ПРОГРАММА курса "Статистическая механика", часть II для

ÏÐÎÃÐÀÌÌÀ
êóðñà Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, ÷àñòü II äëÿ ñòóäåíòîâ
ýêîíîìè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé.
1. Êëàññè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, îïåðàòîð ýâîëþöèè. Óðàâíåíèå
Ëèóâèëëÿ äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ëèóâèëëèàí ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. ×àñòè÷íûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Öåïî÷êà óðàâíåíèé Áîãîëþáîâà-Áîðíà-Ãðèíà-Êèðêâóäà-Èâîíà (ÁÁÃÊÈ). Ôàêòîðèçàöèÿ
s-÷àñòè÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Êîððåëÿöèè.
2. Óðàâíåíèå ýâîëþöèè äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè (óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ-ôîí Íîéìàíà).
3. Óðàâíåíèå ýâîëþöèè Ìîéàëà äëÿ ôóíêöèè Âèãíåðà. Óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè Âèãíåðà ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé.
4. Óðàâíåíèå ýâîëþöèè äëÿ òîìîãðàììû êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé.
5. Çâåçäî÷íîå ïðîèçâåäåíèå, óðàâíåíèå ýâîëþöèè äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè â
âèäå óðàâíåíèÿ íà ñèìâîë îïåðàòîðà ïëîòíîñòè îáùåãî âèäà.
6. Ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé è ýíòðîïèÿ. Ìàòðèöà ïëîòíîñòè è ýíòðîïèÿ.
Òîìîãðàôè÷åñêîå îïèñàíèå è îïèñàíèå íà ÿçûêå ôóíêöèè Âèãíåðà.
7. Óãëîâîé ìîìåíò. Ñëîæåíèå ìîìåíòîâ, êîýôôèöèåíòû Êëåáøà-Ãîðäàíà.
Òîìîãðàììà ñïèíîâîãî ñîñòîÿíèÿ ñî ñïèíîì s = 1/2.
8. Ýíòàíãëåìåíò çàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ. Ïðèìåð ñèñòåìû äâóõ ñïèíîâ 1/2.
9. Âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ. Êëàññè÷åñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè.
10. Èíòåðïðåòàöèÿ êâàíòîâîãî ôîðìàëèçìà äëÿ àíàëèçà ñèãíàëîâ, âêëþ÷àÿ
êëàññè÷åñêèå ñèãíàëû.
11. Îðòîãîíàëüíûå îïåðàòîðû è ðàçëîæåíèå ïî íèì îïåðàòîðîâ è ìàòðèöû
ïëîòíîñòè. Ïðåäñòàâëåíèå ñðåäíèõ â âèäå ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé.
12. Âçàèìîäåéñòâóþùèå ïîäñèñòåìû. Ïðèâåäåííàÿ (ðåäóöèðîâàííàÿ) ìàòðèöà ïëîòíîñòè.
13. Ïðåäñòàâëåíèå âçàèìîäåéñòâèÿ äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè. Ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèé. Îïåðàòîð ýâîëþöèè äëÿ íåêîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì, õðîíîëîãèçîâàííîå ïðîèçâåäåíèå, T -ýêñïîíåíòà.
14. Âçàèìîäåéñòâèå ñ íåíàáëþäàåìîé ñèñòåìîé, ïîñòàíîâêà íåîáðàòèìîé âî
âðåìåíè çàäà÷è. Ðåëàêñàöèîííîå óðàâíåíèå äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè. Êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè.
1
15. Îáîáùåííîå êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå â ïðèáëèæåíèè êîðîòêèõ âðåìåí êîððåëÿöèè. Ñâîéñòâà êèíåòè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ, ñìûñë äåéñòâèòåëüíûõ
è ìíèìûõ ÷àñòåé. Ñåêóëÿðíîå ïðèáëèæåíèå. Îñíîâíîå êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå, óðàâíåíèå äëÿ äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ïëîòíîñòè (çàñåëåííîñòåé). Óðàâíåíèÿ Áëîõà, ïðîäîëüíîå è ïîïåðå÷íîå âðåìÿ ðåëàêñàöèè.
16. Ìåòîä ìîìåíòîâ. Ñïåêòðàëüíàÿ ôîðìà ñèãíàëà, ìîìåíòû îñíîâíûõ ëèíèé, ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð. Ñåêóëÿðíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, ìåòîä êóìóëÿíòîâ. Òåíçîð ðåëàêñàöèè ïðè íàëè÷èè äèôôóçèè, èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå. Íåîäíîðîäíîå è îäíîðîäíîå óøèðåíèå ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé.
ÇÀÄÀÍÈÅ
1. Ïîëó÷èòü â ÿâíîì âèäå óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ äëÿ êëàññè÷åñêîãî ãàçà ñâîáîäíûõ áåññòðóêòóðíûõ ÷àñòèö.
2. Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå îïåðàòîðà Ëèóâèëëÿ ñèñòåìû ÷àñòèö ñ ïàðíûì âçàèìîäåéñòâèåì âî âíåøíåì ïîëå. Ìàññû ÷àñòèö îäèíàêîâû è ðàâíû m.
3. Çàïèñàòü ïåðâûå ÷åòûðå óðàâíåíèÿ öåïî÷êè ÁÁÃÊÈ.
4. Ôàêòîðèçîâàòü 4-÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ.
5. Ïîëó÷èòü óðàâíåíèå íà ôóíêöèþ Âèãíåðà èç óðàâíåíèÿ Ëèóâèëëÿ-ôîí
Íîéìàíà.
6. Ïîëó÷èòü óðàâíåíèå ýâîëþöèè òîìîãðàììû èç óðàâíåíèÿ äëÿ ìàòðèöû
ïëîòíîñòè â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè.
7. Âû÷èñëèòü ýíòðîïèþ ñîñòîÿíèÿ îñöèëëÿòîðà â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè è â
ñîñòîÿíèè òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ.
8. Ïîëó÷èòü êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ îïåðàòîðîâ óãëîâîãî ìîìåíòà,
âûðàçèâ èõ ÷åðåç îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ.
9. Òà æå çàäà÷à, íî äëÿ äâóõ ôåðìè-îñöèëëÿòîðîâ.
10. Âû÷èñëèòü ýâîëþöèþ òîìîãðàììû êîãåðåíòíîãî ñîñòîÿíèÿ îñöèëëÿòîðà.
11. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñëó÷àÿ íåýðìèòîâûõ îðòîãîíàëüíûõ îïåðàòîðîâ îïðå-
2
äåëåíèÿ îïåðàòîðîâ, ìàòðèöû ïëîòíîñòè è ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ èìåþò âèä:
X
X
X
b + )ui =
Q=
Tr(Qu
Q+
Q i u+
i
i ui =
i ;
i
ρ=
X
i
Tr(ρu+
i )ui
i
hQi =
i
£
ui , u +
k
¤
X
Q+
i ρj
=
i
=
X
=
X
X
i
ρ+
i ui
=
X
i
ρi u+
i ;
i
Qi ρ+
i ;
i
¡
£
¤¢
∗
+
cik l = Tr u+
= −cik l .
l i ui , u k
l
cik ul ,
l
12. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû Ωik :
³
´
X
−1
l
b
Ωik = ~
cik Tr Hul = −Ωki .
l
Ïîêàçàòü, ÷òî âñå Ωi0 = Ω0k = 0.
13. Ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð ýâîëþöèè óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà ñ ãàìèëüòîíèba + H
b b + Vb ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:
àíîì H


Zt
i
−1 b
−1 b
b
b
VbI (t0 )dt0  ,
U (t) = e−i~ Ht = e−i~ (Ha +Hb +V )t = U0 (t)Tb exp −
~
0
ãäå îïåðàòîð ýâîëþöèè U0 (t) îïðåäåëåí äëÿ íåâîçìóùåííîãî ãàìèëüòîíèàíà.
14. Îïðåäåëèòü âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü ñïèíîâîé ìàòðèöû ïëîòíîñòè ÷àñòèöû ñî ñïèíîì s = 1/2, îáëàäàþùåé ìàãíèòíûì ìîìåíòîì µ0 è íàõîäÿùåéñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå H||z, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè
ρ(0) = (1 + Pσ)/2. Îïðåäåëèòü òàêæå òåíçîð Gik .
15. Äëÿ äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìû ïîëó÷èòü âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü ðàçíîñòè
çàñåëåííîñòåé óðîâíåé ýíåðãèè ρ11 − ρ22 .
Îïðåäåëèòü òàêæå âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü íåäèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíòîâ
ìàòðèöû ïëîòíîñòè.
16. Íåâîçìóùåííûé ãàìèëüòîíèàí äâóõ ñèñòåì èìååò âèä:
b 0 = ~ω0 sz +
H
N
X
~ωp Iz ,
a=1
ãäå sz îïåðàòîð ïðîåêöèè ñïèíà 1/2, Iz îïåðàòîð ïðîåêöèè ñïèíà I.
Âçàèìîäåéñòâèå ïîäñèñòåì îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîðîì
Vb =
3
N
X
a=1
Ωa sI.
Îïðåäåëèòü ñåêóëÿðíóþ ÷àñòü âçàèìîäåéñòâèÿ è âòîðîé ìîìåíò ñèñòåìû.
Âû÷èñëèòü âòîðîé ìîìåíò äëÿ èçîòðîïíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà âçàèìîäåéñòâèÿ, çàâèñÿùåãî îò óãëà θa :
Ωa = Ω0 cos2 θa .
17. Îïðåäåëèòü ñìåùåíèå ÷àñòèöû, ñîâåðøàþùåé ñëó÷àéíûå áëóæäàíèÿ (áðîóíîâñêîå äâèæåíèå), îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ çà âðåìÿ t. Ðàññìîòðåòü
äâå ìîäåëè:
1) äâèæåíèå ÷àñòèöû îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ëàíæåâåíà,
2) ÷àñòèöà ñîâåðøàåò ñëó÷àéíûå ñêà÷êè ÷åðåç ñëó÷àéíûå ïðîìåæóòêè
âðåìåíè. Ðàññìîòðåòü òàêæå ïðèáëèæåíèå ñêà÷êîâ íà ðàâíûå ðàññòîÿíèÿ
(â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå).
4