Векторный и тензорный анализ - Саратовский государственный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Физический факультет
УТВЕРЖДАЮ
Проректор СГУ по учебнометодической работе
____________________Е.Г. Елина
"____" __________________2011 г.
Рабочая программа дисциплины
Векторный и тензорный анализ
Направление подготовки
Физика живых систем
Профили подготовки
Биофизика
Медицинская фотоника
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов 2011
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Векторный и тензорный анализ»
являются:
- познакомить студентов с основными понятиями и методами линейной
алгебры и теории дифференциально-интегрального исчисления функций, что
составляет основу векторного и тензорного анализа;
- сформировать правильный научный подход к решению различных задач
векторного и тензорного анализа ;
- развить навыки абстрактного логического мышления;
- расширить научный кругозор и научить студентов свободно оперировать
современными математическими терминами.
Курс «Векторный и тензорный анализ» позволяет студентам овладеть
фундаментальными понятиями и методами современной математики, без
знания которых невозможна дальнейшая профессиональная подготовка. При
освоении данного курса у студентов формируются навыки грамотной
постановки научных задач, решения задач с применением математического
аппарата, систематизации полученных знаний.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Векторный и тензорный анализ» входит в модуль
«Математика».
Является
базовой
частью
математического
и
естественнонаучного цикла и служит основой фундаментальных
математических знаний. «Векторный и тензорный анализ» имеет тесную
взаимосвязь с остальными дисциплинами этого модуля. Она необходима для
освоения таких дисциплин модуля, как «Математический анализ»,
«Уравнения математической физики», « Физика».
3. Компетенции обучающегося, формируемые в
освоения дисциплины «Векторный и тензорный анализ»
Процесс изучения
следующих компетенций:
•
дисциплины
направлен
на
результате
формирование
способность использовать в познавательной и профессиональной
деятельности базовые знания в области математики и естественных наук
(ОК-1);
•
способность использовать в познавательной и профессиональной
деятельности навыки работы с информацией из различных источников
(ОК-16);
•
способность использовать базовые теоретические знания для решения
профессиональных задач (ПК-1);
•
способность применять на практике базовые профессиональные
навыки (ПК-2).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
•Знать:
- основные термины и понятия векторного и тензорного анализа,
- наиболее важные приложения векторного и тензорного анализа в
различных областях других естественнонаучных дисциплин.
•Уметь:
- производить основные операции над векторными функциями скалярного
аргумента,
вычислять производные векторных функций скалярного
аргумента;
- работать с векторными функциями многих скалярных аргументов;
- использовать дифференциальные методы изучения скалярных полей;
- проводить основные операции дифференцирования скалярных полей в
бескоординатном и координатном виде;
- вычислять производные по направлениям и градиенты таких полей;
- использовать дифференциальные методы изучения векторных полей;
- проводить основные операции дифференцирования
векторных полей в
бескоординатном и координатном виде;
- вычислять производные по направлениям, роторы и дивергенции векторных
полей;
- определять потенциалы и плотности источников векторных полей.
•Владеть:
- координатным методом изучения скалярных и векторных полей
- бескоординатным методом изучения скалярных и векторных полей
- различными способами интерпретации и обозначениями (Гамельтоновы и
традиционные) основных дифференциальных инвариантов теории
тензорных полей.
4. Структура и содержание дисциплины (модуля)
Общая трудоемкость дисциплины составляет 72 часа, 2 зачетных единицы.
Из них 54 часа отводится на аудиторные занятия (36 ч. лекций, 18 ч.
практических занятий), 18 часов – на самостоятельное изучение дисциплины.
№
п/п
Раздел дисциплины
Се
ме
ст
р
Нед
Виды учебной работы,
еля
включая
семе самостоятельную работу
стра студентов и трудоемкость
(в часах)
Всего
1
Раздел 1. Элементы
тензорной алгебры.
3
1-2
8
лекц
4
Пра
кт.
2
Формы текущего
контроля
успеваемости (по
неделям
семестра)
Формы
Сам промежуточной
аттестации (по
раб
семестрам)
2
Форма текущего
контроля - опрос,
проверка
домашнего
задания
2
Раздел 2.
Векторная функция
скалярного
переменного.
3
3-5
12
6
3
3
3
Раздел 3.
Векторная функция
многих скалярных
аргументов.
3
6
4
2
1
1
4
Раздел 4.
Скалярное поле.
3
7-9
12
6
3
3
5
Раздел 5.
Векторное поле.
3
1015
24
12
6
6
6
Раздел 6.
3
Введению в теорию
векторных
и
тензорных полей на
дифференцируемом
многообразии
Контрольная работа
3
1618
12
6
1
1
18
4
-
2
2
72
36
18
18
7
Итоговая
аттестация
ИТОГО
8
3
3
Форма текущего
контроля - опрос,
проверка
домашнего
задания
Форма текущего
контроля - опрос,
проверка
домашнего
задания
Форма текущего
контроля - опрос,
проверка
домашнего
задания
Форма текущего
контроля - опрос,
проверка
домашнего
задания
Форма текущего
контроля - опрос,
проверка
домашнего
задания
Контрольная
работа по всем
разделам
зачёт
1.
Элементы тензорной алгебры
Векторы. Ковекторы. Линейные операторы. Теория инвариантов
оператора. Полилинейные функции (формы). Свойства полилинейных
кососимметрических форм. Представления билинейных и трилинейных
кососимметрических форм. Понятие тензора типа (p,q). Примеры.
2.
Векторная функция скалярного переменного
Предел векторной функции скалярного переменного, формальные
свойства. Непрерывность векторной функции скалярного переменного.
Производная векторной функции скалярного переменного, выражение в
координатах. Свойства производной. Годограф. Геометрический смысл
производной векторной функции скалярного переменного. Понятие гладкой
регулярной кривой. Длина дуги кривой. Длина дуги как натуральный
параметр. Производная векторной функции по натуральному параметру.
3.
Векторная функция многих скалярных аргументов
Векторная функция двух скалярных аргументов. Частные производные.
Поверхность. Элементы дифференциальной геометрии поверхности: нормали
и касательные. Первая квадратичная форма поверхности и ее применение.
4. Скалярное поле
Поверхности и линии уровня скалярного поля. Дифференцируемость
скалярного поля, градиент. Производная скалярного поля по направлению.
Связь градиента с производной по направлению. Алгебраические и
геометрические свойства градиента. Вычисления градиента и производной по
направлению в координатах. Система обозначений Гамильтона.
5. Векторное поле
Дифференцируемость векторного поля, дифференциальный оператор.
Матрица дифференциального оператора в декартовых координатах.
Производная векторного поля по направлению. Дивергенция векторного
поля, свойства, вычисление в координатах. Поток векторного поля через
поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского. Выражение дивергенции через
поток. Соленоидальные векторного поля и их признаки. Ротор векторного
поля, его выражение в декартовых координатах и через гамильтониан.
Формальные свойства ротора. Теорема Стокса. Потенциальные векторные
поля. Различные признаки потенциальности. Некоторые полезные
вычислительные формулы векторного анализа, в частности: дивергенция и
ротор векторного произведения векторных полей, градиент скалярного
произведения векторных полей.
Вычисления в криволинейных координатах.
6.
Введению в теорию векторных и тензорных полей на
дифференцируемом многообразии
Понятие дифференцируемого многообразия. Примеры. Векторные и
тензорные поля на многообразии. Векторные расслоения. Элементы теории
связности на многообразии. Дифференцирования векторных и тензорных
полей на многообразии.
Темы практических занятий
Практическое занятие 1. Векторы. Ковекторы. Линейные операторы.
Понятие тензора типа (p,q). Примеры.
Практическое занятие 2. Предел векторной функции скалярного
переменного, формальные свойства. Производная векторной функции
скалярного переменного, выражение в координатах. Длина дуги кривой.
Длина дуги как натуральный параметр. Производная векторной функции по
натуральному параметру.
Практическое занятие 3. Дифференцируемость скалярного поля,
градиент.
Практическое занятие 4. Производная скалярного поля по
направлению. Вычисления производной по направлению и градиента
формально и в координатах.
Практическое занятие 5. Поверхности и линии уровня скалярного
поля. Элементы дифференциальной геометрии кривой и поверхности.
Практическое занятие 6. Дифференцируемость векторного поля.
Матрица дифференциального оператора в декартовых координатах.
Производная векторного поля по направлению. Дивергенция векторного
поля, свойства, вычисление в координатах. Поток векторного поля через
поверхность Теорема Гаусса-Остроградского. Выражение дивергенции через
поток. Соленоидальные векторного поля и их признаки.
Практическое занятие 7. Ротор векторного поля, его выражение в
декартовых координатах и через гамильтониан. Формальные вычисления
ротора и вычисления в координатах.
Практическое занятие 8. Теорема Стокса. Потенциальные векторные
поля. Различные признаки потенциальности. Нахождение потенциалов
векторных полей.
Практическое занятие 9. Контрольная работа.
Темы самостоятельных работ.
1. Полилинейные функции (формы). Свойства полилинейных кососимметрических форм. Представления билинейных и трилинейных
кососимметрических форм. Понятие тензора типа (p,q).
2. Предел векторной функции скалярного переменного, доказательство
формальных свойства. Производная векторной функции скалярного
переменного, выражение в координатах.
7. Длина дуги кривой. Длина дуги как натуральный параметр.
Производная векторной функции по натуральному параметру.
8. Дифференцируемость скалярного поля, градиент.
9. Производная скалярного поля по направлению. Связь производной по
направлению и градиента.
10.Элементы дифференциальной геометрии кривой и поверхности:
параметрические задания, регулярность. Понятия кривизны и кручения
кривых. Основные идеи теории кривизны поверхности.
11.Поток векторного поля через поверхность. Теорема ГауссаОстроградского.
Выражение
дивергенции
через
поток.
Соленоидальные векторного поля и их признаки.
12.Ротор векторного поля. Теорема Стокса. Потенциальные векторные
поля. Различные признаки потенциальности.
13.Некоторые полезные вычислительные формулы векторного анализа:
дивергенция и ротор векторного произведения векторных полей,
градиент скалярного произведения векторных полей.
14. Вычисления градиента, дивергенции и ротора в криволинейных
координатах.
15.Векторные и тензорные поля на многообразии. Векторные расслоения.
Элементы теории связности на многообразии.
5. Образовательные технологии
При
проведении
лекционных
и
практических
занятий
предусматривается
использование
информационных
технологий,
включающих пакеты программ Classic Worksheet Maple 10, Мathematica 8 и
др. Данные программы, в частности, используются для иллюстрации
конических сечений, метода сечений при изучении различных фигур в
пространстве.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Студентам требуется самостоятельно изучить некоторые разделы
математики, необходимые для усвоения основного материала. На первой
лекции вводятся основные понятия, после чего обширный теоретический
материал выносится на самостоятельную подготовку(4-6 час.)
В основном в качестве
самостоятельной работы студентам
предлагается решение задач по различным темам векторного анализа.
Опрос и проверка домашнего задания являются формой текущего
контроля.
Примерные варианты контрольной работы
1 уровень.


1). Продифференцировать векторную функцию r (t ) : r (t )  a et  b ,et a ,
постоянные векторы
2). Найти производную при t  0 векторной функции r (t ) : r (sin t , cos t , t )
3). Найти градиент скалярного поля  :   r 2 (a r )
4). Найти производную в точке M 0 по направлению к точке M 1
скалярного поля  :   x 2  y 2  z 2 ,
a, b -
M 0 (1,1,1) , M1 (3,2,1)
5) . Найти ротор векторного поля V  a (b r ) , a, b - постоянные векторы
6) . Является ли следующее поле соленоидальным? V (2 y, z,2 x)
2 уровень.
1. Пусть r  r (t ) . Тогда производная по t от a r , где a - постоянный вектор, равна
1) a r  , 2) a r + a r  , 3) a r  , 4) другой ответ.
2. Уравнение касательной к кривой r  4 cos t i  4 sin t j  3t k в точке t  0 имеет вид
x4 y z
x y 4 z 3
x4 y z
  ; 2) 

  ; 4) другой ответ.
1)
; 3)
0
4 3
4
0
3
4
0 3
3. Градиент скалярного поля   r
1)
n
равен
r0
n 1
n 1 0
r , 4) другой ответ.
, 2) n r
, 3) n r
r
4. Поверхность уровня скалярного поля   2 x 2  y 2  3z 2
представляет из себя
в точке
(1;2;0)
1) конус второго порядка, 2) однополостный гиперболоид, 3) двуполостный
гиперболоид, 4) другой ответ.
5. Производная скалярного поля   xyz в точке (1;1;1) по направлению радиус-вектора
этой точки равна
1
1) 3, 2) 3 , 3)
, 4) другой ответ.
3
6. Семейство силовых линий векторного поля a  xi  yj определяется уравнениями
x
1) x  y  c , 2)  c , 3) xy  c , 4) другой ответ.
y
7. Дивергенция векторного поля a  (r c )c , где c - постоянный вектор, равна
1) c 2 , 2) r c , 3) 0, 4) другой ответ.
8. При условии rot r  0 , ротор векторного поля a  c b r , где c, b - постоянные
векторы, равен
1) 2 c b , 2) 2 b c , 3) 0 , 4) другой ответ.
  
 
 
9. Векторное поле a  x( z 2  y 2 )i  y( x 2  z 2 ) j  z ( y 2  x 2 )k
1) соленоидально, но не потенциально, 2) потенциально, но не соленоидально, 3) не
является соленоидальным и потенциальным, 4) другой ответ.
10. Потенциал поля a  2 xyi  ( x 2  2 yz ) j  y 2 k равен
1) x 2 y  c , 2) x 2 y  y 2 z  c , 3) поле не потенциально, 4) другой ответ.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К КУРСУ
1. Предел векторной функции скалярного переменного, формальные свойства.
Непрерывность векторной функции скалярного переменного.
2. Производная векторной функции скалярного переменного, выражение в
координатах. Свойства производной.
3. Годограф. Геометрический смысл производной векторной функции скалярного
переменного.
4. Понятие гладкой регулярной кривой. Длина дуги кривой. Длина дуги как
натуральный параметр. Производная векторной функции по натуральному
параметру.
5. Векторная функция двух скалярных аргументов. Частные производные.
Поверхность и формы ее задания. Элементы дифференциальной геометрии
поверхности: нормали и касательные к поверхности. Первая квадратичная
форма поверхности и ее применение.
6. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля.
Дифференцируемость скалярного поля, градиент.
7. Производная скалярного поля по направлению. Связь градиента с производной
по направлению.
8. Алгебраические и геометрические свойства градиента. Вычисления градиента и
производной по направлению в координатах. Система обозначений Гамильтона.
9. Векторное поле. Дифференцируемость векторного поля, дифференциальный
оператор. Матрица дифференциального оператора в декартовых координатах.
Производная векторного поля по направлению.
10. Дивергенция векторного поля, свойства, вычисление в координатах. Поток
векторного поля через поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского.
Выражение дивергенции через поток. Соленоидальные векторного поля и их
признаки.
11. Ротор векторного поля, его выражение в декартовых координатах и через
гамильтониан. Формальные свойства ротора. Теорема Стокса.
12. Потенциальные векторные поля. Различные признаки потенциальности.
13. Некоторые формулы векторного анализа: дивергенция и ротор векторного
произведения векторных полей.
14. Некоторые формулы векторного анализа: градиент скалярного произведения
векторных полей.
15. Вычисление дивергенции, ротора и градиента в криволинейных ортогональных
системах координат.
7.
Учебно-методическое
дисциплины
и
информационное
обеспечение
а) основная литература:
Лосик М.В. Лекции по векторному и тензорному анализу: Учебное пособие для
студентов, обучающихся по специальностям: 010701 «Физика», 010801
«Радиофизика и электроника», 010710 «Физика открытых нелинейных систем».
Саратов: ООО Издательский центр «Наука», 2008. – 64 с. Экз.- 10 (библ. мех-мата
СГУ)
.Электр.:
www.sgu.ru/faculties/physical/departments/radiotechnics/Books/docs/vector.pdf
2. Векторный анализ. Задачи и примеры с подробными решениями [Текст] : учеб.
пособие / М. Л. Краснов, А. И. Киселёв, Г. И. Макаренко. - 2-е изд., испр. - М. :
Едиториал УРСС, 2002. - 140, [4] с. : рис. - (Вся высшая математика в задачах). Кн. была допущена М-вом высш. и сред. образования СССР в качестве учеб.
пособия для студентов втузов
Экз-ры: ОХФ(1), ОХФ-ЧЗ-4(2), ОУОЕН(40)
1.
б) дополнительная литература:
1.
2.
3.
4.
Либер А. Е., Ржехина Н.Ф. Основы векторного анализа. Саратов. Изд-во СГУ.
1966г.
Либер А. Е. Тензорный анализ. Саратов. Изд-во СГУ.19745г.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ: задачи и примеры
с подробными решениями. M,: Едиториал УРСС, 2002г. -144с.
Иванченко И.П., Шевцова Ю.В. Практические занятия по векторному анализу.
Саратов Изд . Центр «Наука», 2009 .- 28 с.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Лекционные занятия проводятся в аудиториях на 60-80 посадочных мест,
практические занятия – на 20-30 посадочных мест. В отведенных для занятий
аудиториях имеются учебные доски (большого размера) для визуализации
информации.
Также в ходе лекционных и практических занятий применяются учебнодемонстрационные мультимедийные презентации, которые обеспечиваются
следующим техническим оснащением:
1. Компьютеры (в комплекте с колонками)
2. Мультимедийный проектор
3. Экран.
Программа составлена в соответствии с требованиями ОС ВПО по
направлению Физика живых систем и ООП по профилям подготовки
Биофизика и Медицинская фотоника.
Автор
Доцент кафедры геометрии
В.Б. Поплавский
Программа одобрена на заседании кафедры геометрии
от ____________ 2011 года, протокол № ____.
Подписи:
Зав. кафедрой геометрии
профессор
В.В.Розен
Декан механико-математического
факультета
А.М.Захаров
Декан физического факультета
В.М. Аникин