ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Çàêîíû Ïàñêàëÿ è Àðõèìåäà À.ØÅÐÎÍΠΠÇÀÊÎÍÓ ÏÀÑÊÀËß, ÄÀÂëåíèå â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ â æèäêîñòè èëè ãàçå, ïåðåäàåòñÿ âî âñå ñòîðîíû áåç èçìåíåíèé.  ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Àðõèìåäà, íà òåëî, ïîãðóæåííîå â æèäêîñòü èëè ãàç, äåéñòâóåò âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ âåñó æèäêîñòè èëè ãàçà, âûòåñíåííîãî ýòèì òåëîì.  ïîëå òÿæåñòè â æèäêîñòÿõ èëè ãàçàõ äàâëåíèå â òî÷êàõ, îòëè÷àþùèõñÿ ïî âûñîòå íà h, èçìåíÿåòñÿ íà ρgh , ãäå ρ ïëîòíîñòü æèäêîñòè èëè ãàçà, g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå õàðàêòåðíûå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ çàêîíîâ Ïàñêàëÿ è Àðõèìåäà ïðè ðåøåíèè çàäà÷. Çàäà÷à 1. Àòìîñôåðà Âåíåðû ñîñòîèò â îñíîâíîì èç óãëåêèñëîãî ãàçà ( CO 2 ), òåìïåðàòóðà êîòîðîãî âáëèçè ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû Ò = 800 Ê, à ïëîòíîñòü ρ = 6,6 ã/ë. Îöåíèòå çàïàñû CO 2 íà Âåíåðå, ñ÷èòàÿ, ÷òî òîëùèíà àòìîñôåðû ìíîãî ìåíüøå ðàäèóñà ïëàíåòû r = 6300 êì. Êàêîé òîëùèíû áûëà áû àòìîñôåðà Âåíåðû, åñëè áû îíà áûëà ðàâíîïëîòíîé ñ äàâëåíèåì è òåìïåðàòóðîé ãàçà, ðàâíûìè èõ çíà÷åíèÿì ó ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû? Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïà2 äåíèÿ íà Âåíåðå g = 8,2 ì ñ , óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = = 8,31 Äæ ìîëü ⋅ Ê , ìîëÿðíàÿ ìàññà óãëåêèñëîãî ãàçà Ì = 44 ã/ìîëü. Ïî óðàâíåíèþ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà, äàâëåíèå ó ïîâåðõíîñòè Âåíåðû ðàâíî ð = ρRT Μ . Ýòî æå äàâëåíèå ðàâíî âåñó àòìîñôåðû, äåëåííîìó íà ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû: p = b e 2 g j = mg 4 πr . Îòñþäà íàõîäèì ìàññó óãëåêèñëîãî ãàçà: 4 πr 2 ρRT 19 ≈ 6 ⋅ 10 êã. m= Μg  ðàâíîïëîòíîé àòìîñôåðå òîëùèíîé h äàâëåíèå ó ïîâåðõíîñòè (íà ãëóáèíå h) ðàâíî ρgh . Ñðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ, íàõîäèì òîëùèíó ðàâíîïëîòíîé àòìîñôåðû: RT ≈ 2 ⋅ 104 ì . h= Μg Çàäà÷à 2. Ìûëüíûé ïóçûðü íàäóâàþò àçîòîì. Ïðè êàêîé âåëè÷èíå äèàìåòðà ïóçûðÿ îí íà÷íåò âñïëûâàòü â àòìîñôåðíîì âîçäóõå òîé æå òåìïåðàòóðû? Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå ìûëüíîãî ðàñòâîðà σ = = 45 ìÍ/ì, ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà Μ â = 29 ã/ìîëü, àçîòà Μ a = = 28 ã/ìîëü, àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 = 10 5 Ïà, ìàññîé ïëåíêè ïðåíåáðå÷ü. Àçîò âíóòðè ìûëüíîãî ïóçûðÿ íàõîäèòñÿ ïîä èçáûòî÷íûì, ïî ñðàâíåíèþ ñ àòìîñôåðíûì, äàâëåíèåì ∆p = = 8σ d , ãäå d äèàìåòð ïóçûðÿ. Ýòîò ðåçóëüòàò ïðîùå âñåãî ïîëó÷èòü, åñëè ìûñëåííî ðàçðåçàòü ïóçûðü íà äâå ðàâíûå ïîëîâèíêè ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî öåíòð, è ðàññìîòðåòü óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ýòèõ ïîëîâèíîê. Åñëè èçáûòî÷íîå äàâëåíèå â ïóçûðå ðàâíî ∆p , òî ïîëîâèíêè îòðûâàþòñÿ 2 äðóã îò äðóãà ñ ñèëîé ∆pπd 4 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíè ïðèòÿãèâàþòñÿ äðóã ê äðóãó ñèëàìè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ìûëüíîé ïëåíêè, äåéñòâóþùèìè íà äëèíå îêðóæíîñòè πd è ðàâíûìè 2σπd (êîýôôèöèåíò «2» ó÷èòûâàåò íàëè÷èå äâóõ ïîâåðõíîñòåé ó ïëåíêè). Ñðàâíåíèå ýòèõ äâóõ ñèë è äàåò âåëè÷èíó èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ ïîä ïëåíêîé: ∆p = 8σ d . Ïóçûðü âñïëûâåò ïðè óñëîâèè, ÷òî âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ âåñó âûòåñíåííîãî ïóçûðåì âîçäóõà ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè p0 , áîëüøå âåñà àçîòà, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè ïóçûðÿ ïîä äàâëåíèåì p0 + ∆p . Ïî óðàâíåíèþ ñîñòîÿíèÿ ãàçà, Μ â p0 πd 3 ≥ c h Μ a p0 + ∆p πd 3 6 RT 6 RT îòêóäà íàõîäèì 8 σΜ a −4 ≈ 10 ì. d≥ p0 Μ â − Μ a c h , Çàäà÷à 3. Áàòèñêàô ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé øàð ðàäèóñîì r = 2 ì. Ïðè èñïûòàíèÿõ â ìîðå â íèæíåé ÷àñòè áàòèñêàôà îáðàçîâàëàñü òå÷ü, è îí çàòîíóë, à â åãî âåðõíåé ÷àñòè îáðàçîâàëàñü âîçäóøíàÿ ïðîñëîéêà â âèäå øàðîâîãî ñåãìåíòà òîëùèíîé h = 1 ì. ×åìó ðàâíà ãëóáèíà ìîðÿ Í, íà êîòîðîé çàòîíóë áàòèñêàô? Êàêàÿ ìàññà âîçäóõà ïîíàäîáèòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû âûòåñíèòü èç áàòèñêàôà âñþ âîäó? Íà÷àëüíîå (àòìîñôåðíîå) äàâëåíèå âîçäóõà â áàòèñêàôå ðàâíî äàâëåíèþ, êîòîðîå ñîçäàåò ñëîé âîäû òîëùèíîé H0 = 10 ì. Óêàçàíèå: îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà òîëùèíîé h ðàâåí ∆V = 2 = πh (3r − h) 3 . Ñâîáîäíàÿ ïîâåðõíîñòü âîäû âíóòðè áàòèñêàôà ãîðèçîíòàëüíà. Äàâëåíèå âáëèçè íåå, ðàâíîå äàâëåíèþ âîçäóõà â áàòèñêàôå, ìåíüøå äàâëåíèÿ â íèæíåé ÷àñòè áàòèñêàôà (òî÷êà À íà ðèñóíêå 1) íà âåëè÷èíó ρg 2 r − h , ãäå 3 3 ρ = 10 êã ì ïëîòíîñòü âîäû.  ñâîþ î÷åðåäü, äàâëåíèå â òî÷êå À (äíî b g 0 D ) Ðèñ. 1 âîäîåìà) ñêëàäûâàåòñÿ èç àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ è äàâëåíèÿ ñëîÿ âîäû òîëùèíîé Í. ×òîáû íàéòè ãëóáèíó âîäîåìà, íåîáõîäèìî äëÿ âîçäóõà, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè áàòèñêàôà (åãî ìàññà ïî óñëîâèþ íå èçìåíèëàñü), çàïèñàòü çàêîí Áîéëÿ Ìàðèîòòà: b c gh ρg H0 + H − 2 r − h ⋅ ∆V = = ρgH0 ⋅ 4 3 3 πr . Ïî óñëîâèþ, h = r/2, ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî íàõîäèì H= 27 5 H0 + 3 2 r = 57 ì. ×òîáû íàéòè ìàññó âîçäóõà, íåîáõîäèìóþ äëÿ âûòåñíåíèÿ èç áàòèñêàôà âîäû, ó÷òåì, ÷òî â êîíöå, êîãäà âîçäóõ çàïîëíÿåò âåñü îáúåì áàòèñêàôà, åãî äàâëåíèå ïðåâûøàåò àòìîñôåðíîå íà ρgH . Èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ íàõî- !# äèì èñêîìóþ ìàññó âîçäóõà: m= ΜρgH ⋅ 4 πr 3 3 RT ≈ 225 êã, ãäå Ì = 29 ã/ìîëü ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà, Ò = 290 Ê åãî òåìïåðàòóðà. Ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî â ñòàíäàðòíîì áàëëîíå îáúåìîì 40 ëèòðîâ ïîä äàâëåíèåì 200 àòìîñôåð ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå ñîäåðæèòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî 10 êã âîçäóõà. Çàäà÷à 4. Ñâàÿ â âèäå äâóõ ñîîñíûõ öèëèíäðîâ çàáèòà â ãðóíò äíà âîäîåìà ãëóáèíîé Í (ðèñ.2). Êàêàÿ ñèëà äåéñòâóåò íà ñâàþ ñî ñòîðîíû âîäû? 5 0 D D 5 òíàÿ ïëîòíîñòü íà ïîâåðõíîñòè. Äëÿ èçìåðåíèÿ êîíñòàíòû α â æèäêîñòü íà íèòè, ïðèêðåïëåííîé ê äèíàìîìåòðó, îïóñêàþò öèëèíäðè÷åñêîå òåëî äëèíîé L è ñå÷åíèåì S. Êîãäà òåëî ïåðåìåùàåòñÿ ïî âåðòèêàëè íà Í, îñòàâàÿñü öåëèêîì ïîãðóæåííûì â æèäêîñòü, ïîêàçàíèÿ äèíàìîìåòðà èçìåíÿþòñÿ íà ∆F . ×åìó ðàâíà êîíñòàíòà α ? Âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì Àðõèìåäà è íàéäåì ðàçíîñòü âûòàëêèâàþùèõ ñèë ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà ïî âåðòèêàëè íà Í. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè òåëî îïóñêàåòñÿ, âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà óâåëè÷èâàåòñÿ, à ïîêàçàíèÿ äèíàìîìåòðà, ðàâíûå ðàçíîñòè âåñà òåëà è ñèëû Àðõèìåäà, óìåíüøàþòñÿ. Ïóñòü â íà÷àëå âåðõíÿÿ ãðàíü öèëèíäðà íàõîäèòñÿ íà ãëóáèíå h1 , íèæíÿÿ íà ãëóáèíå h1 + L, à â êîíöå âåðõíÿÿ íà ãëóáèíå h1 + Í, íèæíÿÿ íà ãëóáèíå h1 + Í + L. Òàê êàê ïëîòíîñòü æèäêîñòè ìåíÿåòñÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó, âåñ âîäû, âûòåñíåííîé òåëîì â íà÷àëå, ïðîïîðöèîíàëåí ïëîùàäè òðàïåöèè, çàøòðèõîâàííîé íà ðèñóíêå 3: Ðèñ. 2 Ñå÷åíèå âåðõíåãî öèëèíäðà S1 , åãî âûñîòà h1 , ñå÷åíèå íèæíåãî öèëèíäðà S2 , âûñîòà åãî ÷àñòè, íàõîäÿùåéñÿ â âîäå, h2 . Ñèëû äàâëåíèÿ âîäû íà áîêîâûå ïîâåðõíîñòè ñâàè êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà. Âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà íèæíþþ ÷àñòü âåðõíåãî öèëèíäðà ñâàè ñå÷åíèåì S1 S2 , ðàâíà ρg H − h2 S1 − S2 , ãäå ρ ïëîòíîñòü âîäû. Ñèëà, ïðèæèìàþùàÿ ñâàþ ê ãðóíòó, äåéñòâóåò íà âåðõíåå îñíîâàíèå ñâàè ñå÷åíèåì S1 è ðàâíà ρg H − h1 − h2 S1 . Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ðàâíà ? D? ? ? D + h S D − ρgHS . 2 2 2 Êàê âèäíî, ñòðóêòóðà îòâåòà ïðîñòàÿ: îò îáû÷íîé âûòàëêèâàþùåé ñèëû, íàéäåííîé ïî çàêîíó Àðõèìåäà (ñîîòâåòñòâóþùèé îáúåì ñâàè íà ðèñóíêå çàøòðèõîâàí), îòíèìàåòñÿ ñèëà äàâëåíèÿ âîäû íà íèæíåå îñíîâàíèå ñâàè, êàê áû íàõîäÿùååñÿ íà óðîâíå äíà âîäîåìà.  çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó h1 , h2 , S1 , S2 , Í ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ìîæåò áûòü êàê âûòàëêèâàþùåé, òàê è ïðèæèìàþùåé ñâàþ êî äíó âîäîåìà.  ïðèâåäåííûõ ôîðìóëàõ îòñóòñòâóåò òàêæå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå. Âîïðîñ î òîì, ïðîíèêàåò ëè âîçäóõ ÷åðåç ãðóíò è òåì ñàìûì ïåðåäàåò ñâîå äàâëåíèå íà íèæíåå îñíîâàíèå ñâàè, çàáèòîé â ãðóíò, ìû îñòàâëÿåì íà ñóä ÷èòàòåëÿ. Çàäà÷à 5.  ñòðàòèôèöèðîâàííîé æèäêîñòè ïëîòíîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ãëóáèíîé h ïî ëèíåéíîìó çàêîíó ρ(h) = ρ(0)(1 + αh) ,ãäå ρ(0) èçâåñ- ÊÂÀÍT 1999/¹1 ? D ? D. ρ h1 + ρ h1 + L 2 Àíàëîãè÷íî, âåñ âîäû, âûòåñíåííîé ρ ρ() D F = ρg h1 S1 !$ F1 = gSL h Ðèñ. 3 h+L òåëîì â êîíöå, ðàâåí F2 = gSL ? D ? h D. ÷åì âî âòîðîì. Íàéäèòå âûñîòó Í ñëîÿ æèäêîñòè, çàøåäøåé â òðóáêó â ïåðâîì ñëó÷àå. Îòíîøåíèå âíóòðåííåãî ñå÷åíèÿ òðóáêè S1 ê âíåøíåìó S2 ðàâíî 0,5. Ñèëà òÿæåñòè òðóáêè îñòàåòñÿ íåèçìåííîé, ïîýòîìó è âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäíà è òà æå.  ïåðâîì S S L H Ðèñ. 4 ñëó÷àå (ðèñ.4), ïî çàêîíó Àðõèìåäà, îíà ðàâíà ρgL1 S2 ρgHS1 , âî âòîðîì ρgL2 S2 , ãäå ρ ïëîòíîñòü âîäû. Ïðèðàâíÿâ ýòè ñèëû, ïîëó÷èì ? H = L1 − L2 D SS 2 = ∆L 1 S2 S1 = 10 ñì. Ïðèâåäåì âòîðîé âàðèàíò ðåøåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì çàêîíà Ïàñêàëÿ, õîòÿ â äàííîì ïðèìåðå îí è áîëåå ãðîìîçäêèé.  ïåðâîì ñëó÷àå ñèëà òÿæåñòè òðóáêè mg è ñèëà àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ p0 íà äíî ñå÷åíèåì S2 óðàâíîâåøåíû ñèëîé äàâëåíèÿ âîçäóõà, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè òðóáêè ïðè äàâëåíèè p1 , íà âíóòðåííþþ ïîâåðõíîñòü äíà S1 è ñèëîé äàâëåíèÿ âîçäóõà è âîäû íà ïîâåðõíîñòü áîêîâûõ ñòåíîê ïðîáèðêè ïëîùàäüþ S2 S1 : ? D? D ρ h1 + H + ρ h1 + H + L mg + p0 S2 =p1 S1 + p0 + ρgL1 S2 − S1 . 2 Ïðè ýòîì èìååò ìåñòî î÷åâèäíîå ðàâåíñòâî p1 = p0 + ρg L1 − H . Ïðè ýòîì ðàçíîñòü ïîêàçàíèé äèíàìîìåòðà ñîñòàâëÿåò >C ∆F = F2 − F1 = gSLρ 0 αH , îòêóäà è íàõîäèì êîíñòàíòó α : α= ∆F >C gSLρ 0 H . Ýòó êîíñòàíòó ìîæíî íàéòè è èç ðàçíîñòè äàâëåíèé íà âåðõíåå è íèæíåå îñíîâàíèÿ öèëèíäðà äëèíîé L ïðè åãî ïåðåìåùåíèè ïî âåðòèêàëè íà Í (óáåäèòåñü â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî). Çàäà÷à 6. Òðóáêà, çàïàÿííàÿ ñ îäíîãî êîíöà, îïóñêàåòñÿ â æèäêîñòü ñíà÷àëà îòêðûòûì êîíöîì âíèç, à çàòåì ââåðõ è ïëàâàåò, íàõîäÿñü â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè. Äëèíà ïîãðóæåííîé â æèäêîñòü ÷àñòè òðóáêè â ïåðâîì ñëó÷àå íà ∆L = 5 ñì áîëüøå, ? D Âî âòîðîì ñëó÷àå ñèëà òÿæåñòè òðóáêè óðàâíîâåøåíà ñèëîé äàâëåíèÿ âîäû íà äíî ñå÷åíèåì S2 : mg = ρgL2 S2 . Ñèëû äàâëåíèÿ àòìîñôåðû íà ïîâåðõíîñòü òðóáêè â ýòîì ñëó÷àå ñêîìïåíñèðîâàíû. Èç ïðèâåäåííûõ ðàâåíñòâ íàõîäèì èñêîìóþ âûñîòó Í. Çàäà÷à 7. Íà äíå ëóíêè êóáè÷åñêîé ôîðìû ðàçìåðîì 10 × 10 × 10 ñì ëåæèò øàð, äèàìåòð êîòîðîãî íåìíîãî ìåíüøå 10 ñì.  ëóíêó íàëèâàþò âîäó 3 ïëîòíîñòüþ ρ = 1 ã ñì äî òåõ ïîð, ïîêà øàð íå íà÷èíàåò ïëàâàòü, êàñàÿñü äíà ëóíêè. Ïîñëå ýòîãî â ëóíêó äîëèëè åùå m = 250 ã âîäû òàê, ÷òî ëóíêà îêàçàëàñü çàïîëíåííîé âîäîé äî c h = Vc + Vë S . Êîãäà ëåä ðàñòàåò, âîäà, ïîëó÷èâøàÿñÿ èç íåãî, çàéìåò îáúåì V = Vë ρ ë ρ . Ñëåäîâàòåëüíî, â êîíöå óâåëè÷åíèå óðîâíÿ âîäû â ñîñóäå áóäåò ðàâíî h2 = Vc + V S , à èñêîìîå ïîíèæåíèå ñîñòàâèò ∆h = h1 h2 . Ñâÿçü ìåæäó îáúåìîì ëüäà è ñòåêëà íàéäåì èç óñëîâèÿ ïëàâàíèÿ: c h c L h B ρ Vë + Vc = ρcVc + ρëVë , îòêóäà Ðèñ. 5 âåðõà (ðèñ.5). Êàêóþ ìàññó âîäû íàëèëè â ëóíêó âíà÷àëå? ×åìó ðàâíà ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà øàðà? Óêàçàíèå: îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà âûñîòîé h 2 ðàâåí ∆V = πh (3d 2 − h) 3 , ãäå d äèàìåòð øàðà. Ïî óñëîâèþ, ñíà÷àëà øàð êàñàåòñÿ äíà, à çàòåì ïëàâàåò â ëóíêå, çàïîëíåííîé âîäîé. Î÷åâèäíî, ÷òî îí âñïëû2 âàåò ïðè ýòîì íà âûñîòó h = m ρd = = 2,5 ñì = d/4. Çíà÷èò, èìåííî òàêîâà âûñîòà ÷àñòè øàðà îáúåìîì ∆V , íàõîäÿùåéñÿ íàä âîäîé. Ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà øàðà ρ ø îïðåäåëèì èç çàêîíà Àðõèìåäà: e j ρ îòêóäà F GH F πd GH 6 ρø = ρ 1 − − ∆V = ρ ø 2 d I JK 3 3 h 2 πd 6 3 , FG 3 d − hIJ I = H 2 K JK = 27 32 ρ = 0,84 ã ñì 3 . Äàëåå, êîãäà øàð ïëàâàåò â ëóíêå, çàïîëíåííîé âîäîé, â íåé íàõîäèòñÿ 3 3 îáúåì âîäû, ðàâíûé d πd 6 − ∆V , ïîýòîìó ìàññà âîäû, íàëèòàÿ â ëóíêó âíà÷àëå, ðàâíà e F GG H j II − m = JK JJ K F 27 πd I − m = 310 ã. = ρG d − H 32 6 JK 3 m0 = ρ d − F πd GH 6 3 3 − ∆V 3 Çàäà÷à 8.  ñîñóä ñ âîäîé (áîêîâûå ñòåíêè ñîñóäà âåðòèêàëüíû) îïóñòèëè êóñîê ëüäà, â êîòîðûé áûë âìîðîæåí îñêîëîê ñòåêëà.  ðåçóëüòàòå óðîâåíü âîäû â ñîñóäå ïîäíÿëñÿ íà h1 = = 11 ìì, à ëåä ñòàë ïëàâàòü, öåëèêîì ïîãðóçèâøèñü â âîäó. Íà ñêîëüêî îïóñòèòñÿ óðîâåíü âîäû â ñîñóäå çà âðåìÿ òàÿíèÿ ëüäà? Ïëîòíîñòü ñòåêëà ρ c = 3 3 = 2,0 ã ñì , âîäû ρ = 1 ã ñì , ëüäà 3 ρ ë = 0,9 ã ñì . Ïóñòü îáúåì ñòåêëà Vc , ëüäà Vë , à ñå÷åíèå ñîñóäà S. Óâåëè÷åíèå óðîâíÿ âîäû â ñîñóäå â íà÷àëå ðàâíî h1 = Vc = Vë a C ρ − ρë . ρc − ρ Ïîäñòàâèâ ýòî ñîîòíîøåíèå â ôîðìóëû äëÿ h1 è h2 , íàéäåì îêîí÷àòåëüíî ∆h : ∆h = h1 ρ − ρë ρc − ρ ρc − ρë ρ = 1 ìì . Çàäà÷à 9. Òðîéíèê ñ äâóìÿ îòêðûòûìè â àòìîñôåðó è îäíîé çàêðûòîé âåðòèêàëüíûìè òðóáêàìè öåëèêîì çàïîëíåí âîäîé. Êîãäà òðîéíèê ñòàëè äâèãàòü ïî ãîðèçîíòàëè (â ïëîñêîñòè ðèñóíêà 6) ñ íåêîòîðûì óñêîðåíèåì, èç íåãî âûëèëàñü 1/8 ÷àñòü âñåé ìàññû ñîäåðæàâøåéñÿ â íåì âîäû. ×åìó ðàâíî äàâëåíèå â íèæíåé ÷àñòè (òî÷êà À) çàêðûòîé òðóáêè âî âðåìÿ äâèæåíèÿ ñ óñêîðåíèåì? Âíóòðåííèå ñå÷åíèÿ âñåõ òðóáîê îäèíàêîâû, äëèíû òðóáîê L. → Ïðè äâèæåíèè ñ óñêîðåíèåì a âïðàâî âîäà èç ïðàâîãî îòêðûòîãî â àòìîñôåðó êîëåíà ïåðåòåêàåò â ëåâîå êîëåíî è îòòóäà âûëèâàåòñÿ íàðóæó. Ïî óñëîâèþ, âûëèëàñü ïîëîâèíà âîäû, íàõîäÿùåéñÿ â ïðàâîì êîëåíå (äëèíà âñåõ òðóáîê 4L, âûëèëàñü 1/8 ÷àñòü âñåé ìàññû âîäû). Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ âîäû, íàõîäÿùåéñÿ â êàêèõëèáî äâóõ ãîðèçîíòàëüíûõ ó÷àñòêàõ òðóáêè. Äëÿ ó÷àñòêà ÂÑ èìååì cp B h − pC S = aρS L 2 , ãäå pB = ρgL + p0 äàâëåíèå â òî÷êå Â, pC äàâëåíèå â òî÷êå C, p0 àòìîñôåðíîå äàâëåíèå, S ñå÷åíèå òðóáêè, ρ ïëîòíîñòü âîäû. Íà ó÷àñòêå BD æèäêîñòü äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ðàçíîñòè äàâëåíèé ρgL 2 , òàê êàê àòìîñôåðíûå äàâëåíèÿ â òî÷êàõ  è D ñêîìïåíñèðîâàíû: L ρg S = aρSL . 2 Ðàçäåëèâ ýòè äâà óðàâíåíèÿ äðóã íà äðóãà, íàõîäèì 3 pC = ρgL + p0 . 4 Äàâëåíèå â èñêîìîé òî÷êå À îòëè÷àåòñÿ îò íàéäåííîé âåëè÷èíû íà ρgL , ïîýòîìó äàâëåíèå â íèæíåé ÷àñòè çàêðûòîé òðóáêè ðàâíî 7 p A = ρgL + p0 . 4 Ðèñ. 6 Óïðàæíåíèÿ 1. Îöåíèòå ìàññó êèñëîðîäà, ñîäåðæàùåãîñÿ â àòìîñôåðå Çåìëè. Òåìïåðàòóðà âîçäóõà ó ïîâåðõíîñòè Ò = 290 Ê, ðàäèóñ Çåìëè r = 6370 êì. Ìàññà êèñëîðîäà, ñîäåðæàùåãîñÿ â îäíîì ëèòðå âîçäóõà ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè, ðàâíà ρ = 0,26 ã/ë, ïðîöåíòíîå ñîäåðæàíèå êèñëîðîäà (ïî ìàññå) â àòìîñôåðå ïîñòîÿííîå, òîëùèíà àòìîñôåðû ìíîãî ìåíüøå ðàäèóñà ïëàíåòû. Ñëîé êàêîé òîëùèíû çàíÿë áû êèñëîðîä ó ïîâåðõíîñòè, åñëè áû åãî òåìïåðàòóðà è äàâëåíèå áûëè ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì çíà÷åíèÿì òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè? 2. Ãåðìåòè÷íî çàêðûòàÿ ñ îäíîãî êîíöà òðóáêà îïóñêàåòñÿ â âîäó çàêðûòûì êîíöîì êâåðõó è ïëàâàåò â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè, ÷òî îáåñïå÷èâàåòñÿ íåçíà÷èòåëüíûìè âíåøíèìè áîêîâûìè óñèëèÿìè. Äëèíà ÷àñòè òðóáêè, ïîãðóæåííîé â âîäó, Í = 1,75 ì, äëèíà âñåé òðóáêè L = 2 ì. Íàéäèòå âûñîòó ñëîÿ âîäû, çàøåäøåé â òðóáêó. Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå ïðèíÿòü ðàâíûì äàâëåíèþ, ñëîÿ âîäû âûñîòîé H0 = 10,5 ì. 3. Ìûëüíûé ïóçûðü íàäóâàåòñÿ âîçäóõîì, òåìïåðàòóðà êîòîðîãî âûøå êîìíàòíîé. Ïðè äèàìåòðå ïóçûðÿ d = 0,3 ìì îí íà÷èíàåò âñïëûâàòü (â êîìíàòå). Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ òåìïåðàòóðà âîçäóõà â ïóçûðå âûøå êîìíàòíîé? Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå ìûëüíîãî ðàñòâîðà σ = 40 ìÍ/ì. 5 Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 = 10 Ïà. Ìàññîé ïëåíêè ïðåíåáðå÷ü. 4.  ëóíêó êóáè÷åñêîé ôîðìû ðàçìåðîì 10 × 10 × 10 ñì, öåëèêîì çàïîëíåííóþ âîäîé, îïóñêàþò öèëèíäðè÷åñêîå òåëî (îñü öèëèíäðà âåðòèêàëüíà).  ðåçóëüòàòå ÷àñòü âîäû èç ëóíêè âûëèâàåòñÿ, à òåëî íà÷èíàåò ïëàâàòü â íåé. Ïîñëå ýòîãî èç ëóíêè îòëèëè åùå m = 250 ã âîäû òàê, ÷òî òåëî ñòàëî ïëàâàòü, êàñàÿñü äíà ëóíêè. Êàêàÿ ìàññà âîäû îñòàëàñü â ëóíêå? ×åìó ðàâíà ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà öèëèíäðà? Äèàìåòð öèëèíäðà d íåìíîãî ìåíüøå 10 ñì, âûñîòà öèëèíäðà ðàâíà åãî äèàìåòðó, ïëîòíîñòü 3 âîäû ρ = 1 ã ñì . !%