Вычисление индекса Пуанкаре: описание "неколлинеарного случая" в пространствах произвольной конечной размерности

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2011
Вып. 3(7)
М А Т ЕМ А Т И К А
УДК 517.988
Вычисление индекса Пуанкаре: описание
"неколлинеарного случая" в пространствах
произвольной конечной размерности
В. Ю. Митин
Пермский государственный национальный исследовательский университет
Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
victormitin@ya.ru; (342) 229-15-35
Рассмотрено обобщение векторного метода вычисления индекса Пуанкаре на многомерный
случай (при некоторых ограничениях). Приведен пример, иллюстрирующий данный метод.
Ключевые слова: нелинейный функциональный анализ; векторное поле; гомотопия; индекс
Пуанкаре; изолированная особая точка.
Введение
пространство для случая, когда матрица линейной части имеет ранг n-1, где n –
размерность пространства.
Рассмотрим задачу о вычислении индекса Пуанкаре нулевой изолированной особой
точки (нуля) векторного поля в случае, когда
производная Фреше в этой точке (линейная
часть) – ненулевая вырожденная матрица.
В статье [1] нами описан векторный метод, в котором дается достаточное условие того, что искомый индекс плоского векторного
поля определяется совокупностью линейной и
квадратичной частей векторного поля, а члены более высоких порядков малости на индекс не влияют. Этот случай, названный нами
неколлинеарным, предполагает, что в тех точках, где линейная часть обращается в ноль,
векторы квадратичной части не коллинеарны
ненулевым векторам линейной части, которые
на всей плоскости направлены вдоль одной и
той же прямой.
Рассмотрим обобщение векторного
метода на произвольное конечномерное
Постановка задачи
Пусть векторное поле Ф2: Rn→Rn имеет
вид
 Q1 ( x)  L1 ( x) 


Q ( x)  L2 ( x) 
Ф2   2
=Q+L,


...


 Qn ( x)  Ln ( x) 
 L1 
 Q1 
 
 
где L=  ...  , Q=  ...  , x=<x1,…,xn>,
L 
Q 
 n
 n
(1)
Li (x)=ai1 x1+ai2 x2+…+ain xn ( i  1, n ), A=(aij) –
вещественная матрица линейной части векторного поля Ф2, Q – квадратичная часть векторного
поля Ф2. Пусть далее матрица А имеет ранг n–1.
Необходимо обобщить векторный метод на этот класс полей, указав для них аналог
неколлинеарного случая.
© В. Ю. Митин, 2011
4
Вычисление индекса Пуанкаре: описание "неколлинеарного" случая…
Описание многомерного обобщения
неколлинеарного случая
Пример. Рассмотрим векторное поле вида
 W1 ( x)  Q1 ( x)  x1

 W2 ( x)  Q2 ( x)  x2
...
Ф

 Wn 1 ( x)  Qn 1 ( x)  xn 1
 W ( x)  x 2
n
 n
Если векторное поле вида (1) имеет линейную часть, причем ранг ее матрицы равен
n-1, то пространство решений уравнения
Lx=θ, т.е. ядро оператора L, имеет размерность, равную n-(n-1)=1. Аналогично плоскому случаю, это одномерное подпространство
пересекает любую n-мерную сферу с центром
в нуле в двух точках: x* и –x*.
Множество значений оператора L является линейным подпространством пространства Rn и имеет размерность:
dim (Im (L))=dim(Rn) - dim(Ker(L))=n-1.
Аналогом неколлинеарного случая для
плоских векторных полей будет случай, когда
выполнено условие
Q(x*)Im(L).
(2)
Заметим, что, поскольку Q является
четным векторным полем, справедливо равенство Q(-x*)=Q(x*).



.




Имеем: Ker (L)=(<0,…,0, C);
dim(Ker(L))=1; Im(L)={<C1, …, Cn-1,0>}.
Последняя
компонента
вектора
Q(<0,0,…,1>) равна 1. Следовательно,
Q(x*)Im(L), и от векторного поля Ф можно
перейти к полю Ф2 без компоненты W.
Действительно, если обобщить лемму
[2, с.72] на многомерный случай и применить
ее к данным векторным полям, то получим,
что индексы нулевых точек обоих полей Ф и
Ф2 равны нулю.
Замечание
В неколлинеарном случае для полей
рассматриваемого класса нулевая точка всегда будет изолированной. Если линейная
компонента L обращается в нуль, то отлична
от нуля следующая за ней компонента, которая "перевешивает" все компоненты более
высоких порядков малости. В противном случае наиболее весомой оказывается ненулевая
линейная компонента.
Можно показать, что если векторное
поле содержит члены более высоких степеней, т.е. имеет вид
 W1 ( x)  Q1 ( x)  L1 ( x) 


W2 ( x)  Q2 ( x)  L2 ( x) 

Ф
=W+Q+L,


...


 Wn ( x)  Qn ( x)  Ln ( x) 
где Wi ( x)  o( x ) (i= 1, n ), матрица линейной
части имеет ранг n-1 и выполняется условие
(2), то индексы нулевых особых точек векторных полей Ф и Ф2 равны в силу их гомотопности на границе сфер малых радиусов.
Если отсутствует квадратичная часть
(Q=θ), то аналогичные рассуждения можно
проводить для однородной компоненты, которая следует непосредственно за линейной.
2
Список литературы
1. Митин В.Ю. Вычисление индекса изолированной особой точки векторного поля //
Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 4(4). С.4–7.
2. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на
плоскости. М.: Физматгиз, 1963.
The Poincaré index calculation: the description
of the "non-collinear case" in spaces
of arbitrary finite dimension
V. Yu. Mitin
Perm State National Research University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15
victormitin@ya.ru; (342) 229-15-35
The generalization of vector method for the multidimensional case is considered (under certain
constraints). An example illustrating this method is given.
Key words: nonlinear functional analysis; vector field; homotopy; the Poincaré index; isolated
singularity.
5