57 - Квант

ÎÒÂÅÒÛ,
Î÷åâèäíî, ñóììà öèôð ÷èñëà n ðàâíà s. Ïîñêîëüêó 10
a
b
r
ÓÊÀÇÀÍÈß,
b g
max a,b
b s −1 g r
2r
äåëèòñÿ íàöåëî íà 2 ⋅ 5 è 1 + 10 + 10 + ... + 10
≡
≡ s ≡ 0 (mod t), ÷èñëî n êðàòíî s.
36. 2a +1 ⋅ 5b –1
37. à) ϕ pq = pq − q − p + 1 = p − 1 q − 1 .
38. à) x = 3; á) x = 3, y = 2.
40. ϕ n 2 .
41. à) Ïóñòü ïðîñòîå ÷èñëî p âõîäèò â ðàçëîæåíèÿ ÷èñåë m è
n íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, ñîîòâåòñòâåííî, â s-é è t-é ñòåïåíÿõ. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïóñòü s ≤ t . Åñëè s > 0, òî ÷èñëî p
âõîäèò â ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ÷èñåë ÍÎÊ(m,n)
è ÍÎÄ(m,n) â t-é è s-é ñòåïåíÿõ. Çíà÷èò, åñëè s > 0, òî áëàãîäàðÿ ÷èñëó p ïðè ïîäñ÷åòå çíà÷åíèé ôóíêöèè Ýéëåðà ϕ m ,
ϕ n , ϕ ÍÎÊ m, n è ϕ ÍÎÄ m, n âîçíèêíóò, ñîîòâåòñòâåí-
b g
b
b gi
b
bg d
g
bg
b g
b gi
b g
d
g
s −1
gb
t −1
t −1
b
g
s −1
b
g
íî, ìíîæèòåëè p
p −1 , p
p −1 , p
p −1 è p
p −1 .
Åñëè æå s = 0, òî p íå âõîäèò â ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ÷èñåë m è ÍÎÄ(m,n), à â ðàçëîæåíèÿ ÷èñåë n è
ÍÎÊ(m,n) îíî âõîäèò â îäíîé è òîé æå ñòåïåíè.
â) Ñëåäóåò èç ïóíêòîâ à) è á).
ã) Ïîñêîëüêó ÍÎÄ m, n > ϕ ÍÎÄ m, n , èç ðàâåíñòâà ïðå-
b g
b gi
b gbg b g
d
äûäóùåãî ïóíêòà ñëåäóåò, ÷òî ϕ m ϕ n < ϕ mn .
42. à) x = 19, 38, 27 èëè 54.
á) x = 13, 26, 21, 42, 28 èëè 36.
â) Òàê êàê ïðè x > 2 ÷èñëî ϕ x ÷åòíî, òî ÷åòíûì äîëæíî
áûòü è ñàìî ÷èñëî x. Ïîñêîëüêó êàæäîå âòîðîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî ÷åòíî, ϕ x ≤ x 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, 12 = x – ϕ x ≥ x –
x
x
= , îòêóäà x ≤ 24. Îòâåò: x = 18, 20 èëè 22.
–
2
2
ã) Îòâåò: x – ïðîñòîå ÷èñëî. Óêàçàíèå. Åñëè p – ïðîñòîå
bg
bg
bg
e j
2m
2 m −1
2m
= p – p
÷èñëî, m – íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ϕ p
≤
m
2m
≤ p
– p , ïðè÷åì íåðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî
ëèøü ïðè m = 1. Äàëåå, äëÿ ëþáûõ îòëè÷íûõ îò 1 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë x è y äîêàæèòå íåðàâåíñòâî
j b g − xy .
Òåïåðü ëåãêî äîêàçàòü, ÷òî ϕ e x j < x − x äëÿ ëþáîãî ñîñòàâex
2
je
2
− x y − y < xy
2
2
2
íîãî ÷èñëà
x.
m
ä) x = 2 , ãäå m – íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
å) ×èñëî x êðàòíî 3. Ïîýòîìó åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
m
x = 3 y , ãäå m – íàòóðàëüíîå ÷èñëî, à y íå êðàòíî 3. Ïî-
e jϕb y g = 2 ⋅ 3 ϕb y g , òî óðàâíåíèå
ϕ b x g = x 3 ïðèíèìàåò âèä 2 ϕ b y g = y. Ïîñëåäíåìó óðàâíåíèþ
e j
m
ñêîëüêó ϕ 3 y = ϕ 3
m
m −1
óäîâëåòâîðÿþò, êàê ìû çíàåì èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà
ýòîãî
k
m
óïðàæíåíèÿ, òîëüêî ñòåïåíè äâîéêè. Îòâåò: x = 2 ⋅ 3 , ãäå
k, m – íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
æ) Óêàçàíèå. Åñëè áû â ðàçëîæåíèè ÷èñëà x íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ñîäåðæàëîñü áîëåå îäíîãî íå÷åòíîãî ïðîñòîãî ÷èñëà,
òî ñòåïåíü äâîéêè â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà áûëà áû âûøå,
k m
÷åì â ïðàâîé. Åñëè x = 2 p , ãäå k, m – íàòóðàëüíûå ÷èñëà,
k −1
m −1
p – íå÷åòíîå ïðîñòîå ÷èñëî, òî ϕ x = 2
p − 1 p , è óðàâíåíèå ϕ x = x n ìîæíî çàïèñàòü â âèäå p – 1 = 2p n .
Îòâåò: ðåøåíèé íåò.
ç) Â ñèëó ïóíêòà â) ïðåäûäóùåãî óïðàæíåíèÿ,
ϕ nx ≥ ϕ n ϕ x . Ñëåäîâàòåëüíî, ϕ n ≤ 1 , ò.å. n = 2. Ïðè
n = 2 â êà÷åñòâå x ìîæíî âçÿòü ëþáîå íå÷åòíîå ÷èñëî.
43. â) Çàäà÷ó óäîáíî ðåøàòü ñ êîíöà, ò.å. èñêàòü êðàò÷àéøèé
ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ íóëÿ èç ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà n ñ ïîìîùüþ
äâóõ îïåðàöèé – âû÷èòàíèÿ åäèíèöû è äåëåíèÿ ïîïîëàì.
Ïóñòü f(n) – ÷èñëî îïåðàöèé â òàêîì êðàò÷àéøåì ñïîñîáå.
Åñëè n = 2k + 1 – íå÷åòíîå ÷èñëî, òî äåëèòü åãî ïîïîëàì
íåëüçÿ, òàê ÷òî f(2k + 1) = 1 + f(2k). Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî
k, ÷òî f(2k) = 1 + f(k). Äëÿ k = 1 ýòî ÿñíî. Ïóñòü óòâåðæäåíèå äîêàçàíî äëÿ âñåõ k < K. Åñëè èç ÷èñëà 2K ñíà÷àëà âû÷åñòü åäèíèöó, òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ íóëÿ ïîòðåáóåòñÿ êàê ìèíèìóì 1 + f(2K – 1) = 2 + f(2K – 2) = 3 + f(K– 1) îïåðàöèé.
bg
b g bgbg
b
bg
bg
g
ÐÅØÅÍÈß
57
Åñëè æå ñíà÷àëà ðàçäåëèòü 2K ïîïîëàì, òî ïîòðåáóåòñÿ ëèøü
1 + f(K) ≤ 2 + f(K – 1) îïåðàöèé. Òåïåðü èíäóêöèåé ïî m
ëåãêî äîêàçàòü, ÷òî f(n) = m + am + am −1 + ... + a1 + a0 .
à), á)  ÷àñòíîñòè, f 100 = f 1100100 2 = 6 + 1 + 1 + 0 +
b g d
b g d
i
i
+ 0 + 1 + 0 + 0 = 9 è f 9907 = f 100110101100112 = 13 + 1 +
+ 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 = 21.
44. á) The magic words are squeamish ossifrage.
Êàëåéäîñêîï«Êâàíòà»
Âîïðîñû è çàäà÷è
1. Ïîñêîëüêó îáà òåëà äâèæóòñÿ ñ îäèíàêîâûìè óñêîðåíèÿìè,
ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè áóäåò îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûì.
2. Âåñ ÷åëîâåêà, ïîëíîñòüþ ïîãðóæåííîãî â âîäó, ïðîïîðöèîíàëåí óñêîðåíèþ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ è ðàçíîñòè ïëîòíîñòåé
åãî òåëà è âîäû. Åñëè âîäà íà Çåìëå è íà Ëóíå îäíà è òà æå,
òî ëåã÷å ïëàâàòü íà Ëóíå, ãäå óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ
ïðèìåðíî â 6 ðàç ìåíüøå, ÷åì íà Çåìëå.
3. Äà.
4. Ïî çàêîíó âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò Çåìëè ñèëà ïðèòÿæåíèÿ óìåíüøàåòñÿ îò mg äî íóëÿ. Ïîýòîìó âåñ
òåëà óáûâàåò îò 2mg ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè äî mg íà áåñêîíå÷íîñòè.
5. Íåò.
6. Êîñìîíàâòàì ïðèõîäèòñÿ ñïàòü âíèç ãîëîâîé, ÷òîáû îáåñïå÷èòü ïðèâû÷íûé çà âðåìÿ ïîëåòà ïðèòîê â íåå êðîâè, êàê â
íåâåñîìîñòè.
7. Äà, ïîñêîëüêó íåâåñîìîñòü íå ñêàçûâàåòñÿ íà òåïëîâîì
ðàñøèðåíèè æèäêîñòè.
8. Íåò.
9. Ýòî ñâÿçàíî ñ âðàùåíèåì Çåìëè âîêðóã ñîáñòâåííîé îñè.
10. Ó êðóïíûõ ìàññèâíûõ òåë ñèëà òÿæåñòè ïðåîáëàäàåò íàä
ñèëîé óïðóãîñòè è «òîïèò» ëþáóþ âûñòóïàþùóþ ÷àñòü ïëàíåòû. Íà àñòåðîèäàõ è ÿäðàõ êîìåò ñèëà òÿæåñòè íè÷òîæíà, èõ
ôîðìà îïðåäåëÿåòñÿ ïðîöåññàìè ñîóäàðåíèÿ, ñëèïàíèÿ è ðàçðóøåíèÿ, ïîýòîìó ìîæåò áûòü âåñüìà ðàçíîîáðàçíîé.
11. Èç-çà ñïëþñíóòîñòè Çåìíîãî øàðà ó ïîëþñîâ äëèíà ïóòè
ïî ìåðèäèàíó áóäåò ìåíüøå, ÷åì ïî ýêâàòîðó; ïîýòîìó âòîðîé
ïóòåøåñòâåííèê âåðíåòñÿ ðàíüøå.
12. Ñî ñêîðîñòüþ, ïðè êîòîðîé ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü íà ýêâàòîðå ñðàâíÿåòñÿ ñ ïåðâîé êîñìè÷åñêîé ñêîðîñòüþ.
13. Îáðàòèìñÿ ê îáúÿñíåíèþ Ðè÷àðäà Ôåéíìàíà: «… ïðèòÿæåíèå Ëóíîé ñóøè è âîäû óðàâíîâåøåíî â öåíòðå < Çåìëè –
À.Ë. >. Íî ïðèòÿæåíèå Ëóíîé òåõ ìàññ âîäû, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ íà «ëóííîé» ñòîðîíå Çåìëè, ñèëüíåå, ÷åì ñðåäíåå ïðèòÿæåíèå âñåé Çåìëè, à ïðèòÿæåíèå ìàññ âîäû íà îáðàòíîé
ñòîðîíå Çåìëè ñëàáåå ñðåäíåãî. Êðîìå òîãî, âîäà â îòëè÷èå
îò ñóøè ìîæåò òå÷ü. Èñòèííàÿ ïðè÷èíà ïðèëèâîâ îïðåäåëÿåòñÿ ýòèìè äâóìÿ ôàêòîðàìè».
14. Íà ïðèëèâíîå äåéñòâèå Ëóíû íàêëàäûâàåòñÿ ïðèëèâíîå
äåéñòâèå Ñîëíöà.
15. Â òå äàëåêèå âðåìåíà (îêîëî äâóõ ìèëëèàðäîâ ëåò íàçàä)
çàòìåíèÿ áûëè íå òîëüêî áîëåå ïðîäîëæèòåëüíûìè, íî è çíà÷èòåëüíî áîëåå ÷àñòûìè – âåäü ëóííàÿ òåíü ïîêðûâàëà çíà÷èòåëüíî áîëüøóþ ïëîùàäü Çåìëè, ÷åì ñåé÷àñ.
16. Èç-çà íåîäíîðîäíîñòè ïîëÿ òÿãîòåíèÿ Ñîëíöà äàæå íà
ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé ïëàíåòå, íå âðàùàþùåéñÿ âîêðóã
ñâîåé îñè, óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ â ðàçíûõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû îêàçàëèñü áû íåîäèíàêîâûìè.
Ìèêðîîïûò
Íåò. Íà âàñ ñî ñòîðîíû âîäû äåéñòâóåò âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà,
ðàâíàÿ ñèëå òÿæåñòè; çíà÷èò, ñ âàøåé ñòîðîíû íà âîäó äåéñòâóåò âàø âåñ.
Äâåçàäà÷èÀðõèìåäà
1. Ïóñòü ÀÂ = 2R, ÀÑ = 2r, òîãäà ïëîùàäü àðáåëîíà S =
2
2
2
2
= π R −r − R−r
2 = πr R − r . Èç ðàâåíñòâà CD =
e
b
gj
b
g