ÇÀÄÀ×ÍÈÊ ðàäèóñà. Òàêèì îáðàçîì, íà îêðóæíîñòè Q èìååòñÿ n ñèíèõ è n êðàñíûõ òî÷åê, ïðè ýòîì êðàñíûå òî÷êè êàê-òî çàíóìåðîâàíû ÷èñëàìè îò 1 äî n. Ïóñòü Ñ ñèíÿÿ òî÷êà, â êîòîðóþ ïåðåõîäèò n-ÿ êðàñíàÿ òî÷êà. Áëèæàéøóþ ê Ñ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå òî÷êó (èç îòìå÷åííûõ 2n òî÷åê) îáîçíà÷èì áóêâîé K. Óÿñíèì äëÿ ñåáÿ, ÷òî K êðàñíàÿ òî÷êà. Ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî K ìîæåò áûòü ñèíåé òî÷êîé, ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ òåì, ÷òî â òî÷êó Ñ ïåðåõîäèò n-ÿ êðàñíàÿ òî÷êà. Êàæäàÿ êðàñíàÿ òî÷êà ïðè ïåðåõîäå â ñèíþþ âû÷åð÷èâàåò íà îêðóæíîñòè Q äóãó ïîâîðîòà. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî äóãà CK (îò òî÷êè Ñ ê òî÷êå K ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå) íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ íèêàêîé äóãè ïîâîðîòà ïðè èñõîäíîé íóìåðàöèè êðàñíûõ òî÷åê. Íî ðåøàþùåå ñâîéñòâî äóãè CK ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíà íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ íèêàêîé äóãè ïîâîðîòà ïðè âñÿêîé íóìåðàöèè êðàñíûõ òî÷åê. ×òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, ðàçâåðíåì äóãó KC, íà êîòîðîé íàõîäÿòñÿ âñå îòìå÷åííûå òî÷êè, â âèäå ïðÿìîëèíåéíîãî îòðåçêà KC (òî÷êà K ëåâûé êîíåö, òî÷êà Ñ ïðàâûé). Ïðè ýòîì âñÿêàÿ äóãà ïîâîðîòà ïðè èñõîäíîé íóìåðàöèè êðàñíûõ òî÷åê ïðåâðàòèòñÿ â âåêòîð, èäóùèé ñëåâà íàïðàâî èç êðàñíîé òî÷êè â ñèíþþ. Òàê ÷òî ëåâåå âñÿêîé òî÷êè îòðåçêà KC íàõîäèòñÿ êðàñíûõ òî÷åê íå ìåíüøå, ÷åì ñèíèõ. Èç ýòîãî ôàêòà ñëåäóåò ðåøàþùåå ñâîéñòâî äóãè CK, î êîòîðîì ñêàçàíî âûøå. Ïîýòîìó ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ïðè âñÿêîé íóìåðàöèè êðàñíûõ òî÷åê ëþáàÿ äóãà ïîâîðîòà áóäåò ïðåäñòàâëÿòüñÿ âåêòîðîì íà îòðåçêå KC, èäóùåì ñëåâà íàïðàâî èç êðàñíîé òî÷êè â ñèíþþ. Ñóììà äëèí òàêèõ âåêòîðîâ âñåãäà ðàâíà ðàçíîñòè ñóììû êîîðäèíàò ñèíèõ òî÷åê è ñóììû êîîðäèíàò êðàñíûõ òî÷åê. Íî ïîñòîÿíñòâî ñóììû äëèí âåêòîðîâ ðàâíîñèëüíî ïîñòîÿíñòâó ñóììû óãëîâ ïîâîðîòîâ. Â.Ïðîèçâîëîâ Ì1724.  òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ïðîâåäåíû âûñîòû AD è ÑÅ, ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êå Î. Ïðÿìàÿ DE ïåðåñåêàåò ïðîäîëæåíèå ñòîðîB íû ÀÑ â òî÷êå K. Äîêàæèòå, ÷òî ìåäèàíà ÂÌ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿìîé OK (ðèñ.1). D Äîêàæåì, ÷òî ïðÿìàÿ ÎÌ ïåðïåíäèêóëÿðE íà KB. Îòñþäà íåO ïîñðåäñòâåííî áóäåò C K A M ñëåäîâàòü óòâåðæäåÐèñ.1 íèå çàäà÷è, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå Î B îêàæåòñÿ îðòîöåíòðîì òðåóãîëüíèêà KBM (ðèñ.2). Ïóñòü îñíîâàíèåì ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè D Î íà ïðÿìóþ BK, ñëóæèò òî÷êà N E (ðèñ.3). Ïîñêîëüêó O òî÷êè Å è N ëåæàò íà C K îêðóæíîñòè ñ äèàìåòA M Ðèñ.2 ðîì ÎÂ, òî óãîë BND 6 Êâàíò ¹5 «ÊÂÀÍÒÀ» ðàâåí óãëó BED. ÀíàB ëîãè÷íî, ÷åòûðåõóãîëüíèê AEDC âïèñàí â îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì ÀÑ. Ïîýòîìó óãîë BED ðàâåí óãëó ÀÑÂ. Òàêèì D N îáðàçîì, ñóììà óãëîâ KND è ÀÑ ðàâíà E 180°, ò.å. ÷åòûðåõóO ãîëüíèê KNDC âïè- K C A M ñàííûé. Çíà÷èò, óãîë NCK ðàâåí óãëó Ðèñ.3 NDK. Íî óãîë NDE ðàâåí óãëó NBE â ñèëó òîãî, ÷òî òî÷êè B, D, E è N, êàê ìû óæå îòìå÷àëè, ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì ÎÂ. Ïîýòîìó B ðàâíû óãëû NBA è NCA. Ò.å. òî÷êà N ëåæèò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ. D Íàì îñòàëîñü ñîN âñåì íåìíîãî. ÏðîE äîëæèì ïðÿìóþ NO äî ïåðåñå÷åO íèÿ ñ îïèñàííîé K C A îêðóæíîñòüþ òðåP óãîëüíèêà ÀÂÑ â Ðèñ.4 òî÷êå Ð (ðèñ.4). Òàê êàê óãîë BNP ïðÿìîé, òî ÂÐ äèàìåòð ýòîé îêðóæíîñòè. Çíà÷èò, óãëû ÂÀÐ è ÂÑÐ ïðÿìûå. Ïîýòîìó îòðåçîê ÀÐ ïàðàëëåëåí ÑÅ, à ÐÑ ïàðàëëåëåí AD. Íî îòñþäà ÀÐÑÎ ïàðàëëåëîãðàìì, è ïðÿìàÿ NO äåëèò ÀÑ ïîïîëàì, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ì.Âîë÷êåâè÷ Ì1725 *. Èç êâàäðàòà > C > C 2n + 1 × 2n + 1 êëåò÷àòîé áóìàãè âûðåçàíà êðåñòîîáðàçíàÿ ôèãóðà F (ðèñ.1). Äîêàæèòå, ÷òî à) ôèãóðó F íåëüçÿ ðàçðåçàòü íà 2n âûïóêëûõ ôèãóð; á) åñëè ôèãóðà F ðàçðåçàíà íà 2n + 1 âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ, òî êàæäûé èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì. à) Ôèãóðà F ÿâëÿåòñÿ ìíîãîóãîëüíèêîì, êîòîðûé ìîæíî çàêëþ÷èòü â êâàäðàò ABCD òàê, ÷òî íà êàæäîé ñòîðîíå êâàäðàòà îêàæåò- A ñÿ ðîâíî n + 1 óãëîâûõ âåðøèí ìíîãîóãîëüíèêà F (ðèñ.2). Äîïóñòèì, ÷òî F ìîæíî ðàçðåçàòü íà 2n âûïóêëûõ ôèãóð: F = Ðèñ.2 F n+ Ðèñ.1 B C D