Âîïðîñû ïî êóðñó "Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé" äëÿ ñòóäåíòîâ IV êóðñà ÔÀÊÈ 1. Ïîíÿòèå àëãåáðû è σ -àëãåáðû ìíîæåñòâ. Ñóùåñòâîâàíèå ìèíèìàëüíîé σ -àëãåáðû, ñîäåðæàùåé äàííûé íàáîð ìíîæåñòâ (ñ äîêàçàòåëüñòâîì äëÿ îòëè÷íèêîâ). Ïðèìåðû. 2. σ -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ â Rn . Äîêàçàòåëüñòâî áîðåëåâîñòè íåêîòîðûõ ìíîæåñòâ â Rn . Èçìåðèìîñòü áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ. 3. Îáùåå ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ñðàâíåíèå äèñêðåòíîãî è ïðîèçâîëüíîãî âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïðèìåðû. 4. Îáùåå ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòíîé ìåðû. Ïîñòðîåíèå ìåðû Ëåáåãà íà [0, 1]n (êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ñòàíäàðòíîãî ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðû). Ïðèìåðû ìíîæåñòâ, èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó, íî íåèçìåðèìûõ ïî Æîðäàíó. 5. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà êàê èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ íà ìíîæåñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ (äâà ðàâíîñèëüíûõ îïðåäåëåíèÿ). Äîêàçàòåëüñòâî ðàâíîñèëüíîñòè ýòèõ îïðåäåëåíèé (äëÿ îòëè÷íèêîâ). Ñâîéñòâà èçìåðèìûõ ôóíêöèé. Ïðèìåðû. 6. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû êàê èíòåãðàë Ëåáåãà. Îñíîâíûå ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ëåáåãà. Äâå òåîðåìû î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ïîä çíàêîì èíòåãðàëà Ëåáåãà (áåç äîêàçàòåëüñòâà). Êà÷åñòâåííîå ñðàâíåíèå èíòåãðàëà Ëåáåãà è èíòåãðàëà Ðèìàíà äëÿ ôóíêöèé íà R. Ïðèìåðû ôóíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó íà [0,1], íî íåèíòåãðèðóåìûõ ïî Ðèìàíó. 7. Ïîíÿòèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè è ïðèìåðû åå âû÷èñëåíèÿ (íà ëþáîì íåòðèâèàëüíîì ïðèìåðå). 8. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è åå ïðèìåíåíèå (íà ëþáîì íåòðèâèàëüíîì ïðèìåðå). 9. Ôîðìóëà Áàéåñà è åå ïðèìåíåíèå (íà ïðèìåðå îöåíêè àïîñòàðèîðíûõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ áèíàðíîãî êàíàëà ñ øóìîì). 10. Íåçàâèñèìîñòü äâóõ è ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîáûòèé. Ïðèìåðû. Òåòðàýäð Áåðøòåéíà. 11. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èñïûòàíèé Áåðíóëëè. 12. Íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðîèçâåäåíèÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (äîêàçàòåëüñòâî äëÿ äèñêðåòíîãî ñëó÷àÿ, îáùèé ñëó÷àé äëÿ îòëè÷íèêîâ). 13. Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è ïðèìåðû åå âû÷èñëåíèÿ äëÿ äèñêðåòíûõ è íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë. 14. Êîâàðèàöèÿ äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è åå ñâÿçü ñ íåçàâèñèìîñòüþ. Ñïîñîáû åå âû÷èñëåíèÿ äëÿ äèñêðåòíûõ è íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. 1 15. Íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà (áàçîâîå è äëÿ îòêëîíåíèé). Åãî íåóëó÷øàåìîñòü. Èñïîëüçîâàíèå íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà ïðè äîêàçàòåëüñòâå çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ñóììû îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûìè ìàò. îæèäàíèåì è äèñïåðñèåé. 16. Çàäà÷à îá îïòèìàëüíîì ëèíåéíîì ïðîãíîçå îäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïî íàáëþäåíèþ äðóãîé (âûâîä è èíòåðïðåòàöèÿ). 17. Ïîíÿòèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðû íà R. Åå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà. Âîññòàíîâëåíèå ìåðû ïî åå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (èäåÿ). Ïðèìåðû. 18. Ïîíÿòèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Åå ñâîéñòâà. Ïðèìåðû. Èñïîëüçîâàíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â çàäàííîå ìíîæåñòâî. 19. Ïîíÿòèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Åå ñâîéñòâà. Ïðèìåðû. Èñïîëüçîâàíèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â çàäàííîå ìíîæåñòâî è äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàò. îæèäàíèÿ ëþáîé ôóíêöèè îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. 20. Ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (äèñêðåòíûé ñëó÷àé). Ïðèìåðû. Âûâîä ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîâàðèàöèè äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïî èõ ñîâìåñòíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. 21. Ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (îáùèé ñëó÷àé). Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòü ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ. Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàò. îæèäàíèÿ ëþáîé ôóíêöèè îò ýòèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (áåç äîêàçàòåëüñòâà). Âû÷èñëåíèå êîâàðèàöèè. 22. Ïîíÿòèå íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîãî íàáîðà (âåêòîðà) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ñâîéñòâà íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è âåêòîðîâ. 23. Êðèòåðèè íåçàâèñèìîñòè äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â òåðìèíàõ èõ ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (äèñêðåòíûé è îáùèé ñëó÷àé îòäåëüíî). Äîêàçàòåëüñòâà ïðîñòûõ èìïëèêàöèé. 24. Ïîíÿòèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è åå ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà. Ïðèìåðû. Çàäà÷è, ðåøàåìûå ñ ïîìîùüþ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé. 25. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñ äîêàçàòåëüñòâîì äëÿ îòëè÷íèêîâ). Êðèòåðèé íåçàâèñèìîñòè äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â òåðìèíàõ èõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñ äîêàçàòåëüñòâîì â îäíó ñòîðîíó). 26. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ñóììû îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûì ìàò. îæèäàíèåì. 27. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ñóììû îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íîé äèñïåðñèåé. Åå ìíîãîìåðíûé âàðèàíò (áåç äîêàçàòåëüñòâà). 28. Òåîðåìà Ïóàññîíà. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà è åãî èíòåðïðåòàöèÿ. Ïðåäëàãàþ îáäóìàòü öåëåñîîáðàçíîñòü ïðîâåäåíèÿ êîíñóëüòàöèè, íà êîòîðîé ÿ ìîã áû äàòü êðàòêèé ïëàí îïòèìàëüíîãî îòâåòà íà êàæäûé èç ýòèõ âîïðîñîâ, â ëþáîé äåíü, êðîìå ïîíåäåëüíèêà âñå âîïðîñû ïî òåë. 916-323-76-33 2