ÍÀÌ Q q q l Q Q l q = + q Ðèñ. 7 Ðàçîáüåì çàäà÷ó íà äâå ÷àñòè. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì çàðÿä q1 íà ðàññòîÿíèè l 1 îò ñôåðû ñ çàðÿäîì Q1 , à çàòåì çàðÿä q2 íà ðàññòîÿíèè l 2 îò ñôåðû ñ çàðÿäîì Q2 , ïðè ýòîì Q1 + Q2 = Q (ðèñ.7). Ïîòåíöèàë ñôåðû â ïåðâîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (7), à âî âòîðîì ñëó÷àå ôîðìóëîé (6). À òåïåðü íàëîæèì ïåðâóþ ñèñòåìó íà âòîðóþ. Òàê êàê ïîòåíöèàëû âñåõ òî÷åê ñôåðû áûëè ïîñòîÿííûìè â êàæäîì èç ñëó÷àåâ, ïðè íàëîæåíèè ñèñòåì îíè òîæå áóäóò ïîñòîÿííûìè, à çàðÿä ñôåðû áóäåò ðàâåí Q. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åííîå ïðè íàëîæåíèè ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäîâ ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû è áóäåò ïðàâèëüíûì (òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè). Äëÿ ïîòåíöèàëà ñôåðû ïîëó÷èì > C ϕ R = 1 Q 4 πε 0 R ÏÈØÓÒ + 1 q2 4 πε 0 l2 + 1 q1 4 πε 0 R . Ýòîò ðåçóëüòàò åñòåñòâåííûì îáðàçîì îáîáùàåòñÿ íà ëþáîå êîëè÷åñòâî òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ. Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî îòñþäà ñëåäóåò ñâîåîáðàçíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ è çàðÿæåííûõ ñôåð â çàäà÷å, ãäå òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ïîòåíöèàë ïðîâîäÿùåé ñôåðû. Ïîñêîëüêó âêëàä îò òî÷å÷íîãî çàðÿäà â ïîòåíöèàë ñôåðû çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ l ìåæäó ýòèì çàðÿäîì è öåíòðîì ñôåðû, ïîòåíöèàë ñôåðû íå èçìåíèòñÿ, åñëè ìû «ðàçìàæåì» ýòîò çàðÿä ïî ïîâåðõíîñòè âîîáðàæàåìîé ñôåðû ðàäèóñîì l. Ñðàâíèòå, íàïðèìåð, ôîðìóëó (5) ñ ôîðìóëîé (6), à ôîðìóëó (4) ñ ôîðìóëîé (7). Çàäà÷à 6. Èìåþòñÿ äâå êîíöåíòðè÷åñêèå ïðîâîäÿùèå ñôåðû ðàäèóñàìè R1 è R2 ( R1 < R2 ). Ìåæäó ñôåðàìè íà ðàññòîÿíèè r îò öåíòðà íàõîäèòñÿ òî÷å÷íûé çàðÿä q. Êàêèå çàðÿäû ïîÿâÿòñÿ íà ñôåðàõ, åñëè èõ çàçåìëèòü? Âûðàçèì ïîòåíöèàëû ñôåð è ïðèðàâíÿåì èõ ê íóëþ. Ïîòåíöèàë âíóòðåííåé ñôåðû ðàâåí ïîòåíöèàëó öåíòðà, ò.å. ? D ϕ R1 = 1 q1 4 πε 0 R1 + 1 q 4 πε 0 r + 1 q2 4 πε 0 R2 , ãäå q1 è q2 çàðÿäû ñôåð (ïîñëå çàçåìëåíèÿ). Ïîëå âî âíåøíåì ïðîñòðàíñòâå ñîâïàäàåò ñ ïîëåì òî÷å÷íîãî çàðÿäà q1 + q + q2 , ïîýòîìó ïîòåíöèàë âíåøíåé ñôåðû ðàâåí ? D ϕ R2 = 1 q1 + q + q2 4 πε 0 R2 ñôåð ê íóëþ, ðåøèì ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ è íàéäåì èñêîìûå çàðÿäû: R2 q1 = − q r R2 R1 −1 −1 , q2 = − q 1− 1− R1 r . R1 R2 Óïðàæíåíèÿ 1. Èìåþòñÿ äâå êîíöåíòðè÷åñêèå ïðîâîäÿùèå ñôåðû ðàäèóñàìè R1 è R2 ( R1 < R2 ). Âíóòðåííÿÿ ñôåðà çàðÿæåíà çàðÿäîì q, âíåøíÿÿ ñôåðà íå çàðÿæåíà. Êàêèì ñòàíåò ïîòåíöèàë âíóòðåííåé ñôåðû, åñëè âíåøíþþ ñôåðó çàçåìëèòü? Êàê èçìåíèòñÿ ïðè ýòîì ýíåðãèÿ ñèñòåìû? 2. Èìåþòñÿ òðè êîíöåíòðè÷åñêèå ïðîâîäÿùèå ñôåðû ðàäèóñàìè R1 , R è R2 ( R1 < < R < R2 ). Ñðåäíþþ ñôåðó çàðÿæàþò çàðÿäîì q, à âíóòðåííþþ è âíåøíþþ ñôåðû çàçåìëÿþò. Êàêèå çàðÿäû ïîÿâÿòñÿ íà ýòèõ ñôåðàõ? 3. Íà ðàññòîÿíèè l îò öåíòðà çàçåìëåííîé ïðîâîäÿùåé ñôåðû ðàäèóñîì R ïîìåùàþò òî÷å÷íûé çàðÿä q. Êàêîé çàðÿä ïîÿâèòñÿ íà ñôåðå? 4. Ïðîâîäÿùóþ ñôåðó ðàäèóñîì R çàçåìëÿþò, à íà ðàññòîÿíèÿõ l 1 < R è l 2 > R îò åå öåíòðà ïîìåùàþò òî÷å÷íûå çàðÿäû q1 è q2 . Êàêîé çàðÿä ïîÿâèòñÿ íà ñôåðå? 5. Èìåþòñÿ äâå êîíöåíòðè÷åñêèå ïðîâîäÿùèå ñôåðû ðàäèóñàìè R è 3R. Ìåæäó ñôåðàìè íà ðàññòîÿíèè 2R îò èõ öåíòðà íàõîäèòñÿ òî÷å÷íûé çàðÿä q. Êàêèå çàðÿäû îêàæóòñÿ íà ñôåðàõ, åñëè èõ ñîåäèíèòü òîíêîé ïðîâîëîêîé? . Òåïåðü ïðèðàâíÿåì ïîòåíöèàëû îáåèõ ÍÀÌ ÏÈØÓÒ Åùå äâà äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà  ïåðâîì íîìåðå çà 1999 ãîä â ñòàòüå «Âïèñàííûå ìíîãîóãîëüíèêè» òðåìÿ ñïîñîáàìè äîêàçàíî, ÷òî åñëè íà äóãå À îïèñàííîé îêðóæíîñòè ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ âçÿòà òî÷êà Õ, òî ÀÕ + ÂÕ = ÑÕ (ñì. ðèñóíîê). Ìåæäó òåì åñòü åùå äâà çàìå÷àòåëüíûõ äîêàçàòåëüñòâà. Âî-ïåðâûõ, ìû ìîæåì ïîñòðîèòü íà îòðåçêå Õ âîâíå ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê XZB. Ïðè ïîâîðîòå âîêðóã òî÷êè  íà 60° òî÷êà Ñ ïåðåõîäèò â À, Õ â Z, òðåóãîëüíèê ÑÕ â òðåóãîëüíèê AZB. Çíà÷èò, CX = AZ. Ïîñêîëüêó ñóììà ïðîòèâîïî- C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ñëåäîâàòåëüíî, AX + BX = AX + XZ = AZ = CX. Âî-âòîðûõ, ìîæíî áåñõèòðîñòíî ïðèìåíèòü òåîðåìó êîñèíóñîâ: îáîçíà÷èâ À = ÂÑ = ÑÀ = l, ÀÕ = à, ÂÕ = b, CX = c, íàõîäèì èç ∆AXC è ∆CXB : B A 2 2 2 2 2 2 l = a + c − 2 ac cos 60° , l = b + c − 2bc cos 60° . 2 X Z ëîæíûõ óãëîâ âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà AXBC ðàâíà 180°, èìååì ∠AXB = 120°, òàê ÷òî òî÷êè À, Õ, Z 2 Âû÷èòàÿ ïî÷ëåííî, ïîëó÷àåì a b àñ + bñ = 0, îòêóäà >a − bC>a + b − cC = 0 . Îñòàëîñü ðàçäåëèòü íà a b. (Ñëó÷àé a = b ëåãêî ðàçîáðàòü îòäåëüíî.) Ì.Ïàíê