Ðàâíîâåñíûå êîíôèãóðàöèè ïëàçìû z è θ ïèí÷è date 1 Ïðîñòåéøèå óðàâíåíèÿ ÌÃÄ Â ðàáîòå ïîäðîáíî âûâîäÿòñÿ óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ñîñòîÿíèå ïëàçìû âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå. À òàêæå êà÷åñòâåííî ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëó÷àè ðàâíîâåñíûõ êîíôèãóðàöèé. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü çàìêíóòóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþùóþ ïîâåäåíèå òàêîãî ðîäà îáúåêòîâ, çàïèøåì óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñðåäå äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ v. 1 ∂B ∇×E=− c ∂t 4πλ 4π 1 j = c E + c [vB] ∇×B= c ∇.B = 0 ãäå λ - ïðîâîäèìîñòü âåùåñòâà (â íàøåì ñëó÷àå ïëàçìû). Âûðàçèâ Å èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ, ïîäñòàâèì â ïåðâîå: ∂B c2 rot B − ∇ × [v × B] = − ∇ × ∂t 4π Èç óðàâíåíèÿ divB = 0 ïîëó÷àåì: ∂B − rot[v × B] = ∂t èìååì λ → ∞, c2 2 ∇B 4πλ λ Äëÿ ïëàçìû ò.ê. îíà ÿâëÿåòñÿ ñâåðõïðîâîäèìîé. Ñ ó÷åòîì ýòîãî èìååì äâà ïåðâûõ óðàâíåíèÿ: ( divB = 0 (1) ∂B = rot[v × B] ∂t 1 Òàêæå èç ñîîáðàæåíèé ãèäðîäèíàìèêè ó÷òåì óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè è óðàâíåíèå äâèæåíèå (Ýéëåðà): ( ∂ρ + div(ρv) = 0 ∂t (2) ρ ∂∂tv + (v∇)v = −∇P + 1c [ jB ] Ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ P = P (ρ, T ), óðàâíåíèÿ (1) è (2) îáðàçóþò çàìêíóòóþ ñèñòåìó, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìîæíî îïðåäåëèòü ñîñòîÿíèå ïëàçìåííîãî îáúåêòà. Ñòîèò òàêæå çàìåòèòü, ÷òî íàïèñàííîå âûøå óðàâíåíèå Ýéëåðà ïðèìåíèìî òîëüêî ïðè óñëîâèè ìàëîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E ≈ vc B , ò.å. ïðè íåðåëÿòèâèñòñêîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ñðåäû.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî áûëî áû ó÷åñòü ñèëó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ρe E , ãäå ρe - ïëîòíîñòü çàðÿäà.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ çàìûêàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü òàêæå ïåðâîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà divE = 4πρe. 2 Ðàâíîâåñíûå êîíôèãóðàöèè Ðàññìîòðèì èäåàëüíî ïðîâîäÿùóþ æèäêîñòü â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå. Äëÿ ðàâíîâåñèÿ èìååì èç (2) è (1): 1 ∇P = [ jB ] c c j = 4π rotB divB = 0 Óìíîæèâ ñêàëÿðíî ïåðâîå èç ýòèõ óðàâíåíèé íà B è j ïîëó÷èì: (B∇)P = 0, (j∇)P = 0 Ñìûñë ýòèõ âûðàæåíèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîëó÷àþòñÿ ðàâíûìè íóëþ ïðîèçâîäíûå äàâëåíèÿ âäîëü ìàãíèòíûõ ñèëîâûõ ëèíèé è âäîëü ëèíèé òîêà. Ò.å. ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ìàãíèòíûå ñèëîâûå ëèíèè è ëèíèè òîêà ëåæàò íà ïîâåðõíîñòÿõ: P (x, y, z) = const îíè íàçûâàþòñÿ ìàãíèòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè. Êàæäàÿ ìàãíèòíàÿ ïîâåðõíîñòü ìîæåò áûòü ãðàíèöåé ðàâíîâåñíîé êîíôèãóðàöèè ò.ê. íà êàæäîé èç íèõ P ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíîå íóëþ. Ñëåäóþùåå óñëîâèå ìîæíî ïîëó÷èòü èç íàïèñàííûõ âûøå óðàâíåíèé, ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî íåêîòîðîìó îáúåìó. Z I B2 B2 (Br) B dV = P+ r − 4π df (3) 3P + 2π 8π 2 Ýòî óñëîâèå íà ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå áûëî ïîëó÷åíî â ñîâìåñòíîé ðàáîòå ×àíäðàñåêàðà è Ôåðìè â 1953 ãîäó. Ýòî óðàâíåíèå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü î÷åíü âàæíîå çàìå÷àíèå î ðàâíîâåñíîé êîíôèãóðàöèè. Ïóñòü ïëàçìà çàíèìàåò íåêèé êîíå÷íûé îáúåì, çà ïðåäåëàìè êîòîðîãî äàâëåíèå P = 0. À òàêæå ïóñòü çà ïðåäåëàìè ýòîãî îáúåìà íåò íèêàêèõ èñòî÷íèêîâ ïîëÿ (ïðîâîäíèêîâ ñ òîêîì). Òîãäà âäàëè îò ïëàçìû ïîëå äîëæíî óáûâàòü êàê r1 , à ñëåäîâàòåëüíî ïðàâàÿ ÷àñòü (3) îáðàùàåòñÿ â 0 ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîâåðõíîñòè. Íî èíòåãðàë îò çàâåäîìî ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíû 3P + B 2/8π íå ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íóëü. Ñëåäîâàòåëüíî íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü îãðàíè÷åííîé â ïðîñòðàíñòâå ðàâíîâåñíîé êîíôèãóðàöèè, íå ïîääåðæèâàåìîé ìàãíèòíûì ïîëåì îò âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè íàëè÷èè âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ ïðàâàÿ ÷àñòü ñâåäåòñÿ ê èíòåãðàëó ïî èõ ïîâåðõíîñòè è óñëîâèå ìîæåò áûòü óäîâëåòâîðåíî. 3 2.1 ×àñòíûå ñëó÷àè Z è θ ïèí÷åé Ðàññìîòðèì îäíó èç ñàìûõ ïðîñòûõ ìîäåëåé - ìîäåëü ïëàçìåííîãî ïèí÷à. Ðàññìàòðèâàåòñÿ áåñêîíå÷íûé ïëàçìåííûé öèëèíäð, âñå ïàðàìåòðû â íåì çàâèñÿò ëèøü îò êîîðäèíàòû r (â öèëèíòðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ r, ϕ, z, ãäå z íàïðàâëåíà âäîëü îñè öèëèíäðà). Èç óðàâíåíèé divB = 0 è divj = 0 ñëåäóåò, ÷òî Br è jr ðàâíû íóëþ (èíà÷å îíè îáðàùàëèñü áû â áåñêîíå÷íîñòü ïðè r → ∞). Èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ïîëó÷àåì â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ: jϕ = − c dBz , 4π dr jz = c d (rBϕ ) 4πr dr Ïðîèíòåãðèðîâàâ âòîðîå âûðàæåíèå íàéäåì: 2J(r) Bϕ = , cr Zr Äëÿ ïðîèçâîäíîé äàâëåíèÿ íàéäåì: − jz · 2πrdr J(r) = 0 dP 1 dJ 2 (r) 1 dBz2 = + dr 2πc2 r2 dr 8π dr Äàëåå ðàññìîòðèì äâà îòäåëüíûõ ñëó÷àÿ.  ïåðâîì áóäåì ïðåäïîëàãàòü Bz = 0, jϕ = 0 (ñëó÷àé z-ïèí÷à). Ïðîèíòåãðèðîâàâ âûðàæåíèå äëÿ ãðàäèåíòà äàâëåíèÿ, ïîëó÷èì ðàâíîâåñèå â âèäå: Za P (r) · 2πrdr = 0 3 Ja2 2c2 ãäå J(a) - ïîëíûé òîê âäîëü øíóðà. Óäåðæàíèå ðàâíîâåñíîé êîíôèãóðàöèè ïëàçìû îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîëåì ïðîäîëüíîãî òîêà. Âî âòîðîì ñëó÷àå ðàññìîòðèì ò.í. θ-ïèí÷, êîãäà Bϕ = 0, jz = 0. Òîãäà ïîëó÷èì: 2 2 P+ Bz B = o 8π 8π ãäå Bo - ïðîäîëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå âíå øíóðà. Óäåðæàíèå ïëàçìû îñóùåñòâëÿåòñÿ çäåñü âíåøíèì ïðîäîëüíûì ïîëåì. Îñîáûé èíòåðåñ äëÿ èçó÷åíèå ïðåäñòàâëÿþò z-ïèí÷ ýôôåêòû, êîòîðûå èñïîëüçóåòñÿ ïðè óäåðæàíèè ïëàçìû â ÒîÊàìÀêàõ è ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç îñíîâíûõ ïðè÷èí ñòàáèëüíîñòè êîñìè÷åñêèõ ñòðóéíûõ âûáðîñîâ èëè ò.í. ãàëàêòè÷åñêèõ äæåòîâ, ãäå êàê ðàç íàáëþäàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûé (íåêëàññè÷åñêèé) ñëó÷àé, à èìåííî, óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîå äâèæåíèå ÷àñòèö ñðåäû. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Ë. Ä. Ëàíäàó, E. M. Ëèôøèö, Ì.:Íàóêà., 1982. [2] Äæ. Äæåêñîí, Ýëåêòðîäèíàìèêà ñïëîøíûõ ñðåä. Êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà. 4 Ì.: Ìèð, 1965.