27 - Квант

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
L ìàññîâîãî øàðà íàõîäèòñÿ òÿæåëûé øàð
èç î÷åíü ïëîòíîãî âå*
4 @
) ùåñòâà).  ðåçóëüòàòå íåòî÷íîñòåé ïðè
ñáîðêå öåíòð ìàññ
L
òÿæåëîãî øàðà îêàçàëñÿ ñìåùåííûì â
ïëîñêîñòè ýêâàòîðà íà ðàññòîÿíèå d = 100 êì îò
öåíòðà áîëüøîãî øàðà. Íàéäèòå ìèíèìàëüíîå âðåìÿ
îáîðîòà ñïóòíèêà, êîòîðûé äâèæåòñÿ â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè.
Íàéäåì «ìèíèìàëüíóþ» îðáèòó ñïóòíèêà. Ïóñòü îíà
ïî÷òè êàñàåòñÿ Çåìëè â òî÷êå À – áëèæàéøåé ê ñäâèíóòîìó öåíòðó ìàññ (ñì. ðèñóíîê). Óñêîðåíèå ñïóòíèêà â
→
ýòîé òî÷êå ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó ñêîðîñòè v1 è îïðåäåëÿåòñÿ ãðàâèòàöèîííûì ïðèòÿæåíèåì «Çåìëè»:
a=
2
GM
b R − dg
2
=
v1
R
(ìû ó÷ëè, ÷òî ðàäèóñ êðèâèçíû îðáèòû â ýòîì ìåñòå íå
ìîæåò áûòü ìåíüøå ðàäèóñà Çåìëè R). Îòñþäà ìû ìîæåì
íàéòè íàèìåíüøóþ âîçìîæíóþ ñêîðîñòü â ýòîé òî÷êå:
GMR
v1 =
R−d
.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñàìóþ äàëüíþþ òî÷êó îðáèòû Â.
Îáîçíà÷èì âûñîòó ñïóòíèêà íàä ïîâåðõíîñòüþ ÷åðåç õ,
òîãäà ðàññòîÿíèå îò ñïóòíèêà äî öåíòðà ìàññ â ýòîé òî÷êå
ïîëó÷èòñÿ R + d + x. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñâÿçè ìåæäó
ñêîðîñòÿìè â áëèæíåé è äàëüíåé òî÷êàõ òðàåêòîðèè
âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà
(èëè âòîðûì çàêîíîì Êåïëåðà):
b
g
b
v2 R + d + x = v1 R − d
g
27
«ÊÂÀÍÒÀ»
Ô1676. Ïðè èçó÷åíèè ïàäåíèÿ òåë â âîçäóõå áûëè
ïîëó÷åíû ëþáîïûòíûå ðåçóëüòàòû. Ìåòàëëè÷åñêèé
øàðèê ïàäàë ñ óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòüþ 100 ì/ñ,
øàðèê âäâîå áîëüøåãî äèàìåòðà èç òîãî æå ìåòàëëà
ïàäàë ñ óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòüþ 140 ì/ñ. Ê ìàëåíüêîìó øàðèêó ïðèêðåïèëè äëèííóþ íèòü, è ñ òàêèì
«õâîñòîì» îí ïàäàë ñ óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòüþ
15 ì/ñ. Êîãäà äëèíó «õâîñòà» óâåëè÷èëè â äâà ðàçà,
ñêîðîñòü óñòàíîâèâøåãîñÿ ïàäåíèÿ óìåíüøèëàñü äî
9 ì/ñ. Ïîïðîáóéòå îöåíèòü ñêîðîñòü ïàäåíèÿ ýòîãî
øàðèêà ïðè î÷åíü áîëüøîé äëèíå «õâîñòà». Ñ÷èòàéòå,
÷òî «õâîñò» ïðè äâèæåíèè íå èçâèâàåòñÿ, à îñòàåòñÿ
âåðòèêàëüíûì.
Ïðè ïàäåíèè øàðèêà â âîçäóõå íà íåãî äåéñòâóåò ñèëà
ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ êâàäðàòó
åãî ñêîðîñòè è ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïàäàþùåãî
òåëà – äàííûå â óñëîâèè çàäà÷è ÷èñëà ïîçâîëÿþò ýòî
óñòàíîâèòü (ïðè óâåëè÷åíèè äèàìåòðà øàðèêà â äâà ðàçà
åãî ìàññà óâåëè÷èâàåòñÿ â âîñåìü ðàç, à ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ – â ÷åòûðå ðàçà, îòíîøåíèå ñêîðîñòåé
óñòàíîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿ 140/100 êàê ðàç ñîîòâåòñòâóåò «êâàäðàòè÷íîìó» çàêîíó). Íà øàðèê ñ «õâîñòîì»,
êðîìå ñèëû ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, äåéñòâóåò åùå ñèëà
âÿçêîãî òðåíèÿ (íà íèòü), ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ñêîðîñòè
ïàäåíèÿ è âåëè÷èíå áîêîâîé ïîâåðõíîñòè «õâîñòà», ò.å.
äëèíå íèòè. Ýòà ñèëà ÿâíî ïîëó÷àåòñÿ «ãëàâíîé» –
ñêîðîñòü óñòàíîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿ â ñëó÷àå øàðèêà ñ
íèòüþ âî ìíîãî ðàç ìåíüøå ñêîðîñòè øàðèêà áåç íèòè.
ßñíî òàêæå, ÷òî ïðèäåòñÿ ó÷åñòü è ìàññó äëèííîé íèòè.
Èòàê, íå ó÷èòûâàÿ ñèëó ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ è îáîçíà÷èâ ìàññó øàðèêà Ì, ìàññó åäèíèöû äëèíû íèòè ρ ,
äëèíó íèòè â ïåðâîì ñëó÷àå L, âî âòîðîì 2L è â òðåòüåì
nL, çàïèøåì óñëîâèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ñ óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòüþ:
M + ρL g = kLv3 ,
b
g
bM + ρ ⋅ 2Lgg = k ⋅ 2Lv ,
b M + ρ ⋅ nLgg = k ⋅ nLv .
è çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè (ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ
ñïóòíèêà è «Çåìëè» îòðèöàòåëüíà!):
−
GMm
R−d
2
+
mv1
2
=−
GMm
R+d+x
2
+
mv2
2
.
Ïîäñòàâèâ ñþäà çíà÷åíèå v1 èç ïðåäûäóùåãî óðàâíåíèÿ
è èñêëþ÷èâ v2 , íàéäåì çíà÷åíèå âûñîòû õ:
x=
2d 2
R − 2d
≈ 3200 ì .
Ïîëó÷èëàñü ñîâñåì íåáîëüøàÿ âûñîòà; çíà÷èò, ðàçìåð
áîëüøîé ïîëóîñè ýëëèïñà ïðàêòè÷åñêè íå îòëè÷àåòñÿ îò
ðàäèóñà Çåìëè è ïåðèîä îáðàùåíèÿ T1 ïî÷òè ðàâåí T0 =
= 2π R g ≈ 5060 ñ – ïåðèîäó îáðàùåíèÿ âîêðóã Çåìëè
ïî êðóãîâîé îðáèòå ðàäèóñîì R. Îòíîøåíèå ýòèõ ïåðèîäîâ ìîæíî íàéòè, èñïîëüçóÿ òðåòèé çàêîí Êåïëåðà:
FG
H
T1
R+x 2
=
T0
R
IJ
K
32
≈ 1,0004 .
Çàìå÷àíèå. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí ñèëüíî âûòÿíóòûé
ýëëèïñ, îäíàêî èç ðàñ÷åòîâ ñëåäóåò, ÷òî ýòî ïðàêòè÷åñêè
îêðóæíîñòü.
Ç.Ðàôàèëîâ
7*
4
5
Ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàéäåì
M + ρnL M + ρnL nv5
M = 4ρL ,
=
=
.
M + ρL
5ρL
v3
Ïðè áîëüøîì n ïîëó÷èì
v5
1
v
= , è v5 = 3 = 3 ì ñ .
5
v3
5
Ð.Øàðèêîâ
Ô1677. Â æåñòêîì çàêðûòîì ëèòðîâîì ñîñóäå íàõîäèòñÿ 900 ã âîäû; âîçäóõà â ñîñóäå íåò. Òåìïåðàòóðà
âíóòðè ñîñóäà +100 °Ñ. Ñîäåðæèìîìó ñîñóäà ñîîáùèëè
1000 Äæ òåïëà. Îöåíèòå êîëè÷åñòâî èñïàðèâøåéñÿ ïðè
ýòîì âîäû. Ñ÷èòàéòå, ÷òî ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû äî +101 °Ñ äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû óâåëè÷èâàåòñÿ îò 1 àòì äî 1,04 àòì.
×àñòü ïåðåäàííîãî ñèñòåìå òåïëà ïîéäåò íà íàãðåâàíèå
âîäû, ÷àñòü – íà èñïàðåíèå. Ïîïðîáóåì îöåíèòü ñîîòíîøåíèå ýòèõ ÷àñòåé.
Ïóñòü âñå òåïëî ïîøëî íà íàãðå⠖ òîãäà èçìåíåíèå
òåìïåðàòóðû âîäû ñîñòàâèò
∆T =
Q
cm
=
1000 Äæ
≈ 0,26 Ê .
4200 Äæ êã ⋅ Ê ⋅ 0,9 êã
b
g