Соотношение между синусом и косинусом. Пусть точка 𝑃𝛼(𝑥, 𝑦) единичной окружности получена поворотом точки 𝑃0(1; 0) на угол 𝛼 радиан, тогда согласно определению синуса и косинуса: 𝑥 = cos 𝛼 , 𝑦 = sin 𝛼 (рис. 100) Так как точка 𝑃𝛼(𝑥; 𝑦) принадлежит единичной окружности, то координаты (𝑥; 𝑦) удовлетворяют уравнению 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1. Подставив в это уравнение вместо 𝑥; 𝑦 значения cos 𝛼 і sin 𝛼 , получим: cos2 𝛼 + sin2 𝛼 = 1. Таким образом, 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏 верно для всех значений α. Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством. Упростить выражения: 1 + 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 1 − cos 𝛼 1 + cos 𝛼 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 2𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 𝑠𝑖𝑛4 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 4 𝛼 + 1 Найти 𝒄𝒐𝒔 𝜶, если 1 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 8 4 4 Соотношение между тангенсом и котангенсом. По определениям тангенса и котангенса имеем: sin 𝛼 cos 𝛼 tg 𝛼 = , ctg 𝛼 = cos 𝛼 sin 𝛼 Тогда sin 𝛼 cos 𝛼 tg 𝛼 ∙ ctg 𝛼 = ∙ =1 cos 𝛼 sin 𝛼 𝐭𝐠 𝜶 ∙ 𝐜𝐭𝐠 𝜶 = 𝟏 𝝅 для всех значений 𝜶, кроме 𝜶 = ∙ 𝒌, 𝒌 ∈ 𝒁 𝟐 𝟏 𝐭𝐠 𝜶 = 𝐜𝐭𝐠 𝜶 𝟏 𝐜𝐭𝐠 𝜶 = 𝐭𝐠 𝜶 Пример: Найти: 3 tg 𝛼, если ctg 𝛼 = 2 1 1 2 3 Т.к. tg 𝛼 = ctg 𝛼 → tg 𝛼 = 3 = 3 Самостоятельно: 1. ctg 𝛼, если tg 𝛼 = −1 2. tg 𝛼, если ctg 𝛼 = 0 2 Найти 𝑡𝑔2 𝛼 + 𝑐𝑡𝑔2 𝛼, если tg 𝛼 + ctg 𝛼 = 2 Решение: Возведем в квадрат обе части равенства tg 𝛼 + ctg 𝛼 = 2 tg 𝛼 + ctg 𝛼 2 = 4 → 𝑡𝑔2 𝛼 + 2 tg 𝛼 ∙ ctg 𝛼 + 𝑐𝑡𝑔2 𝛼 = 4 𝑡𝑔2 𝛼 + 𝑐𝑡𝑔2 𝛼 = 2 т.к. 𝐭𝐠 𝜶 ∙ 𝐜𝐭𝐠 𝜶 = 𝟏 Соотношение между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом. Упростить: а) 1 2 + sin ; 2 1 + tg г) 1 − sin (1 + ctg ) ; 2 0; г) 0; д) 2 1 − sin 2 ; 2 1 + ctg в) (1 + tg 2 ) cos 2 − 1 ; 1 д) (1 + tg ) + 2 ; sin 1 + tg 2 є) .: а) 1; б) 0; в) 2 1 + ctg б) 2 1 ; є) tg α. sin 2 cos 2 Доказать: а) 1 1 + = 1; 1 + tg 2 1 + ctg 2 б) (1 – сtg α)2 + (1 + сtg α)2 = 1 + tg + tg 2 1 − sin 2 1 2 в) ; г) = tg . + tg ctg = 2 2 2 1 − cos sin 1 + ctg + ctg 2 ; sin 2
