Ïîëóãîäîâîé êóðñ Ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà Êðàòêîå îïèñàíèå êóðñà Ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè îäèí èç ñàìûõ êðàñèâûõ è âîñòðåáîâàííûõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè. Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì òàêèõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå Ëàïëàñà ∆u = 0, îïèñûâàþùåå, íàïðèìåð, ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû. Óðàâíåíèå Ëàïëàñà îáñóæäàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè â ëþáîì êóðñå óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Íàø êóðñ ïîñâÿùåí îáùåìó ýëëèïòè÷åñêîìó óðàâíåíèþ: tr(AD2 u) + ⟨b, ∇u⟩ + cu = f. Òàêèå óðàâíåíèÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïîÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, â òåîðèè äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ. Êðîìå òîãî, ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñ íåïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ïîÿâëÿþòñÿ äàæå â çàäà÷àõ, â êîòîðûõ èçíà÷àëüíî ðàññìàòðèâàëîñü óðàâíåíèå Ëàïëàñà, íî íà ñëîæíîé îáëàñòè.  ýòîì ñëó÷àå äåëàþò çàìåíó ïåðåìåííûõ, îòîáðàæàÿ ñëîæíóþ îáëàñòü â ïðîñòóþ. ßñíî, ÷òî óðàâíåíèå ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè ïåðåñòàåò áûòü óðàâíåíèåì Ëàïëàñà. Êðîìå òîãî, èññëåäîâàíèå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé î÷åíü ÷àñòî íà÷èíàåòñÿ ñ ¾çàìîðàæèâàíèÿ¿ êîýôôèöèåíòîâ è ñâåäåíèÿ çàäà÷è ê ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ. Íàïðèìåð, ïðî ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå ∆u−u3 = f , u|∂Ω = 0 ìîæíî ìíîãîå ñêàçàòü àïðèîðè, ðàññìàòðèâàÿ óðàâíåíèå êàê ëèíåéíîå ∆u − cu = f . Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ íåïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ìíîãèå ôàêòû, î÷åâèäíî âåðíûå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, óæå ïåðåñòàþò âûïîëíÿòüñÿ, íàïðèìåð, ïðèíöèï ìàêñèìóìà èëè òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. Ïðè èññëåäîâàíèè ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïðèâëåêàþòñÿ èäåè è ìåòîäû àíàëèçà, àëãåáðû, ãåîìåòðèè, òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è äðóãèõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè. ßðêèì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèï ìàêñèìóìà À.Ä. Àëåêñàíäðîâà, òåñíî ñâÿçàííûé ñ ãåîìåòðèåé âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé. Òàêèì îáðàçîì, êóðñ áóäåò èíòåðåñåí ñïåöèàëèñòàì ñîâåðøåííî ðàçíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ íàïðàâëåíèé. Êðîìå òîãî, äëÿ ïîíèìàíèÿ êóðñà òðåáóþòñÿ çíàíèÿ ïî ñòàíäàðòíîé ïðîãðàììå ïåðâûõ äâóõ êóðñîâ ëþáîãî ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà. Ïðîãðàììà êóðñà 1. Êëàññè÷åñêèé ïðèíöèï ìàêñèìóìà. 2. Îöåíêè Ñ.Í. Áåðíøòåéíà è èõ ñëåäñòâèÿ: íåðàâåíñòâî Õàðíàêà è òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. 3. Ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà. Òåîðåìû âëîæåíèÿ. Ïîíÿòèå ñëàáîãî ðåøåíèÿ. 4. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà è ñóùåñòâîâàíèå ñëàáûõ ðåøåíèé çàäà÷è Äèðèõëå. 5. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà Í. Òðóäèíãåðà. 6. Èíòåãðèðóåìîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ðåøåíèé. Ôóíêöèè Ëÿïóíîâà. 7. Ìåòîä èòåðàöèé Þ. Ìîçåðà. Íåðàâåíñòâî Õàðíàêà äëÿ ñëàáûõ ðåøåíèé. 8. Àïðèîðíûå îöåíêè è ïîâûøåíèå ãëàäêîñòè ñëàáîãî ðåøåíèÿ. 9. Ñèëüíûå ðåøåíèÿ. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà À.Ä. Àëåêñàíäðîâà. 1 2 10. 11. 12. 13. 14. 15. k ãåññèàíû è îáîáùåíèÿ ïðèíöèïà ìàêñèìóìà À.Ä. Àëåêñàíäðîâà. Îöåíêè Êðûëîâà-Ñàôîíîâà. Íåðàâåíñòâî Õàðíàêà äëÿ ñèëüíûõ ðåøåíèé. Ïåðåíîðìèðîâàííûå ðåøåíèÿ Ï. Áàóìàí. Îöåíêè ôóíêöèè Ãðèíà. Lp îöåíêè è ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Äèðèõëå. Ëåììà Çàðåìáû-Õîïôà-Îëåéíèê. Ãðàíè÷íûå îöåíêè ïðîèçâîäíîé. Ëåììà Íàäèðàøâèëè. Çàäà÷à Íåéìàíà. Ëèòåðàòóðà 1. Ãèëáàðã Ä., Òðóäèíãåð Í. Ýëëèïòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà. Íàóêà, Ì., 1989. 2. Êîíäðàòüåâ Â.À., Ëàíäèñ Å.Ì. Êà÷åñòâåííàÿ òåîðèÿ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà. Èòîãè íàóêè è òåõí. Ñåð. Ñîâðåì. ïðîáë. ìàò. Ôóíäàì. íàïðàâëåíèÿ, 1988, ò. 32, ñ. 99215. 3. Ëàäûæåíñêàÿ Î.À., Óðàëüöåâà Í.Í. Ëèíåéíûå è êâàçèëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà. Íàóêà, Ì., 1973. 4. Ýâàíñ, Ë. Ê. Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè : ïåð. ñ àíãë. Ë. Ê. Ýâàíñ . Íîâîñèáèðñê : Òàìàðà Ðîæêîâñêàÿ, 2003 . 576 ñ. (Óíèâåðñèòåòñêàÿ ñåðèÿ ; Ò. 7). 5. Krylov N.V. Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Sobolev Spaces (Graduate Studies in Mathematics) 2008.