## ÎËÈÌÏÈÀÄÛ Â ÷åðåç 9 ÷àñîâ ïîñëå âñòðå÷è, à àâòîìîáèëü, âûåõàâøèé èç Â, ïðèåõàë â À ÷åðåç 4 ÷àñà ïîñëå âñòðå÷è? 2. Âåðøèíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ëåæàò íà ñòîðîíàõ ÷åòûðåõóãîëüíèêà A1B1C1D1 . Ìîæåò ëè ïëîùàäü ABCD áûòü áîëüøå ïëîùàäè A1B1C1D1 ? 3. ßâëÿåòñÿ ëè ÷èñëî 16016003 ïðîñòûì? 4. Ñêîëüêî ñòîðîí ó âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà, åñëè ÷èñëî åãî äèàãîíàëåé ðàâíî 119? 5. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ìåñÿöåâ, ñîäåðæàùèõ 5 ïÿòíèö, ìîæåò áûòü â ãîäó? 6. Äàíû ïðÿìàÿ l è òî÷êà A âíå åå. Ïðîâåäÿ âñåãî 3 ëèíèè öèðêóëåì è ëèíåéêîé, ïîñòðîéòå ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó A ïàðàëëåëüíî l. 7. Êàêîå èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a èëè b áîëüøå, åñëè 1 a 1 - b > ? 4 8.  îäíîêðóãîâîì òóðíèðå ïî âîëåéáîëó (çà ïîáåäó ïðèñóæäàåòñÿ îäíî î÷êî, çà ïîðàæåíèå íîëü, íè÷üèõ íå áûâàåò) ó÷àñòâîâàëè 12 êîìàíä. Ìîæíî ëè âûáðàòü òðè êîìàíäû À,  è Ñ òàê, ÷òîáû À âûèãðàëà ó Â,  ó Ñ, à Ñ ó À, åñëè íè îäíà èç êîìàíä íå íàáðàëà 7 î÷êîâ? 9. Ñêîëüêî ñåé÷àñ ëåò ìîåìó ïëåìÿííèêó, åñëè â x 2 ãîäó åìó èñïîëíèòñÿ x ëåò? 10. Òðè ìîòîöèêëèñòà À,  è Ñ âûåõàëè èç îäíîé òî÷êè êîëüöåâîé äîðîãè ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè â îäíîì íàïðàâëåíèè. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ îíè ñíîâà îêàçàëèñü â îäíîé òî÷êå. Ñêîëüêî ðàç ìîòîöèêëèñò À îáãîíÿë Ñ, åñëè À îáãîíÿë  3 ðàçà, à  îáãîíÿë Ñ 4 ðàçà? ÔÈÇÈÊÀ 1. Êàê äâóì ó÷àñòíèêàì ìàðàôîíà ïðåîäîëåòü ãëóáîêóþ ðàñùåëèíó â ãðå÷åñêèõ ãîðàõ, åñëè â èõ ðàñïîðÿæåíèè åñòü òîëüêî äâå ëåãêèå, íî ïðî÷íûå äîñêè, äëèíà êàæäîé èç êîòîðûõ íåìíîãî ìåíüøå øèðèíû ðàñùåëèíû? 2. Øàðèê äëÿ ïèíã-ïîíãà áðîñèëè âåðòèêàëüíî ââåðõ. ×òî çàéìåò áîëüøå âðåìåíè ïîäúåì èëè ïàäåíèå? Ïî÷åìó? 3. Îäèí èç ó÷àñòíèêîâ îëèìïèàäû çàáëóäèëñÿ â ëåñó. Ñòåìíåëî. Âäðóã îí îáî ÷òî-òî ñïîòêíóëñÿ. Ïðè ñâåòå ñïè÷êè îí óâèäåë âîäîïðîâîäíóþ òðóáó. Êàê îí ìîæåò îïðåäåëèòü, â êàêóþ ñòîðîíó òå÷åò âîäà ïî òðóáå? 4. Äëÿ õðàíåíèÿ æèâîé ðûáû ðûáàê ñäåëàë â ëîäêå ÿùèê ñ îòâåðñòèåì â äíå ëîäêè. Áóäåò ëè ëîäêà ïëàâàòü èëè óòîíåò? Ïî÷åìó? 5. Ñêîëüêî âðåìåíè ïàäàëà áû Çåìëÿ íà Ñîëíöå, åñëè áû îíà âíåçàïíî îñòàíîâèëàñü? 6.  äâóõ îäèíàêîâûõ ÷àéíèêàõ, ñòîÿùèõ íà îäèíàêîâûõ ãîðåëêàõ, êèïèò âîäà. Ó îäíîãî ÷àéíèêà êðûøêà íåïîäâèæíà, à ó äðóãîãî âñå âðåìÿ áðåí÷èò è ïîäïðûãèâàåò. Ïî÷åìó? 7. Âî ñêîëüêî ðàç âîçðàñòåò ïîëåçíàÿ ìîùíîñòü âåíòèëÿòîðà ïðè óâåëè÷åíèè ñêîðîñòè âðàùåíèÿ â äâà ðàçà? 8. Êîñìîíàâò îòòîëêíóëñÿ îò îðáèòàëüíîé ñòàíöèè íà âûñîòå 400 êì îò Çåìëè è ïîëåòåë â åå ñòîðîíó ñî ñêîðîñòüþ 5 ì/ñ. Êàê ñêîðî îí óïàäåò íà Çåìëþ? 9. Àíòè÷íûå èñòî÷íèêè îïèñûâàþò ìàÿòíèêîâûå ÷àñû äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ âíå ïîìåùåíèé, ñäåëàííûå â âèäå òîíêîé òðóáêè, çàêàí÷èâàþùåéñÿ ðåçåðâóàðîì ñî ðòóòüþ.  ÷åì ñìûñë òàêîãî óñòðîéñòâà? 10. Êàê äàëåêî îò âàñ íàõîäèòñÿ ëèíèÿ âèäèìîãî ãîðèçîíòà, åñëè âû ïëûâåòå â ëîäêå ïðè ïîëíîì øòèëå âíå âèäèìîñòè áåðåãîâ? Ñ÷èòàéòå, ÷òî ëèíèÿ ãëàç íàõîäèòñÿ íà âûñîòå 1 ì. Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 1. Ëåãåíäàðíàÿ øêîëà Ïèôàãîðà, çàëîæèâøàÿ îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêè, ñðåäè ïðî÷èõ çàäà÷ çàíèìàëàñü çàäà÷åé î öåëî÷èñëåííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêàõ.  ÷àñòíîñòè, ïèôàãîðåéöû íàøëè áåñêîíå÷íûå ñåðèè (íå âñå) òðîåê íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (a, b, c), äëÿ êîòîðûõ a2 + b2 = c2 . Âñëåä çà ïèôàãîðåéöàìè âûÿñíèòå, ñóùåñòâóåò ëè öåëî÷èñëåííûé ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, îäíèì èç êàòåòîâ êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî à) 2001; á) 2k + 1 , ãäå k ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. 2.  äðåâíåì Åãèïòå ïðåäñòàâëÿëè äðîáè â âèäå ñóììû 1 ðàçëè÷íûõ äîëåé (ò.å. äðîáåé âèäà ).  ïàïèðóñå æðåöà n Àõìåñà èìåëèñü äàæå òàáëèöû òàêèõ ïðåäñòàâëåíèé äëÿ 2 äðîáåé âèäà äëÿ 5 £ n £ 99 . Ïðåäñòàâüòå â âèäå ñóììû n 2 7 ; á) . äîëåé äðîáè à) 19 19 3. Àðõèìåä ïðè âû÷èñëåíèÿõ, ñâÿçàííûõ ñ îêðóæíîñòüþ, ïîëüçîâàëñÿ óòâåðæäåíèåì, êîòîðîå â ñîâðåìåííîé ôîðìóëèðîâêå âûãëÿäèò òàê: «Â äóãó AB âïèñàíà ëîìàíàÿ AMB èç äâóõ îòðåçêîâ ( AM > MB ). Òîãäà îñíîâàíèå ïåðïåíäèêóëÿðà KH, îïóùåííîãî èç ñåðåäèíû K äóãè AB íà îòðåçîê AM, äåëèò ëîìàíóþ ïîïîëàì: AH = HM + MB». à) Äîêàæèòå óòâåðæäåíèå Àðõèìåäà. á) Êàêóþ òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôîðìóëó çàìåíÿëî â âû÷èñëåíèÿõ Àðõèìåäà ýòî óòâåðæäåíèå? Çàïèøèòå ýòó ôîðìóëó. 4. Ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê ìîíàõ Ìàðèí Ìåðñåíí (1588 1648) ñîñòîÿë â ïåðåïèñêå ñ êðóïíåéøèìè ìàòåìàòèêàìè ñâîåãî âðåìåíè (Ôåðìà, Ïàñêàëåì, Äåêàðòîì è äð.). Åãî ïåðåïèñêà èñïîëíÿëà ðîëü ñâîåãî ðîäà ìàòåìàòè÷åñêîãî æóðíàëà. Ñàì Ìåðñåíí èçó÷àë, ñðåäè ïðî÷åãî, ñîâåðøåííûå ÷èñëà, ò.å. ÷èñëà, ðàâíûå ñóììå ñâîèõ äåëèòåëåé, îòëè÷íûõ îò ñàìîãî ÷èñëà. Ñîâåðøåííûå ÷èñëà ñâÿçàíû ñ ïðîñòûìè ÷èñëàìè Ìåðñåííà, ò.å. ñ ïðîñòûìè ÷èñëàìè âèäà 2n - 1 : âñÿêîå ÷åòíîå ñîâåðøåííîå ÷èñëî èìååò âèä 2n -1 2n - 1 , åñëè 2n - 1 ïðîñòîå ÷èñëî. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè 2n - 1 ïðîñòîå ÷èñëî, òî è n ïðîñòîå. 5. 5 àâãóñòà 2002 ãîäà èñïîëíèëîñü 200 ëåò ñî äíÿ ðîæäåíèÿ âåëèêîãî ìàòåìàòèêà, ïðîæèâøåãî î÷åíü êîðîòêóþ æèçíü íåïîëíûõ 27 ëåò. Îí âíåñ ãèãàíòñêèé âêëàä âî ìíîãèå ðàçäåëû ìàòåìàòèêè. Òåîðåìû è òåðìèíû, ñâÿçàííûå ñ åãî èìåíåì, èçâåñòíû âñåì ìàòåìàòèêàì, íà÷èíàÿ ñ ïåðâîãî êóðñà óíèâåðñèòåòà. Îäíèì èç ñàìûõ åãî çàìå÷àòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, îêîí÷àòåëüíî ðåøèâøåé ïðîáëåìó, ñâÿçàííóþ ñ àëãåáðàè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè, è íå ïîääàâàâøóþñÿ óñèëèÿì ìàòåìàòèêîâ â òå÷åíèå ìíîãèõ ñòîëåòèé. Êòî ýòîò ìàòåìàòèê è î êàêîé òåîðåìå èäåò ðå÷ü? Íàçîâèòå êàêèå-íèáóäü èçâåñòíûå âàì òåðìèíû, òåîðåìû è ôàêòû, ñâÿçàííûå ñ åãî èìåíåì. ÔÈÇÈÊÀ 1. Ó÷åíûå è ó÷åíèÿ Äðåâíåé Ãðåöèè: à) Êîìó èç äðåâíåãðå÷åñêèõ ó÷åíûõ ïðèíàäëåæèò ó÷åíèå, ÷òî «íè îäíà âåùü íå âîçíèêàåò áåñïðè÷èííî, âñå âîçíèêàåò íà êàêîì-íèáóäü îñíîâàíèè è â ñèëó íåîáõîäèìîñòè» (ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè) è «âñå âåùè ñîñòîÿò èç àòîìîâ è ïóñòîòû, âñå ÿâëåíèÿ ïðèðîäû ïðîèñõîäÿò â ðåçóëüòàòå èõ äâèæåíèÿ»? á) Êîìó ïåðâîìó ïðèíàäëåæèò ãèïîòåçà î øàðîîáðàçíîñòè Çåìëè? â) Êòî ñôîðìóëèðîâàë ïðàâèëî ïàðàëëåëîãðàììà äëÿ ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé: «åñëè äâèæèìîå äâèæåòñÿ ñðàçó äâóìÿ äâèæåíèÿìè òàê, ÷òî ïðîñòðàíñòâà, ïðîáåãàåìûå â îäíî è òî æå âðåìÿ, íàõîäÿòñÿ â ïîñòîÿííîì îòíîøåíèè, òî ýòî äâèæèìîå äâèæåòñÿ ïî äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà, äëèíà ñòîðîí êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òîì æå îòíîøåíèè»? 2. Îòêëîíåíèå ñâåòà, èñïóùåííîãî çâåçäîé â ïîëå òÿãîòåíèÿ Ñîëíöà, îäèí èç ïåðâûõ ýôôåêòîâ, ïðàâèëüíî ðàññ÷èòàííûõ îáùåé òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà, áûëî