Богданов Р.И. Нелокальные интегралы и законы сохранения в

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 15 (2006). С. 59–75
УДК 517.958
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СОЛИТОНОВ
c 2006 г.
Р. И. БОГДАНОВ
АННОТАЦИЯ. Исследование свойств решений нестационарных линейных уравнений математической
физики естественно выполнять с помощью инвариантных во времени пространств линейных функционалов. В таком подходе возникают нелинейные (нестационарные) уравнения в частных производных
(дуальные исходному), допускающие нетривиальные группы автомодельности. Принцип суперпозиции в пространстве решений исходного уравнения удается воспроизвести для дуального уравнения
в виде сверток ядер линейных функционалов. Соответствующая конструкция излагается на примере
уравнения Шредингера на прямой, где идеи квантовой механики позволяют осмыслить этот новый
подход.
1.
ВВЕДЕНИЕ
Ниже мы излагаем три относительно независимых подхода, объединенных в названии доклада
(соответственно разделы 2, 3 и 4): теорию нелинейных солитонов математической физики; понятие
нелокального интеграла для полиномиальных векторных полей на плоскости; синтез предыдущих
понятий для построения законов сохранения в виде сверток функций на фазовом пространстве в
теории нелинейных солитонов. Фазовое пространство в нашем изложении является одномерным
(это не ограничивает общности подхода).
Теория нелинейных солитонов является далеко идущим обобщением понятия автомодельного решения уравнений математической физики. Один из принципиальных примеров излагается в
хорошо известной работе Колмогорова—Петровского—Пискунова (см. [23,30]). В 80-е годы предыдущего столетия интерес к теории солитонов резко возрос в связи с развитием теории нелинейных
уравнений математической физики (см. [2, 4, 11, 21, 27, 28, 32, 34, 36, 38, 39]), точнее, их приложений
в наукоемких технологиях.
Ниже на примере уравнения Шредингера мы излагаем логически завершенную процедуру получения нелинейного уравнения Шредингера в качестве дуального уравнения к линейному уравнению Шредингера. Сутью излагаемого метода является привлечение к рассмотрению линейных
функционалов на пространстве волновых функций линейного уравнения Шредингера. Дополнительно мы требуем инвариантности пространства линейных функционалов относительно группы
сдвигов во времени. Решение дуального уравнения является автомодельным относительно действия
подходящей группы преобразований расширенного фазового пространства, что является необходимым условием существования инвариантных пространств линейных функционалов. Явно мы их
строим при дополнительных достаточных условиях.
Во второй части текста мы излагаем конструкцию нелокальных первых интегралов для полиномиальных векторных полей на плоскости. Полиномиальные поля, в частности, возникают при
исследовании вышеуказанных солитонных решений нелинейного уравнения Шредингера.
Слово «нелокальные» в названии первого интеграла нуждается в пояснении. В отличие от устоявшегося понятия первого интеграла динамической системы, мы предлагаем рассмотреть конечное
число точек на фазовой плоскости: обозначим их через (x1 , . . . , xN ) . Для каждой точки xj мы
предлагаем рассмотреть свою функцию (обозначим ее через fj (xj )). Через каждую точку xj проходит своя фазовая кривая векторного поля на плоскости (обозначим ее через xtj (xj ) , где tj —
время вдоль интегральной кривой, проходящей через точку xj ). Комбинацию функций (сумму
Исследования выполнены при частичной поддержке фонда РФФИ, грант № 04-01-00115.
c
2006
РУДН
59
60
Р. И. БОГДАНОВ
fj (xj ) или их произведение) мы называем нелокальным первым интегралом, если указанная комбинация не зависит от времени t при подходящей синхронизации движения точек xtj (xj ) по своим
фазовым кривым векторного поля.
Отправляясь от вышеизложенных двух подходов, мы в состоянии описать новые законы сохранения в теории нелинейных солитонов. Линейный функционал на пространстве волновых функций
в подходящем случае является интегралом от волновой функции с гладким ядром (т. е. регулярной обобщенной функцией). Законы сохранения, которые мы указываем, заключаются в том, что
«обобщенная» свертка ядер является постоянной величиной. Слово «обобщенная» здесь означает,
что необходимо выбрать достаточное число ядер линейных функционалов и найти для каждого ядра подходящую однопараметрическую подгруппу в группе всех (гладких) диффеоморфизмов
фазовой прямой, вдоль действия которых вычисляется свертка (подробности см. в разделе 4 ниже).
2.
ТЕОРИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ СОЛИТОНОВ НА ПРИМЕРЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
ШРЕДИНГЕРА
Излагаются идеи построения нестационарных моделей в квантовой механике (cр. [24–26, 35]).
Иллюстрируется их плодотворность на примере одномерного нестационарного уравнения Шредингера. По сравнению с классическим волновым формализмом квантовой механики в основе лежит использование линейных функционалов на пространстве волновых функций. В классическом
стационарном волновом подходе использование линейных функционалов тривиально, поэтому в
классическом подходе рассмотрение апеллирует к квадратичным функционалам. Методологически естественнее начинать рассмотрение и изложение с линейных объектов, как это делается в
классической механике, начиная с работ Ньютона и Лейбница.
2.1. Прямые измерения в нестационарном случае.
2.1.1. Нестационарное уравнение Шредингера. Мы отправляемся от нестационарного уравнения
Шредингера на прямой
∂ψ
i~
= Hψ,
(2.1)
∂t
где оператор H предполагается зависящим от времени H := H (x, t) . Волновая функция, естественно, является комплекснозначной функцией, зависящей от времени ψ = ψ (x, t) .
Зафиксируем кусочно-аналитическую комплекснозначную функцию S(x, t) на расширенной фазовой плоскости {(x, t)} . Такая функция определяет линейный функционал на пространстве волновых функций уравнения (2.1):
Z
IS (ψ) (t) = S (x, t)ψ (x, t) dx,
(2.2)
или в Дираковских обозначениях
IS (ψ) (t) = h S| ψi .
(2.3)
Традиционно линейный функционал (2.3) связан с проектором на состояние S(x, t).
Назовем функционал (2.3) прямым измерением на квантовом волновом состоянии ψ с плотностью S.
Если не возникает недоразумений, мы будем опускать аргумент ψ линейного функционала и по
прежнему называть его прямым измерением с плотностью S:
IS (t) = h S| .
(2.4)
Комплекснозначной функции S(x, t) естественным образом сопоставим амплитуду и фазу (определенную, вообще говоря, с точностью до 2πk):
S (x, t) = r (x, t) eiϕ(x,t) .
(2.5)
Амплитуда r(x, t) позволяет нам наряду с прямым измерением (2.3) ввести в рассмотрение функциональное пространство прямых измерений следующего вида: если q(x) — произвольная функция
одной переменной, то
E
D
Ip,q (ψ) (t) = q (r (x, t)) eipϕ(x,t) ψ ,
(2.6)
где p ∈ R; или, короче, h qp | .
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СОЛИТОНОВ
61
Амплитуда определена единственным образом, а фаза определена не единственным образом.
Поэтому мы концентрируем внимание на амплитуде.
2.1.2. Нестационарность и инвариантные прямые измерения. Существует большое количество
монографий, посвященных развитию методов исследования нестационарных процессов в математической физике, отправляясь от стационарных уравнений в частных производных. Речь, как правило, идет о разумном выделении класса нестационарных моделей, потому что «все» нестационарные
модели кажутся необозримыми с физической точки зрения.
Мы хотим ограничить класс изучаемых ниже нестационарных процессов принципом инвариантности (или «детерминизма»). Мы хотели бы найти достаточно много прямых измерений так,
чтобы их динамика во времени была замкнутой. Например, мы хотели бы выполнения следующего
свойства
X
d
h qp,k | =
akj h qp,j | , k ∈ J.
(2.7)
dt
j∈J
Здесь нужно уточнить множество индексов J, участвующих в сумме справа, так, чтобы имело
место соотношение (2.7). Чрезвычайно интересно — при каких условиях J будет конечным множеством на вещественной оси?
Априори для выполнения (2.7) нужно позаботиться о большом количестве образующих (над C)
прямых измерений.
В разделe 2.1.1 мы определили с помощью образующей S = reiϕ функциональное пространство
прямых измерений. Действительно, каждой функции от одной переменной f (x) мы сопоставили
прямое измерение с плотностью Sf = f (r) eiϕ . Более того, мы ввели дополнительную «степень
свободы» для фазы: Sp,f = f (r) eipϕ , где p ∈ R. Таким образом, мы имеем возможность (и воспользуемся ею) переписать (2.7) в следующем виде:
d
h fp | ∈ {h fp | } .
(2.8)
dt
Замечание 2.1. Может так оказаться, что в какой-то момент времени (например, начальный
t = 0) все наши функционалы принимают нулевое значение на волновой функции ψ. Это означает,
что мы не «видим» с их помощью состояние ψ. Таким образом мы получаем возможность считать
«степени свободы» состояния ψ (массу, заряд, спин и т. д.). Конечно, более естественный и традиционный способ в квантовой механике строить модели с помощью принципов сепарабельности,
кососимметрии и прочих аналогий классического формализма квантовой механики, отправляясь
от (2.8) (см. [16, 24, 25, 35]).
Таким образом, мы интересуемся ответом на вопрос, при каких условиях существуют пространства средних, инвариантные относительно сдвигов во времени. Другими словами, мы изучаем
нестационарные квантовые системы, подчиненные принципу инвариантных прямых измерений.
Если в качестве плотностей прямых измерений разрешить брать «все» функции от x и t, то,
конечно, такие прямые измерения инвариантны очевидным образом. По сути дела, мы можем уточнить постановку вопроса следующим образом: при каких условиях это «большое» инвариантное
пространство является приводимым? Более того, мы спрашиваем, при каких условиях существует инвариантное пространство прямых измерений, порожденное в функциональном смысле одной
образующей?
Естественно усилить вопрос: когда существуют конечномерные (над C) инвариантные пространства прямых измерений?
Ниже мы даем частичные ответы на поставленные вопросы (см. раздел 2.4).
2.2. Необходимые условия существования инвариантных средних.
2.2.1. Однопараметрические группы преобразований фазовой прямой. Однопараметрические
группы преобразований фазовой прямой задаются при подходящих предположениях гладкости
векторными полями на фазовой прямой (см. [3, 33]). Векторное поле на фазовой прямой является синонимом более традиционного понятия автономного дифференциального уравнения первого
порядка на фазовой прямой
ẋ = σ (x) .
(2.9)
62
Р. И. БОГДАНОВ
Уравнение (2.9) определяет преобразование фазовой прямой в соответствии со следующим определением:
x0 7→ gt (x0 ) ,
(2.10)
где gt (x0 ) — решение уравнения (2.9) с начальным условием g0 (x0 ) = x0 .
Таким образом, расширенная фазовая плоскость {(x, t)} распадается на фазовые кривые системы
уравнений (автономных первого порядка)
(◦
x = σ (x),
(2.11)
◦
t = 1.
Наряду с вышеописанной конструкцией имеется другая возможность интерпретации уравнения (2.9): частицы инерционно движущегося газа на фазовой прямой. Другими словами, точке
x0 ∈ R сопоставляется точка в момент времени t:
x0 7→ x0 + σ (x0 ) t.
(2.12)
Две реализации (2.11) и (2.12) расширенной фазовой плоскости уравнения (2.9) имеют резко
различные свойства.
Реализация (2.11) переводит отрезок между двумя (ближайшими) нулями σ (x0 ) в себя при
всех t. Таким образом, говорят, что поток (2.11) транзитивен между ближайшими нулями σ (x0 ) .
Другими словами, при подходящем выборе t можно x0 перевести в любую точку указанного
отрезка. Сам отрезок остается на месте «вечно».
Реализация (2.12) приводит к появлению каустик и нарушению взаимной однозначности отображения (2.12). Если предположить, что между двумя ближайшими нулями σ (x) на вещественной
прямой величина σ (x) имеет единственный минимум или максимум, то после некоторого промежутка времени (традиционно «время выстоя») отрезок начинает «расплываться» либо на +∞, либо
на −∞ на вещественной оси x с течением времени. Таким образом «убегающая граница» отрезка
асимптотически движется с постоянной скоростью.
Отрезок между двумя ближайшими нулями σ (x) мы назовем простым сегментом. Реализация (2.11) однопараметрической группы преобразований фазовой прямой оставляет сегмент на месте. Реализация (2.12) позволяет интерпретировать сегмент в качестве сегмента с «излучением».
2.2.2. Первые интегралы однопараметрической группы преобразований. Первые интегралы однопараметрической группы преобразований фазовой прямой определяются стандартным образом.
В обоих случаях (2.11) и (2.12) расширенная фазовая плоскость разбивается на фазовые кривые
(прямые в случае (2.12)). Первый интеграл, по определению, есть функция на плоскости {(x, t)},
постоянная на фазовых кривых (в случае (2.12) возникает стандартная неоднозначность при наличии каустик, мы же ограничиваемся рассмотрением методов однозначности).
2.2.3. Локальные необходимые условия существования прямых измерений по Пуанкаре—Эренфесту. Пусть в некоторой точке (x0 , t0 ) выполнено условие ∂V (x, t)/∂x|(x0 ,t0 ) 6= 0. Напомним, что
V (x, t) — потенциал в уравнении Шредингера (2.1). Другими словами, потенциал не тривиален в
окрестности точки (x0 , t0 ) и сама точка не является критической точкой замороженного потенциала
в момент времени t = t0 .
Теорема 2.1. При сделанных предположениях найдется однопараметрическая группа преобразований фазовой прямой (локальная), действие которой оставляет на месте потенциал
в уравнении Шредингера, амплитуду образующей кольца прямых измерений, а также фазу
образующей, сдвинутую на подходящую линейную функцию времени.
Сформулированный выше результат называется теоремой Пуанкаре—Эренфеста. Объясним сразу же это название.
В 1930-е годы в классической квантовой механике много усилий было приложено к тому,
чтобы согласовать идеи квантовой механики с идеями и подходами классической механики
(см. [19, 24–26]). Речь шла о том, чтобы, отправляясь от классических наблюдаемых квантовой механики (квадратично зависящее от волновой функции осреднение оператора координаты
и импульса должно удовлетворять классическим гамильтоновым уравнениям классической механики), получить уравнения классической механики на уровне средних. Известно, что при этом
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СОЛИТОНОВ
63
гамильтониан оказался квадратичным функционалом на пространстве волновых функций. Одним
из последовательных инициаторов этого направления являлся П. Эренфест (см. [25]).
Вместе с этим в знаменитых двух работах, посвященных динамике электрона (1906 и 1911 гг.),
А. Пуанкаре предложил свой подход к осмыслению сложившейся ситуации в развивающейся квантовой механике. Эти работы, к сожалению, А. Пуанкаре не успел закончить в полном объеме, поэтому они не оказали своего полного влияния. Однако, именно в этих работах можно увидеть, что,
следуя духу классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, А. Пуанкаре апеллирует к линейным функционалам в соответствии с теорией нормальных форм дифференциальных
уравнений, которую А. Пуанкаре и развил к указанному времени в своих основополагающих работах.
Ниже мы приводим гамильтонову систему на фазовой прямой в подходе классической механики,
решающей задачу отыскания кольца прямых измерений.
2.2.4. Представление прямых измерений в виде сверток функций. В этом пункте мы излагаем
еще одно важное следствие теоремы Пуанкаре—Эренфеста, изложенной в разделе 2.2.3.
Напомним, что в разделе 2.2.3 появилась однопараметрическая группа преобразований фазовой
прямой, лежащая в основе прямых измерений. Точнее, мы указали два способа реализации этой
группы. Здесь мы не различаем эти два способа и вводим единое обозначение:
g∆t : R × R → R × R,
(x, t) → (g∆t (x) , t + ∆t) .
(2.13)
Далее, мы фиксируем фазу образующей кольца прямых измерений в соответствии с теоремой
Пуанкаре—Эренфеста, т. е. сдвигаем фазу на подходящую линейную функцию времени.
Оказывается, что прямое измерение при этом является сверткой плотности измерения и
волновой функции относительно группы действия (2.13):
Z
∗
hFp,f (t0 + ∆t) |ψ i =
g−∆t
g (r (x, t)) eipϕ(x,t) ψ (x, t) dx.
t=(t+∆t)
Свертки функций возникают естественным образом в теории измерений экспериментальной физики. Напомним, что если через q(x) мы обозначаем для измеряемого сигнала приборную (передаточную) функцию (физического) прибора, измеряющего сигнал, а сигнал на входе обозначается
через f (x), то измеренный сигнал дается сверткой
Z
I (x) = q (x − ξ) f (ξ) dξ.
(2.14)
Здесь участвует традиционная однопараметрическая группа арифметических сдвигов на вещественной прямой, порожденная сложением вещественных чисел.
Таким образом, мы имеем мотивацию к использованию названия «прямое измерение» (в отличие
от «косвенных», подробно разобранных в [26]). Безусловно, интерпретацию можно продолжить
дальше, что мы и сделаем ниже в примерах.
2.3. Достаточные условия существования прямых измерений. В этом параграфе мы приводим достаточные условия существования прямых измерений в случае, который мы называем
упругим, соответственно, упругие измерения. Такое название мотивируется тем, что, оказывается,
амплитуда кольца прямых измерений находится как решение специальной натуральной сингулярной системы на прямой. Обобщенный интеграл энергии и позволяет использовать прилагательное
«упругий». Слово «обобщенный» означает, что возникает «эффективная» потенциальная энергия
на фазовой прямой, зависящая линейно от потенциала в уравнении Шредингера (2.1) и квадратично — от генератора однопараметрической группы (2.9). Квадратичная зависимость эффективного
потенциала от генератора однопараметрической группы обязана нетривиальной модификации второго классического закона Кеплера, открытого им при изучении движения планет в Солнечной
системе.
64
Р. И. БОГДАНОВ
2.3.1. Предварительные замечания. Теорема Пуанкаре—Эренфеста сводит задачу отыскания образующей кольца прямых измерений к одномерной задаче: достаточно найти образующую в фиксированный момент времени на фазовой прямой, поскольку при изменении времени образующая
определяется согласно теореме Пуанкаре—Эренфеста.
Этот фиксированный момент времени естественным образом выделяется следующим образом:
временем запуска прямого измерения назовем такое t0 ∈ R, что действие однопараметрической
группы в теореме Пуанкаре—Эренфеста является тождественным отображением (т. е. оставляет
все точки фазовой прямой на месте).
Далее, в этот выделенный момент времени t0 ∈ R мы на фазовой прямой имеем три функции,
подлежащие определению: амплитуду образующей кольца прямых измерений r(x, t0 ), фазу φ(x, t0 ),
потенциал в уравнении Шредингера V (x, t0 ) . В качестве независимой функции мы выберем r(x) =
r(x, t0 ), а все остальные будем считать функциями от r (без ограничения общности локально в
окрестности точек x : r0 (x) 6= 0). В частности, генератор однопараметрической группы (2.9) мы
также представим в виде σ (x, t0 ) = σ (r (x)) .
Формулировка теоремы о достаточных условиях. Введем замыкающую функцию
d
hr1 | = hrF (r)1 | .
(2.15)
dt
Отметим сразу, что функция F (r) корректно определена, если r (x, t) 6= 0. Из нижеследующего
изложения следует, что это условие выполнено в «случае общего положения» (т. е. с вероятностью
единица).
2.3.2.
Теорема 2.2. Предположим, что функция F (r) чисто мнимая. Тогда функция r (x, t)|t=0
задается решениями консервативной системы в фазовом пространстве
.
(2.16)
(dr/dx)2 2 − H (r) = const,
,
Z
Z
2
где H (r) =
r (V (r) + F (r)/i) dr −
rσ (r) dr
2r2 , а фаза ϕ (x) = ϕ (x, t)|t=0 удовлетво-
ряет соотношению
Z
dϕ/dx =
rσ (r) dr
r2
(2.17)
в системе единиц ~ = 2m = 1.
Замечание 2.2. Тот факт, что имеется консервативный закон сохранения (2.16), оправдывает
название «прямые измерения» в упругом случае. Подчеркнем, что эффективный
потенциал в законе
2
сохранения (2.16) может содержать сингулярное слагаемое вида c r . Эта ситуация аналогична
задаче Кеплера движения двух тел с гравитационным (или кулоновским) взаимодействием.
Уместно подчеркнуть, что эффективный потенциал квадратично зависит от генератора однопараметрической подгруппы σ (r), появившейся в теореме Пуанкаре—Эренфеста.
Ниже мы остановимся на свойствах системы (2.16) подробнее.
2.4. Второй порядок теории возмущений. Теперь мы в состоянии, опираясь на предыдущие
результаты, получить ряд следствий, которые важны для осмысления физики описываемых нестационарных процессов и подходящих математических методов.
2.4.1. Стационарные точки консервативной системы. Гамильтонова система (2.16) может
иметь стационарные точки
r (x, t) ≡ const = r0 .
(2.18)
Тогда фаза будет линейной функцией от
ϕ = κ · x + const,
где

Zr0
κ = c1 +
,
rσ (r) dr
0
(2.19)
r02 .
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СОЛИТОНОВ
65
Необходимо отметить, что в условиях (2.18) и (2.19) рассуждения раздела 2.3 не проходят. Корректное высказывание заключается в том, что решения (2.18) и (2.19) реализуются в качестве
подходящего предельного перехода. Тем самым мы получаем возможность в качестве «нулевого»
приближения к реальной нестационарной динамике использовать хорошо известные в квантовой
механике «плоские» волны. Действительно, в этом случае пространство прямых измерений вырождается в одномерное (над C) с образующей
Z
h ep | ψi = eip[κ(x+σ(r0 )t)+ct] ψ (x, t) dx.
(2.20)
Таким образом, в этом «тривиальном» случае прямые измерения представляют образ Фурье
волновых функций. Другими словами, прямое измерение осуществляет переход от координатного
к импульсному пространству: в точку импульсного пространства (−pκ) , где
(V (r0 ) + F (r0 )/i) − σ (r0 ) κ + κ 2 − c = 0.
(2.21)
Напомним, что уравнение Шредингера (2.1) в этом случае превращается в стационарное с постоянными коэффициентами:
i∂ψ/∂t = −∂ 2 ψ ∂x2 + V (r0 ) ψ.
(2.22)
Далее, в силу условия замыкания (2.15),
d he1 |/dt = hr0 F (r0 )1 | .
(2.23)
Следовательно, если h e1 (t)| ψ (x, t)i = a (t) ei(κσ(r0 )+c)t и образ Фурье волновой функции ψ(x, t) в
точке (−pκ) равен a (t) , то
d i(κσ(r0 )+c)t
e
a (t) = F (r0 ) ei(κσ(r0 )+c)t a (t) .
dt
Отсюда
da
= (F (r0 ) − i (κσ (r0 ) + c)) a (t) .
dt
Напомним, что выражение V (r) + F (r)/i чисто вещественное, поэтому получаем
da
= −i V (r0 ) + κ 2 a.
dt
Таким образом, измерение показывает, что интенсивность плоской волны e−iκx в пакете ψ(x, t)
остается постоянной во времени и энергия ее смещена на V (r0 ) . Последний факт полностью
согласуется со стандартными свойствами решений (2.1) для свободной частицы. Тем самым становится ясной физическая суть выполненного предельного перехода к вырожденному модулю прямых
измерений, отвечающего критическим точкам гамильтоновой системы.
Замечание 2.3. Предыдущие рассуждения указывают на выбор константы интегрирования фазы c ∈ R, подчиненный физическому смыслу измерения he1 |:
c = −κσ (r0 ) .
В случае критической точки Гамильтоновой системы (2.16) обе группы из раздела 2.2.1 совпадают. Возможно, в этом кроется причина того факта, что в подходе классической квантовой
механики различие этих двух групп не привлекалось к исследованиям систематическим образом.
2.4.2. Асимптотики прямых измерений (во втором порядке теории возмущений) в окрестности стационарной точки. Разобрав в разделе 2.4.1 физический смысл «вырожденных»
(стационарных) решений гамильтоновой системы (2.16), дающей модуль прямых измерений, мы
имеем возможность подробнее изучить соответствующие решения в окрестности стационарной
точки.
Понятие близости в математической физике встречается в двух формах. Первая возможность
реализуется в стационарном подходе теории возмущений. Изучаемые уравнения математической
физики содержат малый параметр ε. При ε = 0 имеется информация о решениях уравнений.
Такая информация позволяет уточнить решения при ε 6= 0 и ε 1 с помощью асимптотических
66
Р. И. БОГДАНОВ
приближений решения рядами по ε (как правило, степенными, иногда по системе специальных
образующих, как в теории осреднения колебаний).
Другая возможность заключается в возможности считать за малый параметр величину отклонения фазовых переменных от выделенного решения. Такое решение в простейших случаях является
стационарной точкой в фазовом пространстве.
В рассматриваемом нами примере у нас единственная фазовая переменная r. Мы отправляемся
от некоторого значения r0 , являющегося стационарным. Отклонения от стационара дает величина
(r − r0 ) (точнее, |r − r0 |). Таким образом, мы изучаем разложение решений по степеням (r − r0 ).
Критические точки гамильтониана (2.16) характеризуются кратностью. Кратность является целым числом, принимающим значения не меньше 2, поэтому в критической точке r0 6= 0 гамильтониан при разложении в ряд начинается с членов 2-го порядка. С физической точки зрения более
удобным является число γ, принимающее значения 1, 3/2, 2, . . . (т. е. полуцелые в том числе) и
определяемые следующей формулой:
dr/dx = µ (r − r0 )γ +¯o ((r − r0 )γ )
(2.24)
при |r − r0 | → 0, где µ ∈ C, µ 6= 0, t = 0.
Инфинитезимальный оператор сдвига во времени, отвечающий оператору d/dt, является линейным оператором на модуле прямых измерений. Как всякому линейному оператору, ему отвечает
спектр. Нас интересуют в первую очередь дискретные точки спектра. Естественным образом интерес представляют случаи, когда кратность точек дискретного спектра больше единицы. Именно
при этих условиях появляются конечномерные инвариантные неприводимые подпространства размерности выше единицы в модуле прямых измерений.
В случае общего положения (с вероятностью единица) спектр должен быть однократным. Вычисления показывают, что это действительно имеет место. Мы опускаем соответствующие несложные
выкладки, а приводим ответ в следующем абзаце для кратных точек спектра.
Вырождения в спектре эволюционного оператора отвечают случаю повышения кратности собственного числа в дискретном спектре. Ниже мы выписываем по отдельности соответствующие
условия при γ = 3/2 и γ = 2 в (2.24). При выполнении этих
условий кратным оказывается собственное число эволюционного оператора −i p2 κ 2 + V (r0 ) .
Сами дополнительные условия выглядят следующим образом:
а) γ = 3/2, σ (r0 ) = 2pκ, kj (kj + 1/2) µ2 + pσ 0 (r0 ) κ − V 00 (r0 ) = 0, j = 1, 2, где kj — целые или
полуцелые числа, причем |k1 − k2 | ∈ Z — кратность вырождения;
б) γ = 2, σ (r0 ) = 2pκ, σ 0 (r0 ) = κ|r0 = V 00 |r0 = 0, kj (kj + 1) µ2 + pσ 00 |r0 − V 00 (r0 )/2 = 0, j = 1, 2,
где kj — одинаковой четности и |k1 − k2 | ∈ Z — кратность вырождения.
Замечание 2.4. Изложенные в этом пункте результаты являются естественными с точки зрения
теории бифуркаций. В параметрических моделях для значений параметров в общем положении
вырождения отсутствуют. При наличии дополнительных условий (специальный выбор значений
параметров) в моделях появляются вырождения. А. А. Андронову совместно с Л. С. Понтрягиным
принадлежит идея классификации вырождений по степеням негрубости. Современное понятие
заключается в коразмерности вырождения.
3.
ПОНЯТИЕ
НЕЛОКАЛЬНОГО ПЕРВОГО ИНТЕГРАЛА
В монографии [1] подробно описана связь перенормировки векторного поля с перепараметризацией фазовых кривых векторного поля, вызванной перенормировкой скорости движения по ним.
Тщательно прописанный в [1] текст излагает известный ранее факт, что фазовый портрет векторного поля связан с проективизацией векторного поля (см. [31]). Однако, насколько известно
автору, этот текст далеко не с полной глубиной использовался систематически для развития теории обыкновенных дифференциальных уравнений: не анализировалось действие соответствующих
групп на фазовой кривой в когомологиях, т. е. функциях и т. д. в духе идей [22].
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СОЛИТОНОВ
67
3.1. Классические первые интегралы и фазовый портрет векторного поля. Через v обозначим векторное поле на плоскости. Через x(t) обозначим интегральную кривую векторного поля v,
проходящую через точку x0 ∈ R2 :

 dx (t) = v (x (t)) ,
dt

x (t0 ) = x0 ,
где t — время на интегральной кривой векторного поля v.
Определение 3.1. Фазовой кривой (ориентированной направлением) векторного поля v называется образ отображения
t 7→ x (t) ∈ R2
(3.1)
на фазовой плоскости (ориентированной возрастанием времени t в (3.1)).
Замечание 3.1. На фазовой кривой (3.1) действует группа (подгруппа сохраняющих ориентацию) диффеоморфизмов оси времени, которую обозначим через t Diff(t Diff + ).
Если через g(t) обозначить диффеоморфизм из замечания 3.1, то x (g (t)) = g ∗ (x (t)) обозначает
перепараметризацию с помощью диффеоморфизма интегральной кривой x(t).
Замечание 3.2. Если f — функция на фазовой плоскости, определенная на фазовой кривой
векторного поля v, то определена функция на оси времени, обозначаемая через x∗ f, и действие
группы t Diff (подгруппы t Diff + ) на функцию f
g ∗ ◦ x∗ (f ) .
(3.2)
Определение 3.2. Функция f называется частным первым интегралом векторного поля тогда и только тогда, когда она инвариантна относительно действия группы t Diff (подгруппы t Diff + )
на фазовой кривой векторного поля v.
Определение 3.3. Функция f (отличная от тождественной постоянной) называется общим
(нетривиальным) первым интегралом векторного поля v в окрестности точки x ∈ R2 , если она инвариантна относительно действия t Diff (подгруппы t Diff + ) на каждой фазовой кривой
векторного поля v в окрестности точки x.
Замечание 3.3. Первые интегралы образуют алгебру первых интегралов. В окрестности неособой точки гладкого векторного поля эта алгебра порождается одной образующей в гладких функциях. В окрестности особой точки векторного поля ситуация усложняется (см. [6–9, 13, 31]).
3.2. Понятие нелокального первого интеграла.
Определение 3.4. Пусть {xj } , j = 1, . . . , k, — несколько различных фазовых кривых векторного поля v (в окрестности точек xj,0 ∈ R2 ). Синхронизацией на фазовых кривых {xj } мы назовем
набор диффеоморфизмов gj ∈ t Diff (gj ∈ t Diff + ), точнее, набор пар {xj , gj } .
Замечание 3.4. Зафиксируем синхронизацию фазовых кривых {xj } в условиях определения 3.4. Тогда группа t Diff (подгруппа t Diff + ) действует одновременно на наборе пар {xj , gj } ,
j = 1, . . . , k.
Определение 3.5. Пусть fj — функция, определенная в окрестности точки xj,0 . Нелокальным
первым интегралом назовем распределение на фазовой плоскости
H=
k
X
fj · δxj
(3.3)
j=1
тогда и только тогда, когда найдется синхронизация фазовых кривых {xj } , такая что функция
X
gj∗ ◦ x∗j (fj )
(3.4)
инвариантна относительно действия группы t Diff (подгруппы t Diff + ). Другими словами, значение
распределения
X
fj · δxj (gj (t))
(3.5)
68
Р. И. БОГДАНОВ
на характеристической функции множества
k
S
xj на фазовой плоскости не зависит от синхрони-
j=1
зованного времени1 .
Определение 3.6. В условиях определения 3.5 естественно функции fj называть образующими
нелокального интеграла, а точки xj (gj (t)) — носителями первого интеграла, k — числом точек
в носителе.
3.3. Новый инвариант векторных полей: число точек в носителе нелокального первого
интеграла. В этом пункте мы вкратце обсуждаем определения из раздела 3.2.
Для корректного и нетривиального определения числа точек в носителе первого интеграла нужно в определение 3.5 добавить ряд ограничений.
Замечание 3.5. В условиях определения 3.5 число слагаемых можно тривиально увеличить
следующими способами:
а) в качестве образующих можно добавлять тривиальные константы на фазовом пространстве;
б) при наличии гладкого первого интеграла векторного поля v можно разнообразными способами добавлять или изменять образующие нелокального интеграла;
в) добавлять произвольные образующие, выбирая в качестве фазовых кривых, фигурирующих в
определении 3.5, особые точки векторного поля v;
г) строить новые нелокальные интегралы, пользуясь тем, что они образуют алгебру.
Замечание 3.6. Укажем по порядку в условиях замечания 3.5, каким образом можно сформулировать необходимые ограничения:
а) потребуем, чтобы среди fj не содержалось тривиальных постоянных функций на фазовом
пространстве;
б) среди фазовых кривых {xj } , j = 1, . . . , k, нет особых точек векторного поля v;
в) можно искать образующие в алгебре нелокальных первых интегралов с минимальным числом точек в носителе первого интеграла (правда, при этом нужно заботиться о глобальных
свойствах нелокальных первых интегралов, связанных с топологией в фазовом пространстве
используемых фазовых кривых): такая постановка дает новые аналитические нелокальные
интегралы для полиномиальных векторных полей.
Ниже мы приводим теорему о существовании нелокальных интегралов для полиномиальных
векторных полей (подробнее см. [13]).
3.4. Упрощения, связанные с полиномиальностью векторного поля на плоскости. Опишем
образующие fj в (3.3), участвующие в построении нелокального интеграла для полиномиального
векторного поля.
Свойство векторного поля быть полиномиальным инвариантно относительно действия группы
аффинных замен координат, действующей на пространстве всех гладких векторных полей на плоскости. Мы
пользуемся этой аффинной структурой для отождествления касательного пространства
Tx R2 к фазовой плоскости в точке x ∈ R2 с фазовым пространством R2 .
Определение 3.7. Пусть в точке x ∈ R2 фазового пространства векторное поле v не обращается
в нуль. Тогда определена положительная полупрямая на фазовой плоскости R2 , проходящая через
точку x0 в направлении вектора v(xo ).
Параметризуем положительную полупрямую с помощью координаты τ :
x (τ ) = x0 + τ v (x0 ) ,
где τ ∈
Ro+
(3.6)
= {τ ; τ > 0} .
Определение 3.8. Точку на положительной полупрямой (3.6) назовем регулярной, если вектор
скорости в этой точке не нулевой и не коллинеарен вектору v(x0 ).
1
Символ δ-функции в выражениях (3.3) и (3.5) можно трактовать по-разному. Мы далее используем трактовку в
смысле выражения (3.5), т. е. в полном соответствии с выражением (3.4).
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СОЛИТОНОВ
69
_
Пусть x, xj , j = 1, . . . , k — различные регулярные точки на положительной полупрямой. Точке xj
отвечает значение координаты τj на положительной полупрямой. Образующие fj в (3.3) можно
выбрать в виде
fj = ln |τ /τj − 1| ,
(3.7)
где значение τ отвечает точке x на положительной полупрямой.
_
_
Если точке x отвечает значение координаты τ полупрямой, то можно выбрать образующие на
положительной полупрямой в виде:
τ − τ .
_
j
fj = ln _
(3.8)
= ln |τ /τj − 1| − ln τ τj − 1 .
τ − τ j
Замечание 3.7. Образующие вида (3.7) или (3.8) имеют сингулярность в точке τ = τj и соот_
ветственно обращаются в нуль в точках τ = 0 или τ = τ .
Определение 3.9. Образующие вида (3.7) естественно назвать двухточечной, а вида (3.8) —
трехточечной функцией1 .
3.5. Нелокальные интегралы в малом. В условиях определения 3.7 нам нужно рассмотреть
возможность движения точки x0 вдоль интегральной кривой векторного поля v, проходящего
через точку x0 . В обозначениях определения 3.7 мы получаем однопараметрическое семейство
положительных полупрямых (3.6) на фазовой плоскости, где точка x0 заменяется на точку x(t).
В предположении регулярности семейства положительных полупрямых мы получаем на части
фазовой плоскости координаты t, τ, где t ∈ (t0 − ε, t0 + ε) и ε достаточно мало. Обозначим эту
часть фазовой плоскости через Dε .
Замечание 3.8. В условиях определения 3.8 образующие fj (вида (3.7) или (3.8)) естествен_
ным образом определяются на области Dε , если под значениями τ, τ , τj , j = 1, . . . , k, понимать
_
величины, отвечающие точкам x, x, xj , j = 1, . . . , k, лежащим на соответствующих интегральных
кривых векторного поля v.
Через tj обозначим локальное время вдоль векторного поля v на интегральной кривой, отвечающей точке xj определения 3.8.
Параметризуя семейство положительных полупрямых в области Dε величиной tj , мы получаем
зависимость образующей fj от координат (tj , τ ) на Dε .
Теорема 3.1. Найдутся такие знакоопределенные ограниченные функции µj на Dε , что
k
X
µj dfj /dtj = 0,
(3.9)
j=1
если k > n, где n — степень полиномиального векторного поля, а fj даются в виде (3.7)
(k > n + 1, если fj выбираются в виде (3.8)).
Замечание 3.9. Если положить
dtj = λj dt,
(3.10)
λj = dtj /dt,
(3.11)
т. е.
то (3.9) примет вид
k
X
(µj /λj ) dfj /dt = 0.
(3.12)
j=1
Следствие 3.1. В условиях теоремы 3.1 нелокальные первые интегралы векторного поля
даются следующими выражениями:
1
Если вспомнить точку x0 (τ = 0), то можно использовать уточнение: трехточечная, четырехточечная функция,
соответственно.
70
Р. И. БОГДАНОВ
а) если fj выбираются в виде (3.8), то
H=
k
X
εj fj |xj (gj (t)) ,
(3.13)
j=1
где gj (t) — подходящая синхронизация на фазовых кривых {xj } ;
б) если fj выбираются в виде (3.7), то найдется такая инволюция g(t) прямой t (локальная
в окрестности точки t = t0 ) и такие синхронизации gj+ ∈ t Diff и gj− ∈ t Diff на фазовых
кривых {xj } при t > t0 и t < t0 , что
H=
k
X
εj fj |xj (g+ (t)) +
k
X
j
j=1
εj fj |xj (g− (t)) ,
j
(3.14)
j=1
где εj = Sign (µj /λj ) .
Замечание 3.10. В условиях следствия 3.1 выбор образующих нелокального интеграла в виде (3.8) приводит к числу точек в носителе интеграла, равному1 k (k > n) ; выбор в виде (3.7) — к
числу, равному 2k (k > n) .
Доказательство теоремы 3.1 и следствия 3.1 изложены в [13].
4.
ЗАКОНЫ
СОХРАНЕНИЯ В ВИДЕ СВЕРТОК ФУНКЦИЙ
Появление дифференциального исчисления со времени основополагающих работ Ньютона потребовало развития интегрального исчисления. Если предыдущее предложение понимать в духе
интегрирования дифференциальных уравнений, то прошедшие примерно 350 лет привели на сегодня лишь к пониманию того факта, что понятие «интегрирования» и «интеграла» нуждаются в
дальнейшем развитии (см. [1–4, 10, 12, 14, 37]).
Ниже мы излагаем конструкцию новых «интегралов». Классические уравнения математической
физики являются зачастую линейными, поэтому линейная комбинация решений является решением. Этот «принцип суперпозиции» — ключ к использованию разнообразных и мощных методов
линейной алгебры для построения и анализа свойств решений линейных уравнений математической физики.
В разделе 2 мы, отправляясь от линейного уравнения Шредингера, перешли к нелинейному
уравнению Шредингера. При всей геометрической простоте такого перехода мы потеряли «принцип
суперпозиции» в виде, естественном для линейных задач математической физики.
В классической математической физике дуальность зачастую понимается в качестве перехода
от координатного представления к импульсному (наиболее удобно это делать с помощью преобразования Фурье, но используются и другие интегральные преобразования). Такой переход обычно
переводит линейные уравнения в линейные. Дуальность, используемая нами, приводит к нелинейному уравнению Шредингера, отправляясь от линейного уравнения на волновые функции. Мы
полагаем уместным обратить внимание читателя на этот факт.
4.1. Свертка ядер на фазовой прямой в фиксированный момент времени. Ниже мы свободно
пользуемся обозначениями и понятиями, изложенными в разделах 2 и 3.
Для формулировки основного результата введем в рассмотрение фазовую плоскость с координатами (r, r0 ) , где r(x) — образующая кольца прямых измерений, а r0 = dr/dx (мы предполагаем при
этом t = 0).
На фазовой плоскости мы имеем векторное поле для нахождения r(x):
(
r0 = u,
(4.1)
u0 = ∂H/∂r,
где H(r) задается уравнением (2.16).
1
Или иначе, 4k и, соответственно, 8k (см. сноску на с. 69). Нам удобнее работать с числом, указанным в следствии 3.1.
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СОЛИТОНОВ
71
Если r(x) — решение (4.1), то в соответствии с п. 3 фаза ϕ(x) находится квадратурой из уравнения
Z
dϕ/dx =
rδ (r) dr
r2 .
(4.2)
Замечание 4.1. Уравнения (4.1) и (4.2) определяют векторное поле в R3 = {(r, r0 , ϕ)} , являющееся полупрямой суммой (на базе (r, r0 )), векторное поле дается (4.1).
Лемма 4.1 (предварительная). Умножение векторного поля в R3 на положительную функцию приводит к перепараметризации решения (r, r0 , ϕ) .
Доказательство леммы изложено в [1] в случае R2 . То же самое доказательство проходит и в
случае векторного поля в Rn .
Лемма 4.2 (предварительная). Предположим, что в (4.1) и (4.2) правые части являются мероморфными функциями от r с конечным числом полюсов конечного порядка и полиномиальной
регулярной частью ряда Лорана. Тогда после умножения векторного поля в R3 на подходящую
функцию от r (полиномиальную) мы получим полиномиальное векторное поле в R3 .
Определение 4.1. Через N обозначим минимально возможную степень полиномиального поля
леммы 4.2, а само полиномиальное векторное поле степени N назовем регуляризацией системы (4.1), (4.2).
Определение 4.2. Гнездом циклов назовем совокупность линий уровня гамильтониана (4.1),
являющихся компактными овалами и гомологичных между собой.
Рассмотрим N + 1 кривую из гнезда циклов и обозначим соответствующие решения уравнений (4.1), (4.2) через rj (x) (при t = 0). Каждому решению rj (x) отвечает свое уравнение Шредингера и свой левый модуль прямых измерений над кольцом функций с образующей rj (x) и
соответствующей фазой ϕj (x) . Естественным образом обозначим эти кольца через
Rj (p) = E1 (rj (x)) · eipϕj (x) < 1| ,
R
где h 1| ψ (x, t)i = ψ (x, t) dx — образующая модуля на пространстве волновых функций соответствующего уравнения Шредингера.
Пусть σj (x) есть фиксированная однопараметрическая подгруппа (коммутативная) в группе
всех диффеоморфизмов фазовой прямой R. Сверткой вдоль подгрупп σj (x) элементов модулей
E1 (rj (x)) · eipϕj (x) назовем выражение
k
Y
j=1
ipϕj (x)
⊗ qj (x) e
σj (x)
ipϕ1 (x) = q1 (x) e
ipϕk (x) σ1 (x)
. . . qk (x) e
σk (x)
.
Теорема 4.1. Пусть в предыдущих обозначениях k > N. Тогда существуют такие qj (x)
элементы модуля E1 (r (x)) и такие подгруппы σj (x) , что


k
Y

⊗ qj (x) eipϕ(x) = const eipϕ(x) .
(4.3)
j=1
σj (x)
Теорема 4.2. Пусть в предыдущих обозначениях k > N. Тогда существуют такие элементы
модулей E1 (rj (x)) · eipϕj (x) и такие подгруппы σj (x), что
k
Y
j=1
⊗ qj (x)eipεj ϕj (x) = const ∈ R,
(4.4)
σj (x)
где εj = −1 или +1.
Следствие 4.1. Если в условиях теоремы 4.1 выбрана фазовая кривая r(x), такая что фаза ϕ(x) является монотонной функцией, то существует такая подгруппа σ(x) в группе диффеоморфизмов фазовой прямой R = {(x)} , что
"
#
k
Y
= const eipκx .
⊗
qj (x) · eipϕ(x) j=1
σ(x)·σj (x)
σ(x)
72
Р. И. БОГДАНОВ
Таким образом, мы получаем прямое измерение, совпадающее с измерением, отвечающим критической точке гамильтониана (раздел 2.4). Следовательно, мы можем поставить по-новому задачу
квантования уровней энергий в теории прямых измерений.
Доказательство теорем 4.1, 4.2. Доказательство теоремы 4.1 следует из следствия 3.1. Действительно,
k
X
εj ln |τ /τj − 1|σj (x) = const,
j=1
т. е.
k
Y
|τ /τj − 1|εj |σj (x) = const ∈ R.
j=1
Осталось вложить образующие |τ /τj − 1|εj в кольцо коэффициентов E1 (r (x)) . Эта процедура не
вызывает никаких затруднений (потребует уточнений, которые мы не обсуждаем здесь, оставляя
это читателю) в соболевских пространствах функций и т. п. Другой возможностью является изучение гладкости вложений, т. е. возможность рассмотрения с точки зрения теории особенностей
гладких функций.
Дополнительное замечание заключается в необходимости продолжить интегралы следствия 3.1
на всю вещественную ось {x} ∈ R. Если в качестве базы накрытия фазовой плоскости (см. раздел 3) выбирать выпуклую кривую векторного поля из замечания 4.1, а в качестве прочих фазовых
кривых выбирать выпуклые кривые, то проблем продолжения нет. В случае невыпуклых прочих
фазовых кривых вопрос продолжения тривиально решается с помощью перехода на универсальную
накрывающую соответствующей фазовой кривой.
Доказательство теоремы 4.2 также следует из следствия 3.1 с двумя уточняющими замечаниями.
При доказательстве теоремы 4.1 мы вводим подгруппы в группе диффеоморфизмов на одной
фазовой кривой векторного поля (4.1). В теореме 4.2 мы нуждаемся в выборе групп σj (x) на
различных фазовых кривых из гнезда циклов векторного поля (4.1). Опишем подробнее, как можно
выполнить согласование подгрупп на одной фазовой кривой гнезда с подгруппой на другой фазовой
кривой.
Для этого заметим, что гамильтониан векторного поля (4.1) имеет стационарную подгруппу
фазового портрета в группе диффеоморфизмов фазовой плоскости.
Если гамильтоново векторное поле представить в виде
0 1
v = IdH =
grad H,
(4.5)
−1 0
то векторное поле η вида
η = grad H/kgrad Hk2
(4.6)
является генератором стационарной подгруппы фазового портрета векторного поля v. Несложные
вычисления показывают, что
[v, η] = λv,
(4.7)
где
"
#,
dU 2
∂2U
2
y −
kgrad U k4 ,
λ= 1−
∂x2
dx
H = y 2 2 + U (x) , x, y — координаты на фазовой плоскости.
Отсюда мы получаем, что векторные поля G· v и η коммутируют между собой, если в качестве G
взять функцию
Z
G = G0 · exp
(4.8)
λ,
η
где G0 — начальное условие на выбранной фазовой кривой векторного поля v, а
R
λ обозначает
η
интеграл вдоль интегральной кривой векторного поля η.
Осталось заметить, что сингулярности векторного поля η лежат в критических точках гамильтониана H и сингулярностях потенциала U (x). Следовательно, если выбирать фазовые кривые
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СОЛИТОНОВ
73
из гнезда циклов гамильтониана H таким образом, что между ними нет указанных сингулярностей векторного поля η, то вышеприведенные выкладки показывают возможность орбитального
сопряжения указанных фазовых кривых.
5.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вышеизложенная теорема о существовании соотношений в модулях прямых измерений позволяет с новой точки зрения подойти к решению ряда классических проблем квантовой механики
(см. [17, 19, 24–26]).
Свертки функций возникают естественным образом в теории вероятностей: сумме двух одномерных независимых случайных величин отвечает плотность, являющаяся сверткой плотностей
слагаемых (см. [20]). Обобщение этого факта на случай нескольких независимых слагаемых может быть тривиально выполнено привлечением кратного интегрирования. Выше мы изложили при
указанных ограничениях другой подход к сверткам ядер прямых измерений.
Выше мы указали соотношения в модулях прямых измерений «статического» вида. В разделе 2.4
в рассмотрение введены «динамические» единицы. Точнее, это прямые измерения, удовлетворяющие соотношениям
I˙k,l = iwIk,l ,
(5.1)
где w ∈ R.
Измерения, удовлетворяющие (5.1), называются единицами потому, что
|Ik,l | = const,
т. е. не зависят от времени (в частности, связаны с критическими точками соответствующей
гамильтоновой системы). Таким образом, если при t = 0 const 6= 0, то измерение показывает
наличие частицы в канале Ik,l .
Естественным образом возникает вопрос о соотношениях относительно «динамических» единиц.
Уместно отметить, что прямые измерения являются ковекторами относительно пространства волновых функций. «Динамические» единицы появляются естественным образом также в тензорах
типа (1,1). Это ведет к техническому усложнению вышеизложенной конструкции.
Прямые измерения описывают переходные процессы квантовой механики, рассмотрение которых невозможно в рамках классической квантовой механики (см. [24, 29]). «Статичные» единицы
лежат в пересечении различных модулей прямых измерений. Таким образом, мы получаем новую возможность интерпретации «принципа неопределенности» в квантовой теории переходных
процессов (см. [12, 15]).
Точнее, если рассмотрим переходной процесс за время T, то мы имеем возможность разложить
его в композицию переходных процессов, связанных с сомножителями свертки. При этом в зависимости от порядка сомножителей в выходе переходного процесса за время T можно взять любой
процесс из сомножителей. Этот факт находится в полном согласии с интерпретацией процессов
измерения с точки зрения классической квантовой механики, т. е. теории косвенных измерений
(см. [26, 29]).
Наконец, отметим соотношения в одном модуле прямых измерений, что приводит к прямым
измерениям с помощью классического метода «искаженных волн».
Серию счетного числа локальных интегралов в классической теории солитонов предъявил
С. П. Новиков в [27]. В. И. Арнольд в [2] предъявил локальные инварианты дробного вида со
ссылкой на работы Трессе 1894 г. Конечно, имеется связь между изложенными выше новыми
нелокальными законами сохранения и традиционными локальными. Мы здесь не останавливаемся
на изучении этой связи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андронов А. А., Леонтович В. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических
систем. — М., 1966.
2. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.
3. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1984.
4. Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. — M.: МГУ, 1983.
74
Р. И. БОГДАНОВ
5. Богданов Р. И. Теория прямых измерений по Пуанкаре—Эренфесту для нестационарного уравнения
Шредингера на прямой// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. — 1977. — № 20. — C. 226–269.
6. Богданов Р. И. Симплектическая орбитальная эквивалентность векторных полей на плоскости (элементарные особые точки)// Математика и моделирование. — Пущино, 1990. — С. 32–45.
7. Богданов Р. И. Интегралы почти интегрируемых наборов векторных полей на плоскости// Тр. сем. им.
И. Г. Петровского. — 1992. — № 16. — C. 70–105.
8. Богданов Р. И. Локальная орбитальная эквивалентность векторных полей на плоскости. — М.:
МГУ, 1993.
9. Богданов Р. И. Локальные относительные интегральные инварианты, связанные с фазовым портретом
векторного поля на плоскости// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. — 1993. — № 17. — C. 261–277.
10. Богданов Р. И. Сингулярные относительные интегральные инварианты и адиабатические процессы
термодинамики// Итоги науки и техн. — М.: ВИНИТИ, 1997. — 47. — C. 35–65.
11. Богданов Р. И. Нелокальные первые интегралы полиномиальных векторных полей на плоскости// Тр.
семинара «Время, хаос и математические проблемы». — M.: Книжный дом «Университет», 2000. — 2. —
C. 203–213.
12. Богданов Р. И. Спектрометрия в слабодиссипативной теории Колмогорова—Арнольда—Мозера// Тр.
семинара «Время, хаос и математические проблемы». — M.: Книжный дом «Университет», 2000. — 1. —
C. 203–224.
13. Богданов Р. И. Нелинейные динамические системы на плоскости и их приложения. — М.: Вузовская
книга, 2003.
14. Богданов Р. И. Локальные инварианты динамических систем на плоскости// Тр. семинара «Время,
хаос и математические проблемы». — М.: Книжный дом «Университет», 2004. — 3. — C. 105–120.
15. Богданов Р. И., Расторгуев В. А. Принцип неопределенности в классической механике// Математические методы и приложения. Труды пятых математических чтений МГСУ (26–31 января 1998). — М.:
МГСУ, 1998. — С. 82–84.
16. Боголюбов Н. Н. Избранные труды (в 3-х томах) — Киев: Наукова думка, 1969 (Т. 1), 1970 (Т. 2), 1971
(Т. 3).
17. Валентэн Я. Субатомная физика (ядра и частицы) (в 2-х томах). — М.: Мир, 1986.
18. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. — М.: Мир, 1981.
19. Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов. — М.: Мир, 1984.
20. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1988.
21. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы// Итоги науки и техн., сер.
Совр. пробл. мат., Фундам. напр. — М.: ВИНИТИ, 1985. — 4. — С. 179–284.
22. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. — М.: Наука, 1972.
23. Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. — М.: Наука, 1985.
24. Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. — М.: Наука,
1972.
25. Мессиа А. Квантовая механика (в 2-х томах) — М.: Наука, 1978–1979.
26. Нейман Дж. Математические основы квантовой механики. — М.: Наука, 1964.
27. Новиков С. П. Периодическая задача Кортевега де Фриза// Функц. анализ и его прилож. — 1974. — 8,
№ 3. — С. 54–66.
28. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989.
29. Пенроуз Р. Новый ум короля: o компьютерах, о мышлении и законах физики. — М.: Едиториал УРСС,
2005.
30. Петровский И. Г. Избранные труды. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1987.
31. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. — М. Л.: Гостехиздат, 1947.
32. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980.
33. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1970.
34. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. — М.: Наука, Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1986.
35. Фейман Р. Теория фундаментальных процессов. — М.: Наука, 1978.
36. Солитоны. — М.: Мир, 1983.
37. Bogdanov R. I. Groups of symmetries for thermodynamics with degree of freedоm one// Abstr. of
International Geometrical Colloqium, UNESCO, Moscow, May 10–14, 1993, C. 6.
38. Gardner C. S., Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteveg—de Vries
equation// Phys. Rev. Lett. — 1967. — 19. — С. 1095–1097.
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СОЛИТОНОВ
75
39. Zabuski N. J., Kruskal M. D. Interaction of «solitons» in a collisionless plasma and the recarrence of initial
states// Phys. Rev. Lett. — 1965. — 15. — С. 240–243.
Рифкат Ибрагимович Богданов
Научно-исследовательский институт ядерной физики
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
E-mail: bogdanov@bogdan.npi.msu.su