«Утверждаю» Председатель Ученого совета математико- механического факультета СПбГУ, декан

«Утверждаю»
Председатель Ученого совета математикомеханического факультета СПбГУ, декан
математико-механического факультета СПбГУ
профессор Леонов Г.А. ________________
«10» мая 2012 г.
Программа вступительного экзамена
по специальности научных работников
01.01.02
«Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное
управление»
«Качественная теория дифференциальных уравнений»
Утверждена на заседании Ученого совета математико-механического
факультета СПбГУ, протокол № 5 от 10.05.2012г.
Санкт-Петербург
2012
Специализация «Дифференциальные уравнения»
и «Прикладная кибернетика»
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
1. Теорема Пеано.
2. Теорема о сходимости ломаных Эйлера в случае единственности.
3. Понятие интеграла уравнения первого порядка в симметричной форме.
4. Уравнение в полных дифференциалах.
5. Интегрирующий множитель.
6. Линейное уравнение 1-го порядка.
7. Система дифференциальных уравнений, разрешенных относительно
старших производных. Приведение к нормальной системе. Задача Коши.
8. Векторная запись нормальной системы. Геометрическое и механическое
истолкование.
9. Условие Липшица. Лемма о связи локального и глобального условий
Липшица.
10. Лемма о связи условия Липшица с дифференцируемостью.
11. Система интегральных уравнений, эквивалентная задаче Коши.
12. Метод последовательных приближений Пикара. Сходимость.
13. Теорема существования Пикара.
14. Лемма Гронуолла.
15. Теорема единственности.
16. Необходимое и достаточное условие продолжимости решения.
17. Максимальный промежуток задания.
18. Поведение решений при приближении к границе максимального
промежутка задания. Случай ограниченных правых частей.
19. Поведение решений при приближении к границе максимального
промежутка задания. Общий случай.
20. Продолжимость решений систем, сравнимых с линейными.
21. Интеграл системы дифференциальных уравнений. Постоянство
его вдоль решения.
22. Независимые интегралы. Понижение порядка системы с помощью
промежуточных интегралов.
23. Полный интеграл системы, его свойства.
24. Существование полного интеграла.
25. Линейные однородные уравнения. Определение, основное свойство.
26. Линейно независимые решения линейного однородного уравнения.
Вронскиан.
27. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения.
28. Линейные неоднородные уравнения.
29. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
30. Линейные однородные системы. Основное свойство.
31. Линейно независимые решения линейной однородной системы.
32. Фундаментальная система решений линейной однородной системы.
Общее решение.
33. Общее выражение для фундаментальной матрицы. Формула Лиувилля.
34. Линейные неоднородные системы.
35. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.
Метод Эйлера.
36. Аналитические функции от матриц. Радиус сходимости.
37. Аналитичность функции от подобных матриц.
38. Определение и свойства функции exp A.
39. Структура матрицы exp{At}.
40. Лемма о сравнении решений двух систем.
41. Теорема об интегральной непрерывности.
42. Решение, удовлетворяющее условию Липшица по начальным данным.
43. Непрерывность фундаментальной матрицы решений линейной системы
по параметрам.
44. Дифференцируемость решений по начальным данным и параметрам.
45. Теорема Коши об аналитичности решений по аргументу.
46. Теорема Коши для линейных систем.
47. Автономные системы.
48. Теоремы об устойчивости линейных систем.
49. Оценка матрицы exp{At}.
50. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
I. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Введение
Линейные системы. Существование, единственность, продолжимость
решения задачи Коши. Связь между интегральными матрицами.
Сопряженная система, ее интегральная матрица. Матрицант, его
свойства, аналитичность по параметру. Структура вещественной
интегральной матрицы в случае вещественной автономной системы.
Системы с периодическими коэффициентами. Матрица монодромии,
мультипликаторы, теория Флоке, вычисление мультипликаторов методом
разложения в ряд по параметру, мультипликаторы сопряженной системы.
Характеристические
показатели Ляпунова
Определение и свойства показателя. Показатель суммы, произведения,
линейной комбинации конечного числа функций. Строгий показатель,
признак его существования. Показатель интеграла Ляпунова. Показатель
функциональных матриц.
Показатели решений линейных систем
с ограниченными коэффициентами
Теорема о конечности показателей нетривиальных решений. Признак
линейной независимости решений. Спектр системы. Лемма о вычислении
показателя по целочисленным последовательностям. Нормальные
фундаментальные системы, признак нормальности. Неравенство Ляпунова
для суммы характеристических показателей.
Приводимые системы
Преобразование Ляпунова, его свойства. Теорема Еругина о
приводимости систем с периодическими коэффициентами. Приводимость
к системе с нулевой матрицей. Понятие почти приводимости. Его
свойства. Почти приводимость линейной системы к вещественной
диагональной.
Правильные системы
Определение правильности линейной системы, признак.
Правильность систем, приводимых к системам с постоянными
коэффициентами. Признак правильности Перрона. Коэффициенты
неправильности Ляпунова, Перрона, Гробмана. Структура
интегральной матрицы правильной системы.
Системы с периодическими
коэффициентами
Гамильтоновы системы. Однородные омега-периодические системы.
Нормальные решения, условия существования омега-периодических и
анти-омега-периодических решений. Неоднородные омега-периодические
системы. Условия существования единственного омега-периодического
решения. Существование омега-периодического решения в случае наличия
таковых у однородной системы. Теорема Массера. Существование омегапериодического решения у системы с малой нелинейностью.
Канонические системы. Их свойства, свойства решений. Возвратность
характеристического уравнения системы с периодическими коэффициентами.
Системы, инвариантные относительно обращения времени.
Устойчивость линейных систем
Теоремы об устойчивости линейных неоднородных систем.
Связь между устойчивостью и ограниченностью решений однородных
систем, признак асимптотической устойчивости в терминах показателей.
Асимптотическая устойчивость систем Лаппо-Данилевского. Влияние
линейного возмущения на свойство устойчивости. Теорема о сохранении
устойчивости, о сохранении асимптотической устойчивости, о совпаении
множеств храктеристических показателей исходной и возмущенной систем.
Метод малого параметра оценки характеристических показателей системы.
Принцип линейного включения.
Центральные показатели
Оценки характеричтиеских показателей линейной системы. Понятие о
верхнем и нижнем центральных показателях. Оценка Важевского. Оценки
Лозинского. Оценка Алексеева. Теорема Винограда о границах подвижности
крайних показателей. Теорема Миллионщикова о достижимости центральных
показателей.
Устойчивость характеристических показателей
Определение. Теорема о достаточном условии устойчивости.
Устойчивость показателей автономных и приводимых к автономным
систем. Условие совпадения показателей исходной и возмущенной
систем. Теорема Былова-Изобова-Миллионщикова. Коэффициентный
признак Изобова устойчивости показателей системы второго порядка.
Уравнение Хилла
Постоянная Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости
уравнеия Хилла. Теорема о неустойчивости. Понятие о
параметрическом резонансе.
II. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
Основные понятия и определения. Оператор Ляпунова.
Функции Ляпунова. Основные теоремы второго метода Ляпунова.
Функции Ляпунова линейных систем. Устойчивость по первому
приближению. Первый метод Ляпунова. Теорема о разложении решений.
Устойчивая и неустойчивая инвариантные поверхности.
Линеаризация автономной системы. Ее нормальная форма.
Нормальная форма на инвариантной поверхности. Формальная и
аналитическая эквивалентность.
Аналитические семейства периодических решений.
Системы с интегралом.
Бифуркация периодических решений из положения равновесия.
Квазинормальная форма. Формальная и аналитическая эквивалентность.
Принцип сведения.
Критический случай одного нулевого корня. Критический случай
пары чисто мнимых корней. Алгебраический и трансцендентный случаи.
Устойчивость периодических решений периодических и автономных
систем.
III. ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ
Пространства динамических систем.
Гиперболичность.
Условия грубости.
Системы Морса-Смейла.
Аксиома A.
IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Введение
Предварительные сведения из теоии аналитических функций.
Аналитическое продолжение решений. Отсутствие подвижных особенностей
у решений линейных систем.
Изолированные особенности линейных систем
Структура фундаментальной матрицы в окрестности изолированной
особенности. Регулярные и иррегулярные особенности. Критерий
регулярности.
Регулярные особенности
Построение фундаментальной матрицы. Формальные решения.
Структура фундаментальной матрицы в случае особенности n-го
порядка. Срезающее преобразование. Регулярные особенности
линейных уравнений. Уравнения класса Фукса. Схемы Римана и
Гаусса.
Иррегулярные особенности
Сведения из теории асимптотических рядов. Построение
формальных решений. Асимптотические разложения решений.
Явление Стокса.
V. КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДВУМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Общая теория динамических систем
Некоторые сведения из теории автономных систем дифференциальных
уравнений. Определение общей динамической системы. Основная
классификация движений и траекторий. Предельные множества
траекторий. Устойчивость по Лагранжу. Классификация траекторий
по свойствам предельных множеств.
Теория Пуанкаре-Бендиксона
Векторное поле, индуцированное динамической системой на
гладком многообразии. Теория трансверсалей. "Прямоугольник"
траекторий и его свойства. Контур Бендиксона. Отсутсвие
замкнутых устойчивых по Пуассону траекторий на Rќ, R x S,
Sќ и др. жордановых многообразиях. Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
Принцип кольца. Сосуществование замкнутых траекторий и точек
покоя. Теорема о еже (на Sќ).
Поведение траекторий в окрестности изолированной точки
покоя (общая теория). Классификация точек покоя. Продолжение
траектории за состояние равновесия. Уточнение структуры
предельных множеств, содержащих незамкнутые траектории.
Теория циклов. Функция последования Пуанкаре. Связь
неподвижных точек функции последования с замкнутыми
траекториями. Характеристический показатель замкнутой
траектории. Критерий ее устойчивости. Критерий Бендиксона
об отсутствии замкнутых траекторий.
Свободные колебания
Уравнения Льенара. Поведение и устойчивость его
предельного цикла при воздействии параметра. Уравнение
Левинсона-Смита.
Траектории на торе
Число вращения. Зависимость природы числа вращения от
наличия замкнутой траектории. Поведение траекторий при
рациональном и иррациональном числах вращения. Теорема
Данжуа.
V. ЛОКАЛЬНАЯ КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Исключительные направления, нормальные области, проблемы
различения Фроммера.
Квазилинейные системы.
Проблема центра и фокуса.
Поведение траекторий на бесконечности.
Разрешение сложных особенностей аналитических систем.
Окрестность изолированной особой точки в R^n, n ™ 3.
Метод "раздувания" особенности. Теоремы Гомори.
Однородные системы.
VI. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Периодические решения
Периодические решения периодических систем дифференциальных
уравнений. Решения с несоизмеримыми периодами. Теорема
Курцвейля-Еругина.
Метод Пуанкаре в теории пеиодических решений.
Нерезонансный случай.
Резонансный случай.
Метод осредненияв теории периодических колебаний.
Случай автономных систем. Зависимость периода от
параметров и положения.
Ограниченные решения
Квазилинейные системы.
Устойчивые ограниченные решения.
Седловые ограниченные решения.
Необходимые и достаточные уловия существования ограниченных
решений у систем с произвольной матрицей первого приближения.
Интегральные многообразия
Понятие интегрального множества и интегрального многообразия.
Теорема Ляпунова-Перрона.
Интегральные многообразия автономных и периодических систем.
Теорема Крылова-Боголюбова и ее обобщения.
Дифференциальные свойства интегральных многообразий.
Устойчивость интегральных многообразий.
Периодическое возмущение цикла автономной системы.
Теорема Левинсона.
Принцип сведения в теории устойчивости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем
дифференциальных уравнений. Издательство Санкт-Петербургского
университета, 1992.
2. Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений.
"Вышэйшая школа". Минск, 1979.
3. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г.
Качественная теория динамических систем второго порядка.
М., Наука, 1967.
4. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г.
Теория бифуркаций динамических систем на плоскости.
М., Наука, 1967.
5. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978.
6. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных
уравнений. М., 1954.
7. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.
Высшая школа, М., 1991 (с грифом Мин-ва).
8. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их
бифуркации. Монография. Издательство Ленинградского
университета, Л., 1991.
9. Бибиков Ю.Н. Дифференциальные уравнения на гладких многообразиях.
Издательство Санкт-Петербургского университета. СПб, 1995 (с грифом).
10. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных
уравнений. М., 1979.
11. Былов Б.Ф. и др. Теория показателей Ляпунова.
М., 1966.
12. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных
дифференциальных уравнений. М., Мир, 1968.
13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1967.
14. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных
уравнений. М.-Л., 1950.
15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.
М., 1967.
16. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений. М., 1958.
17. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений.
М., ИЛ, 1961.
18. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения.
М.-Л., 1950.
19. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний.
М., 1956.
20. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.
М., 1966.
21. В.В.Немыцкий, В.В.Степанов. Качественная теория дифференциальных
уравнений. М., 1949.
22. З.Нитецки. Введение в дифференциальную динамику. М., 1975.
23. Ж.Палис, В. ди Мелу. Геометрическая теория динамических систем.
Введение. М., 1986.
24. Пилюгин С.Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений.
Л., 1988.
25. Плисс В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости в целом.
Издательство Ленинградского университета. Л., 1958.
26. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.,
Наука, 1964.
27. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем
дифференциальных уравнений. М., 1977.
28. А.Пуанкаре. О кривых, определяемых дифференциальными
уравнениями. М.-Л., 1947.
29. Рейзинь Л.Э. Локальная эквивалентность дифференциальных
уравнений. Рига, 1971.
30. Сибирский К.С. Введение в топологическую динамику. Кишинев, 1970.
31. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи
математических наук, 1970. Т.25, N 1.
32. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1970.
33. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные
уравнения с периодическими коэффициентами. М., 1972.
34.
Андреев А.Ф. Введение в локальную качественную теорию дифференциальных
уравнений. СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета. 2003.
35. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 4-е изд. М.: 2000.
36.
Басов В.В. Метод нормальных форм в локальной качественной теории
дифференциальных уравнений. Учебное пособие. I. Формальная теория нормальных
форм. СПбГУ, 2001.
37.
Басов В.В. Метод нормальных форм в локальной качественной теории
дифференциальных уравнений. Учебное пособие. II. Аналитическая теория
нормальных форм. СПбГУ. 2002.
38.
Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. 2-е
изд. .Изд. «Лань». 2011. 304 с.
Леонов Г.А., Теория управления, Изд-во СПбГУ, 2006
Специализация «Математическая физика»
1. Теорема существования и единственности решения задачи
Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений.
Продолжение решений.
2. Линейные дифференциальные уравнения. Линейные однородные
уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа.
3. Линейные системы. Метод Эйлера. Матричный метод.
Метод Лагранжа.
4. Зависимость решений от начальных данных и параметров.
Непрерывная зависимость решений от начальных данных
и параметров. Дифференциаруемость решений по начальным
данным и параметрам. Теорема Коши.
5. Автономные системы. Траектории. Предельные циклы.
6. Устойчивость по Ляпунову. Устойчивость по первому
приближению.
7. Дифференциальные уравнения в частных производных
первого порядка.
8. Элементы вариационного исчисления. Функция Лагранжа
(лагранжиан). Условия экстремума. Уравнения Эйлера-
Лагранжа. Энергия. Импульс. Гамильтониан. Уравнения
Гамильтона-Якоби.
9. Задачи оптимального управления. Принцип максимума
Понтрягина.
10. Элементы функционального анализа.
Банаховы и гильбертовы пространства, различные виды
сходимости в них. Ограниченные и компактные операторы.
Теория Фредгольма. Спектральная теорема для компактного
самосопряженного оператора. Интегральные операторы и их
свойства.
11. Общие сведения об уравнениях в частных производных.
Примеры уравнений математической физики. Классификация
уравнений второго порядка. Канонический вид уравнения
в точке.
12. Задача Коши.
а) Абстрактная теорема Коши-Ковалевской в шкале банаховых
пространств. Теорема Коши-Ковалевской в шкале банаховых
пространств аналитических функций. Теорема
Коши-Ковалевской для уравнений второго порядка.
Свободные поверхности и характеристики.
Теорема Хольмгрена. Канонический вид уравнений второго
порядка в окрестности точки.
б) Уравнение теплопроводности. Принцип максимума для
начально-краевой задачи и задачи Коши. Теорема
единственности. Явный вид решения задачи Коши.
Решение задачи Коши с ненулевой правой частью.
Анализ решений.
в) Волновое уравнение. Теорема единственности. Формулы
Д'Аламбера для струны и полуструны. Решение трехмерной
задачи Коши методом сферических средних. Решение
двумерной задачи Коши методом спуска. Решение задачи
Коши с ненулевой правой частью. Анализ решений.
13. Уравнение Лапласа.
а) Свойства гармонических функций. Преобразование Кельвина.
Прямая и обратная теоремы о среднем. Принцип максимума.
Постановка задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности.
Решение задачи Дирихле для шара. Неравенство Гарнака и
теорема Лиувилля. Теорема об устранимой особенности.
Теоремы о сходимости гармонический функций.
б) Субгармонические функции. Решение задачи Дирихле методом
Перрона. Регулярные граничные точки.
в) Гармонические полиномы и сферические функции. Оператор
Бельтрами и его свойства. Ортонормированная система
сферических функций и ее полнота.
14. Теория потенциала для уравнения Лапласа.
Поверхности Ляпунова. Поверхностные потенциалы и их свойства.
Интеграл Гаусса. Скачок потенциала двойного слоя. Нормальная
производная потенциала простого слоя. Интегральные уравнения
теории потенциала. Разрешимость задач Дирихле и Неймана для
уравнения Лапласа. Объемный потенциал и его свойства.
Понятие о сингулярных интегральных операторах. Вторые
производные объемного потенциала.
15. Задача Штурма-Лиувилля.
Пространства Соболева в одномерном случае. Классическая и
обобщенная постановки задачи Штурма-Лиувилля. Фредгольмова
разрешимость и теоремы Фредгольма для задачи Штурма-Лиувилля.
Собственные числа и собственные функции задачи
Штурма-Лиувилля. Функция Грина для задачи Штурма-Лиувилля.
Теорема Стеклова. Метод Фурье для пространственно одномерных
нестационарных уравнений. Сингулярная задача Штурма-Лиувилля.
Функции Бесселя. Сферические функции в трехмерном пространстве.
16. Пространства Соболева.
Операция усреднения. Финитные функции. Соболевские производные
и их свойства. Пространства Соболева. Неравенство Фридрихса.
Теоремы вложения и теоремы о следах. Теорема об эквивалентных
нормировках. Анизотропные пространства Соболева.
17. Ообобщенные решения эллиптических задач второго порядка.
Обобщенная постановка задачи Дирихле и Неймана.
Фредгольмова разрешимость и теоремы Фредгольма для обобщенных
решений. Метод Галеркина для задачи Дирихле. Обобщенная
задача на собственные функции, полнота системы собственных
функций формально самосопряженного оператора. Гладкость
обобщенных решений.
18. Прямые методы вариационного исчисления.
Слабая полунепрерывность снизу и коэрцитивность функционалов.
Теоремы существования минимума в вариационной задаче для
всего пространства, выпуклого замкнутого множества,
поверхности уровня другого функционала. Необходимые условия
экстремума в пространстве, на выпуклом множестве, на
поверхности уровня. Примеры.
19. Нестационарные залачи.
Обобщенные решения начально-краевой задачи для
параболических уравнений. Теоремы единственности и
существования для слабых и сильных решений. Методы
Галеркина и Фурье. Обобщенные решения начально-краевой
задачи для гиперболического уравнения. Теоремы
единственности и существовании решения. Метод Галеркина
и метод Фурье.
20. Обобщенные функции.
Пространства основных и обобщенных функций. Действия
над обобщенными функциями. Полнота пространства
обобщенных функций. Фундаментальное решение
дифференциального оператора. Обобщенные функции
медленного роста. Преобразование Фурье обобщенных функций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.
М.: Высшая школа, 1991.
2. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том IV, части I и II.
М.: Наука, 1981.
3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное
управление. М.: Наука, 1979.
4. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных
производных. М.: Наука, 1983.
5. Михлин С. Г. Курс математической физики. М., 2002.
6. Михлин С.Г. Уравнения в частных производных. М., 1977.
7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1967.
8. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М., 1973.
9. Избранные главы анализа и высшей алгебры.
Под редакцией М.З. Соломяка. Л., 1981.
10. Егоров Ю.В. Лекции по уравнениям в частных производных. Дополнительные
главы. М., 1985.
11. А.Куфнер, С.Фучик. Нелинейные дифференциальные уравнения. М., 1988.
12. Либ Е. Лосс М. Анализ. Новосибирск, 1998.
13. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике.
М., 1976.
14. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные
уравнения с частными производными второго порядка. М., 1989.
15. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.
Т.1-4. М., 1977.
16. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов
с частными производными. Т.1-4. М., 1986.
17. Эванс Л.К. Уравнения с частными производными. Новосибирск, 2003.
18. Эванс Л.К., Гариепи Р.Ф. Теория меры и тонкие свойства функций. Новосибирск,
2002.
19. Дж. Буттацо, М. Джаквинта, С. Гильдебрандт. Одномерные вариационные задачи.
Введение. Новосибирск, 2002.
20. Эванс Л.К. Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений с частными
производными. Новосибирск, 2006.