îáúåìîì âîäû ïðåíåáðå÷ü.
7. Â çàêðûòîì ñîñóäå îáúåìîì 83 ë íàõîäèòñÿ âëàæíûé
âîçäóõ ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ 60% ïðè òåìïåðàòóðå
87 °C . Êàêàÿ ìàññà âîäû (â ã) ñêîíäåíñèðóåòñÿ ïðè èçîòåðìè÷åñêîì óìåíüøåíèè îáúåìà ñîñóäà â 2 ðàçà? Äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ïðè 87 °C ñîñòàâëÿåò 60 êÏà. Îáúåìîì ñêîíäåíñèðîâàâøåéñÿ âîäû ïðåíåáðå÷ü.
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
ÇÀÎ×ÍÀß ØÊÎËÀ ÑÓÍÖ ÍÃÓ
 íîâîñèáèðñêîì Àêàäåìãîðîäêå â ñîñòàâå Ñïåöèàëèçèðîâàííîãî ó÷åáíî-íàó÷íîãî öåíòðà Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÓÍÖ ÍÃÓ) ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî è õèìèêî-áèîëîãè÷åñêîãî ïðîôèëÿ óæå áîëåå 45 ëåò
ðàáîòàåò Çàî÷íàÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ øêîëà (ÇØ) äëÿ
ó÷àùèõñÿ 5–11 êëàññîâ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ øêîë.
Ó÷àùèåñÿ ÇØ, óñïåøíî âûïîëíèâøèå âñå çàäàíèÿ, ïî
îêîí÷àíèè îäèííàäöàòîãî êëàññà ïîëó÷àþò óäîñòîâåðåíèå
âûïóñêíèêîâ Çàî÷íîé øêîëû ÑÓÍÖ ÍÃÓ.
Ïðåïîäàâàòåëè îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ ó÷ðåæäåíèé ìîãóò
ðàáîòàòü ïî ïðîãðàììàì Çàî÷íîé øêîëû ÑÓÍÖ ÍÃÓ â
ôîðìå ôàêóëüòàòèâíûõ çàíÿòèé ñ ãðóïïîé ó÷àùèõñÿ.
Åæåãîäíî ëó÷øèå ó÷åíèêè 8–10 êëàññîâ ÇØ ïðèãëàøàþòñÿ â Ëåòíþþ øêîëó, êîòîðàÿ ïðîâîäèòñÿ â íîâîñèáèðñêîì
Àêàäåìãîðîäêå ñ 1 ïî 23 àâãóñòà, äëÿ ó÷àñòèÿ â êîíêóðñå â
ÑÓÍÖ ÍÃÓ.
 ÇØ ÑÓÍÖ ÍÃÓ ïðèíèìàþòñÿ âñå æåëàþùèå, íåçàâèñèìî îò âîçðàñòà. Ïðèåì â øêîëó âåäåòñÿ êðóãëîãîäè÷íî.
×òîáû ñòàòü ó÷åíèêîì ÇØ, íåîáõîäèìî ïðèñëàòü çàÿâëåíèå,
óêàçàâ êëàññ è îòäåëåíèÿ, íà êîòîðûõ âû õîòèòå ó÷èòüñÿ,
ñâîè ôàìèëèþ, èìÿ è îò÷åñòâî (ïå÷àòíûìè áóêâàìè), ñâîé
ïîäðîáíûé àäðåñ ñ èíäåêñîì è âûïîëíåííîå ïåðâîå çàäàíèå.
Çàäàíèå âûïîëíÿåòñÿ â îáû÷íîé ó÷åíè÷åñêîé òåòðàäè è
âûñûëàåòñÿ ïðîñòîé èëè çàêàçíîé áàíäåðîëüþ.
Ìîæíî ïðèñûëàòü ðàáîòû è ïî ýëåêòðîííîé ïî÷òå. Òðåáîâàíèÿ ê îôîðìëåíèþ ðàáîò â ýëåêòðîííîì âèäå è ïîäðîáíóþ
èíôîðìàöèþ ìîæíî íàéòè íà ñàéòå çàî÷íîé øêîëû http://
zfmsh.nsu.ru
Íàø àäðåñ: 630090 Íîâîñèáèðñê, óë. Ïèðîãîâà, 11, Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ
#
ÊÂÀÍT 2014/¹3
Òåëåôîí/ôàêñ: (383) 363-40-66
E-mail: distant@sesc.nsu.ru èëè zfmsh@yandex.ru
Ïåðâûå çàäàíèÿ íà 2014/15 ó÷åáíûé ãîä
Ìàòåìàòè÷åñêîå îòäåëåíèå
Ìàòåìàòèêà
9 êëàññ
1. Òîì Ñîéåð ìîæåò ïîêðàñèòü ñâîé çàáîð çà 2 äíÿ, åãî
ïðèÿòåëü Äæîííè Ìèëëåð – çà 3 äíÿ, à ïðèÿòåëü Áèëëè
Ôèøåð – çà 6 äíåé. Çà ñêîëüêî äíåé îíè âìåñòå ìîãóò
ïîêðàñèòü ýòîò çàáîð?
2. Òî÷êà Å – ñåðåäèíà ñòîðîíû AC òðåóãîëüíèêà ABC, à
òî÷êè M, H äåëÿò ñòîðîíó BC íà òðè ðàâíûå ÷àñòè, BM =
= MH = HC. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà EMH, åñëè
ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà S.
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
(12x − 1)(6x − 1)(4x − 1)(3x − 1) = 5 .
4.  òðåóãîëüíèêå ABC òî÷êà D ïðèíàäëåæèò ñòîðîíå AC,
ïðè÷åì AD : AC = n, 0 < n < 1, à òî÷êà Ì ïðèíàäëåæèò
ñòîðîíå ÂÑ, ïðè÷åì ÂÌ : ÌÑ = 2 : 1. Íàéäèòå, â êàêîì
îòíîøåíèè ÀÌ äåëèò BD.
5.  ïà÷êå èç n áàíêíîò, 50 ≤ n ≤ 150 , ñîäåðæèòñÿ 36%
ôàëüøèâûõ. Ïîñëå òîãî êàê èç ïà÷êè âûòàùèëè 6 íàèáîëåå
ìåëêèõ ïî äîñòîèíñòâó êóïþð, ôàëüøèâûå ñòàëè ñîñòàâëÿòü
ðîâíî (1/3)-þ ÷àñòü îñòàâøèõñÿ â ïà÷êå. Ñêîëüêî áàíêíîò
áûëî â ïà÷êå?
6.  êâàäðàòå ñî ñòîðîíîé 1ì íàõîäÿòñÿ 20 òî÷åê. Íàéäóòñÿ
ëè 3 èç íèõ, êîòîðûå ìîæíî íàêðûòü êâàäðàòîì ñî ñòîðîíîé
1/3 ì?
10 êëàññ
1.  ìåæäóíàðîäíîì øàõìàòíîì òóðíèðå â ãîðîäå ÍüþÂàñþêè ó÷àñòâîâàëè ãðîññìåéñòåðû Îñòàï, Èïïîëèò è Àëåêñàíäð. Åñëè áû Îñòàï áûë áîëåå óäà÷ëèâ è âûèãðàë áû â 2
ðàçà áîëüøå ïàðòèé, ÷åì ñóìåë âûèãðàòü, òî âìåñòå ñ
ïîáåäàìè Èïïîëèòà ïîëó÷èëîñü áû 5 ïîáåä. À åñëè áû
Àëåêñàíäð ñûãðàë ëó÷øå è âûèãðàë áû â 2 ðàçà áîëüøå
ïàðòèé, ÷åì ñóìåë âûèãðàòü, òî âìåñòå ñ ïîáåäàìè Èïïîëèòà
ïîëó÷èëîñü áû 7 ïîáåä.
1) Êàêîå îáùåå ÷èñëî ïîáåä îäåðæàëè Îñòàï, Èïïîëèò è
Àëåêñàíäð?
2) Ñêîëüêî ïîáåä îäåðæàë êàæäûé ãðîññìåéñòåð, åñëè
êàæäûé âûèãðàë íå ìåíåå îäíîé ïàðòèè, à ëó÷øèé ðåçóëüòàò
ïîêàçàë Àëåêñàíäð?
2. Òî÷êè M, N è P ëåæàò íà ñòîðîíàõ ÀÂ, ÂÑ è ÀÑ
òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, ïðè÷åì ÀÌ : À = BN : BC = CP : CA =
= 1 : 3. Ïðÿìûå ÑÌ, AN, BP, ïåðåñåêàÿñü, îãðàíè÷èâàþò
òðåóãîëüíèê, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà S. Íàéäèòå ïëîùàäü
òðåóãîëüíèêà ABC.
3. Òðàâà íà ëóãó ðàñòåò îäèíàêîâî ãóñòî è áûñòðî. Èçâåñòíî, ÷òî 70 êîðîâ ïîåëè áû åå çà 24 äíÿ, à 30 êîðî⠖ çà 60 äíåé.
Ñêîëüêî êîðîâ ïîåëè áû òðàâó çà 96 äíåé? (Èçâåñòíî, ÷òî
êîðîâû ïîåäàþò òðàâó ðàâíîìåðíî.)
4. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü, åñëè êîíöû åãî ñòîðîíû, ðàâíîé 20 ñì, îòñòàþò îò
êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ÷åðåç ïðîòèâîïîëîæíóþ âåðøèíó, íà 25 ñì è 16 ñì.
5. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè íè îäíî èç 5 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
k1, k2, k3, k4, k5 íå äåëèòñÿ íà 5, òî äåëèòñÿ íà 5 ñóììà
íåñêîëüêèõ ðÿäîì ñòîÿùèõ ÷èñåë.
6. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
(x
2
)
(
)
− 4 ( x + 1) x2 + x + 1 > 0 .
11 êëàññ
1. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé
2
2
 x + y = 25,
 2
 y − x = 5.
2. Ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ðàâíà à, AD –
åãî âûñîòà. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ
ñòîðîíû ÀÑ, âûñîòû AD è îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà
ÀÂÑ îêðóæíîñòè.
3.  ïåðâîé êîðîáêå íàõîäèëîñü íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî
êðàñíûõ øàðîâ, à âî âòîðîé – ñèíèõ, ïðè÷åì ÷èñëî êðàñíûõ øàðîâ ñîñòàâëÿëî 15/19 îò ÷èñëà ñèíèõ øàðîâ. Êîãäà
èç êîðîáîê óáðàëè 3/7 êðàñíûõ øàðîâ è 2/5 ñèíèõ, òî â
ïåðâîé êîðîáêå îñòàëîñü ìåíåå 1000 øàðîâ, à âî âòîðîé –
áîëåå 1000 øàðîâ. Ñêîëüêî øàðîâ áûëî ïåðâîíà÷àëüíî â
êàæäîé êîðîáêå?
4. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à ôóíêöèÿ
f (x ) =
10
(a − 2 ) x + 2ax + (3a − 1)
2
îïðåäåëåíà ïðè x ∈ ( −∞; +∞ ) ?
5. Äëèíà êàæäîãî ðåáðà òåòðàýäðà ABCD ðàâíà à. Íà
ðåáðàõ DA, DC, BC ðàñïîëîæåíû òî÷êè M, N, P òàê, ÷òî
DM = CN = à/3, CP = a/5. Ïîñòðîéòå ñå÷åíèå òåòðàýäðà
ïëîñêîñòüþ MNP è íàéäèòå äëèíó îòðåçêà BQ, ãäå
Q = MNP ∩ AB .
6. Äîêàæèòå, ÷òî èç 7 ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìîæíî
âûáðàòü 2 òàê, ÷òîáû èõ ñóììà èëè ðàçíîñòü îêàí÷èâàëàñü
íà 0.
Ôèçè÷åñêîå îòäåëåíèå
Ôèçèêà
7 êëàññ
1. Âûïîëíèòå ïåðâóþ ÷àñòü Çàäàíèÿ 1 èç ó÷åáíèêà À.Â.Ïåðûøêèíà äëÿ 7 êëàññà:
Èçìåðüòå ëèíåéêîé ñ ìèëëèìåòðîâûìè äåëåíèÿìè äëèíó è
øèðèíó âàøåãî ó÷åáíèêà. Çàïèøèòå ðåçóëüòàòû ñ ó÷åòîì
ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé.
2. Ïî ðåçóëüòàòàì ïðåäûäóùèõ èçìåðåíèé îïðåäåëèòå
ïëîùàäü îáëîæêè ó÷åáíèêà. Ïðèâåäèòå îòâåò ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé.
3. Èçìåðüòå ñ ïîìîùüþ ëèíåéêè ñ ìèëëèìåòðîâûìè äåëåíèÿìè äèàìåòð òîíêîé (ìåíåå ìèëëèìåòðà) ìÿãêîé ïðîâîëîêè.
4. Ïðèäóìàéòå ñïîñîá, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ìîæíî îïðåäåëèòü îáúåì íåáîëüøîãî òÿæåëîãî òåëà íåïðàâèëüíîé ôîðìû,
íàïðèìåð êàìíÿ. Îïðåäåëèòå îáúåì êîíêðåòíîãî òåëà ñ
÷èñëîâûìè ðåçóëüòàòàìè.
5. Ïàññàæèð, îïîçäàâøèé íà äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ v
ïîåçä, óâèäåë åãî ïîñëåäíèé âàãîí íà ðàññòîÿíèè L. Ñ êàêîé
ñêîðîñòüþ u îí äîëæåí áåæàòü, ÷òîáû äîñòè÷ü ïîåçäà çà
âðåìÿ t?
8 êëàññ
1. Íà äíå ñîñóäà ñ âîäîé ëåæèò ìåäíûé øàð ìàññîé m =
= 1 êã. Íàéäèòå ñèëó, ñ êîòîðîé øàð äàâèò íà äíî. Ïëîòíîñòü
ìåäè ρ = 8,9 ⋅ 103 êã ì 3 .
2. Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ íà âñåì ïóòè v =
= 60 êì ÷ . Ïåðâóþ ïîëîâèíó ïóòè îí åõàë ñî ñêîðîñòüþ
v1 = 50 êì ÷ . Ñ êàêîé ñðåäíåé ñêîðîñòüþ v2 àâòîìîáèëü
ïðîåõàë âòîðóþ ïîëîâèíó ïóòè?
3. Äâà ïîåçäà äëèíîé L = 500 ì êàæäûé äâèæóòñÿ ïî
ïàðàëëåëüíûì ïóòÿì â îäíîì íàïðàâëåíèè. Ñêîðîñòü ïåðâîãî v1 = 70 êì ÷ , ñêîðîñòü âòîðîãî v2 = 90 êì ÷ . Â íåêîòî-
#
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
ðûé ìîìåíò âðåìåíè îáå «ãîëîâû» ïîåçäîâ ðàâíÿþòñÿ.
Ñêîëüêî âðåìåíè ïîíàäîáèòñÿ âòîðîìó ïîåçäó, ÷òîáû ïîëíîñòüþ îáîãíàòü ïåðâûé?
4. Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïðèñòàíÿìè íà ðåêå s = 144 êì.
Ñêîëüêî âðåìåíè ïîòðåáóåòñÿ êàòåðó äëÿ ñîâåðøåíèÿ ðåéñà
ìåæäó ïðèñòàíÿìè òóäà è îáðàòíî, åñëè ñêîðîñòü êàòåðà â
ñòîÿ÷åé âîäå v = 18 êì/÷, à ñêîðîñòü òå÷åíèÿ âîäû u =
= 3 ì/ñ?
5. Â øàõòå íà ãëóáèíå Í = 100 ì êàæäóþ ìèíóòó ïðèáûâàåò
îáúåì V = 4,5 ì 3 âîäû. Êàêîé ìîùíîñòè N íàñîñ òðåáóåòñÿ
äëÿ îòêà÷êè ýòîé âîäû íà ïîâåðõíîñòü?
9 êëàññ
1. Ïîñëå ïðèâàëà íà áåðåãó ïðèòîêà ðåêè îäíà êîìàíäà
âûøëà ê ñëåäóþùåìó ïóíêòó ïåøêîì ïî ïðÿìîìó ìàðøðóòó,
à äðóãàÿ îòïðàâèëàñü òóäà ïî ðåêå íà ïëîòó.  êîíå÷íûé
ïóíêò îáå êîìàíäû ïðèáûëè îäíîâðåìåííî. Îïðåäåëèòå
ñðåäíþþ ñêîðîñòü ïåðåäâèæåíèÿ ïåøåé êîìàíäû, åñëè êîìàíäà íà ïëîòó ïðîøëà ó÷àñòîê ïóòè ïî ïðèòîêó çà âðåìÿ t1 ,
à ïî ðåêå – çà âðåìÿ t2 . Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ïðèòîêà v1 , ðåêè
v2 , ïðè÷åì ïðèòîê ïåðïåíäèêóëÿðåí ðåêå.
2. Áàðæà ïðè ïåðåìåùåíèè èç ìîðÿ â ðåêó óâåëè÷èëà ñâîå
ïîãðóæåíèå â âîäó íà ∆h = 3 ñì . Îïðåäåëèòå ïëîòíîñòü
ìîðñêîé âîäû. Ìàññà áàðæè m = 1000 ò, ïëîùàäü åå ïàëóáû
S = 1000 ì2 , áîðòà áàðæè âåðòèêàëüíûå. Ïëîòíîñòü ïðåñíîé
âîäû ρ = 1000 êã ì 3 .
3. Èìåþòñÿ äâå êîëáû: îäíà ïîëíîñòüþ çàïîëíåíà âîäîé,
âòîðàÿ – íàïîëîâèíó. Ïîñëå òîãî êàê ïîëîâèíó âîäû èç
ïåðâîé êîëáû ïåðåëèëè âî âòîðóþ, ïåðåìåøàëè ñîäåðæèìîå
âòîðîé êîëáû è çàòåì ïîëîâèíó âòîðîé êîëáû îáðàòíî
ïåðåëèëè â ïåðâóþ, òåìïåðàòóðà â ïåðâîé êîëáå ïîâûñèëàñü
íà 10 °C . Íà ñêîëüêî ïåðâîíà÷àëüíî âîäà âî âòîðîé êîëáå
áûëà òåïëåå, ÷åì â ïåðâîé?
4. Ëîäêó çà âåðåâêó òÿíóò ê áåðåãó. Îäèí ÷åëîâåê íà áåðåãó
òÿíåò êîíåö âåðåâêè ñî ñêîðîñòüþ v, âòîðîé ÷åëîâåê íà ëîäêå
ïåðåáèðàåò âåðåâêó, ïîìîãàÿ ïåðâîìó. Ëîäêà äâèæåòñÿ ñî
ñêîðîñòüþ u. ×åëîâåê íà áåðåãó çàòðàòèë íà ïåðåìåùåíèå
ëîäêè ýíåðãèþ E. Êàêóþ ýíåðãèþ çàòðàòèë ÷åëîâåê â ëîäêå?
Íåïðîèçâîäèòåëüíûå çàòðàòû ýíåðãèè îòñóòñòâóþò.
5. Êàæäàÿ èç äâóõ ïëàñòèí äëèíîé L èìååò ñîïðîòèâëåíèå
R. Êàêèì áóäåò ñîïðîòèâëåíèå ìåæäó êîíöàìè ïëàñòèí A è
B, åñëè ïëàñòèíû ñîåäèíèòü, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 1?
ñíà÷àëà ýòó êîëáó íàïîëíèòü ïåñêîì è ïîòîì äîâåðõó íàëèòü
â íåå âîäó, òî âåñ êîëáû áóäåò P3 . Âî ñêîëüêî ðàç ïëîòíîñòü
ïåñ÷èíîê áîëüøå ïëîòíîñòè âîäû?
4. Êëèí ìàññîé M ëåæèò íà
ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå
(ðèñ.2). Íà íàêëîíåííîé ïîä óãëîì α ïîâåðõíîñòè êëèíà ëåæèò
áðóñîê ìàññîé m. Ïðè êàêîì êîýôôèöèåíòå òðåíèÿ ìåæäó áðóñ- Ðèñ. 2
êîì è êëèíîì êëèí áóäåò ñêîëüçèòü â ñòîðîíó äåéñòâèÿ ïðèëîæåííîé ê áðóñêó ãîðèçîíòàëüíîé ñèëû F? Êàêóþ ñèëó íóæíî ïðèëîæèòü, ÷òîáû êëèí íå
ñäâèíóëñÿ ñ ìåñòà? Òðåíèÿ ìåæäó êëèíîì è ñòîëîì íåò.
5. Òðè øàðèêà îäèíàêîâîãî ðàäèóñà r
ñîåäèíåíû íèòÿìè äëèíîé L è ïëàâàþò â
æèäêîñòè ïëîòíîñòüþ ρ (ðèñ.3). Êðàéíèå øàðèêè íåâåñîìûå è ïîãðóæåíû â
Ðèñ. 3
æèäêîñòü íàïîëîâèíó. Îïðåäåëèòå ñèëó
íàòÿæåíèÿ êàæäîé íèòè.
11 êëàññ
1. Ðåøèòå çàäà÷ó 1 äëÿ 10 êëàññà.
2. Ðåøèòå çàäà÷ó 2 äëÿ 10 êëàññà.
3. Áóñèíêà ìàññîé m íàäåòà íà ñïèöó è íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíîé äëèíîé L ïðèñîåäèíåíà ê øàðíèðó (ðèñ.4).
Ñïèöà íàêëîíåíà ïîä óãëîì α ê
âåðòèêàëè è ïåðïåíäèêóëÿðíà
ïðóæèíå. Êàêîé æåñòêîñòüþ äîëæíà îáëàäàòü ïðóæèíà, ÷òîáû
áóñèíêà, êîãäà åå îòïóñòÿò, íå
ñîñêî÷èëà ñî ñïèöû, åñëè ðàññòîÿíèå îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ
áóñèíêè äî êîíöà ñïèöû L1 ?
4. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ìàññó
Ðèñ. 4
äîëæåí èìåòü âîäîëàçíûé êîëîêîë, ÷òîáû åãî ìîæíî áûëî ïîãðóçèòü â âîäó (ðèñ. 5)?
Êîëîêîë èìååò ôîðìó çàêðûòîãî ñâåðõó öèëèíäðà ðàäèóñîì
r = 2 ì è âûñîòîé h = 2 ì. Îáúåìîì ñòåíîê ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Ðèñ. 5
Ðèñ. 1
10 êëàññ
1. Áóêñèð òÿíåò ïëîò èç áðåâåí âíèç ïî òå÷åíèþ, à çàòåì
ïîäíèìàåòñÿ îáðàòíî ê ìåñòó ëåñîçàãîòîâêè. Èìååòñÿ âîçìîæíîñòü ñïëàâëÿòü ëåñ ïî ïðîòîêå ñî ñêîðîñòüþ òå÷åíèÿ u1
è ïî ïðîòîêå ñî ñêîðîñòüþ òå÷åíèÿ u2 ( u2 > u1 ). Íà ñêîëüêî
ïëîò çàìåäëÿåò äâèæåíèå áóêñèðà, åñëè îáà ìàðøðóòà òðåáóþò îäèíàêîâîå âðåìÿ?
2. Ðàêåòà ìàññîé m ñòàðòóåò ñ îáðûâèñòîãî áåðåãà ðåêè è
ïàäàåò â âîäó íà ðàññòîÿíèè L îò áåðåãà. Íà ïðîòÿæåíèè
âñåãî ïîëåòà äâèãàòåëü ðàêåòû ñîçäàåò ãîðèçîíòàëüíóþ ñèëó
òÿãè F. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü ðàêåòû ïðè ïàäåíèè â âîäó.
Èçìåíåíèåì åå ìàññû ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g.
3. Òîíêîñòåííàÿ êîëáà, íàïîëíåííàÿ âîäîé, âåñèò P1 ,
òàêàÿ æå êîëáà, íàïîëíåííàÿ ïåñêîì, âåñèò P2 , à åñëè
Ðèñ. 6
5. Òðè íàäóòûõ ãåëèåì øàðèêà óäåðæèâàþòñÿ íèòüþ,
ïðèâÿçàííîé ê ñðåäíåìó øàðèêó (ðèñ. 6), è îáðàçóþò ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê. Íà øàðèêàõ èìåþòñÿ îäèíàêîâûå
çàðÿäû q. Îïðåäåëèòå ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé. Äëèíû íèòåé
ìíîãî áîëüøå ðàçìåðîâ øàðèêîâ.
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
XXII Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà
«Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí»
Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá (ÌÈÊ) «Ãëþîí» â ðàìêàõ ìåæäóíàðîäíîé ïðîãðàììû «Äåòè. Èíòåëëåêò. Òâîð÷åñòâî» ïðè ó÷àñòèè ÌÃÓ èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, Èíñòèòóòà
ïåäàãîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé îäàðåííîñòè ÐÀÎ (ã. Íîâîñèáèðñê) è ïðè ïîääåðæêå Ôîíäà íåêîììåð÷åñêèõ ïðîãðàìì
«Äèíàñòèÿ», êîìïàíèé «Êèðèëë è Ìåôîäèé», «Ôèçèêîí»,
«1Ñ», Èçäàòåëüñêîãî Äîìà «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ» è æóðíàëîâ
«Êâàíò», «Ïîòåíöèàë» ïðîâåë XXII Ìåæäóíàðîäíóþ òåñòðåéòèíãîâóþ îëèìïèàäó «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí».
Îëèìïèàäà ïðîõîäèëà ñ 12 ïî 19 îêòÿáðÿ 2013 ãîäà â
Áàðñåëîíå (Èñïàíèÿ) íà òåððèòîðèè óþòíîãî îòåëÿ «Golden
Palace», êîòîðûé ðàñïîëîæåí íà áåðåãó Ñðåäèçåìíîãî ìîðÿ.
Íà îëèìïèàäó ïðèåõàëè øêîëüíèêè èç ðàçíûõ ðåãèîíîâ
Ðîññèè è Êàçàõñòàíà.  êà÷åñòâå íàáëþäàòåëåé áûëè ïðåäñòàâèòåëè Èñïàíèè, Âåëèêîáðèòàíèè è Ïîëüøè.
Îäàðåííûå øêîëüíèêè, ïðîÿâèâøèå èíòåðåñ ê ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì, ñîðåâíîâàëèñü â êîìàíäíûõ è èíäèâèäóàëüíûõ òóðàõ ïî ìàòåìàòèêå, ôèçèêå, èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé
è îòêðûòèé.  îäèííàäöàòûé ðàç ó÷àñòâîâàëè â îëèìïèàäå
øêîëüíèêè, èíòåðåñóþùèåñÿ ýêîëîãèåé è áèîëîãèåé, ñîðåâíóÿñü â êîìàíäíîì òóðå ïî èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé è â èíäèâèäóàëüíûõ òóðàõ ïî áèîëîãèè è ýêîëîãèè.
Ïåäàãîãè è ïñèõîëîãè ñîáðàëèñü íà ñâîþ íàó÷íóþ ñåññèþ â
ïÿòûé ðàç.  ðàìêàõ îëèìïèàäû ïðîøåë òàêæå II Ìåæäóíàðîäíûé ìàòåìàòè÷åñêèé òóðíèð èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà äëÿ
ó÷àùèõñÿ 5–8 êëàññîâ (îëèìïèéñêèé ðåçåðâ îëèìïèàäû
«Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí»). ×èñëî ó÷àñòíèêîâ âûðîñëî
ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðîøëûì ãîäîì, ÷òî óñèëèëî íàêàë èíòåëëåêòóàëüíûõ ñîðåâíîâàíèé ñðåäè ìëàäøèõ øêîëüíèêîâ.
Àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí-2013» ïî ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì â êîìàíäíîì çà÷åòå ñòàëà êîìàíäà ëèöåÿ 4 èç Òàãàíðîãà (Ðîññèÿ). Åé
áûë âðó÷åí ãëàâíûé ïðèç ñîðåâíîâàíèé – Ñóïåðêóáîê.
Êîìàíäà áûëà òàêæå ëó÷øåé â òóðå ïî èñòîðèè íàó÷íûõ
èäåé è îòêðûòèé è ïðèçåðîì â òóðàõ ïî ìàòåìàòèêå è
ôèçèêå. Âòîðîå ìåñòî â îáùåì çà÷åòå çàíÿëà êîìàíäà
Îáëàñòíîãî öåíòðà äîïîëíèòåëüíîãî îáðàçîâàíèÿ îäàðåííûõ äåòåé èç Ðîñòîâà-íà-Äîíó (Ðîññèÿ). Îíà òàêæå çàíÿëà
ïåðâîå ìåñòî ïî ìàòåìàòèêå, âòîðîå ìåñòî ïî èñòîðèè
íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé è òðåòüå ïî ôèçèêå. Êîìàíäå áûëè
âðó÷åíû áîëüøîé êóáîê çà âòîðîå ìåñòî â îáùåì çà÷åòå è
ñîîòâåòñòâóþùèå äèïëîìû çà óñïåõè â êîìàíäíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ. Íà òðåòüå ìåñòî âûøëà êîìàíäà ëèöåÿ 2 èç Àëüìåòüåâñêà (Ðîññèÿ). Îíà òàêæå çàíÿëà ïåðâîå ìåñòî ïî ôèçèêå.
Åé áûëè âðó÷åíû êóáîê è äèïëîì.
 èíäèâèäóàëüíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû ñòàë Áóëàò Èáðàãèìîâ, ó÷åíèê ëèöåé 2 èç
Àëüìåòüåâñêà. Åìó áûëè âðó÷åíû áîëüøàÿ çîëîòàÿ ìåäàëü è
ìàëàÿ ñåðåáðÿíàÿ ìåäàëü ïî ôèçèêå. Âòîðûì ïðèçåðîì â
îáùåì çà÷åòå ñòàë Êèðèëë Çàðóáà (ëèöåé 4, Òàãàíðîã). Îí
ïîëó÷èë áîëüøóþ ñåðåáðÿíóþ ìåäàëü è ìàëóþ çîëîòóþ
ìåäàëü çà ïåðâîå ìåñòî ïî ôèçèêå. Áîëüøóþ áðîíçîâóþ
ìåäàëü â îáùåì çà÷åòå çàâîåâàëà Þëÿ Øåíùèíà (ëèöåé 4,
Òàãàíðîã). Îëåã Êëèìåíêî (ëèöåé 13, Ðîñòîâ-íà-Äîíó) áûë
íàãðàæäåí ìàëîé çîëîòîé ìåäàëüþ ïî ìàòåìàòèêå, Êàìèëü
Ëîòôóëëèí (ëèöåé 2, Àëüìåòüåâñê) ïîëó÷èë ìàëóþ ñåðåáðÿíóþ ìåäàëü ïî ìàòåìàòèêå è Ðóñëàí Ñóïðóíîâ (øêîëà 9,
Ãóêîâî) ïîëó÷èë ìàëóþ áðîíçîâóþ ìåäàëü ïî ìàòåìàòèêå.
Äìèòðèé Êèñåëü (ëèöåé 4, Òàãàíðîã) áûë íàãðàæäåí ìàëîé
áðîíçîâîé ìåäàëüþ ïî ôèçèêå.
Íà II Ìåæäóíàðîäíîì ìàòåìàòè÷åñêîì òóðíèðå èìåíè
Ì.Â.Ëîìîíîñîâà ñðåäè ó÷àùèõñÿ 7 – 8 êëàññîâ ïîáåäèòåëåì
ñòàë Ðîìàí Òûíÿíêî (Îáëàñòíîé öåíòð äîïîëíèòåëüíîãî
îáðàçîâàíèÿ îäàðåííûõ äåòåé, Ðîñòîâ-íà-Äîíó). Ïðèçåðàìè
ñòàëè Âëàäèñëàâ Àêàâåö (ëèöåé «Êëàññè÷åñêèé», Ðîñòîâ-íàÄîíó), Ìèõàèë Áîðèñîâ (ëèöåé 24, Âîëãîäîíñê), Äèíàñûë
Êîéëûáàé (ÍÈØ, Àêòîáå, Êàçàõñòàí). Ñðåäè ó÷àùèõñÿ 5–6
êëàññîâ íà òóðíèðå ïîáåäèòåëåì ñòàë Åâãåíèé Ïðèìàê
(ëèöåé «Êëàññè÷åñêèé», Ðîñòîâ-íà-Äîíó). Ïðèçåðàìè ñòàëè
Ñòåïàí Øåëåïîâ, Àðñåí Äæóêóñîâ, Òèìóð Ñàðñåíáàåâ, Àéøà
Øåíü (êîìàíäà Êåëåøåê, Àëìàòû, Êàçàõñòàí).
Âñå ïîáåäèòåëè è ïðèçåðû ïîëó÷èëè ðàçëè÷íûå ïîäàðêè
è ïðèçû îò îðãàíèçàòîðîâ è ñïîíñîðîâ îëèìïèàäû.
Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá «Ãëþîí» ïðèãëàøàåò ðåãèîíàëüíûå öåíòðû, øêîëû, ëèöåè è ãèìíàçèè, ðàáîòàþùèå
ñ îäàðåííûìè äåòüìè, ïðèíÿòü ó÷àñòèå â XXIII Ìåæäóíàðîäíîé îëèìïèàäå «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí», êîòîðàÿ ïðîéäåò â îêòÿáðå 2014 ãîäà â Ìàðîêêî.
Çàÿâêè íà ó÷àñòèå ïðèñûëàéòå ïî àäðåñó: 115522 Ðîññèÿ,
Ìîñêâà, Ïðîëåòàðñêèé ïðîñïåêò, ä.15/6, êîðï.2, ÌÈÊ «Ãëþîí»
Òåëåôîí: (495)517-8014, ôàêñ: (495)396-8227
E-mail: gluon@yandex.ru
Ñàéò: http:www.gluon.ru
ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
ÏÎ ÔÓÍÄÀÌÅÍÒÀËÜÍÛÌ ÍÀÓÊÀÌ
Óñòíûé êîìàíäíûé òóð
Ìàòåìàòèêà
Êîìàíäíûé òóð îëèìïèàäû ïî ôèçèêå
1. Çà 2 ãîäà çàâîä ñíèçèë âûïóñê ïðîäóêöèè íà 51%.
Êàæäûé ãîä îí ñíèæàë åãî íà îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ïðîöåíòîâ. Íà êàêîå?
2. Ðàçðåæüòå êâàäðàò íà 3 ÷àñòè, èç êîòîðûõ ìîæíî
ñëîæèòü îñòðîóãîëüíûé íåðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê.
#!
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
3. Ñóùåñòâóþò ëè ïîïàðíî ðàçëè÷íûå: à) íàòóðàëüíûå, á)
íå÷åòíûå ÷èñëà õ1 , õ2 , õ3 , õ4 , õ5 , ñóììà îáðàòíûõ âåëè÷èí
êîòîðûõ ðàâíà 1?
4. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ òðåóãîëüíèêà ñîåäèíåíà
ñ åãî âåðøèíàìè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî îí ðàçáèëñÿ íà 3 ìåíüøèõ
òðåóãîëüíèêà. Îäèí èç ýòèõ ìåíüøèõ òðåóãîëüíèêîâ ïîäîáåí
èñõîäíîìó. Íàéäèòå åãî óãëû.
5. Ñóùåñòâóþò ëè 100 îòëè÷íûõ îò íóëÿ ÷èñåë, êàæäîå èç
êîòîðûõ ðàâíî êâàäðàòó ñóììû îñòàëüíûõ?
6.  êëàññå 33 ó÷åíèêà, âñåì èì âìåñòå 430 ëåò. Ìîæíî ëè
âûáðàòü èç ýòîãî êëàññà 20 ó÷åíèêîâ, êîòîðûì âìåñòå áîëüøå
260 ëåò? (Âîçðàñò ó÷åíèêà – öåëîå ÷èñëî ëåò.)
7. Íàéäèòå âñå ïàðû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë x è y, äëÿ êîòîðûõ
2x + 1 äåëèòñÿ íà y, à 2y +1 äåëèòñÿ íà x.
8. Ñòî øêîëüíèêî⠖ ïÿòüäåñÿò ìàëü÷èêîâ è ïÿòüäåñÿò
äåâî÷åê – ïîñòðîåíû â øåðåíãó. Ìîæíî ëè âûáðàòü ïÿòüäåñÿò ñòîÿùèõ ïîäðÿä ðåáÿò òàê, ÷òîáû ñðåäè íèõ îêàçàëîñü
ïîðîâíó ìàëü÷èêîâ è äåâî÷åê?
9. Âåðíî ëè, ÷òî ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî ðàçðåçàòü íà
1000 ÷àñòåé, èç êîòîðûõ âîçìîæíî ñëîæèòü êâàäðàò?
10. Èç äâóõñîò ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
1,2,3,…,200 âûáðàëè 101 ÷èñëî. Âåðíî ëè, ÷òî ñðåäè âûáðàííûõ ÷èñåë íàéäóòñÿ äâà, îäíî èç êîòîðûõ äåëèòñÿ íà äðóãîå?
Ôèçèêà
1. Ëó÷è ñâåòà îò ñîëíöà ïàäàþò íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïîâåðõíîñòü çåìëè ïîä óãëîì α = 30° . Ñ çåìëè áðîñàþò êàìåíü ñ
íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 . Íà êàêîì íàèáîëüøåì ðàññòîÿíèè
îò ìåñòà âûëåòà ìîæåò îêàçàòüñÿ òåíü îò êàìíÿ? Ðåøåíèå
èçîáðàçèòå ãðàôè÷åñêè (íà ðèñóíêå).
2. Çàïàÿííûé ãîðèçîíòàëüíûé öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä äëèíîé l = 90 ñì ðàçäåëåí íà äâå ÷àñòè ïîäâèæíîé ïåðåãîðîäêîé. Ñ îäíîé ñòîðîíû îò ïåðåãîðîäêè ñîäåðæèòñÿ 2 ìîëÿ
êèñëîðîäà è 3 ìîëÿ ãåëèÿ, ñ äðóãîé – 3 ìîëÿ àçîòà è 1 ìîëü
ãåëèÿ, è ïåðåãîðîäêà íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè. Â íåêîòîðûé
ìîìåíò âðåìåíè ïåðåãîðîäêà ñòàíîâèòñÿ ïðîíèöàåìîé äëÿ
ãåëèÿ è îñòàåòñÿ íåïðîíèöàåìîé äëÿ êèñëîðîäà è àçîòà.
Íàéäèòå ïåðåìåùåíèå ïåðåãîðîäêè. Òåìïåðàòóðû ãàçîâ îäèíàêîâû è íå ìåíÿþòñÿ â òå÷åíèå ïðîöåññà.
3. Íåèçâåñòíîå ÷èñëî N îäèíàêîâûõ ðåçèñòîðîâ ñîåäèíåíû
â êîëüöî. Îììåòð, ïîäñîåäèíåííûé ê êîíöàì îäíîãî ðåçèñòîðà, ïîêàçûâàåò ñîïðîòèâëåíèå R1 = 16 Îì. Åñëè ñîñåäíèé
ê âûáðàííîìó ðåçèñòîð çàêîðîòèòü, òî îììåòð ïîêàçûâàåò
ñîïðîòèâëåíèå R2 = 15 Îì. Êàêîâà âåëè÷èíà îäíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ? ×åìó ðàâíî N?
4. Ìÿ÷ ïîêàòèëè ïî ïîëó ê ñòåíå ñî ñêîðîñòüþ v = 5 ì/ñ.
Ïîñëå óäàðà î ñòåíó ìÿ÷ ïîêàòèëñÿ íàçàä ñî ñêîðîñòüþ u =
= 4 ì/ñ è âåðíóëñÿ â èñõîäíóþ òî÷êó ÷åðåç âðåìÿ T = 1,8 ñ
ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ. Êàêîâî ðàññòîÿíèå îò èñõîäíîé
òî÷êè äî ñòåíû?
5.  ñòàêàí ñ î÷åíü ãîðÿ÷åé âîäîé îïóñòèëè ëîæêó, è ëîæêà
íà ãëàçàõ ñòàëà ïëàâèòñÿ. Èíîãäà òàêóþ ëîæêó íàçûâàþò
äåðåâÿííîé. Ïîÿñíèòå íàáëþäàåìîå ÿâëåíèå è ñêàæèòå,
ïî÷åìó ìåòàëë, èç êîòîðîãî èçãîòîâëåíà ëîæêà, íàçûâàþò
äåðåâÿííûì.
6. Îäíîâðåìåííî ïîäîæãëè òîëñòóþ è òîíêóþ ñâå÷è,
èìåþùèå ïåðâîíà÷àëüíî îäèíàêîâûå äëèíû. ×åðåç âðåìÿ
t = 40 ìèí òîíêàÿ ñâå÷à ñãîðåëà íàïîëîâèíó, à òîëñòàÿ – íà
òðåòü. ×åðåç êàêîå âðåìÿ (â ìèíóòàõ) ïîñëå ïîäæîãà äëèíû
ñâå÷åé áóäóò ðàçëè÷àòüñÿ â 4 ðàçà?
7. Äâå îäèíàêîâûå îäíîðîäíûå öåïî÷êè èç ìàññèâíûõ
øàðèêîâ ïðèêðåïëåíû êîíöàìè ê ïîòîëêó è ïðîõîäÿò ÷åðåç
äâå íåâåñîìûå êîëåí÷àòûå òðóáêè, ñêðåïëåííûå ìåæäó ñîáîé (ðèñ.1). Âõîäíûå è âûõîäíûå êîëåíà òðóáîê âåðòèêàëüíû, ìåæäó íèìè – äëèííûå ãîðèçîíòàëüíûå ó÷àñòêè. Ñ
êàêèì óñêîðåíèåì îïóñêàþòñÿ òðóáêè? Òðåíèÿ è
ïîòåðü ýíåðãèè íåò.
8. Òîíêàÿ ëèíçà ñîçäàåò
èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà,
ðàñïîëîæåííîãî ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè, ñ íåêîòîðûì
óâåëè÷åíèåì. Åñëè ðàññòîÿíèå îò ïðåäìåòà äî ëèíçû
óâåëè÷èòü âäâîå, òî ïîëó÷èì ïðÿìîå èçîáðàæåíèå ñ
Ðèñ. 1
óâåëè÷åíèåì, âòðîå áîëüøèì ïåðâîíà÷àëüíîãî óâåëè÷åíèÿ. Ñ êàêèì óâåëè÷åíèåì
áûëî ïîëó÷åíî èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà ïåðâîíà÷àëüíî?
9. Ïîÿñíèòå, ïî÷åìó âáëèçè áåðåãà íàáåãàþùàÿ ìîðñêàÿ
âîëíà îáðàçóåò áåëûå áàðàøêè.
10 (ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ). Ïðåäñòàâëåíû äâå ïîëóïðîçðà÷íûå ïëàñòèíû ðàçìåðîì À5, êîòîðûå ïðè íàëîæåíèè äðóã íà
äðóãà òî ïðîïóñêàþò, òî íå ïðîïóñêàþò ñâåò – â çàâèñèìîñòè
îò âçàèìíîé îðèåíòàöèè ïëàñòèí. Ïðè ïîìåùåíèè ìåæäó
ïëàñòèíàìè ïëàñòèêà ñ íàêëååííûìè êóñî÷êàìè ïðîçðà÷íîé
ëèïêîé ëåíòû ïîñëåäíèå îêàçàëèñü îêðàøåííûìè â ðàçíûå
öâåòà ðàäóãè, à ïðè âðàùåíèè îäíîé èç ïëàñòèí ýòè êóñî÷êè
ìåíÿëè öâåò. Ïðè íàëîæåíèè îäíîé ïëàñòèíû íà ýêðàí
ðàáîòàþùåãî æèäêîêðèñòàëëè÷åñêîãî ìîíèòîðà ýêðàí ïîä
ïëàñòèíîé ñòàíîâèëñÿ òåìíûì. Íàäî îáúÿñíèòü íàáëþäàåìûå ÿâëåíèÿ.
Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð
Ìàòåìàòèêà
2
1. Ìîãóò ëè ÷èñëà N – N è ( N + 1) èìåòü ðàâíûå ñóììû
öèôð â äåñÿòè÷íîé çàïèñè (N – íàòóðàëüíîå ÷èñëî)?
2. à) Ìîæíî ëè ñëîæèòü êâàäðàò èç 20 ïðÿìîóãîëüíûõ
òðåóãîëüíèêîâ ñ êàòåòàìè 1 è 2? á) À èç 40?
2
(
)
3. Âû÷èñëèòå α2 − 1 ⋅ 8 2α2 + 3α + 2 , åñëè α – êîðåíü
óðàâíåíèÿ α 3 − α − 1 = 0 .
4. ×åòûðå çåìëåêîïà âûðûëè êàíàâó çà 2 ÷àñà. Ïðè ýòîì
êàæäûé èç íèõ ïðîðàáîòàë ñòîëüêî âðåìåíè, ñêîëüêî íóæíî
îñòàëüíûì òðåì, ÷òîáû âûðûòü ïîëîâèíó êàíàâû. Çà ñêîëüêî âðåìåíè îíè âûðûëè áû âñþ êàíàâó, ðàáîòàÿ âìåñòå?
5. Äàíà òàáëèöà n × n , â êàæäîé êëåòêå êîòîðîé çàïèñàíî
÷èñëî, ïðè÷åì âñå ÷èñëà â òàáëèöå ðàçëè÷íû.  êàæäîé
ñòðîêå îòìåòèëè íàèìåíüøåå ÷èñëî, è âñå îòìå÷åííûå ÷èñëà
îêàçàëèñü â ðàçíûõ ñòîëáöàõ. Çàòåì â êàæäîì ñòîëáöå
îòìåòèëè íàèìåíüøåå ÷èñëî, è âñå îòìå÷åííûå ÷èñëà îêàçàëèñü â ðàçíûõ ñòðîêàõ. Ñêîëüêî ÷èñåë áûëî îòìå÷åíî?
6. Íà áîêîâûõ ñòîðîíàõ AB è CD ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè ABCD îòëîæåíû ðàâíûå îòðåçêè AK è CL. Îòðåçîê KL
ïåðåñåêàåò äèàãîíàëè AC è BD â òî÷êàõ P è Q ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå KP:PQ:QL, åñëè AD = 2BC.
7. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õ1 , õ2 ,…, õn òàêîâà, ÷òî
1
, õ1 = 20, õ2 = 13. Ñóùåñòâóåò ëè òàêîé
xn + 2 = xn −
xn +1
íîìåð N, ÷òî õN = 0?
Ôèçèêà
1. Àâòîìîáèëü äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 10 ì/ñ ïî
ïàðàáîëè÷åñêîìó ìîñòó, ïåðåáðîøåííîìó ÷åðåç ðåêó. Èçâåñòíî, ÷òî ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìàÿ ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ â
âåðõíåé òî÷êå ìîñòà ñîñòàâëÿåò v0 = 40 ì/ñ. Ìîñò îïèðàåòñÿ íà êàæäûé áåðåã ó ñàìîé êðîìêè âîäû. Íàéäèòå øèðèíó
ðåêè, åñëè àâòîìîáèëü ïåðååçæàåò ìîñò çà âðåìÿ τ =
= 11,3 ñ.
#"
ÊÂÀÍT 2014/¹3
2. Äâà áðóñêà ìàññàìè
Ì = 900 ã è m = 300 ã
ñâÿçàíû íåðàñòÿæèìîé
íèòüþ äëèíîé l = 20 ñì
Ðèñ. 2
(ðèñ.2). Ìåæäó áðóñêàìè
âñòàâëåíà äåôîðìèðîâàííàÿ ïðóæèíà æåñòêîñòüþ
k = 2,25 êÍ/ì (ïðóæèíà íå ïðèêðåïëåíà ê áðóñêàì). Ýòà
ñèñòåìà áðóñêîâ äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ
v0 = 2,5 ì/ñ. Â êàêîé-òî ìîìåíò íèòü ïåðåæèãàþò, ïîñëå
÷åãî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïðóæèíà âûïàäàåò, à òåëî ìàññîé Ì îñòàíàâëèâàåòñÿ.
Íàéäèòå äëèíó íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíû l0 .
3. Íåáîëüøîå òåëî ìàññîé m = 1,4 ã
ñîñêàëüçûâàåò èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ ñ âåðøèíû ãëàäêîé ñôåðû ðàäèóñîì R = 60 ñì
(ðèñ.3). Íà òåëå è â öåíòðå ñôåðû ðàçìåùàþò îäèíàêîâûå ïî âåëè÷èíå ðàçíîèìåíÐèñ. 3
íûå çàðÿäû òàêèå, ÷òîáû òåëî íå îòðûâàëîñü îò ïîâåðõíîñòè ñôåðû, ïîêà îíî íå îêàæåòñÿ íà âûñîòå,
ðàâíîé R/2 îò ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðîé ïîêîèòñÿ ñôåðà.
Êàêîâà âåëè÷èíà ýòèõ çàðÿäîâ?
4. Íà êîíöàõ ëåãêîé äîñêè äëèíîé L óñåëèñü äâà îäèíàêîâûõ ìàëåíüêèõ, íî òÿæåëûõ ãíîìèêà ìàññîé m êàæäûé
(ðèñ.4). Äîñêó ïîëîæèëè íà ïîäñòàâêó øèðèíîé l < L òàê,
Ðèñ. 4
÷òî åå ñåðåäèíà îêàçàëàñü íàä ñåðåäèíîé ïîäñòàâêè, è
îòêëîíèëè íà íåáîëüøîé óãîë α0 1 (ðàä). Îïðåäåëèòå
ïåðèîä Ò ìàëûõ êîëåáàíèé ýòîé ñèñòåìû, åñëè ïðè ïåðåõîäå
äîñêè ñ îäíîãî ðåáðà ïîäñòàâêè íà äðóãîå ðåáðî ïîòåðè
ýíåðãèè ïðåíåáðåæèìî ìàëû, à äîñêà îò ïîäñòàâêè íå îòðûâàåòñÿ è íå ïðîñêàëüçûâàåò. Ïîñ÷èòàéòå ýòîò ïåðèîä, åñëè
L = 5 ì, l = 1 ì, α 0 = 0,1 ðàä, m = 12 êã.
5. Áàêåí îáúåìîì V = 150 ë íà äâå
òðåòè îáúåìà ïîãðóæåí ó áåðåãà â âîäó
(ðèñ.5). Îí ïðèâÿçàí âåðåâêîé äëèíîé
l = 5 ì ê áðóñêó ìàññîé m = 50êã, ëåæàùåìó íà ïåñ÷àíîì äíå âîäîåìà ãëóáèíîé
h = 4,5 ì. Âåðåâêà íåìíîãî ïðîâèñàåò.
Ñìîæåò ëè áðóñîê îòîðâàòüñÿ îò äíà ïðè
ïîâûøåíèè óðîâíÿ âîäû âî âðåìÿ ïðèëèâà? Êàêèì áóäåò ðåçóëüòàò, åñëè äíî
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðóïíóþ ãàëüêó? ÏëîÐèñ. 5
ùàäü âåðõíåé ïîâåðõíîñòè áðóñêà
S = 400 ñì2 , ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà áðóñêà ρ = 8 ã ñì 3 , ïëîòíîñòü âîäû ρ0 = 1 ã ñì 3 ,
Ðèñ. 6
àòìîñôåðíîå äàâëåíèå pa = 105 Ïà .
6. Êîëáà, çàïîëíåííàÿ âîçäóõîì, èìååò
îáúåì V = 1 ë, åå ãîðëûøêî ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé öèëèíäð âûñîòîé Í = 25 ñì è äèàìåòðîì d = 3,6 ñì (ðèñ.6). Ãîðëûøêî çàêðûòî
òîíêèì íåâåñîìûì ïîðøíåì, ðàñïîëîæåííûì ïî÷òè ó ñàìîãî âåðõà. Â ãîðëûøêî
íà÷èíàþò ìåäëåííî íàëèâàòü ðòóòü (ïëîò-
íîñòü ðòóòè ρ = 13,6 ã ñì 3 ). Ñíà÷àëà ïîðøåíü îïóñêàåòñÿ íà
21 ñì, çàòåì îñòàíàâëèâàåòñÿ, è æèäêîñòü íà÷èíàåò ñòåêàåòü
÷åðåç êðàÿ ãîðëûøêà. Íàéäèòå, êàêîâà ìàññà æèäêîñòè,
çàëèòîé â ãîðëûøêî, è ïðè êàêîì àòìîñôåðíîì äàâëåíèè
ïðîâîäèëñÿ îïûò (äàâëåíèå âûðàçèòå â ìì ðò.ñò.). Òåìïåðàòóðó ñ÷èòàéòå ïîñòîÿííîé. Òðåíèåì ïðåíåáðåãèòå.
7. Èçâåñòíî, ÷òî êîãäà ëó÷ ñâåòà ïàäàåò íà ïëîñêóþ
ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ïîâåðõíîñòè, òî
8% ñâåòîâîé ýíåðãèè îòðàæàåòñÿ (çäåñü ó÷òåíî îòðàæåíèå îò
îáåèõ ïîâåðõíîñòåé ïëàñòèíêè), à 92% ïðîõîäèò. Ñëåäîâàòåëüíî, êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R = 0,08, êîýôôèöèåíò
ïðîïóñêàíèÿ D = 0,92. Íàéäèòå êîýôôèöèåíò ïðîïóñêàíèÿ
ñòîïêè èç n = 11 òàêèõ ñòåêëÿííûõ ïëàñòèíîê.
Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé
Ìàòåìàòèêà
1. Ìàòåìàòèêè Äðåâíåé Ãðåöèè íàçûâàëè ñîâåðøåííûì
íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ðàâíîå ñóììå âñåõ ñâîèõ ñîáñòâåííûõ
äåëèòåëåé, ò.å. äåëèòåëåé, îòëè÷íûõ îò ñàìîãî ÷èñëà. Êîíå÷íî èëè áåñêîíå÷íî ìíîæåñòâî ñîâåðøåííûõ ÷èñåë, íå èçâåñòíî äî ñèõ ïîð – ýòî òàê íàçûâàåìàÿ ïðîáëåìà ñîâåðøåííûõ
÷èñåë. ×èñëî, áîëüøåå (ìåíüøåå) ñóììû âñåõ ñâîèõ ñîáñòâåííûõ äåëèòåëåé, äðåâíèå ãðåêè íàçâàëè èçáûòî÷íûì
(íåäîñòàòî÷íûì).
Âûÿñíèòå, êîíå÷íî èëè áåñêîíå÷íî ìíîæåñòâî: à) èçáûòî÷íûõ, á) íåäîñòàòî÷íûõ ÷èñåë.
2. Èòàëüÿíñêèé ìàòåìàòèê Íèêêîëî Òàðòàëüÿ îáíàðóæèë
ìíîãî èíòåðåñíûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó ñòåïåíÿìè öåëûõ
÷èñåë.  ÷àñòíîñòè, îí äîêàçàë, ÷òî âñÿêîå êóáè÷åñêîå ÷èñëî
(ò.å. êóá) ðàâíî ðàçíîñòè äâóõ êâàäðàòíûõ ÷èñåë (ò.å.
êâàäðàòîâ).
Äîêàæèòå ýòî è âû.
3. Â 1585 ãîäó ôëàìàíäñêèé èíæåíåð Ñèìîí Ñòåâåí
îïóáëèêîâàë êíèãó î äåñÿòè÷íûõ äðîáÿõ, è ñ òåõ ïîð
äåñÿòè÷íûå äðîáè ñòàëè îñíîâíûì àïïàðàòîì èíæåíåðíûõ è
èíûõ ðàñ÷åòîâ.
à) Ïðåäñòàâüòå â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè
îáûêíîâåííóþ äðîáü 1/37.
á) Îáðàòèòå â îáûêíîâåííóþ äðîáü áåñêîíå÷íóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü 0,25(243).
4. Âåëèêèé íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ê.Ô.Ãàóññ èçìåðÿë óãëû
òðåóãîëüíèêà, îáðàçîâàííîãî âåðøèíàìè òðåõ óäàëåííûõ
äðóã îò äðóãà ãîð.
Çà÷åì îí ýòî äåëàë?
5. Äî ñåðåäèíû XVII âåêà â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íå áûëî
íå òîëüêî öåëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, íî äàæå íèêàêîãî
îáùåãî ìåòîäà ðåøåíèÿ çàäà÷. Â ñåðåäèíå XVII âåêà Á.Ïàñêàëü, Ï.Ôåðìà è Õ.Ãþéãåíñ ðàçðàáîòàëè ìåòîäû ðåøåíèÿ
âåðîÿòíîñòíûõ çàäà÷, ïîõîæèõ íà ïðåäëàãàåìóþ âàì çàäà÷ó:
×òî áîëåå âåðîÿòíî – âûèãðàòü ó ðàâíîñèëüíîãî ïðîòèâíèêà òðè ïàðòèè èç ÷åòûðåõ èëè ïÿòü ïàðòèé èç âîñüìè?
Ôèçèêà
1. Äëÿ èçó÷åíèÿ ñòðîåíèÿ ìàòåðèè ñîâðåìåííàÿ ôèçèêà
èñïîëüçóåò êàê òåîðåòè÷åñêèå, òàê è ýêñïåðèìåíòàëüíûå
ìåòîäû. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ âçàèìîäåéñòâèé ýëåìåíòàðíûõ
÷àñòèö íåîáõîäèìû èñòî÷íèêè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö âûñîêèõ ýíåðãèé. Çà ïîñëåäíèå ïîëâåêà äëÿ ôèçè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé ïîñòðîåíû óñêîðèòåëè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ñ ðàçëè÷íûìè ýíåðãèÿìè ÷àñòèö â ïó÷êå.  2008 ãîäó ïðîèçâåäåí ïóñê ñàìîãî ìîùíîãî íà ñåãîäíÿ óñêîðèòåëÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, êîòîðûé ïîçâîëèë ýêñïåðèìåíòàëüíî ïðîâåðèòü òåîðåòè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ ôèçèêè âûñîêèõ ýíåðãèé. Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé íà íåì
äàëè ïîäòâåðæäåíèå òåîðåòè÷åñêèì îòêðûòèÿì ïîëóâåêî-
##
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
âîé äàâíîñòè, óäîñòîåííûõ â 2013 ãîäó Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå.
à) Êàêîé óñêîðèòåëü áûë çàïóùåí â 2008 ãîäó?
á) Ãäå îí ðàñïîëîæåí?
â) Íà êàêóþ ýíåðãèþ ÷àñòèö ðàññ÷èòàí ýòîò óñêîðèòåëü?
ã) Êàêèå ïîëó÷åííûå íà íåì ðåçóëüòàòû âàì èçâåñòíû?
2. Ñòî ëåò íàçàä Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ôèçèêå áûëà
âðó÷åíà «çà èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ âåùåñòâà ïðè íèçêèõ
òåìïåðàòóðàõ, êîòîðûå ïðèâåëè ê ïðîèçâîäñòâó æèäêîãî
ãåëèÿ».  õîäå ýòèõ èññëåäîâàíèé áûëà îáíàðóæåíà ñâåðõïðîâîäèìîñòü ìåòàëëîâ è ñâåðõòåêó÷åñòü æèäêîãî ãåëèÿ.
Êîëëåãè íàçûâàëè ýòîãî ó÷åíîãî «Ãîñïîäèí Àáñîëþòíîãî
Íóëÿ». Îí áûë íå òîëüêî ôèçèêîì, íî è òàëàíòëèâûì
èíæåíåðîì. Ñðåäè åãî ðàçðàáîòîê, íàïðèìåð, âàãîí-ðåôðèæåðàòîð.
à) Î êàêîì ó÷åíîì èäåò ðå÷ü?
á) Â êàêîé ñòðàíå îí æèë è ðàáîòàë?
3. Ýòà èäåÿ ê íà÷àëó XIX âåêà áûëà ïðèíÿòà ïî÷òè âñåìè
õèìèêàìè ìèðà. Â 1860 íà Âñåìèðíîì ñúåçäå õèìèêîâ â
Êàðëñðóý áûëè îêîí÷àòåëüíî ñôîðìóëèðîâàíû õèìè÷åñêèå
àñïåêòû ýòîé èäåè. Îäíàêî ïî÷òè âñå ôèçèêè ñ÷èòàëè åå, â
ëó÷øåì ñëó÷àå, íåïëîõîé ðàñ÷åòíîé ìîäåëüþ, íî íå êàðòèíîé ôèçè÷åñêîé ðåàëüíîñòè. Èçâåñòíûå ôèçèêè Ã.Ãåëüìãîëüö è Ý.Ìàõ âîîáùå óòâåðæäàëè, ÷òî ýòà èäåÿ ëèøåíà
ôèçè÷åñêîãî îñíîâàíèÿ, óòâåðæäàÿ, ÷òî ìàòåðèÿ íåïðåðûâíà. Òîëüêî òàêèå âûäàþùèåñÿ ôèçèêè, êàê Äæ.Ìàêñâåëë,
Ë.Áîëüöìàí, À.Ýéíøòåéí, Ý.Ðåçåðôîðä è íåêîòîðûå äðóãèå, óâåðåííî óòâåðæäàëè, ÷òî ýòà èäåÿ îïðåäåëÿåò íàøè
âîççðåíèÿ íà ñòðîåíèå ìàòåðèè. Äâàäöàòûé âåê ïîäòâåðäèë
èõ ïðàâîòó. Ýòà èäåÿ ñåãîäíÿ íå òîëüêî ïîçâîëÿåò ó÷åíûì
ñòðîèòü íîâûå òåîðèè, íî è øèðîêî ïðåäñòàâëåíà â èíæåíåðíîé ïðàêòèêå â îáëàñòè õèìèè, ìàòåðèàëîâåäåíèÿ, íàíîòåõíîëîãèé.
à) Ñôîðìóëèðóéòå ýòó èäåþ.
á) Êàêèå ðåøåíèÿ óïîìÿíóòîãî ñúåçäà 1860 ãîäà ñôîðìóëèðîâàíû â ðàìêàõ ýòîé èäåè?
4. Ñîâðåìåííûå íàó÷íî-òåõíè÷åñêèå ðàçðàáîòêè îñíîâàíû
íà íàíîòåõíîëîãèÿõ. Äëÿ èõ îñóùåñòâëåíèÿ òðåáóåòñÿ èíôîðìàöèÿ î ðàñïîëîæåíèè îòäåëüíûõ àòîìîâ è ìîëåêóë
âåùåñòâà.  1986 ãîäó áûë ïîñòðîåí ïåðâûé ïðèáîð, ïîçâîëÿþùèé ïîëó÷èòü òàêóþ èíôîðìàöèþ.  îñíîâå äåéñòâèÿ
ýòîãî ïðèáîðà ëåæèò èñïîëüçîâàíèå ñèë Âàí-äåð-Âààëüñà,
äåéñòâóþùèõ ìåæäó àòîìàìè çîíäà è îòäåëüíûìè ÷àñòèöàìè
âåùåñòâà. Äëÿ ðåãèñòðàöèè ýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ èñïîëüçóåòñÿ èçìåðèòåëü íàíîïåðåìåùåíèé. Ýòîò ïðèáîð ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìèêðîðåëüåôà ïîâåðõíîñòè ëþáûõ âåùåñòâ, êàê ïðîâîäÿùèõ, òàê è íåïðîâîäÿùèõ, ñ åãî
ïîìîùüþ ìîæíî íàáëþäàòü âñåâîçìîæíûå íåñîâåðøåíñòâà
ñòðóêòóðû, ëîêàëèçîâàííûå íà èçó÷àåìûõ ïîâåðõíîñòÿõ,
íàïðèìåð äèñëîêàöèè èëè çàðÿæåííûå äåôåêòû, à òàêæå
âñÿ÷åñêèå ïðèìåñè.
Íàçîâèòå ýòîò ïðèáîð.
5. Â 1959 ãîäó èçâåñòíûé ôèçèê âïåðâûå îïóáëèêîâàë
ðàáîòó, â êîòîðîé íàó÷íî äîêàçàë, ÷òî ñ òî÷êè çðåíèÿ
ôóíäàìåíòàëüíûõ çàêîíîâ ôèçèêè íåò íèêàêèõ ïðåïÿòñòâèé
ê òîìó, ÷òîáû ñîçäàâàòü âåùè ïðÿìî èç àòîìîâ. Â ýòîé ðàáîòå
îöåíèâàëèñü ïåðñïåêòèâû ìèíèàòþðèçàöèè. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ íàíîòåõíîëîãèé áûëè íàìå÷åíû â åãî ëåãåíäàðíîé
ëåêöèè «Òàì, âíèçó, ìíîãî ìåñòà» («There is Plenty of Room
at the Bottom»), ïðîèçíåñåííîé èì â Êàëèôîðíèéñêîì
òåõíîëîãè÷åñêîì èíñòèòóòå.
à) Êòî ÿâëÿåòñÿ àâòîðîì ýòèõ èäåé?
á) Êàêèå åãî íàèáîëåå ÿðêèå äîñòèæåíèÿ â ôèçèêå âàì
èçâåñòíû?
II ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÛÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐÍÈÐ
ÈÌÅÍÈ Ì.Â.ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ
ÄËß Ó×ÀÙÈÕÑß 5–8 ÊËÀÑÑÎÂ
5–6 êëàññû
Óñòíûé êîìàíäíûé òóð
1. Äàí êâàäðàò ABCD ñî ñòîðîíîé 12, K – ñåðåäèíà
ñòîðîíû AB, L – ñåðåäèíà ñòîðîíû BC. Íàéäèòå ïëîùàäü
òðåóãîëüíèêà DKL.
2. ×åòíûì èëè íå÷åòíûì ÷èñëîì áóäåò ñóììà âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî 2013 âêëþ÷èòåëüíî?
3. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî âñåõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 3.
4. Íàéäèòå, êàê ðàçðåçàòü ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè
16 ñì è 9 ñì íà äâå ðàâíûå ÷àñòè, èç êîòîðûõ ìîæíî ñîñòàâèòü
êâàäðàò.
5. Ñ ïîìîùüþ âñåõ 10 öèôð, âçÿòûõ ïî îäíîé, è àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé çàïèøèòå àðèôìåòè÷åñêîå âûðàæåíèå,
ðàâíîå 9.
6. Íà êàæäóþ èç øåñòè ãðàíåé êóáèêà ïðîèçâîëüíûì
îáðàçîì ïîìåùåíî îäíî èç ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5, 6. Îáúÿñíèòå,
ïî÷åìó îáÿçàòåëüíî íàéäóòñÿ äâå ñîñåäíèå ãðàíè, íà êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû ñîñåäíèå ÷èñëà.
Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð
1. Â ïðÿìîóãîëüíèêå ñóììà äâóõ êàêèõ-òî ñòîðîí ðàâíà
19 ñì, à ñóììà òðåõ êàêèõ-òî ñòîðîí ðàâíà 15 ñì. Íàéäèòå
ïåðèìåòð ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà.
2. Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè, ñîåäèíÿþùåé ïóíêòû A è B,
âåñíîé ðàâíà 2 êì/÷, ëåòîì 1 êì/÷, à ñêîðîñòü êàòåðà
îòíîñèòåëüíî âîäû ðàâíà 16 êì/÷. Îïðåäåëèòå, âåñíîé èëè
ëåòîì êàòåðó ïîòðåáóåòñÿ ìåíüøå âðåìåíè, ÷òîáû ïðîïëûòü
èç A â B è îáðàòíî. Îòâåò íåîáõîäèìî îáîñíîâàòü.
3.  íà÷àëå 2013-çíà÷íîãî ÷èñëà ñòîÿò 2012 åäèíèö, ïîñëåäíÿÿ öèôðà 9. ßâëÿåòñÿ ëè ýòî ÷èñëî êâàäðàòîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà?
4. Íàéäèòå ñóììó 2013 – 2012 + 2011 – 2010 + … – 4 +
+ 3 – 2 + 1.
5. Íà êàêóþ íàèáîëüøóþ ñòåïåíü ÷èñëà 3
äåëèòñÿ ïðîèçâåäåíèå âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî 100 âêëþ÷èòåëüíî?
6. Ôèãóðó, ñîñòàâëåííóþ èç ïÿòè ðàâíûõ
êâàäðàòîâ (ðèñ. 7), ðàçðåæüòå íà ÷åòûðå ðàâÐèñ. 7
íûå ìåæäó ñîáîé ôèãóðû.
7–8 êëàññû
Óñòíûé êîìàíäíûé òóð
1. Äàí êâàäðàò ABCD ñî ñòîðîíîé 6, E – ñåðåäèíà ñòîðîíû
CD, îòðåçêè AC è BE ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå F. Íàéäèòå
ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ADEF.
2. Êàêîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå èìååò ñóììà
x +1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 ?
3.  øêîëå ýêçàìåí ïî ìàòåìàòèêå ñäàâàëè 68 ó÷àùèõñÿ,
è êàæäûé ïîëó÷èë îäíó èç îöåíîê «3», «4» èëè «5». Ïðè
ñëîæåíèè âñåõ îöåíîê ïîëó÷èëè ÷èñëî 270. Îïðåäåëèòå,
êàêèõ îöåíîê ïîñòàâëåíî áîëüøå: òðîåê èëè ïÿòåðîê è íà
ñêîëüêî.
4.  ïðÿìîóãîëüíèêå ABCD òî÷êè M è N – ñåðåäèíû
ñòîðîí AB è CD ñîîòâåòñòâåííî. ×åðåç òî÷êó M ïðîâîäèòñÿ
ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ äèàãîíàëü ÀÑ â òî÷êå P è ïðîäîëæåíèå ñòîðîíû ÂÑ â òî÷êå Q, ïðè÷åì òî÷êà B ëåæèò ìåæäó
òî÷êàìè C è Q. Äîêàæèòå, ÷òî ∠MNP = ∠MNQ .
#$
ÊÂÀÍT 2014/¹3
5. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 737 − 108 2 â âèäå a + b 2 , ãäå a,
b – íåêîòîðûå öåëûå ÷èñëà.
6. Íà ñòîëå ëåæàò 20 êó÷åê îðåõîâ. Ðàçðåøàåòñÿ äîáàâëÿòü
ïî îäíîìó îðåõó îäíîâðåìåííî ê ëþáûì 3 êó÷êàì. Äîêàæèòå, ÷òî, ïîâòîðÿÿ ýòó îïåðàöèþ, ìîæíî óðàâíÿòü êîëè÷åñòâî
îðåõîâ âî âñåõ êó÷êàõ.
Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð
1. Âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 2013 âêëþ÷èòåëüíî
âûïèñàëè ïîäðÿä è íàøëè ñóììó âñåõ öèôð. Íàéäèòå, êàêîé
îñòàòîê ïîëó÷èòñÿ ïðè äåëåíèè ýòîé ñóììû íà 9.
x − 3 + x + 3 = 6 ; á)
2. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ: à)
x−3 + x + x+3 =6.
3. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 1 3 â âèäå ñóììû øåñòè äðîáåé âèäà
1 n , âñå çíàìåíàòåëè êîòîðûõ – ðàçëè÷íûå íàòóðàëüíûå
÷èñëà.
4. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè a + b + c = 0, òî
(a
2
+ b2 + c2
)
2
(
)
= 2 a 4 + b4 + c4 .
5.  òðåóãîëüíèêå ABC òî÷êè M íà ñòîðîíå ÀÂ, N íà
ñòîðîíå BC, K íà ñòîðîíå ÑÀ ïîñòàâëåíû òàê, ÷òî
AM : MB = BN : NC = CK : KA = 4 : 3 . Êàêóþ ÷àñòü ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ñîñòàâëÿåò ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà
MNK?
6. Êàæäàÿ ñòîðîíà è êàæäàÿ äèàãîíàëü âûïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà îêðàøåíà ëèáî â êðàñíûé, ëèáî â çåëåíûé öâåò.
Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â âåðøèíàõ ýòîãî øåñòèóãîëüíèêà, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî îêðàøåíû
â îäèí öâåò.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Â.Àëüìèíäåðîâ, À.Åãîðîâ,
À.Êðàâöîâ, Â.Êðûøòîï, À.Ìàðêîâè÷åâ, Æ.Ðàááîò,
Ë.Øëÿïî÷íèê
Âñåðîññèéñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà
ïî ôèçèêå 2014 ãîäà
Ìîñêîâñêèé (II) òóð Âñåðîññèéñêîé ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäû ñòóäåíòîâ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ ïðîøåë 5 àïðåëÿ 2014 ãîäà
â Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå
(ÌÃÒÓ) èìåíè Í.Ý.Áàóìàíà.  êîìàíäíîì çà÷åòå ïåðâîå
ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà ÌÃÒÓ èìåíè Í.Ý.Áàóìàíà, íàáðàâøàÿ
194 áàëëà, âòîðîå ìåñòî – êîìàíäà Ðîññèéñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà íåôòè è ãàçà èìåíè È.Ì. Ãóáêèíà,
íàáðàâøàÿ 129 áàëëîâ, è òðåòüå ìåñòî – êîìàíäà Êàëóæñêîãî ôèëèàëà ÌÃÒÓ èìåíè Í.Ý.Áàóìàíà, íàáðàâøàÿ 114 áàëëîâ.
Ïîáåäèòåëÿìè â ëè÷íîì çà÷åòå ñòàëè: Áëàíê Ñåðãåé –
ïåðâîå ìåñòî, Øèáàåâ Ìàêñèì – âòîðîå ìåñòî è Ðîãîæèíñêèé Êîíñòàíòèí – òðåòüå ìåñòî (âñå òðîå – èç ÌÃÒÓ èìåíè
Í.Ý.Áàóìàíà).
Çàêëþ÷èòåëüíûé (III) òóð îëèìïèàäû ñîñòîÿëñÿ 15 ìàÿ
òîæå â ÌÃÒÓ èìåíè Í.Ý.Áàóìàíà.  êîìàíäíîì çà÷åòå ïåðâîå
ìåñòî çàâîåâàëà êîìàíäà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (ÑÏáÃÏÓ), íàáðàâøàÿ 125 áàëëîâ, âòîðîå ìåñòî – êîìàíäà ÌÃÒÓ èìåíè
Í.Ý. Áàóìàíà, íàáðàâøàÿ 94 áàëëà, è òðåòüå ìåñòî – êîìàíäà
Ìîñêîâñêîãî àâèàöèîííîãî èíñòèòóòà, íàáðàâøàÿ 50 áàëëîâ. Ïîáåäèòåëÿìè â ëè÷íîì çà÷åòå ñòàëè: Ñîáîëåâ Àíòîí
(ÑÏáÃÏÓ) – ïåðâîå ìåñòî, Àâäååâ Èâàí (ÑÏáÃÏÓ) – âòîðîå
ìåñòî è Øèáàåâ Ìàêñèì (ÌÃÒÓ èìåíè Í.Ý.Áàóìàíà) –
òðåòüå ìåñòî.
ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
Ìîñêîâñêèé òóð
1. Ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííûé ðåçèíîâûé øíóð ïðàâûì êîíöîì çàêðåïèëè íà ñòåíêå, à åãî ëåâûé êîíåö òÿíóò â
ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè âëåâî ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ
v. Æóê ïîëçåò ïî øíóðó îò ñòåíêè ê ëåâîìó êîíöó ñ
ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u. Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðàâûì êîíöîì øíóðà è æóêîì â ïðîöåññå
äàëüíåéøåãî äâèæåíèÿ ïðè v > u. Íà÷àëüíàÿ äëèíà øíóðà
ðàâíà l.
2. Ñàíêè äëèíîé l ñúåõàëè ñ ãîðêè ïî ñíåãó è, ðàçîãíàâøèñü äî ñêîðîñòè v0 , âúåõàëè íà ãîðèçîíòàëüíûé ó÷àñòîê ñ
àñôàëüòîì. Îïðåäåëèòå ïóòü, êîòîðûé ïðîéäóò ñàíêè ïî
àñôàëüòó äî ïîëíîé îñòàíîâêè, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ
ñàíîê ñ àñôàëüòîì ðàâåí µ .
3. Êîñìè÷åñêàÿ ñòàíöèÿ äâèæåòñÿ ïî ñòàöèîíàðíîé êðóãîâîé îðáèòå ðàäèóñîì R âîêðóã Çåìëè. Ñòàíöèÿ ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé äâà øàðà ìàññîé m è ðàäèóñîì r, ñîåäèíåííûõ æåñòêèì
ñòåðæíåì äëèíîé L ( r L R ). Îïðåäåëèòå óãëîâóþ
ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ω0 ñòàíöèè âîêðóã îñè âðàùåíèÿ, ñîâïàäàþùåé ñ æåñòêèì ñòåðæíåì, íåîáõîäèìóþ äëÿ òîãî, ÷òîáû
óãîë ìåæäó ðàäèóñîì-âåêòîðîì ñòàíöèè, ïðîâåäåííûì îò
öåíòðà Çåìëè, è îñüþ âðàùåíèÿ ñòàíöèè áûë ðàâåí α è
îñòàâàëñÿ ïîñòîÿííûì. Ó÷òèòå èçìåíåíèå ñèëû òÿæåñòè íà
ðàññòîÿíèè L.
4. Ïîðøåíü ïëîùàäüþ S è ìàññîé M ëåæèò íà äíå
âåðòèêàëüíî ðàñïîëîæåííîãî öèëèíäðà, âåðõíèé êîíåö êîòîðîãî îòêðûò â àòìîñôåðó. ×åðåç íåáîëüøîå îòâåðñòèå â äíå
öèëèíäðà ïîä ïîðøåíü ìåäëåííî çàêà÷èâàþò âîçäóõ èç
àòìîñôåðû äî òåõ ïîð, ïîêà ïîðøåíü íå ïîäíèìåòñÿ íà
âûñîòó h. Îïðåäåëèòå ñîâåðøåííóþ ðàáîòó, ñ÷èòàÿ, ÷òî
ïðîöåññ èçîòåðìè÷åñêèé.
5. Ìåòàëëè÷åñêèé ïîëóöèëèíäð ðàäèóñîì R è äëèíîé
L R , îáðàçîâàííûé ñåêóùåé ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç åãî îñü, çàðÿæåí çàðÿäîì Q. Îñíîâàíèå ýòîãî ïîëóöèëèíäðà çàêðûòî äèýëåêòðè÷åñêîé ïëàñòèíîé äëèíîé L è
øèðèíîé 2R, çàðÿæåííîé ðàâíîìåðíî ïî ïîâåðõíîñòè çàðÿäîì q. Îïðåäåëèòå ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ïëàñòèíîé è
ïîëóöèëèíäðîì.
6. Ïî ïîëóáåñêîíå÷íîìó öèëèíäðè÷åñêîìó ñîëåíîèäó ðàäèóñîì R ñ ïëîòíîñòüþ íàìîòêè n ïðîòåêàåò òîê I. Îïðåäåëèòå ïîòîê ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïðîíèçûâàþùåãî êîëüöî ðàäèóñîì 2R, ëåæàùåãî â ïëîñêîñòè ñðåçà, öåíòð êîòîðîãî
ñîâïàäàåò ñ îñüþ öèëèíäðà.
7. Äâå ïëîñêèå ãàðìîíè÷åñêèå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû
èíòåíñèâíîñòüþ I0 ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â âàêóóìå: ïåðâàÿ
âäîëü îñè x, âòîðàÿ âäîëü îñè y. Âåêòîðû íàïðÿæåííîñòè E
îáåèõ âîëí êîëåáëþòñÿ âäîëü îñè z. Ïîñòðîéòå ãîäîãðàô
âåêòîðà Ïîéíòèíãà S â òî÷êå, ãäå ðàçíîñòü ôàç ìåæäó
âîëíàìè ðàâíà π 2 .
ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÊÀÇÀÍÈß,
ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÛÉ ÒÓÐ
1. Àâòîìîáèëü äâèæåòñÿ ïî ðîâíîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñ êîòîðîé ðàâåí µ . Àâòîìîáèëü
äîëæåí ñîâåðøèòü ïîâîðîò íà 90° ãðàäóñîâ çà ìèíèìàëüíî
âîçìîæíîå âðåìÿ. Ñ÷èòàÿ, ÷òî íà÷àëî ìàíåâðà ñîâïàëî ñ
íà÷àëîì êîîðäèíàò, à îñü y íàïðàâëåíà ïî âåêòîðó ñêîðîñòè,
âåëè÷èíà êîòîðîé â íà÷àëå è êîíöå ïîâîðîòà ðàâíà v,
îïðåäåëèòå òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ çà âðåìÿ ñîâåðøåíèÿ ìàíåâðà.
2. Òîíêàÿ íåðàñòÿæèìàÿ è àáñîëþòíî ãëàäêàÿ íèòü çàêðåïëåíà íà ïîòîëêå â òî÷êàõ A è B, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè
ðàâíî a. Äëèíà íèòè l = 2a. Èç òî÷êè A íà÷èíàåò ñêîëüçèòü
ìàëåíüêîå êîëüöî, â êîòîðîå ïðîäåòà íèòü. Îïðåäåëèòå
ñêîðîñòü êîëüöà ñðàçó ïîñëå íàòÿæåíèÿ íèòè.
3. Íà äëèííûõ íåâåñîìûõ íèòÿõ, êàñàÿñü äðóã äðóãà,
ïîäâåøåíà î÷åíü äëèííàÿ öåïî÷êà øàðèêîâ îäèíàêîâîãî
äèàìåòðà, ìàññà êîòîðûõ óáûâàåò, îáðàçóÿ ïðîãðåññèþ.
Îïðåäåëèòå ýòó ïðîãðåññèþ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êîãäà ïåðâîìó øàðèêó óäàðîì ïðèäàþò ñêîðîñòü v0 , òî âñÿ öåïî÷êà,
êðîìå ïîñëåäíåãî øàðèêà, ïîñëå ñåðèè àáñîëþòíî óïðóãèõ
ñîóäàðåíèé íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ êàê åäèíîå öåëîå ñî ñêîðîñòüþ v0 2 .
4. Îïðåäåëèòå ïåðèîä êîëåáàíèé òðåóãîëüíèêà, ñîñòîÿùåãî èç òðåõ ñòåðæíåé îäèíàêîâîé ìàññû, îòíîñèòåëüíî îñè,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà è ïðîõîäÿùåé
÷åðåç âåðøèíó O, â êîòîðîé ñõîäÿòñÿ ñòåðæíè a è b. Äëèíà
è îðèåíòàöèÿ ýòèõ ñòåðæíåé çàäàíû âåêòîðàìè a è b .
5. Íàãðåòûé ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè â ýêâàòîðèàëüíîé ÷àñòè
âîçäóõ ïîäíèìàåòñÿ â âåðõíèå ñëîè àòìîñôåðû è âïîñëåä-
#%
ÐÅØÅÍÈß
ñòâèè îïóñêàåòñÿ ê ïîâåðõíîñòè Çåìëè â ïîëÿðíûõ îáëàñòÿõ.
Ïðèíèìàÿ, ÷òî âîçäóõ, ïîäíèìàÿñü â âåðõíèå ñëîè àòìîñôåðû èëè îïóñêàÿñü âíèç, ðàñøèðÿåòñÿ èëè ñæèìàåòñÿ àäèàáàòè÷åñêè, îïðåäåëèòå èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû âîçäóõà ñ âûñîòîé T ( z ) , ñ÷èòàÿ, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè òåìïåðàòóðà
ðàâíà T0 .
6. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü â ôîðìå êóáà ñ ðåáðîì l
çàðÿæåíà ðàâíîìåðíî ïî ïîâåðõíîñòè ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà σ . Îïðåäåëèòå ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà ãðàíü
êóáà.
7. Çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà ñ çàðÿäîì q è ìàññîé m äâèæåòñÿ
co ñêîðîñòüþ v â ìàãíèòíîì ïîëå äèïîëÿ â ïëîñêîñòè,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè äèïîëÿ. Ìàãíèòíîå ïîëå äèïîëÿ
ìåíÿåòñÿ ñ ðàññòîÿíèåì ïî çàêîíó B = a r 3 . Îïðåäåëèòå
ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîå ìîæåò ïðèáëèçèòüñÿ
÷àñòèöà ê äèïîëþ, åñëè îíà íà÷èíàåò äâèæåíèå èç áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè
â íàïðàâëåíèè ê äèïîëþ ñòðîãî âäîëü
ðàäèóñà-âåêòîðà r .
8. Çàðÿä q ñ ìàññîé m äâèæåòñÿ ïî çàìêíóòîé òðàåêòîðèè
ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîãî îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ
èíäóêöèåé B, íàïðàâëåííîé ïî îñè y, è ïåðåìåííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E = E0 cos ωt , íàïðàâëåííîãî ïî îñè z. Ïðè
êàêèõ óñëîâèÿõ äâèæåíèå çàðÿäà áóäåò ïåðèîäè÷åñêèì ñ
êðóãîâîé ÷àñòîòîé, ñîâïàäàþùåé ñ êðóãîâîé ÷àñòîòîé ω
èçìåíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ? Îïðåäåëèòå çàâèñèìîñòè îò
âðåìåíè ïðîåêöèé vz è vx ñêîðîñòè çàðÿäà. Êàêîâà áóäåò
ïðè ýòîì òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ çàðÿäà?
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè
À.Ìàêàðîâ, Â.Ãîëóáåâ, Â.Ãëóøêîâ
ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß
«ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ
ÇÀÄÀ×È
Òåïåðü ïîñìîòðèì íà ïîñëåäíþþ òåëåãðàììó. Åñëè çàïèñàòü
åå êàê ïðèìåð íà ñëîæåíèå â ñòîëáèê:
(ñì. «Êâàíò» ¹2)
1. 6.
Ïóñòü Àíÿ îòäàëà ïîëîâèíó ñâîèõ ãðèáîâ Âèòå. Òåïåðü ó âñåõ
ðåáÿò ñòàëî ïîðîâíó ãðèáîâ (è ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ó Âèòè ñâîèõ
ãðèáîâ íå áûëî). ×òîáû Ñàøà ïîëó÷èë âñå Àíèíû ãðèáû, åìó
íàäî çàáðàòü ãðèáû ó Àíè è ó Âèòè. Òîãäà ó íåãî áóäóò ãðèáû
òðîèõ ðåáÿò: Àíè, Âèòè è åãî ñîáñòâåííûå. Åùå ñòîëüêî æå
áóäåò ó îñòàëüíûõ ðåáÿò. Çíà÷èò, â ëåñ õîäèëî åùå òðîå äåòåé, èìåíà êîòîðûõ íàì íå ñîîáùèëè.
2. Îäíà èç ïîäõîäÿùèõ ôèãóð èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 1.
3. Ïîåçä ¹392, âàãîí ¹2.
Ïîñìîòðèì íà ñàìóþ äëèííóþ òåëåãðàììó. Âèäíî, ÷òî â ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿõ íàïèñàíî îäíî è òî æå: ÅÒ – ÎÉ. Ýòî
Ðèñ. 1
çíà÷èò, ÷òî è â ñòàðøèõ ðàçðÿäàõ ñëåâà è ñïðàâà áóäåò îäíî
è òî æå: ÑÅÊÐ – ÎÒÊÐ = ÎÒ – ÒÂ. Òåïåðü, åñëè âûïîëíèòü âû÷èòàíèÿ, òî ñïðàâà è ñëåâà ñîêðàòÿòñÿ ïî äâå áóêâû,
ò.å. íà êîíöàõ áóäåò ïî äâà íóëÿ. Åñëè ðàçäåëèòü íà 100, òî
ïîëó÷èòñÿ ÑÅ – ÎÒ = Î.
òî âèäíî, ÷òî ÎÒ + 2 = ÑÅ. Ñîïîñòàâèâ ýòî ñ ïðåäûäóùèì
ðàâåíñòâîì, ìîæíî ïîíÿòü, ÷òî Î = 2, à òîãäà Ñ = 3. Êðîìå
òîãî, ïðè ñëîæåíèè ïðîèçîøåë ïåðåíîñ èç ðàçðÿäà â ðàçðÿä
äåñÿòêîâ, ò.å. Ò = 8 èëè Ò = 9. Íî åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî
Ò = 8, òî ïîëó÷èòñÿ, ÷òî Å = 0, à òîãäà ïðè ñëîæåíèè Û +
+ 1 = Å (ò.å. Û + 1 = 0) íåèçáåæíî ïðîèçîøåë áû ïåðåíîñ
â ñëåäóþùèé ðàçðÿä. Íî ýòîãî íå áûëî, çíà÷èò, Ò = 9, è ìû
óçíàëè çíà÷åíèÿ âñåõ íóæíûõ öèôð.
4. à) 25.
Âñå îäóâàí÷èêè, êîòîðûå ïîçàâ÷åðà áûëè æåëòûìè, ñòàëè áåëûìè â÷åðà èëè ñåãîäíÿ. Ïîýòîìó ïîçàâ÷åðà áûëî 14 + 11 =
= 25 æåëòûõ îäóâàí÷èêîâ.
á) 9.
Èç â÷åðàøíèõ æåëòûõ îäóâàí÷èêîâ 11 ïîáåëåëè ñåãîäíÿ, à îñòàâøèåñÿ 20 – 11 = 9 ïîáåëåþò
çàâòðà.
5. Â òðåóãîëüíèêå ABC óãëû A è
C ðàâíû êàê ñîîòâåòñòâåííûå
óãëû ðàâíûõ áóìàæíûõ òðåóãîëüíèêîâ (ðèñ. 2); çíà÷èò, òðåóÐèñ. 2
ãîëüíèê ABC ðàâíîáåäðåííûé è
AB = BC. Íî è åãî ñòîðîíû AB è AC ðàâíû (êàê ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû ðàâíûõ áóìàæíûõ òðåóãîëüíèêîâ). Çíà÷èò,
òðåóãîëüíèê ABC ðàâíîñòîðîííèé.
#&
ÊÂÀÍT 2014/¹3
ÊÎÍÊÓÐÑ «ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 6-8»
(ñì. «Êâàíò» ¹ 1)
11. Ñóùåñòâóþò.
1 1
7
1 1
+
=
= + .
2 12 12 3 4
Ïîäîáíûå ïðèìåðû ïîëó÷àþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: íóæíî
âçÿòü ëþáûå ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñëà x, y, z, t ñ
óñëîâèåì x + y = z + t è ðàçäåëèòü ýòî ðàâåíñòâî íà îáùåå
êðàòíîå ýòèõ ÷èñåë.  íàøåì ïðèìåðå x = 6, y = 1, z = 4, t =
= 3, à â êà÷åñòâå îáùåãî êðàòíîãî áûëî âûáðàíî èõ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå 12.
12. 12.
Ïðèìåðîì ìîãóò ñëóæèòü äâà ïðàâèëüíûõ ïÿòèóãîëüíèêà, ñèììåòðè÷íûõ äðóã
äðóãó îòíîñèòåëüíî èõ îáùåãî öåíòðà
(ðèñ.3).
Äîêàæåì, ÷òî áîëüøå 12 ÷àñòåé áûòü íå
ìîæåò. Îòðåçîê ìîæåò ïåðåñåêàòü ãðàíèöó âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà íå áîëåå ÷åì â äâóõ òî÷êàõ. Êîíòóð îäíîãî
ïÿòèóãîëüíèêà ñîñòîèò èç ïÿòè îòðåçÐèñ. 3
êîâ, ïîýòîìó îí ïåðåñåêàåòñÿ ñ êîíòóðîì äðóãîãî ïÿòèóãîëüíèêà íå áîëåå ÷åì â 5 ◊ 2 = 10 òî÷êàõ.
Ñäåëàåì ñíà÷àëà ðàçðåç ïî êîíòóðó ïåðâîãî ïÿòèóãîëüíèêà.
Ïîñëå ýòîãî ëèñò ðàñïàäåòñÿ íà äâå ÷àñòè – âíåøíþþ è âíóòðåííþþ.
Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ êîíòóðîâ ïåðâîãî è âòîðîãî ïÿòèóãîëüíèêà
äåëÿò êîíòóð âòîðîãî ïÿòèóãîëüíèêà íà k £ 10 ëîìàíûõ. Áóäåì ðàçðåçàòü ëèñò ïî î÷åðåäè âäîëü êàæäîé èç ýòèõ ëîìàíûõ. Ïðè êàæäîì òàêîì ðàçðåçå êîëè÷åñòâî ÷àñòåé ïëîñêîñòè óâåëè÷èâàåòñÿ
ðîâíî íà 1. Ïîýòîìó îáùåå êîëè÷åñòâî
÷àñòåé ðàâíî 2 + k £ 12 .
Çàìå÷àíèå.  ðåøåíèè ñóùåñòâåííî èñïîëüçóåòñÿ óñëîâèå âûïóêëîñòè ïÿòèóãîëüíèêîâ. Åñëè ðàññìàòðèâàòü è íåâûïóêëûå ïÿòèóãîëüíèêè, òî êîëè÷åñòâî
÷àñòåé ìîæåò áûòü áîëüøå 12. Íà ðèñóíêå 4 ïîêàçàí ïðèìåð äëÿ 18 ÷àñòåé.
Ðèñ. 4
13. 200.
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå â âèäå xy - x - y = 999 999 999 . Åñëè
ïðèáàâèòü ê îáåèì ÷àñòÿì ïî 1, òî ñëåâà ïîëó÷èòñÿ âûðàæåíèå, êîòîðîå ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ìíîæèòåëè: xy - x - y + 1 =
= ( x - 1)( y - 1) . Óðàâíåíèå ïðåâðàùàåòñÿ â òàêîå:
( x - 1) ( y - 1) = 1000 000 000 = 109 = 29 ◊ 59 . Ïîñêîëüêó ìû
èùåì ðåøåíèÿ â öåëûõ ÷èñëàõ, òî ïåðâûé èç ñîìíîæèòåëåé â
ëåâîé ÷àñòè äåëèò ïðàâóþ ÷àñòü, à çíà÷èò, èìååò âèä ±2m ◊ 5n ,
ãäå m è n ìîãóò ìåíÿòüñÿ îò 0 äî 9 (ÿñíî, ÷òî x îïðåäåëÿåòñÿ
îäíîçíà÷íî ïî ïåðâîìó ñîìíîæèòåëþ). Òàêèõ ÷èñåë âñåãî
200. Åñëè ïåðâûé ñîìíîæèòåëü èçâåñòåí, òî âòîðîé (à âìåñòå
ñ íèì è y) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Çíà÷èò, âñåãî ðåøåíèé ó
äàííîãî óðàâíåíèÿ òîæå 200.
14. Ïðÿìîóãîëüíîìó.
Åñëè ìû ñëîæèëè èç äâóõ òðåóãîëüíèêîâ îäèí, òî êàêîé-òî
óãîë îäíîãî âìåñòå ñ êàêèì-òî óãëîì äðóãîãî ñîñòàâèë 180°.
Òàê êàê ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê âñåãî îäèí, òî ýòî íå ìîãóò áûòü äâà ïðÿìûõ óãëà. Çíà÷èò, îäèí èç íèõ îñòðûé, à
äðóãîé – òóïîé. Ïîýòîìó îäèí èç äâóõ ñêëàäûâàåìûõ òðåóãîëüíèêîâ òóïîóãîëüíûé. Åñëè ïîëó÷åííûé òðåóãîëüíèê îñòðîóãîëüíûé, òî è âòîðîé ïðèêëàäûâàåìûé òðåóãîëüíèê îñòðîóãîëüíûé, à ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Çíà÷èò, ïîëó÷èëñÿ
ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê (íå ñîñòàâëÿåò òðóäà óáåäèòüñÿ â
òîì, ÷òî òàêîå äåéñòâèòåëüíî âîçìîæíî).
15. Ïóñòü â ñòðàíå âñåãî n ãîðîäîâ. Âûáåðåì ëþáûå äâà èç
íèõ, À è Á. Òåïåðü ðàñïðåäåëèì ìàðøðóòû ìåæäó àâèàêîìïà-
Íàïðèìåð, ïîäîéäóò ÷èñëà 2, 12, 3, 4:
íèÿìè. Ïåðâàÿ êîìïàíèÿ áóäåò ñîâåðøàòü ðåéñû èç À âî âñå
ãîðîäà, êðîìå Á, âòîðàÿ – èç Á âî âñå ãîðîäà, êðîìå À, òðåòüÿ – âñå îñòàëüíûå ðåéñû (ò.å. èç À â Á è âñå ðåéñû ìåæäó
îñòàâøèìèñÿ n – 2 ãîðîäàìè). Ïîêàæåì, ÷òî ïðè òàêîì ðàñïðåäåëåíèè ìàðøðóòîâ äëÿ ëþáîé àâèàêîìïàíèè åñòü õîòÿ áû
äâà òàêèõ ãîðîäà, ÷òî ïîïàñòü èç îäíîãî â äðóãîé òîëüêî ðåéñàìè ýòîé àâèàêîìïàíèè íåëüçÿ. Äëÿ ïåðâîé è âòîðîé àâèàêîìïàíèé ìîæíî âçÿòü ïàðó ãîðîäîâ À è Á: íàïðÿìóþ ìîæíî
ëåòåòü òîëüêî òðåòüåé êîìïàíèåé, à íà âñåõ îñòàëüíûõ ìàðøðóòàõ ïðèäåòñÿ äåëàòü ïåðåñàäêè íà ðåéñû äðóãèõ êîìïàíèé.
Äëÿ òðåòüåé àâèàêîìïàíèè ïîäîéäóò ãîðîä À è ëþáîé äðóãîé
ãîðîä, êðîìå Á.
ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ»
Âîïðîñû è çàäà÷è
1. Ïîíÿòèÿ «èñòèííàÿ òðàåêòîðèÿ» íå ñóùåñòâóåò. Âèä òðàåêòîðèè çàâèñèò îò âûáîðà ñèñòåìû îòñ÷åòà.
2. Åñëè íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî ïëàòôîðìû ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ïëàòôîðìû îòíîñèòåëüíî çåìëè èëè ïðîòèâîïîëîæíà åé, òî òðàåêòîðèÿ ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî çåìëè ïðÿìîëèíåéíàÿ, â èíûõ ñëó÷àÿõ –
êðèâîëèíåéíàÿ.
3. Êîãäà
òðàìâàé íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì.
4. F = ma .
5. α = arctg (a g) ; êàê âèäíî èç ôîðìóëû, óãîë α îò ìàññû
ãðóçèêà íå çàâèñèò.
6. Óãîë α íå çàâèñèò îò âèäà æèäêîñòè è îïðåäåëÿåòñÿ ïî
òîé æå ôîðìóëå, ÷òî è â çàäà÷å 5. Òîëùèíà ñëîÿ âîäû íàä
ðòóòüþ áóäåò âñþäó îäèíàêîâà, è íàêëîí ïîâåðõíîñòè ðòóòè
íå èçìåíèòñÿ.
7. Øàðèê áóäåò òÿíóòüñÿ âïåðåä ïî õîäó àâòîìîáèëÿ.
8. Ïðè ñêîëüæåíèè áåç òðåíèÿ ïîâåðõíîñòü âîäû ðàñïîëîæèòñÿ ïàðàëëåëüíî íàêëîííîé ïëîñêîñòè; ïðè óñêîðåííîì ñêîëüæåíèè ñ òðåíèåì óãîë íàêëîíà ïîâåðõíîñòè âîäû ê ãîðèçîíòó
ñòàíåò ìåíüøå α ; åñëè äâèæåíèå ñòàíåò ðàâíîìåðíûì, òî
óãîë áóäåò ðàâåí íóëþ.
9. Ïðîáêà îñòàíåòñÿ íåïîäâèæíîé îòíîñèòåëüíî ñòåíîê ñîñóäà.
10. Ïðè ñâîáîäíîì ïàäåíèè ñòîëá âîäû íå îêàçûâàåò ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ, ïîýòîìó óðîâåíü âîäû â ïðîáèðêå áóäåò îïóñêàòüñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà äàâëåíèå âîçäóõà âíóòðè
ïðîáèðêè íå ñðàâíÿåòñÿ ñ âíåøíèì äàâëåíèåì.
11. Ïåðèîä êîëåáàíèé ïî âåëè÷èíå îñòàíåòñÿ ðàâíûì T, îäíàêî ìàÿòíèê áóäåò êîëåáàòüñÿ «ââåðõ íîãàìè».
12. Íèòü îòâåñà óñòàíîâèòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ïîëó ñàëîíà
ñàìîëåòà.
13. Íåò, òàê êàê îòíîñèòåëüíî çåìëè âåëîñèïåäèñò ïîêîèòñÿ è
åãî öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ðàâíî íóëþ.
14. Âåñ òåëà íà ïîëþñå áîëüøå, ÷åì íà ýêâàòîðå. Îäíàêî îáíàðóæèòü ýòî ìîæíî ñ ïîìîùüþ íå ðû÷àæíûõ, à ïðóæèííûõ
âåñîâ. Êîãäà æå ðû÷àæíûå âåñû óðàâíîâåøåíû, ìîæíî ëèøü
óòâåðæäàòü, ÷òî âåñ òåëà ðàâåí âåñó ãèðü.
15. Ïðîáêà ðàñïîëîæèòñÿ ó îñè âðàùåíèÿ ââåðõó, ñâèíåö – ó
ñòåíêè öèëèíäðà âíèçó, òåëî A – â ëþáîì ïîëîæåíèè (åñëè
íå ó÷èòûâàòü ñæèìàåìîñòü âîäû).
16. Íà çàïàä. Ïðè÷èíà ÿâëåíèÿ – äåéñòâèå êîðèîëèñîâîé
ñèëû èíåðöèè, âîçíèêàþùåé èç-çà âðàùåíèÿ Çåìëè.
Ìèêðîîïûò
Ñèëà òÿæåñòè âîäû è ñèëà ðåàêöèè äíà âåäðà ïðè äîñòàòî÷íîé ñêîðîñòè óäåðæèâàþò â âåðõíåé òî÷êå âîäó íà êðóãîâîé
òðàåêòîðèè.  ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ âåäðîì, ýòîò ýôôåêò ìîæíî îáúÿñíèòü ïîÿâëåíèåì öåíòðîáåæíîé ñèëû èíåðöèè, ïðèæèìàþùåé âîäó êî äíó.
ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÊÀÇÀÍÈß,
ÑÂÅÐÕÇÂÓÊÎÂÛÅ ÀÂÒÎÁÓÑÛ, ËÎÄÊÈ È… ÄÅÐÅÂÜß
Çàäà÷à 2. Íà ðèñóíêå 5 èçîáðàæåí òðåóãîëüíèê ÎÅÈ è óêàçàíû âðåìåíà, çà êîòîðûå ãðèáíèêè ïðîøëè áû êàæäûé èç
îòðåçêîâ. Íàéäåì ÷èñëî
Ìàõà â íàøåé çàäà÷å. Èç
òî÷êè Å â òî÷êó È àâòîáóñ
äâèãàëñÿ 10 ìèí, à ãðèáíèêó ïîíàäîáèëîñü áû 50
ìèí, ÷òîáû ïðîéòè ýòîò
ïóòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü àâòîáóñà â ïÿòü ðàç
áîëüøå ñêîðîñòè ãðèáíèêà,
è Ì = 5. À òåïåðü ïîäñ÷èÐèñ. 5
òàåì, êîãäà àâòîáóñ ïðèäåò
â òî÷êó Ï. Âðåìÿ áóäåò îòñ÷èòûâàòü îò ìîìåíòà âûõîäà ãðèáíèêîâ èç òî÷êè Î. Àâòîáóñó ïîíàäîáèòñÿ 30 ìèí, ÷òîáû äîåõàòü äî òî÷êè Å è åùå 18/5 ìèí, ÷òîáû èç Å äîåõàòü äî Ï,
âñåãî – 33 ìèí 36 ñ. À Ïåòð äîéäåò äî òî÷êè Ï çà 24 ìèí.
Èòîãî, åìó ïðèäåòñÿ ïîäîæäàòü 9 ìèí 36 ñ.
Çàäà÷à 3. Îòìåòèì ñðàçó, ÷òî êîëè àâòîáóñ ïðèåõàë â òî÷êó
Ï çà 33 ìèí 36 ñ, òî â ìîìåíò íà÷àëà äâèæåíèÿ ãðèáíèêîâ
îí íàõîäèëñÿ îò ýòîé òî÷êè íà ðàññòîÿíèè 168 ìèí äâèæåíèÿ
ãðèáíèêîâ. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è âûòåêàåò, ÷òî òî÷êà Î
íàõîäèòñÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âíóòðè êîíóñà Ìàõà. À âîò
Ñèäîðó ïðèäåòñÿ îáÿçàòåëüíî îòïðàâèòüñÿ â ïóòü, êîãäà îáðàçóþùàÿ êîíóñà Ìàõà êîñíåòñÿ òî÷êè Î (ðèñ.6).  ýòîò
#'
ÐÅØÅÍÈß
Çàäà÷à 7. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è âðåìÿ âîçâðàùåíèÿ
L
v
L
t2 =
â äâà ðàçà áîëüøå âðåìåíè ïåðåïðàâû t1 = .
c v2 − c 2
c
Îòñþäà ïîëó÷àåì îòâåò:
v 2 3
=
≈ 1,15 ;
c
3
s1
=
s2
7
c 2 + v2
=
≈ 1,32 .
2
v
Çàäà÷à 8. 1) t = 7 ìèí 12 ñ. 2) Ì = 5.
Çàäà÷à 9. 1) tmin = t0 1 − M 2
(n − 1)2
(n + 1)2
. 2) Mmax =
n +1
.
n −1
v
Çàäà÷à 10. β = arccos = arccos 0,8 ; u = c2 − v2 = 3 ì ñ ;
c
L
t = = 40 c .
u
ÏÀÐÛ. ÂËÀÆÍÎÑÒÜ
3
1. ρí = 18 ã ì .
4. ϕ = 30% .
2. ∆m = 257 ã .
5. n = 4.
3. pê = 4 àòì .
6. pê = 92 êÏà .
7. ∆m = 3 ã .
XXII ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ
«ÈÍÒÅËËÅÊÒÓÀËÜÍÛÉ ÌÀÐÀÔÎÍ»
ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ ÏÎ ÔÓÍÄÀÌÅÍÒÀËÜÍÛÌ ÍÀÓÊÀÌ
Óñòíûé êîìàíäíûé òóð
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Ðèñ. 6
ìîìåíò àâòîáóñ áóäåò íàõîäèòüñÿ îò òî÷êè Ï íà ðàññòîÿíèè
ÎÏ ctg α = 24 24 ìèí äâèæåíèÿ ãðèáíèêà. Èòîãî, ó Ñèäîðà
â çàïàñå ñòîëüêî âðåìåíè, ñêîëüêî ïîíàäîáèòñÿ àâòîáóñó, ÷òîáû ïðîåõàòü èç òî÷êè A1 â òî÷êó A2 . Ãðèáíèêó, ÷òîáû ïðîé-
(
)
òè ýòîò ó÷àñòîê, íóæíî 168 − 24 24 ìèí, à àâòîáóñó – â
ïÿòü ðàç ìåíüøå, ò.å. ≈ 10 ìèí 5 ñ . Èìåííî ñòîëüêî âðåìåíè
åñòü ó Ñèäîðà â çàïàñå.
Çàäà÷à 4. Îáëàñòè äîñòèæèìîñòè àâòîáóñà èçîáðàæåíû íà
ðèñóíêå 7.
Ðèñ. 7
Çàäà÷à 5. Ïðèâåäåì ëèøü îòâåòû: β = 90∞ , d =
s=
L 2
v + c2 .
c
Çàäà÷à 6. Îòâåòû: β = arccos
d=
L
L 2
v - c2 , s = v .
c
c
c
L
v
, t=
,
v
c v2 - c 2
L 2
v - c2 ,
c
1. Íà 30%.
Ïóñòü çàâîä ïðîèçâîäèë ïðîäóêöèþ â êîëè÷åñòâå à êàêèõ-òî
åäèíèö, à èñêîìîå ñíèæåíèå áûëî íà ð% â ãîä. Òîãäà â êîíöå
ïåðâîãî ãîäà îí ïðîèçâåë ïðîäóêöèþ â êîëè÷åñòâå à –
ð 
àð

= à 1 −
 = b, à â êîíöå âòîðîãî ãîäà – â êîëè÷åñòâå
100
100 

2
p 
p 


b 1 −
 = a 1 −
 . Ïî óñëîâèþ,
100 
100 


2
 p1 = 30,
49
7
p 
p

⇔ 1−
=±
⇔
a 1 −
 = a⋅
100 
100
100
10

 p2 = 170.
Ïî ñìûñëó çàäà÷è îñòàåòñÿ ëèøü ïåðâûé êîðåíü.
2. Ïóñòü ABCD – äàííûé êâàäðàò
(ðèñ. 8). Ïóñòü Ì – òî÷êà íà ñòîðîíå
AD, ïðè÷åì ÀÌ > ÌD. Ïðîâåäåì èç
òî÷êè Ì ïåðïåíäèêóëÿð ê ñòîðîíå AD,
ïåðåñåêàþùèé ñòîðîíó ÂÑ â òî÷êå N
òàê, ÷òî òî÷êà N – ñåðåäèíà îòðåçêà
ÌÅ. Òîãäà îòðåçîê ÀÅ ïåðåñå÷åò ñòîðîíó ÂÑ â ñåðåäèíå K îòðåçêà BN, à
îòðåçîê ED – â ñåðåäèíå L îòðåçêà
NC (ýòî ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà äâóõ ïàð
ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ ÀÂK è
KEN, CDL è ECL). Åñëè îòðåçàòü îò
Ðèñ. 8
êâàäðàòà òðåóãîëüíèêè ABK è CDL è
ñîâìåñòèòü èõ ñ òðåóãîëüíèêàìè ENK è NEL ñîîòâåòñòâåííî, òî êâàäðàò ABCD ïðåâðàùàåòñÿ â íåðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê AED.
3. à) Äà; á) íåò.
à) Îòâåò ñëåäóåò èç ñëåäóþùåé öåïî÷êè ðàâåíñòâ:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
+ + = + +  + + = + +
+
+
.
2 3 6 2 3 6  2 3 6  2 3 12 18 36
á) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàøëèñü ïîïàðíî ðàçëè÷íûå íå÷åòíûå
1=
$
ÊÂÀÍT 2014/¹3
÷èñëà õ1 , õ2 , …, õ5 òàêèå, ÷òî
1
1
1
1
1
+
+
+
+
= 1.
õ1 õ2 õ3 õ4 õ5
Òîãäà
– 1) – 1 ≥ 0 , ò.å.
(*)
1
1
1
1
1
1 1 3 101
+
+
+
+
≤ + + =
< 1,
õ1 õ2 õ3 õ4 õ5 3 5 7 105
÷òî ïðîòèâîðå÷èò ðàâåíñòâó (*).
π 2π 4 π
4. ,
,
.
7 7 7
Ïóñòü α , β è γ – óãëû òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ (ïðè âåðøèíàõ
À,  è Ñ ñîîòâåòñòâåííî), I – åãî èíöåíòð (öåíòð âïèñàííîé â
íåãî îêðóæíîñòè), ïðè÷åì α ≥ β ≥ γ (ðèñ. 9). Ïóñòü òðå-
Ðèñ. 9
óãîëüíèê AIB ïîäîáåí òðåóãîëüíèêó ÀÂÑ. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî
óãîë ïðè âåðøèíå I òðåóãîëüíèêà AIB – òóïîé , ïîýòîìó îí
ñàìûé áîëüøîé ïî âåëè÷èíå â ýòîì òðåóãîëüíèêå, çíà÷èò, îí
ðàâåí α . Äëÿ îñòàëüíûõ óãëîâ, î÷åâèäíî, âåðíû ðàâåíñòâà
β
α
= γ ⇔ β = 2γ . Èòàê, óãëû òðåóãîëüíèêà
= β ⇔ α = 2β è
2
2
AIB (è, êîíå÷íî, ïîäîáíîãî åìó òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ) ðàâíû
4γ , 2γ è γ , à èõ ñóììà ðàâíà π , îòêóäà ïîëó÷àåì óêàçàííûé îòâåò.
Îñòàëüíûå òðåóãîëüíèêè ñ âåðøèíîé â òî÷êå I íå ìîãóò áûòü
ïîäîáíûìè èñõîäíîìó: èõ òóïûå óãëû íå ìîãóò ðàâíÿòüñÿ
íàèáîëüøåìó óãëó α òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ. Äåéñòâèòåëüíî,
π β
åñëè
+ = α, òî íàèìåíüøèé óãîë γ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ
2 2
α
(íå ìîæåò æå îí ðàâíÿòüñÿ
ìîæåò áûòü ðàâíûì òîëüêî
2
γ
γ
ñâîåé ïîëîâèíå, ), íî îñòàâøèåñÿ óãëû β è
íå ìîãóò
2
2
π α
ðàâíÿòüñÿ äðóã äðóãó. Åñëè æå
+ = α, òî ïîëó÷àåì α = π ,
2 2
÷òî íåâîçìîæíî.
5. Äà, ñóùåñòâóþò.
Ïóñòü õ1 = õ2 = … = õ100 = à . Ïî óñëîâèþ,
à = 0,
2
à = (99à ) ⇔ 
1 .
à =

992
Íàñ óñòðàèâàåò òîëüêî âòîðîé êîðåíü.
6. Äà, ìîæíî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóììà âîçðàñòîâ 20 ñàìûõ ñòàðøèõ ó÷åíèêîâ íå áîëüøå 260, òîãäà ñàìûé ìëàäøèé èç íèõ íå ñòàðøå 13
ëåò (èíà÷å âîçðàñò êàæäîãî èç íèõ áîëüøå 13, à òîãäà ñóììà
èõ âîçðàñòîâ áîëüøå ÷åì 20 ⋅ 13 = 260, âîïðåêè ïðåäïîëîæåíèþ). Íî òîãäà êàæäûé èç îñòàâøèõñÿ 13 ó÷åíèêîâ òîæå íå
ñòàðøå 13 ëåò, ïîýòîìó ñóììà âîçðàñòîâ âñåõ 33 øêîëüíèêîâ
ïîëó÷àåòñÿ íå áîëüøå ÷åì 13 ⋅ 13 + 260 = 169 + 260 = 429 <
< 430, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Ìû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ ïðåäïîëîæåíèåì.
7. (1; 1); (1; 3); (3; 1); (3; 7); (7; 3).
Ïóñòü ñíà÷àëà õ = 1, òîãäà 2õ + 1 = 3 è äåëèòñÿ ëèøü íà 1 è
íà 3. Àíàëîãè÷íî ïðè ó = 1. Îòñþäà ïîëó÷àåì òðè ïåðâûå
ïàðû èç îòâåòà.
Ïóñòü òåïåðü öåëûå ÷èñëà õ è ó íå ìåíüøå ÷åì 2. Çàìåòèì,
÷òî ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ õ è ó èìååì õó – (õ + ó) = (õ – 1)(ó –
õó ≥ õ + ó.
(* )
2õ + 1 2ó + 1 2 ( õ + ó ) + 1
=
+ 4 – öåëîå,
Ïî óñëîâèþ, ÷èñëî
ó
õ
õó
2 (õ + ó) + 1
– öåëîå, íî â ñèëó íåðàâåíñòâà
ïîýòîìó è ÷èñëî
õó
1
(*) ýòî ÷èñëî íå áîëüøå ÷åì 2 + õó < 3 ïðè ðàññìàòðèâàåìûõ çíà÷åíèÿõ õ è ó.
Ïóñòü îíî ðàâíî 2. Òîãäà 2(õ + ó) + 1 = 2õó, ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê ñëåâà ñòîèò íå÷åòíîå ÷èñëî, à ñïðàâà – ÷åòíîå.
Ïóñòü îíî ðàâíî 1. Òîãäà 2(õ + ó) + 1 = õó, îòêóäà
(õ – 2)(ó – 2) = 5. Îäèí èç ìíîæèòåëåé ëåâîé ÷àñòè ðàâåí 1,
à âòîðîé ðàâåí 5, îòêóäà ïîëó÷àåì îñòàëüíûå îòâåòû.
 ñèëó ïîëîæèòåëüíîñòè ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ ðàññìàòðèâàåìîå ÷èñëî íå ìîæåò áûòü ìåíüøå èëè ðàâíî íóëþ.
8. Äà, ìîæíî.
Çàíóìåðóåì ðåáÿò ïî ïîðÿäêó ÷èñëàìè îò 1 äî 100. Ðàññìîòðèì 50 ïåðâûõ ðåáÿò. Åñëè ñðåäè íèõ ðàâíîå êîëè÷åñòâî
ìàëü÷èêîâ è äåâî÷åê, çàäà÷à ðåøåíà. Åñëè æå íåò, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìàëü÷èêîâ áîëüøå 25, à äåâî÷åê – ìåíüøå. Çàìåòèì, ÷òî, î÷åâèäíî, â ãðóïïå ñ íîìåðàìè îò 51 äî 100 äîëæíî
áûòü íàîáîðîò: ìàëü÷èêîâ ìåíüøå 25, à äåâî÷åê – áîëüøå.
Ðàññìîòðèì ãðóïïó ñ íîìåðàìè îò 2 äî 51. Êîëè÷åñòâî ìàëü÷èêîâ ìîæåò èçìåíèòüñÿ íà 1 èëè íå èçìåíèòüñÿ âîîáùå.
Èòàê, ïðè ïåðåõîäå ïîñëåäîâàòåëüíî îò ãðóïïû ê ãðóïïå êîëè÷åñòâî ìàëü÷èêîâ ìåíÿåòñÿ íå áîëåå ÷åì íà 1 è îò ÷èñëà,
áîëüøåãî 25, ïðèõîäèò ê ÷èñëó, ìåíüøåìó 25. Ïîýòîìó ãäå-òî
«ïî äîðîãå» îíî ðàâíÿëîñü 25, ÷òî è òðåáîâàëîñü.
Ñèòóàöèÿ, êîãäà â ïåðâîé ãðóïïå ìàëü÷èêîâ ìåíüøå, ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
9. Íåò, íåâåðíî.
Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé äëèíû 1500 è ïëîùàäè
1. Ðàçðåçàâ åãî íà 1000 ÷àñòåé, õîòÿ áû â îäíîé èç íèõ ìû
ïîëó÷èì äâå òî÷êè, óäàëåííûå íà 1,5 (ëåæàùèå íà óêàçàííîé
ñòîðîíå). Íî â êâàäðàòå ïëîùàäè 1 ðàññòîÿíèå ìåæäó íàèáîëåå óäàëåííûìè òî÷êàìè ðàâíî äëèíå äèàãîíàëè 2 , êîòîðàÿ
ìåíüøå 1,5.
10. Âåðíî.
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî 101 ÷èñëî èç äàííûõ äâóõñîò. Ðàçäåëèì êàæäîå èç íèõ íà íàèáîëüøóþ ñîäåðæàùóþñÿ â íåì â êà÷åñòâå ìíîæèòåëÿ ñòåïåíü äâîéêè. Ïîëó÷èì 101 íå÷åòíîå ÷èñëî. Íî ñðåäè ÷èñåë îò 1 äî 200 èìååòñÿ òîëüêî 100 íå÷åòíûõ
÷èñåë, ïîýòîìó ñðåäè ïîëó÷åííûõ íå÷åòíûõ ÷èñåë èìåþòñÿ
õîòÿ áû äâà ñîâïàäàþùèõ. Ïîñìîòðèì, êàêîå èç íèõ ïîäâåðãëîñü ñîêðàùåíèþ íà áîëüøóþ ñòåïåíü äâîéêè – èìåííî îíî
(äî ñîêðàùåíèÿ), î÷åâèäíî, äåëèòñÿ íà âòîðîå (òàêæå äî ñîêðàùåíèÿ). Ïîñêîëüêó âñå èñõîäíûå 200 ÷èñåë ðàçëè÷íû, ñîâïàäåíèå îòîáðàííûõ ÷èñåë èñêëþ÷àåòñÿ.
ÔÈÇÈÊÀ
1. Åñëè ëó÷è ñîëíöà íàïðàâëåíû íàâñòðå÷ó áðîñêó (áðîñîê
ïðîòèâ ñîëíöà) è óãîë á áîëüøå èëè ðàâåí óãëó â, êîòîðûé
íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü êàìíÿ ñîñòàâëÿåò ñ ãîðèçîíòîì, òî ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå òåíè òåëà îò òî÷êè áðîñàíèÿ ðàâíî äàëüíîñòè ïîëåòà. Ïðè áðîñêå ïî ñîëíå÷íûì ëó÷àì è óñëîâèè, ÷òî
óãîë á ìåíüøå óãëà â, äàëüíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàñàòåëüíûì
ëó÷îì ñîëíöà ê òðàåêòîðèè ïîëåòà êàìíÿ.
2. Ïåðåãîðîäêà ñìåñòèòñÿ âëåâî íà 14 ñì.
vuT
3. R = 20 Îì; N = 5.
4. l =
= 4 ì.
v+u
5. Î÷åâèäíî, ëîæêà áûëà ñäåëàíà èç ñïëàâà ñ íèçêîé òåìïåðàòóðîé ïëàâëåíèÿ. Ýòî ìîã áûòü, íàïðèìåð, ñïëàâ Âóäà,
èçîáðåòåííûé â 1860 ãîäó àíãëèéñêèì èíæåíåðîì Áàðíàáàñîì
Âóäîì. Åãî òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèå 68,5 °C . Èç-çà ïðîèñõîæ-
ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÊÀÇÀÍÈß,
äåíèÿ ôàìèëèè Âóä îò àíãëèéñêîãî wood – ëåñ, äðåâåñèíà,
ïåðåâîä÷èêè èíîãäà íàçûâàþò ñïëàâ «äåðåâÿííûì ìåòàëëîì».
g
7. a = ≈ 5 ì ñ2 .
6. t1 = 72 ìèí.
2
5
(èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà ìíèìîå).
8. Γ =
3
9. Íèæíèå ñëîè âîäû òîðìîçÿòñÿ î ïîäíèìàþùååñÿ äíî, â òî
âðåìÿ êàê âåðõíèå ñëîè âîäû ïî èíåðöèè áåãóò ñ ïðåæíåé
ñêîðîñòüþ. Ýòî ïðèâîäèò ê ïîäíÿòèþ óðîâíÿ âåðõíèõ ñëîåâ
âîäû, à çà ñ÷åò áîëüøåé ñêîðîñòè ýòîãî ñëîÿ ïðîèñõîäèò îáãîí íèæíèõ ñëîåâ è èõ ñðûâ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî è îáðàçóþòñÿ
«áàðàøêè»
10. Ïëàñòèíêè ÿâëÿþòñÿ ïîëÿðîèäàìè, ïðåâðàùàþùèìè åñòåñòâåííûé ñâåò â ïëîñêî ïîëÿðèçîâàííûé. Êóñî÷êè ëèïêîé
ëåíòû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé àíèçîòðîïíóþ ñðåäó è, êàê ñëåäñòâèå, îáëàäàþò äâîéíûì ëó÷åïðåëîìëåíèåì. Òîãäà â ñêðåùåííûõ ïîëÿðîèäàõ íàáëþäàåòñÿ èíòåðôåðåíöèÿ ïîëÿðèçîâàííûõ ëó÷åé. Ïðè âðàùåíèè îäíîãî èç ïîëÿðîèäîâ óñëîâèÿ
èíòåðôåðåíöèè ìåíÿþòñÿ, ÷òî ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ öâåòà
ïðîõîäÿùåé ñâåòîâîé âîëíû. Òîò ôàêò, ÷òî ÷àñòü ýêðàíà ìîíèòîðà ãàñíåò ïðè âðàùåíèè ïîëÿðîèäà, óêàçûâàåò íà òî, ÷òî
ñâåò, èäóùèé îò ýêðàíà, ïëîñêî ïîëÿðèçîâàííûé.
Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
1. Íåò, íå ìîãóò.
Åñëè äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà èìåþò îäèíàêîâûå ñóììû öèôð,
òî îíè äîëæíû äàâàòü îäèíàêîâûå îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 3,
à òîãäà èõ ðàçíîñòü äîëæíà äåëèòüñÿ íà 3. Íî
(N + 1)2 – (N 2 – N) = 3N + 1
– íå äåëèòñÿ íà 3.
2. à) Ìîæíî; á) íåëüçÿ.
a) Ïîñêîëüêó ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà
ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ êàòåòîâ, ñóììà ïëîùàäåé 20 äàííûõ
òðåóãîëüíèêîâ ðàâíà 20, ïîýòîìó ñòîðîíà èñêîìîãî êâàäðàòà
äîëæíà ðàâíÿòüñÿ 2 5 – óäâîåííîé ãèïîòåíóçå äàííîãî òðåóãîëüíèêà. Îäèí èç (ìíîãèõ!)
ñïîñîáîâ ðåøåíèÿ ïðèâåäåí íà
ðèñóíêå 10.
á)  ýòîì ñëó÷àå ñòîðîíà èñêîìîãî êâàäðàòà äîëæíà áûòü ðàâíà 2 10. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
êâàäðàò óäàëîñü ñëîæèòü. Òîãäà
íà åãî ñòîðîíå ìîæåò áûòü
ñêîëüêî-òî êàòåòîâ äëèíû 1,
Ðèñ. 10
ñêîëüêî-òî êàòåòîâ äëèíû 2 è
ñêîëüêî-òî ãèïîòåíóç äëèíû 5 , ïðè÷åì áåç ãèïîòåíóç íå
îáîéòèñü, ïîñêîëüêó äëèíû êàòåòîâ ðàöèîíàëüíû, à ñòîðîíà
êâàäðàòà – èððàöèîíàëüíà. (Òàêæå íå îáîéòèñü áåç êàòåòîâ,
òàê êàê íåâîçìîæíî ïðåäñòàâèòü îòðåçîê äëèíû 2 10 êàêèìëèáî êîëè÷åñòâîì îòðåçêîâ äëèíû 5 .) Ïîëó÷àåòñÿ ðàâåíñòâî p + q 5 = 2 10, ãäå p – ñóììà äëèí êàòåòîâ, ëåæàùèõ
íà êàêîé-òî ñòîðîíå êâàäðàòà, à q – êîëè÷åñòâî ãèïîòåíóç, ëåæàùèõ íà íåé. Âîçâåäÿ ýòî ðàâåíñòâî â êâàäðàò, ïîëó÷èì
p2 + 5q2 + 2 pq 5 = 40,
÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê ñëåâà ñòîèò èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, à
ñïðàâà – ðàöèîíàëüíîå.
3. 1.
Çàìåòèì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî α – ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè –1 ≤ α < 0 , òî â äàííîì óðàâíåíèè
α3 = α + 1
(1)
ëåâàÿ ÷àñòü îòðèöàòåëüíà, à ïðàâàÿ – íåîòðèöàòåëüíà, ïîýòîìó íà ýòîì ïðîìåæóòêå óðàâíåíèå íå èìååò ðåøåíèé. Åñëè æå
$
ÐÅØÅÍÈß
α < –1, òî äàííîå óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
α(α2 – 1) = 1 ,
(1à)
è åãî ëåâàÿ ÷àñòü ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíîé, à ïðàâàÿ – ïîëîæèòåëüíà.
Ïðåîáðàçóåì òåïåðü ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå. Óìíîæèâ îáå
÷àñòè óðàâíåíèÿ (1) íà ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî α , íàéäåì, ÷òî
α 4 = α2 + α ,
(2)
ïîýòîìó
2α2 + 3α + 2 = (α2 + α) + (α2 + 2α + 2) = α4 + α2 + 2(α + 1) .
Çàìåíèì ñóììó â ïîñëåäíåé ñêîáêå íà ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ
(1). Òåïåðü ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (2) ïîëó÷èì, ÷òî ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå ðàâíî
α4 + 2α3 + α2 = (α(α + 1))2 = (α2 + α)2 = α8 .
Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî èç óðàâíåíèÿ (1à) âûòåêàåò
α2 − 1 =
1
,
α
÷òî è ïðèâîäèò ê óêàçàííîìó îòâåòó.
2
4. Çà
÷àñà, ò.å. çà 40 ìèíóò.
3
Ïóñòü âñå ÷åòâåðî ðàáîòàþò íåïðåðûâíî ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ñíà÷àëà íàä îäíîé êàíàâîé ðàáîòàåò òîëüêî ïåðâûé çåìëåêîï, à â ýòî âðåìÿ âñå îñòàëüíûå ðîþò âòîðóþ òàêóþ æå êàíàâó. Ïî óñëîâèþ, ê ìîìåíòó êîãäà ïåðâûé çàêîí÷èë ñâîþ
÷àñòü ðàáîòû íàä ïåðâîé êàíàâîé, îñòàëüíûå âûêîïàëè ïîëîâèíó òàêîé æå âòîðîé. Äàëåå, ïóñòü âòîðîé çåìëåêîï íà÷àë
ðàáîòàòü íàä ïåðâîé êàíàâîé, à ïåðâûé ïåðåøåë êî âòîðîé è
ïðèñîåäèíèëñÿ ê îñòàâøèìñÿ òàì òðåòüåìó è ÷åòâåðòîìó, ÷òîáû ïðîäîëæèòü ðàáîòó íàä âòîðîé êàíàâîé. Òîãäà, ïî óñëîâèþ, ê ìîìåíòó êîãäà âòîðîé çàêîí÷èë ñâîþ ÷àñòü ðàáîòû íàä
ïåðâîé êàíàâîé, îñòàëüíûå òðîå çàêîí÷èëè êîïàòü âòîðóþ êàíàâó. Ïóñòü òåïåðü òðåòèé çåìëåêîï íà÷èíàåò ñâîþ ÷àñòü ðàáîòû íàä ïåðâîé êàíàâîé, à âñå îñòàëüíûå íà÷èíàþò ðûòü
òðåòüþ òàêóþ æå êàíàâó. Ê ìîìåíòó êîãäà òðåòèé çàêîí÷èë
ðàáîòàòü íàä ïåðâîé êàíàâîé, îñòàëüíûå âûêîïàëè ïîëîâèíó
òðåòüåé òàêîé æå êàíàâû. Íàêîíåö, ïóñòü ÷åòâåðòûé ïðèñòóïàåò ê ðàáîòå íàä ïåðâîé êàíàâîé, à îñòàëüíûå – íàä òðåòüåé.
Ïî óñëîâèþ, êîãäà ÷åòâåðòûé çàêîí÷èë êîïàòü ïåðâóþ êàíàâó, îñòàëüíûå çàêîí÷èëè êîïàòü òðåòüþ. Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì îòâåò.
5. n.
Íàéäåì íàèìåíüøåå ÷èñëî â òàáëèöå (îíî, î÷åâèäíî, ñóùåñòâóåò). Åãî, êîíå÷íî, îòìåòèëè äâàæäû: è â ñòîëáöå, è â
ñòðîêå. Åñëè âû÷åðêíóòü òåïåðü ñòðîêó è ñòîëáåö, íà ïåðåñå÷åíèè êîòîðûõ ñòîèò ýòî íàèìåíüøåå ÷èñëî, òî ïîëó÷åííàÿ
òàáëèöà ðàçìåðîì (n – 1) × (n – 1) áóäåò óäîâëåòâîðÿòü âñåì
óñëîâèÿì çàäà÷è. Òåïåðü íàéäåì íàèìåíüøåå ÷èñëî â íîâîé,
ìåíüøåé òàáëèöå, îíî òàêæå áóäåò îòìå÷åíî, è âû÷åðêíåì
ñòðîêó è ñòîëáåö, íà ïåðåñå÷åíèè êîòîðûõ ñòîèò íàèìåíüøåå
÷èñëî, è ò.ä.  èòîãå ìû çà n øàãîâ âû÷åðêíåì âñå îòìå÷åííûå ÷èñëà è èñ÷åðïàåì âñþ òàáëèöó.
6. 1:1:1.
Ïóñòü ñíà÷àëà îòðåçîê KL ïðè ïåðåõîäå îò K ê L ïåðåñåêàåò äèàãîíàëü ÀÑ,
à çàòåì – âòîðóþ äèàãîíàëü òðàïåöèè.
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íàì áóäóò ïîëåçíû äâà óòâåðæäåíèÿ (îáîçíà÷åíèÿ –
èç óñëîâèÿ çàäà÷è).
1. Äëèíû ïåðïåíäèêóëÿðîâ ÂÅ è DF
(ðèñ. 11), îïóùåííûõ èç êîíöîâ Â è
D äèàãîíàëè BD òðàïåöèè ABCD íà
áîêîâûå ñòîðîíû CD è ÀÂ ñîîòâåòñòâåííî, îòíîñÿòñÿ êàê îñíîâàíèÿ òðà- Ðèñ. 11
$
ÊÂÀÍT 2014/¹3
ïåöèè. Ýòî ñëåäóåò èç ïîäîáèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ BEC è ADF
(óãëû ÂÑÅ è DAF).
2.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå KBLD (ðèñ.
12) ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ BLK è
LKD îòíîñÿòñÿ êàê îòðåçêè BQ è QD
äèàãîíàëè BD. Ýòî ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, åñëè ïðîâåñòè âûñîòû óêàÐèñ. 12
çàííûõ òðåóãîëüíèêîâ èç êîíöîâ äèàãîíàëè BD è çàìåòèòü, ÷òî îòíîøåíèå óêàçàííûõ ïëîùàäåé
ðàâíî îòíîøåíèþ ïðîâåäåííûõ âûñîò (îñíîâàíèå KL òðåóãîëüíèêî⠖ îáùåå), à îòðåçêè äèàãîíàëè ðàâíû ýòèì âûñîòàì, äåëåííûì íà ñèíóñû îäèíàêîâûõ (âåðòèêàëüíûõ) óãëîâ
ñ âåðøèíîé â òî÷êå Q.
Òåïåðü ïðèìåíèì óòâåðæäåíèÿ 1 è 2 ê ïëîùàäÿì òðåóãîëüíèêîâ BLD è BKD (ðèñ. 13). Ñîãëàñíî ïåðâîìó èç íèõ, ýòè
ïëîùàäè îòíîñÿòñÿ êàê 1:2 (òàê
êàê îñíîâàíèÿ LD è BK ðàâíû,
à ñîîòâåòñòâóþùèå âûñîòû îòíîñÿòñÿ êàê 1:2), à ñîãëàñíî âòîðîìó, KQ : QL = 2 : 1 , ò.å.
1
QL = KL. Ïðèìåíèâ òå æå
3
ðàññóæäåíèÿ ê òðåóãîëüíèêàì
ÀKÑ è ALC, àíàëîãè÷íî íàéäåì,
Ðèñ. 13
1
÷òî KÐ = KL. Çíà÷èò,
3
KÐ : PQ : QL = 1 : 1 : 1 .
Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îòðåçîê
KL ñíà÷àëà ïåðåñåêàåò äèàãîíàëü
BD (óñëîâûé ðèñ. 14), òî, ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî (òî÷êè íà îòðåçêå KL èäóò â ïîðÿäêå K, Q,
P, L), ïîëó÷èì, ÷òî KQ = 2QL è
îäíîâðåìåííî PL = 2KP, èëè
Ðèñ. 14
KL = 3QL è KL = 3ÐL, ÷òî, êîíå÷íî, íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó QL > PL.
7. Ñóùåñòâóåò: õ262 = 0 .
Óñëîâèå çàäà÷è ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
õn + 2 ⋅ xn +1 − xn ⋅ xn +1 = −1.
(*)
Ïóñòü àn = xn ⋅ xn +1 . Òîãäà à1 = 260 , à óñëîâèå (*) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: an +1 – an = –1 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî {an } – àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñ ïåðâûì ÷ëåíîì 260 è ðàçíîñòüþ,
ðàâíîé –1. Ïîýòîìó àn = a1 + d(n – 1) = 261 – n . Î÷åâèäíî, ÷òî
a262 = 0 , ò.å. õ261 ⋅ õ262 = 0 , ïîýòîìó õ261 ≠ 0 , õ262 = 0 .
1 + 2 + 22 + … + 2n + 3 ⋅ (1 + 2 + 22 + … + 2n– 1) =
= 2n + 1 – 1 + 3 ⋅ (2n – 1) = 5 ⋅ 2n – 4 > 3 ⋅ 2n .
Ïîñêîëüêó ÷èñåë âèäà 3 ⋅ 2n áåñêîíå÷íî ìíîãî, ïîëó÷àåì îòâåò.
á) Ïóñòü ð – ïðîñòîå ÷èñëî. Òîãäà åãî åäèíñòâåííûé ñîáñòâåííûé äåëèòåëü – ÷èñëî 1. Ïîñêîëüêó ð > 1, ëþáîå ïðîñòîå ÷èñëî íåäîñòàòî÷íî, à ïðîñòûõ ÷èñåë, êàê èçâåñòíî, áåñêîíå÷íî ìíîãî.
2. Ïîäáåðåì öåëûå ÷èñëà õ è ó òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî õ2 – ó2 = z3 , ãäå z – ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ýòî ðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó ( õ – ó )( õ + ó ) =
= z ⋅ z2 , êîòîðîå áóäåò âûïîëíÿòüñÿ äëÿ ðåøåíèé (õ; ó) ñèñòåìû óðàâíåíèé

z2 + z
x=
,

−
=
õ
ó
z
,


2
⇔


2
2
 x + y = z
y = z − z .

2
Çàìåòèì, ÷òî îáà ÷èñëèòåëÿ z(z + 1) è z(z – 1) – ÷åòíûå ÷èñëà (êàê ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë),
ïîýòîìó íàéäåííûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû – öåëûå ÷èñëà.
467
.
3. à) 0,(027); á)
1850
à) Äåëèì ÷èñëèòåëü íà çíàìåíàòåëü, íàïðèìåð, «óãîëêîì».
1
1
+
α, ãäå α = 0, (243 ) .
á) Ïðåîáðàçóåì: 0,25(243) =
4 100
243
9
=
. È îêîíÇàìåòèì, ÷òî 1000α = 243 + α , îòêóäà α =
999 37
1
9
934
467
+
=
=
.
÷àòåëüíî ïîëó÷èì 0,25(243) =
4 3700 3700 1850
4. Â ñâÿçè ñ âîçíèêíîâåíèåì íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèè Ãàóññ
ïðîâåðÿë ñïðàâåäëèâîñòü åâêëèäîâîé òåîðåìû î ñóììå óãëîâ
òðåóãîëüíèêà.
5. Òðè ïàðòèè èç ÷åòûðåõ.
Åñëè â ñåðèè èç n îäèíàêîâûõ îïûòîâ ñîáûòèå À ìîæåò â
êàæäîì îïûòå ïðîèçîéòè ñ âåðîÿòíîñòüþ ð è íå ïðîèçîéòè ñ
âåðîÿòíîñòüþ q (åñòåñòâåííî, ð + q = 1), òî âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî â ýòîé ñåðèè ñîáûòèå À ïðîèçîéäåò ðîâíî k ðàç, ðàâíà
n!
.  íàÑnk ⋅ pk ⋅ qn − k (ôîðìóëà Áåðíóëëè), ãäå Ñnk =
k
n
- k) !
!
(
1
øåé çàäà÷å ð = q = .
2
 ñëó÷àå n = 4 ó íàñ k = 3, ïîýòîìó èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà
3
1 1 1
4⋅  ⋅ = .
2 2 4
Ïðè n = 8 è k = 5 ïîëó÷àåì, ÷òî èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà
8
ÔÈÇÈÊÀ
M ÊM
ˆ
+ 1˜ = 0,3 ì .
Á
¯
k Ëm
a0 L2 + l 2
= 2,04 c .
3. q = R 14πε0mg = 1,4 ìêÊë . 4. T =
gl
5. Îò ïåñ÷àíîãî äíà áðóñîê îòîðâàòüñÿ íå ñìîæåò, è áàêåí
óòîíåò.  ñëó÷àå êàìåíèñòîãî äíà áàêåí áóäåò ïëàâàòü òàê,
÷òî íàä âîäîé áóäåò íàõîäèòüñÿ òîëüêî åãî âåðõóøêà, ñîñòàâëÿþùàÿ 4,2% âñåãî îáúåìà áàêåíà.
D
= 0,51 .
6. m = 2,9 êã; pa = 772 ìì ðò.ñò. 7. Dn =
D + n (1 - D)
Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé
1. L = 113 ì. 2. l0 = l + v0
(
)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
1. à) Áåñêîíå÷íî; á) áåñêîíå÷íî.
à) Ïîêàæåì, ÷òî ëþáîå ÷èñëî âèäà 3 ⋅ 2n ïðè n > 1 èçáûòî÷íî. Äåéñòâèòåëüíî, íàéäåì ñóììó âñåõ åãî äåëèòåëåé:
8!
1
6⋅7⋅8 1
7
1
1
⋅
=
⋅
=
< .
Ñ85 ⋅   =
5!⋅ 3! 256 1 ⋅ 2 ⋅ 3 256 32 4
2
ÔÈÇÈÊÀ
1. à) Áîëüøîé àäðîííûé êîëëàéäåð. á) Íà òåððèòîðèè Øâåéöàðèè è Ôðàíöèè. â) Íà 14 ÒýÂ. ã) Ïðåæäå âñåãî, îáíàðóæåíèå áîçîíà Õèããñà.
2. à) Õåéêå Êàìåðëèíã-Îííåñ. á) Íèäåðëàíäû.
3. à) Ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ óòâåðæäàåò, ÷òî âåùåñòâî ñîñòîèò èç ìîëåêóë, íàõîäÿùèõñÿ â íåïðåðûâíîì äâèæåíèè è âçàèìîäåéñòâèè. á) Äàíû îïðåäåëåíèÿ àòîìà è ìîëåêóëû.
4. Àòîìíûé ñèëîâîé ìèêðîñêîï.
5. à) Ðè÷àðä Ôåéíìàí. à) Îí – îäèí èç ñîçäàòåëåé ñîâðåìåííîé êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè (Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ôèçèêå 1965 ãîäà). Îäèí èç àâòîðîâ èçâåñòíîãî êóðñà «Ôåéíìàíîâñêèå ëåêöèè ïî ôèçèêå».
ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÊÀÇÀÍÈß,
II ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÛÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐÍÈÐ
ÈÌÅÍÈ Ì.Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ ÄËß Ó×ÀÙÈÕÑß 5-8
ÊËÀÑÑÎÂ
5-6 êëàññû
Óñòíûé êîìàíäíûé òóð
1. 54.
1 1

⋅  ⋅ 144  = 36 ,
2 2

1 1
ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà BKL ðàâíà ⋅  ⋅ 144  = 18 , ïîýòîìó
2 4

ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà DKL ðàâíà 144 − (36 + 36 + 18) = 54 .
2. Íå÷åòíûì.
Ñãðóïïèðóåì ñëàãàåìûå óêàçàííîé ñóììû (êðîìå ïîñëåäíåãî)
ïî ïàðàì: S = (1 + 2) + (3 + 4) + (2011 + 2012) + 2013 . Ñóììà
÷èñåë êàæäîé ïàðû íå÷åòíà, êîëè÷åñòâî ïàð ÷åòíî, ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà ÷èñåë îò 1 äî 2012 ÷åòíà.
3. 6000.
Âñå ÷åòûðåõçíà÷íûå ÷èñëà ðàçîáüåì íà òðîéêè: 1000, 1001,
1002; 1003, 1004, 1005; …; 9997, 9998, 9999. Âñåãî òàêèõ òðîåê 3000, ïåðâûå äâà ÷èñëà â êàæäîé òðîéêå íå äåëÿòñÿ íà 3.
4. Ñì. ðèñ. 15.
5. Îäíà èç âîçìîæíûõ çàïèñåé:
Ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ ADK è CDL ðàâíû
9 ⋅ (8 − 7 ) ⋅ (6 − 5 ) ⋅ ( 4 − 3 ) ⋅ (2 − 1) + 0 .
6. Âîçüìåì äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñëà a è b,
êîòîðûå íå ïîïàëè íà ñîñåäíèå ãðàíè, è ðàñïîëîæèì êóá òàê, ÷òî îäíî èç ýòèõ ÷èñåë îêàçàëîñü íà íèæíåé ãðàíè. Òîãäà äðóãîå ÷èñëî îêàæåòñÿ íà âåðõíåé ãðàíè. Ëèáî ó ÷èñëà a, ëèáî
Ðèñ. 15
ó ÷èñëà b ñðåäè ÷èñåë îò 1 äî 6 íàéäóòñÿ äâà
ñîñåäíèõ ÷èñëà. Åñëè, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, äâà ñîñåäíèõ íàøëèñü ó ÷èñëà a, òî îäíî èç íèõ b, à äðóãîå c , ëåæàùåå íà
áîêîâîé ãðàíè.  ðåçóëüòàòå, a è c – äâà ñîñåäíèõ ÷èñëà, ðàñïîëîæåííûõ íà ñîñåäíèõ (ñìåæíûõ) ãðàíÿõ êóáà.
Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð
1. 24,5 ñì.
 ïðÿìîóãîëüíèêå åñòü ñìåæíûå è ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû. Èç
òðåõ ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà äâå îáÿçàòåëüíî ñìåæíûå, ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà òðåõ êàêèõ-òî ñòîðîí áîëüøå, ÷åì ñóììà
äâóõ ñìåæíûõ. Òàêèì îáðàçîì, 19 ñì – ñóììà äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí, îäíà ïàðàëëåëüíàÿ ñòîðîíà èìååò äëèíó
9,5 ñì. ßñíî, ÷òî ñóììà äëèí òðåõ ñòîðîí, î êîòîðûõ èäåò
ðå÷ü â óñëîâèè, ýòî ñóììà äëèí íàéäåííîé íàìè ñòîðîíû â
9,5 ñì è äëèí äâóõ äðóãèõ ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí. Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâåí 19 + 5,5 = 24,5 (ñì).
2. Áîëüøå âðåìåíè ïîòðåáóåòñÿ âåñíîé.
Ïóñòü S – ðàññòîÿíèå îò A äî B. Òîãäà âåñíîé íà äîðîãó êàòåS
S
32
+
=
⋅ S , à ëåòîì –
ðó ïîòðåáóåòñÿ âðåìÿ
16 + 2 16 − 2 162 − 22
S
S
32
+
=
⋅ S . ßñíî, ÷òî 162 − 22 < 162 − 1 , ïî16 + 1 16 − 1 162 − 12
ýòîìó âåñíîé ïîòðåáóåòñÿ áîëüøå âðåìåíè.
3. Íå ÿâëÿåòñÿ.
Êâàäðàò íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ëèáî äåëèòñÿ íà 3, ëèáî äàåò ïðè
äåëåíèè íà 3 îñòàòîê 1 (äîêàæèòå). ×èñëî 11........19
ìîæíî
2012
çàïèñàòü â âèäå ñóììû 11.........1
+ 8 . Ïî ïðèçíàêó äåëèìîñòè
2013
ïåðâîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà 3, à âòîðîå ñëàãàåìîå ïðè äåëåíèè íà 3 äàåò îñòàòîê 2.
4. 1007.
Ïðåäñòàâèì ñóììó â âèäå (2013 − 2012) + (2011 − 2010 ) +
+ (5 − 4 ) + (3 − 2) + 1 , ãäå êàæäàÿ èç 1006 ðàçíîñòåé ðàâíà 1.
$!
ÐÅØÅÍÈß
5. Íà 348.
Ñðåäè ÷èñåë îò 1 äî 100 íà 3 äåëÿòñÿ 33 ÷èñëà.
Êðîìå òîãî, îäèííàäöàòü èç íèõ äåëÿòñÿ íà 9,
çíà÷èò, íóæíî äîáàâèòü åùå 11 òðîåê. Íà 27
äåëÿòñÿ åùå 3 ÷èñëà, íà 81 – îäíî ÷èñëî. Èòîãî: 33 + 11 + 3 + 1 = 48.
6. Ñì. ðèñ. 16.
Ðèñ. 16
7–8 êëàññ
Óñòíûé êîìàíäíûé òóð
1. 15.
Ñîåäèíèì ñåðåäèíó H ñòîðîíû AB ñ âåðøèíîé D è îáîçíà÷èì ÷åðåç G òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ DH ñ äèàãîíàëüþ AC (ðèñ. 17).
Ïðÿìàÿ HD ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé BE, ïîýòîìó HG – ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà
ABF, è AG = GF. Àíàëîãè÷íî, EF – ñðåäÐèñ. 17
íÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà CDG, è GF = FC.
Òàêèì îáðàçîì, òî÷êè G è F äåëÿò äèàãîíàëü AC íà òðè ðàâíûå ÷àñòè.
2
2
2 1
Òàê êàê AF = AC , SABF = SABC = ⋅ ⋅ 36 = 12 . Ïëîùàäü
3
3
3 2
òðåóãîëüíèêà BCE ðàâíà ÷åòâåðòè ïëîùàäè êâàäðàòà ABCD,
1
SBCE = ⋅ 36 = 9 , ïîýòîìó ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ADEF
4
ðàâíà 36 – (12 + 9) = 15.
2. 4.
Ìîäóëü ðàçíîñòè x − a ðàâåí ðàññòîÿíèþ îò òî÷êè ÷èñëîâîé
ïðÿìîé, èçîáðàæàþùåé ÷èñëî x, äî òî÷êè, èçîáðàæàþùåé
÷èñëî a. Äëÿ ëþáîé òî÷êè x îòðåçêà [−4; − 1] ñóììà
x + 4 + | x + 1 | ðàâíà ñóììå ðàññòîÿíèé îò òî÷êè x äî òî÷åê
–4 è –1 è ðàâíî 3 – äëèíå ýòîãî îòðåçêà. Äëÿ òî÷åê x âíå îòðåçêà [−4; − 1] ñóììà x + 4 + x + 1 > 3 . Äëÿ ëþáîé òî÷êè x
îòðåçêà [−3; − 2] , ëåæàùåãî â îòðåçêå [−4; − 1] , ñóììà
x + 3 + x + 2 ðàâíà 1 – äëèíå îòðåçêà [−3; − 2] . Äëÿ òî÷åê x
âíå îòðåçêà [−3; − 2] ñóììà x + 3 + x + 2 > 1 . Òàêèì îáðàçîì,
íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ñóììû ðàâíî 4 è äîñòèãàåòñÿ äëÿ âñåõ
x èç îòðåçêà [−3; − 2] .
3. Òðîåê íà äâå áîëüøå.
Åñëè êîëè÷åñòâî òðîåê ñîâïàëî áû ñ êîëè÷åñòâîì ïÿòåðîê, òî
ñóììà âñåõ îöåíîê ðàâíÿëàñü áû 272. Çàìåíà «5» íà «3»
óìåíüøàåò ñóììó íà 2.
4. ×åðåç òî÷êó O ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëè AC è îòðåçêà MN
ïàðàëëåëüíî CD ïðîâåäåì îòðåçîê, òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ êîòîðîãî ñ îòðåçêîì PN îáîçíà÷èì ÷åðåç K (ðèñ. 18).  òðåóãîëüíèêå QPC îòðåçêè MO è QC ïàðàëëåëüíû, ñëåäîâàòåëüíî, MP : MQ = PO : OC .  òðåóãîëüíèêå CPN îòðåçîê OK
ïàðàëëåëåí CN, ñëåäîâàòåëüíî, PK : KN = PO : OC . Òàêèì
îáðàçîì, MP : MQ = PK : KN . Â òðåóãîëüíèêå PQN îòðåçêè
MK è QN ïàðàëëåëüíû, ñëåäîâàòåëüíî, ∠KMN = ∠MNQ .
Ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè MOK è NOK ðàâíû, òàê êàê
MO = ON è OK – îáùèé êàòåò, ïîýòîìó ∠KMN = ∠MNP .
5. 27 − 2 2 .
2
Äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ a + b 2 = 737 − 108 2 ,
a + b 2 > 0, ò.å. 2ab = −108 , a2 + 2b2 = 737 ⇒ ab = −2 ⋅ 33 , íî
a íå ìîæåò áûòü ÷åòíûì ÷èñëîì, ïîýòîìó íóæíî ðàññìîòðåòü ÷åòûðå ñëó÷àÿ: 1) a = 1,
b = –54; 2) a = –1, b = 54;
3) a = 27, b = –2; 4) a = –27,
b = 2.
6. Âûáåðåì êó÷êó, ãäå íàèìåíüøåå ÷èñëî îðåõîâ. Ïóñòü îíà
Ðèñ. 18
(
)
$"
ÊÂÀÍT 2014/¹3
18-ÿ.  ïåðâûå 6 ãðóïï ïî òðè êó÷êè äîáàâèì ïî îäíîìó îðåõó è â ãðóïïó èç 18-é, 19-é, 20-é êó÷åê òîæå äîáàâèì ïî îäíîìó. Ðàçíèöà ìåæäó íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì ÷èñëîì îðåõîâ â êó÷êàõ óìåíüøèëàñü íà 1.
Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð
1. 3.
Ïðè äåëåíèè ÷èñëà íà 9 ïîëó÷àåòñÿ òîò æå îñòàòîê, ÷òî è ïðè
äåëåíèè íà 9 ñóììû åãî öèôð. Îñòàòêè îò äåëåíèÿ äåâÿòè
ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ðàâíû 1, 2, 3, …, 0 ,
èõ ñóììà ðàâíà 36 è äåëèòñÿ íà 9, ïîýòîìó ñóììà öèôð ÷èñåë
îò 1 äî 2007 äåëèòñÿ íà 9 áåç îñòàòêà. Ñóììà öèôð ÷èñåë îò
2008 äî 2013 ïðè äåëåíèè íà 9 äàåò òîò æå îñòàòîê, ÷òî è ÷èñëî 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, ò.å. 3.
2. Âñïîìíèì, ÷òî x − a ðàâåí ðàññòîÿíèþ îò òî÷êè ÷èñëîâîé
ïðÿìîé, èçîáðàæàþùåé ÷èñëî x, äî òî÷êè, èçîáðàæàþùåé
÷èñëî a. Ïîýòîìó ÷èñëî x − 3 + | x + 3 | ðàâíî ñóììå ðàññòîÿíèé îò òî÷êè x äî òî÷åê –3 è 3. Íî ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè –3 è 3 ðàâíî 6. Óðàâíåíèþ à) óäîâëåòâîðÿþò òîëüêî ÷èñëà èç îòðåçêà [−3; 3] . Äëÿ äðóãèõ ÷èñåë x − 3 + | x + 3 | > 6 .
 óðàâíåíèè á) ê ëåâîé ÷àñòè äîáàâëÿåòñÿ ðàññòîÿíèå îò òî÷êè x äî òî÷êè 0, ïîýòîìó x = 0.
1 1 1
3. Èçâåñòíî, ÷òî 1 = + + . Ïîýòîìó
2 3 6
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1
1
1
1= + + +  + +  = + + +
+
+
,
2 4 8 8  2 3 6  2 4 8 16 24 48
îòñþäà
1 1 1
1
1
1
1
= +
+
+
+
+
.
3 6 12 24 48 72 144
Âîçìîæíû è äðóãèå ïîäõîäû ê ðåøåíèþ çàäà÷è, ñîîòâåòñòâåííî, ñ äðóãèìè îòâåòàìè.
4. Ìîæíî çàïèñàòü c = − (a + b ) , ïîäñòàâèòü â çàäàííîå ðàâåíñòâî è ïîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷àåòñÿ òîæäåñòâî.
13
.
5.
49
Ðàçäåëèâ êàæäóþ èç ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ABC íà ñåìü ðàâíûõ ÷àñòåé, ðàçðåæåì òðåóãîëüíèê íà ìàëåíüêèå ïàðàëëåëîãðàììû è òðåóãîëüíèêè, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò ïîëîâèíó ïàðàëëåëîãðàììà (ðèñ. 19). Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà
1
AKM ðàâíà ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ s , ïëîùàäü òðåó2
1
ãîëüíèêà ABC ðàâíà ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ s , ãäå I –
2
ïëîùàäü ìàëåíüêîãî ïàðàëëåëîãðàììà.
Ðèñ. 19
Òàêèì îáðàçîì, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà
3 4
AKM ñîñòàâëÿåò ⋅
îò ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ABC. Òàêóþ
7 7
æå ÷àñòü îò ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ABC ñîñòàâëÿþò è ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà BMN, è ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà CKN, ïîýòîìó íà ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà MNK ïðèõîäèòñÿ
 12 12 12  13
1− 
+
+
îò ïëîùàäè èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà.
=
 49 49 49  49
6. Èç êàæäîé âåðøèíû øåñòèóãîëüíèêà âûõîäÿò ïÿòü îòðåçêîâ, ïî êðàéíåé ìåðå òðè èõ íèõ îêðàøåíû â îäèí öâåò.
Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, èç âåðøèíû A âûõîäÿò òðè çåëåíûõ îòðåçêà, âòîðûìè êîíöàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ âåðøèíû
B, C, D. Åñëè âåðøèíû B, C è D ñîåäèíåíû êðàñíûìè îòðåçêàìè, òî âñå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà BCD îêðàøåíû â îäèí
öâåò (êðàñíûé), åñëè æå äâå èç ýòèõ òðåõ âåðøèí, íàïðèìåð
B è C, ñîåäèíåíû çåëåíûìè îòðåçêàìè, òî â îäèí öâåò (çåëåíûé) îêðàøåíû âñå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ABC.
ÂÑÅÐÎÑÑÈÉÑÊÀß ÑÒÓÄÅÍ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ
ÏÎ ÔÈÇÈÊÅ 2014 ÃÎÄÀ
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÒÓÐ
u v u -1
l
1. Lmax = l e
. 2. L = v0
, åñëè ñàíêè äî îñòàíîâêè
v
µg
v2 + µgl
– â ïðîòèâíå çàåõàëè ïîëíîñòüþ íà àñôàëüò, è L = 0
2µg
íîì ñëó÷àå.
3. ω0 =
5 L2
2 r2
gRÇ2
sin α , ãäå RÇ – ðàäèóñ Çåìëè.
R3
Ê
Ê
Mg ˆ Mg ˆ
4. A = Sh Á p0 ln Á1 +
, ãäå p0 – àòìîñôåðíîå äàâ+
p0 S ˜¯
S ˜¯
Ë
Ë
ëåíèå.
πR2µ0 nI
qQ
5. F =
.
6. Φ =
.
2
8ε0 RL
7. Ãîäîãðàô ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îêðóæíîñòü:
2
2
Ê Sx
Ê Sy
1ˆ
1ˆ
1
ÁË E B - 2 ˜¯ + ÁË E B - 2 ˜¯ = 2 .
0 0
0 0
ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÛÉ ÒÓÐ
2 2v2
x.
2. v =
µg
2a 2 + 2b 2 + ab
4. T = 2π
.
2
3g a + b
2
1. Ýòî ïàðàáîëà: ( y + x ) =
3. mi +1 =
imi
.
i+2
(
3ga
.
10
)
2Μ g
, ãäå Μ – ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà, R – óíè5. T = T0 7R
âåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ.
σ2l2
ga
. 7. rmin =
.
6. F =
2ε0
mv
2
q BE0
8. Ïðè vx = 2 2
; vz = 0 ; ýëëèïñ.
m ω - q2 B2
ÊÂÀÍÒ
ÍÎÌÅÐ ÏÎÄÃÎÒÎÂÈËÈ
C.À.Äîðè÷åíêî, À.À.Åãîðîâ, Å.Ì.Åïèôàíîâ,
À.Þ.Êîòîâà, Â.À.Òèõîìèðîâà, À.È.×åðíîóöàí
ÍÎÌÅÐ ÎÔÎÐÌÈËÈ
Â.Í.Âëàñîâ, Ä.Í.Ãðèøóêîâà, Ì.Â.Ñóìíèíà
ÕÓÄÎÆÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
Å.Â.Ìîðîçîâà
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÀß ÃÐÓÏÏÀ
Ì.Í.Ãðèöóê, Å.À.Ìèò÷åíêî
Æóðíàë «Êâàíò» çàðåãèñòðèðîâàí â Êîìèòåòå ÐÔ
ïî ïå÷àòè. Ðåã. ñâ-âî ¹0110473
Òèðàæ: 1-é çàâîä 900 ýêç. Çàêàç ¹
Àäðåñ ðåäàêöèè:
119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò»
Òåë.: (495) 930-56-48
Å-mail: math@kvant.ras.ru, phys@kvant.ras.ru
Îòïå÷àòàíî
â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäîñòàâëåííûìè ìàòåðèàëàìè
â ÎÎÎ «ÈÏÊ Ïàðåòî-Ïðèíò», ã.Òâåðü
www.Pareto-print.ru