Власов А

Власов А.В.
(ВятГУ, г. Киров, РФ) artjomv@gmail.com
ВЛИЯНИЕ ТОЛЩИНЫ И ЧИСЛА ОБОРОТОВ КРУГЛОЙ ПИЛЫ
НА ЕЁ ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
INFLUENCE OF THICKNNESS AND SPEED CIRCULAR SAW
TO HER NATURAL FREQUENCY
Требуемые технико–экономические показатели круглых пил в значительной
степени определяются их работоспособностью. От работоспособности круглой пилы
зависят энергозатраты, качество распиловки, потери древесины в опил. Потеря работоспособности пильного диска связана с потерей динамической устойчивости (изгибными колебаниями) при минимальной критической частоте вращения. Таким образом,
каждая круглая пила с заданными параметрами имеет предельно допустимую частоту
вращения. Превышение предельно допустимой частоты вращения вызывает значительное отклонение пилы от плоского состояния, что приводит к ухудшению качества распиловки, и может вывести диск из строя. Предельно допустимая частота вращения
устанавливается частотой собственных колебаний пильного диска.
В работе определяется частота собственных поперечных колебаний пильного
диска постоянной толщины, закреплённого по внутреннему контуру планшайбой.
Предполагаем, что распределение напряжений в пиле от нагрева и центробежных сил
инерции имеет осесимметричный характер. Рассматривая малые поперечные колебания
пильного диска, пренебрегаем изменением напряжений в срединной плоскости пилы
при колебаниях диска.
Дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний пильного диска в
цилиндрической системе координат[1]:
w 1 Vоб.сил w 
 V
Dw  h   об.сил


 r r r   
 2w
 1 w 1  2 w 
 1 2w
1 w 


  ,
 h  r 2    
 2

2


r 
2 
2
 r r r  
 r r   r  
 r
2w
 h 2  0
t
(1)
где r, θ – цилиндрические координаты;
2 1 
1 2
 2 
 2
– оператор Лапласа в цилиндрических координатах [2];
r
r r r  2
1  n 
Vоб.сил      r 2 – удельная потенциальная энергия объемных сил;
2  30 
 r и   – нормальные компоненты напряжения по осям r и  ;
2
 r – касательная компонента напряжения (  r  0 , т.к. напряженное состояние
осесимметрично);
 – плотность материала диска пилы;
n – число оборотов диска пилы;
t – время;
w – прогиб пластинки;
E  h3
– цилиндрическая жесткость [2];
D
12  1   2


Е – модуль упругости Юнга;
h – толщина диска;
 – коэффициент Пуассона.
При определении частот собственных колебаний диска, в качестве внешних
нагрузочных факторов действующих на диск рассматриваем центробежные и тепловые
нагрузки.
Напряжения от действия центробежных сил определяем по следующим зависимостям [3]:
3 v  n 2
r 
 
 b 
8
 30 
2
 n
2
2
2
2
  a  (3   )  (1   )  b  (1   )  a
 30 

8  [a 2  (1   )  b 2  (1   )]

2
 


 n
2
2
2
2
2
 
  a  b  (3   )  (1   )  b  (1   )  a
30

 

8  r 2  [a 2  (1   )  b 2  (1   )]

2

,
(2)
,
(3)
   n  2 3 
  
 r 
8
 30 
2
3 
 n 2
 
 b 
8
 30 
2
 
 n
2
2
2
2
 
  a  (3  v)  (1   )  b  (1   )  a
30 
 

8  [a 2  (1   )  b 2  (1  v)]
2


 n
2
2
2
2
2
 
  a  b  (3   )  (1   )  b  (1   )  a
30

 

8  r 2  [a 2  (1   )  b 2  (1   )]
2


   n  2 1  3 
  
 r 
8
 30 
2
где а – радиус планшайбы;
b – радиус пильного диска.
Для определения термомеханичеких напряжений сперва необходимо определить тепловое поле пильного диска.
Распределение температуры по радиусу диска пилы описывается зависимостью
[4]:

t (r )  t  t  t
H
H В

 2 (а)   I  r 2 (r )   I  a 2 (а)   K  r 2 (r ) 
K a
 0
 1
 0

1
 hm   hm   hm   hm 
 2 (а)   I  b 2 (b)   I  a 2 (а)   K  b 2 (b) 
K a
 0
 1
 0

1
 hm   hm   hm   hm 
,
(4)
где I0, K0, I1, K1 – функции Бесселя соответственно первого и второго рода нулевого и
первого порядка аргумента;
tВ – температура окружающей среды;
tН – температура на наружном радиусе (b) диска;
λm – коэффициент теплопроводности материала диска круглой пил.
Коэффициент теплоотдачи от диска воздуху α(r), определяется по формуле [4]:
(5)
 (r)  с   r 2 1,
f
f
где  – угловая скорость;
с и  – коэффициенты, зависящие от вида, параметров охлаждающей среды и условий охлаждения;
λf – коэффициент теплопроводности воздуха при температуре окружающей среды;
νf – коэффициент кинематической вязкости воздуха при температуре окружающей
среды.
Напряжения, возникающие от неравномерного нагрева диска пилы, в радиальном и тангенциальном направлениях σr(r) и σθ(r) определяются по формулам [3]:


b


 t (r )rdr

1 r
a 2 
a


 r (r )  E л  2  t (r )rdr 
1



1


,
(6)
2 
2
 r a

r
a

b 2 1   1   2  


b 





b
 r

 t (r )rdr

1
a 2 
a

 (r )  E л 2  t (r )rdr  t 
(7)
1   1   2 ,
r a
r 
a2  
2
b 1   1   2 


b 



где αл – коэффициент линейного расширения материала круглой пилы.
Наиболее эффективным методом решения дифференциального уравнения (1) является приближённый метод Бубнова–Галеркина. Для приближенного решения задачи
по данному методу задаемся выражением для прогиба в виде суммы конечного числа
членов:
w  w1  w2
2
(8)
w1  a(r  a)  (1  B1  r  B2  r 2 )  sin(  )  sin(   t ) ,
2
2
3
w2  a(r  a)  (1  A2  r  A3  r )  sin(  )  sin(   t )
a, a – вариационные параметры;
где
 – число узловых диаметров;
 – частота собственных колебаний диска пилы;
B1 , B2 , A2 , A3 – безразмерные коэффициенты.
Функции (8) автоматически удовлетворяют граничным условиям на внутреннем
контуре. На внутреннем радиусе диска, равном радиусу планшайбы (r=a), прогиб и угол
поворота пластины равны нулю [4]:
(9)
w  0,
w
 0.
(10)
r
Безразмерные коэффициенты B1 , B2 , A2 , A3 определяются из условия, что функции (8) удовлетворяют граничным условиям на внешнем контуре[4]:
 2 w
 1 w 1  2 w 
 0,
M r   D  2   
 2
(11)
2 
r

r

r
r






2


1    w
1 w  
Qr  (1   )
 2
 (w)  0 .
(12)
r   r  r   r


Подставляя функции (8) в дифференциальное уравнение (1) вариационное уравнение Бубнова–Галеркина примет вид:
t 2 b 2

 Vоб.сил w 1 Vоб.сил w 
t a 0 Dw  h   r r  r    
1
.
(13)
2
 2w
 1 w 1  2 w 

 w
  h 2 wr dr d dt  0
 h  r 2    
 2
2 
t 
 r r r  
 r
В данном вариационном уравнении за начальный момент времени примем t1  0 , а за
2
конечный момент времени – период рассматриваемого свободного колебания t 2 
,

тогда вариационное уравнение перепишется в виде:
b 2

a 0


 2w
 1 w 2 
Vîá .ñèë w


 h  r 2    
 2 w   h   2 wwr dr d  0 .
Dw  h 
r r


 r r r 
 r


(14)
Вследствие независимости вариаций a  и a множители при них должны обращаться
в нуль. Это приводит к системе линейных уравнений относительно a  и a :
S1  a  S 2  a  0
,

S3  a  S 4  a  0
(15)
где
b 2
S1  

a 0
b 2
S2   
a 0
b 2
S3   
a 0
b 2
S4  

a 0


  2 w1
 1 w1 2 
Vîá .ñèë w1
2


 h  r



w

h



w
Dw1  h 


1
1 w1r dr d  0
2
2
r r


 r r r

 r


  2 w2
 1 w2 2 
Vîá .ñèë w2


 h  r
   
 2 w2   h   2 w2 w1r dr d  0
Dw2  h 
2
r
r
r


 r r r




2
2


  w1
 1 w1 

Vîá .ñèë w1


 h  r
   
 2 w1   h   2 w1 w2 r dr d  0
Dw1  h 
2
r r
r


 r r r




2
2


  w2
 1 w2 

Vîá .ñèë w2


 h  r
   
 2 w2   h   2 w2 w2 r dr d  0
Dw2  h 
2

r

r

r
r

r
r







Приравнивая к нулю определитель системы (15):
S1  S 4  S 2  S3  0
находим частоту собственных колебаний пильного диска.
Рассмотрим пример расчета частоты собственных колебаний для пильного диска
диаметром 2b=1000 мм, диаметром планшайбы 2a=160 мм. В расчёте принимаем следующие параметры материала пилы (сталь 9ХФ): модуль упругости Юнга
E  2,1  10 5 МПа ; коэффициент Пуассона ν=0,27; плотность материала   7850 ã / ñì 3 ;
коэффициент линейного расширения материала круглой пилы  ë  11,5 106 C 1 . Температура окружающей среды tВ=20 0С; температура на наружном радиусе (b) диска[]
tН=90 0С. Коэффициенты, зависящие от вида и параметров охлаждающей среды и условий охлаждения с=0,0287 и  =0,8; коэффициент теплопроводности воздуха при температуре окружающей среды λf=0,0259 Вт/(м2 ºС); коэффициент теплопроводности материала диска круглой пил λm=44,7 Вт/(м2 ºС); коэффициент кинематической вязкости
м2
воздуха при температуре окружающей среды  f  15,06  10 6
. Расчет ведем для
с
дисков толщиной от 2 мм до 5 мм с шагом 0,5 мм и числом оборотов от 750 об/мин до
1550 об/мин с шагом 50 об/мин.

Результаты расчетов представлены в графическом виде на рисунках 1 и 2, отображающих зависимость частоты собственных колебаний рассматриваемого пильного
диска от его числа оборотов и толщины для одного (   1 ) и двух (   2 ) узловых диаметров.
2400.0
2200.0
2000.0
Частота 1800.0
собственных
1600.0
колебаний,
об/мин
1400.0
3
900
4
Толщина, мм
750
5
1050
800.0
2
1500
1200
1000.0
1350
1200.0
Частота
вращения,
об/мин
Рисунок 1. Зависимость частоты собственных колебаний с одним узловым диаметром от толщины и частоты вращения пильного диска
2400.0
2100.0
1800.0
Частота
собственных
1200.0
колебаний,
900.0
об/мин
600.0
1500.0
300.0
1450.0
1550.0
1350.0
1250.0
1150.0
1050.0
950.0
850.0
2.0
750.0
Толщина
, мм
3.5
5.0
0.0
Частота вращения, об/мин
Рисунок 2. Зависимость частоты собственных колебаний с двумя узловым диаметрами от толщины и частоты вращения пильного диска
Расчет пильных дисков, рассмотренных в примерах, так же был проведен с использованием метода конечных элементов в программном комплексе ANSYS, который
показал расхождение результатов не более 5%.
Максимальное число оборотов пильного диска определяется по зависимости[5]:
n  0,85  nkp ,
(16)
где nêð 
30
.

Таким образом, на основании представленной модели найдены зависимости частоты собственных колебаний диска пилы от его толщины и числа оборотов, используя
которые, возможно определить наиболее рациональные толщину и число оборотов
пильного диска с точки зрения его устойчивости.
Список использованных источников
1. Жодзишский Г.А. Влияние напряжений от неравномерного нагрева, проковки и
центробежных сил инерции на частоты свободных колебаний круглых пил: диссертация ... кандидата технических наук.- ЛТА, 1958.
2. С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер Пластинки и оболочки / пер. с англ.;
под ред. Г. С. Шапиро. - Изд. 3-е, М.: Наука, 1966 - 635 с. ил, табл.; 22 см.
3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ./Под ред. Г.С. Шапиро. – 2-е изд. – М.: Наука, 1979, 560 с.
4. Пашков В.К. Теплофизика резания древесины круглыми пилами: монография.
Екатеринбург: Урал. гос. лесотехн. ун-т, 2007,311с. ISBN 978-5-94984-144-0.
5. Стахиев Ю.М. Работоспособность плоских круглых пил. – М.: Лесн. пром-сть,
1989. – 384 с. ISBN 5 – 7120 – 0197 – 7.