1 Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà. Îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà Îïðåäåëåíèå. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ω îòðåçêà [a; b] â ïðîñòðàíñòâî Rn , çàäàííîå íàáîðîì íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé xi = ωi (t), t ∈ [a; b], i = 1, . . . , n. Êðèâîé L â ïðîñòðàíñòâå Rn íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê x = (x1 , . . . , xn ), ÿâëÿþùèõñÿ çíà÷åíèÿìè ýòîãî îòîáðàæåíèÿ. Êàæäîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà t ∈ [a; b] îòîáðàæåíèå ω ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðóþ òî÷êó M (t) ∈ Rn , ïðè÷åì M (t) → M (t0 ) ïðè t → t0 â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé ωi (t). Òàêèì îáðàçîì, ýòî îïðåäåëåíèå äàåò ïðåäñòàâëåíèå î ëèíèè êàê î òðàåêòîðèè äâèæóùåéñÿ òî÷êè, à èìåííî, åñëè ïàðàìåòð t ïðîáåãàåò ïîñëåäîâàòåëüíî âñå çíà÷åíèÿ îò a äî b, òî÷êà M (t) îïèñûâàåò â ïðîñòðàíñòâå íåêîòîðóþ êðèâóþ. Óðàâíåíèÿ xi = ωi (t), i = 1, ..., n íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè êðèâîé L, èëè óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ. Òî÷êè M (a) è M (b) íàçûâàþòñÿ êîíöàìè êðèâîé. Òî÷êà M íàçûâàåòñÿ êðàòíîé òî÷êîé êðèâîé L, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì ïî êðàéíåé ìåðå äâóõ ðàçëè÷íûõ òî÷åê t èç [a; b]. Òî÷êè, íå ÿâëÿþùèåñÿ êðàòíûìè, íàçûâàþòñÿ ïðîñòûìè. Êðèâàÿ, íå èìåþùàÿ êðàòíûõ òî÷åê, çà èñêëþ÷åíèåì, ìîæåò áûòü, êîíöîâ, íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé êðèâîé. Åñëè çíà÷åíèÿ îòîáðàæåíèÿ ω ñîâïàäàþò òîëüêî â êîíöàõ 2 ïðîìåæóòêà [a; b], òî åñòü M (a) = M (b), êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé çàìêíóòîé êðèâîé. Êðèâàÿ L, èìåþùàÿ òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî êðàòíûõ òî÷åê, íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðèçóåìîé. Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáóþ ïàðàìåòðèçóåìóþ êðèâóþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðîñòûõ êðèâûõ. Îïðåäåëåíèå. Îòîáðàæåíèå ω : [a; b] Rn íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-ëèíåéíûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ðàçáèåíèå T îòðåç- êà [a; b] (a = t0 < t1 < ... < tk = b), ÷òî íà êàæäîì èíòåðâàëå (tj−1 ; tj ) êàæäàÿ èç ôóíêöèé xi = ωi (t) ëèíåéíà. Ïðîñòàÿ êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ ëîìàíîé ëèíèåé, åñëè îïðåäåëÿþùåå åå îòîáðàæåíèå ω êóñî÷íî-ëèíåéíî. Òî÷êè M (tj ) íàçûâàþòñÿ óãëîâûìè òî÷êàìè ëîìàíîé. Ïîíÿòíî, ÷òî ïðîñòàÿ ëîìàíàÿ ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà îòðåçêîâ (çâåíüåâ), êîòîðûå ïåðåñåêàþòñÿ òîëüêî â óãëîâûõ òî÷êàõ, ïðè÷åì â êàæäîé òàêîé òî÷êå, çà èñêëþ÷åíèåì M (a) è M (b), ïåðåñåêàåòñÿ òîëüêî äâà îòðåçêà. íîé Äëèíà ëîìà- ðàâíà ñóììå äëèí âñåõ åå çâåíüåâ. Ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ âïèñàíîé â êðèâóþ L, åñëè åå êîíöû ñîâïàäàþò ñ êîíöàìè êðèâîé L è óãëîâûå òî÷êè ëåæàò íà êðèâîé L. Îïðåäåëåíèå. Ïðîñòàÿ êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ ñïðÿìëÿåìîé, åñëè ìíîæåñòâî S äëèí âñåõ ëîìàíûõ, âïèñàííûõ â ýòó êðè- 3 âóþ, îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà S íàçûâàåòñÿ äëèíîé ñïðÿìëÿåìîé êðèâîé L è îáîçíà÷àåòñÿ |L|. Òåîðåìà. Åñëè ôóíêöèè ωi (t), çàäàþùèå ïðîñòóþ êðèâóþ L, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå [a; b], òî êðèâàÿ L ñïðÿìëÿåìà, è åå äëèíà |L| âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé |L| = Zb p (ω10 (t))2 + ... + (ωn0 (t))2 dt. a Ñëåäñòâèå. Åñëè ðàññìîòðåòü ïåðåìåííóþ äóãó ñ êîíöàìè M (a) è M (t), òî åå äëèíà `(t) ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèåé îò t, è åå äèôôåðåíöèàë âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé d`(t) = p (ω10 (t))2 + ... + (ωn0 (t))2 dt.  ÷àñòíîñòè, åñëè ïëîñêàÿ êðèâàÿ (n = 2) çàäàíà â ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàòàõ (x; y) ÿâíûì îáðàçîì: y = g(x), òî, ñ÷èòàÿ x ïàðàìåòðîì, ïîëó÷èì d` = p 1 + (g 0 (x))2 dx. Åñëè ïëîñêàÿ êðèâàÿ çàäàíà óðàâíåíèåì â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ r = r(ϕ), òî äèôôåðåíöèàë äëèíû äóãè ðàâåí d` = p r2 (ϕ) + (r0 (ϕ))2 dϕ. 4 Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ ïðåîáðàçóåì ïîëÿðíîå óðàâíåíèå êðèâîé â ïàðàìåòðè÷åñêîå ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíûõ ôîðìóë ïåðåõîäà îò ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò ê äåêàðòîâûì (ðîëü ïàðàìåòðà çäåñü èãðàåò óãîë ϕ): x = r · cos ϕ = r(ϕ) · cos ϕ, y = r · sin ϕ = r(ϕ) · sin ϕ. Äèôôåðåíöèðóåì ôóíêöèè x è y ïî ϕ: x0 = r0 (ϕ) · cos ϕ − r(ϕ) · sin ϕ, y 0 = r0 (ϕ) · sin ϕ + r(ϕ) · cos ϕ. Âîçâåäåì êàæäóþ ïðîèçâîäíóþ â êâàäðàò è ñëîæèì: (x0 )2 + (y 0 )2 = (r0 )2 · cos2 ϕ + r2 · sin2 ϕ − 2r r0 · cos ϕ sin ϕ + + (r0 )2 · sin2 ϕ + r2 · cos2 ϕ + 2r r0 · cos ϕ sin ϕ = = (r0 )2 + r2 , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ïóñòü L ñïðÿìëÿåìàÿ êðèâàÿ, çàäàííàÿ óðàâíåíèÿìè xi = ωi (t), i = 1, ..., n, t ∈ [a; b]. Ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå T îòðåçêà [a; b]: a = t0 < t1 < ... < tk = b ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè ξj ∈ (tj−1 ; tj ). Âåëè÷èíà d(T ) = max |tj − tj−1 | íàçûâàåòñÿ j äèàìåòðîì ðàçáèåíèÿ T . Ðàçáèåíèå T ïîðîæäàåò ðàçáèåíèå êðèâîé L íà äóãè Lj ñ êîíöàìè M (tj−1 ) è M (tj ) è ñ îòìå÷åííûìè íà ýòèõ äóãàõ òî÷êàìè Pj = ω(ξj ). 5 Ïóñòü ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ f (M ) îïðåäåëåíà âî âñåõ òî÷êàõ êðèâîé L. Äëÿ êàæäîãî ðàçáèåíèÿ T ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè ξj ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó σ(f ; T ) = k X f (Pj ) · |Lj |. j=1 Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì σ(f ; T ) ïðè d(T ) → 0, òî îí íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà îò ôóíêöèè f ïî êðèâîé L è îáîçíà÷àåòñÿ Z f (x) d`. L Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êðèâàÿ L ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íîãëàäêîé, òî åñòü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ãëàäêèõ êðèâûõ. Êðîìå òîãî, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êðèâàÿ L íå ñîäåðæèò îñîáûõ òî÷åê, òî åñòü òî÷åê, â êîòîðûõ âñå ωi0 (t) = 0. Òåîðåìà (ñâåäåíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà ê èíòåãðàëó ïî îòðåçêó). Åñëè L êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ, çàäàííàÿ óðàâíåíèÿìè xi = ωi (t), à ôóíêöèÿ f (x) êóñî÷íî-íåïðåðûâíà âäîëü êðèâîé L, òî êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà îò ôóíêöèè f ïî êðèâîé L ñóùåñòâóåò è ìîæåò 6 áûòü âû÷èñëåí ïî ôîðìóëå Zb Z f (x) d` = p f (ω(t)) (ω10 (t))2 + ... + (ωn0 (t))2 dt. a L Òåîðåìà. Çíà÷åíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè êðèâîé L. Ñâîéñòâà êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà. (Âñå óïîìèíàåìûå êðèâûå ïðåäïîëàãàþòñÿ ñïðÿìëÿåìûìè, à ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè êóñî÷íî-íåïðåðûâíûìè.) 1. Ëèíåéíîñòü. Äëÿ ëþáûõ ÷èñåë α1 è α1 Z Z Z (α1 f1 (x) + α2 f2 (x)) d` = α1 f1 (x) d` + α2 f2 (x) d`. L L L 2. Àääèòèâíîñòü. Åñëè ïåðåñå÷åíèå êðèâûõ L1 è L2 ñîäåðS æèò íå áîëåå ÷åì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê, è L = L1 L2 , òî Z Z f (x) d` = L Z f (x) d` + L1 f (x) d` L2 3. Ìîíîòîííîñòü. Åñëè f (x) 6 g(x) äëÿ âñåõ x ∈ L, òî Z Z f (x) d` 6 g(x) d`. L L  ÷àñòíîñòè, åñëè f (x) > 0, òî è R L f (x) d` > 0. 7 Íà ýòîì ìû çàêîí÷èì ïåðå÷èñëåíèå îñíîâíûõ ñâåäåíèé î êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëàõ ïåðâîãî ðîäà è ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ïðèìåðîâ èõ âû÷èñëåíèÿ. Êàê âèäíî èç ïðåäûäóùåãî èçëîæåíèÿ, åñëè êðèâàÿ óæå çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà íóæíî ëèøü âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé î ñâåäåíèè åãî ê èíòåãðàëó ïî îòðåçêó. Ïîýòîìó îñíîâíîå âíèìàíèå ìû óäåëèì âîïðîñó ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ êðèâîé, à èìåííî, ïîëó÷åíèþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ x = ω(t) è îïðåäåëåíèþ äèàïàçîíà èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà t. 4225: Ïðèìåð: Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë p R √ 3 ( x4 + 3 y 4 ) d`, L ãäå L - äóãà àñòðîèäû √ 3 x2 + p 3 y2 = √ 3 a2 , a > 0. Ðåøåíèå: Çàìåòèì, ÷òî êðèâàÿ L ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñåé êîîðäèíàò, ïîñêîëüêó åå óðàâíåíèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé (x; y) → (−x; y) è (x; y) → (x; −y). Êðîìå òîãî, ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ÷¼òíà îòíîñèòåëüíî ýòèõ æå ïðåîáðàçîâàíèé, òî åñòü ïðèíèìàåò â ñèììåòðè÷íûõ òî÷êàõ îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, êîîðäèíàòíûå îñè 8 ðàçáèâàþò êðèâóþ L íà 4 ÷àñòè, è èíòåãðàëû ïî êàæäîé èç ýòèõ ÷àñòåé ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Ïîýòîìó ìîæíî, âîñïîëüçîââøèñü àääèòèâíîñòüþ, âû÷èñëèòü èíòåãðàë òîëüêî ïî òîé ÷àñòè êðèâîé L, êîòîðàÿ ëåæèò â ïåðâîé ÷åòâåðòè: x > 0, y > 0, à çàòåì óìíîæèòü åãî íà 4. Ñïîñîá 1. Ïîëîæèì x = t3/2 , ãäå t > 0. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ àñòðîèäû y 2/3 = a2/3 − t, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî t 6 a2/3 . Òàêèì îáðàçîì, åñëè òî÷êà t ïðîáåãàåò îòðåçîê 0 6 t 6 a2/3 , òî÷êà (x, y) ïðîáåæèò ÷åòâåðòü àñòðîèäû îò òî÷êè (0, a) äî òî÷êè (a, 0). x0 = 3 · t1/2 , 2 Äàëåå, y 0 = − 3 · (a2/3 − t)1/2 Òîãäà d` = 3 2 · √ 2 t + a2/3 − t dt = 3 2 · a1/3 dt. √ 3 Z Z a2 (t2 + a4/3 − 2a2/3 t + t2 ) dt = (x4/3 + y 4/3 ) d` = 4 0 L a2/3 2 3 2/3 2 4/3 = =6a t − a t + a t 3 0 2 2 1/3 2 2 =6a a − a + a = 4 a7/3 . 3 1/3 Ñïîñîá 2. Çàìåòèì, ÷òî àñòðîèäà ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé óðîâíÿ îäíîðîä- 9 íîé àëãåáðàè÷åñêîé ôóíêöèè F (x, y) = √ 3 x2 + y 2 , à ýòî çíà- p 3 ÷èò, ÷òî åå óðàâíåíèå ìîæåò ïðèîáðåñòè áîëåå ïðîñòîé âèä ïîñëå ïåðåõîäà ê îáîáùåííîé ïîëÿðíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò: x = r · cosp ϕ, y = r · sinp ϕ. Ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå àñòðîèäû: r2/3 (cos2p/3 ϕ + sin2p/3 ϕ) = a2/3 . Åñëè âçÿòü p = 3, òî ýòî óðàâíåíèå ïðåâðàòèòñÿ â r2/3 = a2/3 , îòêóäà r = a. Èòàê, èñêîìàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ àñòðîèäû: x = a · cos3 ϕ, y = a · sin3 ϕ. Ïîñêîëüêó x > 0 è y > 0, òî îäíîâðåìåííî cos ϕ > 0 è sin ϕ > 0, òî åñòü 0 6 ϕ 6 π/2. Âû÷èñëèì äèôôåðåíöèàë äëèíû äóãè: x0 = −3a cos2 ϕ · sin ϕ, y 0 = 3a sin2 ϕ · cos ϕ. (x0 )2 + (y 0 )2 = 9a2 (cos4 ϕ sin2 ϕ + sin4 ϕ cos2 ϕ) = = 9a2 cos2 ϕ sin2 ϕ, d` = p (x0 )2 + (y 0 )2 dϕ = 3a q cos2 ϕ sin2 ϕ dϕ = = 3a cos ϕ sin ϕ dϕ, 10 ïîñêîëüêó cos ϕ > 0 è sin ϕ > 0. Z (x 4/3 +y 4/3 ) d` = 12 a 7/3 Zπ/2 (cos4 ϕ + sin4 ϕ) cos ϕ sin ϕ dϕ = 0 L Zπ/2 = 12 a7/3 (cos5 ϕ sin ϕ + sin5 ϕ cos ϕ) dϕ = 0 = 24 a 7/3 Zπ/2 sin5 ϕ cos ϕ dϕ = 4 a7/3 . 0 4229: Ïðèìåð: Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë L îêðóæíîñòü x2 + y 2 = ax, a > 0. x2 + y 2 d`, ãäå Rp L Ðåøåíèå: Ïåðåéäåì ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì: x = r · cos ϕ, y = r · sin ϕ. Ïîäñòàâèâ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå r2 = a r cos ϕ, êîòîðîå ðàñïàäàåòñÿ íà äâà: r = 0 è r = a cos ϕ. Âïðî÷åì, òî÷êà r = 0 íå ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé, à ïîëó÷àåòñÿ èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ïðè ϕ = ± π/2. 11 Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó ïåðåìåííàÿ r íå ìîæåò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé, èç ýòîãî æå óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî cos ϕ > 0.  êà÷åñòâå îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà ϕ â òàêîì ñëó÷àå óäîáíî âûáðàòü îòðåçîê [−π/2; π/2]. Òàêèì îáðàçîì, ìû íàøëè ïîëÿðíîå óðàâíåíèå äàííîé îêðóæíîñòè: r = a cos ϕ è ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ. Âû÷èñëèì äèôôåðåíöèàë äóãè, âîñïîëüçîâàâøèñü ïîëÿðíûì óðàâíåíèåì: d` = √ r02 + r2 dϕ = a q sin2 ϕ + cos2 ϕ dϕ = a dϕ. Êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî êðèâàÿ L ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñè Ox, à ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ÷¼òíà ïî ïåðåìåííîé y , ïîýòîìó ðàññìîòðèì ëèøü âåðõíþþ ïîëîâèíó îêðóæíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùóþ çíà÷åíèÿì 0 6 ϕ 6 π . Âûðàçèì ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ ÷åðåç ïàðàìåòð ϕ: p x2 + y 2 = r = a cos ϕ, è ïðèñòóïèì ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðà- ëà: Zπ/2 x2 + y 2 d` = 2 a2 cos ϕ dϕ = 2a2 . Z p L 4227: Ïðèìåð: 0 12 Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ëåìíèñêàòà (x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 ). R | y | d`, ãäå L L Ðåøåíèå: Ýòà êðèâàÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñåé êîîðäèíàò, à ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ÷¼òíà ïî ïåðåìåííûì x è y , ïîýòîìó âîçüì¼ì ëèøü ÷àñòü äóãè, ëåæàùóþ â êâàäðàíòå x > 0, y > 0. Ïðàâàÿ è ëåâàÿ ÷àñòè óðàâíåíèÿ ëåìíèñêàòû ÿâëÿþòñÿ îäíîðîäíûìè ïîëèíîìàìè, ïîýòîìó ïîïðîáóåì ïåðåéòè ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì. Óðàâíåíèå ïðèìåò âèä: r4 = a2 r2 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) = a2 cos 2ϕ, è ñâåäåòñÿ ê óðàâíåíèþ r2 = a2 cos 2ϕ, ïîñêîëüêó òî÷êà r = 0 íå ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé, à ïîëó÷àåòñÿ ïðè ϕ = π/4 (â ïåðâîé êîîðäèíàòíîé ÷åòâåðòè 0 6 ϕ 6 π ). 2 Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî cos 2ϕ > 0, òî åñòü ïàðàìåòð ϕ ìîæåò ìåíÿòüñÿ òîëüêî â ïðåäåëàõ 0 6 ϕ 6 π4 . Òàêèì îáðàçîì, √ ìû íàøëè ïîëÿðíîå óðàâíåíèå ëåìíèñêàòû r = a cos 2ϕ è ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ. Âû÷èñëèì äèôôåðåíöèàë äóãè: s p sin2 2ϕ a dϕ d` = (r0 )2 + r2 dϕ = a + cos 2ϕ dϕ = √ cos 2ϕ cos 2ϕ Âñïîìíèì, ÷òî â ïåðâîé ÷åòâåðòè | y | = y = r(ϕ) sin ϕ, è 13 âû÷èñëèì èíòåãðàë: Z Zπ/4 p a | y | d` = 4 a cos 2ϕ sin ϕ √ dϕ = cos 2ϕ L 0 Zπ/4 √ = 4a2 sin ϕ dϕ = 2a2 (2 − 2). 0 á/í: Ïðèìåð: Çàïèñàòü ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå êðèâîé â ïðîñòðàíñòâå R3 , çàäàííîé ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ïîâåðõíîñòåé: x2 + y 2 + z 2 = 2ax è x2 + y 2 = z 2 , z > 0. Ðåøåíèå: Èñêëþ÷èâ èç ñèñòåìû ïåðåìåííóþ z , ìû òåì ñàìûì ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïðîåêöèè äàííîé êðèâîé íà ïëîñêîñòü xOy : x2 +y 2 = ax.  ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèå ýòîé îêðóæíîñòè èìååò âèä r = a cos ϕ, ãäå |ϕ| 6 π/2. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ x2 + y 2 = z 2 è z > 0 ñëåäóåò, ÷òî z = r = a cos ϕ. Âîçâðàùàÿñü ê äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì, ïîëó÷àåì ïàðàìåòðèçàöèþ: x = a cos2 ϕ, y = a cos ϕ sin ϕ, z = a cos ϕ 14 Çàìå÷àíèå 1. Óðàâíåíèå x2 + y 2 = z 2 , z > 0 çàäàåò âåðõíþþ ïîëîâèíó êîíóñà, à óðàâíåíèå x2 +y 2 +z 2 = 2ax ñôåðó ( åå êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå (x − a)2 + y 2 + z 2 = a2 ). Çàìå÷àíèå 2. Òó æå ñàìóþ ïàðàìåòðèçàöèþ ìîæíî áûëî áû ïîëó÷èòü, çàïèñàâ ñíà÷àëà óðàâíåíèÿ îáåèõ ïîâåðõíîñòåé â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x = r · cos ϕ, y = r · sin ϕ, z = h, à çàòåì óæå èñêëþ÷àÿ ïåðåìåííóþ h. 4240: Ïðèìåð: Âû÷èñëèòü èíòåãðàë R z d`, ãäå L äðóãà êðèâîé L x2 + y 2 = z 2 y 2 = ax √ îò òî÷êè (0, 0, 0) äî òî÷êè (a, a, a 2). Ðåøåíèå: Ñïîñîá 1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïàðàìåòðèçîâàòü êðèâóþ L, ìîæíî âûáðàòü â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà îäíó èç ïåðåìåííûõ, íàïðèìåð x, à îñòàëüíûå âûðàçèòü ÷åðåç íåå. Ïîñêîëüêó çàäàííàÿ äóãà 15 êðèâîé ðàñïîëîæåíà â îêòàíòå x > 0, y > 0, z > 0, òî √ √ x = t, y = at, z = t2 + at. a 2t + a x0 = 1, y0 = √ , . z0 = √ 2 at 2 t2 + at Ïàðàìåòð t, î÷åâèäíî, èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0 äî a. s 8t2 + 9at + 2a2 dt. 4t · (t + a) d` = Z z d` = Za √ s t2 + at · 8t2 + 9at + 2a2 dt = 4t (t + a) 0 L 1 = 2 Za √ 8t2 + 9at + 2a2 dt = 0 √ = √ = 2 a2 v u tp2 − 25/16 Z u √ 17 16 !2 dp = 9/16 2 2a 512 √ ! √ 25 + 4 38 100 38 − 72 − 17 ln . 17 Ñïîñîá 2. Êðèâàÿ L çàäàíà êàê ïåðåñå÷åíèå äâóõ ïîâåðõíîñòåé: êîíóñà è ïàðàáîëè÷åñêîãî öèëèíäðà. Èõ óðàâíåíèÿ â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ x = r · cos ϕ, y = r · sin ϕ, z=h 16 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó íåÿâíûõ ôóíêöèé r2 = h2 , r2 · sin2 ϕ = ar · cos ϕ, êîòîðóþ ìîæíî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà ϕ ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ äóãà ðàñïîëîæåíà â îáëàñòè h > 0. Òîãäà a cos ϕ . sin2 ϕ Âîçâðàùàÿñü â äåêàðòîâû êîîðäèíàòû, ïîëó÷àåì ïàðàìåòðèh=r= çàöèþ êðèâîé x=a· cos2 ϕ , sin2 ϕ y =a· cos ϕ , sin ϕ z =a· cos ϕ . sin2 ϕ Íàéäåì ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïî óñëîâèþ x 6 a, ñëåäîâàòåëüíî cos2 ϕ 6 sin2 ϕ, èëè | cos ϕ| 6 | sin ϕ|. À òàê êàê x > 0 è y > 0, òî 0 6 ϕ 6 π/2, à çíà÷èò cos ϕ > 0, sin ϕ > 0. Ïîýòîìó ìîäóëè ìîæíî îïóñòèòü: 0 6 cos ϕ 6 sin ϕ, èëè π/4 6 ϕ 6 π/2. Èòàê, ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà ϕ óñòàíîâëåíû. Âû÷èñëèì äèôôåðåíöèàë äëèíû äóãè. cos ϕ −2 cos ϕ sin3 ϕ − 2 sin ϕ cos3 ϕ = −2a · , 4 sin ϕ sin3 ϕ − sin2 ϕ − cos2 ϕ a y0 = a · =− 2 , 2 sin ϕ sin ϕ 3 2 1 + cos2 ϕ − sin ϕ − 2 sin ϕ cos ϕ 0 = −a · . z =a· sin4 ϕ sin3 ϕ x0 = a · 17 (d`)2 = ((x0 )2 + (y 0 )2 + (z 0 )2 ) (dϕ)2 = 1 1 + 2 cos2 ϕ + cos4 ϕ 4 cos2 ϕ 2 =a + + (dϕ)2 = sin6 ϕ sin4 ϕ sin6 ϕ cos4 ϕ + 5 cos2 ϕ + 2 = a2 (dϕ)2 . 6 sin ϕ Òåïåðü ìîæíî ïðèñòóïàòü ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà: Z L p Zπ/2 5 cos2 ϕ + 2 + cos4 ϕ 2 cos ϕ z d` = dϕ. a sin2 ϕ sin3 ϕ π/4 cos ϕ Ñäåëàåì çàìåíó t = sin−2 ϕ. Òîãäà dt = −2 sin 3 ϕ dϕ, Ïðåîáðàçóåì ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå: cos4 ϕ + 5 cos2 ϕ + 2 = sin4 ϕ − 7 · sin2 ϕ + 8, è ïðîäîëæèì âû÷èñëåíèÿ. 18 Z a2 z d` = − 2 Z1 √ t t−2 − 7t−1 + 8 dt = 2 L = a2 2 Z2 √ 8 · t2 − 7 · t + 1 dt = 1 v 2 u √ !2 2 Z u √ 7 17 = a2 2 t t − − dt = 16 16 1 √ √ ! 2 √ a 2 25 + 4 38 100 38 − 72 − 17 ln . = 512 17 4238: Ïðèìåð: Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë R x2 d`, ãäå L L îêðóæíîñòü x + y + z = a , x + y + z = 0. 2 2 2 2 Ðåøåíèå: Ñïîñîá 1. Ïåðåéäåì â öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = h. Îêðóæíîñòü L çàäàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé r2 + h2 = a2 , h = −(x + y) = −r(cos ϕ + sin ϕ). 19 Ïîäñòàâëÿÿ h èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ â ïåðâîå, âûðàçèì r ÷åðåç ϕ: r2 + r2 (sin ϕ + cos ϕ)2 = a2 a2 2 + 2 sin ϕ cos ϕ a r=√ . 2 + sin 2ϕ r2 = Èòàê, ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè L: x = r(ϕ) · cos ϕ, a . ãäå r(ϕ) = √ y = r(ϕ) · sin ϕ, 2 + sin 2ϕ z = −r(ϕ) · (cos ϕ + sin ϕ), Âû÷èñëèì äèôôåðåíöèàë äëèíû äóãè ïî ôîðìóëå (d`)2 = ((x0 )2 + (y 0 )2 + (z 0 )2 ) (dϕ)2 . Ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ïîëó÷åííîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ îêðóæíîñòè L ïî ñóòè ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè åå ïðîåêöèè íà ïëîñêîñòü xOy , à çàâèñè√ ìîñòü r(ϕ) = a( 2 + sin 2ϕ)−1 ïîëÿðíûì óðàâíåíèåì ýòîé ïðîåêöèè.  òàêîì ñëó÷àå, êàê áûëî äîêàçàíî ðàíåå, (x0 )2 + (y 0 )2 = (r0 )2 + r2 . Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó z = −(x + y), òî (z 0 )2 = (x0 + y 0 )2 = (x0 )2 + (y 0 )2 + 2x0 · y 0 = = (r0 )2 + r2 + ((r0 )2 − r2 ) sin 2ϕ + 2 r0 r cos 2ϕ, 20 ãäå r0 = −a · cos 2ϕ (2 + sin 2ϕ)−3/2 . Èòàê, (x0 )2 + (y 0 )2 + (z 0 )2 = (x0 )2 + (y 0 )2 + (x0 + y 0 )2 = = r2 (2 − sin 2ϕ) + (r0 )2 (2 + sin 2ϕ) + 2 (r0 r) cos 2ϕ = = 3a2 (2 + sin 2ϕ)−2 . Íàéäåì ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïàðàìåòð ϕ èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ýòî óãîë ìåæäó ïðîåêöèåé ðàäèóñ âåêòîðà òî÷êè (x, y, z) íà ïëîñêîñòü xOy è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Ox. Ïîñêîëüêó ïðîåêöèåé îêðóæíîñòè L ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñ, à íà÷àëî êîîðäèíàò ñîäåðæèòñÿ âíóòðè íåãî, òî ïðè îáõîäå ýòîãî ýëëèïñà òî÷êà (x, y) ñîâåðøèò ïîëíûé îáîðîò âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò, è çíà÷èò ïàðàìåòð ϕ èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0 äî 2π . Ïðèñòóïèì ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà: Z 2 x d` = L √ 3a 3 Z2π cos2 ϕ dϕ (2 + sin 2ϕ)2 0 Ïîñêîëüêó 2 cos2 ϕ = cos 2ϕ+1, òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé àðãóìåíòà 2ϕ, à çíà÷èò, π ïåðèîäè÷íà. Ïîýòîìó èíòåãðàë ïî îòðåçêó [0; 2π] ðàâåí óäâîåííîìó èíòåãðàëó ïî ëþáîìó îòðåçêó, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà 21 ïåðèîäó, íàïðèìåð, ïî îòðåçêó [−π/2; π/2]. Çàìåíà ïåðåìåííîé t = tg ϕ ñâîäèò çàäà÷ó ê èíòåãðèðîâàíèþ ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè: √ Z 2 x d` = = √ = Zπ/2 3 a3 2 −π/2 3 a3 6 Z2π cos2 ϕ dϕ = (1 + sin ϕ cos ϕ)2 0 L √ 3 a3 4 cos2 ϕ dϕ = (1 + sin ϕ cos ϕ)2 √ 3 a3 2 Z∞ (t2 dt = + t + 1)2 −∞ 2t + 1 4 2t + 1 + √ arctg √ 2 (t + t + 1) 3 3 ∞ 2 = · πa3 . 3 −∞ Ñïîñîá 2. Íàïðàâèì îñü Ox0 ïî ïðÿìîé x + y = 0, z = 0, îñü Oy 0 ïî √ ïðÿìîé x = y , z = −(x + y), òî åñòü ïîä óãëîì α = arctg 2 = √ arccos(1/ 3) ê ïëîñêîñòè xOy , à îñü Oz 0 - ïî íîðìàëè ê ïëîñêîñòè x + y + z = 0, òî åñòü âäîëü âåêòîðà (1, 1, 1) (ñì. ðèñ.).  ïëîñêîñòè x0 Oy 0 îêðóæíîñòü L ïàðàìåòðèçóåòñÿ ñòàíäàðòíûì îáðàçîì: x0 = r · cos ϕ, y 0 = r · sin ϕ. Òåïåðü ñîâåðøèì ïîâîðîò â ïëîñêîñòè x = y , ïðè êîòîðîì îñü Oz 0 ñîâìåñòèòñÿ ñ îñþ Oz , òî åñòü ïîëîæèì x00 = x0 , √ y 00 = y 0 / 3 è z 00 = z . Äëÿ çàâåðøåíèÿ êàðòèíû îñòàëîñü åù¼ ïîâåðíóòü åå íà óãîë π/4 â ïëîñêîñòè x00 Oy 00 : 22 r sin ϕ x = cos (π/4) · (y 00 − x00 ) = √ ( √ − cos ϕ), 2 3 r sin ϕ 00 00 y = cos (π/4) · (y + x ) = √ ( √ + cos ϕ), 2 3 √ sin ϕ p 00 0 z = z = y · 2/3 = r 2 · √ . 3 Òåïåðü ìîæíî âû÷èñëèòü èíòåãðàë: Z a3 x2 d` = 2 = a3 6 sin ϕ ( √ − cos ϕ)2 dϕ = 3 0 L Z2π Z2π √ 2πa3 (2 · cos2 ϕ − 2 3 · sin ϕ · cos ϕ + 1) dϕ = . 3 0 Ñïîñîá 3 (ñàìûé ïðîñòîé). Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå îêðóæíîñòü L, èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî öèêëè÷åñêîé çàìåíû ïåðåìåííûõ x → y → z → x, ïîýòîìó Z Z Z 2 2 x d` = y d` = z 2 d`. L L L Äàëåå, íà îêðóæíîñòè L ôóíêöèÿ x2 + y 2 + z 2 ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå a2 . Ñëåäîâàòåëüíî, Z Z Z Z 1 x2 d` = x2 d` + y 2 d` + z 2 d` = 3 L L L L Z Z 1 1 a2 2πa3 2 2 2 2 = (x + y + z ) d` = a d` = · 2πa = . 3 3 3 3 L L 23 Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü íåêîòîðàÿ ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà (ìàññà, çàðÿä è ò. ï.) ðàñïðåäåëåíà íà êðèâîé L ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ ρ(x; y; z), à r(M ) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M ∈ L äî íåêîòîðîé ïëîñêîñòè èëè ïðÿìîé P . Èíòåãðàëû Z (k) IP = ρrk d`, k ∈ Z L íàçûâàþòñÿ ìîìåíòàìè ïîðÿäêà k êðèâîé L îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè (ïðÿìîé) P. Òàê, ìàññà êðèâîé Z M (L) = ρd` L ÿâëÿåòñÿ ìîìåíòîì íóëåâîãî ïîðÿäêà, ìîìåíòû ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàþòñÿ ñòàòè÷åñêèìè ìîìåíòàìè, à ìîìåíòû âòîðîãî ïîðÿäêà ìîìåíòàìè èíåðöèè. Êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ êðèâîé L âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì: (1) IyOz 1 x0 = = M (L) M (L) (1) Z xρ d` , 1 I y0 = xOz = M (L) M (L) L Z yρ d` , L (1) IxOy 1 z0 = = M (L) M (L) Z zρ d` . L Ìîìåíòû èíåðöèè êðèâîé L îòíîñèòåëüíî îñåé Ox, Oy è Oz âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì: 24 Ix = (2) IOx Z 2 2 (y + z ) ρ d` , = Iy = (2) IOy Z = (x2 + z 2 ) ρ d` , L L Iz = (2) IOz Z = (x2 + y 2 ) ρ d` . L 4245: Ïðèìåð: Âû÷èñëèòü êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ êîíòóðà ñôåðè÷åñêîãî òðåóãîëüíèêà L : x2 + y 2 + z 2 = a2 ; x > 0, y > 0, z > 0. Ðåøåíèå: Çàìåòèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ L ñîñòîèò èç òðåõ ïëîñêèõ êóñêîâ Li , i = 1, 2, 3, êàæäûé èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷åòâåðòü îêðóæíîñòè ðàäèóñà a, ëåæàùåé â îäíîé èç êîîðäèíàòíûõ ïëîñêîñòåé. Êðîìå òîãî, ïðè öèêëè÷åñêîé çàìåíå ïåðåìåííûõ x → y → z → x, òî åñòü ïðè ïîâîðîòå âîêðóã îñè x = y = z íà 120o , êðèâàÿ L ïåðåõîäèò ñàìà â ñåáÿ (L1 → L2 → L3 → L1 ). Ïîýòîìó ìàññó L ìîæíî íàéòè êàê Z M= Z d` = 3 L L1 Zπ/2 d` = 3 a dϕ = 3πa/2. 0 (L1 ïàðàìåòðèçóåòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì: x = a · cos ϕ, y = a · sin ϕ, z = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, d` = a dϕ.) 25 Òàêæå ÿñíî, ÷òî â ñèëó óêàçàííîé ñèììåòðèè öåíòð ìàññ ëåæèò íà ïðÿìîé x = y = z , òî åñòü åãî êîîðäèíàòû ðàâíû: R x0 = y0 = z0 . Çàìåòèì, ÷òî z d` = 0, ïîñêîëüêó z = 0 â L1 ïëîñêîñòè xOy . Ïîýòîìó z d` = 2 z d` + Mz = L2 Z Z Z Zπ/2 cos ϕ dϕ = 2a2 , z d` = 2a2 L2 L3 èòàê, x0 = y0 = z0 = 0 Mz 2a2 4a = = . M 3πa/2 3π Ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà. Îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà Îïðåäåëåíèå. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ω îãðàíè÷åííîé, èçìåðèìîé ïî Æîðäàíó îáëàñòè D ⊂ R2 â ïðîñòðàíñòâî Rn , çàäàííîå íàáîðîì íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé xi = ωi (u; v), (u; v) ∈ D, i = 1, . . . , n. Îòîáðàæåíèå ω äîëæíî áûòü âçàèìíîîäíîçíà÷íûì âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà D. Ïîâåðõíîñòüþ S â ïðîñòðàíñòâå Rn íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê x = (x1 , . . . , xn ), ÿâëÿþùèõñÿ çíà÷åíèÿìè ýòîãî îòîáðàæåíèÿ. Óðàâíåíèÿ xi = ωi (u; v), i = 1, ..., n íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ïîâåðõíîñòè S . Êàæäîé òî÷êå (u; v) ∈ D îòîáðàæåíèå ω ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå òî÷êó M (u; v) ∈ Rn , ïðè÷åì M (u; v) → M (u0 ; v0 ) 26 ïðè (u; v) → (u0 ; v0 ) â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé ωi (u; v). Òàêèì îáðàçîì, äâóìåðíóþ ïîâåðõíîñòü â Rn ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê âëîæåíèå â Rn èçîãíóòîãî, äåôîðìèðîâàííîãî êóñêà ïëîñêîñòè. Ïóñòü (u0 ; v0 ) ∈ D. Òîãäà ÷åðåç òî÷êó M (u0 ; v0 ) ∈ S â íåêîòîðîé åå îêðåñòíîñòè ïðîõîäÿò äâå êðèâûå: x = ω(s0 ; t) è x = ω(s; t0 ), ëåæàùèå íà ïîâåðõíîñòè S , êîòîðûå íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòíâìè ëèíèÿìè, à ñàìè çíà÷åíèÿ (u0 ; v0 ) íàçûâàþò- ñÿ êðèâîëèíåéíûìè êîîðäèíàòàìè íà ïîâåðõíîñòè S . Îïðåäåëåíèå. Îòîáðàæåíèå ω : D Rn íàçûâàåòñÿ ãëàäêèì, åñëè â ëþáîé òî÷êå (u; v) ∈ D ôóíêöèè xi = ωi (u; v) èìåþò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå. Îïðåäåëåíèå. Ïîâåðõíîñòü S íàçûâàåòñÿ ãëàäêîé, åñëè çàäàþùåå åå îòîáðàæåíèå ω : D Rn ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì. Ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîé, åñëè â êàæäîé òî÷êå (u; v) ∈ D ðàíã ìàòðèöû ßêîáè îòîáðàæåíèÿ ω ìàêñèìàëåí, à èìåííî, ðàâåí 2. Êîððåêòíîå îïðåäåëåíèå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè â îáùåì ñëó÷àå òðåáóåò ãîðàçäî áîëüøå óñèëèé, ÷åì îïðåäåëåíèå äëèíû êðèâîé. È ïîñêîëüêó öåëüþ äàííîãî ïîñîáèÿ âñå-æå ÿâëÿåòñÿ îñâîåíèå ïðèåìîâ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ, ìû ðàññìîòðèì, êàê îïðåäåëÿåòñÿ ïîíÿòèå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè â ïðîñòîì ñëó÷àå, êîãäà S ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì êâàäðàòà. Çäåñü óæå 27 ñîäåðæàòñÿ âñå îñíîâíûå ìîìåíòû ïîñòðîåíèÿ ïîíÿòèÿ ïëîùàäè, êîòîðûå âîñïðîèçâîäÿòñÿ è â áîëåå îáùåé ñèòóàöèè. Äàëåå ñòàíäàðòíûìè ðàññóæäåíèÿìè ìîæíî ïåðåéòè ê îïðåäåëåíèþ ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè, ÿâëÿþùåéñÿ îáðàçîì ïðîèçâîëüíîãî èçìåðèìîãî ïî Æîðäàíó êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà. Èòàê, ïóñòü S ãëàäêàÿ íåâûðîæäåííàÿ ïîâåðõíîñòü, ÿâëÿþùàÿñÿ îáðàçîì êâàäðàòà D ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì îñÿì. Ðàññìîòðèì åãî ðàçáèåíèå T íà ðàâíûå êâàäðàòû Dk,l ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè ξk,l , ãäå ξk,l âåðøèíà ëåâîãî íèæíåãî óãëà êâàäðàòà Dk,l . Äëèíó ñòîðîíû êâàäðàòà Dk,l îáîçíà÷èì ÷åðåç d. Ðàçáèåíèå T ïîðîæäàåò ðàçáèåíèå ïîâåðõíîñòè S íà êóñêè Sk,l ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè Pk,l = ω(ξk,l ).  êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè S îïðåäåëåíû äâà âåêòîðà: ~x 0u è ~x 0v , êàñàòåëüíûå ê êîîðäèíàòíûì ëèíèÿì. Îíè îáðàçóþò áàçèñ â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê S , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó, ïîñêîëüêó ÿâëÿþòñÿ ñòîëáöàìè ìàòðèöû ßêîáè, ðàíã êîòîðîé ïî ïðåäïîëîæåíèþ ðàâåí äâóì. Òàêèì îáðàçîì, âåê~ = [~x 0 × ~x 0 ] îòëè÷íî îò íóëÿ. Êàê òîðíîå ïðîèçâåäåíèå N u v ~ ïåðïåíäèêóëÿðåí êàæäîìó èç âåêòîðîâ èçâåñòíî, âåêòîð N ~x 0u è ~x 0v , à äëèíà åãî ðàâíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ. ~ = [~x 0 × ~x 0 ] áóäåì íàçûâàòü íîðÎïðåäåëåíèå. Âåêòîð N v u ìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè S, îòâå÷àþùåé ïàðàìåòðèçàöèè ω. 28 Ñïðîåêòèðîâàâ îðòîãîíàëüíî ýëåìåíò Sk,l íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå Pk,l , ìû ïîëó÷èì â ïðîåêöèè ïëîñêóþ ôèãóðó, ïëîùàäü êîòîðîé îáîçíà÷èì ÷åðåç µk,l . Äëÿ êàæäîãî ðàçáèåíèÿ T ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè ξj ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó σ(T ) = X µk,l . k,l Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì σ(T ) ïðè d → 0, òî îí íàçûâàåòñÿ ïëîùàäüþ ïîâåðõíîñòè S . Ïîâåðõíîñòü, èìåþùàÿ ïëîùàäü, íàçûâàåòñÿ êâàäðèðóåìîé. Òåîðåìà. Åñëè S - ãëàäêàÿ íåâûðîæäåííàÿ ïîâåðõíîñòü, ÿâëÿþùàÿñÿ îáðàçîì èçìåðèìîãî êîìïàêòà D, òî îíà êâàäðèðóåìà è åå ïëîùàäü ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå ZZ ~ | du dv. |N D ~ | du dv íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòîì (äèôôåÂåëè÷èíà dS = |N ðåíöèàëîì) ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè. Äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ ñóùå- ñòâóåò åùå îäíà ôîðìóëà, îñíîâàííàÿ íà òîì, ÷òî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ ~x 0u è ~x 0v , ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû Ãðàìà: (~x 0 · ~x 0 ) (~x 0 · ~x 0 ) E F u u v u 0 = 0 0 0 (~x u · ~x v ) (~x v · ~x v ) F G 29 Òîãäà, åñëè îáîçíà÷èòü îïðåäåëèòåëü EG − F 2 ÷åðåç Γ, ïîëó÷èì ôîðìóëó √ dS = Γ du dv = √ EG − F 2 du dv. Ðàññìîòðèì ãëàäêóþ íåâûðîæäåííóþ ïîâåðõíîñòü S , ÿâëÿþùóþñÿ îáðàçîì èçìåðèìîãî êîìïàêòà D. Ïóñòü ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ f (M ) îïðåäåëåíà âî âñåõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè S . Ðàçìå÷åííîå ðàçáèåíèå T ìíîæåñòâà D íà èçìåðèìûå êóñêè ïîðîæäàåò ðàçáèåíèå ïîâåðõíîñòè S íà êóñêè Sk,l ñ îòìå÷åííûìè òî÷êàìè Pk,l . Äëÿ êàæäîãî ðàçìå÷åííîãî ðàçáèåíèÿ T ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó σ(f ; T ) = X f (Pk,l ) · µ(Sk,l ), k,l ãäå µ(Sk,l ) ïëîùàäü ñîîòâåòñòâóþùåãî êóñêà ïîâåðõíîñòè. Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì σ(f ; T ) ïðè max µ(Sk,l ) → 0, òî îí íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà îáîçíà÷àåòñÿ îò ôóíêöèè f ïî ïîâåðõíîñòè S è ZZ f (x) dS. S Òåîðåìà (ñâåäåíèå ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà ê äâîéíîìó èíòåãðàëó). Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà 30 íåâûðîæäåííîé ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè S , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì èçìåðèìîãî êîìïàêòà D ïðè îòîáðàæåíèè x = ω(u; v), òî ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà îò ôóíêöèè f ïî ïîâåðõíîñòè S ñóùåñòâóåò è ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïî ôîðìóëå ZZ ZZ f (x) dS = S √ f (ω(u; v)) EG − F 2 du dv. D Òåîðåìà. Çíà÷åíèå ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè ïîâåðõíñòè S . Äàëåå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîâåðõíîñòü S ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé è êóñî÷íî-ãëàäêîé, òî åñòü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ãëàäêèõ íåâûðîæäåííûõ ïîâåðõíîñòåé. Çàäà÷à. Íàéòè ïëîùàäü ÷àñòè ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà z = xy , êîòîðàÿ âûðåçàåòñÿ öèëèíäðîì x2 + y 2 = 3. Ðåøåíèå: Ïëîùàäü ðàâíà èíòåãðàëó îò 1. Ïîâåðõíîñòü çàäàíà ÿâíûì óðàâíåíèåì, ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü ïàðàìåòðàìè x è y . Îáëàñòü èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ ýòî ïðîåêöèÿ ïîâåðõíîñòè íà ïëîñêîñòü xOy , òî åñòü êðóã K : x2 + y 2 = 3. Ïîýòîìó 31 Z 1 dS = S Z p 1+ x2 + y2 dx dy = 0 K = Z2 √ Z2π Z2 √ Z2π 1 + r2 rd r 0 Z3 dϕ = 2π 0 √ 1 + r2 rd rdϕ = 0 1+t dt = 2π/3. 2 0 4343: Ïðèìåð: Âû÷èñëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë 1-ãî ðîäà RR (x + y + z) dS , S ãäå S ïîâåðõíîñòü x2 + y 2 + z 2 = a2 , z > 0. Ðåøåíèå: Ïîâåðõíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëóñôåðó ðàäèóñà a ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò , ïîýòîìó äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïàðàìåòðèçàöèè âîñïîëüçóåìñÿ ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò, ïîäñòàâèâ R = a: x = a · sin θ · cos ϕ, y = a · sin θ · sin ϕ, z = a · cos θ. Ïîñêîëüêó z > 0, èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî cos θ > 0, òî åñòü 0 6 θ 6 π2 . 32 Âû÷èñëèì ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè: dS = √ EG − F 2 dϕ dθ = ~ | dϕ dθ |N ~rϕ = a (− sin θ sin ϕ, sin θ cos ϕ, 0), ~rθ = a (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ) (~r · ~r ) (~r · ~r ) a2 sin2 θ 0 ϕ ϕ ϕ θ ~ |2 = |N = = a4 sin2 θ 2 (~rϕ · ~rθ ) (~rθ · ~rθ ) 0 a Ïîñêîëüêó â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò 0 6 θ 6 π , òî sin θ > 0, ñëåäîâàòåëüíî dS = a2 sin θ dθ dϕ. Åù¼ ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî â ñèëó ñèììåòðèè ïîëóñôåðû è RR RR íå÷¼òíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè: x dS = 0 è y dS = S 0, òîãäà âñ¼, ÷òî îñòà¼òñÿ: ZZ ZZ (x + y + z) dS = S S Zπ/2 = a3 Z2π 0 S Z2π Zπ/2 z dS = a cos θ · a2 sin θ dϕ dθ = 0 0 Zπ/2 dϕ sin θ cos θ dθ = 2πa3 sin θ d(sin θ) = πa3 . 0 0 4350: Ïðèìåð: RR (xy + yz + zx) dS , ãäå S ÷àñòü ïîâåðõíîñòè z = S âûðåçàííàÿ ïîâåðõíîñòüþ x2 + y 2 = 2ax. Ðåøåíèå: x2 + y 2 , p 33 Ïîâåðõíîñòü S , ïî êîòîðîé âåäåòñÿ èíòåãðèðîâàíèå, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòü êðóãîâîãî êîíóñà z 2 = x2 + y 2 , îñü âðàùåíèÿ êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ îñüþ Oz , ëåæàùóþ â ïîëóïðîñòðàíñòâå z > 0. Ýòà ÷àñòü êîíóñà âûðåçàíà öèëèíäðîì x2 + y 2 = 2ax, íàïðàâëÿþùèå êîòîðîãî òàêæå ïàðàëëåëüíû îñè Oz , à ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòüþ, óðàâíåíèå êîòîðîé ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó (x − a)2 + y 2 = a2 . Òàêèì îáðàçîì, ïðîåêòèðóÿ ïîâåðõíîñòü S íà ïëîñêîñòü xOy , ìû ïîëó÷èì êðóã (x − a)2 + y 2 6 a2 , èëè, âîçâðàùàÿñü ê ïåðâîíà÷àëüíîìó âèäó, x2 + y 2 6 2ax.  öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò êîíóñ çàäàåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì x = h cos ϕ, y = h sin ϕ, z = h. Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â ñîîòíîøåíèå x2 + y 2 6 2ax, ïîëó÷èì h2 6 2ah cos ϕ, è ó÷èòûâàÿ, ÷òî h > 0, òî 0 6 h 6 6 2a cos ϕ. Îòñþäà âèäíî, ÷òî 0 6 cos ϕ, òî åñòü |ϕ| 6 π/2. Èòàê, ìû íàøëè ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè è ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ. Îñòàëîñü âû÷èñëèòü ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè dS . √ dS = EG − F 2 dh dϕ ~rϕ = (−h sin ϕ, h cos ϕ, 0), ~rh = (cos ϕ, sin ϕ, 1) 34 E = (~rϕ · ~rϕ ) = h2 G = (~rh · ~rh ) = 2 F = (~rϕ · ~rh ) = 0 dS = √ 2 h dh dϕ Ïîñêîëüêó ïîâåðõíîñòü ñèììåòðè÷íà y ↔ −y è, êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ y ·(x+z) íå÷¼òíà ïî ïåðåìåííîé y , òî èíòåãðàë îò íåå ðàâåí íóëþ. Èòîãî: ZZ ZZ zx dS = (xy + yz + zx) dS = S S Zπ/2 2a·cos Z ϕ √ = −π/2 √ 2 h3 cos ϕ dh dϕ = 2 2 0 Zπ/2 2a·cos ϕ Z h3 dh cos ϕ dϕ = 0 0 π/2 √ √ Z √ 64 2 4 8 4 4 4 = a. = 2 2 4a · cos ϕ · cos ϕ dϕ = 8 2 · a · 15 15 0 4342: Ïðèìåð: Âû÷èñëèòü z dS , ãäå S ÷àñòü ïîâåðõíîñòè x2 + z 2 = S p 2az (a > 0), âûðåçàííàÿ ïîâåðõíîñòüþ z = x2 + y 2 . Ðåøåíèå: RR 35 Ïîâåðõíîñòü S , ïî êîòîðîé âåäåòñÿ èíòåãðèðîâàíèå, ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ öèëèíäðà, îáðàçóþùèå êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû îñè Oy . Ïîýòîìó äëÿ ïàðàìåòðèçàöèè ýòîé ïîâåðõíîñòè âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè öèëèíäðè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè: x = r · sin ϕ, y = h, z = r · cos ϕ. Ñå÷åíèå äàííîãî öèëèíäðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îêðóæíîñòü, ñìåùåííóþ ïî îñè Oz , ïîýòîìó èìåííî îñü Oz áûëà âûáðàíà â êà÷åñòâå ïîëÿðíîé îñè, îò êîòîðîé îòñ÷èòûâàåòñÿ óãîë ϕ. Êàê áóäåò âèäíî äàëåå, ýòî ïîçâîëèò ó÷åñòü ñèììåòðèþ öèëèíäðà x2 + z 2 = 2az îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè yOz è óïðîñòèòü çàïèñü ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ. Èòàê, óðàâíåíèå öèëèíäðà S â âûáðàííûõ êîîðäèíàòàõ âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: r = 2a cos ϕ  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì, ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä: x y z = 2a sin ϕ cos ϕ = a sin 2ϕ, = h, = 2a cos2 ϕ = a (cos 2ϕ + 1). Âû÷èñëèì ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè dS = ~ | dϕ d h: |N ~rϕ = (2a cos 2ϕ, 0, −2a sin 2ϕ), √ EG − F 2 dϕ d h = 36 ~rh = (0, 1, 0) (~r · ~r ) (~r · ~r ) 4a2 0 ϕ ϕ ϕ h ~ |2 = |N = = 4a2 ⇒ dS = (~rϕ · ~rh ) (~rh · ~rh ) 0 1 2a dh dϕ. Òåïåðü âûÿñíèì, êàêîâû ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ h è ϕ. Îíè îïðåäåëÿþòñÿ òåì, êàêàÿ ïîâåðõíîñòü âûðåçàåò. Ýòî âåðõíÿÿ ïîëîâèíà êîíóñà z 2 = x2 + y 2 ñ îñüþ âðàùåíèÿ Oz . Åñëè ìû ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå êîíóñà ïàðàìåòðè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ , òî òåì ñàìûì ìû íàéäåì ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå êðèâîé, ïî êîòîðîé ïåðåñåêàþòñÿ öèëèíäð è êîíóñ. r2 cos2 ϕ = r2 sin2 ϕ + h2 h2 = 4a2 cos2 ϕ cos 2ϕ p ⇒ |h| 6 2a |cos ϕ| cos 2ϕ. Îáîçíà÷èì t = 2a |cos ϕ| ⇒ √ cos 2ϕ Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî cos 2ϕ > 0 ⇒ |ϕ| 6 π4 , à â ñèëó ñèììåòðèè x ↔ −x, y ↔ −y ìîæíî âçÿòü äâà èíòåãðàëà îò 0 äî π/4. Òàêèì îáðàçîì åñòü ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ, òåïåðü èùåì 37 èíòåãðàë: Zπ/4Z t 4 0 Zπ/4 p 4a2 cos2 ϕ dh dϕ = 16 a2 cos2 ϕ · 2a · cos ϕ cos 2ϕ dϕ = 0 0 = 32a3 Zπ/4 q (1 − sin2 ϕ) 1 − 2 sin2 ϕ cos ϕ dϕ = 0 √ Z2/2 p = çàìåíà ïåðåìåííîé p = sin ϕ = 32a3 (1 − p2 ) 1 − 2p2 dp = 0 = 32a3 9p − 4p 16 !√2/2 √ √ √ 7 2 3 7 2 2 = arcsin( 2p) πa . 1 − 2p + 32 2 3p 0 4344: Ïðèìåð: Âû÷èñëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë 1-ãî ðîäà p y 2 ) dS , ãäå S ãðàíèöà òåëà x2 + y 2 6 z 6 1. RR (x2 + S Ðåøåíèå: Òåëî p x2 + y 2 6 z 6 1 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âíóòðåííîñòü êîíóñà, è åãî ãðàíèöà ñîñòîèò èç äâóõ êóñêîâ ÷àñòè êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè z 2 = = x2 + y 2 , 0 6 z 6 1, è êðóãà x2 + y 2 = 1, z = 0. Çàïèøåì óðàâíåíèå êîíóñà â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = h. 38 h2 = r2 , 0 6 r 6 z 6 1. x = h cos ϕ, ⇒ y = h sin ϕ, z = h. ⇒ h = r 6 1, Âû÷èñëèì ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè dS : ~rϕ = (−h sin ϕ, h cos ϕ, 0), ~rh = (cos ϕ, sin ϕ, 1) E = h2 · ((− sin ϕ)2 + cos2 ϕ) = h2 , G = 2, F = 0. √ dS = 2 h dh dϕ √ R2π R1 2 √ RR 2 h 2 · h d h d ϕ = π 2/2 (x + y 2 ) dS1 = 0 0 S x = r · cos ϕ, Äëÿ êðûøêè âîçüì¼ì ïàðàìåòðèçàöèþ: y = r · sin ϕ, z = 1. Âû÷èñëÿåì dS = r dr dϕ è íàêîíåö èùåì ïîñëåäíèé èíòåãðàë: Z2π Z1 0 0 1 r4 π r · r d r d ϕ = 2π · = . 4 0 2 2 Òîãäà âñ¼ âìåñòå π · (1 + √ 2)/2. 39 4347: Ïðèìåð: RR S dS , h ãäå S ïîâåðõíîñòü ýëëèïñîèäà è h ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ýëëèïñîèäà äî ïëîñêîñòè, êàñàòåëüíîé ê ýëåìåíòó dS åãî ïîâåðõíîñòè. Ðåøåíèå: Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óðàâíåíèå ýëëèïñîèäà óæå ïðèâåäåíî ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó: x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1. a2 b c Ðàñòÿæåíèÿìè ïî êîîðäèíàòíûì îñÿì óðàâíåíèå ýëëèïñîèäà ëåãêî ïðåîáðàçîâàòü â óðàâíåíèå ñôåðû, ïîýòîìó ðàññìîòðèì ñòàíäàðòíóþ ñôåðè÷åñêóþ ïàðàìåòðèçàöèþ x/a = R · sin θ · cos ϕ, y/b = R · sin θ · sin ϕ, z/c = R · cos θ. x = aR · sin θ · cos ϕ, ⇒ y = bR · sin θ · sin ϕ, z = cR · cos θ. Ðàññòîÿíèå äî êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ðàâíî äëèíå ïðîåêöèè ~r íà íàïðàâëåíèå ~n, òî åñòü |(~r ·~n)|, ãäå ~r ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè ýëëèïñîèäà, à ~n åäèíè÷íàÿ íîðìàëü ê ýëëèïñîèäó â ýòîé òî÷êå. 40 Îòñþäà ~ |dϕdθ ~ |2 dϕdθ dS |N |N = = ~ )| h |(~r · ~n)| |(~r · N ~ = [~rθ × ~rϕ ]: Íàéäåì íîðìàëü ïî ôîðìóëå N ~rθ = (a cos θ cos ϕ, b cos θ sin ϕ, −c sin θ) ~rϕ = (−a sin θ sin ϕ, b sin θ cos ϕ, 0), ~k ~i ~j ~ = a cos θ cos ϕ b cos θ sin ϕ, −c sin θ = N −a sin θ sin ϕ b sin θ cos ϕ 0 = (bc sin2 θ · cos ϕ, ac sin2 θ · sin ϕ, ab sin θ · cos θ) = sin θ · cos ϕ sin θ · sin ϕ cos θ x y z = abc sin θ( , , ) = abc sin θ( 2 , 2 , 2 ). a b c a b c sin2 θ · cos2 ϕ sin2 θ · sin2 ϕ cos2 θ 2 2 2 2 2 ~ |N | = a b c sin θ( + + ) a2 b2 c2  ñèëó óðàâíåíèÿ ýëëèïñîèäà 2 2 2 ~ )| = abc sin θ( x + y + z ) = abc sin θ. |(~r · N a2 b2 c2 Èòàê, ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà è ïîäûíòåãðàëüíîé 41 ôóíêöèè ZZ dS = 8abc h Zπ/2Zπ/2 sin2 θ cos2 ϕ sin2 θ sin2 ϕ cos2 θ sin θ( + + )dϕdθ = a2 b2 c2 0 S 0 = 1 4π 1 1 abc( 2 + 2 + 2 ) 3 a b c Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèÿ (*) îïðåäåëÿþò íå òîëüêî êðèâóþ êàê ìíîæåñòâî òî÷åê, íî òàêæå çàäàþò è ïîðÿäîê îáõîäà ýòèõ òî÷åê, íàçûâàåìûé íàïðàâëåíèåì íà êðèâîé. Òàê, òî÷êà M (t1 ) ñ÷èòàåòñÿ ïðåäøåñòâóþùåé òî÷êå M (t2 ), åñëè t1 < t2 , òî÷êè M (a) è M (b) ñîîòâåòñòâåííî íàçûâàþòñÿ íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷êàìè êðèâîé. Òàêèì îáðàçîì, ðàñïîëîæèâ òî÷êè íà êðèâîé ïî âîçðàñòàíèþ ïàðàìåòðà, ìû îïðåäåëèì íàïðàâëåíèå íà êðèâîé. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íàïðàâëåíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà òîãî èëè èíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (*), è ÿâëÿåòñÿ âïîëíå ãåîìåòðè÷åñêèì ïîíÿòèåì.  ñëó÷àå ïðîñòîé íåçàìêíóòîé êðèâîé íàïðàâëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü óêàçàíèåì íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷åê.  ñëó÷àå ïðîñòîé çàìêíóòîé êðèâîé íóæíî óêàçàòü íà íåé òðè òî÷êè è îïðåäåëèòü ïîðÿäîê èõ îáõîäà. Íàïðèìåð, îò òî÷êè A ê D ÷åðåç C . Èñïîëüçóþòñÿ è äðóãèå ñïîñîáû (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, èëè òàê, ÷òî îãðàíè÷åííàÿ ÷àñòü ïëîñêîñòè îñòàåòñÿ ñëåâà). 4252: 42 Ïðèìåð: H Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà (x+y) dx+ C (x − y) dy , ãäå C ýëëèïñ x2 a2 + y2 b2 = 1, ïðîáåãàåìûé ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ðåøåíèå: Ðàç ïðîáåãàåò ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè, çíà÷èò ïðè îáõîäå îáëàñòü íàõîäèòñÿ ïî ëåâóþ ðóêó, ò.å. íàïðàâëåíèå îáõîäà ïðàâèëüíîå. Âîçüì¼ì ïàðàìåòðèçàöèþ: x = a · cos ϕ, y = b · sin ϕ. x0 = −a · sin ϕ, y 0 = b · cos ϕ. Ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ: 0 6 ϕ 6 2π. Îñòàëîñü ïîñ÷èòàòü ñàì èíòåãðàë: Z 2π (−a · sin ϕ)(a · cos ϕ + b · sin ϕ) + b · cos ϕ(a cos ϕ − b · sin ϕ) dϕ = 0 Z 2π = −a2 · sin ϕ · cos ϕ − ab · sin2 ϕ + ab · cos2 ϕ − b2 · sin ϕ · cos ϕ dϕ = Z0 2π = − sin ϕ · cos ϕ · (a2 + b2 ) + ab · (cos2 ϕ − sin2 ϕ) dϕ = 0 Z 2π Z 2π 2 2 cos 2ϕ dϕ = 0. cos ϕ d(cos ϕ) + ab · = (a + b ) · 0 0 43 Ìîæíî âñ¼ íåìíîãî óïðîñòèòü, âñïîìíèâ ôîðìóëó Ãðèíà: Z ZZ ∂(x − y) ∂(x + y) (x + y) dx + (x − y) dy = − dx dy = ∂x ∂y C ZZ S 0 dx dy = 0. = S 4254: Ïðèìåð: Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà I (x + y) dx − (x − y) dy , x2 + y 2 C ãäå C îêðóæíîñòü x2 + y 2 = a2 , ïðîáåãàåìàÿ ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ðåøåíèå: x = a · cos ϕ, Ïàðàìåòðèçóåì îêðóæíîñòü: y = a · sin ϕ. x0 = −a · sin ϕ, ⇒ y 0 = a · cos ϕ. , 44 ïðåäåëû, êîíå÷íî: 0 6 ϕ 6 2π : Z2π −a2 · (cos ϕ + sin ϕ) · sin ϕ − a2 · (cos ϕ − sin ϕ) · cos ϕ dϕ = a2 0 Z2π = − cos ϕ · sin ϕ − sin2 ϕ − cos2 ϕ + cos ϕ · sin ϕ dϕ = 0 Z2π −1 dϕ = −2π. = 0 Çàìå÷àíèå: ôîðìóëó Ãðèíà çäåñü ïðèìåíèòü íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó F~ íå îïðåäåëåíà è íå îãðàíè÷åíà (à çíà÷èò, íå ìîæåò áûòü äîîïðåäåëåíà ïî íåïðåðûâíîñòè) â òî÷êå (0, 0) ∈ D 4281: Ïðèìåð: Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà Z (y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz, C ãäå C îêðóæíîñòü x2 + y 2 + z 2 = a2 , y = x · tg α (0 < α < π), ïðîáåãàåìàÿ ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü ñî ñòîðîíû ïîëîæèòåëüíûõ x. Ðåøåíèå: 45 Îêðóæíîñòü C ëåæèò íà ñôåðå, ïîýòîìó êîîðäèíàòû åå òî÷åê óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ x = a·sin θ·cos ϕ, y = a·sin θ·sin ϕ, z = a·cos θ (0 6 θ 6 π). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòà îêðóæíîñòü ëåæèò â ïëîñêîñòè y = x · ·tg α, ïîýòîìó, ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ êîîðäèíàò â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå a · cos θ · sin ϕ = a · cos θ · cos ϕ · tg α ⇒ tg ϕ = tg α Ñëåäîâàòåëüíî, ϕ = α èëè ϕ = α + π . Êàæäîìó èõ ýòèõ çíà÷åíèé ϕ ñîîòâåòñòâóåò ïîëîâèíà îêðóæíîñòè, ïðè÷åì ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà θ îò 0 äî π äâèæåíèÿ òî÷êè ïî ýòèì ïîëîâèíêàì ïðîèñõîäÿò âî âñòðå÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ. ×òîáû èçáåæàòü ýòèõ íåïðèÿòíîñòåé, âûáåðåì òîëüêî çíà÷åíèå ϕ = α, íî áóäåì ìåíÿòü ïàðàìåòð θ â ïðåäåëàõ îò 0 äî 2π . Òîãäà òî÷êà ñîâåðøèò ïîëíûé îáõîä îêðóæíîñòè. Âûÿñíèì, ñîâïàäàåò ëè íàïðàâëåíèå îáõîäà ñ òåì, êîòîðîå çàäàíî â óñëîâèè çàäà÷è. Åñëè äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè ïðè âçãëÿäå ñî ñòîðîíû ïîëîæèòåëüíûõ x, òî ñíà÷àëà òî÷êà ïîïàäàåò â ïîëóïðîñòðàíñòâî y 6 0, à çàòåì - â ïîëóïðîñòðàíñòâî y > 0. Òî åñòü y 6 0 äëÿ 0 6 θ 6 π è y > 0 äëÿ π 6 θ 6 2π . Èòàê, ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè x = a cos α · sin θ, y = a sin α · sin θ, z = a · cos θ. 46 Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ 0 < α < π , òî sin α > 0, ñëåäîâàòåëüíî, çíàê y ñîâïàäàåò ñî çíàêîì sin θ, òî åñòü ñíà÷àëà ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå, à çàòåì îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Çíà÷èò, âûáðàííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ çàäàåò íàïðàâëåíèå îáõîäà, ïðîòèâîïîëîæíîå òîìó, ÷òî óêàçàíî â óñëîâèè çàäà÷è. Ïîýòîìó íóæíî èíòåãðèðîâàòü â íàïðàâëåíèè óáûâàíèÿ ïàðàìåòðà: I (y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz = C = a2 Z0 h (sin α sin θ − cos θ) · cos α cos θ+ 2π i +(cos θ − cos α sin θ) · sin α cos θ − (cos α − sin α) · sin2 θ dθ = Z2π = −a (sin α − cos α) dθ = 2πa2 (cos α − sin α) 2 0 4282: Ïðèìåð: R C y 2 dx + z 2 dy + x2 dz, ãäå C ÷àñòü êðèâîé Âèâèàíè x2 + y 2 + z 2 = a2 , x2 + y 2 = ax (z > 0, a > 0), ïðîáåãàåìàÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü ñ ïîëîæèòåëüíîé ÷àñòè îñè Ox. Ðåøåíèå: Êðèâàÿ Âèâèàíè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåñå÷åíèå ñôåðû 47 è öèëèíäðà. Ïàðàìåòðèçóåì ñôåðó x = a · sin θ · cos ϕ, y = a · sin θ · sin ϕ, z = a · cos θ. Ïîäñòàâëÿåì â óðàâíåíèå öèëèíäðà a2 · sin2 θ · cos2 ϕ + a2 · sin2 θ · sin2 ϕ = a2 · sin θ · cos ϕ. ⇒ ⇒ sin2 θ = sin θ · cos ϕ ⇒ sin θ = cos ϕ. Ïîñêîëüêó z > 0, òî cos θ > 0 è çíà÷èò cos θ = p 1 − sin2 θ = p x = a · cos2 ϕ = a2 (cos 2ϕ + 1), y = a · sin ϕ · cos ϕ = a2 · sin 2ϕ, z = a · | sin ϕ|. 1 − cos2 ϕ = | sin ϕ| x0 = −a · sin 2ϕ, ⇒ y 0 = a · cos 2ϕ, z 0 = a · sgn(sin ϕ) · cos ϕ. òåïåðü ïîïûòàåìñÿ ñîñ÷èòàòü è ñàì èíòåãðàë, ïîäñòàâëÿåì: a 3 Zπ/2 1 3 2 5 − · sin 2ϕ + sin ϕ · cos 2ϕ + cos ϕ · sgn(sin ϕ) dϕ 4 −π/2 à âû÷èñëÿòü áóäåì ïî îòäåëüíîñòè: 48 Ïåðâîå è òðåòüå ñëàãàåìîå ÿâëÿþòñÿ íå÷åòíûìè ôóíêöèÿìè, ïîýòîìó èíòåãðàë îò íèõ ïî ñèììåòðè÷íîìó ïðîìåæóòêó ðàâåí íóëþ. Ñî âòîðûì íå âñ¼ òàê ñóõî è ñïîêîéíî: Zπ/2 2 Zπ/2 sin ϕ · cos 2ϕ dϕ = −π/2 π 1 cos 2ϕ(1 − cos 2ϕ) dϕ = − . 2 4 −π/2 π Òåïåðü îñòà¼òñÿ âñ¼ ýòî ïîäñ÷èòàòü è ïîëó÷èòñÿ: − · a3 . 4 Ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà. 4362: Ïðèìåð: Âû÷èñëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà RR (x dydz+ S y dzdx + + z dxdy), ãäå S âíåøíÿÿ ñòîðîíà ñôåðû x2 + y 2 + z 2 = a2 . Ðåøåíèå: x = a · sin θ · cos ϕ, Ïàðàìåòðèçóåì ñôåðó: y = a · sin θ · sin ϕ, z = a · cos θ, θ ∈ [0, π]. ãäå ϕ ∈ [0, 2π], 49 ~ = (A, B, C) = [~rθ × ~rϕ ]: Íàéä¼ì N ~ ~ ~ i j k ~ = a · cos θ · cos ϕ a · cos θ · sin ϕ −a · sin θ = N −a · sin θ · sin ϕ a · sin θ · cos ϕ 0 = a2 (sin2 θ · cos ϕ, sin2 θ · sin ϕ, sin θ · cos θ) = = a · sin θ · (a · sin θ · cos ϕ, a · sin θ · sin ϕ, a · cos θ) = a · sin θ · ~r, Èòàê, ìû ïîëó÷èëè èçâåñòíûé ôàêò, ÷òî íîðìàëü ê ñôåðå íàïðàâëåíà ïî ðàäèóñó, íî â äàííîì ñëó÷àå äëèíà åå çàâèñèò îò óãëà θ è, êàê ìû óæå çíàåì, ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ýëåìåíòà dS . Êðîìå òîãî, äàííàÿ íîðìàëü ÿâëÿåòñÿ âíåøíåé, ïîñêîëüêó θ ∈ [0, π] ⇒ sin θ > 0 ~ = a · sin θ · (x, y, z). N ZZ À òåïåðü âû÷èñëèì èíòåãðàë: ZZ ZZ ~ (x dydz + y dzdx + z dxdy) = (~r · N )dS = a · sin θ · (~r · ~r)dS = S S Zπ Z2π = 0 π 2π Z Z a · sin θ · (x2 + y 2 + z 2 ) dϕ dθ = 0 a3 · sin θ dϕ dθ = 2πa3 = 0 0 4364: Ïðèìåð: S Zπ 0 sin θ dθ = 4π a3 . 50 Âû÷èñëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà RR (y−z) dydz+ S + (z − x) dzdx + (x − y) dxdy , ãäå S âíåøíÿÿ ñòîðîíà êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè x2 + y 2 = z 2 (0 6 z 6 H). Ðåøåíèå: Çàïèøåì óðàâíåíèå êîíóñà â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: x = h cos ϕ, y = h sin ϕ, z = h. ~rϕ = (−h sin ϕ, h cos ϕ, 0), ~rh = (cos ϕ, sin ϕ, 1) ~ = (A, B, C) = [~rϕ × ~rh ]: N ~ ~ ~ i j k ~ N = −h · sin ϕ h · cos ϕ 0 = cos ϕ sin ϕ 1 = (h cos ϕ, h sin ϕ, −h) = h (cos ϕ, sin ϕ, −1) = (x, y, −z). ~ íà îñü Oz îòðèÏîñêîëüêó h > 0, ïðîåêöèÿ âåêòîðà N öàòåëüíà, à ýòî íàïðàâëåíèå äëÿ âåðõíåé ïîëîâèíû êîíóñà ÿâëÿåòñÿ âíåøíèì. 51 À òåïåðü âû÷èñëèì èíòåãðàë: ZZ (y − z) dydz + (z − x) dzdx + (x − y) dxdy = S ZZ = ~ )dS = (F~ · N ZZ 2z(y − x)dS = 0, S S ïîñêîëüêó ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ 2z(y − x) íå÷åòíà îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ x è y , à ïîâåðõíîñòü ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé x → −x, y → −y . 4365: Ïðèìåð: Âû÷èñëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà ZZ dydz dzdx dxdy + + , x y z S ãäå S âíåøíÿÿ ñòîðîíà ýëëèïñîèäà x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1. a2 b c Ðåøåíèå: Äëÿ ïàðàìåòðèçàöèè x = a · sin θ · cos ϕ, y = b · sin θ · sin ϕ, z = c · cos θ 52 ~ ~ ~ i j k ~ N = a · cos θ · cos ϕ b · cos θ · sin ϕ −c · sin θ = −a · sin θ · sin ϕ b · sin θ · cos ϕ 0 = (bc · sin2 θ · cos ϕ, ac · sin2 θ · sin ϕ, ab · sin θ · cos θ) = x y z = abc · sin θ · 2 , 2 , 2 . a b c Óáåäèìñÿ, ÷òî âûáðàííàÿ íîðìàëü âíåøíÿÿ, âîçüì¼ì òî÷êó ϕ = 0, θ = π2 : ~ = bc · sin2 π , ac · sin2 π , ab · sin π · cos π = (bc, 0, 0), òî N 2 2 2 2 åñòü íîðìàëü âíåøíÿÿ, òîãäà ZZ ZZ x y z = x−1 , y −1 , z −1 · 2 , 2 , 2 a b c S ZZ 1 1 1 = + + abc · sin θ dS = a2 b 2 c 2 ~) = (F~ · N S abc · sin θ · S = bc ac ab + + a b c Zπ Z2π bc ac ab · sin θ dϕ dθ = 4π + + = a b c 0 0 4π = · a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 . abc Ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî 4362: Ïðèìåð: 53 Âû÷èñëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà RR (x dydz+ S y dzdx + + z dxdy), ãäå S âíåøíÿÿ ñòîðîíà ñôåðû x2 + y 2 + z 2 = a2 . Ðåøåíèå: Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Îñòðîãðàäñêîãî: ZZ (x dydz + y dzdx + z dxdy) = S ZZZ = div (x, y, z) dV = ZZZ V 3 dV = 4π a3 . V 4366: Ïðèìåð: RR x2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy, ãäå S âíåøíÿÿ ñòîðîíà S ñôåðû (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 . Ðåøåíèå: Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Îñòðîãðàäñêîãî: ZZ 2 2 2 ZZZ x dydz + y dzdx + z dxdy = S div (x2 , y 2 , z 2 ) dV = V ZZZ = 2(x + y + z) dV, V ãäå V øàð (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 6 R2 . 54 Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ, ñîâìåñòèâ íà÷àëî êîîðäèíàò ñ öåíòðîì øàðà: x1 = x − a, y1 = y − b, z1 = z − c. Òîãäà èíòåãðèðîâàíèå áóäåò èäòè ïî îáúåìó V1 : x21 + y12 + z12 6 R2 ZZZ ZZZ (x1 + y1 + z1 + a + b + c) dV1 2(x + y + z) dxdydz = 2 V1 V Íî èíòåãðàë ïî øàðó V1 îò ôóíêöèè (x1 + y1 + z1 ) ðàâåí íóëþ â ñèëó òîòàëüíîé ñèììåòðè÷íîñòè. Ïîýòîìó îñòàåòñÿ âû÷èñëèòü ZZZ 8 (a + b + c) dV1 = · (a + b + c) · π · R3 2 3 V1 4364: Ïðèìåð: Âû÷èñëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà RR (y−z) dydz+ S + (z − x) dzdx + (x − y) dxdy , ãäå S âíåøíÿÿ ñòîðîíà êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè x2 + y 2 = z 2 (0 6 z 6 H). Ðåøåíèå: Ýòà ïîâåðõíîñòü íåçàìêíóòà, òî åñòü íå îãðàíè÷èâàåò íèêàêîãî îáúåìà, ïîýòîìó çàìêíåì åå, äîáàâèâ ïëîñêóþ êðûøêó K : x2 + y 2 6 H 2 , z = H . 55 RR (y−z) dydz+(z−x) dzdx+(x−y) dxdy = K RR (x−y) dx dy = K 0 ââèäó ñèììåòðèè. Ïîýòîìó â ñèëó àääèòèâíîñòè èíòåãðàëà RR RR RR RR ω = ω + ω = ω S S K S K S ãäå ω = (y − z) dydz + (z − x) dzdx + (x − y) dxdy Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ôîðìóëû Ã.-Î. èíòåãðàë ïî çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè: RR RRR (F~ · ~n) dS = divF~ dV, S V íî div(y − z, z − x, x − y) = 0, ñëåäîâàòåëüíî, RR (y − z) dydz + (z − x) dzdx + (x − y) dxdy = 0 S Ôîðìóëà Ãðèíà 4264: Ïðèìåð: Óáåäèâøèñü, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì, âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòå(6,8) R x dx+y dy √ ãðàë âäîëü ïóòåé, íå ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íà÷àëî (1,0) x2 + y 2 êîîðäèíàò Ðåøåíèå: 56 Óáåäèìñÿ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì: !0 !0 x y x·y x·y p p ; ; =− 2 =− 2 2 3/2 (x + y ) (x + y 2 )3/2 x2 + y 2 y x2 + y 2 x çäåñü óáåæäàåìñÿ, ÷òî îíè ðàâíû. Òåïåðü ïîïûòàåìñÿ ðåøèòü: Fx0 = √ Fy0 = √ x , x2 +y 2 y x2 +y 2 ⇒ . p F = x2 + y 2 + ϕ(y), √ y x2 +y 2 0 + ϕ (y) = √ y ⇒ ϕ0 (y) = 0 ⇒ ϕ = C. x2 +y 2 (6,8) Z (6,8) p p 2 2 2 2 d( x + y ) = x + y = 9. (1,0) (1,0) Ôîðìóëà Ñòîêñà 4281: Ïðèìåð: Âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë 2-ãî ðîäà Z (y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz, C ãäå C îêðóæíîñòü x2 + y 2 + z 2 = a2 , y = x · tg α (0 < α < π), ïðîáåãàåìàÿ ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü ñî ñòîðîíû ïîëîæèòåëüíûõ x. Ðåøåíèå: 57 Ýòà îêðóæíîñòü ëåæèò â ïëîñêîñòè y = x · tg α, ïîýòîìó, â êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòè S âîçüìåì ÷àñòü ýòîé ïëîñêîñòè, âûðåçàííóþ îêðóæíîñòüþ. Ïðåîáðàçîâàâ óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ê âèäó sin αx−cos αy = 0, ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî åäèíè÷íàÿ íîðìàëü ~n ðàâíà (sin α, − cos α, 0). Åå íàïðàâëåíèå ñîîòâåòñòâóåò çàäàííîìó îáõîäó îêðóæíîñòè, òàê êàê ïðè 0 < α < π ïðîåêöèÿ íîðìàëè íà îñü Ox ïîëîæèòåëüíà. rotF~ = (−2, −2, −2) ZZ I (y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz = (rotF~ · ~n) dS = S C ZZ ZZ (−2 sin α + 2 cos α) dS = 2 · (cos α − sin α) = S dS = S 2 = 2 · (cos α − sin α) · πa . 4282: Ïðèìåð: R y 2 dx + z 2 dy + x2 dz, ãäå C ÷àñòü êðèâîé Âèâèàíè x2 + C y 2 + z 2 = a2 , x2 + y 2 = ax (z > 0, a > 0), ïðîáåãàåìàÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü ñ ïîëîæèòåëüíîé ÷àñòè îñè Ox. Ðåøåíèå: 58 Êðèâàÿ Âèâèàíè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåñå÷åíèå ñôåðû è öèëèíäðà.  êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòè, îãðàíè÷åííîé êðèâîé Âèâèàíè, âîçüìåì ÷àñòü ñôåðû. Òîãäà íîðìàëü äîëæíà áûòü âíåøíåé: ~n = a−1 · (x, y, z) , rot F~ = −2 · (z, x, y) è íàø èíòåãðàë ïî òåîðåìå Ñòîêñà ýòî: I F~ · ~` = C ZZ 2 rot F~ · ~n dS = − · a ZZ (xz + xy + zy) dS, S S Ïðîåêöèåé ïîâåðõíîñòè S íà ïëîñêîñòü xOy ÿâëÿåòñÿ êðóã K : x2 + y 2 6 ax, ïîâåðõíîñòü çàäàíà ÿâíûì îáðàçîì: p z = a2 − x 2 − y 2 a p 1 + zx2 + zy2 dx dy = dx dy z èíòåãðàë îò (xy + zy) ðàâåí íóëþ, ïîñêîëüêó åñòü ñèììåò- Ïîýòîìó dS = ðèÿ y ↔ −y, 2 − a ZZ 2 (xz + xy + zy) dS = − a S x = r · cos ϕ, y = r · sin ϕ. ZZ ZZ xz dS = −2 S x dxdy = S 59 è, íàêîíåö, òàê êàê x2 + y 2 6 ax, òî r 6 a cos ϕ, ïîýòîìó Zπ/2 a·cos Z ϕ Zπ/2 3 −πa3 a −2 · cos4 ϕ dϕ = . r2 · cos ϕ dr dϕ = −2 3 4 −π/2 0 −π/2 4290: Ïðèìåð: Íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèþ u, åñëè du = (x2 − 2 · yz) dx + (y 2 − 2 · xz) dy + (z 2 − 2 · xy) dz. Ðåøåíèå: Çàìåòèì, ÷òî ~ ~ ~ i j k ~ rot A = ∂x ∂y ∂z = 2 x − 2yz y 2 − 2xz z 2 − 2xy = ~i · (−2x + 2x) + ~j · (−2y + 2y) + ~k · (−2z + 2z) = 0, çíà÷èò ýòî åñòü âûðàæåíèå â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ, òî åñòü: du = (x2 dx + y 2 dy + z 2 dz) − 2 · (yz dx + xz dy + xy dz) = 31 · ·(dx3 +dy 3 +dz 3 )−2·d(xyz) ⇒ u = 31 ·(x3 +y 3 +z 3 )−2·xyz +C, íî ìîæíî è ïî ôîðìóëå: Rx Ry Rz u(x, y, z) = x0 P (x, y, z) dx+ y0 Q(x0 , y, z) dy+ z0 R(x0 , y0 , z) dz+ C, ãäå (x0 , y0 , z0 ) íåêîòîðàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà îáëàñòè V. 60 4371: Ïðèìåð: H (y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz , ãäå C ýëëèïñ C x 2 + y 2 = a2 , x z + = 1 (a > 0, h > 0), a h ïðîáåãàåìûé ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü ñ ïîëîæèòåëüíî ñòîðîíû îñè Ox. Ðåøåíèå: Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ñòîêñà, âûáðàâ â êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòè S êðóã, âûðåçàåìûé öèëèíäðîì íà ïëîñêîñòè: I (y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz = C cos α cos β cos γ ZZ ZZ ∂x = (~n · rot F~ ) dS = ∂ ∂ y z S S (y − z) (z − x) (x − y) x z ~ = (1/a, 0, 1/h), + = 1, çíà÷èò íîðìàëü N a h h a à åäèíè÷íàÿ íîðìàëü ñîîòâåòñòâåííî ~n = √ , 0, √ . a2 + h2 a2 + h2 Òåïåðü íàäî íàéòè rot F~ , à äàëåå äåëî òåõíèêè: Ïëîñêîñòü ñå÷åíèÿ: 61 ~ ~k ~j i rot F~ = ∂x ∂y ∂z = (−2, −2, −2), (y − z) (z − x) (x − y) òåïåðü: (~n, rot F~ ) = ZZ ⇒ S √ 2 a2 +h2 · (h + a) 2 2 √ · (h + a) dS = √ · (h + a) · a2 + h2 a2 + h2 ZZ dS, S íî ïîñëåäíèé èíòåãðàë ýòî ïðîñòî ïëîùàäü ýëëèïñà, √ èç ðèñóíêà íàõîäèì, ÷òî åãî îñè 2a è 2 · a2 + h2 , çíà÷èò √ = √a22+h2 · (h + a) · πa · a2 + h2 = −2 · πa · (h + a).