ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÈ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ Ê ÊÎËËÎÊÂÈÓÌÓ ÏÎ ÌÅÒÎÄÀÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ (6 ÑÅÌÅÑÒÐ) À. À. Ïîæàðñêèé Ñîäåðæàíèå 1. Îáîáùåííûå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé 2. Îáîáùåííûå ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ 3 3. Îáîáùåííûå ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé 5 4. Îáîáùåííûå ôóíêöèè ìåäëåííîãî ðîñòà 6 5. Ïðèìåíåíèå îáîáùåííûõ ôóíêöèé ê ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ 1. 1 7 Îáîáùåííûå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé Îïðåäåëåíèå 1 (Íîñèòåëü íåïðåðûâíîé ôóíêöèè). Íîñèòåëåì íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ϕ íà- çûâàþò ìíîæåñòâî supp ϕ = {x | ϕ(x) 6= 0}. Îïðåäåëåíèå 2 (Ïðîñòðàíñòâî îñíîâíûõ ôóíêöèé). Ïóñòü ôóíêöèÿ ϕ : R → C óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì • áåñêîíå÷íàÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòü: ϕ ∈ C ∞ (R); • ôèíèòíîñòü íîñèòåëÿ: ñóùåñòâóåò R > 0 òàêîå, ÷òî supp ϕ ⊂ [−R, R]. Òîãäà ôóíêöèþ ϕ íàçûâàþò îñíîâíîé ôóíêöèåé. ◦ Ìíîæåñòâî âñåõ îñíîâíûõ ôóíêöèé íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâîì îñíîâíûõ ôóíêöèé, êîòîðîå îáîçíà÷àþò D(R) èëè, ñîêðàùåííî, D. Îïðåäåëåíèå 3 (Ñõîäèìîñòü â ñìûñëå D ). Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îñíîâíûõ ôóíê- öèé {ϕn }∞ n=1 ñõîäèòñÿ ïðè n → ∞ ê ôóíêöèè ϕ â ñìûñëå D , è ïèøóò D ϕn −→ ϕ, n→∞ åñëè • ñóùåñòâóåò R > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N âåðíî, ÷òî supp ϕn ⊂ [−R, R]; (p) • äëÿ ëþáîãî p ∈ Z+ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {ϕn }∞ n=1 ñõîäèòñÿ ïðè n → ∞ ê (p) ôóíêöèè ϕ ðàâíîìåðíî íà R. Îïðåäåëåíèå 4 (Ïðîñòðàíñòâî îáîáùåííûõ ôóíêöèé). Ïóñòü îòîáðàæåíèå f : D(R) 3 ϕ 7−→ (f, ϕ) ∈ C óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 29 ìàðòà 2014 ã. 1 2 À. À. Ïîæàðñêèé • ëèíåéíîñòü: äëÿ ëþáûõ ϕ1 , ϕ2 ∈ D(R) è α1 , α2 ∈ C âåðíî, ÷òî (f, α1 ϕ1 + α2 ϕ2 ) = α1 (f, ϕ1 ) + α2 (f, ϕ2 ); • íåïðåðûâíîñòü: äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îñíîâíûõ ôóíêöèé {ϕn }∞ n=1 òàêîé, D ÷òî ϕn −→ 0 âåðíî, ÷òî lim (f, ϕn ) = 0. n→∞ n→∞ Òîãäà îòîáðàæåíèå f íàçûâàþò îáîáùåííîé ôóíêöèåé. ◦ Ìíîæåñòâî âñåõ îáîáùåííûõ ôóíêöèé íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâîì îáîáùåííûõ ôóíêöèé, êîòîðîå îáîçíà÷àþò D0 (R) èëè, ñîêðàùåííî, D0 . Îïðåäåëåíèå 5 (Ðåãóëÿðíûå îáîáùåííûå ôóíêöèè). Îáîáùåííóþ ôóíêöèþ f íàçûâàþò ðå- ãóëÿðíîé, åñëè ñóùåñòâóåò F ∈ L1,loc (R) òàêàÿ, ÷òî Z ∀ ϕ ∈ D (f, ϕ) = F (x)ϕ(x) dx. R Ïðè ýòîì ôóíêöèþ F íàçûâàþò ÿäðîì ðåãóëÿðíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè f . Îïðåäåëåíèå 6 (Íóëåâàÿ îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ). Íóëåâîé îáîáùåííîé ôóíêöèåé íàçûâàþò ðåãóëÿðíóþ îáîáùåííóþ ôóíêöèþ âèäà ∀ϕ∈D (0, ϕ) = 0. Îïðåäåëåíèå 7 (θ -ôóíêöèÿ). θ -ôóíêöèåé íàçûâàþò ðåãóëÿðíóþ îáîáùåííóþ ôóíêöèþ âèäà ∀ϕ∈D Z+∞ (θ, ϕ) = ϕ(x) dx. 0 Îïðåäåëåíèå 8 (Ñèíãóëÿðíûå îáîáùåííûå ôóíêöèè). Îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ñèí- ãóëÿðíîé, åñëè îíà íå ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé. Îïðåäåëåíèå 9 (δ -ôóíêöèÿ Äèðàêà). δ -ôóíêöèåé Äèðàêà íàçûâàþò îòîáðàæåíèå âèäà ∀ϕ∈D (δ, ϕ) = ϕ(0). Îïðåäåëåíèå 10 (δ(x − a)). Ïóñòü a ∈ R, òîãäà ∀ϕ∈D (δ(x − a), ϕ) = ϕ(a). Îïðåäåëåíèå 11 (P x1 ). ∀ϕ∈D Z Z 1 ϕ(x) def P , ϕ = v.p. dx = lim ε→+0 x x R ϕ(x) dx. x |x|>ε Îïðåäåëåíèå 12 (P x1n ). ∀n∈N ∀ϕ∈D n−2 P ϕ(k) (0) k x Z ϕ(x) − Z k! 1 def k=0 P n , ϕ = v.p. dx = lim ε→+0 x xn R ϕ(x) − n−2 P k=0 xn ϕ(k) (0) k x k! dx. |x|>ε Îïðåäåëåíèå 13 (Ñóììà îáîáùåííûõ ôóíêöèé). Ñóììîé îáîáùåííûõ ôóíêöèé f è g íàçû- âàþò îáîáùåííóþ ôóíêöèþ f + g , äåéñòâóþùóþ ïî ïðàâèëó (f + g, ϕ) = (f, ϕ) + (g, ϕ). ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÈ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ Ê ÊÎËËÎÊÂÈÓÌÓ (6 ÑÅÌÅÑÒÐ) 3 Îïðåäåëåíèå 14 (Óìíîæåíèå îáîáùåííîé ôóíêöèè íà áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ). Ïðîèçâåäåíèåì îáîáùåííîé ôóíêöèé f è áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè h íàçûâàþò îáîáùåííóþ ôóíêöèþ f · h, äåéñòâóþùóþ ïî ïðàâèëó (f · h, ϕ) = (f, h · ϕ). Îïðåäåëåíèå 15 (Ïðîèçâîäíàÿ îáîáùåííîé ôóíêöèè). Ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèé f íàçûâàþò îáîáùåííóþ ôóíêöèþ f 0 , äåéñòâóþùóþ ïî ïðàâèëó ∀ϕ∈D (f 0 , ϕ) = −(f, ϕ0 ). Îïðåäåëåíèå 16 (Íîñèòåëü îáîáùåííîé ôóíêöèè). • Ãîâîðÿò, ÷òî îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ f îáðàùàåòñÿ â íîëü íà èíòåðâàëå (a, b) ⊂ R, åñëè äëÿ ëþáîé ϕ ∈ D òàêîé, ÷òî supp ϕ ⊂ (a, b) âåðíî, ÷òî (f, ϕ) = 0.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò f |(a,b) = 0. • Íîñèòåëåì îáîáùåííîé ôóíêöèè f íàçûâàþò ìíîæåñòâî [ supp f = R \ (a, b). {(a,b) | f |(a,b) =0} Îïðåäåëåíèå 17 (Çàìåíà ïåðåìåííûõ â îáîáùåííîé ôóíêöèè). Ïóñòü f ∈ D 0 , A äèôôåî- ìîðôèçì êëàññà C ∞ èç R â R è B = A−1 . ∀ϕ∈D (f (A(x)), ϕ(x)) = ϕ(B(t)) f (t), 0 |A (B(t))| . Îïðåäåëåíèå 18 (Ñõîäèìîñòü â ñìûñëå D 0 ). Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáîáùåííûõ 0 ôóíêöèé {fn }∞ n=1 ñõîäèòñÿ ïðè n → ∞ ê îáîáùåííîé ôóíêöèè f â ñìûñëå D , è ïèøóò D0 fn −→ f, n→∞ åñëè ∀ϕ∈D lim (fn , ϕ) = (f, ϕ). n→∞ Îïðåäåëåíèå 19 (δ -îáðàçíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåãóëÿðíûõ îáîáùåí- íûõ ôóíêöèé {fn }∞ n=1 íàçûâàåòñÿ δ -îáðàçíîé, åñëè îíà ñõîäèòñÿ ê δ -ôóíêöèè. 2. Îáîáùåííûå ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ Îïðåäåëåíèå 20 (Ïðîñòðàíñòâî îñíîâíûõ ôóíêöèé D(Rn )). Ïóñòü ôóíêöèÿ ϕ : Rn → C, ãäå n ∈ N óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì • áåñêîíå÷íàÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòü: ϕ ∈ C ∞ (Rn ); • ôèíèòíîñòü íîñèòåëÿ: ñóùåñòâóåò øàð BR = {x | |x| < R} ðàäèóñà R > 0 òàêîé, ÷òî supp ϕ ⊂ BR . Òîãäà ôóíêöèþ ϕ íàçûâàþò îñíîâíîé ôóíêöèåé. ◦ Ìíîæåñòâî âñåõ îñíîâíûõ ôóíêöèé íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâîì îñíîâíûõ ôóíêöèé, êîòîðîå îáîçíà÷àþò D(Rn ). Îïðåäåëåíèå 21 (Ïðîèçâîäíàÿ îñíîâíîé ôóíêöèè D(Rn )). Ïóñòü • ϕ ∈ D(Rn ), ãäå n ∈ N; • α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Zn+ . 4 À. À. Ïîæàðñêèé Ïðîèçâîäíîé ïîðÿäêà α ôóíêöèè ϕ íàçûâàþò âûðàæåíèå âèäà Dα ϕ = ∂ |α| ϕ , ∂xα1 1 ∂xα2 2 . . . ∂xαnn ãäå |α| = α1 + α2 + . . . + αn . Îïðåäåëåíèå 22 (Ïðîñòðàíñòâî îáîáùåííûõ ôóíêöèé D 0 (Rn )). Ïóñòü îòîáðàæåíèå f : D(Rn ) 3 ϕ 7−→ (f, ϕ) ∈ C óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì • ëèíåéíîñòü: äëÿ ëþáûõ ϕ1 , ϕ2 ∈ D(Rn ) è α1 , α2 ∈ C âåðíî, ÷òî (f, α1 ϕ1 + α2 ϕ2 ) = α1 (f, ϕ1 ) + α2 (f, ϕ2 ); • íåïðåðûâíîñòü: äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îñíîâíûõ ôóíêöèé {ϕk }∞ k=1 òàêîé, D ÷òî ϕk −→ 0 âåðíî, ÷òî lim (f, ϕk ) = 0. k→∞ k→∞ Òîãäà îòîáðàæåíèå f íàçûâàþò îáîáùåííîé ôóíêöèåé. ◦ Ìíîæåñòâî âñåõ îáîáùåííûõ ôóíêöèé íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâîì îáîáùåííûõ ôóíêöèé, êîòîðîå îáîçíà÷àþò D0 (Rn ). Îïðåäåëåíèå 23 (Ïðîèçâîäíàÿ îáîáùåííîé ôóíêöèè èç D 0 (Rn )). Ïðîèçâîäíîé îáîáùåííîé ôóíêöèé f ∈ D0 (Rn ) ïîðÿäêà α ∈ Zn+ íàçûâàþò îáîáùåííóþ ôóíêöèþ Dα f , äåéñòâóþùóþ ïî ïðàâèëó (Dα f, ϕ) = (−1)|α| (f, Dα ϕ). Îïðåäåëåíèå 24 (θ -ôóíêöèÿ â D 0 (Rn )). θ -ôóíêöèåé â D 0 (Rn ), ãäå n ∈ N, íàçûâàþò ðåãóëÿð- íóþ îáîáùåííóþ ôóíêöèþ âèäà ∀ ϕ ∈ D(Rn ) Z+∞ Z+∞ Z+∞ (θ, ϕ) = ... ϕ(x1 , x2 , . . . , xn ) dx1 dx2 . . . dxn . 0 0 0 Îïðåäåëåíèå 25 (δ -ôóíêöèÿ Äèðàêà â D 0 (Rn )). δ -ôóíêöèåé Äèðàêà â D 0 (Rn ), ãäå n ∈ N, íàçûâàþò îòîáðàæåíèå âèäà ∀ ϕ ∈ D(Rn ) (δ, ϕ) = ϕ(0). Îïðåäåëåíèå 26 (δ -ôóíêöèÿ ñîñðåäîòî÷åííàÿ íà ïîâåðõíîñòè â R3 ). Ïóñòü S ãëàäêàÿ ïî- âåðõíîñòü â R3 . Òîãäà δ -ôóíêöèåé ñîñðåäîòî÷åííîé íà ïîâåðõíîñòè S íàçûâàþò ñèíãóëÿðíóþ îáîáùåííóþ ôóíêöèþ âèäà ZZ 3 ∀ ϕ ∈ D(R ) (δS , ϕ) = ϕ(x1 , x2 , x3 ) dS. S Îïðåäåëåíèå 27 (Çàìåíà ïåðåìåííûõ â îáîáùåííîé ôóíêöèè èç D 0 (Rn )). Ïóñòü f ∈ D 0 (Rn ) è A äèôôåîìîðôèçì êëàññà C ∞ èç Rn â Rn è B = A−1 . n ∀ ϕ ∈ D(R ) (f (A(x)), ϕ(x)) = f (t), ϕ(B(t)) | det A0 (B(t))| Îïðåäåëåíèå 28 (Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå îáîáùåííûõ ôóíêöèé). Ïóñòü • f ∈ D0 (Rn ), ãäå n ∈ N; • g ∈ D0 (Rm ), ãäå m ∈ N. . ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÈ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ Ê ÊÎËËÎÊÂÈÓÌÓ (6 ÑÅÌÅÑÒÐ) 5 Ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì f · g íàçûâàþò îáîáùåííóþ ôóíêöèþ èç D0 (Rn+m ), äåéñòâóþùóþ ïî ïðàâèëó ∀ ϕ ∈ D(Rn+m ) (f (x) · g(y), ϕ(x, y)) = (f (x), (g(y), ϕ(x, y))). Îïðåäåëåíèå 29 (Ñâåðòêà êëàññè÷åñêèõ ôóíêöèé). Ñâåðòêîé êëàññè÷åñêèõ ôóíêöèé F : R → R è G : R → R íàçûâàþò ôóíêöèþ âèäà Z F ∗ G(x) = F (y)G(x − y) dy, R ïðè óñëîâèè, ÷òî ïîñëåäíèé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ïðè ïî÷òè âñåõ x ∈ R. Îïðåäåëåíèå 30 (Ñâåðòêà îáîáùåííûõ ôóíêöèé â D 0 ). Ñâåðòêîé îáîáùåííûõ ôóíêöèé f ∈ D0 (R) è g ∈ D0 (R) íàçûâàþò îòîáðàæåíèå âèäà ∀ ϕ ∈ D(R) ïðè óñëîâèè, ÷òî ôîðìóëà 3. (1) (f ∗ g(x), ϕ(x)) = f (x), g(y), ϕ(x + y) , (1) êîððåêòíî îïðåäåëÿåò îáîáùåííóþ ôóíêöèþ èç D0 (R). Îáîáùåííûå ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Îïðåäåëåíèå 31 (Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà ñ ïîñòîÿííûìè D0 (R)). Ïóñòü êîýôôèöèåíòàìè â • ak ∈ C ïðè k = 1, 2, . . . , (n − 1), ãäå n ∈ N; • ∀ y ∈ D0 Ly = y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y . Ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà L íàçûâàþò âñÿêóþ îáîáùåííóþ ôóíêöèþ E , óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ LE(x) = δ(x). Îïðåäåëåíèå 32 (Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè â D 0 (R)). Ïóñòü • pk ∈ C ∞ (R) ïðè k = 1, 2, . . . , (n − 1), ãäå n ∈ N; • ∀ y ∈ D0 Ly = y (n) + pn−1 y (n−1) + . . . + p1 y 0 + p0 y . Ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà L íàçûâàþò âñÿêóþ îáîáùåííóþ ôóíêöèþ E(x, t), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ LE(x, t) = δ(x − t) äëÿ ëþáîãî t ∈ R (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îïåðàòîð L äåéñòâóåò ïî ïåðåìåííîé x). Îïðåäåëåíèå 33 (Îïåðàòîð Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ). Ïóñòü • −∞ < a < b < +∞; • α1 , α2 , β1 è β2 âåùåñòâåííûå ïàðàìåòðû; • |αk | + |βk | = 6 0 ïðè k = 1, 2; • p ∈ C 1 [a, b] è q ∈ C[a, b]; • ∀ x ∈ [a, b] p(x) 6= 0. Îïåðàòîðîì Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ íà îòðåçêå [a, b] íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð 0 Lu(x) = − (p(x)u0 (x)) + q(x)u(x) ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ âèäà n o Dom(L) = u u ∈ C 2 [a, b], α1 u(a) + β1 u0 (a) = 0, α2 u(b) + β2 u0 (b) = 0 . 6 À. À. Ïîæàðñêèé Îïðåäåëåíèå 34 (Ôóíêöèÿ Ãðèíà îïåðàòîðà Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ). Ïóñòü • L îïåðàòîð Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ íà îòðåçêå [a, b]; • g(·, y) ðåãóëÿðíàÿ îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ îò ïàðàìåòðà y ∈ [a, b]; • ∀ y ∈ (a, b) ∀ x ∈ (a, b) Lx g(x, y) = δ(x − y); • G(x, y) ÿäðî ðåãóëÿðíîé îáîáùåííîé ôóíêöèè g(x, y); • ∀ y ∈ (a, b) G(·, y) ∈ C 2 [a, y) ∩ C 2 (y, b]; • ∀ y ∈ (a, b) α1 G(x, y) + β1 G0x (x, y)x=a = 0, α2 G(x, y) + β2 G0x (x, y)x=b = 0. Òîãäà g íàçûâàþò ôóíêöèåé Ãðèíà îïåðàòîðà Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ L. 4. Îáîáùåííûå ôóíêöèè ìåäëåííîãî ðîñòà Îïðåäåëåíèå 35 (Êëàññ Øâàðöà S(R)). Êëàññîì Øâàðöà S(R) (ñîêðàùåííî, S ) íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé âèäà ϕ : R → C, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì • ϕ ∈ C ∞ (R); • ∀ n ∈ Z+ ∀ p ∈ Z+ lim xn ϕ(p) (x) = 0. x→±∞ Îïðåäåëåíèå 36 (Ñõîäèìîñòü â ñìûñëå S ). Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {ϕn }∞ n=1 S ñõîäèòñÿ ïðè n → ∞ ê ôóíêöèè ϕ â ñìûñëå S , è ïèøóò ϕn −→ ϕ, åñëè n→∞ • ∀ n ∈ N ϕn ∈ S ; • ϕ ∈ S; ∞ (p) • äëÿ ëþáûõ k ∈ Z+ è p ∈ Z+ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé xk ϕn (x) n=1 ñõîäèòñÿ ïðè n → ∞ ê ôóíêöèè xk ϕ(p) (x) ðàâíîìåðíî íà R. Îïðåäåëåíèå 37 (Ïðîñòðàíñòâî îáîáùåííûõ ôóíêöèé ìåäëåííîãî ðîñòà). Ïóñòü îòîáðàæå- íèå f : S 3 ϕ 7−→ (f, ϕ) ∈ C óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì • ëèíåéíîñòü: äëÿ ëþáûõ ϕ1 , ϕ2 ∈ S è α1 , α2 ∈ C âåðíî, ÷òî (f, α1 ϕ1 + α2 ϕ2 ) = α1 (f, ϕ1 ) + α2 (f, ϕ2 ); S • íåïðåðûâíîñòü: äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé {ϕn }∞ n=1 òàêîé, ÷òî ϕn −→ 0 n→∞ âåðíî, ÷òî lim (f, ϕn ) = 0. n→∞ Òîãäà îòîáðàæåíèå f íàçûâàþò îáîáùåííîé ôóíêöèåé ìåäëåííîãî ðîñòà. ◦ Ïðîñòðàíñòâî îáîáùåííûõ ôóíêöèé ìåäëåííîãî ðîñòà îáîçíà÷àþò S 0 (R) èëè, ñîêðàùåííî, S 0 . Îïðåäåëåíèå 38 (Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íà S ). Ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôóíêöèè ϕ ∈ S íà- çûâàþò ôóíêöèþ Z F [ϕ](k) = ϕ(x)eikx dx. R Îïðåäåëåíèå 39 (Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íà S 0 ). Ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå îáîáùåííîé ôóíêöèè g ∈ S 0 íàçûâàþò îáîáùåííóþ ôóíêöèþ, äåéñòâóþùóþ ïî ïðàâèëó ∀ϕ∈S (F [g], ϕ) = (g, F [ϕ]). ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÈ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ Ê ÊÎËËÎÊÂÈÓÌÓ (6 ÑÅÌÅÑÒÐ) 7 Îïðåäåëåíèå 40 (Ñâåðòêà îáîáùåííûõ ôóíêöèé â S 0 ). Ñâåðòêîé îáîáùåííûõ ôóíêöèé h ∈ S 0 (R) è g ∈ S 0 (R) íàçûâàþò îòîáðàæåíèå âèäà (h ∗ g(x), ϕ(x)) = h(x), g(y), ϕ(x + y) , ∀ ϕ ∈ S(R) ïðè óñëîâèè, ÷òî ôîðìóëà (1) (1) êîððåêòíî îïðåäåëÿåò îáîáùåííóþ ôóíêöèþ èç S 0 (R). Îïðåäåëåíèå 41 (Îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ ∀ϕ∈S 1 ). x+i0 Z ϕ(x) 1 , ϕ(x) = lim dx. ε→+0 x + i0 x + iε R Îïðåäåëåíèå 42 1 (Îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ x−i0 ). ∀ϕ∈S 1 , ϕ(x) x − i0 Z = lim ε→+0 ϕ(x) dx. x − iε R Ïðèìåíåíèå îáîáùåííûõ ôóíêöèé ê ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ 5. Îïðåäåëåíèå 43 (Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà â D 0 (Rn )). Ïóñòü • L ëèíåéíûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð â D0 (Rn ), ãäå n > 1; • ∀ y ∈ Rn E(·, y) ∈ D0 (Rn ); • ∀ y ∈ Rn LE(x, y) = δ(x − y), x ∈ Rn . Òîãäà E íàçûâàþò ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà L. Îïðåäåëåíèå 44 (Ôîðìàëüíî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð â D 0 (Rn )). Ïóñòü L ëèíåéíûé äèô- ôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð â D0 (Rn ), ãäå n > 1. Òîãäà L∗ íàçûâàþò ôîðìàëüíî ñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì ê L, åñëè ∀ u ∈ D0 (Rn ) ∀ ϕ ∈ D(Rn ) (Lu, ϕ) = (u, L∗ ϕ). Îïðåäåëåíèå 45 (Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà). Ïóñòü • E ∈ D0 (Rn ), ãäå n > 2; • ∆E(x) = δ(x), x ∈ Rn . Òîãäà E íàçûâàþò ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà Ëàïëàñà â Rn . Îïðåäåëåíèå 46 (Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà òåïëîïðîâîäíîñòè). Ïóñòü • E ∈ D0 (Rn+1 ), ãäå n > 1; • ∂E(x,t) − a2 ∆E(x, t) = δ(x, t), ãäå a > 0, x ∈ Rn , t ∈ R è îïåðàòîð Ëàïëàñà ∆ äåéñòâóåò ∂t ïî ïåðåìåííîé x. Òîãäà E íàçûâàþò ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà òåïëîïðîâîäíîñòè â Rn+1 . Îïðåäåëåíèå 47 (Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå âîëíîâîãî îïåðàòîðà). Ïóñòü • E ∈ D0 (Rn+1 ), ãäå n > 1; 2 • ∂ E(x,t) − a2 ∆E(x, t) = δ(x, t), ãäå a > 0, x ∈ Rn , t ∈ R è îïåðàòîð Ëàïëàñà ∆ äåéñòâóåò ∂t2 ïî ïåðåìåííîé x. Òîãäà E íàçûâàþò ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì âîëíîâîãî îïåðàòîðà â Rn+1 . 8 À. À. Ïîæàðñêèé Îïðåäåëåíèå 48 (Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Øðåäèíãåðà). Ïóñòü • E ∈ D0 (Rn+1 ), ãäå n > 1; • i ∂E(x,t) − ∆E(x, t) = δ(x, t), ãäå x ∈ Rn , t ∈ R è îïåðàòîð Ëàïëàñà ∆ äåéñòâóåò ïî ∂t ïåðåìåííîé x. Òîãäà E íàçûâàþò ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì âîëíîâîãî îïåðàòîðà â Rn+1 .