Склейки многоугольников
реклама
Ñêëåéêè ìíîãîóãîëüíèêîâ Ã. ØÀÁÀÒ, À. ÑÃÈÁÍÅÂ Ï ÐÅÄÑÒÀÂÜÒÅ ÑÅÁÅ ×ÀØÊÓ, ÂÛËÅÏËÅÍÍÓÞ èç ïëàñòèëèíà. Ýòó ÷àøêó ìîæíî ïîìÿòü è âûëåïèòü èç íåå áóáëèê (ðèñ. 1). Ïîýòîìó ñ òî÷êè çðåíèÿ ãåîìåòðèè íåïðåðûâíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, êîãäà Ðèñ. 1. ×àøêà è áóáëèê ìîæíî èçìåíÿòü ðàññòîÿíèÿ, íî áåç ðàçðûâîâ, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòè îáúåêòû îäèíàêîâû. Ýòî äàëåêî îò ñòðîãîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ, íî ñ îáùå÷åëîâå÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïîíÿòíî. Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òîïîëîãè÷åñêèìè òåðìèíàìè òàê, êàê áóäòî îíè ñòðîãî îïðåäåëåíû. Òàê âîò, â ñòàòüå ðå÷ü ïîéäåò î ôèãóðàõ è ïîâåðõíîñòÿõ, êîòîðûå ìîæíî ìÿòü è äåôîðìèðîâàòü êàê óãîäíî (òîëüêî áåç ðàçðûâîâ). Íà ðèñóíêàõ 24 ïðèâåäåíû Ðèñ. 2. Ñòàêàí è ñôåðà Ðèñ. 3. Òîð (áóáëèê) è ñôåðà ñ ðó÷êîé Ðèñ. 4. Êðåíäåëü è ñôåðà ñ äâóìÿ ðó÷êàìè èçîáðàæåíèÿ è íàçâàíèÿ íåêîòîðûõ äðóãèõ ïàð ïðåäìåòîâ, êîòîðûå òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû, ò.å. ïåðåâîäÿòñÿ îäèí â äðóãîé ïîñðåäñòâîì íåïðåðûâíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.  ðàçíûõ ÿçûêàõ ïðèíÿòû òåðìèíû «äûðêà» èëè «ðó÷êà». Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ âòîðûì èç íèõ. Ýêñêóðñ â èñòîðèþ Äàâàéòå ïåðåäâèíåìñÿ â ïðîøëîå íà íåñêîëüêî òûñÿ÷ ëåò è ïîäóìàåì: ÷òî çíàëè äðåâíèå ëþäè î òîé ïîâåðõíîñòè, ïî êîòîðîé îíè õîäÿò? Îíè ñ÷èòàëè, ÷òî Çåìëÿ ïëîñêàÿ. Êàêèå ó íèõ áûëè îñíîâàíèÿ òàê ñ÷èòàòü? Ìû õîäèì è ïåðåäâèãàåìñÿ íà ïîåçäàõ è ñàìîëåòàõ ïî ó÷àñòêàì Çåìëè. Åñëè ïåðåäâèãàòüñÿ òîëüêî ïî Ñåâåðíîìó ïîëóøàðèþ, òî ñ òîïîëîãè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îíî íå îòëè÷àåòñÿ îò ïëîñêîñòè. È ëèøü ðàññìîòðåâ Çåìëþ öåëèêîì (ìûñëåííî èëè èç êîñìîñà), ìû âèäèì, ÷òî òîïîëîãèÿ åå ïîâåðõíîñòè äðóãàÿ åñëè ïðåíåáðå÷ü ìåëêèìè äåòàëÿìè âðîäå ïåùåð ñ äâóìÿ âûõîäàìè.  äðåâíîñòè ó íàøèõ ïðåäêîâ íå áûëî âîçìîæíîñòè îáúåõàòü âñþ Çåìëþ. Ïîýòîìó èç òîãî, ÷òî äîñòóïíûé íàáëþäåíèþ êóñîê ïîâåðõíîñòè Çåìëè ïëîñêèé, äåëàëñÿ âûâîä, ÷òî è âñÿ ïîâåðõíîñòü Çåìëè ïëîñêàÿ. Ñëåäû ýòîé èäåè îñòàëèñü â íàóêå äî ñèõ ïîð. Äàâàéòå âäóìàåìñÿ â ýòèìîëîãèþ ñëîâà «ãåîìåòðèÿ». Ýòî çíà÷èò «èçìåðåíèå çåìëè». À âåäü â ãåîìåòðèè èçó÷àþò áåñêîíå÷íóþ ïëîñêîñòü! Ìåæäó òåì, ðåàëüíîé ãåîìåòðèåé ïîâåðõíîñòè Çåìëè äîëæíà áû áûòü ãåîìåòðèÿ ñôåðè÷åñêàÿ (îíà íàïîìèíàåò ïëîñêóþ, íî â îïðåäåëåííûõ îòíîøåíèÿõ ñëîæíåå). À ìû â øêîëüíîì êóðñå èìååì äåëî ñ áåñêîíå÷íîé âî âñå ñòîðîíû ïëîñêîñòüþ àáñòðàêöèåé, çà êîòîðîé íåò íèêàêèõ ôèçè÷åñêèõ ïîäòâåðæäåíèé. Ïåðåéäåì îò ðàçìåðíîñòè 2 ê ðàçìåðíîñòè 3. Òóò ó íàñ ñèòóàöèÿ ñ ïîíèìàíèåì âíåøíåãî ìèðà êàê ðàç òàêàÿ æå, êàê ó íàøèõ äàëåêèõ ïðåäêîâ. Íàì ñ íàøèìè êîñìè÷åñêèìè êîðàáëÿìè äîñòóïíà çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû, ìû íåìíîæêî ìîæåì âûéòè çà åå ïðåäåëû, à ñàìûì ìîùíûì òåëåñêîïàì äîñòóïåí åùå áîëüøèé êóñîê Âñåëåííîé. Íî íè÷åãî ïîõîæåãî íà âîçìîæíîñòü ñîñòàâèòü ïîëíûé àòëàñ Âñåëåííîé (àíàëîãè÷íûé ñîâðåìåííûì ãåîãðàôè÷åñêèì àòëàñàì) ó ñîâðåìåííîé íàóêè è òåõíèêè íåò è â ïîìèíå. Íåêîòîðûå èç ýòîãî äåëàþò ñêîðîñïåëûé âûâîä, ÷òî Âñåëåííàÿ ëåæèò â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Íî íèêàêèõ îñíîâàíèé äëÿ ýòîãî íåò. Êàê íàøè ïðåäêè óáåäèëèñü, ÷òî ïîâåðõíîñòü Çåìëè çàìêíóòà? Îíè ñîâåðøèëè êðóãîñâåòíîå ïóòåøåñòâèå. Ìàãåëëàí ïëûë âñå âðåìÿ âïåðåä, íî âåðíóëñÿ íà òî æå ìåñòî, ñ êîòîðîãî ñòàðòîâàë. Òåïåðü ïðåäñòàâüòå ñåáå, ÷òî âû ñåëè íà êîñìè÷åñêèé êîðàáëü è äîëãî ëåòåëè âïåðåä Ìîæåò îêàçàòüñÿ òàê, ÷òî âû òîæå ïðèëåòèòå íà òî æå ìåñòî, ñ êîòîðîãî âûëåòåëè. Ýòî áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî íàøå ïðîñòðàíñòâî çàìêíóòî. Ïðàâèëüíî áóäåò ñêàçàòü, ÷òî ìû íàõîäèìñÿ íå â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, à â êóñêå êàêîãî-òî òðåõìåðíîãî îáúåêòà (ìàòåìàòèêè íàçûâàþò åãî òðåõìåðíûì ìíîãîîáðàçèåì), è êàê îíî óñòðîåíî ìû ñåé÷àñ íå çíàåì (ìîæåò áûòü, ýòî è ïðîñòî òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî). Ìàòåìàòèêà íå ïðèõîäèò îò ýòîãî â ðàñòå- ðÿííîñòü, à çàäàåò âîïðîñ: à êàê ýòà òîïîëîãèÿ Âñåëåííîé ìîæåò áûòü óñòðîåíà? Èíûìè ñëîâàìè êàêîâà êëàññèôèêàöèÿ òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé? Êëàññèôèêàöèÿ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé Íà àíàëîãè÷íûé âîïðîñ äëÿ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé íàóêà äàëà ïîëíûé îòâåò. ×òîáû òî÷íî ñôîðìóëèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ òåîðåìó, ââåäåì åùå íåñêîëüêî ïîíÿòèé. 1. Ïîâåðõíîñòü ýòî òî, ÷òî ëîêàëüíî óñòðîåíî êàê ïëîñêîñòü. Íàïðèìåð, èç ïîâåðõíîñòè ãëîáóñà ìîæíî âûðåçàòü ìàëåíüêèé êóñî÷åê âîêðóã Ìîñêâû, òîïîëîãè÷åñêè íå îòëè÷èìûé îò êðóãà, è ðàçâåðíóòü åãî íà ïëîñêîñòü. Òàêîé êóñî÷åê ìàòåìàòèêè íàçûâàþò êàðòîé. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîâåðõíîñòü Çåìëè ìîæåò áûòü ïîêðûòà êàðòàìè, ò.å. ìîæíî ñîñòàâèòü àòëàñ. 2. Êîìïàêòíîñòü ïîâåðõíîñòè ýòî âîçìîæíîñòü ïîêðûòü ïîâåðõíîñòü êîíå÷íûì êîëè÷åñòâîì êàðò. Ïðîâåðüòå, ÷òî ïîâåðõíîñòè íà ðèñ. 14 êîìïàêòíûå. À íà ðèñóíêå 5 ïðèâåäåí ïðèìåð íåêîìïàêòíîé ïîâåðõíîñòè. Ðèñ. 5. Íåêîìïàêòíàÿ ïîâåðõíîñòü 3. Íàì ïîòðåáóåòñÿ åùå îäíî ïîíÿòèå îðèåíòèðóåìîñòü ïîâåðõíîñòè. Âñå ñëûøàëè ïðî ëèñò ̸áèóñà îí ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ñêëåèòü äâå ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû êâàäðàòà «êðåñò-íàêðåñò», òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 6,à. (Ìàòåìàòèêè ãîâîðÿò ïðî ñêëåéêè Óïðàæíåíèå 1. ×òî ïîëó÷èòñÿ, åñëè ñêëåèòü ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû êâàäðàòà «ñîîòâåòñòâåííî» (ò.å. åñëè íà íèæíåé ñòîðîíå êâàäðàòà íàïèñàòü òîæå ̨ÁÈÓÑ)? Òåïåðü ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü óòâåðæäåíèå, êîòîðîå äàåò ïîëíóþ êëàññèôèêàöèþ äâóìåðíûõ êîìïàêòíûõ îðèåíòèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåé. Òåîðåìà. Ëþáàÿ êîìïàêòíàÿ îðèåíòèðóåìàÿ ïîâåðõíîñòü ýòî ëèáî ñôåðà, ëèáî òîð (ñôåðà ñ ðó÷êîé), ëèáî ñôåðà ñ äâóìÿ ðó÷êàìè, ëèáî ñôåðà ñ òðåìÿ, ÷åòûðüìÿ ... ðó÷êàìè. (Îäíî èç äîêàçàòåëüñòâ ñì. â [1].) Îïðåäåëåíèå. Êîëè÷åñòâî ðó÷åê íàçûâàåòñÿ ðîäîì ïîâåðõíîñòè. Áóäåì åãî îáîçíà÷àòü g (îò ëàò. genus ðîä). Èòàê, òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî êîìïàêòíàÿ îðèåíòèðóåìàÿ ïîâåðõíîñòü ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì ðîäîì g. Òàêèì îáðàçîì, â äâóìåðíîé òîïîëîãèè äîñòèãíóòà ïîëíàÿ ÿñíîñòü. À âîò òðåõìåðíàÿ òîïîëîãèÿ ïîêà î÷åíü äàëåêà îò òàêèõ çàêîí÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ, îíà ñåé÷àñ áóðíî ðàçâèâàåòñÿ. ( ÷àñòíîñòè, íåäàâíî áûëà äîêàçàíà çíàìåíèòàÿ ãèïîòåçà Ïóàíêàðå [2].) Òåîðåìà Ýéëåðà Ïðåäñòàâüòå, ÷òî âû æèâåòå íà ïëàíåòå, íà êîòîðîé íåáî âñåãäà çàòÿíóòî îáëàêàìè è êîñìè÷åñêèå ïóòåøåñòâèÿ íåâîçìîæíû. Êàê, íàõîäÿñü íà ïîâåðõíîñòè Ðèñ. 6. Ëèñò ̸áèóñà êâàäðàòà, íî íà ïðàêòèêå óäîáíåå ñêëåèâàòü âûòÿíóòûå ïðÿìîóãîëüíèêè.) Òàê âîò, ïîâåðõíîñòü íàçûâàþò îðèåíòèðóåìîé, åñëè èç íåå íåëüçÿ âûðåçàòü ëèñò ̸áèóñà, è íåîðèåíòèðóåìîé, åñëè ìîæíî.1 1 Ðàâíîñèëüíûå òåðìèíû äâóñòîðîííèå è îäíîñòîðîííèå ïîâåðõíîñòè. Ñìûñë òåðìèíà «îðèåíòèðóåìàÿ» òàêîé. Ïîìåñòèì íà ëèñò ̸áèóñà äâà ðàâíûõ âåêòîðà, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êðàþ ëèñòà (ðèñ. 6,á; çåëåíûé è êðàñíûé âåêòîðû). Çàòåì áóäåì äâèãàòü îäèí èç âåêòîðîâ ïî ëèñòó (ñîõðàíÿÿ ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü ê êðàþ) äî òåõ ïîð, ïîêà îí îáîéäåò âåñü ëèñò è âåðíåòñÿ êî âòîðîìó. Òåïåðü îíè íàïðàâëåíû ïðîòèâîïîëîæíî! Òàêèì îáðàçîì, îðèåíòàöèÿ íà ëèñòå ̸áèóñà íå ñîõðàíÿåòñÿ. Ïðîâåäåì ïîäîáíûé ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò äëÿ íàøåãî òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. ×òîáû ïîíÿòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî çàìêíóòî, íàäî ñîâåðøèòü êðóãîñâåòíîå ïóòåøåñòâèå. Ïðåäñòàâüòå, ÷òî âû ñåëè íà êîñìè÷åñêèé êîðàáëü, äîëãî ëåòåëè âïåðåä è ïðèëåòåëè íà òî æå ìåñòî. Òåîðåòè÷åñêè ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî ñåðäöå ó âàñ îêàæåòñÿ ñïðàâà, à íå ñëåâà. (Âû âñòðå÷àåòå òàêîå ñóùåñòâî êàæäîå óòðî, êîãäà ñìîòðèòå â çåðêàëî. ×òîáû èçëå÷èòü ýòó áåäó, íàäî åùå ðàçîê ñëåòàòü â êðóãîñâåòíîå ïóòåøåñòâèå.) Ýòî áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî íàøà Âñåëåííàÿ ÿâëÿåòñÿ íåîðèåíòèðóåìûì ìíîãîîáðàçèåì. Ðèñ. 7. Ïëàíåòà-êðåíäåëü ïëàíåòû, îïðåäåëèòü ðîä ýòîé ïîâåðõíîñòè? Ñôåðà ýòî, òîð, êðåíäåëü èëè ÷òî-òî åùå? Âåäü åñëè äûðêè ãîðàçäî áîëüøå íàñ, òî íåïîñðåäñòâåííî ìû èõ âèäåòü íå ìîæåì (ðèñ. 7). Òîïîëîãèÿ ïîìîãàåò ðåøèòü ýòó çàäà÷ó. Ðàçîáúåì ïîâåðõíîñòü ïëàíåòû íà êàðòû, íàïðèìåð ìíîãîóãîëüíûå. Ïîëó÷èì àòëàñ (ðèñ. 8). Ïîäñ÷èòàåì âñå âåðøèíû àòëàñà. Îáîçíà÷èì èõ êîëè÷åñòâî Â. Ó÷àñòêè ãðàíèö êàðò íàçûâàþòñÿ ðåáðàìè, èõ êîëè÷åñòâî îáîçíà- Ðèñ. 8. Àòëàñ ÑÊËÅÉÊÈ ÌÍÎÃÎÓÃÎËÜÍÈÊΠ÷èì Ð. Êàæäàÿ êàðòà íàçûâàåòñÿ ãðàíüþ, ïóñòü à êîëè÷åñòâî ãðàíåé. Òåïåðü ïîäñ÷èòàåì âåëè÷èíó, íàçûâàåìóþ ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêîé 2: Ý =  Р+ Ã. Ïðèâåäåì äâà ïðèìåðà. Âïèøåì â ñôåðó êóá. Ñïðîåêòèðóåì ðåáðà êóáà èç öåíòðà ñôåðû íà åå ïîâåðõíîñòü. Ïîëó÷èòñÿ ðàçáèåíèå ñôåðû íà ÷åòûðåõóãîëüíûå êàðòû (ðèñ.9,à). Ïîñòóïèâ àíàëîãè÷íî ñ òåòðàýäðîì, ïîëó÷èì ðàçáèåíèå ñôåðû íà òðåóãîëüíûå êàðòû (ðèñ.9,á). Ïîäñ÷èòàåì ýéëåðîâû õàðàêòåðèñòèêè: Ýêóáà = 8 12 + 6 = 2, Ýòåòðàýäðà = 4 6 + 4 = 2. íîñòè. Ñëåäóþùàÿ çíàìåíèòàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, êàêèì îáðàçîì. Òåîðåìà Ýéëåðà. Äëÿ àòëàñà ñ  âåðøèíàìè, Ð ðåáðàìè è à ãðàíÿìè íà ïîâåðõíîñòè ðîäà g ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî  Р+ à = 2 2g. Ýòî îäíà èç ñàìûõ çàìå÷àòåëüíûõ ôîðìóë â ìàòåìàòèêå, ó íåå åñòü ìíîãî îáîáùåíèé è ïðèëîæåíèé (âîçìîæíî, íàéäåíû åùå íå âñå). Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [3, 4, 5] (ñ ýòèìè êíèãàìè ïîëåçíî ïîçíàêîìèòüñÿ è âíå ñâÿçè ñ òåîðåìîé Ýéëåðà). Âåðíåìñÿ ê íàøåé çàäà÷å î ïëàíåòå ñ îáëàêàìè. Ïîñëå ðàçáèåíèÿ ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû íà êàðòû è ïîäñ÷åòà ÷èñåë Â, Ð, à âîçìîæíû ñëåäóþùèå ñèòóàöèè:  Р+ à = 2 ⇒ g = 0, ïëàíåòà ñôåðà;  Р+ à = 0 ⇒ g = 1, ïëàíåòà òîð;  Р+ à = 2 ⇒ g = 2, ïëàíåòà êðåíäåëü è òàê äàëåå. Êàê ìû âèäåëè, îäíà è òà æå ïîâåðõíîñòü ìîæåò áûòü îïèñàíà ìíîãèìè ðàçíûìè àòëàñàìè. Ñëåäóþùèé ñþæåò ïîêàçûâàåò, ÷òî óæå èçó÷åíèå àòëàñîâ èç îäíîé êàðòû ñîäåðæàòåëüíî. Ðèñ. 9. Ïðèìåðû ðàçáèåíèé ñôåðû íà êàðòû Õàðàêòåðèñòèêè ñîâïàëè. Îêàçûâàåòñÿ, ýòî íå ñëó÷àéíî ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà íå çàâèñèò îò òîãî, êàêîé àòëàñ íà ïëàíåòå ðàññìàòðèâàåòñÿ! Ïîïðîáóåì îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ýòî òàê. Ãëàâíàÿ èäåÿ ýòî ñîâìåñòíîå èçìåëü÷åíèå àòëàñîâ. ×òî ïðîèñõîäèò ñ àòëàñîì ïðè èçìåëü÷åíèè? Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ãðàíü, ïóñòü ýòî áóäåò n-óãîëüíèê. Ïîìåñòèì âíóòðü íåãî íîâóþ âåðøèíó è ñîåäèíèì åå ðåáðàìè ñî âñåìè n âåðøèíàìè ãðàíè (ðèñ. 10). Òîãäà êîëè÷åñòâî âåðøèí óâåëè÷èòñÿ íà 1: B′ =  + 1. Êîëè÷åñòâî ðåáåð óâåëè÷èòñÿ íà n: P′ = Ð + n. À ÷òî ïðîèçîéäåò ñ êîëè÷åñòâîì ãðàíåé? ÄîáàÐèñ. 10. Èçìåëü÷åíèå ãðàíè âèòñÿ n ãðàíåé, íî èñ÷åçíåò îäíà áîëüøáÿ, ïîýòîìó à ′ = = à + n 1. Òåì ñàìûì, B′ P′ + à ′ =  + 1 (Ð + + n) + à + n 1 =  Р+ Ã. Ïîýòîìó Ý′ = Ý, ò.å. îò îäíîãî òàêîãî èçìåëü÷åíèÿ ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà íå èçìåíèòñÿ. Íåìíîãî ïîäóìàâ è âíåñÿ íåîáõîäèìûå óòî÷íåíèÿ, ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî òàêèìè õîäàìè ëþáûå äâå ðàçíûå êàðòû ìîæíî èçìåëü÷èòü äî îáùåé êàðòû. Ïîñêîëüêó íà êàæäîì øàãå âåëè÷èíû ýéëåðîâûõ õàðàêòåðèñòèê ó àòëàñîâ íå èçìåíÿëèñü, à â êîíöå îêàçàëèñü ðàâíû, òî, çíà÷èò, îíè áûëè ðàâíû èçíà÷àëüíî. Ìû óáåäèëèñü, ÷òî ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà íå çàâèñèò îò àòëàñà (ãîâîðÿò, ÷òî îíà òîïîëîãè÷åñêè èíâàðèàíòíà). Íà ñàìîì äåëå îíà îïðåäåëÿåòñÿ ðîäîì ïîâåðõ2 Ôîðìóëó ëåãêî çàïîìíèòü òàê: ýòî çíàêîïåðåìåííàÿ ñóììà õàðàêòåðèñòèê íóëüìåðíûõ, îäíîìåðíûõ è äâóìåðíûõ îáúåêòîâ. Ñêëåéêè 2n-óãîëüíèêîâ Äî ñèõ ïîð ìû ðàçáèâàëè ïîâåðõíîñòü íà ìíîãîóãîëüíèêè, à òåïåðü áóäåì, íàîáîðîò, ñêëåèâàòü èç ìíîãîóãîëüíèêîâ ïîâåðõíîñòü. Òî÷íåå, êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü áóäåò ñêëåèâàòüñÿ èç îäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Çàäà÷à. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìíîãîóãîëüíèêè ñ ÷åòíûì ÷èñëîì ñòîðîí, îäíà èç êîòîðûõ âûäåëåíà. Ðàçîáüåì ñòîðîíû íà ïàðû è ñêëåèì ñòîðîíû èç îäíîé ïàðû. Ñêëåèâàòü áóäåì òàê, ÷òîáû ïîëó÷àëàñü îðèåíòèðóåìàÿ ïîâåðõíîñòü. Ñêîëüêî ñêëååê ïîëó÷èòñÿ? Êàêîãî ðîäà? Äîãîâîðèìñÿ, ÷òî âûäåëåííàÿ ñòîðîíà íèæíÿÿ, è áóäåì ðèñîâàòü åå æèðíåå îñòàëüíûõ. Íà÷íåì ñ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ (n = 2). Áóäåì ïîìå÷àòü ñêëåèâàåìûå ñòîðîíû îäèíàêîâûìè áóêâàìè, à íå ñêëåèâàåìûå ðàçíûìè. Íà÷íåì ñ íèæíåé ñòîðîíû, îáîçíà÷èâ åå a. ßñíî, ÷òî åå ìîæíî ñêëåèòü ëèáî ñ ïðàâîé, ëèáî ñ ëåâîé, ëèáî ñ âåðõíåé. Ïðè ýòîì îñòàâøèåñÿ äâå ñòîðîíû îäíîçíà÷íî ñêëåèâàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì. Ïîýòîìó åñòü òðè âàðèàíòà ñêëåéêè: 1) Ñì. ðèñ. 11. Ïîëó÷èòñÿ ñôåðà (g = 0). Èçîáðàçèì íà íåé âåðøèíû è ðåáðà ñêëååííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ïîëó÷èòñÿ äåðåâî (ðèñ. 12). Ðèñ. 11. abba Ðèñ. 12. Ñôåðà ñ ðåáðàìè aèb Ðèñ. 13. aabb 2) Ñì. ðèñ. 13. Ïîëó÷èòñÿ òàêæå ñôåðà (g = 0). 3) Ñì. ðèñ. 14. Ïîëó÷èòñÿ òîð (g = 1). (×òîáû íå âîçíèêàëè ëèñòû ̸áèóñà, îäíîèìåííûå ñòîðîíû íàäî ñêëåèâàòü ñîîòâåòñòâåííûìè êîíöàìè, à íå ïðîòèâîïîëîæíûìè!) Íàðèñóåì íà íåì âåðøèíû è ðåáðà ñêëååííîãî ìíîãîóãîëüíèêà ïîëó÷àòñÿ äâà ðàçðåçàþùèõ òîð öèêëà a è b (ðèñ. 15). Ðèñ. 15. Òîð ñ ðåáðàìè a è b Ðèñ. 14. abab Î÷åâèäíî, åñëè íèæíþþ ñòîðîíó îáîçíà÷èòü áóêâîé b, òî ìû ïîëó÷èì òå æå ñàìûå ñêëåéêè ïîñëå ïåðåèìåíîâàíèÿ a â b è b â a. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñêëåéêè, â êîòîðûõ âûäåëåííîé ñòîðîíå ñîîòâåòñòâóåò áóêâà a. Òåïåðü ïåðåéäåì ê øåñòèóãîëüíèêàì (n = 3). 3 Ñíà÷àëà äàâàéòå ïîéìåì, ñêîëüêî ñêëååê ïîëó÷èòñÿ. Èõ ÷èñëî ðàâíî êîëè÷åñòâó ðàçáèåíèé íà ïàðû ñòîðîí øåñòèóãîëüíèêà. Çàôèêñèðóåì íèæíþþ ñòîðîíó øåñòèóãîëüíèêà a. Ïàðíóþ åé ñòîðîíó ìîæíî âûáðàòü 5 ñïîñîáàìè. Åñëè çàôèêñèðîâàòü êàêóþ-ëèáî èç îñòàâøèõñÿ ÷åòûðåõ ñòîðîí b, òî ïàðíóþ åé ìîæíî âûáðàòü 3 ñïîñîáàìè. Íàêîíåö, äëÿ îäíîé èç äâóõ ïîñëåäíèõ ñòîðîí c ïàðíàÿ âûáèðàåòñÿ 1 ñïîñîáîì. Èòîãî, 5 ⋅ 3 ⋅ 1 = 15 âàðèàíòîâ. Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî ñêëååê äëÿ 2nóãîëüíèêà ðàâíî (2n − 1)(2n − 3)(2n − 5 )… 3 ⋅ 1 ≡ (2n − 1)!! Óïðàæíåíèå 3. Íàðèñóéòå âñå 15 ðàçáèåíèé ñòîðîí øåñòèóãîëüíèêà íà ïàðû. Ðèñ. 16. aabbcc Ðàññìîòðèì ñêëåéêó øåñòèóãîëüíèêà aabbcc. Ñåé÷àñ íàì áóäåò óäîáíåå ñëåäèòü íå çà ñòîðîíàìè, à çà âåðøèíàìè. Îáîçíà÷èì âåðøèíû, 3 Äëÿ ïîëíîòû ïåðå÷íÿ íàäî íå çàáûòü è ñëó÷àé n = 1. Åìó ñîîòâåòñòâóþò «äâóóãîëüíèêè»: Ïðè èõ ñêëåéêå ïîëó÷èòñÿ ïîâåðõíîñòü ðîäà g = 0. êîòîðûå ñêëåÿòñÿ, îäíèì è òåì æå öâåòîì (ðèñ. 16). Ïîëó÷èòñÿ ñôåðà (g = 0). Òåïåðü ðàññìîòðèì ñêëåéêó øåñòèóãîëüíèêà abcabc. Òóò óæå òîïîëîãè÷åñêîãî âîîáðàæåíèÿ ìîæåò íå õâàòèòü. Äàâàéòå ñíà÷àëà ïîéìåì, êàêèå âåðøèíû ñêëåÿòñÿ (ðèñ. 17). Ýòî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ èç òðåáîâà- Ðèñ. 17. abcabc íèÿ îðèåíòèðóåìîñòè ïîâåðõíîñòè. Èòàê, ó ñêëåéêè äâå âåðøèíû, òðè ðåáðà è îäíà ãðàíü:  = 2, Ð = 3, à = 1. Êàêàÿ ýòî áóäåò ïîâåðõíîñòü? Ïî òåîðåìå Ýéëåðà, Ý = = 2 3 + 1 = 0 = Ðèñ. 18. Ñêðóòêà = 2 2g. Îòñþäà g = 1, ò.å. ñêëåéêà ÿâëÿåòñÿ òîðîì. Íà ðèñóíêå 18 ïîêàçàíî, êàê ýòà ñêëåéêà âûãëÿäèò.4 À êàê èç òàêîé ñêëåéêè ïîëó÷èòü èñõîäíûé øåñòèóãîëüíèê, ïîäðîáíî ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 19 (ñíîâà îäèíàêîâûìè öâåòàìè îòìå÷åíû ñêëåèâàåìûå ñòîðîíû). Óïðàæíåíèå 4. Îïðåäåëèòå íåïîñðåäñòâåííî èëè ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ýéëåðà ðîä îñòàëüíûõ 13 ñêëååê øåñòèóãîëüíèêà (ìíîãèå èç íèõ ïîâòîðÿþòñÿ). Íàðèñóéòå ñêëåéêè ñ ðåáðàìè è âåðøèíàìè. Îòâåò äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ: âñåãî äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ 5 ñôåð è 10 òîðîâ. Ïåðåéäåì ê âîñüìèóãîëüíèêàì (n = 4). Âñåãî èõ (2 ⋅ 4 − 1)!! = 105 . Êîíå÷íî, îäíîìó ñäåëàòü èõ âñå íå- ëåãêî, íî äðóæíûé êîëëåêòèâ øêîëüíèêîâ âïîëíå ìîæåò ñ íèìè ñïðàâèòüñÿ. 5 Êîëëåêòèâíûé ïðîåêò. Íàðèñóéòå âñå 105 ñêëååê âîñüìèóãîëüíèêîâ, îïðåäåëèòå ðîä êàæäîé ñêëåéêè. Õîä ðàáîòû òîò æå ðèñóåì âîñüìèóãîëüíèê ñ ðàçáèåíèåì ñòîðîí íà ïàðû, îïðåäåëÿåì, êàêàÿ âåðøèíà ñêëåèâàåòñÿ ñ êàêîé, íàõîäèì ÷èñëî âåðøèí  (à ñ ãðàíÿìè è ðåáðàìè âñå ïîíÿòíî: à = 1, Ð = 4) è ïî òåîðåìå Ýéëåðà íàõîäèì ðîä ïîâåðõíîñòè. Åñòü è äðóãîé ïîäõîä ïîäêëþ÷èòü ê ðàáîòå êîìïüþòåð. Äëÿ ýòîãî ââåäåì íîâîå îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå. Ãàóññîâî ñëîâî ýòî ñëîâî, â êîòîðîì âñå áóêâû âñòðå÷àþòñÿ ðîâíî äâà ðàçà. Ïðè ýòîì âíà÷àëå èäåò áóêâà a, ïåðâàÿ íåïàðíàÿ åé b, ñëåäóþùàÿ íåïàðíàÿ èì ñ, è òàê äàëåå. Äîãîâîðèìñÿ, ÷òî ó ìíîãîóãîëüíèêà âûäåëåíà íèæíÿÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ ñòîðîíà, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ïåðâàÿ áóêâà. Äàëüøå èäåì ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Òîãäà 4 Òå, êîìó òðóäíî ïðåäñòàâèòü ïðîèñõîäÿùåå, ìîãóò âûðåçàòü èç ïîëèýòèëåíà áîëüøèå øåñòèóãîëüíèêè è ñêëåèâàòü èõ. 5 Íàïðèìåð, ýòî ñäåëàëà ãðóïïà 7- è 8-êëàññíèö íà Ëåòíåé øêîëå èíòåíñèâíîãî îáó÷åíèÿ «Èíòåëëåêòóàë» 2010 ãîäà (ñì. èõ îò÷åò: http://www.mccme.ru/nir/uir/poster.jpg). ÑÊËÅÉÊÈ ÌÍÎÃÎÓÃÎËÜÍÈÊΠÓïðàæíåíèå 7. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíûé ðîä ïîâåðõíîñòè, êîòîðóþ ìîæíî ñêëåèòü èç 2n-óãîëüíèêà. Ðåøåíèå çàäà÷è Òåïåðü ââåäåì ãëàâíóþ ÷èñëåííóþ õàðàêòåðèñòèêó îáñóæäàåìûõ îáúåêòîâ. Îïðåäåëåíèå. Êîëè÷åñòâà ñêëååê 2n-óãîëüíèêîâ â îðèåíòèðóåìóþ ïîâåðõíîñòü ðîäà g íàçûâàþòñÿ ÷èñëàìè Õàðåðà-Öàãèðà (Harer-Zagier) è îáîçíà÷àþòñÿ ε g,n . Ìû óæå íàõîäèëè ÷èñëà Õàðåðà-Öàãèðà ε g,1 , ε g,2 , ε g,3 (â óïðàæíåíèè 4) è ε g,4 (â êîëëåêòèâíîì ïðîåêòå). Ñîáåðåì äàííûå â òàáëèöó, ñòðî÷êè êîòîðîé îòâå÷àþò çíà÷åíèÿì n, à ñòîëáöû çíà÷åíèÿì g: (Äîãîâîðèìñÿ ñ÷èòàòü ïî îïðåäåëåíèþ, ÷òî ε0,0 := 1 , ò.å. åñòü îäíà íóëüðåáåðíàÿ ïîâåðõíîñòü ðîäà 0.) Ñëåäñòâèå èç óïðàæíåíèÿ 2. Ñóììà ÷èñåë â êàæäîé ñòðîêå òàáëèöû ðàâíà ε0,n + ε1,n + ε2,n + … = (2n − 1) !! Ðèñ. 19. Ïîëó÷àåì øåñòèóãîëüíèê èç ñêëåéêè êàæäîå ãàóññîâî ñëîâî äëèíû 2n îïðåäåëÿåò îäíó è òîëüêî îäíó ñêëåéêó 2n-óãîëüíèêà. Óïðàæíåíèå 5. Íàïèøèòå êîìïüþòåðíóþ ïðîãðàììó, ïåðå÷èñëÿþùóþ ãàóññîâû ñëîâà çàäàííîé äëèíû. Òåïåðü äàâàéòå ðàçáåðåìñÿ, êàê ïî äàííîìó ñëîâó âû÷èñëÿòü ðîä ñêëåéêè, íå ðèñóÿ ñàìó ñêëåéêó. Êàæäûé 2n-óãîëüíèê äàåò ñêëåéêó ñ îäíîé ãðàíüþ è n ðåáðàìè. Åñëè ìû ñìîæåì ïî ãàóññîâó ñëîâó íàéòè êîëè÷åñòâî âåðøèí, òî äàëåå ïî ôîðìóëå Ýéëåðà ëåãêî îïðåäåëèòü ðîä ïîâåðõíîñòè g (ò.å. ðåøèòü çàäà÷ó, íå ïîëüçóÿñü ïðîñòðàíñòâåííûì âîîáðàæåíèåì). Ïðîåêò. Íàïèøèòå êîìïüþòåðíóþ ïðîãðàììó, âû÷èñëÿþùóþ ðîä ñêëåéêè, ñîîòâåòñòâóþùåé çàäàííîìó ãàóññîâó ñëîâó. Äëÿ ýòîãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà â âèäå ìàññèâà è ïðè êàæäîì ñêëåèâàíèè ñòîðîí ñëåäèòü, êàêèå âåðøèíû ñêëåÿòñÿ. Óïðàæíåíèå 6 (äëÿ òåõ, êòî çíàåò, ÷òî òàêîå ãðàô è äåðåâî). Äîêàæèòå, ÷òî ñêëåéêà ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà äàåò ñôåðó, åñëè ãðàô, îáðàçîâàííûé ñòîðîíàìè ìíîãîóãîëüíèêà íà ñêëåèâàåìîé ïîâåðõíîñòè, ÿâëÿåòñÿ äåðåâîì. Ïðîâåðüòå îáðàòíîå óòâåðæäåíèå. Ðàññìîòðèì ÷èñëà ïåðâîãî ñòîëáöà: 1, 1, 2, 5, 14, Îïûòíûé ÷èòàòåëü óçíàåò â íèõ íà÷àëî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷èñåë Êàòàëàíà (ñì., íàïðèìåð, [6, 7]). Äàâàéòå äîêàæåì, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî îíè. Âûáåðåì èç ìíîãî÷èñëåííûõ îïðåäåëåíèé ÷èñåë Êàòàëàíà òî, êîòîðîå êàæåòñÿ áëèæå âñåãî ê íàøåé çàäà÷å: Îïðåäåëåíèå. ×èñëîì Êàòàëàíà cn íàçûâàåòñÿ ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ïðàâèëüíûõ ñêîáî÷íûõ ñòðóêòóð èç n ïàð ñêîáîê. (Äðóãèå îïðåäåëåíèÿ ñì. â [6].) Âîò âñå ïðàâèëüíûå ñêîáî÷íûå ñòðóêòóðû ñ ÷èñëîì ïàð ñêîáîê 1, 2 è 3: () ()() ()()() ()(()) (()) (())() (()()) ((())) À âîò ïðèìåð íåïðàâèëüíîé ñêîáî÷íîé ñòðóêòóðû: (()))( Óïðàæíåíèå 8. Ïîñòðîéòå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ñêîáî÷íûìè ñòðóêòóðàìè èç òðåõ ïàð ñêîáîê è ãàóññîâûìè ñëîâàìè äëèíû 6, ïîðîæäàþùèìè ñôåðó. Óïðàæíåíèå 9. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî ãàóññîâî ñëîâî äëèíû 2n îïðåäåëÿåò ñêëåéêó, ïîðîæäàþùóþ ñôåðó. Óêàçàíèå. Íàéäèòå êðèòåðèé òîãî, ÷òî ñêëåéêà èìååò ïîëîæèòåëüíûé ðîä. Óïðàæíåíèå 10. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëà cn := ε0,n ýòî ÷èñëà Êàòàëàíà. Óïðàæíåíèå 11. Äîêàæèòå äëÿ ÷èñåë Êàòàëàíà ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó 4n − 2 cn −1 . n +1 (Èäåÿ íàãëÿäíîãî äîêàçàòåëüñòâà åñòü â [6].) cn = Ðèñ. 20. Õîäû (* ) Èòàê, ìû óìååì âûðàæàòü ÷èñëî ñêëååê èç ïåðâîãî ñòîëáöà ÷åðåç ïðåäûäóùåå ÷èñëî. Îêàçûâàåòñÿ, åñòü ðåêóððåíòíàÿ ôîðìóëà äëÿ âñåõ ÷èñåë Õàðåðà-Öàãèðà (ñì. [8]). Îíà îïðåäåëÿåò ÷èñëî ε g,n ÷åðåç ÷èñëà ε g,n −1 è ε g −1,n −2 (ñîîòâåòñòâåííî «õîä ïåøêè» è «õîä êîíÿ», ðèñ. 20): ε g,n = (n − 1)(2n − 1)(2n − 3) ε 4n − 2 ε g,n −1 + g −1,n − 2 . ( * * ) n +1 n +1  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ÷èñëà íå îïðåäåëåíû, îíè ïîëàãàþòñÿ ðàâíûìè 0. Íàïðèìåð, ε g,−1 := 0 . Íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, ÷òî åñëè g = 0, òî ìû ïîëó÷èì óæå äîêàçàííóþ íàìè ôîðìóëó ( * ) äëÿ ÷èñåë ïåðâîãî ñòîëáöà. Óïðàæíåíèå 12. Ïðîâåðüòå ôîðìóëó Õàðåðà-Öàãèðà â ïðåäåëàõ òàáëèöû ÷èñåë ε g,n ïðè n ≤ 4 . Òàêèì îáðàçîì, ñîâðåìåííàÿ íàóêà óìååò ðåøàòü çàäà÷ó î ÷èñëå ñêëååê 2n-óãîëüíèêà. Ôîðìóëà ( * * ) âïåðâûå áûëà äîêàçàíà â 1986 ãîäó. Òåïåðü èçâåñòíû íåñêîëüêî åå äîêàçàòåëüñòâ, âñå îíè èñïîëüçóþò íåýëåìåíòàðíóþ ìàòåìàòèêó. Íàïðèìåð, äîêàçàòåëüñòâî [7] èñïîëüçóåò ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè. Íî ïîêà íåèçâåñòíî äîêàçàòåëüñòâî, äîñòóïíîå øêîëüíèêàì. Àâòîðàì êàæåòñÿ, ÷òî åãî ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðîäóìûâàÿ îáîáùåíèÿ ÷èñåë Êàòàëàíà èç [6]. Âîçìîæíî, ýòî ñìîãóò ñäåëàòü ÷èòàòåëè ñòàòüè. Ëèòåðàòóðà 1. À.Ò.Ôîìåíêî. Íàãëÿäíàÿ ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêèå îáðàçû ðåàëüíîãî ìèðà. Ì.: Èçäàòåëüñòâî ÌÃÓ, ×åÐî, 1998. 2. St.Ornes. What is The Poincare conjecture? Seed Magazine, 25 aug. 2006. http://seedmagazine.com/content/ article/what_is_the_poincare_conjecture/ 3. Ð.Êóðàíò, Ã.Ðîááèíñ. ×òî òàêîå ìàòåìàòèêà? Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2004. Ãë. 5. 4. È.Ëàêàòîñ. Äîêàçàòåëüñòâà è îïðîâåðæåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1967. 5. Ñ.Ã.Ñìèðíîâ. Ïðîãóëêè ïî çàìêíóòûì ïîâåðõíîñòÿì. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2003. 6. Ã.Á.Øàáàò. Íåñêîëüêî âçãëÿäîâ íà ÷èñëà Êàòàëàíà. http://www.mccme.ru/nir/uir/Catalan.pdf 7. Ñ.Ê.Ëàíäî. Ëåêöèè î ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèÿõ. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2004. Ïï. 8.58.7. 8. J.Harer, D.Zagier. The Euler Characteristic of the Moduli Space of Curves. Inv. Math., 1986. V. 85, ðð. 457485. ÍÀØÀ ÎÁËÎÆÊÀ Êàê ðèñîâàòü ïî íåáó? (Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè) ... Ôåéåðâåðêè ïîÿâèëèñü â Êèòàå ïî÷òè äâå òûñÿ÷è ëåò òîìó íàçàä. Îäíàêî òîãäà èõ èñïîëüçîâàëè â îñíîâíîì äëÿ óñòðàøåíèÿ çëûõ äóõîâ. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî èñòî÷íèêîì ïåðâîãî ôåéåðâåðêà áûëà õëîïóøêà èç áàìáóêîâîé ïàëêè åå êëàëè â îãîíü, âîçäóõ âíóòðè ñåêöèé áàìáóêà íàãðåâàëñÿ, ðàñøèðÿëñÿ è ðàçíîñèë â ùåïêè ýòó ïàëêó, ïðîèçâîäÿ ïðè ýòîì ãðîìêèé çâóê è ëåòÿùèå âî âñå ñòîðîíû èñêðû. Çàòåì ôåéåðâåðêè ñòàëè ïîëó÷àòü, íàáèâàÿ áóìàæíûé öèëèíäð ïîðîõîì è ïîäæèãàÿ åãî, ÷òî ñäåëàëî ôåéåðâåðê åùå áîëåå âïå÷àòëÿþùèì. Ñåé÷àñ ôåéåðâåðêè âîçíèêàþò ïðè ñæèãàíèè ðàçëè÷íûõ ïîðîõîâûõ ïèðîòåõíè÷åñêèõ èçäåëèé è ÿâëÿþòñÿ íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ âñåâîçìîæíûõ ïðàçäíèêîâ. Öâåòîâàÿ ïàëèòðà ôåéåðâåðêîâ çàâèñèò îò õèìè÷åñêîé ôîðìóëû ñãîðàþùåãî âåùåñòâà. Êðàñíûì öâåòîì âñïûõèâàþò ñîëè ñòðîíöèÿ ( SrCO3 ) è ëèòèÿ ( Li2CO3 èëè LiCl), æåëòûì ñîëè íàòðèÿ ( NaNO3 ), çåëåíûì ñîëè áàðèÿ ( BaCl2 ), ñèíèì ñîëè ìåäè ( CuCl2 ), à áåëûì ïóäðà òèòàíà èëè àëþìèíèÿ.  òîì, ÷òî ðàçíûå ìåòàëëû ïîðàçíîìó ðàñöâå÷èâàþò ôåéåðâåðêè, ìîæíî óáåäèòüñÿ íà óðîêàõ õèìèè èëè ôèçèêè, ïîïðîñèâ ïðåïîäàâàòåëÿ «ïîñûïàòü» ïëàìÿ ãàçîâîé ãîðåëêè ñîëÿìè ýòèõ ìåòàëëîâ. Íà ðèñóíêå 1 âèäíî, êàêîé öâåò ïðèäàþò ïëàìåíè ãîðåëêè ìåäü (ñëåâà), ëèòèé (â öåíòðå) è íàòðèé (ñïðàâà). Ðèñ. 1 Êîãäà ìåòàëëè÷åñêóþ ïóäðó íàãðåâàþò, êàæäûé èç åå àòîìîâ òîæå «íàãðåâàåòñÿ», à èõ ýëåêòðîíû íà î÷åíü êîðîòêîå âðåìÿ (îêîëî 10 íñ) ïåðåñêàêèâàþò íà îðáèòû, áîëåå îòäàëåííûå îò ÿäðà è ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå áîëüøåé ýíåðãèè. Âîçâðàùàÿñü íà ñâîþ îáû÷íóþ îðáèòó, ýëåêòðîí èçëó÷àåò ñâåò, ÷àñòîòà è öâåò êîòîðîãî çàâèñÿò îò óñòðîéñòâà àòîìà äàííîãî ìåòàëëà, òî÷íåå îò ðàçíîñòè ýíåðãèé íà âîçáóæäåííîé îðáèòå è íà îñíîâíîé. Ïðè óìåíüøåíèè ýòîé (Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 42)
