c ÌàòÁþðî ðåøåíèå çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå, òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Èíòåãðàë: âû÷èñëåíèå ïëîùàäåé è îáúåìîâ Ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû Åñëè ôèãóðà îãðàíè÷åíà êðèâîé y = f (x), f (x) ≥ 0, ïðÿìûìè x = a, x = b è îòðåçêîì [a, b] îñè Ox, òî åå ïëîùàäü âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Z b S= f (x) dx. a Åñëè ôèãóðà îãðàíè÷åíà êðèâûìè y = f1 (x) è y = f2 (x), f1 (x) ≤ f2 (x) , ïðÿìûìè x = a, x = b, òî åå ïëîùàäü âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Z b S= (f2 (x) − f1 (x)) dx. a Åñëè êðèâàÿ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè x = x(t), y = y(t), òî ïëîùàäü, îãðàíè÷åííàÿ ýòîé êðèâîé, ïðÿìûìè x = a, x = b è îòðåçêîì [a, b] âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Z β S= y(t)x0 (t) dt, a = x(α), b = x(β). α Åñëè ôèãóðà îãðàíè÷åíà êðèâîé, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ρ = ρ(ϕ), ëó÷àìè ϕ = α è ϕ = β , òî åå ïëîùàäü âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Z 1 β 2 ρ (ϕ) dϕ. S= 2 α Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ Åñëè äóãà êðèâîé y = f (x), a ≤ x ≤ b, âðàùàåòñÿ âîêðóã îñè Ox, òî ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Z b p S = 2π y 1 + y 02 dx. a Åñëè äóãà êðèâîé çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè y = y(t), x = x(t), t1 ≤ t ≤ t2 , òî Z t2 p 02 S = 2π y x02 t + yt dt. t1 1 www.MatBuro.ru :: Ðåøåíèå çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå Îáúåì òåëà âðàùåíèÿ Åñëè òåëî îáðàçîâàíî â ðåçóëüòàòå âðàùåíèÿ âîêðóã îñè Ox êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé êðèâîé y = f (x), îñüþ Ox è ïðÿìûìè x = a è x = b, òî åãî îáúåì âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Z b Vx = π y 2 dx. a Åñëè òåëî îáðàçîâàíî â ðåçóëüòàòå âðàùåíèÿ âîêðóã îñè Oy êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé êðèâîé x = f (y), îñüþ Oy è ïðÿìûìè y = c è y = d, òî åãî îáúåì âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Z d Vy = π x2 dy. c Åñëè òåëî îáðàçîâàíî â ðåçóëüòàòå âðàùåíèÿ âîêðóã îñè Oy êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé êðèâîé y = f (x), îñüþ Ox è ïðÿìûìè x = a è x = b, òî åãî îáúåì âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Z b V = 2π xy dx. a Äëèíà êðèâîé Åñëè êðèâàÿ çàäàíà óðàâíåíèåì y = f (x), a ≤ x ≤ b, òî l= Z bp 1 + y 02 dx. a Åñëè êðèâàÿ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè y = ϕ(t), x = ψ(t), α ≤ t ≤ β , òî Z β l= p α 02 x02 t + yt dt. Åñëè êðèâàÿ çàäàíà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ρ = ρ(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β , òî Z β p ρ2 + ρ02 dϕ. l= α 2