ISSN 1810-0198. Âåñòíèê ÒÃÓ, ò. 16, âûï. 4, 2011 ÓÄÊ 517.911, 517.968 ÀÏÐÈÎÐÍÀß ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÑÒÜ È ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÀß ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÜ ÎÒ ÏÀÐÀÌÅÒÐΠÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÔÀÇÎÂÛÕ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ ÓÏÐÀÂËßÅÌÎÉ ÈÌÏÓËÜÑÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÔÀÇÎÂÛÌÈ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈßÌÈ ÏÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÞ c À.È. Áóëãàêîâ, Å.Â. Ìàëþòèíà, Î.Â. Ôèëèïïîâà Êëþ÷åâûå ñëîâà : óïðàâëÿåìàÿ èìïóëüñíàÿ ñèñòåìà; çàâèñèìîñòü îò ïàðàìåòðîâ; ôàçî- âûå îãðàíè÷åíèÿ ïî óïðàâëåíèþ; àïðèîðíàÿ îãðàíè÷åííîñòü; äèôôåðåíöèàëüíîå âêëþ÷åíèå ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè. Äëÿ ìíîæåñòâà ôàçîâûõ òðàåêòîðèé óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû ñ ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè ïî óïðàâëåíèþ è çàïàçäûâàíèåì ñôîðìóëèðîâàíî ñâîéñòâî íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ. Ïóñòü Rn n -ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé | |, comp[Rn ] ìíîæåñòâî âñåõ íåïóñòûõ êîìïàêòîâ ïðîñòðàíñòâà Rn ; VR (x0 , ε) çàìêíóòûé øàð ïðîñòðàíñòâà Rn ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 ∈ Rn ðàäèóñîì ε > 0; K ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî; VK (ξ0 , ε) çàìêíóòûé øàð ïðîñòðàíñòâà K ñ öåíòðîì â òî÷êå ξ0 ∈ K ðàäèóñîì ε > 0. Ïóñòü X íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé : . Òîãäà h+: [U1 ; U ] = sup ρ: [x, U ] x∈U ïîëóîòêëîíåíèå ïî Õàóñäîðôó ìíîæåñòâà U1 ⊂ X îò ìíîæåñòâà U â ïðîñòðàíñòâå X; h: [U1 ; U ] = max{h+ [U1 ; U ]; h+ [U ; U1 ]} ðàññòîÿíèå ïî Õàóñäîðôó ìåæäó ìíîæåñòâàìè U1 è U â ïðîñòðàíñòâå X. Ïóñòü tk ∈ [a, b] (a < t1 < . . . < tp < b) êîíå÷íûé íàáîð òî÷åê. Îáîçíà÷èì ÷ån ðåç C [a, b] ìíîæåñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ [a, t1 ], (t1 , t2 ], . . . , (tp , b] îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé x : [a, b] → Rn , èìåþùèõ ïðåäåëû ñïðàâà â òî÷êàõ tk , k = = 1, 2, . . . , p, ñ íîðìîé x+ [a,b] = sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]}. Ïóñòü çàäàíû íåïðåðûâíàÿ, ëîêàëüíî îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ f : [a, b] × Rn × Rm × ×K → Rn è íåïðåðûâíîå ïî Õàóñäîðôó, ëîêàëüíî îãðàíè÷åííîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U : [a, b] × Rn × K → comp[Rm ]. Ðàññìîòðèì óïðàâëÿåìóþ ñèñòåìó ñ çàïàçäûâàíèåì è èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè n 1 n ãäå îòîáðàæåíèÿ k = 1, 2, ..., p. Ik : ẋ(t) = f (t, x(t), u(t), ξ), t ∈ [a, b], ξ ∈ K u(t) ∈ U (t, x(t), ξ), (1) Δ(x(tk )) = Ik (x(tk ), ξ), k = 1, . . . , p, (2) x(a) = x0 (x0 ∈ Rn ), (3) Rn × K → Rn , k = 1, 2, ..., p, íåïðåðûâíû, Δ(x(tk )) = x(tk + 0) − x(tk ), Ïîä äîïóñòèìûì óïðàâëåíèåì íà îòðåçêå [a, τ ] (τ ∈ (a, b]) ñèñòåìû (1)(3) ïðè áóäåì ïîíèìàòü òàêóþ èçìåðèìóþ ïî Ëåáåãó ôóíêöèþ u : [a, τ ] → Rm , äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ x : [a, τ ] → Rn óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðè âñåõ t ∈ [a, τ ] ïðåäñòàâëåíèþ ξ ∈K t x(t) = x0 + f (s, x(s), u(s), ξ)ds + a 1036 k:tk ∈[a,τ ] χ(tk ,τ ] (t)Δ(x(tk )), (4) ISSN 1810-0198. Âåñòíèê ÒÃÓ, ò. 16, âûï. 4, 2011 ãäå Δ(x(tk )), k = 1, ..., p, óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâàì (2), ÷òî ïðè ïî÷òè âñåõ t ∈ [a, τ ] âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷åíèå u(t) ∈ U (t, x(t), ξ). (5) Ïàðó (u, x) áóäåì íàçûâàòü äîïóñòèìîé íà îòðåçêå [a, τ ] . Ñèñòåìó (1)(3) áóäåì íàçûâàòü óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìîé ñ ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè ïî óïðàâëåíèþ, ïîñêîëüêó óïðàâëåíèå u : [a, τ ] → Rm çàâèñèò îò ôàçîâîé òðàåêòîðèè x : [a, τ ] → Rn . Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó òåîðåìû îá èçìåðèìîì âûáîðå [13] óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà (1)(2) ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì (3) ýêâèâàëåíòíà ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì ξ ∈ K çàäà÷å Êîøè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ ẋ ∈ f (t, x(t), U (t, x(t), ξ), ξ), t ∈ [a, τ ] (6) ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè (2) è íà÷àëüíûì óñëîâèåì (3). Âêëþ÷åíèå (6) ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè (2) è íà÷àëüíûì óñëîâèåì (3) áóäåì íàçûâàòü äèôôåðåíöèàëüíûì âêëþ÷åíèåì, ïîðîæäåííûì óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìîé (1)(2) ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì (3). Çàäà÷à (6), (2), (3) îïèñûâàåò âñå ìíîæåñòâî ôàçîâûõ òðàåêòîðèé óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû (1)(2). Ïóñòü H(x0 , τ, ξ) ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ ïàð óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû 0 , τ, ξ) (1)(2) ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì (3) íà îòðåçêå [a, τ ](τ ∈ (a, b]). Îáîçíà÷èì H(x ìíîæåñòâî âñåõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû (1)(2) ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì (3) íà îòðåçêå [a, τ ]. Ïóñòü A ∈ Rn , B ∈ K. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî ôàçîâûõ òðàåêòîðèé óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû (1)(2) ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì (3) àïðèîðíî îãðàíè÷åíî â ñîâîêóïíîñòè íà ìíîæåñòâå A × B, åñëè íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî r > 0, ÷òî äëÿ âñÿêîãî 0 , τ, ξ), äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ τ ∈ (a, b] è ëþáûõ (x0 , ξ) ∈ A × B íå ñóùåñòâóåò x ∈ H(x íåðàâåíñòâî x+ n [a,τ ] > r. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ðàáîò [410] ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. Ò å î ð å ì à 1. Ïóñòü ìíîæåñòâî âñåõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé óïðàâëÿåìîé èìïóëüñ- íîé ñèñòåìû (1)−(2) àïðèîðíî îãðàíè÷åíî â òî÷êå (x0 , ξ0 ) ∈ Rn × K. Òîãäà äëÿ ëþáîãî τ ∈ (a, b] ìíîæåñòâî H(x0 , τ, ξ) = ∅ è ñóùåñòâóåò òàêîå ε > 0, ÷òî ìíîæåñòâî ôàçîâûõ òðàåêòîðèé óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû (1)−(2) ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì x(a) = x0 àïðèîðíî îãðàíè÷åíî â ñîâîêóïíîñòè íà ìíîæåñòâå VRn (x0 , ε) × VK (ξ0 , ε). Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îòîáðàæåíèÿ f : [a, b] × Rn × Rm × × K → Rn , U : [a, b] × Rn × K → comp[Rm ] îáëàäàþò ñâîéñòâîì Ω , åñëè íàéäóòñÿ íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ ω1 : [a, b] × [0, ∞) × [0, ∞) × K → [0, ∞), ω2 : [a, b] × [0, ∞) × × K → [0, ∞), íåóáûâàþùèå ïðè ëþáûõ t ∈ [a, b], ξ ∈ K òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáûõ t ∈ [a, b], ξ ∈ K, x1 , x2 ∈ Rn , u1 , u2 ∈ Rm âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà |f (t, x1 , u1 , ξ) − f (t, x2 , u2 , ξ)| ω1 (t, |x1 − x2 |, |u1 − u2 |, ξ), (7) h[U (t, x1 , ξ), U (t, x2 , ξ)] ω2 (t, |x1 − x2 |, ξ). (8) [a, b] × Rn × Rm × K → Rn , Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îòîáðàæåíèÿ f : U : [a, b] × Rn × K → comp[Rm ] è èìïóëüñíûå âîçäåéñòâèÿ Ik : Rn × K → Rn , k = 1, 2, ..., p, îáëàäàþò ñâîéñòâîì A â òî÷êå ξ ∈ K , åñëè 1) îòîáðàæåíèÿ f, U îáëàäàþò ñâîéñòâîì Ω; 2) äëÿ êàæäîãî k = 1, 2, ..., p íàéäåòñÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ Ik : R1+ × K → R1+ , íåóáûâàþùàÿ ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó ïðè ξ ∈ K è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ðàâåíñòâó Ik (0, ξ) = 0, ÷òî äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Rn âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà |Ik (x, ξ) − Ik (y, ξ)| Ik (|x − y|, ξ); 1037 ISSN 1810-0198. Âåñòíèê ÒÃÓ, ò. 16, âûï. 4, 2011 3) çàäà÷à ẏ(t) = ϕ(t, y(t), ξ), Δ(y(tk )) = Ik (y(tk ), ξ), k = 1, ...p, y(a) = 0 èìååò òîëüêî íóëåâûå ëîêàëüíûå ðåøåíèÿ çäåñü ôóíêöèÿ ϕ : [a, b] × [0, ∞) × K → [0, ∞) îïðåäåëåíà ðàâåíñòâîì ϕ(t, y, ξ) = ω1 (t, y, ω2 (t, y, ξ), ξ), ãäå ôóíêöèè ω1 : [a, b] × [0, ∞) × [0, ∞) × K → [0, ∞), ω2 : [a, b] × [0, ∞) × K → [0, ∞) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì (7), (8) ñîîòâåòñòâåííî. Ò å î ð å ì à 2. f : [a, b] × Rn × Rm × K → Rn , Ïóñòü îòîáðàæåíèÿ U : [a, b] × Rn × K → comp[Rm ] è èìïóëüñíûå âîçäåéñòâèÿ Ik : Rn → Rn , k = 1, 2, ..., m, îáëàäàþò ñâîéñòâîì A â òî÷êå ξ0 ∈ K è ïóñòü ìíîæåñòâî âñåõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé óïðàâëÿåìîé èìïóëüñíîé ñèñòåìû (1)−(3) àïðèîðíî îãðàíè÷åíî â òî÷êå (x0, ξ0) ∈ Rn × K. Òîãäà äëÿ ëþáîãî 0 , b, ξ0 ) è ëþáûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé xi ∈ VRn (x0 , ε), y ∈ H(x ξi ∈ VK (ξ0 , ε) i = 1, 2, . . . , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì xi → x0 â Rn , ξi → ξ0 â K ïðè i , b, ξi ), i = 1, 2, . . . , ÷òî yi → y â i → ∞, íàéäåòñÿ òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yi ∈ H(x n ïðîñòðàíñòâå [a, b] ïðè i → ∞, ãäå ÷èñëî ε > 0 óäîâëåòâîðÿåò òåîðåìå 1; i , b, ξi ), i = 1, 2, . . . , èìåþùåé ïðåäåë y â 2) äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè yi ∈ H(x n 0 , b, ξ0 ), ïðîñòðàíñòâå [a, b] ïðè i → ∞, íàéäåòñÿ òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü zi ∈ H(x n i = 1, 2, . . . , ÷òî zi → y â ïðîñòðàíñòâå [a, b] ïðè i → ∞. 1) + + + ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ Ôèëèïïîâ À.Ô. Î íåêîòîðûõ âîïðîñàõ òåîðèè îïòèìàëüíîãî ðåãóëèðîâàíèÿ // Âåñòíèê Ìîñê. óí-òà. 2. Èîôôå À.Ä., Òèõîìèðîâ Â.Ì. Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ì.: Íàóêà, 1974. 3. ×åíöîâ À.Ã. Ýëåìåíòû êîíå÷íî-àääèòèâíîé òåîðèè ìåðû, II. // Åêàòåðèíáóðã ÓÃÒÓ-ÓÏÈ. 2010. 4. Áóëãàêîâ À.È., Ïàíàñåíêî Å.À., Ñåðãååâà À.Î. Ïðîäîëæàåìîñòü äîïóñòèìûõ ïàð óïðàâëÿåìîé ñè1. Ñåð. 1. Ìàòåì. è ìåõ. 1959. 2. Ñ. 2532. ñòåìû ñ ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè ïî óïðàâëåíèþ è çàïàçäûâàíèåì // Âåñòíèê ÒÃÓ. 2010. Ò. 15. Âûï. 6. Ñ. 16451647. Ôèëèïïîâ À.Ô. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ. Ì.: Íàóêà. 1985. Áóëãàêîâ À.È., Êîð÷àãèíà Å.Â., Ôèëèïïîâà Î.Â. Ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè. ×. IVI // Âåñòíèê Òàìá. óí-òà. 2009. Ò. 14. Âûï. 6. Ñ. 12751313. 7. Áëàãîäàòñêèõ Â.È., Ôèëèïïîâ À.Ô. Äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ è îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå // Òð. ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ. 1985. Ò. 169. Ñ. 194252. 8. Çàâàëèùèí C. Ò., Ñåñåêèí À. Í. Èìïóëüñíûå ïðîöåññû. Ìîäåëè è ïðèëîæåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1991. 9. Êðàñîâñêèé Í.Í. Óïðàâëåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé // Ì.: Íàóêà, 1985. 10. Ñàìîéëåíêî À. Ì., Ïåðåñòþê Í. À. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè. 5. 6. Ê.: Âèùà øê., 1987. Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 10 àïðåëÿ 2011 ã. ÁËÀÃÎÄÀÐÍÎÑÒÈ: Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé (ïðîåêòû 090197503, 110100645, 110100626), ÔÖÏ ¾Íàó÷íûå è íàó÷íî-ïåäàãîãè÷åñêèå êàäðû èííîâàöèîííîé Ðîññèè íà 20092013 ãîäû¿. Bulgakov A.I., Malyutina E.V., Filippova O.V. A priori boundedness and continuous dependence on parameters of a set of phase trajectories of a controllable pulse system with constraints by control. We nd conditions of continuous dependence on parameters for the set of the phase trajectories of the controllable impulse delay system with constraints by control. : controllable impulse system; dependence on parameters; constraints by control; a priori boundedness, dierential inclusion with impulses. Key words 1038 ISSN 1810-0198. Âåñòíèê ÒÃÓ, ò. 16, âûï. 4, 2011 Áóëãàêîâ Àëåêñàíäð Èâàíîâè÷, Òàìáîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ã.Ð. Äåðæàâèíà, ã. Òàìáîâ, Ðîññèéñêàÿ Ôåäåðàöèÿ, äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé êàôåäðîé àëãåáðû è ãåîìåòðèè, e-mail: aib@tsu.tmb.ru. Ìàëþòèíà Åëåíà Âàëåðüåâíà, Òàìáîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ã.Ð. Äåðæàâèíà, ã. Òàìáîâ, Ðîññèéñêàÿ Ôåäåðàöèÿ, àñïèðàíò êàôåäðû àëãåáðû è ãåîìåòðèè, e-mail: zont85@mail.ru. Ôèëèïïîâà Îëüãà Âèêòîðîâíà, Òàìáîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ã.Ð. Äåðæàâèíà, ã. Òàìáîâ, Ðîññèéñêàÿ Ôåäåðàöèÿ, àññèñòåíò êàôåäðû àëãåáðû è ãåîìåòðèè, e-mail: aib@tsu.tmb.ru. ÓÄÊ 517.93 ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ δ -ÐÅØÅÍÈÉ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÂÊËÞ×ÅÍÈß Ñ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÌÈ ÂÎÇÄÅÉÑÒÂÈßÌÈ c À. È. Áóëãàêîâ, Â. Â. Ñêîìîðîõîâ, Î. Â. Ôèëèïïîâà Êëþ÷åâûå ñëîâà : äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè; àï- ïðîêñèìèðóþùåå îòîáðàæåíèå; ðàäèóñ âíåøíèõ âîçìóùåíèé; ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ; δ -ðåøåíèå.  ðàáîòå äàíî îïðåäåëåíèå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ( δ -ðåøåíèÿ) äèôôåðåíöèàëüíî- ãî âêëþ÷åíèÿ ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèÿìè, óñòàíîâëåíû àññèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ ðåøåíèé àïïðîêñèìèðóþùèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé ñ âíåøíèìè âîçìóùåíèÿìè. Íàéäåíî íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè àïïðîêñèìàöèè äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé îòíîñèòåëüíî âíåøíèõ âîçìóùåíèé. Ïóñòü Rn n -ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé | |, comp[Rn ] ìíîæåñòâî âñåõ íåïóñòûõ êîìïàêòîâ ïðîñòðàíñòâà Rn . Ïóñòü X íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé : . Îáîçíà÷èì BX [x, ε] îòêðûòûé øàð ïðîñòðàíñòâà X ñ öåíòðîì â òî÷êå x ∈ X è ðàäèóñîì ε > 0. Ïóñòü U ⊂ X. Òîãäà U çàìûêàíèå ìíîæåñòâà U ; co U âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ìíîæåñòâà U ; sup ρ: [x, U ] ïîëóîòêëîíåíèå ïî Õàóñäîðôó ìíîæåñòâà U1 ⊂ X îò ìíîæåh+ : [U1 ; U ] ≡ x∈U ñòâà U â ïðîñòðàíñòâå X; h: [U1 ; U ] = max{h+ [U1 ; U ]; h+ [U ; U1 ]} ðàññòîÿíèå ïî Õàóñäîðôó ìåæäó ìíîæåñòâàìè U1 è U â ïðîñòðàíñòâå X. Ïóñòü U ∈ [a, b] èçìåðèìîå ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâî. Îáîçíà÷èì Ln (U) ïðîñòðàíñòâî ñóììèðóåìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé x : U → Rn ñ íîðìîé xL (U) = |x(s)|ds. U Ïóñòü tk ∈ [a, b] (a < t1 < . . . < tm < b) êîíå÷íûé íàáîð òî÷åê. Îáîçíà÷èì ÷åðåç C n [a, b] ìíîæåñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ [a, t1 ], (t1 , t2 ], . . . , (tm , b] îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé x : [a, b] → Rn , èìåþùèõ ïðåäåëû ñïðàâà â òî÷êàõ tk , k = 1, 2, . . . , m, ñ íîðìîé x+ [a,b] = sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]}. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó 1 n n ẋ(t) ∈ F (t, x(t)), t ∈ [a, b], Δ(x(tk )) = Ik (x(tk )), k = 1, . . . , m, (1) (2) 1039