Программа к экзамену по аналитической геометрии

Программа к экзамену по аналитической геометрии
2009/10 уч. год, лектор А.Я.Овсянников
1. Понятие линейного пространства. Аксиомы, примеры, следствия из аксиом.
2. Линейно зависимые и независимые системы векторов.
3. Базисы и координаты векторов в линейных пространствах.
4. Замена базиса. Замена системы координат.
5. Понятие аффинного пространства. Системы координат. Деление направленного отрезка
в данном отношении.
6. Компоненты и проекции векторов.
7. Скалярное произведение. Евклидовы пространства. Ортогональность векторов.
8. Матрица Грама. Скалярное произведение в координатах. Длины векторов,
углы между векторами.
9. Ориентация системы векторов. Векторное произведение. Определение и
простейшие свойства.
10. Смешанное произведение. Определение и свойства. Критерий компланарности векторов.
11. Свойства векторного произведения, доказываемые с помощью смешанного произведения.
12. Понятие взаимного базиса. Векторное произведение в координатах. Приложения
векторного произведения к вычислению площадей.
13. Смешанное произведение в координатах. Приложения к вычислению объемов и определению ориентации тройки векторов.
14. Двойное векторное произведение.
15. Геометрический образ уравнения на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости.
16. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми, условие
перпендикулярности.
17. Полуплоскости и полупространства.
18. Расстояние от точки до прямой на плоскости и от точки до плоскости в
пространстве. Нормированные уравнения прямой на плоскости и плоскости в
пространстве.
19. Виды уравнений плоскости.
20. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями.
21. Виды уравнений прямой в пространстве. Взаимное расположение плоскости
и прямой.
22. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Взаимное расположение
двух прямых в пространстве.
23. Вывод уравнения эллипса. Исследование формы.
24. Вывод уравнения гиперболы. Исследование формы.
25. Директориальные свойства эллипса и гиперболы.
26. Касательные к эллипсу и гиперболе. Оптические свойства эллипса и гиперболы.
27. Парабола. Вывод уравнения, исследование формы. Касательная к параболе.
Оптическое свойство параболы.
28. Квадрики на плоскости и в пространстве. Корректность определения.
29. Преобразование уравнения квадрики на плоскости.
30. Классификация квадрик на плоскости.
31. Примеры квадрик в пространстве. Эллипсоид, гиперболоиды.
32. Примеры квадрик в пространстве. Параболоиды.
33. Линейчатые поверхности. Конус и цилиндры второго порядка.
34. Преобразование уравнения квадрики в пространстве.
35. Классификация квадрик в пространстве.
36. Прямолинейные образующие квадрик в пространстве.