В. Ю. Митин - Вестник Пермского университета. Математика

2010
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
М атем ати ка. М е хан и ка. Ин форма тик а
Вып.4(4)
М А Т ЕМ А Т И К А
УДК 517.988
Векторный подход к вычислению индекса
Пуанкаре для изолированных нулей плоских
векторных полей с вырожденной линейной частью
В. Ю. Митин
Пермский государственный университет, Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
victormitin@ya.ru; (342) 229-15-35
Исследованы различные методы вычисления индекса нулевой изолированной особой точки
плоского векторного поля. Описан новый подход, помогающий в ряде случаев свести полиномиальные векторные поля к векторным полям с известным индексом нуля через гомотопические преобразования.
Ключевые слова: нелинейный функциональный анализ; векторное поле; гомотопия; вращение; индекс особой точки; векторный метод.
Введение
Без ограничения общности исследования можно считать a=θ.
В книге [1] предлагается ряд способов
для нахождения индекса нулевой изолированной особой точки плоского векторного поля.
К ним, в частности, относятся вычисление
вращения по формуле Пуанкаре
Для любого плоского непрерывного
векторного поля Ф, непрерывного на замыкании некоторой ограниченной области MR2 и
невырожденного на ее границе Г, можно
определить вращение  (Ф, М) векторного поля Ф на границе Г области М как количество
полных оборотов, совершаемых вектором Фх
за то время, пока точка х пробегает кривую в
положительном направлении.
Пусть a  R2 – изолированная особая
точка векторного поля Ф (нули поля Ф будем
относить к числу особых точек). Тогда вращение векторного поля Ф на границе любого
круга (прямоугольника, другого замкнутого
контура), внутри которого нет других особых
точек, будет равняться одному и тому же числу, которое называется индексом изолированной особой точки a поля Ф и обозначается
ind(a, Ф). Корректность этого определения
доказана, например, в книге [1].
b
(Ф,Г)  
a
P( t )Q' ( t )  Q( t )P' ( t )
dt
P2( t )  Q2( t )
(1)
и использование алгоритма вычисления вращения плоского векторного поля на замкнутой кривой. Эти методы ценны с точки зрения
общности и теоретического значения, но для
практических нужд они малопригодны.
Например, для интеграла (1) легко найти первообразную F(t)=arctg(Q(t)/P(t)), но она не является непрерывной на всем отрезке [a,b], а
избавление от точек разрыва первого рода
приводит к громоздким вычислениям.
Более удобными с практической точки
зрения являются некоторые приемы, описанные в книге [2], которые легли в основу данного исследования.
 В. Ю. Митин, 2010
4
Векторный подход к вычислению индекса Пуанкаре для изолированных нулей…
_________________________________________________________________________________________________________________
1) k=1 – регулярный случай;
2) k – наименьшая степень ненулевых
слагаемых для обеих компонент поля.
Данное утверждение неверно в следующих случаях:
1. Нулевая особая точка поля Фk не изолирована (для неизолированной особой точки не определено понятие "индекс").
Методы исследования
В статье [3] были описаны некоторые
методы, позволяющие в ряде случаев вычислить искомый индекс более простым способом. Одним из них является метод гомотопических переходов, основанный на том, что
индексы нулевой изолированной особой точки гомотопных на окружностях достаточно
малых радиусов векторных полей одинаковы.
Примеры гомотопических переходов, удобных для вычисления индекса, приведены в
статье [4]. Используя эту идею, можно доказать теорему.
Теорема. Пусть векторное поле Ф имеет вид
 x  a2 ( x, y)  ...  an ( x, y)  on ( x, y) 

,
b
(
x
,
y
)

...

b
(
x
,
y
)

o
(
x
,
y
)
1
m
m


 x3  y 2 
Пример: От векторного поля Ф=  3

2
y y 
нельзя перейти к полю Ф2.
2. Хотя нулевая точка полей Ф и Фk изолирована, но векторное поле Фk не является главной частью поля Ф.
(2)
 y2  x

Пример. Ф=  2
 xy  x 2  y 3  .


где b1=…=bk=0, bk+1(0,1)=c0, as, bs – полиномы степени s, os – слагаемые более высоких
порядков малости, чем s.Тогда θ – его изолированная особая точка и
ind(θ,Ф)=
(1  (1)k )
sgn(c) .
2
Имеем: ind(θ, Ф2)=0, т.к. одна из компонент поля Ф2 неотрицательна. Однако
ind(θ,Ф)=1 (Для проверки достаточно вычесть
первую компоненту, умноженную на x, из
второй и воспользоваться формулой (3)).
Причина несовпадения индексов состоит в
том, что Ф2 не является главной частью векторного поля Ф. Это следует из того, что,
например, на параболе x=  y2 (обязательно
пересекающейся с любой окрестностью точки
θ) не выполняется характеристическое неравенство
(3)
Доказательство этого факта приведено
в книге [2].
Условия гомотопности
Пусть дано полиномиальное векторное
поле Ф. Представим его компоненты в виде
суммы однородных слагаемых различных
степеней вида ps(x,y) и qs(x,y):
(Ф  Ф2 )( z)  Ф2 ( z) .
 m

ps ( x, y ) 


 P ( x, y )   s 1
.
Ф= 
= m
 Q ( x, y )   q ( x , y ) 
 s

 s 1

Векторный метод
Рассмотрим векторное поле Ф с ненулевой вырожденной линейной частью L (т.е.
коэффициенты линейной части образуют матрицу ранга 1). Нетрудно проверить, что векторы линейного поля L на окружностях малых радиусов обращаются в нуль в двух диаметрально противоположных критических
точках; в остальных точках векторы поля –
коллинеарные векторы, направленные на разных полуокружностях в разные стороны.
Длины векторов уменьшаются по мере приближения к критическим точкам.
Рассмотрим векторы квадратичной части Q поля Ф в одной из критических точек
(из-за четности поля Q его значение в обеих
Обозначим
Pt(x,y)=
t
t
s 1
s 1
 ps ( x, y) , Qt(x,y)=  qs ( x, y) .
Рассмотрим случай, когда векторное
поле Ф гомотопно на малых окружностях полю
 Pk 
,
 Qk 
Фk= 
тогда
индексы
(4)
равны:
ind(θ,Ф)=ind(θ,Фk).
Данное утверждение верно, например, в
следующих случаях (при условии, что нулевая точка поля Фk изолирована):
5
В. Ю. Митин
точках одинаково). Могут представиться два
случая.
Случай А. Векторы поля Q в критических точках коллинеарны ненулевым векторам поля L.
Случай Б. Векторы поля Q в критических точках не коллинеарны ненулевым векторам поля L.
Рассмотрим подробно второй случай.
Пусть θ – изолированная особая точка
векторного поля:
Заметим, что ход рассуждений не изменится и при добавлении к компонентам слагаемых более высоких порядков малости. Поэтому индекс нуля полей такого вида определяется индексом нуля поля, образованного
линейными и квадратичными частями. Поэтому члены третьего и более высоких порядков малости при вычислении индекса можно
отбросить.
Аналогичные рассуждения можно провести для любого другого вида линейной части,
либо, использовав свойство инвариантности
индекса при поворотах (теорема о произведении
вращений), свести все случаи к изученному. Таким образом, нами доказана теорема.
Теорема. Пусть Ф  полиномиальное
векторное поле, нулевая особая точка является изолированной для полей Ф и Q и имеет
место "неколлинеарный случай". Тогда Q является главной частью поля Ф и ind(θ,Ф)=
ind(θ,Q).
Заметим, что ind(θ, Q) можно вычислить, например, с помощью алгоритма, приведенного нами в статье [3]. Ветвления этого
алгоритма (пункт 8), наиболее соответствующие нулевому индексу, в точности являются
условиями неколлинеарности вышеописанных векторов линейной и квадратичной части
(при этом 1) квадратичное поле является
главной частью; 2) гомотопический переход
возможен; 3) формула (3) непосредственно
применима после соответствующей линейной
замены).
Пример. Вычислить ind (θ,Ф), где
 A1 x 2  2 В1 xy  C1 y 2  D1 x 
Ф= 
 .
 A x 2  2 В xy  C y 2
2
2
 2

 A1 x 2  2 В1 xy  C1 y 2 
Тогда Ф2 z  
,
 A x 2  2 В xy  C y 2 
2
2
 2

 D x
Ф1 z   1  ,
0 
коэффициент D1 отличен от нуля. Найдем
критические точки из условия равенства нулю
линейной части:
 D1

0
0  x   0 
      x=0.
0  y   0 
На окружности радиуса r это точки (0, r), (0,
r).
Найдем направляющий вектор квадратичной части в одной из критических точек
(0, r).
 C1r 2 
C 
 , направляющий вектор  1  .
Ф2 z  
C 
C r 2 
 2
 2 
 x 3  yx 2  y 
Ф=  7
.
4
2
y y x 
Найдем направляющий вектор линейной части в одной из некритических точек
 y
Решение. Линейная часть L=   обра0 
щается в ноль в точках (r, 0) и ( r, 0). Квадратичная часть в этих точках принимает вид (0,
r), т.е. имеет место "неколлинеарный случай".
Следовательно, ind(θ, Ф)=ind(θ,Ф2)=0.
Что касается "коллинеарного" случая,
то здесь варианты могут быть разнообразными. Выше мы привели пример векторного поля, для которого гомотопический переход к
сумме линейного и квадратичного полей невозможен, он как раз относится к "коллинеарному" случаю. Поскольку наивысшая степень
компонент – третья, то у него не существует
главной части (отличной от самого поля). Однако после алгебраических преобразований
 D1r 
 , направляющий вектор
0 
(r, 0). Ф1 z  
1 
  .
0
Условие коллинеарности: С2=0 (поскольку С2 и С1 не могут быть равны нулю
одновременно, когда особая точка θ поля Ф2
изолирована, а, по нашему предположению,
нулевая особая точка векторного поля Ф2 является изолированной, С10).
При C2  0 условия теоремы выполнены (ind(θ, Ф)=0). В этом случае применима
формула (3).
6
Векторный подход к вычислению индекса Пуанкаре для изолированных нулей…
_________________________________________________________________________________________________________________
(см. статью [3]) мы перешли к векторному полю, для которого гомотопический переход
возможен.
Поскольку гомотопические переходы
иногда возможны и в коллинеарном случае,
интересно узнать, как описать (если возможно) условие допустимости гомотопического
перехода на векторном языке. При этом, скорее всего, необходимо рассматривать векторы
кубичных частей и составляющих более высоких степеней. Это может быть одним из
направлений дальнейшего исследования.
Интересен также вопрос о возможностях векторного подхода к изучению полей
более высоких размерностей.
В целом метод гомотопий является более общим, чем векторный, однако для рассмотренного класса полей векторный подход
позволяет 1) по-новому взглянуть на задачу
вычисления индекса изолированной особой
точки векторного поля; 2) убедиться в целесообразности линейной замены до ее выполнения; 3) сведя векторное поле к сумме линейного и квадратичного полей, использовать
далее для вычисления индекса другие методы.
Замечание. Идею векторного метода и
метода гомотопий можно обобщить для случая произвольных плоских векторных полей,
непрерывно дифференцируемых по Фреше
достаточное число раз, рассматривая аналогичные соотношения между коэффициентами
дифференциалов Фреше. При этом вместо линейной части поля Ф нужно рассматривать
первый дифференциал Фреше, а вместо квадратичной части – второй дифференциал.
Список литературы
1. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа.
М.: Наука, 1975.
2. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на
плоскости. М.: Физматгиз, 1963.
3. Митин В.Ю. Вычисление индекса изолированной особой точки векторного поля //
Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 7(33).
С.6–9.
The vector approach to the Poincaré index
determination for isolated zeros of flat vector
fields with a singular linear part
V. Y. Mitin
Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15
victormitin@ya.ru; (342) 229-15-35
Different methods of the Poincaré index calculation of flat vector field’s singularity are investigated. The new approach is described, it helps us reduce (in some cases) polynomial vector fields of
arbitrary degree to those vector fields whose index of zero is already known, via homotopical
transformations.
Key words: nonlinear functional analysis; vector field; homotopy; rotation; index of singularity;
vector method.
7