Ефименко

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Тольяттинский государственный университет Архитектурно-строительный институт Кафедра «Промышленное, гражданское строительство и городское хозяйство» Э.Р. Ефименко Электронное учебно-методическое пособие © ФГБОУ во «Тольяттинский государственный университет», 2019 ISBN 978-5-8259-1411-4 УДК 624.041.2 ББК 38.112 Рецензенты: д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой ТОСП архитектурно-строительного института Самарского государственного технического университета В.П. Попов; канд. техн. наук, доцент кафедры «Промышленное, гражданское строительство и городское хозяйство» Тольяттинского государственного университета И.К. Родионов. Ефименко, Э.Р. Статически неопределимые системы : электронное учебно-методическое пособие / Э.Р. Ефименко. – Тольятти : Изд-во ТГУ, 2019. – 1 оптический диск. В учебно-методическом пособии дан краткий теоретический материал для расчета статически неопределимых систем методом сил, методом перемещений, даны примеры расчета статически неопределимой рамы, фермы, балки. Предназначено для студентов направления подготовки 08.03.01 «Строительство» (профили «Городское строительство и хозяйство», «Промышленное и гражданское строительство») всех форм обучения. Текстовое электронное издание. Рекомендовано к изданию научно-методическим Тольяттинского государственного университета. советом Минимальные системные требования: IBM PC-совместимый компьютер: Windows XP/Vista/7/8; PIII 500 МГц или эквивалент; 128 Мб ОЗУ; SVGA; CD-ROM; Adobe Acrobat Reader. © ФГБОУ во «Тольяттинский государственный университет», 2019 Редактор Т.Д. Савенкова Технический редактор Н.П. Крюкова Компьютерная верстка: Л.В. Сызганцева Художественное оформление, компьютерное проектирование: И.И. Шишкина Дата подписания к использованию 24.12.2018. Объем издания 8,55 Мб. Комплектация издания: компакт-диск, первичная упаковка. Заказ № 1-53-17. Издательство Тольяттинского государственного университета 445020, г. Тольятти, ул. Белорусская, 14, тел. 8 (8482) 53-91-47, www.tltsu.ru Cодержание ВВЕДЕНИЕ ..........................................................................................5 1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ .............................................................................6 1.1. Статическая неопределимость системы ................................6 1.2. Расчет статически неопределимых рам .................................7 1.3. Расчет плоских статически неопределимых ферм ..............29 1.4. Расчет статически неопределимых балок ............................47 2. РАСЧЕТ КИНЕМАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ......................................................62 2.1. Расчет кинематически неопределимой плоской рамы методом перемещения на действие внешней нагрузки ......62 3. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК МЕТОДОМ ФОКУСНЫХ ОТНОШЕНИЙ .....................................87 3.1. Основные положения расчета неразрезных балок методом фокусных отношений ...........................................87 3.2. Последовательность выполнения расчета неразрезной балки на временную и постоянную нагрузки методом фокусных отношений ...........................................91 3.3. Вопросы для самоконтроля .................................................91 3.4. Пример расчета балки методом фокусных отношений ......92 4. РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ ...................................................105 4.1. Использование симметрии системы .................................105 4.2. Группировка неизвестных усилий .....................................110 4.3. Симметричные и обратно симметричные нагрузки .........113 4.4. Способ преобразования нагрузки .....................................115 4.5. Вопросы для самоконтроля ...............................................117 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................118 Приложение А .................................................................................119 Приложение Б ................................................................................122 Приложение В .................................................................................125 Приложение Г .................................................................................126 —4— ВВЕДЕНИЕ Строительная механика – это наука о расчете сооружений на прочность, жесткость и устойчивость. Проектирование, реконструкция и возведение любого сооружения связано с расчетом на надежность и долговечность, следовательно, строительная механика дает необходимую подготовку для изучения курсов строительных конструкций, зданий и сооружений, мостов и дорог. Целью расчётов, проводимых методами строительной механики, являются определение усилий в элементах сооружения (изгибающих моментов, поперечных и продольных сил) и перемещений точек сооружения (прогибов, смещений, отклонений) от действующих на сооружение нагрузок и других внешних воздействий. При изучении строительной механики ставится цель – вооружить будущего специалиста знаниями основных принципов и методов расчёта строительных конструкций и сооружений, привить ему навыки решения задач строительной механики. Цель данного учебно-методического пособия – помочь студентам в выработке практических навыков решения задач при выполнении контрольных и расчетно-графических работ по строительной механике. —5— 1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ Статически неопределимыми системами называются системы для определения усилий, в элементах которых кроме уравнений статического равновесия необходимы дополнительные уравнения – уравнения деформации. Распределение усилий в статически неопределимых системах зависит не только от внешних сил, но и от соотношений между поперечными размерами отдельных элементов. Если элементы системы изготовлены из различных материалов, то распределение усилий зависит также от модулей упругости этих материалов. Поэтому для определения усилий в элементах таких систем необходимо задавать их жесткости. Смещение опор, температурные воздействия и неточность сборки конструкции обычно вызывают в таких системах дополнительные усилия. Для расчета статически неопределимых систем используют следующие методы: • метод сил; • метод перемещений (метод деформаций); • смешанный метод; • комбинированный метод. Для удобства системы, рассчитываемые по методу сил, будем называть статически неопределимыми системами, а по методу перемещений – кинематически неопределимыми системами. 1.1. Статическая неопределимость системы Расчет статически неопределимой системы начинается с анализа ее схемы. Анализ прежде всего необходим для того, чтобы установить степень статической неопределимости системы. Степень статической неопределимости (nст) равна числу так называемых лишних связей, удаление которых превращает статически неопределимую систему в статически определимую и геометрически неизменяемую систему. Геометрически неизменяемой называется такая система, изменение формы которой возможно лишь в связи с деформациями ее элементов. —6— Различают внутренне статически неопределимые системы и внешне статически неопределимые системы. Внутренне статически неопределимые системы – это системы с тремя опорными стержнями, имеющие лишние внутренние связи. Внешне статически неопределимые системы имеют лишние внешние связи (раскосы, затяжки и т. д.). Статически неопределимую систему, имеющую более трех опорных стержней, можно рассматривать и как внешне, и как внутренне, и как одновременно внешне и внутренне статически неопределимую систему – в зависимости от того, какие связи считать лишними. Каждый замкнутый контур системы считается трижды статически неопределимым. Замкнутым называется контур, состоящий из ряда элементов, жестко связанных между собой и образующих замкнутую цепь. Включение шарнира в узел системы, в котором сходятся два стержня, или же постановка его в любое место на оси стержня нарушает одну связь и снижает общую степень статической неопределимости системы на единицу. Такой шарнир называется одиночным или простым. Кратный шарнир соединяет более двух стержней (дисков). Любой кратный шарнир, эквивалентный (n-1) одиночному шарниру, снижает степень статической неопределимости системы на (n-1) единиц, где n – количество стержней или групп, соединенных кратным шарниром (например, шарнир, соединяющий три стержня, считается за два одиночных шарнира). 1.2. Расчет статически неопределимых рам 1.2.1. Статическая неопределимость Расчет статически неопределимых рам начинается с анализа схемы системы и определения степени статической неопределимости. В рамах выделяют внешне статически неопределимые системы и внутренне статически неопределимые системы. Для конструкций со сложным внутренним структурообразованием степень статической неопределимости вычисляется по формуле (1.1): nст = 3m - Ш, —7— (1.1) где nст – степень статической неопределимости системы; m – число замкнутых контуров в конструкции в предположение отсутствия шарнирных соединений; Ш – число одиночных шарниров, «земля» при этом рассматривается как стержень, а группа стержней, не разделенных шарнирами, считается за один стержень. Рис. 1.1 1.1 Рис. На рис. 1.1, а, nст = 3 · 4 - 2 = 10; на рис. 1.1, б, nст = 3 · 2 - 2 = 4. Для внешне статически неопределимых рам степень статической неопределимости вычисляется по формуле nст = Соп - 3, Рис. 1.1 (1.2) где Соп – количество опорных связей (стержней) системы. Рис. 1.2 Рис. Рис.1.2 1.2 Для рамы, изображенной на рис. 1.2, nст = (2 + 3 + 1) - 3 = 3. Из статически неопределимой системы можно устранить по крайней мере одну связь без нарушения ее геометрической неизменяемости; однако удаление некоторых связей может превратить статически неопределимую систему Рис. 1.3 в геометрически изменяемую систему. Такие связи статически неопределимой системы являются абсолютно необходимыми (рис. 1.3). На рис. 1.4, а, удалена абсолютно необходимая связь, что привело к геометрической изменяемости системы; на рис. 1.4, б, была удалена условно —8— необходимая связь, поэтому системаРис. осталась 1.3 геометрически неизменяемой. Связи, удаление которых не превращает статически неопределимую систему в геометрически изменяемую систему, являются условно необходимыми (рис. 1.3). У внутренне Рис. 1.2статически неопределимой системы все опорные стержни являются абсолютно необходимыми. Рис. Рис. 1.3 1.3 На рис. 1.4, а, удалена абсолютно необходимая связь, что пририс. 1.4, а, удалена абсолютно необходимая связь, привело к вело к На геометрической изменяемости системы; на рис.что 1.4, б, была геометрической изменяемости системы; на рис. 1.4, б, была удалена условно удалена условно необходимая связь, поэтому система осталась геонеобходимаянеизменяемой. связь, поэтому система осталась геометрически неизменяемой. метрически 7 Рис. 1.4 Рис. 1.4 1.2.2. Основная и эквивалентная системы. Канонические уравнения метода сил Основной системой называется статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной системы (рис. 1.5, а) путем отбрасывания всех лишних связей (за исключением абсолютно необходимых). Построение основной системы может быть произведено различными способами (рис. 1.5, б, в). Выбор основной системы является важным этапом расчета, так как от него зависит простота и точность расчета рамы. Рис. — 9 1.5 — Рис. 1.4 Рис. 1.4 Рис. 1.5 Рис. 1.5 Рис. 1.5 Устранение каких-либо связей не изменяет внутренних усилий, возникающих в системе, и ее деформаций, если к ней прикладываютРис. 1.4 ся дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Поэтому если к основной системе кроме заданной нагрузки приложить реакции устраненных связей, то полученная и заданная системы будут эквивалентны. Полученная таким образом система называется эквивалентной системой (рис. 1.6, а, б). В заданной системе в направлении имеющихся жестких связей (в том числе и тех, которые отброшены при переходе к основной системе) перемещений быть не может. Поэтому в эквивалентной системе перемещения Рис. 1.6 по направлениям Рис. 1.6 отброшенных связей должны быть равны нулю. Следовательно, реакции отброшенных связей должны иметь таим образом, условие равенства эквивалентной заданной систем и заданной систем Таким образом, эквивалентной Рис.и 1.5 кие значения, при условие которыхравенства перемещения по их направлениям равчески сводится к удовлетворению системы n линейных системы уравнений: математически сводится к удовлетворению n линейных уравнений: нялись бы нулю. 8 8 Рис. 1.6 Рис. 1.6 Таким образом, условие равенства эквивалентной и заданной систем математически сводится к удовлетворению системы n лиТаким условие равенства эквивалентной и заданной систем нейныхобразом, уравнений: математически сводится к удовлетворению — 10 —системы n линейных уравнений: δ�� δ�� … � δ�� ∆�� δ�� δ�� … � δ�� ∆�� ……………………………………………… δ�� δ�� … � δ�� ∆�� (1.3) (1.3) Система уравнений (1.3) является теми дополнительными уравнениями деформаций (перемещений), которые позволяют раскрыть � �заданной � � �� системы. Данные уравнестатическую неопределимость ; δ�� ния называются каноническими уравнениями метода сил. Первое из � этих уравнений выражает мысль о равенстве нулю перемещения (1.4) в эквивалентной системе по направлению первой отброшенной � связи (по направлению силы или �� X1), второе – по направ�� момента ∆�� связи и т. д. . лению второй отброшенной �� Число уравнений равно числу отброшенных связей, т. е. степени статической неопределимости заданной системы. Так, для заданной (1.5) системы на рис. 1.5, а, число уравнений равно трем. В системе канонических уравнений в качестве коэффициентов Результат выполненного по перемещения правилу Верещагина перемножения эпюр для при неизвестных стоят основной системы, вызываемые искомого единичными силами или следует моментами, действующими по на- EI определения перемещения разделить на величину правлениям отброшенных связей. Коэффициент δij представляет (жесткость соответствующего участка при изгибе). перемещение по направлению связи i, вызванное силой (моменПримеры: том), равной единице, действующей по направлению связи j. Коэффициенты δij носят название единичных коэффициентов канонических уравнений. Коэффициент ΔiF представляет перемещение по Ω · Ус =действием ⅓ · а · в · l заданной внешней нанаправлению связи i, вызванное грузки. Коэффициенты ΔiF называются грузовыми коэффициентами Ω = ½ · а · l уравнений. или свободными членами канонических Коэффициенты δii называются главными коэффициентами, а δ�� У�с�=δ⅔ · �в � � … � δ�� ∆�� коэффициенты δij – побочными. На�основании δ�� δ�� … � δ�� теоремы � ∆�� о взаимно� (1.3) � сти перемещений δij = δ…ji.… … … … … … … … … … … … … … … … … � � … � δ�� уравнений ∆�� с помоδ�� δ�� канонических Определяются коэффициенты Рис. 1.7 щью интегралов Мора по формулам (1.4) и (1.5): � �� (1.4) � �� ; δ�� пользоваться Правилом Верещагина можно �� в том случае, если одна из � подынтегральных функций линейна, т. е. одна из «перемножаемых» эпюр прямолинейна, а другая криволинейной (рис. 1.8). может быть � прямолинейной, ∆�� — 11 — �� . ломаной (1.4) или (1.5) 9 δ�� ∆�� ; �� . �� (1.4) (1.5) Так как рамы – это конструкции, работающие преимуществен- (1.5) но на изгиб, то в выражении интегралов Мора с соблюдением достаточной точности остаются только зависящие � δ�� … � δ�� от∆изгиба� δ �� слагаемые, �� Результат выполненного по��правилу Верещагина перемножения эпюр для ющих моментов. δ�� δ�� … � δ�� ∆�� (1 � определения искомого перемещения на EI … … …по … следует …формулам … … … разделить … …(1.4) … …и…(1.5) … …величину … …… Для подсчета коэффициентов вычер�при δ��изгибе). �� … � δ�� в�основной ∆�� δ�� (жесткость единичные соответствующего участка чиваются эпюры М�i �изгибающих моментов системе, т. е. эпюры от действия Хi = 1. Отдельно строится грузовая Примеры: эпюра МF. Единичное перемещение δij вычисляется «перемножени� �� М � �j,�� ем» единичной эпюры Мi на единичную эпюру а грузовое пе; δ�� · Ус = ⅓ · а ·эпюры в · �� l ремещение – «перемножением»Ωединичной Мi на грузовую � эпюру МF по правилу Верещагина или формуле Симпсона. Ω=½·а·l (1 Правило Верещагина. Результат «перемножения» двух эпюр ра� вен произведению площади Ω одной на ординату ус другой в них Ус = ⅔ ·из �� (обязательно прямолинейной) эпюры, взятую под центром тяжести � . ∆�� площади первой эпюры. При перемножении ставится знак плюс, � когда эпюра и ордината под центром Рис. 1.7ее тяжести, взятая из другой (1 эпюры, имеют одинаковые знаки, и минус, когда разные знаки. Значения площадей и координаты центров тяжести приведены Правилом Верещагина можно пользоваться в том случае, если одна из в табл. А.1Результат прил. А. выполненного по правилу Верещагина перемножения эпюр подынтегральных функций линейна, т. е. одна из «перемножаемых» эпюр Результат выполненного правилу Верещагина определения искомого по перемещения следует перемножения разделить на величину прямолинейна, а другая может перемещения быть прямолинейной, ломаной эпюр для определения искомого следует разделить на или (жесткость соответствующего участка при изгибе). криволинейной (рис. 1.8). соответствующего участка при изгибе). величину EI (жесткость Примеры: Примеры: 9 Ω · Ус = ⅓ · а · в · l Ω=½·а·l Ус = ⅔ · в Рис. 1.7 Рис. 1.7 — 12 — Правилом Верещагина можно пользоваться в том случае, если одна подынтегральных функций линейна, т. е. одна из «перемножаемых» эп Правилом Верещагина можно пользоваться в том случае, если эпюра моментов на одном участке меняется, т. е. не является однаЕсли из подынтегральных функций линейна, т. е. одна из «перемножаемых» эпюр а другая может быть прямолинейной, непрерывной и прямолинейна, образует две различные подынтегральные функции, то такой ломаной или криволинейной (рис. 1.8). участок разбивается на два участка и «перемножение» эпюр производится уже Еслиэпюра эпюрамоментов моментов на одном участке меняется, т. е. не является Если на одном участке меняется, т. е. не является непрерывной и образует различные подынтегральные функ- то такой непрерывной и образует дведве различные подынтегральные функции, ции, то такой участок разбивается на два участка и «перемножение» участок разбивается на два участка и «перемножение» эпюр производится уже эпюр производится уже по двум соответствующим Ω · Ус = ⅓ · вучасткам. ·l·¼·а Ω=⅓·в·l Ω · Ус = ⅓ · в · l · ¼ · а Ус = ¼ · а Ω=⅓·в·l Ус = ¼ · а по двум соответствующим участкам. Рис. 1.8 по двум соответствующим участкам. Рис. 1.8 Если обе подынтегральные функции криволинейны на одном участке Рис. 1.8криволинейны на одном Если обе подынтегральные функции длиной l, то для приближенного вычисления интеграла Мора можно участке длиной l, то для приближенного вычисления интеграла Мора можноформулой пользоваться формулой Симпсона (рис. 1.9). формулы С помо- Симпсона пользоваться Симпсона (рис. 1.9). С помощью Если обе подынтегральные функции криволинейны на одном участке щью формулы Симпсона можно «перемножать» любые эпюры. можно «перемножать» любые эпюры. длиной l, то для приближенного вычисления интеграла Мора можно пользоваться формулой Симпсона (рис. 1.9). С помощью формулы Симпсона можно «перемножать» любые эпюры. � 6 �� f, g� – середины эпюр �� 6 f, g –1.9 середины эпюр Рис. Рис. 1.9 1.2.3. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов Рис. 1.9 После вычисления единичных коэффициентов и грузовых членов канонических уравнений эти уравнения решают, в результате чего определяют 1.2.3. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов — 13того — как лишние неизвестные найдены, неизвестные усилия Хi. После После вычисления единичных коэффициентов и грузовых членов эквивалентное уравнений состояние эти будет представлять собой статически канонических уравнения решают, в результате чегоопределимую определяют 1.2.3. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов После вычисления единичных коэффициентов и грузовых членов канонических уравнений эти уравнения решают, в результате чего определяют неизвестные усилия Хi. После того как лишние неизвестные найдены, эквивалентное состояние будет представлять собой статически определимую систему, находящуюся под действием заданной нагрузки и найденных сил Хi. Рассчитав эту статически определимую раму, строят для нее эпюры усилий M, N, Q известными способами, которыми пользовались при построении эпюр для статически определимых рам. Существует и другой способ построения эпюры М. Используя принцип Даламбера, эпюру М можно построить на основании формулы (1.6): �� ∑�� . (1.6) �ок � � Таким образом, для получения окончательной эпюры изгибаю(1.6) щих моментов ординаты каждой из единичных эпюр умножаются на найденное значение соответствующего неизвестного, все резуль∑ � � �; (1.7) таты суммируются (по отдельным точкам осей системы) с добавле∑ � � �. (1.8) нием к ним ординат грузовой эпюры моментов. 1.2.4. Построение и δпродольных сил δ�� δ�� эпюр δ�� поперечных � � � δ�� ∑�� ; (1.9) �� После того как решением системы канонических уравнений δ�� ∑�� ; (1.10) найдены неизвестные усилия Х��i, эти усилия и заданная внешняя на� �� (1.11) � �∑ �� . грузка могут быть� приложены к �основной системе. Затем от их совместного действия обычным способом (как в статически определимых могут поперечные и продольные ∑�� δ�� ; (1.12) δ�� δ�� системах) � δ�� δ�� быть δ�� определены δ�� δ�� δ�� силы и построены эпюры N, Q. � �� ∑�� неопределимой ��. (1.13) Поперечные силы δв��статически системе могут �� быть определены и другим путем – по окончательной эпюре из� гибающих моментов и ∆условия равновесия вырезанных стержней. ∆�� ∆�� (1.14) �� ∆�� ∑�� ∆�� ; Каждый стержень рамы рассматривается как простая статически �� ∑�� ∆��на � двух �� (1.15) определимая балка опорах, с .приложенными к ней изгиба� �� ющими моментами, взятыми с окончательной эпюры изгибающих моментов и заданной внешней Для каждой такой балки ∑ � нагрузкой. � �; (1.16) в отдельности строится эпюра поперечных сил. Потом все участки � —� 14 � —� � �ок � �� ∆�ок � � � �� . собираются на раму в целом. Поперечная сила считается положительной, если она дает момент от конца стержня на узел по часовой стрелке, и наоборот. По эпюре поперечных сил и условия равновесия вырезанных узлов рамы строится эпюра продольных сил N. Для этого к вырезанным узлам прикладывают поперечные и продольные силы. При этом продольные силы считаем положительными, т. е. направленными от узла. Поперечные силы прикладываются к узлу с учетом полученных значений и знаков, согласно построенной эпюре поперечных сил. К узлу необходимо и внешние � �� не� забывать �� прикладывать �� силы, �ок � � � �� ∑�� . если они непосредственно действуют на этот узел. Проектируя (1.6) к узлу силы на оси координат, получим два уравнения приложенные равновесия (1.7) и (1.8): ∑ � � �; ∑ � � �. (1.7) (1. (1.8) (1. Из уравнений (1.7) и (1.8), зная поперечные силы Q, находятся продольные силы N. Начинать определение продольных сил надо δ�� δ�� δ�� δ�� ∑�� δ�� ; с тех узлов, в которых сходятся не более двух стержней с неизвест�� ными продольными силами. δ�� ∑�� ; �� ∑�� . 1.2.5. �Проверки (1. (1.1 (1.1 Важнейшим элементом расчета рам являются различные проверки δ�� на � каждом δ�� δ��этапе � � �расчета. � δ�� δ�� δ�� δ�� δ�� ∑�� δ�� ; (1.1 1. Проверка единичных коэффициентов и свободных членов �� δ�� ∑�� и� свободные ��. (1.1 канонических уравнений. Коэффициенты члены ка�� нонических уравнений представляют собой перемещения, полученные путем перемножения соответствующих эпюр изгибающих ∆�� ∆�� ∆эпюр � ∆��быть � ∑�� ∆�� ; �� моментов. При перемножении могут допущены ошиб�� ки, в результате которых значения лишних неизвестных получатся � � ∆�� ∑�� . �� неверными. Ошибки, сделанные при� подсчете перемещений, могут быть обнаружены при помощи особых проверок: а) построчная проверка – проверяются ∑ � � �;единичные коэффициенты одной строки – одного уравнения, т. е. коэффициент δis, вычисленный по формуле (1.9), должен быть равен коэффициенту δis, � � вычисленному по формуле (1.10): �� ок � �� ∆�ок � � � . �� — 15 — �� (1.1 (1.1 (1.1 (1.1 (1.7) ∑ � � �. (1.8) � ∑ � � �. �ок � � �� (1.8) � � � �� ∑�� ∑ � �� δ� �� . (1.9) �� (1.6) � . δ� ��ок�� ∑ �� δ�� δ�� δ�� ;∑� � �� (1.9) �� ∑ δ�� δ(1.6) δ ; (1.9) �� δ�� δ�� (1.10) (1.10) δ�� ∑�� ; �� ∑ � � �; δ�� ∑�� ; (1.10) (1.11) � � � �� .. � (1.11) � � �� ∑� �� ∑ ��∑ � � �� ∑ок � � �; (1.7) � � �� . (1.11) ∑ � � �. ∑ � � � � � � � � � � � � � � � � � � . ∑ � � � � � � � �� ; � ок � � � � � � � �� называется суммарной ∑�� . эпюрой изгибающих (1.11) момен- � (1.7) � �единичной ∑(1.6) (1.8) � � �. в основной ∑системе (1.6) � �. от действия (1.8) тов. Строится всех � � �� одновременно � ∑ �δ � � ��δ � � � �� δ � � �δ �� δ � δ � δ � δ ; (1.12) � �� δ �.∑ �� ∑ δок�� δ � δ � � � δ � δ � δ � � δ � � � δ � δ ; (1.12) �� лишних �� равных �� δ �Или �� неизвестных, путем суммирования δединице. δ�� δ�� ∑�� δ�� ; �� δ��единичных � δ�� δ��эпюр; � � � � δ�� δ�� ∑ δ�� ; (1.12) �� δ�� (1.6) �� всех � �� . � � �� (1.13) �� δ ∑�� δ�� δ�� δ�� δδ��δ δ�� ;� � �; (1.7) �� ∑ δ�� ∑δ∑ (1.13) ∑ � �; (1.7 � �� (1.9) �� δ ��. ��∑ ; (1.9) �� одновременно �проверяются �� ∑�� δ� � ��; � �� б) универсальная проверка – все � �� (1.13) ∑ δ � ��. � � � � � �� ок �� ∑�� . �� ∑ ��. (1.8) � �. �� ∑� �� (1.8 � �� коэффициент δss, вычисленный по δ��единичные � ∑�� коэффициенты, ��; � (1.7) �� ; ∑ δ��;∑��т. �е. � � � �� (1.10) �� . (1.10) �� ∑�� (1.6) (1.12), формуле должен коэффициенту � ∆�� ; δss, вычисленному (1.14) ∆�� ∆�� ∆ ��равен � �∆ � ∑�� быть ∆�� ∆ (1.14) �� ∑ ��; (1.11) �� ∆�� ∑� � �∆�� ∆∑� �� (1.8) (1.11) �� . � .� � � � � �� (1.14) � по формуле (1.13): � � � � �∑ �. �� ∑ � ∆�� ∆�� ∆�� ∆δ�� ∆ ; �� δ��δ�� δ�� δ � ∑ ∑�� δ��δ;�� ; (1.9) � δ�� (1.9 �� δ�� ..� δ��δ��δ�� ∑δ�� ∆�� ∑ �� (1.15) �� δ��∆ δ�� δ�� δ�� δ(1.15) � ∑�� ∑ �� ;� �� (1.7) �� (1.12) �� ∆�� ∑�� (1.15) � ∑� δ��.� �� ; (1.10) ∑�δ� δδ�� ; (1.10 �(1.9) ��δ�� ∑� �� ∑ � δ�� δ � δ � � � � � δ ; (1.12) δ � δ � δ � � δ ; � �� δ � � �� ∑ � �� δ��δ�� δ � δ � � � � δ � δ � � � � δ � � � δ � δ ; (1.12) �� ∑�� (1.8) ∑�� . � �. �� δ��∑�� ок � � �� . � � � �� ∑ �� ∑�∑�� . �. (1.11) �� ; � (1.11 �� ∑ ∑ δ � ��. (1.13) δ � ��; (1.10) (1.16) � (1.13) � �� ∑ �� δ � ��. (1.13) �� (1.6) �� ∑ � � �; (1.16) � � � �� ∑ �� δ� � � � � δ δ ; (1.9) При этом � определяется формуле (1.11); ∑ � δ�� δ�∆по � � � � � . �� ∆ � ∆ � � � ∆ �� ∑�� ∆(1.11) ��; �� ∑ δ��δ�� δ � δ � � � � δ � δ � δ � � � � δ � � � � δ � δ ∑–��δ;��(1.12) ��δ�� δ�� проверка �� δ� ��δ�� δ�� δчлены ; (1.12 �� δ�� –�� проверяются свободные �� ;�� ок �� ∑∑ � �� ∆�� ∆�� в)∆постолбцовая �� ∆ � �∆ ∆�� ∆��(1.14) ∑ �� ок � � �; (1.7) �� ∆ �� ∑ �� ок � ∆ � � � ∆ � ; (1.14) � δ � ��; (1.10) �� ∆�� . � � �� ∑ �� ∆ � � . � � �ок � �� коэффициенты одного т.��е.� коэффициент �� ок � �� DSF, вычислен� ��ок �� столбца, ок ∑� �� δ�� . (1.13) �� ∑ δ�� (1.13 � �� ∑�� δD�� ; ,(1.12) �� ∑ δ�� δ��∆�ный δ� �� δ�� δ� �� δ�� δ��. � (1.8) � �. �� ∆ .�� ∑ �� δ �равен �� ок � �� . (1.15) по формуле (1.14), должен быть коэффициенту вы�� ∑ �� . (1.11) ∑� �� ∆ �� . (1.15) � SF �� (1.17) �� численному по�� формуле (1.15): δ�� ∑�� (1.13) (1.17) �� . ∑ �� ; ∑ ∑�� (1.14) � ∆�� ∆ �� ∆�� ∆��∆(1.17) ; ; (1.14) ∑ δ � δ∆ δ�� ∆�� (1.9) ∆�� ∆δ�� ∆δ�� (1.14 �� ; � �� δ�� δ�� δ∑ � � � � δ � δ � δ � � � � δ � � � ��δ�� ∑�� δ�� ; (1.12) � � �; (1.16) �� ∑ � �� ; �� (1.16) �� = 0, (1.18) М � � �� М К = 0, �� К � ∆ � �� К �∑ �� .; . � � (1.15) �� ; (1.10) (1.18) ∑ �� (1.15) �� ∆� (1.15 � �� ∆�� δ∆��∑∆�� ∑ ∆ (1.14) ��∆ �� ∑ � ��. (1.13) � � � � �� 0, � δ�� (1.18) МК = �� Y �� ок � �� = 0, (1.19) Y =�� 0, (1.19) . �� ∆�ок �� ∑(1.11). При этом � определяется формуле � � � �по � � � �� (1.11) �� . �� ∆�� . (1.15) � � ок Y�=∑0,�� (1.19) � � �� X = 0. � ок �� X. =∑� 0.� (1.20) 2. ∆Проверки окончательной эпюры (1.20) �ок � � �правильности � . �� ; �; �� (1.16) ∑� (1.16 �� ∆�ок �построения � ∑ ∆ � ∆ � ∆ � � � ∆ � ∆ ; (1.14) �� X = 0. (1.20) � �� изгибающих моментов: Точку К лучше всего подбирать�� на �раме таким образом, чтобы через нее ∑�� δ � δ�� δ��а)�статическая � � � δ�� δ�� δ�� –�� δ�� на � δусловии δ�� ; (1.12) �� проверка основана равновесия �образом, (1.17) � �� реакций. чку��К лучше всего как подбирать на раме чтобы через нее ∑ �таким � � �; (1.16) (1.15) (1.17) проходило можно меньше найденных ∆�� ∑найденных �� . проходило как можно меньше реакций. � �� всех � � рамы согласно формуле �� узлах � окончательных моментов во � �� ∑�� δ�� реакций. ��. (1.13) �� ок ло как можно меньше найденных � � �МКок= 0,. . ∆�ок �� ∆��ок (1.16): �� 11 �� 11 � � М �� 11 МК = 0, � � Y = 0,(1.18) 0, (1.18) К =�� (1.16) ∑ �;� �� (1.16) � � �ок 11 � ∆ . � � � (1.17) 0,∆��ок� � (1.17 ∆�� Y ∆��=� � ∆��Y �–=∑ (1.14) (1.19) = 0.(1.19) 0, �� ∆�� ; X б) деформационная проверка заведомо нулевые перемещения �� в заданнойXсистеме равными на нулю и при рас� �� = 0. � должны (1.20) � К�� лучше подбирать раме таким образом, чтобы �получиться X�всего = 0. (1.20) � ∆�� ∑Точку (1.15) (1.17) �� . � � � �� чете эквивалентной системы, т. М е.М перемещения, вычисленные по � ок = 0, (1.18) К на 0,найденных (1.18 ку К лучше всегоТочку подбирать на раме таким чтобы через нее как можно реакций.чтобы через нее К= � ∆ . образом, �меньше Кпроходило лучше всего подбирать раме таким �ок �образом, �� YY = 0, (1.19) о как можнопроходило меньше найденных = 0, (1.19 — �� 16 — как можнореакций. меньше реакций. =найденных 0, (1.18) М ∑ �К � �; (1.16) (1.17) XX = 0. (1.20) = 0. (1.20 Y = 0, (1.19) 11 ∑ � � �; 11 ∆�� ∑�� . �� (1.15) ∑ � � �; (1.16) формуле (1.17), должны получаться равными нулю с погрешностью вычисления не более 3 %. � � ∆�ок � � � �� ок � �� . �� (1.17) 3. Статическая проверка рамы в целом – проверяется рассчи-(1.17) танная рама с учетом найденных опорных реакций, изгибающих моментов, поперечных и продольных сил через уравнения статики (1.18) МК = 0, (1.18)–(1.20): YΣМ = 0,К = 0, (1.18)(1.19) XΣY = 0. = 0, (1.19)(1.20) Точку К лучше всего подбирать таким образом, чтобы(1.20) через нее ΣX на = 0раме . проходило Точку как можно меньше найденных реакций. К лучше всего подбирать на раме таким образом, чтобы � �� через � �� нее � ∑проходило � � � � � . � как �можно меньше найденных реакций. �� ; 1.2.6. Последовательность выполнения расчета плоской статически неопределимой рамы методом сил (1.7) 1. Определить степень статической неопределимости заданной рамы – формулы (1.1) или (1.2).(1.8) 2. Выбрать основную систему метода сил и назначить лишние неизвестные усилия. Показать эквивалентную систему. δ�� δ�� ∑3.�� δ�� ; (1.9) Составить систему канонических уравнений для определения �� неизвестных усилий от заданной внешней нагрузки – система (1.3). � �� (1.10) � �� ; 4. В основной системе построить единичные эпюры изгибающих � �� (1.11) �� моментов 1. сил � � 1��и грузовую эпюру MF от действия � �� = � � ∑�� .от действия заданной внешней нагрузки. 5. Вычислить коэффициенты и свободные члены канонических � δ�� ∑�� δМора, �� δ�� уравнений �� ; (1.12) поδ�� формулам применяя правило Верещагина и �� Симпсона. � ∑�� формулу ��. (1.13) �� 6. Проверить полученные коэффициенты, построив суммарную единичную эпюру изгибающих моментов и вычислив сумму всех � единичных коэффициентов, используя формулы (1.11)–(1.13) (уни(1.14) � � � � ∆�� ∑�� ∆�� ; версальная проверка). � �� . (1.15) � �� 11 � � �. �� ∑ � � �; L1 = 6,0 м L2 = 4,0 м H = 8,0 м F = 2 кН q = 1 кН I1 : I2 = 2 E = cons 2. — 17 — �ст � �оп � � � �� , (1.16) 7. Проверить полученные свободные члены, вычислив сумму свободных членов, построив суммарную единичную эпюру, используя формулы (1.11), (1.14), (1.15) (постолбцовая проверка). 8. Решить систему канонических уравнений и найти значения неизвестных сил или моментов Хi. Провести проверку найденного решения, подставив найденные значения в канонические уравнения. 9. Построить окончательную эпюру изгибающих моментов по формуле (1.6). 10. Проверить правильность построения окончательной эпюры: а) сделать статическую проверку – формула (1.16); б) выполнить деформационную проверку – формула (1.17). Если полученная величина Δiок отлична от нуля, то относительная погрешность вычислений не должна превышать 3 %. 11. Построить окончательную эпюру поперечных сил, используя окончательную эпюру изгибающих моментов и условия равновесия каждого вырезанного из каркаса стержня. 12. Построить окончательную эпюру продольных сил, используя окончательную эпюру поперечных сил и условия равновесия вырезанных узлов рамы. 13. Проверить статическое равновесие рамы в целом под действием заданной внешней нагрузки и опорных реакций – формулы (1.18)–(1.20). 1.2.7. Вопросы для самоконтроля 1. Дать определение статически неопределимой рамы. 2. Дать определение внутренне и внешне статически неопределимых рам. 3. Написать и пояснить формулы для определения степени статической неопределимости внутренне и внешне статически неопределимых рам. 4. Дать определение основной и эквивалентной систем. 5. Записать канонические уравнения метода сил для дважды статически неопределимой системы. Объяснить физический смысл каждого уравнения и каждого элемента, входящего в уравнения. 6. Порядок определения единичных и грузовых коэффициентов канонических уравнений. — 18 — 7. Записать и пояснить проверки для единичных и грузовых коэффициентов канонических уравнений. 8. Правила построения окончательной эпюры изгибающих моментов. 9. Деформационная проверка, ее физический смысл. 10. Порядок построения эпюры поперечных сил. 11. Порядок построения эпюры продольных усилий. 12. Взаимная проверка эпюр M, N, Q. 1. 1.2.8. Пример расчета плоской статически неопределимой рамы методом сил �� Заданная расчетная схема Исходные данные L1 = 6,0 м L2 = 4,0 м H = 8,0 м F = 2 кН L1q==6,0 м 1 кН/м L2I1=: 4,0 I2 =м2 : 3 HE==8,0 м const F = 2 кН 2. 1. Определение степени статической неопределимости q = 1 кН/м заданной I1 : I2 = 2 : системой, 3 рамы. Рама является внешне статически неопределимой E = const следовательно, степень статической �ст � �оп � � � �� неопределимости � � �� , находится по 2. формуле (1.2) nст = Cоп - 3 = (2 + 2 + 1) - 3 = 2, т. е. система дважды статически неопределима. �ст � �оп � � � �� , 2. Выбор основной и эквивалентной систем метода сил. Назначение лишних неизвестных Х1 и Х2. 1. �� δ � � δ�� δ�� δ�� — 19 — δ � � δ�� δ � � δ � � � � �� 3. Так как nст = 2, система канонических уравнений будет иметь следующий вид: δ � � δ�� δ�� δ�� 4. Построение единичных и грузовой эпюр изгибающих моментов. Для построения единичных и грузовой эпюр необходимо для каждого состояния найти опорные реакции. Σ МD = 0, −VE · L2 = 0, VE = 0 Σ МD = 0, −VE · L2 = 0, VE = 0 ΣX МD= =0,0,X1−V − EH·DL=2 =0,0, VE = 0 Σ X1 − HD = 0, HDX==10,кН HDX==10,кН Σ X1 − HD = 0, HDY == 10,кН Σ VE + VD = 0, VD = 0 Σ Y = 0, VE + VD = 0, VD = 0 Σ Y = 0, VE + VD = 0, VD = 0 12 Σ МD = 0, X2 · L1 − VE · L2 = 0, = 0,кН X2 · L1 − VE · L2 = 0, ΣEМ=D1,5 V V = 0,кН X2 · L1 − VE · L2 = 0, ΣEМ=D1,5 V кН ΣEX==1,5 0, H D = 0, Σ X = 0, HD = 0, X = 0, V HED+=X0,1 − VD = 0, ΣY Σ 0, VкН E + X1 − VD = 0, VDY==2,5 VDY==2,5 Σ 0, VкН E + X1 − VD = 0, VD = 2,5 кН Σ МD = 0, = 0, qΣ ·МHD22/2 − VE · L2 + P · H/2 = 0, qΣ · H /2 − VE · L2 + P · H/2 = 0, М = 0, D VE = 10 кН qVE· = H210 /2 кН − VE · L2 + P · H/2 = 0, VE == 10 ΣX 0, qкН · H + P − HD = 0, ΣXD = = 10 0, qкН · H + P − HD = 0, H H ΣXD = 10 0, qкН · H + P − HD = 0, HDY == 10 кН Σ 0, V E − VD = 0, Σ 0, кН VE − VD = 0, VDY==10 VDY==10 Σ 0, кН VE − VD = 0, VD = 10 кН 5. Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических — 20 — 5. Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений. 5. Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений. уравнений. n l M 1  M 1коэффициентов 5. Вычисление членов 1 и свободных 2 1 1 каноничеδ��   � �8�8� �8�2 � �8�6�8�  dx � EI 1 2 3 2 EI EI ских уравнений. i  10 n l M1 M1 1 2 1 1 512 384 896 � �8�8� �8�2 � �8�6�8�  dx � �EI � EI 1 2; 3 EI 2 δ�� i  10 3  EI � 3  EI 512 384 896 n l �M 1  M 2 � ; 3  EI  dx 3�  EI � 1 � 1 � 6 � 6 � 8 � � 144 . 3  EI EI 2 2 i  1 0 l EI n δ�� 3 EI  δ 3  EI � M1 M 2   dx � � 1 � 1 �6�6�8 � � 144  �� EI 2 2 На основании теоремы о взаимностиEIперемещений δij = δ3ji:EI i  10 144 3  EI . основании теоремы перемещений δij = δji: δij = δji: теоремы о взаимности перемещений δ�� На �На δосновании ; о взаимности �� 144 144 ; δδ�� δ �� ; �� δ�� EI n l M 2  M 233EI 1 2 1 2 1 1  dx � ∙ ∙6∙6∙ ∙6 � ∙ ∙6∙4∙ ∙6� δ��   ll M n EI 2 2 3 21 2 3 EI EI n  M 1 2 2 2 2 1 1 i� 1 0 M 2  M 2 dx � 1 1 1 2 1 2 δδ�� ∙ 6��EI 2 ∙ ∙2 ∙ 6∙ 6∙ 4∙ 4∙ 3∙ ∙ 6∙ 6��  dx � EI 2 ∙ ∙ 2 ∙ ∙66∙ ∙66∙ ∙3 ∙ 6 ��   EI EI EI 2 2 EI 2 2 3 3 ii 1100 72 48 120 � � � ; 48 3  EI72 3120 120 EI 72 3  EI 48 � � 3  EI �� 3  EI ; ; � 3  EI � 3  EI 3  EI 3  EI n l M1 M ∆��  n l Mn1  MFl F dx � M 1 M  dx �F  dx � ∆�� i�∆1  EI 0 � EI �� i  10 i  10 EI 1 33 2 1 1 11 1 2 1 � 1 ∙ 8∙ 8∙ 6∙ 6 ∙ 132 �1 � 1 1 ∙ ∙ 1∙ ∙ 88 ∙∙332 32 ∙∙ 4 ∙∙ 818� ∙ 32 � �1 EI ∙ 1 ∙∙ 24 ∙∙ 44∙ ∙ 4 ∙ 3 1 3 2 EI EI ∙ EI∙ 1 8 3∙ 32 ∙ ∙ 8 � ∙ 8EI∙26 ∙ 32 � ∙ EI 1∙ 42∙ 4 � � 4 3 EI 1 3 4 EI 2 EI 1 2 4 1 �� 11 ∙ ∙ 44 ∙∙��2 � 44∙∙�6 �6∙ 6∙ 6��4 4 ∙ 4�� 2 ∙ 8 � ∙ 4� ∙ 4�� 2∙ 4� � ∙ 4� � EIEI1 1 ∙ 66 ∙ ��2 ∙ 8 � 4 ∙ �6 ∙ 6 � 4 ∙ 4�� 3 EI 1 6 768 1536 320 2080 2080 � 4704 4704 �1536320 � 3202080 � 768�768 1536 � 3� EI4704 �;3  EI ; ; � � 3 � 3EI  EI� 3� 3 EI EI � 3� 3  EI EI 3  EI 3  EI 3  EI 3  EI 3  EI 3  EI 3  EI n l M2M 1 1 2 1 1 F ln M ∆�� n  M 2 � 1∙ ∙16 ∙ 4 ∙ ∙ 4� l 2M 2  M  dx � � 1 1 ∙ 11 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 32 � �EI 12 ∙2∙ 1 ∙ ∙66∙ 4∙ 43∙ 2∙ ∙ 4� ∙ 4� ∆�� ∆� EIF Fdx dx��EI 2 ∙ ∙ 2 ∙∙66 ∙∙ 6 6 ∙ 32 � ��  1 0  ��  i  2 2 22 2 3 EI EI EI EI EI EI 22 2 3 i  1i 0 1 0  576 320 256 �  576 �320 320 � � 256 256 .  576 3  EI 3  EI 3  EI 6. Построение суммарной единичной эпюры изгибающих моментов, т. е. Построение суммарной единичной изгибающих мо-т. е. 6. 6. Построение суммарной единичной эпюрыэпюры изгибающих моментов, 6. Построение суммарной изгибающих производим суммирование эпюрединичной по участкам,эпюры характерным точкам: моментов, т. е. ментов, т. е. производим суммирование эпюр по участкам, харакпроизводим суммирование эпюр по участкам, характерным точкам: производим суммирование эпюр по точкам: ��участкам, �� характерным . терным точкам: �� . � � 33EI � � 33EI ��33 EIEI. . EI EI �� . — 21 — 14 14 Выполняем универсальную проверку – формулы (1.11)–(1.13): � � универсальную проверку – формулы (1.11)–(1.13): Выполняем � � �� δ�� δ�� δ�� 2 1 2 6 1 � 1 1 1 �� 6� �1 � � �� 1 �� 1 �� 2 � �� 1 � �1 � �� 2 � �� 3 3 � EI�2 6� EI 1 2 EI 2 2 3 2 2 3 2 6 EI 1 2 EI EI 1 2 1 2 6 1 1 1 � �� 512 48 168 728 1 2 3 2 2 3 2 6 EI EI EI �� 512 �� 48 ��168 � �728 ; ; �� 3  EI 3  EI 3  EI 3  EI 3  EI 3 512 EI 3  EI 3  168 EI 48 728 � �� ; 896 144 144 120 3 728 3  EI 3  EI 3  EI EI728 . 896 144 144 120 δ � δ � δ � δ � δ � � � � � �� δ�� δ�� δ�� δ�� δ�� 3  EI� 3  EI� 3  EI� 3  EI� 3  EI . 3  EI 896 3  EI 144 3  EI 144 3  EI 120 3  EI 728 δ�� δ�� δ�� δ�� δ�� . = δijij, , значит, значит, выполнена универсальная единичных δSS = , значит, выполнена единичных 3  универсальная EI 3 универсальная EI 3  проверка EI 3 проверка EIпроверка 3  EIединичных δ выполнена δδSSSSΣδ= ij коэффициентов, следовательно, единичные коэффициенты найдекоэффициентов, следовательно, единичные коэффициенты найдены верно. коэффициентов, следовательно, единичные коэффициенты найдены верно. ны верно. � 7.� Проводим Проводим проверку свободных свободныхчленов членовканонических каноническихуравнений уравнений– – 7. проверку 7. Проводим �� проверку свободных членов канонических уравне� � � � проверка � ��––�� ∆постолбцовая �� постолбцовая проверка формулы (1.11),(1.14), (1.14), (1.15). формулы (1.15). ний – постолбцовая проверка –(1.11), формулы (1.11), (1.14), (1.15). �� 1� 3 1 2 1� 1 1 �� ∆∆�� 4 3 EI 1 3 EI 2 EI 2 2 �� 4 1 11 1� 1 1� � � � �� 1� �� 1 1 1 1 � 1 2� �2 � � � 2 � �� 33�� 1 ��EI � �� 1�� 2� � � �� 3� �� 1�� EI � �� 6 EI EI11 33 44 768 960 2 2 2 2 EIEI EIEI2 2 320 320 2080 3 3 4448 11 44� �� 1�1 � 1� 1� �� 2� 2�; �� 3  EI� � �3� EI 3� EI �� 3��  EI 3  EI 3  EI � �� EI EI11 66 1 1 2 2 EIEI 4704 EI 333EI  EI 256 333EI  EI 4448 333EI EI  EI 768 320 320 2080 4448 768 � ∆960 960 320 � ∆�� 320 �� 2080.�� 4448; ; �� ∆�� 33EI EI 33 EI EI 3 3 3 3EI  EI 4704 256 4448 ΔiF �=∆ΔSF� , значит, выполнена проверка, следовательно, 4448 ∆ ∆ �� 4704 �� 256 �постолбцовая ∆�� ∆�� 3  EI . . �� ∆�� 33 EI 3  EI  EI 3  EI 3  EI свободные члены найдены верно. — 22 — Δ ΔiFiF = =ΔΔSFSF, , значит, значит, выполнена выполненапостолбцовая постолбцоваяпроверка, проверка,следовательно, следовательно, 15 свободные члены найдены верно. EI 1 � 6 EI 1 2 768 960 320 320 2080 4448 � � � � � ; 3  EI 3  EI 3  EI 3  EI 3  EI 3  EI ∆�� ∆�� ∆�� 4704 256 4448 � � . 3  EI 3  EI 3  EI ΣΔiF = ΔSF, значит, постолбцовая проверка, следовательΔвыполнена выполнена постолбцовая проверка, следо iF = ΔSF, значит, но, свободные члены найдены верно. свободные члены найдены верно. 8. Решаем систему канонических уравнений: � 896 144 4704 �� 0 3  896 EI 3144  EI 3  EI 4704 � �� 0 � 120 � 256 3  EI �  144 �� 3  EI �� 3  EI � 0. � � 3  144 EI 3120  EI 3  EI 256  �� 0. � 3896  EI 3величину  EI 38/(3  EI 4704 Сократив оба уравнения на144 EI), получим следу144 896 �� 144 �� 4704 4704 �· 0 �� 896 � � �� 0 896 144 4704 33  EI 33  EI 33  EI � � EI EI EI ющую систему уравнений:  EI �� 3  EI �� 3  EI � 0 � 3112� 3  EI � � 1�� 3120  EI� � �� 3256 � EI 0 ���144 144 120 256 144 120�� 256 � 1�� 00. 112� �� 0. 896 144 4704  �1�� 1�� 32 � �� 0 120 256 � � � �� 33�144 EI 33  EI 33  EI � � � EI EI EI � 0. EI 144 3 4704 EI3�4704 �� 1�� 3� EI � 0.  3 �1�� �� EI�32 3  EI � 0.3  EI 896 896� 144 �� 3 �EI �� 3 �EI � 0�30 EI � �� 144 120 256 3  EI 3  EI 3  EI 3  EI 3  EI 3  EI � Решая систему уравнений, находим неизвестные: �� 0.  �� 3� 256 EI�� 03  EI 3  EI � 1�� 112� 144 144 120 120 256 � � ��,1�2� � � 112112 ∙ ��,0�0� � 1� ∙ � �� ,00� � �� 0,00� � � Х = −6,080 кН; Х = −5,162 кН. �� 112� � �� 1�� 0. 0 � �� 0,00� � 0� 0  �11��∙ ��,1�2� ∙ ��,0�0� ��,00� �� 20. �� 1�� 3  EI3  EI ��1�� 3112�  EI3  ��EI 3  EI 3�  EI 1�� 32 ��0.0 �� 1�� 32 � т. 0. е. подставляем полу��1�� проверку найденного решения, ��,0�0� �1��1� ∙Делаем �� 1�1�∙ ��,1�2� 32 � 32,01 0,01 � 0. �1�� 32 �� 0.3232� � ∙ ��,0�0� ∙ ��,1�2� � 1�� 32 � 32,01 0,01 � 0. �� 112�уравнения: � � 1�� 0 ченные значения Х1 и Х2 в канонические � Относительная погрешность первого уравнения: Относительная погрешность первого � 1�� 1�� уравнения: 0�1�� 0 � � 1�� 32 � 0. 112� ��,0�0� 112� ��,1�2� 112 1� ∙ ∙��,1�2� � � �� ,00� � �� 0,00� � 0 ��,0�0�� 112∙ ∙��,0�0� � �� ,00� � �� 0,00� � 0 �� 1� � ��,1�2� �1�� 1�� 1�� 32� 0.��,00� 0. �0,00� 112 ∙ ��,0�0� � 1��1�� ∙ ��,1�2� ��32 �� 0,00� � 0 �0,00� �� ,0�0� ��,1�2� �1� ∙ � 1� ∙ 32,01 32 ��0,01 ∙ 100�� 3��. ∙ 100�� 0,00�� 0,00�� 3��. �1� ∙ ��,0�0� � 1� ∙ ��,1�2��32 32 � 32,01�� 32 0,01��0.0. ��,00� ��,00� �1� ∙ ��,0�0� �∙ 1� ∙ ��,1�2� �∙ 32 � 32,01 � 32 � � ��,00� 0,01 � 0. � �� 0,00� � 0 ��,0�0� ��,1�2� 112 � 1� � �� Относительная погрешность первого уравнения: Относительная погрешность первого уравнения: Относительная погрешность первого уравнения: Относительная погрешность второго уравнения: ��,1�2� 112112 ∙ ��,0�0� ∙ ��,0�0� � 1� � ∙1� ∙ ��,1�2� �� ,00� � ��,00� � �� 32 �0,00� �� 0,00� � 0� Относительная погрешность второго Относительная погрешность первого уравнения: ��,0�0� ��,1�2� �1� ∙� � 1� ∙ уравнения: � 32,01 � 032 � 0,01 � 0. �0,00� �0,00� 0,01 ∙ 100�� 0,00�� 3��. ��,1�2� �0,00� �1��1� ∙ ��,0�0� ∙ ��,0�0� � 1� � ∙1� ∙ ��,1�2� �∙ 32 �∙ � 32 32,01 ��32,01 32 �� 32первого 0,01 ��0,01 � 0. � 0. 100�� 0,00�� 3��. 0,01 100�� 0,03�� 3��. Относительная погрешность уравнения: ��,00� ��,00� ∙ 100�� 0,00�� 3��. 32,01 ∙ 100�� 0,03�� 3��. ��,00� 32,01 Относительная Относительная погрешность погрешность первого первого уравнения: уравнения: �0,00� Относительная погрешность второго уравнения: Относительная погрешность второго уравнения: Относительная погрешность второго уравнения: ∙ 100�� 0,00�� 3��. Относительная погрешность второго уравнения: ��,00� �0,00� �0,00� 0,01 ∙ 0,01 100�� ∙ 100�� 0,00�� 3��. �� 3��. � � ��0,00�� 0,03�� 3��. �� ок � �∙ ∙�100�� . 0,01 100�� 0,03�� 3��. ��,00� ��,00� 32,01 Относительная погрешность второго уравнения: �� 32,01 ∙ 100�� 0,03�� 3��. �ок �� . � � � � 32,01 Таким образом, решение найдено верно. Относительная Относительная погрешность погрешность второго второго уравнения: уравнения: 0,01 ∙ 100�� 0,03�� 3��. 9. Построение эпюры изгибающих моментов 32,01 0,010,01окончательной �� 0,03�� 3��. �� . . � � �� ок � � ∙ 100�� ∙ ок 100�� 0,03�� 3��. � � � � � � ок � � � � �� 32,01 32,01 �ок � � � �� . �� ок � � � � �� ,�умножени�� . Для этого сначала построим эпюры и �� ок� �� и� �� на �� .�� . ем единичных эпюр действительные значения эпюры ок �� Х1 и Х2. — 23 — Проведем суммирование полученных эпюр по характерным т Проведем суммирование полученных эпюрпопохарактерным характерным Проведем суммирование полученных эпюр точкам, точкам, получим окончательную эпюруизгибающих изгибающих моментов. окончательную эпюру получимполучим окончательную эпюру изгибающих моментов. моментов. 10. Проверяем правильность построения эпюры Мок: 10. Проверяем а) статическая проверка: правильность построения эпюры Мок: а) статическая проверка: 17 — 24 — 10. Проверяем правильность построения эпюры Мок: а) статическая проверка: �� 0� �6�64 � �6�64 � 0 ��6 � �4�� � � � 0� 0� �6�64 � �6�64 � 0 � ��0�� 0. � � � �6�64 � �6�64 выполнена, �0 � � � 0� Статическая проверка ��6 � �4�� 0�� 0.так как в узлах сохраняется � � � 0� � 0� �6�64 � �6�64 � 0� ��0�� 0. � 0� ��6 � �4�� �� равновесие; статическое проверка выполнена, так как в узлах сохраняется 0�� � �6�64 � �6�64 � 0 �� Статическая 0� проверка ��6выполнена, � �4�� 0�� 0. в узлах сохраняется Статическая так как � б) деформационная проверка: статическое равновесие; � 0� ��6 � �4�� 0�� 0. � � � статическое � � равновесие; � � �� проверка: б) деформационная деформационная � �� проверка: ∆б) �� ∆�� ∆�� ∆�� ∆�� 1 � 8 � �0 � 0 � 4 � 4 � �6�� 6�64 � �� 1 � � � 6 � ��4 �� 8 � 1 �� EI EI 1 1 864 � 4 � �6�� 6�64 � �� 1 � � � 6 12 � � � �0 �� 0 � 0 � 4 � 4 � �6�� 6�64 �2 �� 4 � � � 6 �� 4 �� 0 � 1 2 1 EI 1 8 11 6 88 1 EI 1 4 6 1 EI EI 1 1 1 � � �0 � 0 � 4 � 4 � �6�� 6�64 � �� 6 � ��4 � �� 0 � � � 0 � 4 � 4 � �6�� 6�64 � �� 6 � ��4 ��6� � 4 � 4 � 6 � �� 6 � � � � ��6� � 4 2 EI EI 1 46EI EI��6 EI 11 6 EI 122 2 EI EI 1 4 1 11 6 �� 4 � 4 � 6 � �� 6 � � �� 6� � � 1 � 1 � ��6� � 4 � ��6� 4�4� � 6��6 � �� 1 1 4 2EI 1 6 1 2 1 EI 14 6 1 EI111 1 EI 1 � �� 1��6� � �44��4� 4� 6��6�� 4�� 6 � �� 6 � �� 464 ��6 � �� EI 1�� 4�� 6� � ��6� � ��6�� 4 � ��6 1 2 EI 1 EI 1 6 EI 1 EI 1 2 EI 3 EI 2 1 2 1 1 � ��464 � ��6 � 4�� 6�� 6�� 314 �� 4 �� 4EI��6�� 464 � ��6 � 4�� 1 12 3 1 2 22 1 EI  0,018 ��6�� 4 � � ��464 � ��6 � 4�� 6�� 6� � 4 � � 4 � � ��464 � ��6 � 4��  0. 3 EI 3 EIEI EI EI 13 1  0,018 �  0,018  0. � ��  0. 1 0 , 018  EI EI 1  0,018  0,018 � Относительная �� погрешность: �� EIEI  0.  0. � EI EI EI EI EI EI �� Относительная погрешность: 2 �1 � �00 � �погрешность: 0�006 � � � � – допустимая погрешность. Относительная �� Относительная Относительная погрешность: �� погрешность: Относительная погрешность: � �00 � � 0�006 � � � � – допустимая погрешность. �� 00 � � 0�006 � � � � – допустимая погрешность. �� допустимая погрешность. � �00 � � 0�006 � � � � ––допустимая погрешность. �� 00 � �0�006 �� – допустимая погрешность. ∆�� ∆�� 1 �� ∆�� 6 �� ∆�� 1 1 �� ∆�� 0�� 6�64 � 4 � � � ��4 � �4�� 6� � � � ��0�� 2 66 2 EI EI � �� 12 1 1 � � � � �0 � �6�64 � 4 � � � ��4 � �4�� 6� � � � ��0�� 6 EI22 1 1 6 6 1 6 2 2 EI 1 1 1 1 1 4 06� ,027 �� 6�64 � ��4 ��4�� 4�� 1 � 6� � ��0 � �6�64 � �� 4 � EI0.2 � 2 � ��0�� 4��0 6 �� 4��4�04� �� 4�0�� 6� � � � EI 2� �06� �6�64 � 4 � � � ��4 � �4�� 6� � 6 2 EI 26 32 EI 1 0,EI 027 EI 2 2 2 6 EI EI �4� �6� ��4�04� � �4�0��  0. 2 027 311 EI EI 2 00,,027 Относительная погрешность: 1 2 1 1 � 4 � � 6 � ��4�04� � �4�0��  0. 1� 2 1 0,027 0,027 1 � ��0�� 4�04� EI EI� �4�0�� EI�2 Относительная �233��0�� EI 4 �� 4 �погрешность: � 36 ��6 � ��4�04� � �4�0�� EI0.  0. EI �� EI 3 0�� EI� � � – допустимая погрешность. EI EI 2 2 � �00 � � �� Относительная �� погрешность: Относительная Относительная погрешность: � �00 �погрешность: � 0�� – допустимая погрешность. Относительная погрешность: �� 00 � � 0�� ––допустимая погрешность. допустимая погрешность. �� 18 26 — 25 — 18 18 18 26 Деформационная проверка выполнена, следовательно, эпюра Мок построена верно. построена верно. Деформационная проверка выполнена, следовательно, эпюраэпюры Мок 11. Построение эпюры поперечных сил на основании построенной 11. Построение эпюры поперечных сил на основании построенной эпюры построена верно. изгибающих моментов Мок Деформационная выполнена, следовательно, эпюра изгибающих моментовэпюры Мок проверка 11. Построение поперечных сил на основании построенной эпюры М построена верно. 11. Построение эпюры поперечных  МA =сил 0, на основании построен М = 0, −16,64 + q · 8 · 4 − НВ · 8 = 0, A ной эпюры изгибающих моментов Мок ок изгибающих моментов Мок −16,64 + qкН · 8 · 4 − НВ · 8 = 0, НВ = 1,92  ВМ=A 1,92 = 0, кН Н −16,64 + q · 8 · 4 − НВ · 8 = 0,  МВ = 0, Н ВМ= 1,92  0,qкН −16,64 · 8 · 4 + НА · 8 = 0, В =− −16,64 − · 8 · 4 + НА · 8 = 0, НА = 6,08qкН  АМ=В 6,08 = 0, кН Н −16,64 − q · 8 · 4 + НА · 8 = 0,  Х = 0, −НА − НВ + q · 8 = 0, 0 = 0 Н кН − Н + q · 8 = 0, 0 = 0  АХ==6,08 0, −Н А В  Х = 0, −НА − НВ + q · 8 = 0, 0 = 0  МВ = 0,  + 14,332 + 16,64 = 0, −VМС В· =6 0, 6 + 14,332 −V VС С=·5,162 кН, + 16,64 = 0, СМ=В 5,162 = 0, кН, V −VС · 6 + 14,332 + 16,64 = 0,  М = 0, VСМ=С5,162 кН,  0,14,332 −VВ С· = 6+ + 16,64 = 0, −V · 6 + 14,332 В VВ = 5,162 кН, + 16,64 = 0, ВМ=С5,162 = 0, кН, V −VВ · 6 + 14,332 + 16,64 = 0,  Y = 0, VВ + VС = 0, 0 = 0 VВY==5,162  0, VВ кН, + VС = 0, 0 = 0  Y = 0, VВ + VС = 0, 0 = 0  МС = 0, 9,028 − VЕ · 4 = 0  = 0, 9,028 кН − VЕ · 4 = 0 VЕМ=С2,257 VЕ = 2,257 кН  МС = 0, 9,028 − VЕ · 4 = 0  МЕ = 0, 9,028 − VС · 4 = 0 = 2,257 кН − V · 4 = 0 V  = 0, 9,028 С кН VЕСМ=Е 2,257 VС = 2,257 кН  МЕ = 0, 9,028 − VС · 4 = 0 Y= 0, −VС + VЕ = 0, 0 = 0 VСY==2,257  0, −VкН С + VЕ = 0, 0 = 0  МС = 0,  Y = +0,Н−V·С 8+−VР Е= −23,36 · 40,=00= 0 D НD = 3,92 кН  МD = 0, −23,36 − НС · 8 + Р · 4 = 0 НС = −1,92 кН – значит, направление реакции выбрано неверно, поэтому меняем его на противоположное.  Х = 0, −НD + НС + Р = 0, 0 = 0 19 19 19 — 26 — Соберем все участки на раму в целом. Эпюра поперечных сил Q будет иметь следующий вид: Соберем все участки на раму в целом. Эпюра поперечных сил Q будет Соберем все участки на раму в целом. Эпюра поперечных сил Q будет иметь следующий вид: на раму в целом. Эпюра поперечных сил Q Соберем все участки иметь следующий вид: будет иметь следующий вид: 12. Построение эпюры продольных (нормальных) сил N на основании 12. Построение эпюры продольных(нормальных) (нормальных) сил сил N N на на ососновании 12. Построение эпюры продольных построеннойэпюры эпюры поперечных сил: сил: построенной новании построеннойпоперечных эпюры поперечных сил:  Х = 0, N + 1,92 = 0  Х = 0, NВСВС + 1,92 = 0 NВС = −1,92 кН – получается, = −1,92NкНнаправлено – получается, N ВС усилие что в ВС что усилие NВС направлено противоположную сторону, в противоположную сторону, т. е. в узел. т. е. в узел.  Y = 0, −NАВ + 5,162 = 0  Y = 5,162 0, −NкН NАВ АВ + 5,162 = 0 NАВ = 5,162 кН  Y = 0,  Y = 0, − 5,162 + 2,257 NСD − 5,162 + 2,257 = 0= 0 NСD NСD = −2,905 – направлено NСD = −2,905 кНкН – направлено в противоположную сторону в противоположную сторону  =X 0, = 0, X −1,92 + 1,92 NСЕ −1,92 + 1,92 = 0= 0 NСЕ NСЕ = 0= 0 NСЕ Соберемвсе всеучастки участкинана нараму рамув целом. вв целом. Эпюра продольных N будет Соберем все участки Эпюра продольных силсил N будет Соберем раму целом. Эпюра продольных сил N иметьиметь следующий вид: иметь следующий вид: будет следующий вид: 13. Согласно построенным эпюрам M, N, Q определяем опорные реакции 13. Согласно построенным эпюрам — 27 —M, N, Q определяем опорные реакции рамы и составляем условие статического равновесия рамы в целом. рамы и составляем условие статического равновесия рамы в целом. 20 20 13. Согласно построенным эпюрам M, N, Q определяем опорные реакции рамы и составляем условие статического равновесия рамы в целом. Согласно построенным эпюрам N, Q определяем опорные 13.13. Согласно построенным эпюрам M, N, M, Q определяем опорные реакции реакции рамы и составляем условие статического равновесия рамы рамы и составляем условие статического равновесия рамы в целом. в целом. ෍ ܺ ൌ Ͳǡ െ‫ܪ‬஺ െ ‫ܪ‬஽ ൅ ‫ ܨ‬൅ ‫ ݍ‬ή ‫ ܪ‬ൌ Ͳǡ 21 ͵ǡͻʹ ൅ ʹ ൅ ͳ ή ͺ ൌ Ͳǡ ෍െ͸ǡͲͺ ܺ ൌ Ͳǡെെ‫ܪ‬ ஺ െ ‫ܪ‬஽ ൅ ‫ ܨ‬൅ ‫ ݍ‬ή ‫ ܪ‬ൌ Ͳǡ Ͳ ൌ Ͳ 21 ෍ ܻ ൌ Ͳǡ െܸ஺ ൅ ܸ஽ ൅ ܸா ൌ Ͳǡ െͷǡͳ͸ʹ ൅ ʹǡͻͲͷ ൅ ʹǡʹͷ͹ ൌ Ͳǡ Ͳ ൌ Ͳ ෍ ‫ܯ‬௄ ൌ Ͳǡ ‫ܪ‬஺ ή ͺ െ ܸ஺ ή ͵ െ ‫ ܨ‬ή Ͷ െ ‫ ݍ‬ή ͺ ή Ͷ െ ܸ஽ ή ͵ ൅ ‫ܪ‬஽ ή ͺ െ ܸா ή ͹ ൌ Ͳǡ ͸ǡͲͺ ή ͺ െ ͷǡͳ͸ʹ ή ͵ െ ʹ ή Ͷ െ ͳ ή ͺ ή Ͷ െ ʹǡͻͲͷ ή ͵ ൅ ͵ǡͻʹ ή ͺ െ ʹǡʹͷ͹ ή ͹ ൌ Ͳǡ ͲൌͲ Так как как выполнены выполнены все всеуравнения уравнениястатического статическогоравновесия, равновесия, Так следовательно, рассчитана верно,M,эпюры M, N, Qправильно. построены следовательно, рамарама рассчитана верно, эпюры N, Q построены правильно. 1.3. Расчет плоских статически неопределимых ферм 1.3.1. Статическая неопределимость Статически неопределимой фермой называется ферма, для определения усилий в элементах которой кроме уравнений статического равновесия необходимы дополнительные уравнения – уравнения деформаций. Расчет статически неопределимой фермы начинается с анализа ее схемы и определения степени статической неопределимости. Различают внешне статически неопределимые фермы и внутренне — 28 — статически неопределимые фермы. Внутренне статически неопределимые фермы – фермы с тремя опорными стержнями, имеющие лишние внутренние ͲൌͲ Так как выполнены все уравнения статического равновесия, следовательно, рама рассчитана верно, эпюры M, N, Q построены правильно. 1.3. Расчет плоских статически неопределимых ферм 1.3. Расчет плоских статически неопределимых ферм 1.3.1. Статическая неопределимость 1.3.1. Статическая неопределимость неопределимой фермой называется ферма, для Статически неопределимой фермой называется ферма, для опреопределения усилий в кроме уравнений уравнений статического статического деления усилий в элементах элементах которой которой кроме равновесия необходимы дополнительные уравнения – уравнения уравнения деформаций. равновесия необходимы дополнительные – уравнения деформаций. Расчет статически неопределимой фермы начинается с анализа ее схемы Расчет статически неопределимой фермы начинается с анализа и определения степени статической неопределимости. ее схемы и определения степени статической неопределимости. Различают внешне статически неопределимые фермы и внутренне Различают внешне статически неопределимые фермы и внустатически неопределимые фермы. Внутренне статически неопределимые тренне статически неопределимые фермы. Внутренне статически фермынеопределимые – фермы с тремя опорными стержнями, лишние внутренние фермы – фермы с тремя имеющие опорными стержнями, имесвязи ющие (рис. 1.10, а). внутренние Внешне статически неопределимые фермы имеют лишние связи (рис. 1.10, а). Внешне статически неопределимые фермы имеют лишние внешние связи (рис. 1.10, б). лишние внешние связи (рис. 1.10, б). Статически Рис. 1.10 22 Для внешне статически неопределимых ферм степень статической неопределимости вычисляется по формуле nст = Соп - 3, (1.21) где Соп – количество опорных связей (стержней) системы. Для внутренне статически неопределимых ферм степень статической неопределимости вычисляется по формуле nст = -W = -(3D - 2Ш - Соп), (1.22) где D – количество дисков (стержней); Ш – количество одиночных (простых) шарниров; Соп – количество опорных связей (стержней) системы. Для системы, изображенной на рис. 1.10, б, степень статической неопределимости равна: — 29 — nст = Соп - 3 = 4 - 3 = 1. Для системы, изображенной на рис. 1.10, а, степень статической неопределимости равна: nст = -(3D - 2Ш - Соп) = -(3 · 18 - 2 · 26 - 3) = 1. 1.3.2. Основная и эквивалентная системы. Канонические уравнения метода сил Основной системой называется статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной системы путем отбрасывания всех лишних связей (за исключением абсолютно необходимых). Построение основной системы может быть произведено различными способами. Выбор основной системы является важным этапом расчета, так как от него зависит простота и точность расчета фермы. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренних усилий, возникающих в системе, и ее деформаций, если к ней прикладываются дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Поэтому если к основной системе кроме заданной нагрузки приложить реакции устраненных связей, то полученная заданная будутсистема эквивалентны. Полученная таким образомтаким система системасистема и заданная будут эквивалентны. Полученная образом система называется эквивалентной системой. называется эквивалентной системой. Рис. 1.11 Рис. 1.11 На рис. 1.11, а, изображена основная система, полученная из заданной системы на рис. 1.10, а, путем отбрасывания одного лишнего стержня, вызывающего наибольшие деформации из-за его неразрезанности. На рис. 1.11, б, изображена основная система, полученная из заданной системы на рис. 1.10, б, путем отбрасывания одного лишРис. 1.12 — 30 — δ�� δ�� … � δ�� ∆�� δ � � δ � ��… � δ � � ∆ � � него опорного стержня, при этом сохраняется геометрическая симметрия системы для упрощенияРис. расчетов. 1.11 Рис. 1.12 Рис. 1.12 На рис. 1.12, будут а, показана эквивалентная систематаким для заданной заданная система образом система �� … � δ�� Полученная � ∆�� δ�� δ��эквивалентны. системы, изображенной на рис. 1.10, а, полученная путем приклаδ � � δ�� системой. � � � … � δ�� ∆�� называется эквивалентной (1.23) � �� системе, дывания к основной изображенной ……………………… … … … … … … … на … …рис. 1.11, а, заданδ�� ∆�� . δ�� δ�� ной внешней нагрузки и� реакции связи X1. В данном � � � … � отброшенной случае реакцией отброшенной связи является внутреннее усилие (продольное усилие N) в отброшенном стержне. �δ�� ∆�� . (1.24) На рис. 1.12, б, показана эквивалентная система для заданной системы, изображенной на рис. 1.10, б, полученная путем прикла� дывания к основной системе, �� на �� рис. � �� 1.11, б, задан�� изображенной �� δ�� ; ной внешней нагрузки и реакции �� отброшенной ��связи X1. В данном � Рис.является 1.11 случае реакцией отброшенной связи реакция в отброшен(1.25) ном опорном стержне. � В заданных системах (рис. а, б) в направлении имеющих� � � �� 1.10, � � � ∆ � � . �� ся жестких связей (в том числе �� тех связей, которые �� отброшены при � переходе к основной системе) перемещений быть не может. Поэтому в эквивалентной системе перемещения по направлениям отбро-(1.26) шенных связей должны быть равны нулю. Следовательно, реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при которых 32 перемещения по их направлениям равнялись бы нулю. Таким обраРис. 1.12 зом, условие равенства эквивалентной и заданной систем математически сводится к удовлетворению системы n линейных уравнений: δ�� δ�� … � δ�� ∆�� δ � � δ�� … � δ�� ∆�� ……………………………………………… δ�� δ�� … � δ�� ∆�� . — 31 — �δ�� ∆�� . (1.23) (1.23) (1.24) заданная система будут эквивалентны. Полученная таким образом система Эти уравнения являются теми дополнительными уравнениями называется эквивалентной системой. заданная система будут эквивалентны. Полученная таким образом система деформаций (перемещений), которые позволяют раскрыть статиназывается эквивалентной системой. ческую неопределимость заданной системы. Данные уравнения являются каноническими уравнениями метода сил. Первое из этих уравнений выражает мысль о равенстве нулю перемещения в эквиРис. 1.12 валентной системе по направлению первой отброшенной связи Χ1, второе – по направлению второй отброшенной связи и т. д. Число уравнений связей, т. е. степени �� числу … � δотброшенных δ�� δ��равно �� ∆�� δ�� δ�� … �заданной δ�� системы. ∆�� Так, для систем, статической неопределимости (1.23) � … … на …… … …10, … а, … б, … … …1.11 … … канонических …………… изображенных рис. система уравнений буРис. ��одного � δ�� уравнения �� потому ∆�� .что степень статиδ��из � � � … � δ�� дет состоять (1.24), Рис. 1.11 ческой неопределимости в обоих случаях равна единице. �δ�� ∆�� . (1.24) (1.24) В системе канонических уравнений в качестве коэффициентов при неизвестных стоят перемещения основной системы, вызывае� � �� мые единичными силами,�действующими по� �направлениям отбро� � �� δ�� ; �� шенных связей. Коэффициент δij представляет перемещение по � направлению связи i, вызванное силой, равной единице, действуРис. 1.12 ющей по направлению связи j. Коэффициенты δij носят название (1.25) Рис. 1.12 � единичных коэффициентов уравнений. Коэффици� � �� канонических � � �� ∆ � . связи i, вы� � δ � � � … � δ � � ∆ δ ент Δiр представляет �� перемещение � �� по � направлению �� δ�� δ�� … � δ�� нагрузки. ∆�� Коэффициенты званное � действием заданной �� … �внешней δ�� ∆�� δ�� δ�� (1.23) … … … … … … … … … … … … … … … … … …свободными членами Δiр называются (1.26) δ�� грузовыми � δ�� коэффициентами � … � δ�� ∆��или �� (1.23) �δ�� δ�� … � δ�� ∆�� . канонических … … уравнений. ………………………………………… �. δ�� δ�� Коэффициенты δii�называются главными а � � � … � δ�� ∆�� коэффициентами, 32 коэффициенты δij – побочными. На основании теоремы о взаимно�δ�� ∆�� . (1.24) сти перемещений δij = δji. �δ�� ∆�� . (1.24) Определяются коэффициенты канонических уравнений с помо� щью интегралов Мора по�формулам: �� δ�� ; �� (1.25) δ�� ; �� (1.25) � � � � � �� ∆�� . �� ∆�� . �� — 32 — (1.25) (1.26) (1.26) (1.26) 32 Так как фермы – это конструкции, работающие преимущественно на сжатие (растяжение), то в выражении интегралов Мора с соблюдением достаточной точности остаются только слагаемые, зависящие от продольных усилий N. Для подсчета коэффициентов необходимо знать только величины продольных усилий в стержнях ферм. Для их нахождения используются способы определения продольных усилий в стержнях ферм: способ вырезания узлов, способ моментной точки, способ проекций и определение усилий по признакам нулевых и ненулевых стержней. 1.3.3. Построение окончательной эпюры продольных сил После вычисления единичных коэффициентов и грузовых членов канонических уравнений эти уравнения решают, в результате чего определяют неизвестные усилия Хi. После того как лишние неизвестные найдены, эквивалентное состояние будет представлять собой статически определимую систему, находящуюся под действием заданной нагрузки и найденных сил Хi. Рассчитав эту статически определимую ферму, строят для нее эпюру продольных усилий N известными способами, которыми пользовались при построении эпюр в статически определимых фермах (в фермах обычно эпюру N не строят, достаточно определить только величины усилий). Существует и другой способ построения эпюры N. Используя принцип Даламбера, эпюру N можно построить на основании формулы (1.27): �� ∑�� . �ок � � (1.27) (1.27) Таким образом, для получения окончательной эпюры продольных сил ординаты каждой из единичных эпюр умножаются на най� � �� ок � �� ок � �� денное значение � неизвестного � ∆�ок �соответствующего . и все результаты �� суммируются (по отдельным точкам осей системы) с добавлением к ним ординат грузовой эпюры продольных сил. (1.30) Так как в ферме достаточно большое количество вычислений, то расчет статически неопределимой фермы лучше всего вести в табличной форме. Таблица для дважды статически неопределимой фермы представлена на рис. 1.13. — 33 — № стержня li EF N1 N2 NF N1N1li N1N2li N2N2li N1NFli N2NFli N1X1 N2X2 Nок N1Nокli N2Nокli 1–2 2–3 2–4 δ12, δ21 δ11 δ22 Δ1F Δ2F 0 0 Рис. 1.13 1.3.4. Проверки Важнейшим элементом расчета ферм являются различные проверки на каждом этапе расчета. 1. Проверки правильности построения окончательной эпюры продольных усилий: а) статическая проверка – основана на условии статического равновесия окончательных усилий во всех узлах фермы согласно формулам (1.28) и (1.29). ΣX = 0; (1.28) ΣY = 0; (1.29) б) деформационная проверка – заведомо нулевые перемещения в заданной системе должны получиться равными нулю и при расчете эквивалентной т. е.� перемещения, вычисленные по � �� системы, � �ок � � � �� (1.27) � � �� ∑�� . формуле (1.30), должны получаться равными нулю с погрешностью вычисления не более 3 %. � � ∆�ок � � � �� ок � �� ок � �� . �� (1.30) 2. Статическая проверка фермы в целом – проверяется рассчи- (1.30) танная ферма с учетом найденных опорных реакций и продольных сил через уравнения статики (1.31), (1.32): ΣY = 0; (1.31) ΣX = 0. (1.32) — 34 — 1.3.5. Определение внутренних усилий в стержнях ферм Фермы – это системы, работающие преимущественно на сжатие (растяжение). Поэтому из внутренних усилий в фермах определяются только продольные усилия. А остальные усилия (М, Q) настолько малы, что ими можно пренебречь. В первую очередь в фермах определяются опорные реакции. Для определения опорных реакций ферм используются уравнения статики, т. е. составляются три уравнения равновесия для всей фермы в целом (1.33)–(1.35): ΣМА = 0; (1.33) ΣМВ = 0; (1.34) ΣX = 0. (1.35) Для определения внутренних усилий следует выделять сечениями узлы или отдельные части ферм и рассматривать условия их равновесия под действием внешних нагрузок и усилий в рассеченных стержнях (метод сечений). Выделение частей или узлов фермы необходимо производить так, чтобы усилия в элементах определялись наиболее просто. Различают следующие способы определения внутренних усилий в стержнях ферм: способ моментной точки; способ вырезания узлов; способ проекций. Способ моментной точки (СМТ). СМТ применяется в тех случаях, когда удается рассечь ферму на две части так, чтобы при этом перерезанными оказались три ее стержня, направления осей которых не пересекаются в одной точке (рис. 1.14). Направления осей трех таких перерезанных стержней пересекаются попарно в трех точках, не лежащих на одной прямой. Такие точки являются моментными для соответствующих стержней. Моментной точкой О1 для стержня N1 является точка пересечения двух оставшихся стержней N2 и N3, попавших в сечение (точкой О2 для стержня N2 будет являться точка пересечения двух оставшихся стержней N1 и N3; О3 для стержня N3 – это точка пересечения двух оставшихся стержней N1 и N2). — 35 — (1.30) Рис. 1.14 Рис. 1.14 Составляя и решая последовательно уравнения моментов всех внешних и внутренних сил, действующих на отсеченную часть фермы, относительно этих моментных точек [формулы (1.36)–(1.38)], получим усилия в рассеченных стержнях N1, N2, N3. ΣМ01 = 0, VA · (d + d) + N1 · r1 - F · d = 0; (1.36) ΣМ02 = 0, -VA · a + N2 · r2 + F · (a + d) = 0; (1.37) V · d - N · r = 0. (1.38) Рис.A1.15 3 3 СМТ удобно пользоваться при расчете ферм, когда можно провести разрез, пересекающий кроме данного стержня (усилие в котором определяется) любое число стержней, сходящихся в одной общей точке, не лежащей на направлении оси данного стержня. СМТ удобен также и в случаях, когда разрез пересекает более трех стержней, не сходящихся в одной точке, если усилия во всех стержнях, кроме трех, уже известны. СМТ применим для расчета таких ферм, в которых возможно провести разрезы, пересекающие любое число стержней более трех, если при этом каждый добавочный стержень пересекается дважды. Способ вырезания узлов (СВУ). СВУ применяется при рассмоРис. 1.16 трении равновесия вырезанных узлов (рис. 1.15). Определение усилий СВУ начинается с вырезания узла, в котором сходятся не более 2-х стержней. При этом условие статического равновесия составляется в виде проекций всех сил и усилий на оси – формулы (1.39), (1.40). ΣМ03 = 0, ΣY = 0, VA + N1 · sin a = 0; (1.39) ΣX = 0, N2 + N1 · cos a = 0. (1.40) — 36 — 33 ∆�ок � � � �� ок �� Рис. 1.14 � ок �� . (1.30) Рис. 1.15 1.15 Рис. Также можно определить внутренние усилия в стержнях ферм СВУ, вырезая узел, в котором сходится более двух стержней. При этом все усилия в узле, кроме двух, должны быть уже известны. Способ проекций (СП). СПРис. применяется при рассмотрении рав1.14 новесия части фермы, как и в СМТ, когда два из трех рассеченных стержней параллельны друг другу (т. е. когда для стержня невозможно найти моментную точку) (рис. 1.16). Для стержня N2 невозможно найти моментную точку (точка находится в бесконечности), так как два параллельных стержня 1 и 3 не пересекаются. Поэтому в данном случае составляется условие равновесия отсеченной части фермы в виде суммы проекций Рис.всех 1.16 сил и усилий, действующих на отсеченную часть, на ось,Рис. перпендикулярную к параллельным 1.15 стержням. В данном случае на ось Y [формула (1.41)]. ΣY = 0, VA - F1 - F1 + N2 · sin a = 0. 33 (1.41) Рис. 1.16 1.16 Рис. Признаки нулевых и ненулевых стержней Кроме трех способов определения внутренних усилий в стержнях ферм также используются признаки нулевых и ненулевых стержней для быстрого определения усилий. — 37 — 33 1. Если в узле сходятся два стержня и к Если в узле сходятся 1. Если в 1. узле сходятся два стержня и кдва этомуввузлу приложена внешняяи 1. узле сходятся два 1. Если Если узлене сходятся два стержня стержня и кк этому узлу не приложена внешняя стержня иусилия к этому узлу не прилонагрузка, тоне в этих стержнях этому узлу приложена внешняя этому узлу не приложена внешняя нагрузка, то усилия в этих стержнях равны нулю: N1 = 0, ввнагрузка, Nэтих нагрузка, то жена внешняя то уси2 = 0.стержнях нагрузка, то усилия усилия стержнях равны нулю: N1 = 0, Nэтих 2 = 0. равны нулю: N = 0, N = 0. 1 2 равны нулю: N = 0, N = 0. лия в этих 1стержнях равны нулю: 2 N1 N1 N N11 N2 N2 N N22 N1 = 0, N2 = 0. 2. Если в 2. узле сходятся три стержня, Если в узле сходятсядва три 2. Если в узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой,два ик 2. Если в узле сходятся три стержня, 2. Если в узле лежат сходятся три стержня, два два из лежат из стержня, которых на которых одной прямой, и на к этому узлу не приложена внешняя из которых лежат на прямой, из которых лежат на одной одной прямой, и и кк этому узлу не приложена внешняя одной прямой, к этому нагрузка, ви этих двух узлу не этому узлу неусилия приложена внешняя этому узлуто приложена нагрузка, тонеусилия в этихвнешняя двух стержнях будут равны по величинам ито нагрузка, то усилия в этих двух приложена внешняя нагрузка, нагрузка, усилия в этих двух стержнях то будут равны по величинам и = N , знакам, а третий равен нулю: N стержнях будут равны по величинам иN 1 2 стержнях будут величинам усилия в этихравны двух по стержнях N2,иN33 знакам, а третий равен нулю: N1 = будут знакам, аа третий равен нулю: N N = 0. 11 = 22,, N знакам, третий равен нулю: N = N = 0. равны по величинам и знакам,Nа33 = = 0. 0. N1 N1 N N11 N3 N3 N N33 N1 N1 N N11 N2 N2 N N22 N2 N2 N N22 N1 N1 N N11 N3 N3 N N33 N2 N2 N N22 третий равен нулю: N1 = N2, N3 = 0. N3 3. Если в узле сходятся четыN3 N3 3. Если в узле сходятся четыре стержня, N N3 N33 3. Если встержня, узле сходятся четырележащие стержня, на ре попарно N N N33 попарно лежащие на одной ик 3. вв узле сходятся четыре стержня, 3. Если Если узле сходятся четырепрямой, стержня, N22 N попарно лежащие на одной прямой, и к 1 N2 N одной прямой, и к этому узлу не 2 N этому узлу не приложена внешняя попарно лежащие на прямой, N2 1 N1 N2 попарно лежащие на одной одной прямой, и и кк N этому узлу не приложена внешняя 1 N N1 N 1 N22 нагрузка, то усилия в этих парных этому узлу не приложена внешняя N приложена внешняя нагрузка, то 11 этому узлу не приложена внешняя N нагрузка, то усилия в этих парных N N 4 стержнях будут равны по величинам и нагрузка, то усилия в этих парных 4 нагрузка, впарных этих парных N4 N4 усилиято вусилия этих стержнях стержнях будут равны по величинам и N N знакам: N1будут = N2, равны N3 = N4по . величинам стержнях N44 N44 стержнях будут равны по величинам и и знакам: N = N , N = N . 1 2 3 4 будутNравны по величинам и зназнакам: = N , N = N . знакам: N11 = N22, N33 = N44. кам: N1 = N2, N3 = N4. F 4. Если в 4. узле сходятся три стержня, в узле сходятсядва F F 4. Если в узлеЕсли сходятся три стержня, дватри F F из которых лежат на одной прямой, и к 4. Если в узле сходятся три стержня, два F N2 4. Если в узле лежат сходятся три стержня, два F из которых наизодной прямой, ик стержня, два которых лежат F N2 N этому узлу приложена внешняя из которых лежат на одной прямой, и к N из которых лежат на одной прямой, и к 1 2 N2 N этому узлу приложена внешняя N 2 1 N 1 на одной прямой, и к этому узлу N2 нагрузка Р, приложена лежащая навнешняя одной прямой с N1 этому узлу N этому узлу 1 N N нагрузка Р, приложена лежащая навнешняя одной прямой с N 1 N22 третьим стержнем, тона усилия впрямой первыхссР, N11 нагрузка Р, лежащая одной приложена внешняя нагрузка нагрузка Р, лежащая на одной прямой N 3 третьим стержнем, то усилия в первых N N3 стержнях будут равны по величинам и третьим стержнем, то вв первых N33 третьим стержнем, то усилия усилия первых N лежащая наравны одной с трестержнях будут попрямой величинам и N33 N N33 знакам, а усилие в третьем будет равно стержнях будут равны по величинам и стержнях будут равны по величинам и знакам, а стержнем, усилие в третьем будет равно тьим то усилия в персиле Р иаапротивоположно знаку: N1 знакам, усилие вв третьем третьемпо будет равно знакам, усилие будет равно силе Р и противоположно по знаку: N1 = Nвых N3и =противоположно −F. силе по знаку: N стержнях будут равны по величинам и знакам, а усилие в треть2, Р силе Р и противоположно по знаку: N11 = N2, N3 = −F. = N , N = −F. 2 3 = Nем 2, Nбудет 3 = −F.равно силе Р и противоположно по знаку: N1 = N2, N3 = −F. 1.3.6. Последовательность выполнения расчета статически 1.3.6. Последовательность выполнения расчета статически 1.3.6. Последовательность выполнения расчета статически 1.3.6. Последовательность выполнения расчета статически 1.3.6. Последовательность выполнения расчета статически неопределимой фермы методом сил неопределимой фермынеопределимой методом сил фермы методом сил неопределимой фермы методом сил неопределимой фермыв методом 1. Вычертить масштабесил заданную схему фермы и загрузить ферму в 1.1. Вычертить Вычертитьввмасштабе масштабе заданную и загрузить ферму в заданнуюсхему схемуфермы фермы и загрузить ферму 1. Вычертить в масштабе заданную схему 1. Вычертить в масштабе заданнуюузлы. схему фермы фермы и и загрузить загрузить ферму ферму вв узлах от заданной нагрузки. Пронумеровать узлах от заданной нагрузки. Пронумеровать узлы. в узлах от заданной нагрузки. Пронумеровать узлы. узлах от нагрузки. Пронумеровать узлы. узлах 2. от заданной заданной нагрузки. Пронумеровать узлы. Определить степень статической неопределимости [формулы (1.21) степеньстатической статической неопределимости [формулы 2.2. Определить Определить степень неопределимости [формулы (1.21) 2. Определить степень степень статической статической неопределимости неопределимости [формулы [формулы (1.21) (1.21) 2. Определить и (1.22)]. (1.21) и (1.22)]. и (1.22)]. и и (1.22)]. (1.22)]. 3. Выбрать наиболее рациональную основную и эквивалентную 34 си34 стемы, назначив лишние неизвестные усилия. — 38 — 34 34 4. Записать канонические уравнения [формула (1.23)]. 5. Определить продольные усилия во всех стержнях фермы в единичном состоянии. 6. Определить продольные усилия во всех стержнях фермы в грузовом состоянии. 7. Занести данные в таблицу и определить коэффициенты канонических уравнений. 8. Решить канонические уравнения, найти неизвестные усилия. 9. Определить окончательные продольные усилия во всех стержнях фермы. 10. Выполнить деформационную и статическую проверки. 1.3.7. Вопросы для самоконтроля 1. Дать определение статически неопределимой фермы. 2. Дать определение внешне и внутренне статически неопределимых ферм. 3. Записать формулы для определения степени статической неопределимости для внешне и внутренне статически неопределимых ферм. Пояснить формулы. 4. Дать понятия основной и эквивалентной систем. Привести примеры. 5. Записать канонические уравнения для дважды статически неопределимой фермы. Пояснить физический смысл уравнений. 6. Определение коэффициентов канонических уравнений. Их физический смысл. 7. Каким образом определяются окончательные усилия в стержнях ферм? 8. Виды проверок найденных усилий в стержнях ферм. Их физический смысл. — 39 — смысл. 8. Виды проверок найденных усилий в стержнях ферм. Их физический 1.3.8. Пример расчета статически неопределимой фермы методом сил смысл. Заданная расчетная Исходные данные 1.3.8. Пример расчета схема статически неопределимой фермы сил 1.3.8. Пример расчета методом статически неопределимой фермы методом сил Заданная расчетная схема Заданная расчетная схема Исходные данные F1 = данные 3 кН Исходные F2 = 5 кН F = 4 кН F13 = 3 кН F4 == 55кН кН F 2 F = 3 кН 5 F3 = 4 кН l= 18 м F 4 = 5 кН м h15 == 33 кН F lh= 185мм 2= h1 = 3 м h2 = 5 м 1. Определяем степень статической неопределимости. 1. Определяем степень статической неопределимости. Так 1.как системастепень внешне статически неопределима, то степень Определяем статической неопределимости. Так как система внешне статически неопределима, то степень как система определяем внешне статически неопределима, то степень статическойТак неопределимости по формуле (1.21): статической неопределимости определяем по формуле (1.21): статической неопределимости � � �определяем � � � ��по � формуле � � �� (1.21): nстст = Соп - 3 = 4 - 3 = 1. �ст �оп�оп � � � �� Таким образом, ферма один раз статически неопределима. Таким образом, ферма один раз статически неопределима. Таким образом, ферма один раз статически неопределима. 2. Выбираем основную систему. 2. Выбираем основную систему. 2. Выбираем основную систему. Так как ферма симметричная, то лучше одну центральную Так как ферма симметричная, то отбрасывать лучше отбрасывать одну Так как ферма симметричная, то лучше отбрасывать одну центральную опорную связь, чтобы сохранить геометрическую симметрию системы центральную связь, чтобыгеометрическую сохранить геометрическую симопорную опорную связь, чтобы сохранить симметрию системы (рациональный выбор основной системы). метрию системы (рациональный выбор основной системы). (рациональный выбор основной системы). Строим эквивалентную систему. Строим эквивалентную систему. Строим эквивалентную систему. Прикладываем внешнюю реакцию отброшенной Прикладываем внешнюю нагрузку нагрузку и иреакцию отброшенной связи Прикладываем внешнюю нагрузку и реакцию отброшенной связи связи(опорного (опорного стержня) заменяем неизвестным усилием X1. стержня) заменяем неизвестным усилием X1. (опорного стержня) заменяем неизвестным усилием X1. 36 36 3. Каноническое уравнение метода сил (1.23) примет следующий вид: δ��—��40 �— �� 4. Определяем внутренние усилия (продольные усилия N) во всех стержнях фермы в единичном и грузовом состояниях. Полученные результаты 3. Каноническое уравнение метода сил (1.23) примет следующий вид: 3. Каноническое уравнение метода сил (1.23) примет следуюδ�� щий вид: 4. Определяем внутренние δ11 X1 +усилия D1F = 0. (продольные усилия N) во всех 4. Определяем внутренние усилия (продольные N) во всех стержнях фермы в единичном и грузовом состояниях.усилия Полученные результаты стержнях фермы в единичном и грузовом состояниях. Полученные усилий будем заносить в табл. 1. результаты усилий будем заносить в табл. 1. 4.1. Определяем аналитически усилия в каждом стержне в основной 4.1. Определяем аналитически усилия в каждом стержне в ос(в единичном Все расчеты заносим системе от системе действияотсилы Х1 = 1силы единичном состоянии). новной действия Х1 = 1 (в состоянии). Все расчеты заносим в табл. 1 (столбец 4). в табл. 1 (столбец 4). Определяем Определяемопорные опорныереакции: реакции: ΣX = 0, H = 0, �� 1�� ΣM = 0, X · 3d - V · l = 0, X · 9 - V12 · 18 = 0, V12 = 0,5 кH, � �� 1 � �� 1�� 12� � � �� 1 � � �� ΣM12 = 0, -X1 · 3d + V1 · l = 0, -X1 · 9 + V19 · 18 = 0, V�� = 0,5 кH. 1 � �� Выполним проверку найденных реакций: �� ΣY = 0,найденных V1 + V12 -реакций: X1 = 0, 0 = 0. Выполним проверку Реакции найдены верно. �� Определяем внутренние усилия во всех стержнях фермы в едиРеакции найденыпредварительно верно. ничном состоянии, ݈ଵଷ ݈ଶଷ сделав некоторые вычисления: Ƚ ൌ ൌвнутренние Ͳǡ͹Ͳ͹ ൌ ൌво Ͳǡ͹Ͳ͹ ݈ଵଷ ݈ଵଷȽусилия ݈всех Определяем стержнях фермы в единичном ଶଷ ݈ଶଷ ݈ ݈ Ƚ ൌൌ Ͳǡ͹Ͳ͹ ൌ Ͳǡ͹Ͳ͹ Ƚ ൌ Ƚ ൌൌ Ͳǡ͹Ͳ͹ ൌ Ͳǡ͹Ͳ͹ ଵଶ Ƚ ൌ ଵଶ ݈ ݈ ݈ ݈ ଵଶ ଵଶ ଵଶ ଵଶ состоянии, предварительно сделав некоторые вычисления: (способ(способ вырезания узлов) (способ вырезания вырезания узлов) узлов) Σ Y = 0, ΣVY1 +=ΣN · sin 0, 12 0,Y V=1 0, V112α+·=N +N sin · sin = 0,α = 0, 12 α N12 = −VN112/ sin α sin1 α/ sin α =N−V 12 1=/−V N12 = −0,5 −0,707 кН N12/=0,707 N−0,5 /=0,707 / 0,707 = −0,707 = −0,707 кН кН 12 = −0,5 (способ вырезания вырезания узлов) узлов) (способ(способ вырезания узлов) N cos = 0α = 0 Σ0,Х =130, NN1312α+· = 12 NN12 · +cos 0 ·αcos Σ Х = 0, ΣNХ13=+ = −N = −N · cos · α cos α N N 13 13 12 12 N13 = −N12 · cos α N13 =N0,707 · 0,707 = 0,5=кН 0,5 кН 13 = 0,707 N13 = 0,707 · 0,707 = 0,5· 0,707 кН (по признакам) (по признакам) — 41(по — признакам) 0,5 кН N35 =NN3513=, NN3513,=N0,5 35 =кН N35 = N13N,23N=35N023 = =0,5 0 кН N23 = 0 37 12 Σ ΣХ Х=Σ=0, Х0,N = 13 N 0,13+N+N N+12·Ncos ·12cos ·αcos α= =0α0= 0 1312 (способ вырезания узлов) · cos N13 =12−N ·12cos ·αcos α α N13=N=−N 13−N 12 N12=· 0,707 cos α =· 00,707 = 0,5 кН Σ Х = 0, N13 + N13 N N= 0,707 = 0,707 · 0,707 · 0,707 = 0,5 = 0,5 кНкН N13 = −N12 · cos α13 13 N13 = 0,707 · 0,707 = 0,5 кН (по (попризнакам) (по признакам) признакам) N35 =N=0,5 (по признакам) N=,13N, 35 N =кН 0,5 кНкН N35=N=N 3513 13,35 350,5 кН N35 = N13, N35N=23 = 0 = 0 = 0 N0,5 N 23 23 N23 = 0 ௟రʙ௟రʙ ௟రʙ ௟మʙ௟మʙ ௟మʙ ൌ ൌ ȾൌȾ ൌ Ⱦ ൌൌ రʙ మʙ Ͳǡ͵ͳ͸ ൌ Ͳǡ͵ͳ͸ Ⱦ Ⱦ ௟మరൌ ൌ ൌͲǡͻͶͻ ͲǡͻͶͻ ൌ ͲǡͻͶͻ ൌ ൌͲǡ͵ͳ͸ Ͳǡ͵ͳ͸ ൌȾͲǡͻͶͻ Ⱦ ൌ ௟మర௟ ௟ Ⱦൌ ௟ ௟ ௟ ௟మర మర మర ௟ ௟మర మర మర (способ моментной точки) (способ моментной точки) (способ (способ моментной моментной точки) точки Σ МО24 = 0, Σ ΣММ = =0,240,= 0, ОΣ24ОМ 24 О V1 · 6 + N24 · r24 = 0 V1V·1 6V · 61+·+N624 N+24·Nr·24 r24= · r=0240= 0 24 N24 = −V1 · 6 / r24 N24 N24=N=−V =1 ·−V · 61/ r·/246r24/ r24 24−V 16 r24 = sin β · l45 = 3,795 м r = sin β · l = 3,795 м =−0,791 sin β ·45βl45 · l=453,795 = 3,795 м м r24 r=24=sin 3,795 кН N24 = −0,5 · 6 / 24 N24 · 6· 6/ 3,795 = =−0,791 N24=N=−0,5 = −0,5 ·/ 63,795 / 3,795 −0,79 = −0 24−0,5 кН кНкН (способ моментной точки) Σ МО25 =(способ 0, моментной точки) (способ (способ моментной моментной точки) точки) −V1 · а + Σ NМ25 · r25 = =0,0 ОΣ25ОМ ΣМ =250,= 0, 25 О N25 = V1 · а / r25, + Nа25 −V−V 1 ·−V N+25·Nr·25 r25= · r=0250= 0 1 а· а 1 ·+ 25 а = 6 м, r25 = cos α · (а + 6) = 8,485 м N =V ·а/r , N ·=а1 0,354 ·/25аr25/ ,rкН 251V=1 V 25, N25 = 0,5 25 · 625N /= 8,485 =r=cos = =6) 8,485 мм м а а= =6а6м, =αcos α· (а · α(а+· +6) (а6)+ 8,485 = 8,485 =м,6r25rм, 25 25cos N25 6· 6/ 8,485 = =0,354 кН N25=N=0,5 =· 0,5 ·/ 68,485 / 8,485 0,354 = 0,354 кНкН 250,5 (по признаку 3) N46 = N24, N46 = −0,791 кН N45 = 0 ɀ ൌ ݈଺଻ ൌ Ͳǡͷͺ͹ ݈ହ଺ 38 (способ моментной точки) Σ МО57 = 0, V1 · 9 − N57 · 5 = 0, N57 = V1 · 9 / 5, N57 = 0,5 · 9 / 5 = 0,9 кН — 42 — (способ моментной точки) Σ МО56 = 0, −V1 · а − N56 · r56 = 0, r56 = sin γ · (а + 6) = 10,29 м ɀ ൌ ݈଺଻ ൌ Ͳǡͷͺ͹ ݈ହ଺ (способ моментной точки) Σ МО57 = 0, V1 · 9 − N57 · 5 = 0, N57 = V1 · 9 / 5, N57 = 0,5 · 9 / 5 = 0,9 кН (способ моментной точки) Σ МО56 = 0, −V1 · а − N56 · r56 = 0, r56 = sin γ · (а + 6) = 10,29 м N56 = −V1 · а / r56 N56 = −0,5 · 6 /10,29 = −0,292 кН (по признаку 3) N79 = N57, N79 = 0,9 кН N67 = Х1, N67 = 1 кН. Так как ферма симметричная и нагрузка также симметричная, Так как ферма симметричная и нагрузка также симметричная, то усилия в то усилия в симметричных стержнях в единичном состоянии будут симметричных стержнях в единичном состоянии будут равны за счет равны за счет рационального выбора основной системы. Следоварационального выбора основной Следовательно, рассчитываем только тельно, рассчитываем толькосистемы. половину фермы, а остальные усилия половину фермы, а остальные усилия запишем по аналогии. запишем по аналогии. 4.2. усилияв вкаждом каждом стержне в ос4.2.Определяем Определяем аналитически аналитически усилия стержне в основной новной системе от действия заданной внешней нагрузки (в грузосистеме от действия заданной внешней нагрузки (в грузовом состоянии). Все вом состоянии). заносим в табл. 1 (столбец 5). расчеты заносим в Все табл.расчеты 1 (столбец 5). 39 Определяем опорные реакции: Определяем опорные реакции: ΣX = 0, H1 = 0, ȭܺ ൌ Ͳǡ ‫ ܪ‬ൌͲ ΣM1 = 0, ଵF1 · 3 + F2 · 6 + F3 · 9 + F4 · 12 + F5 · 15 - V12 · 18 = 0, V12 = 10 кH, Ͳǡ12‫ܨ‬ଵ=ή 0, ͵൅ ܸଵଶ ή ͳͺ ൌ кH. ͳͲˍʜ ȭ‫ܯ‬ଵ ൌΣM V1 ‫ܨ‬ · ଶ18ή ͸- ൅ F5 ‫ܨ‬ · ଷ3 ή-ͻF൅ ·‫ܨ‬ 6ସ-ή Fͳʹ ·൅ 9 -‫ܨ‬ହF2ή ·ͳͷ 12 െ -F · 15 =ൌ 0, ͲǡVܸ = 10 ଵଶ 4 3 1 1 ȭ‫ܯ‬ଵଶ ൌ Ͳǡ ܸଵ ή ͳͺ െ ‫ܨ‬ହ ή ͵ െ ‫ܨ‬ସ ή ͸ െ ‫ܨ‬ଷ ή ͻ െ ‫ܨ‬ଶ ή ͳʹ െ ‫ܨ‬ଵ ή ͳͷ ൌ Ͳǡ ܸଵ ൌ ͳͲˍʜǤ — 43 — Выполним проверку найденных реакций: ȭܻ ൌ Ͳǡ ܸଵ ൅ ܸଵଶ െ ‫ܨ‬ହ െ ‫ܨ‬ସ െ ‫ܨ‬ଷ െ ‫ܨ‬ଶ െ ‫ܨ‬ଵ ൌ Ͳǡ Ͳ ൌ ͲǤ ή͸൅ ‫Ͳܨ‬ǡଷൌή ͻͲǡ൅‫ܨܪ‬ଵସ ൌ ή‫ʹͳܪ‬ ൅ Ͳ‫ܨ‬ହ ή ͳͷ െ ܸଵଶ ή ͳͺ ൌ Ͳǡ ܸଵଶ ൌ ͳͲˍʜ ȭ‫ܯ‬ଵ ൌ Ͳǡ ‫ܨ‬ଵ ή ͵ ൅ ‫ܨ‬ଶȭܺ ൌ ȭܺ Ͳൌ ଵ ȭ‫ܯ‬ଵ ൌ Ͳǡ ‫ܨ‬ଵ ή ͵ ൅ ‫ܨ‬ଶ ή ͸ ൅ ‫ܨ‬ଷ ή ͻ ൅ ‫ܨ‬ସ ή ͳʹ ൅ ‫ܨ‬ହ ή ͳͷ െ ܸଵଶ ή ͳͺ ൌ Ͳǡ ܸଵଶ ൌ ͳͲˍʜ ‫ܨ‬ହ ଵήȭ‫ܯ‬ ͵ൌെଵͲǡ‫ܨ‬ൌ ൌͳʹ Ͳǡହ൅ ܸή ଵͳͷ ͳͲˍʜǤ ȭ‫ܯ‬ଵଶ ൌ Ͳǡ ܸଵ ή ͳͺ െȭ‫ܯ‬ ‫ܨ‬ଵήͲǡ͸ ή ͵‫ܨ‬െଵ൅‫ܨ‬ ή ଷ͵ ‫ܨ‬ଶή൅ͻή ͸‫ܨ‬െଶ൅‫ܨ‬ ή ଶ͸ ‫ܨ‬ଷή൅ͳʹ ή ͻ‫ܨ‬ଷെ ൅ή ‫ܨ‬ ͻଵସ൅ή ͳͷ ͳʹ ‫ܨ‬ସ ή൅ ‫ܨ‬ ‫ܨ‬ൌ ͳͷ ܸଵଶ െ ήܸͳͺ ͳͺͲǡൌ ܸଵଶͲǡ ൌ ܸଵଶͳͲˍ ൌ ସ ହ ήെ ଵଶ ήൌ ȭ‫ܯ‬ଵଶ ൌ Ͳǡ ܸଵ ή ͳͺ െ ‫ܨ‬ହ ή ͵ െ ‫ܨ‬ସ ή ͸ െ ‫ܨ‬ଷ ή ͻ െ ‫ܨ‬ଶ ή ͳʹ െ ‫ܨ‬ଵ ή ͳͷ ൌ Ͳǡ ܸଵ ൌ ͳͲˍʜǤ Выполним проверку реакций: ൌнайденных Ͳǡൌ ܸଵͲǡή ܸ ͳͺ ͳͺ ‫ܨ‬ହെή ͵‫ܨ‬ହെή ͵ ‫ܨ‬ସെή ͸‫ܨ‬ସെή ͸ ‫ܨ‬ଷെή ͻ‫ܨ‬ଷെή ͻ ‫ܨ‬ଶെή ͳʹ ‫ܨ‬ଶ ήെͳʹ ‫ܨ‬ଵെή ͳͷ ‫ܨ‬ଵ ήൌͳͷͲǡൌ ܸଵͲǡൌܸଵͳͲˍ ൌ ȭ‫ܯ‬ଵଶ ȭ‫ܯ‬ ଵଶ ଵ ήെ Выполним проверку найденных реакций: ȭܻ ൌ ͲǡВыполним ܸଵ ൅ ܸଵଶ െ ‫ܨ‬проверку ‫ܨ‬ଷнайденных െ ‫ܨ‬ଶпроверку െ ‫ܨ‬ଵпроверку ൌ реакций: Ͳǡнайденных Ͳ ൌнайденных ͲǤ реакций: реакций: ହ െ ‫ܨ‬Выполним ସ െ Выполним ȭܻ ൌ Ͳǡ ܸଵ ൅ ܸΣY ‫ܨ‬ െ ‫ܨ‬ െ ‫ܨ‬ െ ‫ܨ‬ െ ‫ܨ‬ ൌ Ͳǡ Ͳ ൌ ͲǤ ଵଶ െ ହ ସ ଷ ଶ ଵ +ܸVͲǡсохранено, F൅5െ - ‫ܨ‬F4െзначит, - F3െെ - Fреакции -െ‫ܨ‬F‫ܨ‬1 െ = ‫ܨ‬0, 0 Ͳǡ =ൌ 0, ൌ VͲǡ Статическое=равновесие верно. ȭܻ ȭܻ ൅ܸ-ܸ ܸ ‫ܨ‬ Ͳ0. Ͳǡ ൌ ͲͲǤൌ ͲǤ 1 ൌ 2െ ଵ 12 ଵଵଶ ଵଶହ െ‫ܨܨ‬ ହସ ‫ܨܨ‬ ସଷ ଷଶ െнайдены ଶଵെൌ‫ܨ‬ଵ Статическое равновесие сохранено, значит, реакции найдены верно. Статическое равновесие сохранено, значит, реакции найдены Определяем внутренние усилияравновесие воравновесие всех стержнях фермы вреакции грузовом Статическое Статическое сохранено, сохранено, значит, значит, реакции найдены найдены верно. вер верно. Определяем внутренние усилия во всех стержнях фермы в грузовом состоянии: Определяем Определяем внутренние внутренние усилия усилия во всех во всех стержнях стержнях фермы фермы в гру в Определяем внутренние усилия во всех стержнях фермы в грусостоянии: ݈ ݈ଵଷ ଶଷ состоянии: состоянии: зовом ൌ Ͳǡ͹Ͳ͹Ƚ ൌ ݈ ൌ Ͳǡ͹Ͳ͹ Ƚ ൌ ݈ состоянии: ଵଷ ଶଷ ଵଶ ൌ Ƚ ൌ ݈ଵଶ ൌ Ͳǡ͹Ͳ͹Ƚ ൌ݈݈ଵଷ ݈ଶଷ ݈ଶଷ ݈ଵଷͲǡ͹Ͳ͹ ݈ଵଶ ൌ Ͳǡ͹Ͳ͹Ƚ ൌ ൌൌ Ͳǡ͹Ͳ͹ ൌ Ͳǡ͹Ͳ͹ ȽȽ ൌ ݈ଵଶ ൌ ൌ Ͳǡ͹Ͳ͹Ƚ ݈ଵଶ ݈ଵଶ ݈ଵଶ ݈ଵଶ (способ вырезания узлов) (способ вырезания узлов) Σ Y = 0, V α = 0, 1 + N12 · sin вырезания узлов) узлов Σ 12Y = −V 0, V α =(способ 0, вырезания N sinNα12 · sin(способ 1 1/ + Σ Y =Σ 0, YкН =V10,+VN112+ ·Nsin = 0, α= 12 ·αsin N12 = −10 −V1 / sin α = −14,142 0,707 N12 =N−V =1 −V / sin 12кН 1 /αsin α N12 = −10 / 0,707 = −14,142 / 0,707 / 0,707 = −14,142 = −14,14 кН N12 =N−10 12 = −10 (способ вырезания узлов) (способ вырезания узлов) Σ Х = 0, N13 + N12 · cos α = 0 (способ вырезания узлов) узлов + N12 α (способ = 0 вырезания Σ 0, N N13Х == −N α · cos 1213· cos + ·Ncos cos = 0α = Х= ΣкН 0, Х =N13 0, +NN 1312 12 · α α =Σ 10 N13 = −N 14,142 · 0,707 12 · cos N N = −N = −N · cos · α cos α 13 13 12 12 N13 = 14,142 · 0,707 = 10 кН N13 =N14,142 · 0,707 · 0,707 = 10=кН 10 13 = 14,142 (по признакам) (по признакам) N35 = N13, N35 = 10 кН (по признакам) N113, ,NN2335==310 N35 = F кНкН(по признакам) 23 =, N13 N10 10 кН 3513 35, = 35 =кН N23 = F1, N23 = 3 кН N35 =NN N23 =NF , NF231, =N323 кН = 3 кН 231= Ⱦ ൌ ݈ସʙ ݈ ݈ସʙ ݈ଶʙ ݈ଶʙ ݈ସʙ Ⱦ Ⱦ ൌ ൌൌൌଶʙͲǡ͵ͳ͸Ⱦ Ͳǡ͵ͳ͸Ⱦ ൌ ൌൌ ͲǡͻͶͻ ൌ ͲǡͻͶͻ ൌ Ͳǡ͵ͳ͸Ⱦ ൌൌͲǡͻͶͻ ݈ ݈ ݈ଶସ ݈ଶସ ݈ଶସ ଶସ ݈ଶସଶସ 40 40 (способ моментной (способ точки) (способ моментной моментной точки т Σ МО24 = 0, = О0,24 = 0, Σ МОΣ24 М V1 · 6 + N24 · r24 − F1 V · 3 ·=6V 0+ ·N6 +· N · rF241 −· 3F= 1 1 24 r24 24 − 1 ·0 N24 = (F1 · 3 − V1 · 6) / r24 3− · 6) V1/·r6) N24 =N(F 24 1=· (F 1 ·V31 − 24 / r24 = sin β · l45 = 3,795 м r24 = rsin · l45β =· l3,795 м 24 =βsin 45 = 3,795 N24 = −0,5 · 6 / 3,795 = −0,791 кН · 6 / 3,795 · 6 / 3,795 = −0,= N24 =N−0,5 24 = −0,5 (способ моментной точки) Σ МО25 = 0, (способ (способ моментной моментной точки) точки) = +О0,253)==0,0 М −V1 · а + N25 · r25Σ+М F1ОΣ·25(а а3)) +1 ·/Nаr25 +· Nr25 · rF251 +· (а F1+· 3) (а + = 3) 0 =0 25 + · (а1 +·−V N25 = (V1 · а + F1−V 25, · (V а=+18,485 ·Fа1 +· (а (а +/ 3)) r25, / r25, N25α ·=N а = 6 (м), r25 = cos (а(V 6) мF1+· 3)) 25+1= =253,889 N25 = (10 · 6 − 3 ·а9) = /6а8,485 (м), = 6 r(м), = rcos =αcos · (аα+· 6) (а + = 6) 8,485 = 8,485 м м 25 кН 6 − ·36· −9)3/·8,485 9) / 8,485 = 3,889 = 3,889 кН кН N25 =N(10 25 =· (10 — 44 — (по признаку 3) N46 = N24 , N46 = −13,44 кН N =0 а = 6 (м), r25 = cos α · (а + 6) = 8,485 м N25 = (10 · 6 − 3 · 9) / 8,485 = 3,889 кН (по признаку 3) N46 = N24 , N46 = −13,44 кН N45 = 0 ௟ ɀ ൌ లళ ൌ Ͳǡͷͺ͹ ௟ఱల (способ моментной точки) Σ МО57 = 0, V1 · 9 − F1 · 6 − F2 · 3 − N57 · 5 = 0, N57 = (V1 · 9 − F1 · 6 − F2 · 3)/5, N57 = (10 · 9 − 3 · 6 − 5 · 3)/5 = 11,4 кН (способ моментной точки) Σ МО56 = 0, F1 · (3 + а) − V1 · а − F2 · (6 + а) − N56 · r56 = 0, r56 = sin γ · (а + 6) = 10,29 м N56 = (Р1 · (3 + а) − V1 · а + Р2 · (6 + а))/r56 N56 = (3 · 9 − 10 · 6 + 5 · 12)/10,29 = 2,624 кН (по признаку 3) (по признаку 3) (по признаку 3) = N , N = 11,4 кН N (по (по признаку признаку 3) 3) (по признаку 3) 79 57 79 = N , N = 11,4 кН N (по признаку 3) 79 57 79 ==N NN= NN79 ==11,4 11,4 кН NN79 57 N = N ,,,0. ,N = 11,4 11,4кН кН кН = , N = NN 67 79 57 57 79 79 7979 57 79 N = 0. = N N = 11,4 кН N 79 =67 57 79 N 0. 67 0. NN ===0.0. 67 6767 NN 67 = 0. 41 Так как симметричная и также симметричная, то Так как ферма симметричная и нагрузка нагрузка также симметричная, то усилия усилия вв Так какферма ферма симметричная и нагрузка также симметричная, Так как ферма симметричная иинагрузка нагрузка также симметричная, то усилия Так Таккак как какферма ферма фермасимметричная симметричная симметричнаяии нагрузка нагрузкатакже также такжесимметричная, симметричная, симметричная,то то тоусилия усилия усилияввввв Так Так как ферма симметричная и нагрузка также симметричная, то усилия симметричных будут равны. Следовательно, только то усилия в стержнях симметричных стержнях будут равны.рассчитываем Следовательно, симметричных стержнях будут равны. Следовательно, рассчитываем только симметричных стержнях будут равны. Следовательно, рассчитываем только симметричных симметричных стержнях стержнях будут будут равны. равны. Следовательно, Следовательно, рассчитываем рассчитываем только только симметричных стержнях будут равны. Следовательно, рассчитываем только симметричных стержнях будут равны. Следовательно, рассчитываем только рассчитываем только половину фермы, а остальные усилия запиполовину фермы, а остальные усилия запишем по аналогии. половину фермы, а остальные усилия запишем по аналогии. половину фермы, остальные усилия запишем по аналогии. половину половину фермы, фермы, остальные остальныеусилия усилия усилиязапишем запишем запишемпо по поаналогии. аналогии. аналогии. половину фермы, аааааостальные шем по аналогии. половину фермы, остальные усилия запишем по аналогии. 5. Исходя из найденных усилий, рассчитываем таблицу. 5. Исходя из найденных усилий, рассчитываем таблицу. 5. Исходя из найденных усилий, рассчитываем таблицу. 5. Исходя из найденных усилий, рассчитываем таблицу. 5. Исходя Исходя из из найденных найденных усилий, усилий, рассчитываем рассчитываем таблицу. таблицу. 5.5. Исходя из найденных усилий, рассчитываем таблицу. 5. Исходя из найденных усилий, рассчитываем таблицу. Находим коэффициенты канонического уравнения [формулы (1.25), Находим коэффициенты канонического уравнения [формулы (1.25), Находим коэффициенты канонического уравнения [формулы (1.25), Находим коэффициенты канонического уравнения [формулы Находим Находим коэффициенты коэффициенты канонического канонического уравнения уравнения [формулы [формулы (1.25), (1.25), Находим коэффициенты канонического уравнения [формулы (1.25), Находим коэффициенты канонического уравнения [формулы (1.25), (1.26)]: (1.26)]: (1.25), (1.26)]: (1.26)]: (1.26)]: (1.26)]: (1.26)]: � (1.26)]: � � � �� δ � � � �� δ � � � � � �� δ δ�� δδ �� δ�� (суммируем значения столбце 4); � (суммируем всевсе значения вввстолбце 4); (суммируем все значения столбце 4); (суммируем все значения столбце 4); (суммируем (суммируемвсе все всезначения значения значениявввввстолбце столбце столбце 4); 4); (суммируем 4); � (суммируем все значения столбце 4); � � � � �� ∆ � � �� ∆�� ∆ � �� ∆∆ �� ∆∆ �� (суммируем всевсе значения вввстолбце 5). (суммируем все значения столбце 5). 5). (суммируем значения столбце (суммируем все значения столбце 5). (суммируем (суммируемвсе все всезначения значения значениявввввстолбце столбце столбце5). 5). 5). (суммируем (суммируем все значения столбце 5). 6. Из Из канонического канонического уравнения находим 6. уравнения находим 6. Из канонического уравнения находим 6.Из Из Изканонического канонического каноническогоуравнения уравнения уравнениянаходим находим находим 6.6. 6. Из канонического уравнения находим �� /δ �� ∆ �∆ � ��/�� /�� к�.� ��к�.� ��∆ �� /δ� ��/�� /δ � ��к�.� � �� ∆ �∆ /δ /δ � � ��/�� /�� к�.� ��к�.� � � �∆ /δ � ��/�� к�.� �� ∆ �� /δ �� /�� к�.� � �� 7. вв каждом стержне определим по формуле � �� усилия 7. Окончательные Окончательные усилия каждом каждом стержне определим по формуле 7. Окончательные усилия стержне определим по формуле 7. 7. Окончательные Окончательные Окончательные усилия усилия усилия ввввв каждом каждом каждом стержне стержне определим определим определим по по по формуле формуле формуле — 45 — 7. стержне 7. Окончательные усилия каждом стержне определим по формуле (1.28). (1.28). (1.28). (1.28). (1.28). (1.28). (1.28). Результаты также занесем вв табл. 1 8, Результаты также занесем табл. 1 (столбцы (столбцы 8, 9): 9): Результаты также занесем в табл. 1 (столбцы 8, 9): ∆�� (суммируем все значения� в столбце 5). (суммируем все значения в столбце 5). 6. Из канонического уравнения находим �� 6. Из находим 6. канонического Из�канонического находим � ��к�.� � �∆ /δуравнения �уравнения ��/�� ∆�� /δ � ��к�.� �� /�� 7. Окончательные усилия в каждом стержне определим по формуле 7. Окончательные усилияв в каждом каждом стержне определим 7. Окончательные усилия стержне определимпопофорформуле (1.28). муле (1.28). (1.28).Результаты также занесем в табл. 1 (столбцы 8, 9): Результаты также занесем в табл. 1 (столбцы 8, 9): Результаты также занесем табл. 8, 9): �� 1�(столбцы �� окв� � � � � � �� . �� 8. Длянайденных найденныхзначений значений внутренних фер-фермы . усилийв стержнях �ок � � � � � � �� усилий 8. Для внутренних в стержнях мы выполним проверки: 8. Для найденных значений внутренних усилий в стержнях фермы выполним проверки: а) статическая проверка – любой вырезанный узел должен наховыполним проверки: проверка – любой вырезанный узел должен находиться в а) статическая диться в состоянии статического равновесия. Для этого вырежем узел, а) статическая проверка – любой вырезанный узел – должен в котором сходится наибольшее количество стержней узел 5.находиться Квдансостоянии статического равновесия. Для этого вырежем узел, которомв с учетом их знаков: усилие направлено в узел, если знак усилия «−», и от узла, с учетом их знаков: усилиевнешнюю направлено в узел, если знак усилия «−», и от узла, ному узлу приложим заданную нагрузку и окончательные состоянии статического равновесия. Для – этого котором сходится наибольшее количество стержней узел 5.вырежем К данномуузел, узлу вприложим если знак усилия «+». знак усилия «+». усилия весли рассеченных стержнях с учетом их знаков: усилие направлено сходится наибольшее количество стержней – узел 5. К вданному узлу приложим заданную внешнюю и окончательные рассеченных стержнях в узел, если знакнагрузку усилия «−», и от узла, если усилия знак усилия «+». заданную внешнюю нагрузку и окончательные усилия в рассеченных стержнях 42 42 �� Статическая проверка выполнена; Статическая проверка выполнена; Статическая проверка выполнена; b) деформационная проверка по формуле (1.30): b) деформационная проверка по формуле (1.30): b) деформационная проверка по формуле (1.30): l N 1  N ок  dxl Nок1  N ок  li N  N  dx N  N l  ∆��   ∆��     � �� EF EF � �� 0 0 1 EF 1 ок EF i Деформационную проверку выполним непосредственно в табл. 1, в табл. 1, Деформационную проверку выполним непосредственно непосредственно Деформационную проверку выполним просуммировав столбец 10. столбец в табл. 1, просуммировав столбец просуммировав 10. 10. Проверки выполнены, значит, фермаферма рассчитана верно. Проверки выполнены, значит, фермазначит, рассчитана верно. Проверки выполнены, рассчитана верно. — 46 — Расчет фермыРасчет фермы Таблица 1 Таблица 1 Таблица 1 Расчет фермы Таблица расчетов ℓi № стержня 1 1-2 1-3 2-4 2-3 2-5 3-5 4-6 4-5 5-6 5-7 6-7 7-9 6-9 8-9 6-8 9 - 11 9 -10 10 - 11 8 - 10 11 - 12 10 - 12 длина стержня 2 4,243 3,000 3,162 3,000 4,243 3,000 3,162 4,000 5,831 3,000 5,000 3,000 5,831 4,000 3,162 3,000 4,243 3,000 3,162 3,000 4,243 EF 3 EF EF EF EF EF EF EF EF EF EF EF EF EF EF EF EF EF EF EF EF EF N1 NF N1 N1 ℓ i N1 N F ℓ i N1 Х1 N ок N1 Nок ℓ i 4 -0,707 0,500 -0,791 0,000 0,354 0,500 -0,791 0,000 -0,292 0,900 1,000 0,900 -0,292 0,000 -0,791 0,500 0,354 0,000 -0,791 0,500 -0,707 5 -14,142 10,000 -13,440 3,000 3,889 10,000 -13,440 0,000 2,624 11,400 0,000 11,400 2,624 0,000 -13,440 10,000 3,889 3,000 -13,440 10,000 -14,142 6 2,121 0,750 1,978 0,000 0,532 0,750 1,978 0,000 0,497 2,430 5,000 2,430 0,497 0,000 1,978 0,750 0,532 0,000 1,978 0,750 2,121 7 42,423 15,000 33,615 0,000 5,841 15,000 33,615 0,000 -4,468 30,780 0,000 30,780 -4,468 0,000 33,615 15,000 5,841 0,000 33,615 15,000 42,423 8 8,973 -6,346 10,039 0,000 -4,493 -6,346 10,039 0,000 3,706 -11,423 -12,692 -11,423 3,706 0,000 10,039 -6,346 -4,493 0,000 10,039 -6,346 8,973 9 -5,169 3,654 -3,401 3,000 -0,604 3,654 -3,401 0,000 6,330 -0,023 -12,692 -0,023 6,330 0,000 -3,401 3,654 -0,604 3,000 -3,401 3,654 -5,169 10 15,505 5,481 8,505 0,000 -0,907 5,481 8,505 0,000 -10,778 -0,062 -63,461 -0,062 -10,778 0,000 8,505 5,481 -0,907 0,000 8,505 5,481 15,505 δ11EF 27,073 ∆1РEF Х1 343,615 -12,692 0,000 1.4. Расчет статически неопределимых балок 1.4.1. Уравнения моментов. Основная и эквивалентная системы 1.4. Расчеттрех статически неопределимых балок Статически неопределимые балки называют неразрезными балками. Неразрезной 1.4.1. балкой Уравнения называется трех брус, моментов. перекрывающий ряд пролетов и Основная неразрывно связанный си опорами. Расчет неразрезных эквивалентная системы балок на шарнирно неподвижных опорах на действие вертикальной нагрузки ничем не отличается Статически неопределимые балки называют неразрезными балот расчета такой же балки на одной неподвижной и остальных подвижныхряд ками. Неразрезной балкой называется брус, перекрывающий опорах. Неразрезные балки бываютс опорами. только внешне статически пролетов и неразрывно связанный Расчет неразрезных балок на шарнирно неподвижных на действие вертикальной неопределимыми. Неразрезная балка опорах при отсутствии промежуточных нагрузки не отличается от расчетанеопределима, такой же балки наимеет одной шарнирных ничем включений столько раз статически сколько неподвижной и остальных подвижных опорах. Неразрезные балки 44 бывают только внешне статически неопределимыми. Неразрезная балка при отсутствии промежуточных шарнирных включений столько раз статически неопределима, сколько имеет промежуточ- — 47 — ных опор (при условии шарнирного опирания концов). Степень статической неопределимости определяется по формуле (1.42): nст = Соп - 3. (1.42) Расчет неразрезной балки можно выполнить по общим правилам расчета статически неопределимых систем, применив метод сил. Расчет неразрезных балок производится с помощью уравнений 3-х моментов. Уравнения 3-х моментов – это преобразованные канонические уравнения метода сил для неразрезной балки. Преобразование уравнений происходит за счет выбора основной системы метода сил. В качестве основной системы берется система разрезных балок, полученная из заданной системы включением шарниров в опорные сечения (рис. 1.17, б). За неизвестные принимаются опорные изгибающие моменты Mn (рис. 1.17, в). Число неизвестных усилий при этом равно числу промежуточных опор (при условии шарнирного опирания по концам балки). Таким образом, для расчета неразрезной балки необходимо составить столько уравнений трех моментов, сколько промежуточных опор (за исключением балок с жестким защемлением). Рис.1.17 1.17 Рис. Таким образом, типовое n-е каноническое уравнение метода сил с учетом — 48 — найденных единичных коэффициентов и грузовых членов примет вид формулы (1.43) или (1.44): Преимущество выбранной основной системы заключается в том, что эпюры моментов от единичных усилий распространяются в ней только на два соседних пролета (рис. 1.17, в), и, стало быть, Рис. 1.17 большее число единичных перемещений (единичных побочных коРис. 1.17 Таким образом, типовое n-е каноническое уравнение метода сил с учетом эффициентов) обращается в нуль. Таким образом, типовое n-е каноническое уравнение метода сил с учетом Рис. 1.17 Рис. 1.17 образом, типовое n-е каноническое уравнение метода сил найденных Таким единичных коэффициентов и грузовых членов примет вид формулы найденных единичных коэффициентов икоэффициентов грузовых членов примет вид формулы Таким образом, типовое n-еn-е каноническое уравнение метода сил с учетом Таким образом, типовое каноническое уравнение метода сил с учетом с учетом найденных единичных и грузовых членов (1.43) или (1.44): (1.43) или (1.44): примет вид формулы (1.43) или (1.44): найденных единичных коэффициентов и грузовых членов примет видвид формулы найденных единичных коэффициентов и грузовых членов примет формулы � � � � �� ℓ�� ℓ � �� ℓ�� ℓ � � � � �� ℓ � � ℓ � �� ℓ � ℓ � � � � �� (1.43) илиили (1.44): (1.43) (1.44): ℓ�� ф ф ℓ� (1.43) � ℓ�� , � �� ф � ℓ� � �� ф � �� ф ф ℓ��ℓ�� ф� ℓ�� ℓ� � �� ℓ�� , ф ℓ � � � � � � �� ℓ�� ℓ�� ℓ� � ℓ�� ℓ�� , (1.43) �� ℓ�� ℓ�� ℓ�� , (1.43) �� ℓ �� ℓ � ��ℓ � �� ℓ � ℓ� ��ℓ�� ℓ� �� ф ф �� ф � � ℓ�� фℓ �� ℓ � �� ℓ�� ℓ � � ℓ � �� ℓ ℓ � �� ℓ � ℓ�� ℓ �� (1.44) � � �� ℓ � ℓ�� ℓ � ℓ � �� , (1.44) , (1.44) � � �� ф ��ф�� =�� ф� � �� ф�� , � � =�� , � �� которые длины пролетов, определяются по по гдегде ℓn', ℓnℓ',n+1ℓ' n+1–' приведенные – приведенные длины пролетов, которые определяются где ℓn′, ℓ′n+1 – приведенные длины пролетов, которые определяются ' ' формулам (1.45), (1.46): формулам (1.46): (1.46): где ℓ , ℓn+1 – приведенные длины пролетов, которые определяются по ' (1.45), (1.45), где ℓnn',поℓформулам n+1 – приведенные длины пролетов, которые определяются по � � формулам (1.45), (1.46): ℓ�� ℓ�� ℓ�� ℓс�, с , (1.45) (1.45)(1.45) формулам (1.45), (1.46): � � � �� ℓ�� ℓ� �сс , �� ℓ�� ℓ , ℓ��с , с , ℓℓ�� ℓ�� (1.45) (1.46) (1.46) (1.46)(1.45) �� с � ℓ�� ℓ�� сВn,ф – правая ф ф реак-(1.46) ф ф опорная где момент инерции; �∙�ℓ�� ∙ Iℓс �– ∙ �ℓ ��ℓ� ∙ 1.17 ℓ�� . . (1.47) �� ℓ�� ℓ�� , �� (1.46) �� ∙� ℓпроизвольный �� ℓ�� (1.47) � � �� Рис. �� ∙��ℓ �� ция пролета ℓn от фиктивной нагрузки (правая фиктивная реакция); ф ф Таким уравнение метода сил с учетом Если конец неразрезной жестко защемлен, применения �балки Если неразрезной балки защемлен, применения �� ∙ ℓф�– � конец � �образом, ∙ �ℓ �типовое ℓ реакция ∙ жестко ℓ ℓ� �� ф� � �то �то (1.47) �n-е �каноническое фдля.для �� Аn+1 пролета от фиктивной нагрузки �� ∙ ℓ� �левая � �� опорная ∙ �ℓ�� ℓ�� ∙ ℓ�� (1.47) �� n+1 �� . найденных единичных коэффициентов и грузовых членов примет вид формулы уравнения трех моментов вводится дополнительный фиктивный пролет: ℓ0 → уравнения трех моментов вводится дополнительный фиктивный пролет: ℓ0 0, → 0, (левая фиктивная реакция). Если конец неразрезной балки жестко защемлен, то для применения Если конец неразрезной балки жестко защемлен, то для применения (1.43) или (1.44): Величины фиктивных реакций определяются по табл. А.2 То То есть в основной системе жесткие заделки на на крайних ЕI0ЕI=0 ∞. = ∞. есть в основной системе жесткие заделки крайних →опорах 0, уравнения трех моментов вводится дополнительный фиктивный пролет: ℓопорах уравнения трех вводится дополнительный фиктивный пролет: ℓ0 → 0, ℓ�� 0 (прил. А)моментов в� зависимости от внешней нагрузки, приложенной в ф пролете. ф ℓ�� ℓ� � ℓ�� ℓ� �в�� ℓ�� заделки �� длины , (1.43) условно заменяются дополнительным пролетом бесконечно малой и и �� дополнительным условно заменяются пролетом бесконечно малой длины � � на �� ЕI = ∞. � То есть основной системе жесткие крайних ℓ��опорах � Полученное уравнение (1.44) жесткие – это уравнение моментов ЕI00 = ∞. То есть в основной системе заделки ℓтрех на крайних опорах � � ф имеются ф � � � бесконечно большой жесткости (рис. б). Если защемления имеются двух бесконечно большой жесткости (рис. 1.18, б). Если защемления с46 двух �моментов в общем выражает отсутствие в �упру�виде. ℓ�� Уравнение �� ℓ�� ℓ�� , с(1.44) �1.18, �� 46 � � �ℓ� � трех � � � � �� гой линии угла перелома на n-й опоре, т. е. представляет собой услогде ℓn', ℓn+1' – приведенные длины пролетов, которые определяются по46 46 вие неразрезности балки на n-й промежуточной опоре. формулам (1.45), (1.46): Если неразрезная балка имеет постоянное сечение, т. е. � , (1.45) I1 = I2 =…=ℓI��n � = ℓI�n+1� с =…= Iс, и � ℓ1′ = ℓ1, ℓ2′ = ℓ2, …, ℓn′ = ℓn, ℓ′n+1�с= ℓn+1 и т. д., , (1.46) ℓ�� ℓ�� то уравнение трех моментов примет следующий вид: ф ф �� ∙ ℓ� � � �� ∙ �ℓ� � ℓ�� ∙ ℓ�� . (1.47)(1.47) Если конец неразрезной балки жестко защемлен, то для применения уравнения трех моментов вводится фиктивный пролет: ℓ0 → 0, — дополнительный 49 — ЕI0 = ∞. То есть в основной системе жесткие заделки на крайних опорах условно заменяются дополнительным пролетом бесконечно малой длины и Если конец неразрезной балки жестко защемлен, то для применения уравнения трех моментов вводится дополнительный фиктивный пролет: ℓ0 → 0, ЕI0 = ∞. То есть в основной системе жесткие заделки на крайних опорах условно заменяются дополнительным пролетом бесконечно малой длины и бесконечно большой жесткости (рис. 1.18, б). Если защемления имеются с двух концов балки, то дополнительные фиктивные пролеты добавляются с двух концов. Рис. 1.18 Рис. 1.18 Если у неразрезной балки есть консольные участки, то при построении основной системы метода сил эти участки отбрасываются (рис. 1.19, б) и на эквивалентной системе действие этих участков на балку показывается в виде уже известных моментов и поперечных сил М и Q (рис. 1.19, в). — 50 — Рис. 1.18 Рис. 1.19 Рис. 1.19 Итак, объединяя все вышесказанное, делаем вывод, что для построения основной системы необходимо: 47 1) отбросить заданную внешнюю нагрузку; 2) отбросить консольные участки, если они имеются; 3) заменить жесткие защемляющие связи, если они имеются, дополнительными фиктивными пролетами бесконечно малой длины и бесконечно большой жесткости; 4) врезать в опорные сечения шарниры (удалить лишние связи). Для построения эквивалентной системы необходимо приложить к основной системе: 1) реакции отброшенных связей, т. е. опорные моменты в опорные сечения в положительном направлении; 2) взамен отброшенных консольных участков уже известные поперечные силы и изгибающие моменты с учетом полученных знаков; 3) заданную внешнюю нагрузку. — 51 — 1.4.2. Определение усилий в сечениях неразрезной балки и построение эпюр внутренних усилий Решая совместно канонические уравнения (уравнения 3-х моментов), находят все неизвестные опорные моменты М1, М2, …, Мn. При расчете неразрезной балки на неподвижную нагрузку конечной целью является построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Для получения эпюр моментов первоначально над опорами неразрезной балки откладывают в виде отрезков опорные моменты Мi и концы отложенных ординат соединяют прямыми линиями (т. е. строится эпюра изгибающих моментов Моп от опорных моментов). Затем в однопролетных шарнирно опертых балках (см. основную систему) строятся эпюры моментов от заданной внешней нагрузки МF0 для каждого пролета в отдельности. Сложив последние эпюры с соответствующими участками эпюры опорных моментов, получим окончательную эпюру изгибающих моментов Мок в неразрезной балке [формула (1.48)]: �ок � �� оп � �� .. (1.48) (1.48) � (1.48) ок оп � Аналогично строится эпюраэпюра поперечных сил по посил формуле (1.49):(1.49): Аналогично строится поперечных по формуле Аналогично строится эпюра поперечных сил формуле (1.49): (1.49) �ок � �� оп � �� .. (1.49) � (1.49) ок оп � Возможен и другой поперечных сил �� способ �построенияℓ�эпюры �� (1.50) �� ℓ� � � ; � � � � � � ; (1.50) � ℓ ℓ � � �� Qок. Этот способ был рассмотрен статически неопредеℓ� при расчете �� ℓ� �� . (1.48) ок ок оп оппостроенной � �� (1.48) �� лимых рам методом основе �сил (на �� оп�.� � �� . эпюры изгибаю(1.48) оп �� ок �� . � (1.51) � � ��ок � � � . (1.51) ℓ ℓ � �� поперечных � Аналогично строится эпюра сил по формуле (1.49): ℓ ℓ щих моментов отдельно по�поперечных участкам, пролетам). Аналогично строится эпюра сил по сил формуле (1.49): (1.49): Аналогично строится эпюра� поперечных по формуле � � � � и � – � � � Изгибающий момент и поперечную силу в произвольном сече- (1.49) �� и �� – �� ок ок��оп оп�� .�. � �� . (1.49) (1.49) � � � ок оп � ок оп прав нии неразрезной балки определяют лев формулам (1.50), (1.51): прав �� по � � � , (1.52) лев ℓ ℓ � � � � � � � �� (1.52) � � ℓ� � � �� ; ℓ� � � �� ,�� (1.50) �� (1.50)(1.50) �� ℓℓ� � ℓℓ�� ; � � �� ℓ�� ; (1.50) �� ℓ �� ℓ� �� . �� ℓℓ�� ℓ��.� � �� . � � � ℓ � � �� ℓ� ℓ� ℓ� ℓ� � ℓ� (1.51) (1.51)(1.51) (1.51) �� изгибающий момент и поперечная сила – соответственно � �� и � �� – �� и � ��–и �� – прав прав в рассматриваемом сеченииправ шарнирно опертой лев лев ��х однопролетной �� (1.52) прав лев � �, , лев � � (1.52) � � � � � , (1.52) � � � � � балки с пролетом ℓn от заданной внешней нагрузки. Рис. 1.20 Рис. 1.20 Опорная реакция в неразрезной балке Rn может быть опреде1.4.3. Проверки 1.4.3. ленаПроверки как разность поперечных сил слева и справа от опоры n по Важнейшим элементом расчета расчета балок балок являются являются проверки проверки на на каждом каждом формуле Важнейшим(1.52): элементом этапе расчета. расчета. В В балках, балках, вв отличие отличие—от от52других других систем, выполняется выполняется только только — этапе систем, статическая проверка проверка всей всей системы системы вв Рис. целом. 1.20 статическая целом. Рис. 1.20 Рис. 1.20 ; (1.50) �� ℓ� ℓ � � � ℓ�� . � � � ��окℓ� �оп � � . � ℓ � �� ; � (1.50) � � � ℓ � ℓ� �� . � (1.51) � ℓ �� ℓ� � �� и ℓ� � �� – � � � �� ; � � � �� . ℓ� (1.51) ℓ� ℓ� ℓ� прав лев – (1.52) � � � � � , � � � � � � �� . � �� прав ℓ� – поперечная сила,ℓ�возникающая на n-й опоре в пролете �� где � �� лев , (1.52) прав � лев � ; – поперечная сила, возникающая на n-й опоре в пролете �� ℓn+1 � � , (1.52) �� и� �� – ℓn (рис. 1.20). прав �� лев , (1.51) (1.49) (1.50) (1.52) (1.51) (1.52) Рис. 1.20 Рис.Проверки 1.20 1.4.3. Рис. 1.20 ерки Важнейшим элементом расчета балок являются проверки на каждом Рис.1.20 1.20 м элементом расчета балок являются проверки каждом этапе расчета. В балках, в отличие отнадругих систем, выполняется только Рис. нтом расчета балок являются проверки на каждом 1.4.3. Проверки балках, встатическая отличие отпроверка других всей систем, выполняется системы в целом. только х, в отличие от других систем, выполняется только 1.4.3. Проверки Важнейшим элементом расчета балок являются проверки на каждом ерка всей системы в целом. При статической проверке балки в целом проверяется рассчитанная балка й системы в целом. Важнейшим элементом расчета балок являются проверки на каэтапе расчета. В балках, в отличие от других систем, выполняется только еской проверке балки найденных в целом проверяется балка с учетом опорных рассчитанная реакций и заданной внешней нагрузки по ждом этапе расчета. В балках, в отличие от других систем, выполняроверке балки в целом проверяется рассчитанная балка статическая проверка всей системы в целом. нных опорных реакций и (1.54): заданной внешней нагрузки по формулам (1.53), ется только статическая проверка всей системы в целом. порных истатической заданной проверке внешней балки нагрузки по проверяется рассчитанная балка При (1.54): реакций балки МвК целом = в0,целом (1.53) При статической проверке проверяется рассчитанная балка с учетом найденных опорных реакций и заданной с учетом опорных реакций внешней нагрузки (1.54) по  Мнайденных (1.53) К = 0,  Y = 0. и заданной внешней нагрузки по формулам (1.53), (1.54):  МК = 0, (1.53), (1.54): (1.53) формулам Точку Y = 0.К лучше всего подбирать на балке(1.54) таким образом, чтобы через нее ΣМК = 0, (1.53)  Y = 0. (1.54)  М = 0, (1.53) К чтобы реакций. чше всего подбирать таким образом, через нее проходило на какбалке можно меньше найденных ΣY = 0. нее (1.54) го подбирать на балке таким образом, чтобы  Y =через 0. (1.54) ожно меньше найденных реакций. Точку К лучше всего подбирать на балке таким образом, чтобы ньше найденных реакций. Точку К лучше всего подбирать на балке таким образом, чтобы через нее через нее проходило как можно меньше найденных реакций. 1.4.4. Последовательность выполнения расчета неразрезной балки проходило как можно меньше найденных реакций. ледовательность выполнения расчета неразрезной балки неразрезной уравнениями трех моментов 1.4.4. Последовательность выполнения расчета ельность выполнения расчета неразрезной балки балки уравнениями трех моментов ех моментов 1. Определить степень статической неопределимости [формула нтов 1.1.4.4. Определить степеньнеопределимости статической неопределимости [формула (1.42)]. балки Последовательность выполнения расчета неразрезной делить степень статической [формула (1.42)]. 2. Выбратьтрех основную и эквивалентную системы. степеньуравнениями статической неопределимости [формула моментов 49 3. Составить уравнения трех моментов [формулы (1.43), (1.44) или 1.(1.47)]. Определить степень статической неопределимости [формула 49 (1.42)]. 4. Решить систему уравнений. Найти неизвестные опорные мо49 менты. 49 5. Построить окончательную эпюру изгибающих моментов [формулы (1.48), (1.50)]. — 53 — 6. Построить окончательную эпюру поперечных сил [формулы (1.49), (1.51)]. 7. Определить опорные реакции балки [формула (1.52)]. 8. Провести статическую проверку рамы в целом [формулы (1.53), (1.54)]. 1.4.5. Вопросы для самоконтроля 1. Дать определение неразрезной балки. 2. Определение степени статической неопределимости балки. 3. Выбор основной системы и построение эквивалентной системы. 4. Записать уравнения 3-х моментов в общем виде, а также для балок постоянного сечения. Физический смысл этих уравнений. 5. Дать понятие фиктивной опорной реакции. Примеры определения фиктивных опорных реакций от различных типов нагружения. 6. Определение изгибающих моментов и поперечных сил в произвольном сечении неразрезной балки. 7. Порядок построения окончательной эпюры изгибающих моментов. 8. Порядок построения окончательной эпюры поперечных сил. 9. Порядок определения опорных реакций в неразрезной балке. 10. Расчет неразрезной балки с защемленным концом при помощи уравнения 3-х моментов (отличия расчета). 11. Расчет неразрезной балки с консольными участками при помощи уравнения 3-х моментов (отличия расчета). 12. Порядок расчета неразрезной балки. 1.4.6. Пример расчета неразрезной балки уравнениями трех моментов 1.4.6. Пример расчета неразрезной балки уравнениями трех моментов Исходные данные: — 54 — q1 = 2 кН/м q2 = 3 кН/м F = 5 кН ℓ1 = 6 м ℓ2 = 8 м ℓ3 = 2 м I2 = I I3 = 2I I1 = 2I Исходные данные: q1 = 2 кН/м q2 = 3 кН/м F = 5 кН ℓ1 = 6 м ℓ2 = 8 м ℓ3 = 2 м I2 = I I3 = 2I I1 = 2I 1. Определяем степень статической неопределимости балки [формула (1.42)]: nст = Соп - 3 = (3 + 1 + 1) - 3 = 2. Таким образом, балка дважды статически неопределима. Не1.4.6. Пример расчета неразрезной балки уравнениями тр обходимо отбросить две лишние связи и составить два уравнения (уравнения 3-х моментов). 2. Выбираем основную систему и строим эквивалентную. На основной системе: 1) отбрасываем внешнюю нагрузку; 2) врезаем шарниры в опорные сечения; 3) отбрасываем консольный участок; 4) заменяем жесткую заделку дополнительным пролетом ℓ0 бесконечно малой длины и бесконечно большой жесткости. На эквивалентной системе показываем: 1) внешнюю нагрузку; Исходные данные: 2) реакции отброшенных связей (опорные моменты М0 и М1); q1 = 2 кН/м q2 = 3 кН/м F = 5 кН 3) действие консольного участка в виде известного момента М2 и ℓ1 = 6 м ℓ2 = 8 м ℓ3 = 2 м поперечной силы QI2.1 = 2I I2 = I I3 = 2I Момент М2 определяется как момент от консольного участка на балку (аналогично определяется и Q2), то есть. �� ∙ ℓ� ∙ ℓ� � �� ∙ 2 ∙ � � �� ∙ �� 2 �� ℓ� � �� ∙ 2 � �� — 55 — �� ∙ ℓ� ∙ ℓ� � �� ∙ 2 ∙ � � �� ∙ �� 2 �� ℓ� � �� ∙ 2 � �� 3. Составляем уравнения трех моментов. Из выбранной основной системы видно, что неизвестными усилиями являются моменты М0 и М1. Момент МА равен нулю, так как это момент в крайней шарнирной опоре (момент в шарнире), момент М2 уже найден. Так как неизвестными моментами М0, М1 являются моменты на 0-й и 1-й опорах соответственно, то уравнения трех моментов составляются для n = 0 и n = 1. Поскольку балка имеет непостоянное сечение I1 ≠ I2 ≠ I3, то будем использовать формулу (1.44). ф � � � �А ∙ ℓ�� 2�� ∙ �ℓ�� ℓ�� ∙ ℓ�� 6�� ∙ ф � � 2�� ℓ�� ℓ�� ∙ ℓ�� 6�� ∙ � � 1 �� ∙ ℓ�� с ф �с � 6А� ∙ ; �� с ф �с � 6А� ∙ . �� с � Перед тем как решать уравнения, сделаем предварительные выℓ�� ℓ� � � ∙ � �� ∞ � числения всех необходимых величин для � этих уравнений: – примем Iс = I2 = I (можно выбрать �с момент � инерции любого � � �� ℓ � ℓ � 6 ∙ � � другого пролета на балке); 2� �� – приведенные длины пролетов [формулы (1.45), (1.46)]: �с � ℓ�� ℓ� � � ∙ � �; � �� — 56 — ф ф А� � �� ; � 51 �� ф �с ф �с � � 2� � �ℓ� � ℓ� � � � ∙ ℓ� � �6�ф ∙ �с � 6Аф ∙ �с . � � 1 �� ∙ ℓ�� А ∙ ℓ�� 2��∙ �ℓ�� ℓ�� ∙ ℓ�� 6��∙ �� 6А�� ∙ �� ; �� ф �с ф �с � � �� с �ℓ � � � �А ∙ ℓ� � 2�� ∙ � � ℓℓ�� ∙ �с � 6А�ф ∙ ��с ; � ℓ�� ∙ ℓ� � � � �6� ∙ ��фф�� 2� � �ℓ� � � ℓ�� ∙��с � 6Аф ∙ с� . � ∞ � ∙ ℓ� � � �6� �� 1 � � �А� ∙∙ ℓℓ�� 2��∙ �ℓ�� ℓ�� ∙�ℓ�� 6��∙ � � 6А�� ∙ � ; �� ф �с ф �с � � �� с � � � 2�� ℓ � ℓ ∙ ℓ � �6� ∙ � 6А ∙ � � � � 1 �� ∙ ℓ�� ℓ�� ℓ� �∙�ℓ ∙ � ф��ф∙ ��с��с � 6Аф�ф∙ с�с�;. с ��6�6� �� ∙ ℓ � ℓ � � � � 2�� ∙ �ℓ � � А � � � � � ℓ � ℓ � � � �� 2� � � � � �∙ ℓ� �∙ �6� � 1 �� ∙ ℓ�� 2�� ℓ� � ℓ�� ∞ � ∙�� 6А� ∙ �� . �� с �ф�; ��с ℓ�� ℓℓ� ��сс � � ∙ �� ф �с � �� ∙∞ � ��∙� с ℓ� � 2�� ℓ�� ℓℓℓℓ�� 6� ∙ � 6А . � � � � 1 �� ∙ ℓ�� ℓ 6 ∙ � � ∙ � � � �� ∙ �� ℓ� 2� � �� ∞ �� с приложенной нагрузкой с ф – фиктивные реакции в фсоответствии ℓ�� А�ℓ��с�с�� 6�∙ ��; � �� ℓℓℓ�� А.2) ��ℓℓ� � ��с � � ∙∙ ∙2�� в пролете (прил. А, табл. �� ; �� ∞ �� 6�216 � � ℓ�� ℓ 2� ф нет ф 1-й пролет – нагрузки:� ��с � � � � 2 ∙ А� � �� ∙ ℓ� � � ф24 ℓ��с � ∙� � �;1� �� ; ф �24 А�ℓ� ��с� ��;� �� ℓℓ�� 6� �; ℓ�� ∙ 2� ∙ � � 2-й пролет – приложена симметрично равномерно распреде64 ℓ � � �� ф ф ф 216 � 2� ��. � ∙ Аф� � �ф� � �А∙ф�ℓ�� ; � � ленная нагрузка q : А� �1 �� ∙ф 16� с 2 ф ∙ 16 � 1� �� ; ℓ� �А�ℓ24 � 24 ∙ �;� �; �� ℓ 216 � � � �� ф ф � �� ф�� ∙ ℓ� 2� ∙ 216 А� ф��∙ �� 6�∙ ;1� ∙ ; ∙ � �6 ∙ ��∙ 1� �� ∙ � � 2� 64 ℓ ф ф 24 24 � ф ф 2I ∞ � �2�∙� ∙ �; � А�∙∙ 16 � �� 2� 1� �� .; АА� �� 16 сосредоточенная � 24 24 3-й пролет –фприложена симметрично сила: � 64 ℓ � � ф � �6 �� ∙ � � А . � 2� �� 6 ∙ 2� ∙ � � ∙ � � � ∙ . 2� ∙ � �� ∙ � � �6 ∙ 1� ∙ � � 216 ℓ � � ф ф � � � � ℓ 64 16 ∙ � 2� 16 � ф� ∙ � �� ф� �� 6�∙;. 1� ∙ �; � �2�� ∙1� � ∙ � �А 2� �� ∙ ∙ �6 ��∙� � � �� ∙ ∙24 � 2� �� А�� 2I ∞ 24 16 16 следующую � � Преобразуя уравнения, получим систему уравнений: � ∙ � � �6 ∙ � ∙ �� 6 ∙ 1� ∙ ∙ � �� ∙ � � 2� � 64в уравнения, ℓ �� ф� ф Подставив полученные вычисления получаем � �;. сле�� 6 ∙ 2� ∙2I ∞ �� ∙ � � 2� ∙ � �� 6 ∙ � � �6 ∙ 1� ∙ � 2� � � ∙ � � � � ∙ . А � � 6� � �� 4 � � � ∙ � � 2�� ∙ �� 16 ∙ � ∙ 2�� 6 ∙ 1� ∙ 2I�; 16� ∙ � �� 6 дующие уравнения: � �� 22�� 126. ∞� �� ∙ �уравнения, ∙ 2� ∙� � . � 2�� ∙ �� 6 ∙следующую � � �6 ∙ 1� систему ∙� � � 6уравнений: Преобразуя получим 2�� 6 ∙ 1� ∙ ; � � ∙ � � �6 ∙ � ∙ �� ∙�� 2� ��∙� �2� �∞ � ��; � � 6 ∙ 2� ∙ . ∙� �� ∙ �� 6�∙ �6��6 � � �6 � ∙ 1� ∙ �6��6 �� 2I 6� � �� 4 � 2� � � Преобразуя уравнения,�получим следующую систему уравнений: � 22� � �126. �� среднее значение на 1 участке: � � Преобразуя получим следующую �� ∙ � уравнения, � 2�� ∙ �� 6 ∙�� 6��4 ∙ 1� ∙систему � 6 уравнений: ∙ 2� ∙ . 6�� 2��6��6 ��;� � � � � � � �6��6 � � � � �� 2�� ; ��с�� с�� 22� � �126. �� 6� � �� 4 ��с�� получим Преобразуя уравнения, следующую систему уравнений: Преобразуя уравнения, получим следующую систему уравнений: � 22� � �126. �� среднее значение 1 участке: для 1-й � опоры: � �� 6��6 � � � �6��6 ��; �� на �� 6� �� 4 � � � � � �6��6 � � � �6��6 ��; � � � � �� 4��2� �� 2�� ; ��с�� с�� 4��2� ��; �значение ��с�� среднее на 1 участке: � 22� � �126. �� среднее значение на 1 участке: �� для 1-й 4. уравнений, получаем: среднее значение на 2систему участке: � � �� 2�� ; �Решая �� с�� 6��6 � �� 6��6 ��; �опоры: ��с�� с�� данную �� 2�� ; ��с�� = � ��с�� с�� М −6,586 кН/м, �� на �� 4��2� � � � �4��2� ��; � ��с�� 0�� для 1-й опоры: среднее значение 1 участке: ��с�� с�� 414 � 1� � 4��6 ��; М1��= −4,829 кН/м. для 1-й опоры: среднее значение на 2 участке: �� 2�� ; ��с�� для 2-й опоры: � � �� 4��2� �� 4��2� ��; � �� с�� с�� 5. Строим окончательную � эпюру изгибающих моментов. �� 1��4��2� ��; �� 4��2� �� 414 � ��. 4��6 ��; ��с�� моментов � � � �6 ��с�� для 1-й опоры: ��с�� среднее значение на 2�участке: �� 6 строим На основании полученных эпюру Моп: среднее значение на0-й 2 участке: � � отрезок 1) откладываем опорой равный 6,586 (вверх, так как для 2-й опоры: � над ��с�� 414 � 4��6 ��; �� 4��2� � ��1� �4��2� ��; ��с�� с�� на эпюре изгибающих откладывается ��с�� моментов ��с�� 414 � 1� � 4��6вверх); ��; � � �минус � 2�участке: �� на �� 6 � � � �6 ��. для 2-й��с�� опоры: среднее значение для 2-й опоры: � �� 6 � � �� . ��; ��с�� 414 1��6 � 4��6 ��с�� с�� —�� 57 — � �6 � � � �6 ��. �� для 2-й опоры: � 52 52 52 � 1� 1� �� ;; 2 А ф ℓ�� 2 ∙∙∙ 216 �� фф � �� ∙∙∙ 24 А � ф � � � А 24 ℓ� � � 1� 1� �� ;; �2 2 ∙ 216 �� ф � �� ∙ 24 А��ф � 24 24 24 А� � �� ∙ 24�� 2 ∙ 24 � 1� �� ; 24 24 � 64 ℓ � ф ф 64 ℓ � � ф ф 64 ℓ � � 2� �� ∙ � � � � ∙ . А � ф ф 64 ℓ � � � ∙ � 2� �� ∙ А � � � ф ф � .. � ∙∙ 64 � 2� �� А 16 ℓ� � � � � 2� �� ф� � �� ∙∙ 16 А��ф� � 16 16 �. 16 16 � 2� �� ∙ � � � � ∙ А 16отрезок16 2) откладываем над 1-й равный� 4,829 .(вверх); � � опорой � 16 16 6 ∙∙ 1� ∙∙ �� ;; ∙∙ �� ∙∙ � � �6 ∙∙ � ∙∙ �� 6 � � ∙∙ � � 2� � � 3) откладываем над 2-й опорой отрезок равный (вверх); �� 6 1� � �� 6 � � � � 2� � � �� ;; � � �6 6 ∙∙ 1� 1� ∙∙ 2I � �� ∙∙ � �� 6 �6 ∙∙ � � ∙∙ ∞ � ∙∙ � �� 2� 2�� ∙∙ �� 2I ∞ ∞ � �� ∙ �прямыми � �6 ∙ � ∙линиями. � ∙ � � 2� 2I ; ∞ � 6 ∙ 1� ∙ 2I 4) соединяем полученные � ∙ �� отрезки � 2I�� ∞ 06 ∙ � � �6 ∙ 1� ∙ � � . одно��на� �� 6 ∙ 2� ∙ ∙ � � 2� ∙ � �� Для построения эпюры М разбиваем балку отдельные � � �� 6 ∙ 2� ∙ ∙ � � 2� ∙ � �� 6 ∙ � � �6 ∙ 1� ∙ F � 6 ∙∙ 2� ∙∙ �� ... � � �� ∙∙ � � 6 2� �� 2� 2�� ∙∙ �� 6 6 ∙∙ � �� 6 �6 ∙∙ 1� 1� ∙∙ 2� 2� 2� � 6эпюру пролетные �� ∙ �балки ∙ 2� ∙ изгиба� 2�и� для ∙ �� каждой � �� 6в ∙отдельности � � �6 ∙ 1� ∙строим �� . 2� � 2� Преобразуя уравнения, получим следующую систему уравнений: Преобразуя уравнения, получим следующую систему уравнений: ющих моментов, используя табл.следующую А.3 (прил. А). Преобразуя уравнения, получим систему Преобразуя уравнения, получим следующую систему уравнений: уравнений: Преобразуя уравнения, получим следующую систему уравнений: 6�� 4 � Для получения окончательной эпюры изгибающих моментов � �� 4 � 6� � �� 4 �� 6� � � 6� � �� 4 � � � �� 22� � �126. � � 6� � �� 4 �� 22� � �126. � Мок суммируем полученные эпюры по соответствующим участкам: �� 22� 22�� 126. �126. �� 22� � �126. �� для� 0-й опоры: � � � � � �6��6 � � � �6��6 ��; � �� 6��6 � �� 6��6 ��; � � �� 6��6 �6��6 � �� 6��6 �6��6 ��; ��; �� 6��6 � � � �6��6 ��; � �� среднее значение на 1 участке: среднее значение на 1 участке: среднее значение на среднее значение на 1 1 участке: участке: среднее значение 1 участке: � среднее значение на 1на участке: � � � �� 2�� ; � � ��с�� с�� с�� с�� с�� с�� с�� 2�� 2�� ; ��; ��с�� с�� 2�� ; � � ��с�� с�� с�� 2�� ; � ��с�� с�� с�� для 1-й опоры: для 1-й опоры: для 1-й опоры: опоры: для для 1-й 1-й опоры: � для 1-й � опоры:� � � � � � �4��2� � �� 4��2� � �� 4��2� �4��2� ��; ��; � � �� 4��2� �4��2� � �� 4��2� �4��2� ��; ��; �� 4��2� � � � �4��2� ��; � �� среднее значение на 2 участке: среднее значение на 2 2 участке: участке: среднее значение 2 участке: среднее значение на среднее значение на 2на участке: � среднее значение на 2 участке: � �� с�� с�� 414 ��414 � � 1� 1� � � 4��6 4��6 ��; ��; ��с�� с�� с�� с�� с�� с�� 414 ��414 � � 1� 1� � � 4��6 4��6 ��; ��; ��с�� с�� с�� с�� с�� с�� 414 � 1� � 4��6 ��; ��с�� для для 2-й опоры: 2-й опоры: для 2-й опоры: для для 2-й 2-й опоры: опоры: � для 2-й опоры: � � � � � � �6 � � �� 6 � �� 6 �6 ��. ��. � � �� 6 �6 � �� 6 �6 ��. ��. �� 6 � � � �6 ��.эпюре изги� ��ординаты �� отложим �� на окончательной Полученные бающих моментов, соединяя полученные ординаты линиями, соответствующими приложенной нагрузке. 6. Строим окончательную эпюру поперечных сил. Для построения эпюры поперечных сил разобьем всю балку на отдельные однопролетные балки (балки на двух шарнирных опорах или балки с одним жестким защемлением) и для каждой балки в отдельности построим эпюру поперечных сил. — 58 — 52 52 52 52 52 М0 = 0, −6,586 + 4,829 + q1 · 6 · 3 − R1 · 6 = 0, R1 = (−6,586 + 4,829 + 36) / 6, М0 = 0, R1 = 5,707 кН 1 = 0, −6,586 +М 4,829 + q1 · 6 · 3 − R1 · 6 = 0, −6,586 + 4,829 + 4,829 + 36)−/ q6,1 · 6 · 3 + R0 · 6 = 0, R1 = (−6,586 R1 = 5,707 R0кН = (6,586 − 4,829 + 36) / 6, М1 = 0, R0 = 6,293 кН −6,586 + 4,829 − q1 · 6 · 3 + R0 · 6 = 0, R0 = (6,586 − 4,829 + 36) / 6, R0 = 6,293 кН М1 = 0, 6 − 4,829 + F · 4 − R2 · 8 = 0, М1 = 0, R2 = (6 − 4,829 + 20) / 8, 6 − 4,829R+2F=·2,646 4 − R2кН · 8 = 0, R2 = (6 − М 4,829 + 20) / 8, 2 = 0, R2 = 2,6466 кН − 4,829 − F · 4 + R1 · 8 = 0, М2 = 0, R1 = (−6 + 4,829 + 20) / 8, 6 − 4,829R− F=·2,354 4 + R1кН · 8 = 0, 1 R1 = (−6 + 4,829 + 20) / 8, R1 = 2,354 кН М3 = 0, М3 = 0, −6 − q2 · 2 · 1 − R2 · 2 = 0, 2 =/ 0, −6 − q2 · 2R·2 1=−(6R2+· 6) 2, R2 = (6 + 6) / 2, R2 = 6 (т) R2 = 6 (т) Определяем опорные реакции по по формуле 7. Определяем опорные реакции формуле (1.52): 7.7.Определяем опорные реакции по формуле (1.52): (1.52): ��в� ��в� �лев� �лев� � � � �� в� �лев� �� в� � �� лев� �� в� �лев� �лев� �� в� � �� Так как все значения получились со знаком плюс, значит, все реакции значения получились со знаком плюс, значит, ТакТак каккак все все значения получились со знаком плюс, значит, все все реакции реакции направлены направлены вверх. вверх. направлены вверх. 53 53 — 59 — Заданная система q1 I1 q2 F ℓ2/2 ℓ1 6,586 5,707 4,829 I2 I2 I3 ℓ2/2 ℓ3 6 5,414 Моп 6 МF 0 9 10 6,586 6 4,829 Мок 6,293 3,293 6 4,586 2,354 Qок 3,146 5,707 2,646 54 — 60 — 8. Проверим статиче (1.54)]: 8. Проверим статическое равновесие балки в целом [формулы (1.53), 8. Проверим статическое равновесие балки в целом [формулы q1 (1.54)]: (1.54)]: (1.53), q1 q2 F R0 ℓ1 К R0 ℓ1 R1 ℓ /2 R2 ℓ2/2 2 ℓ3�� ∙ ℓ� � � � � �� 2�� 2 ∙ � � � � �� ∙ ℓ� � � � � �� ∙ ℓ� � � �� 2�� 2 ∙ � � � � �� ∙ 2 � �� к � � �� к � � �� ∙ �ℓ� � ℓ� � ℓ� � � ℓ� ℓ� � ℓ� � ℓ� � � � ∙ � ℓ� � � �� ∙ ℓ� � 2 2 �� ∙ �ℓ� � ℓ� � ℓ� � � �� ∙ �ℓ� � ℓ� � � �� ∙ ℓ� ∙ � � ℓ� � � �� ∙ ℓ� � �� ∙ R1 ℓ�� 2 �� 2�� ∙ �� . �� 2�� ∙ �� ∙ �� 2 ∙ � ∙ �� ∙ � � �� ∙ 2 � � ∙ 2 � � Выполнены все прове � � �. Выполнены все проверки, следовательно, балка рассчитана верно. Выполнены все проверки, следовательно, балка рассчитана 2. Расчет верно. перемещений 2. Расчет кинематически неопределимых перемещений систем кинем методом 2.1. Расчет кинемат перемещения на действие 2.1. Расчет кинематически неопределимой плоской рамы методом 2.1.1. Кинематическа перемещения на действие внешней нагрузки Кинематически (стат 2.1.1. Кинематическая неопределимость систем системы для определения Кинематически (статически) неопределимыми системами называются статического равновесия не системы для определения усилий, в элементах которых кроме уравнений деформации. статического равновесия необходимы дополнительные уравнения – уравнения Распределение усилий деформации. сил, но и от соотношен Распределение усилий в таких системах зависит не только от внешних сил, но и от соотношений между поперечными размерами отдельных 55 — 61 — 2. РАСЧЕТ КИНЕМАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 2.1. Расчет кинематически неопределимой плоской рамы методом перемещения на действие внешней нагрузки 2.1.1. Кинематическая неопределимость систем Кинематически (статически) неопределимыми системами называются системы для определения усилий, в элементах которых кроме уравнений статического равновесия необходимы дополнительные уравнения – уравнения деформации. Распределение усилий в таких системах зависит не только от внешних сил, но и от соотношений между поперечными размерами отдельных элементов. Если элементы системы изготовлены из различных материалов, то распределение усилий зависит также от модулей упругости этих материалов. Поэтому для определения усилий в элементах таких систем необходимо задавать их жесткости. Смещение опор, температурные воздействия и неточность сборки конструкции, так же как и в статически неопределимых системах, обычно вызывают в таких системах дополнительные усилия. За неизвестные при расчете статически неопределимых систем методом перемещений принимаются перемещения (углы поворотов узлов и линейные перемещения узлов), а потом устанавливается соответствующее им распределение усилий. В дальнейшем будем называть такие системы кинематически неопределимыми системами. При расчете кинематически неопределимой системы методом перемещений первоначально необходимо установить общее число неизвестных величин, подлежащих определению. Общее число неизвестных называется степенью кинематической неопределимости системы. Степень кинематической неопределимости системы равна сумме чисел неизвестных углов поворотов узлов nу и неизвестных линейных перемещений узлов nл, то есть nК = nУ + nЛ. — 62 — (2.1) Число неизвестных углов поворота равно числу «жестких» узлов, а поэтому определение nу сводится к простому подсчету числа «жестких» узлов системы. При подсчете числа «жестких» узлов не включаются узлы, угловые перемещения которых заданы, например жесткие закрепления, связывающие системы с «землей» (жесткие опоры). «Жестким» считается такой узел, в котором концы по крайней мере двух из сходящихся в нем стержней жестко связаны между собой. Например, на рис. 2.1, а, узлы 1, 2, 4 – «жесткие», узел 3 – шарнирный, узлы 5, 6 – опорные; на рис. 2.1, б, узел 1 – «жесткий», а узлы 2, 3, 4 – опорные. Если стержни, сходящиеся в каком-либо узле системы, соединены в несколько жестких групп, шарнирно связанных между собой, то такой узел имеет количество «жестких» узлов, равное числу групп. Например, на рис. 2.1, в, узел 1 имеет два «жестких» узла, так как узел состоит из двух групп, соединенных шарнирно. Рис. Рис. 2.1 2.1 . При расчете систем методом перемещений делаются следующие допущения: –– не учитывают деформацию рам от действия продольных и поперечных сил; –– не делают различия между первоначальной длиной прямого стержня и длиной хорды, стягивающей его упругую линию, т. е. первоначальное расстояние между концами каждого прямолинейного стержня сохраняется и после деформации. Эти допущения позволяют при определении числа линейных неизвестных смещений заменить схему данной системы ее шарнирной схемой путем введения полных шарниров во все узлы и опорРис. 2.2 — 63 — Например, для рамы на рис. 2.3 степень кинематической ные закрепления. Перемещения всех узлов такой системы не являются независимыми, так как смещение одного из них может вызвать смещение ряда других узлов. Поэтому необходимо выделить из них только независимые перемещения. Число независимых линейных смещений узлов равно степени геометрической изменяемости системы, полученной из заданной путем введения во все «жесткие» узлы (включая и опорные) полных шарниров. nл = W = 3D - 2Ш - Соп, (2.2) где D – количество дисков полной шарнирной схемы; Ш – количество простых (одиночных) шарниров полной шарнирной схемы, Рис. 2.1 за исключением опорных; Соп – количество опорных связей полной . шарнирной схемы. Рис. Рис. 2.2 2.2 Полная шарнирная схема на рис. 2.2, б, получилась путем введения полных в узлы 5, 6 заданной схемы Например, дляшарниров рамы на рис.1, 2, 2.3 4, степень кинематической на рис. 2.2, а. Согласно неопределимости равна шести. формуле (2.2) для заданной системы на рис. 2.2, а, по полной шарнирной схеме на рис. 2.2, б, определяем количество линейных перемещений: nл = W = 3D - 2Ш - Соп = 3 · 6 - n2к·=64-+42==2.6 nу = 4 Дисками являются стержни 1–2, 1–3, 2–4, 3–4, 3–5, 4–6. nл = 2 В узле 1 – один простой шарнир; в узле 2 – один простой шарнир; в узле 3 – кратный шарнир, эквивалентный двум простым шарнирам; Рис. 2.3 в узле 4 – кратный шарнир, эквивалентный двум простым шар2.1.2. Основная и эквивалентная системы. Канонические уравнения нирам. метода перемещений — 64 — 57 Рис. 2.2 В опоре 5 – две опорные связи, в опоре 6 – две опорные связи. Например, рамы рамы на рис.на2.3 степень неоНапример,для для рис. 2.3кинематической степень кинематической пределимости равна шести. неопределимости равна шести. nк = 4 + 2 = 6 nу = 4 nл = 2 Рис. 2.3 Рис. 2.3 2.1.2. Основная и эквивалентная системы. Канонические уравнения метода перемещений 2.1.2. Основная и эквивалентная системы. Канонические уравнения метода перемещений Основной системой называется кинематически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной системы путем наложения дополнительных связей, предотвращающих возможные линейные и угловые перемещения. Основная система с наложенной на нее заданной внешней нагрузкой и реакциями введенных связей называется эквивалентной системой. При расчете методом перемещений система расчленяется на ряд однопролетных статически неопределимых балок. Это достигается введением в нее дополнительных связей. Дополнительно введенные связи делятся: 1) на связь, препятствующую повороту «жесткого» узла системы – защемляющая связь (заделка); 2) связь, препятствующую линейному смещению узлов системы – дополнительные внутренние элементы или опорные стержни. Введенные в основную систему метода перемещений защемляющие связи отличаются от обычного абсолютно жесткого защемления (заделки) тем, что препятствуют лишь повороту узла и не лишают его линейной подвижности. Реакции таких связей представляют собой моменты, приложенные в узлах системы (рис. 2.4). — 65 — 57 Рис. 2.4 На рис. 2.4, а, связь предотвращает Рис. 2.4 поворот, но не мешает линейному смещению по горизонтали, а на рис. 2.4, б, связь предотвращает поворот, но не мешает линейному смещению по горизонтали и вертикали. Что касается связей, предотвращающих линейные смещения, то введение таких связей можно осуществить различными путями. Например, можно поставить раскос 1–3 (рис. 2.5, а), или раскос 2–4 (рис. 2.5, б), или наклонный опорный стержень (рис. 2.5, в), или гоРис. 2.5 ризонтальный опорный стержень (рис. 2.5, г). Рис. 2.4 Рис. 2.5 Рис. 2.5 При введении в сооружение дополнительных связей, препятРис. 2.6 ствующих линейному смещению узлов, предпочтение отдается связям, соединяющим узлы с «землей», а не друг с другом, то есть опорным стержням, а не дополнительным элементам сооружения. При наличии в системе горизонтальных или вертикальных стержней рекомендуется вводить горизонтальные или вертикальные опорные стержни (а не наклонные). Например, на схемах рис. 2.5 предпочтительно выбрать систему на рис. 2.5, г. Рис. 2.6 Для получения основной системы метода перемещений в заданную систему без нагрузки, во-первых, во все «жесткие» узлы следует ввести заделки, препятствующие повороту узлов, во-вторых, ввести дополнительные связи, препятствующие линейным смещениям. Рис. 2.7 Например, на рис. 2.6 основная система получена путем нало�� … � �� жения на заданную систему без нагрузки трех дополнительных свя�� … � �� зей (nк = 3): � … … … … … … … … … … … … … … … … … . …� �� — 66�� —�� (2.3) 58 –– одной, предотвращающей линейное Рис. 2.4 перемещение (nл = 1) – горизонтальный опорный стержень; Рис. 2.5 –– двух, предотвращающих повороты узлов (nу = 2) – две заделки. Рис. 2.5 Рис. 2.6 2.6 перемещений, представляюЭквивалентную систему Рис. метода щую собой заданную систему с наложенными на нее связями, препятствующими повороту и смещению узлов, можно назвать кинематически определимой. В статическом отношении эквивалентная система метода перемещений отличается от заданной тем, что в ней возможно появлеРис. 2.6 заделках и реактивных усиние реактивных моментов во введенных лий в добавленных стержнях (рис. 2.7). Рис. 2.7 �� … � �� … � �� ……………………………………………. �� … � �� Рис. Рис. 2.7 2.7 (2.3) 58 � �� и� …реактивные � �� усилия �� моменты Реактивные �� можно обратить � � � � � � … � � � � � � � в нуль, если повернуть на углы, по��заделки � �� равные �� действительным (2.3) � �� … … … … … … … … … … … … … … … … … . воротам узлов, и сместить узлы так, чтобы линейные перемещения �� … � �� равны их также были действительным, т. е. возникающим, в заданной системе. 58 Отрицание реактивных усилий (сил или моментов) во введенных заделках и стержнях основной системы, т. е. отрицание реак— 67 — тивных усилий по направлениям неизвестных перемещений, лежит в основе уравнений метода перемещений. Таким образом, условие равенства эквивалентной и заданной систем математически сводится к удовлетворению системы n линейных Рис. 2.7 уравнений: �� … � �� … � �� ……………………………………………. �� … � �� (2.3) Система уравнений (2.3) является теми дополнительными уравнениями деформаций, которые позволяют раскрыть кинематическую неопределимость заданной системы. Данные уравнения называются каноническими уравнениями метода перемещений. Первое из этих уравнений выражает мысль о равенстве нулю реактивного усилия в эквивалентной системе в первой дополнительно введенной связи (в опорном стержне), второе – выражает мысль о равенстве нулю реактивного момента в эквивалентной системе во второй дополнительно введенной связи (в заделке) и т. д. Число уравнений равно числу дополнительно введенных связей, т. е. степени кинематической неопределимости заданной системы. Так, для системы на рис. 2.7 количество уравнений будет равно трем. Для заданной системы Z1, Z2, Z3, …, Zn – неизвестные перемещения (линейные смещения узлов или углы поворота узлов). В системе канонических уравнений в качестве коэффициентов при неизвестных стоят r11, r12, r13, …, rnn, – реактивные усилия в дополнительно введенных стержнях и реактивные моменты в дополнительно введенных заделках основной системы, возникающие от действия единичных линейных смещений и единичных поворотов узлов, а R1F, …, RnF – реактивные усилия в дополнительно введенных стержнях и реактивные моменты в дополнительно введенных заделках основной системы, возникающие от действия заданной внешней нагрузки. Коэффициенты rij носят название единичных коэффициентов канонических уравнений. Коэффициенты RiF называются грузовыми коэффициентами или свободными членами канонических уравнений. Коэффициенты rii называются главными коэффициентами, а коэффициенты rij – побочными. На основании теоремы о взаимности перемещений rij = rji. — 68 — (2.3) 58 Для определения коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от нагрузки и от единичных неизвестных перемещений (по направлениям введенных закреплений). Построение их производится с помощью данных, приведенных в прил. Б. Определяются коэффициенты канонических уравнений двумя способами: 1) с помощью интегралов Мора по формулам (2.4) и (2.5) (по � правилу Верещагина или по формуле Симпсона, используя табл. 1): �� ; � �� ; �� (2.4) (2.4) (2.4) �� ° � �� . �� (2.5) ° �� . �� Так как рамы – это конструкции, работающие преимуществен(2.5) � � но на изгиб, то в выражении интегралов Мора с соблюдением доста(2.5) точной � точности�остаются только слагаемые, зависящие от изгиба� �� ∑�� . �ок � �� (2.8) ющих моментов; � �� для �� окончательной � � �� эпюры �изгибающих � �� получения � �� ∑�� (2.8) �То ок �есть � � �� . моментов 2) статическим способом, �основанным на условии статического То есть для получения окончательной эпюры изгибающих моментов ординаты каждой из единичных эпюр умножаются на найденное значение равновесия любой отсеченной части рамы. Для этого все коэффиординаты каждой из единичных умножаются на найденное значение соответствующего неизвестного и эпюр все результаты суммируются (по отдельным циенты и свободные члены канонических уравнений разделим на две осей группы: соответствующего неизвестного и всекрезультаты суммируются (по отдельным точкам системы) с добавлением ним ординат грузовой эпюры моментов. а) коэффициенты, представляющие реактивные моменты; точкам2.1.4. осей Построение системы) с добавлением к ним ординат грузовойсил эпюры моментов. эпюр поперечных и продольных б) коэффициенты, представляющие реактивные усилия. 2.1.4. эпюр поперечных продольных сил ПослеПостроение того как решением системы иканонических уравнений найдены Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивПосле того как решением системы канонических уравнений усилия найденыи неизвестные перемещения Zi, соответствующие этим перемещениям ные моменты во введенных заделках, определяются вырезанием узнеизвестные перемещения Ziмогут , соответствующие этим усилия и заданная нагрузка быть приложены к перемещениям основной Затем лов и внешняя составлением уравнений равновесия вида (2.6): системе. заданная внешняя нагрузка быть приложены системе. Затем от их совместного действиямогут обычным (какквосновной статически определимых ΣМспособом = 0. (2.6) от их совместного действия способом в статически системах) могут быть определены поперечные и(как продольные силыопределимых и реактивпостроены Коэффициенты и обычным свободные члены, представляющие системах) могут быть определены поперечные и продольные силы и построены эпюры Q. ныеN,усилия во введенных стержнях, можно определить при помощи разреза и составления уравненияи равновесия эпюры N, Q. элементов Поперечные силы врамы системе могут быть определены другим путемсил, – по действующих на отсеченную часть: Поперечныеэпюре силы в системе могут быть определены и другим путем – по окончательной изгибающих моментов и условиям равновесия ΣТмоментов = 0. (2.7) окончательной эпюре Каждый изгибающих и условиям как равновесия вырезанных стержней. стержень рамы рассматривается простая вырезанных Каждый рассматривается как простая статически стержней. определимая балка стержень на двух рамы опорах с приложенными к ней — статически определимая на —двух опорах с приложенными к ней изгибающими моментами,балка взятыми с69окончательной эпюры изгибающих изгибающими моментами,внешней взятыминагрузкой. с окончательной эпюры изгибающих моментов, и заданной Для каждой такой балки в Направление оси Т в формуле (2.7) выбирается так, чтобы уравнение получилось более простым. (Например, если реактивное усилие направлено по горизонтали, то и ось выбирается горизонтальная – ось Х.) Установим следующее правило знаков для реакций заделок и опорных стержней. Реактивное усилие будем считать положительным, если направление его действия совпадает с принятым направлением поворота или линейного смещения узла. 2.1.3. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов После вычисления единичных коэффициентов и грузовых членов канонических уравнений эти уравнения решают, в результате чего определяют неизвестные перемещения Z1, Z2, Z3, …, Zn. После � того как лишние неизвестные найдены, эквивалентное состояние �� кинематически �� ; будет представлять собой определимую систему, �� находящуюся под действием заданной нагрузки и найденных сил Zi. Рассчитав эту кинематически определимую раму, строят для нее(2.4) эпюры усилий M, N, Q известными�способами, которыми пользова�� ° � �� . �� для лись при построении эпюр статически определимых рам. �� Существует и другой способ построения эпюры М. Используя принцип Даламбера, эпюру М можно построить на основании фор-(2.5) мулы (2.8): �� ∑�� . �ок � � (2.8)(2.8) То есть есть для дляполучения получения окончательной окончательной эпюры То эпюрыизгибающих изгибающихмоментов моментов ординаты из единичных эпюр умножаются на значение найординаты каждой изкаждой единичных эпюр умножаются на найденное денное значение соответствующего неизвестного и все результаты соответствующего неизвестного и все результаты суммируются (по отдельным суммируются (по отдельным точкам осей системы) с добавлением точкам осей системы) с добавлением к ним ординат грузовой эпюры моментов. к ним ординат грузовой эпюры моментов. 2.1.4. Построение эпюр поперечных и продольных сил После как решением системы канонических уравнений 2.1.4.того Построение эпюр поперечных и продольных сил найдены неизвестные перемещения Zi, соответствующие этим перемещениям После того как решением системы канонических уравнений усилия най- и дены неизвестные перемещения Zi, соответствующие этим перемещезаданная внешняя нагрузка могут быть приложены к основной системе. Затем ниям усилия и заданная нагрузка (как могут быть приложены к от их совместного действия внешняя обычным способом в статически определимых основной системе. Затем от их совместного действия обычным спосо- системах) могут быть определены поперечные и продольные силы и построены эпюры N, Q. — 70 — Поперечные силы в системе могут быть определены и другим путем – по окончательной эпюре изгибающих моментов и условиям равновесия бом (как в статически определимых системах) могут быть определены поперечные и продольные силы и построены эпюры N, Q. Поперечные силы в системе могут быть определены и другим путем – по окончательной эпюре изгибающих моментов и условия равновесия вырезанных стержней. Каждый стержень рамы рассматривается как простая статически определимая балка на двух опорах с приложенными к ней изгибающими моментами, взятыми с окончательной эпюры изгибающих моментов, и заданной внешней нагрузкой. Для каждой такой балки в отдельности строится эпюра поперечных сил. Потом все участки собираются на раму в целом. Поперечная сила считается положительной, если она дает момент от конца стержня на узел по часовой стрелке, и наоборот. По эпюре поперечных сил и условия равновесия вырезанных узлов рамы строится эпюра продольных сил N. Для этого к вырезанным узлам прикладывают поперечные и продольные силы. При этом продольные силы считаем положительными, т. е. направленными от узла. Поперечные силы прикладываются к узлу с учетом полученных значений и знаков, взятых с построенной эпюры поперечных сил. К узлу необходимо прикладывать и внешние силы, если они непосредственно действуют на этот узел. Проектируя приложенные к узлу силы на оси координат, получим два уравнения равновесия (2.9) и (2.10): ΣX = 0, (2.9) ΣY = 0. (2.10) Из данных уравнений, зная поперечные силы Q, найдем продольные силы N. Начинать определение продольных сил надо с тех узлов, в которых сходятся не более двух стержней с неизвестными продольными силами. 2.1.5. Проверки Важнейшим элементом расчета рам являются проверки на каждом этапе расчета. 1. Проверка единичных коэффициентов и свободных членов канонических уравнений. Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений представляют собой реактивные усилия или — 71 — моменты, полученные путем перемножения соответствующих эпюр изгибающих моментов. При перемножении эпюр могут быть допущены ошибки, в результате которых значения лишних неизвестных получатся неверными. Ошибки, сделанные при подсчете коэффициентов, могут быть обнаружены при помощи особых проверок: а) построчная проверка (проверяются единичные коэффициенты одной строки – одного уравнения), т. е. коэффициент ris, вычисленный по формуле (2.11), должен быть равен коэффициенту ris, вычисленному по формуле (2.12): � � �� ∑∑�� ∑ ;; �� ; �� ∑�� ;�� ; �� ; �� ∑∑�� ; �� ∑�� (2.11) �� ∑�� ; (2.12) � �� ∑ �� ∑∑ � �� . � �� . . �� (2.11) (2.11) (2.1 (2.11) (2.12) (2.12) (2.1 (2.12) (2.13) (2.13) (2.1 (2.13) � �� ∑ � �� суммарной �� .�эпюрой (2.13) �� называется единичной изгибающих �� моментов. �� в основной Суммарная единичная эпюра строится системе от � � �� ; (( �� ; ( �� ∑ �∑∑ �� ;�� действия одновременно�всех лишних неизвестных, равных единице. � � �� ∑��всех �� ; единичных �� суммирования � � �� ( �� эпюр Или путем по формуле (2.13); �� ;�; �� ; (2.11) ∑�∑�� ;;�� б) универсальная проверка (проверяются одновременно все (2.11) �� ∑�� коэффициенты), ; � � ∑�� коэффициент т. е. rss, вычисленный по (2.12) ;� �� (2.11) � � �� единичные �� ∑�� ; �� (2.12) �� ; �� (2.15) (2.1 �� формуле (2.14), должен быть равен коэффициенту � (2.15) �� ∑� � r;ss, вычисленному �� (2.11) �� (2.12) �� ∑ �� . �� ;по формуле (2.15): � � � � � � � (2.13) � � � �� .� (2.13) ��∑�∑� �� ∑� � � � �� ; (2.16) (2.1 ∑�� (2.15) (2.16) �� ; � �� ; �� ∑� ��; (2.12) �� ∑� (2.13) �� .�� ;�� ∑�� (2.16) �� °° � �� (2.14) � ��° � �� ∑ �� ∑∑� �� (2.13) �� ; ;�� (.(.�� . . �� ° � �� ; �( � �� . � � � � � �� ∑�� (2.17) (2.1 � (2.15) (2.17) � � � � � �� ; � � � �� ; � � � �� ∑ � � ; ( �� построения 2. Проверка Проверка правильности построения окончательной эпюрыэпюры изгибающих (2.17) �� 2. ; Проверка �� правильности окончательной изгибающ 2. правильности построения окончательной эпюры изгибающих �� в) постолбцовая проверка ��(проверяются �� свободные члены – (2.15) � �� (2.15) �� моментов: статическая проверка –�� основана на условии условии равновесия Проверкамоментов: правильности построения окончательной эпюры изгибающих моментов: статическая – ��основана на условии равновес статическая проверка основана равновесия � проверка � �–т. е. ; на �� коэффициенты одного коэффициент RSF, вычис�� столбца), ∑ (2.15) � � � � � � � � � � ; (2.16) ∑ �основана �� всех �� формуле ; (2.16) �� окончательных моментов во�всех всех узлах рамы согласно формуле (2.18): �� в: статическая проверка –�� на условии равновесия окончательных моментов во узлах рамы согласно формуле окончательных моментов во узлах рамы согласно (2.18): ленный по формуле (2.16), должен быть равен коэффициенту RSF,(2.18): � � � ��вычисленному � �во�всех �� по (2.16) (2.15) � � �� моментов �� ;формуле ° °(2.18): (2.17): формуле М� = �� 0. (2.18) (2.1 ельных узлах рамы согласно � =�� 0. М (2.18) � �� =�� 0. �М � � � � . � � � � � . � � � �� ∑проверка �рамы �� целом �в�� (2.18) ; рассчитанная (2.16) (2.16) ° �� 3. Статическая – проверяется проверяется рама ссрам М = 0.�� вврамы �� – проверяется �� рассчитанная �� 3. 3. Статическая проверка рассчитанная Статическая проверка рамы целом –целом рама � � �� . � �� °° учетом найденных опорных реакций, изгибающих моментов, поперечных и Статическая проверка рамы вопорных целом опорных – проверяется рамамоментов, с поперечных учетом найденных реакций, поперечных учетом найденных реакций, изгибающих � ��изгибающих � �� моментов, �рассчитанная � � (2.17)и � (2.17) (2.17) � � � � . �� поперечных продольных силчерез через уравнения статики (2.19), (2.20),(2.21): (2.21):и(2.21): найденных опорных реакций, изгибающих моментов, продольных силуравнения через��уравнения статики (2.19), (2.20), продольных сил статики (2.19), (2.20), Проверка правильности построения окончательной эпюрыизгибающих изгибающих (2.17) 2.2.Проверка правильности построения окончательной эпюры � �  М = 0, (2.19) (2.1 ных сил через уравнения статики (2.19), (2.20), (2.21): 0, МК = 0, на —М–72 (2.19) К моментов: статическаяэпюры проверка –К=— основана на условии условии равновесия равновесия сти построения окончательной изгибающих моментов: статическая проверка основана (2.17)  = 0, (2.19)(2.18): =рамы 0, Yсогласно (2.20) (2.2 Кусловии =согласно 0, YY=рамы 0, (2.20) окончательных моментов вовсех всехравновесия узлах формуле (2.18): роверкаокончательных – основана наМ моментов во узлах формуле 2. Проверка правильности построения окончательной эпюры изгибающих  Y = 0, (2.20)  X = 0. (2.21) 2. Проверка правильности построения окончательной эпюры изгибающих моментов: статическая проверка – основана на условии равновесия окончательных моментов во всех узлах рамы согласно формуле (2.18): ΣМ = 0. (2.18) 3. Статическая проверка рамы в целом – проверяется рассчитанная рама с учетом найденных опорных реакций, изгибающих моментов, поперечных и продольных сил через уравнения статики (2.19), (2.20), (2.21): ΣМК = 0, (2.19) ΣY = 0, (2.20) ΣX = 0. (2.21) Точку К лучше всего подбирать на раме таким образом, чтобы через нее проходило как можно меньше найденных реакций. 2.1.6. Последовательность выполнения расчета плоской кинематически неопределимой рамы методом перемещений 1. Определить степень кинематической неопределимости заданной рамы по формулам (2.1) и (2.2). 2. Выбрать основную систему метода перемещений. Показать эквивалентную систему с дополнительно наложенными связями. 3. Составить систему канонических уравнений для определения неизвестных перемещений от заданной внешней нагрузки. 4. В основной системе построить единичные эпюры изгибающих моментов Мi от действия сил Zi = 1 и грузовую эпюру МF от действия заданной внешней нагрузки. 5. Вычислить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений статическим способом. 6. Проверить полученные коэффициенты, построив суммарную единичную эпюру изгибающих моментов и вычислив сумму всех единичных перемещений. Выполнить универсальную проверку. 7. Проверить полученные свободные члены, вычислив сумму свободных членов и построив суммарную единичную эпюру (постолбцовая проверка). — 73 — 8. Решить систему канонических уравнений и найти значения неизвестных сил Zi. Провести проверку найденного решения, подставив найденные значения в канонические уравнения. 9. Построить окончательную эпюру изгибающих моментов по формуле (2.8). 10. Проверить правильность построения окончательной эпюры. Сделать статическую проверку вырезанных узлов. 11. Построить окончательную эпюру поперечных сил, используя окончательную эпюру изгибающих моментов и условия равновесия каждого вырезанного из каркаса стержня. 12. Построить окончательную эпюру продольных сил, используя окончательную эпюру поперечных сил и условие равновесия вырезанных узлов рамы. 13. Проверить статическое равновесие рамы в целом под действием заданной внешней нагрузки и опорных реакций по формулам (2.19)–(2.21). 2.1.7. Вопросы для самоконтроля 1. Дать определение кинематически неопределимой рамы. 2. Написать и пояснить формулу для определения степени кинематической неопределимости кинематически неопределимых рам. 3. Дать определение основной и эквивалентной систем. 4. Записать канонические уравнения метода перемещений для дважды кинематически неопределимой системы. Объяснить физический смысл каждого уравнения и каждого элемента, входящего в уравнения. 5. Порядок определения единичных и грузовых коэффициентов канонических уравнений (различными способами). 6. Записать и пояснить проверки для единичных и грузовых коэффициентов канонических уравнений. 7. Правила построения окончательной эпюры изгибающих моментов. 8. Статическая проверка, ее физический смысл. 9. Порядок построения эпюры поперечных сил. 10. Порядок построения эпюры продольных усилий. 11. Взаимная проверка эпюр M, N, Q. — 74 — 2.1.8. Пример расчета плоской кинематически неопределимой рамы методом перемещений Рассчитать заданную раму методом перемещений. Исходные данные: L2 = 6,0 м H1 = 4,0 м H2 = 6,0 м F = 8 кН q = 3 кН/м I1 : I2 = 2 : 3 E = const Исходные данные: L2 = 6,0 м H1 = 4,0 м 1. Определение степени кинематической неопределимости заH2 = 6,0 м данной рамы на рисунке. F = 8 кН Степень кинематической неопределимости находится по q = 3 кН/м формуле (2.1): I :I =2:3 nк = nу + nл = 1 + 1 = 2, 1 2 E = const остальные узлы nу = 1, так как «жесткий» узел – только узел D (все либо опорные, либо шарнирные); по формуле (2.2): nл = 3D − 2Ш − Соп = 3 · 5 − 2 · 4 − 7 = 1 (для полной шарнирной схемы). ܼଶ ൅ ܴଵி ൌ Ͳ ‫ݎ‬ଵଵ ܼଵ ൅ ‫ݎ‬ଵଶкинематически Таким образом, система неопределима. ൜ дважды ‫ݎ‬ଶଵ ܼଵ ൅ ‫ݎ‬ଶଶ ܼଶ ൅ ܴଶி ൌ ͲǤ — 75 — 80 2. Выбор основной и эквивалентной систем метода перемещений. Назначение неизвестных перемещений Z1 и Z2. Так как система дважды кинематически неопределима, то в основную систему необходимо ввести две связи. Причем одна должна препятствовать угловому перемещению (nу = 1) – это заделка, введенная в «жесткий» узел, а другая должна препятствовать линейному смещению (nл = 1) – это дополнительный опорный стержень, приложенный в направлении возможного линейного перемещения. 3. Так как степень кинематической неопределимости равна ‫ݎ‬ଵଶ ܼଶ ൅два. ܴଵி ൌСистема Ͳ ‫ ܼ ݎ‬൅ будет двум, то уравнений в системе канонических ൜ ଵଵ ଵ ‫ݎ‬ଶଵ ܼଵ ൅ ‫ݎ‬ଶଶ ܼвид: ଶ ൅ ܴଶி ൌ ͲǤ уравнений будет иметь следующий ‫ ܼ ݎ‬൅ ‫ݎ‬ଵଶ ܼଶ ൅ ܴଵி ൌ Ͳ ൜ ଵଵ ଵ ‫ݎ‬ଶଵ ܼଵ ൅ ‫ݎ‬ଶଶ ܼଶ ൅ ܴଶி ൌ ͲǤ 80 4. Построение единичных и грузовой эпюр изгибающих моментов. Для построения единичных и грузовой эпюр используется прил. Б. 80 Для построения эпюр моментов необходимо первоначально определить погонные жесткости для каждого участка рамы. Для этого пронумеруем каждый стержень рамы. Погонная жесткость определяется по формуле i = EI/L; так как I1 : I2 = 2 : 3, следовательно, примем I1 = 2I, I2 = 3I. i1 = EI1 / H2 = 2EI / 6 = EI / 3 i2 = EI2 / L1 = 3EI / 4 i3 = EI1 / H1 = 2EI / 4 = EI / 2 i4 = EI1 / (4H2 / 3) = 2EI / 8 = EI / 4 i5 = EI2 / L2 = 3EI / 6 = EI / 2 Теперь по таблице, исходя из деформированного состояния Теперь по таблице, эпюры. исходя из деформированного состояния системы, системы, построим — 76 — 3i5 = EI12 / L12 = 3EI / 6 = EI / 2 i4 = EI1 / (4H2 / 3) = 2EI / 8 = EI / 4 i5 = EI2 / L2 = 3EI / 6 = EI / 2 Теперь поэпюру таблице, исходяотизповорота деформированного состояниязаделки системы,на Первую строим первой введенной единичный угол. Наисходя рис. а изображено деформированное Теперь по таблице, из деформированного состояния состояние системы, системы, на рис. б – первая единичная эпюра: Вторую эпюру строим от линейного смещения узлов на единицу. На рис. а изображено деформированное состояние смещения системы, узлов на рис. б – вторая Вторую эпюру строим от линейного на единицу. Вторую эпюру строим от линейного смещения узлов на единицу. На рис. На рис.эпюра: а изображено деформированное состояние системы, единичная а изображено системы, на рис. б – вторая на рис. б – деформированное вторая единичная состояние эпюра: единичная эпюра: Грузовую строим от заданной внешней нагрузки, при этомпри эпюра Грузовуюэпюру эпюру строим от заданной внешней нагрузки, этом эпюра строится на участках, которым приложена строится только на участках,только к которым приложена квнешняя нагрузка. На рис. а внешняя нагрузка. На рис. а изображено деформированное состоГрузовую эпюру строим от заданной внешней нагрузки, при этом эпюра изображено деформированное состояние системы, на рис. б – грузовая эпюра: яниетолько системы, на рис. бк–которым грузоваяприложена эпюра: внешняя нагрузка. На рис. а строится на участках, изображено деформированное состояние системы, на рис. б – грузовая эпюра: 81 81 1. Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических — 77 — 1. Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических 5. Вычисление коэффициентов и свободных членов каноничеуравнений (статический способ). ских уравнений (статический способ). 82 На основании теоремы о взаимности — 78 — перемещений должно выполняться условие r12 = r21. На основании теоремы о взаимности перемещений должно выполняться основании теоремы о взаимности перемещений должно выусловие rНа 12 = r21. полняться условие r12 = r21. 83 2. Построение суммарной единичной эпюры изгибающих моментов Построение суммарной суммарной единичной 2. 6. Построение единичной эпюры эпюры изгибающих изгибающих момоментов [формула (2.13)]: ментов [формула (2.13)]: [формула (2.13)]: �� Выполним универсальную проверку [формулы (2.14), (2.15)]: Выполним универсальную � единичных проверку коэффициентов единичных коэффициентов [формулы (2.14), (2.15)]: � �� 6�2�� 1�� 1�� 14�62�� —�79 — � �� 6�2�� 1�� 1�� 14�62�� 6��1�62�� Выполним универсальную проверку единичных коэффициентов Выполним универсальную проверку единичных коэффициен[формулы (2.14),(2.15)]: (2.15)]: тов [формулы (2.14), � � �� 6�2�� 1�� 1�� 14�62�� 6��1�62�� 2 1 1 �� ∙ � �� ∙ ∙ 3�� ∙ �� ∙ ∙ 3�� 3 �� 2 �� 2 1 1 �� 2 �� 1 1 ∙ ∙ 3�� ∙ �� ∙ ∙ 3�� ∙ ∙ ∙ �� ∙ ∙ � 3 �� 2 4 3 4 �� 2 11�� 11�� 1 4�� 1�� 1�� ∙ ∙� ∙ � 4 ∙ �� ∙ � � � ∙ �� 3 ∙ 6 4 4 4 4 � � 2�2�� 1�� 43�� 1�421�� 6��1�62�� . �� . � � �� . �,�� . 85 �,�� Выполнена универсальная проверка, следовательно, единичные Выполнена универсальная проверка, следовательно, единичные �,�� ,�� Выполнена универсальная проверка, следовательно, единичные Выполненаследовательно, универсальнаяединичные проверка, следовате коэффициенты найдены верно. Выполнена универсальная проверка, коэффициенты найдены верно. коэффициенты найдены верно. коэффициенты найдены верно. 3. Аналогично выполняется проверка грузовых коэффициентов. коэффициенты найдены верно. 3. Аналогично выполняется проверка грузовых коэффициентов. 3. 7. Аналогично выполняется проверка грузовых коэффициентов. Аналогично выполняется проверка грузовых коэффициентов. 3. Аналогично выполняется проверка грузовых коэф 4. Составим систему канонических уравнений: 4. 8. Составим систему канонических уравнений: Составим систему систему канонических канонических уравнений: 4. Составим уравнений: 4. � � Составим систему канонических уравнений: �,�� 0,�8�� 0 �� ,�� 0,�8�� 0 �0,�8�� 0,�40�� 0. �� ,�� ,�� 0,�8�� 0� � � 0,�8�� 0 � �� 0,�8�� 0,�40�� уравнение 0. � 0,�40�� 0,�8�� Умножим первое уравнение на 16, а второе на 64, получим � � �� 0 �0,�8�� 0,�40�� 0.� Умножим уравнение наУмножим 16,16,а авторое на 64, 64,пополучим первоеуравнение уравнение на на второе уравнен более первое простую систему уравнений: Умножим первое уравнение второе уравнение Умножим первое уравнение нана 16, а второе уравнение на 16, 64, аполучим более простую систему уравнений: более простую систему �� 0 �00�� более лучим простую систему уравнений: � � 3�� уравнений: более простую систему уравнений: � �� 9�� 8 � 0. �00�� 3�� 0�00�� 3�� 0 � 3�� 0 �00�� Решая данную систему, получим: �� 9�� 8 � 0.�� 9�� 8 � 0. �� 9�� 8 � 0. Решая получим: −3,833 систему, / EI; Z1 =данную Решая данную систему, получим: Решая данную систему, получим: Решая данную систему, получим: Z2Z= = −90,444 / EI. Z1 = −3,833Z/1 EI; −90,444 / EI. Z1 = −3,833 / EI; = −3,833 2 / EI; = −3,833 / EI; Z 1 Z2 = −90,444 / полученные EI. проверку найденного решения, т. е. подставляем ДелаемДелаем проверку найденного решения, т. е. подставляем полуZ2 = −90,444 / EI. /проверку EI. 2 = −90,444 ченные значения Z2 в Zканонические уравнения: Делаем найденного решения, т. е. подста в канонические уравнения: значения Z1 и ZZ12 и Делаем проверку найденного решения, т. е. подставляем полученные Делаем проверку 3,833 найденного решения, е. подставляем полученные канонические уравнения: значения Z90,444 1 и Z2 в т. � � 3�� 0,00� � 0� � �� Z2 в канонические уравнения: значения Z1 и �00�� 3,833 �� 90,444 уравнения: значения Z1 и Z2 в канонические � � �� 0,00� � 0� � � 3�� 00�� 90,444 3,833 �� 90,444 3,833 �� 9�� 8 � 0. �� 90,444 3,833 � � �� 0,00� � 0� � � 3�� 00�� 90,444 3,833� 0,00� � 0� � �� 00�� 3�� 8 � 0. � � 9�� Условие выполнено, значит, решение найдено верно. �� — 80 — 90,444 3,833 � � ��8выполнено, � 0. � � 9�� 90,444 �� 3,833 Условие значит, решение найдено верно. окончательной изгибающих моментов [формула � � ��8 �эпюры 0. 9�� 5. � �Построение �� 5. Построение окончательной эпюры изгибающих м (2.8)]: Условие выполнено, значит, решение найдено верно. �� 90,444 3,833 � � ��8 � 0. � � 9�� Условие выполнено, значит, решение найдено верно. Условие выполнено, значит, решение найдено верно. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов [формула 9. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов (2.8)]: [формула (2.8)]: 5. �� . �ок � � Дляэтого этоговозьмем возьмемпервую первуюединичную единичнуюэпюру эпюруии все Для все ее еезначения значения (ординаты) умножим на действительную Z1 = −3,833/EI, (ординаты) умножим на действительную величинувеличину Z1 = −3,833 / EI, при этом при этом жесткости сократятся и останутся только числовые значения. Аналогично возьмем вторую единичную эпюру и все ее возьмем вторую единичную и все ее значениятаким (ординаты) умножим останутся только числовые эпюру значения. Полученные образом эпюры на значения (ординаты) умножим на действительную величину / EI, при этом жесткости сократятся действительную величину Zэтом 2 = −90,444 сложим с грузовой эпюрой по характерным точкам всей Z2 =вместе −90,444/EI, при жесткости сократятся и системы. останутся толь-и ко числовые значения. Полученные таким образом эпюры сложим вместе с грузовой эпюрой по характерным точкам всей системы. 85 жесткости сократятся и останутся только числовые значения. Аналогично 6. Проверяем правильность построения эпюры Мок. Статическая проверка: — 81 — 10. Проверяем правильность построения эпюры Мок. Статическая проверка: �� �� �� , � �� , �� �� ,� �� В ��В � �� �� Статическая проверкаВ выполнена, выполнена, следовательно, эпюра Мок построена Статическая проверка следовательно, Мок построена Статическая проверка выполнена, следовательно, эпюра Мокэпюра Статическая проверка выполнена, следовательно, эпюра Мок построена верно. построена верно. верно. верно. 7. Построение эпюры поперечных основаниипостроенпостроенной 11. Построение эпюры поперечных силсил на на основании 7. Построение эпюры поперечных сил на основании построенной 7. Построение эпюры поперечных сил на основании построенной эпюры изгибающих моментов Мок. М . ной эпюры изгибающих моментов ок эпюры изгибающих моментов М . эпюры изгибающих моментов Мок. ок Так как на участке АВ отсутствуют Так как на участке АВ Так как на моменты участке и АВ внешняя наТакизгибающие как на участке АВ отсутствуют изгибающие отсутствуют изгибающие грузка, то эпюра поперечных сил на отсутствуют изгибающие моменты и внешняя нагрузка, то этом участке будет очерчена моменты и внешняя нагрузка, то нулевой моменты и внешняя нагрузка, эпюра поперечных сил то на этом линией. эпюра поперечных сил на этом эпюра участке поперечных на этом будет сил очерчена нулевой участке будет очерчена нулевой участке будет очерчена нулевой линией. линией. линией.  МВ = 0,  М С=· 0, 4 − 8,625 = 0,  МВ =VВ0, = 0, V · 4 −=8,625 2,1563 = 0, кН VС · С4 −VС8,625 V = 2,1563 кН VС =С2,1563 кН  МD = 0,  М В=· 0, 4 − 8,625 = 0,  МD =VD0, = 0, V · 4 −=8,625 2,1563 = 0, кН VВ · В4 −VВ8,625 V = 2,1563 кН VВ =В2,1563 кН  Y = 0, VВ − VD = 0, 0 = 0.  Y = 0, VВ − VD = 0, 0 = 0.  Y = 0, VВ − VD = 0, 0 = 0. 87 — 82 — 87 87  МD = 0, HС · 4 + 28,1667 = 0, HС = 7,0417 кН  МD = 0, + 28,1667 HС · 4 М 0, = 0,  = 0,D = кН HСМ=С 7,0417 · 428,1667 + 28,1667 −HDH · 4С + = 0, = 0, HD =H7,0417 кН кН С = 7,0417  МС = 0, −HD · 4 + 28,1667 = 0, HС =0, 0 = 0.  0, МH =−0, СD HDX==7,0417 кН −HD · 4 + 28,1667 = 0, кН0 = 0.  X =H0, H7,0417 D= D − HС =0,  X = 0, HD − HС =0, 0 = 0.  МD = 0, −4,7916 − 34,875 – q · 8 · 4 + НЕ · 8 = 0, Н = 16,9583 кН  ЕМD = 0, −4,7916 − 34,875 – q · 8 · 4 + НЕ · 8 = 0,  = 0, кН НЕМ=E 16,9583 −4,7916  МD− =34,875 0, + q · 8 · 4 − НD · 8 = 0, Н = 7,0417 кН. − 34,875 – q · 8 · 4 + НЕ · 8 =  DМ−4,7916 E = 0,  Х 0, = 0, −Н 0 = ·0.8 = 0, E − НD++qq· ·88· = −4,7916 − 34,875 4 0, −Н D НD =Н7,0417 кН. кН Е = 16,9583  Х = 0, −НE − НD + q · 8 = 0, 0 = 0.  МE = 0, −4,7916 − 34,875 + q · 8 · 4 − НD · 8  МD = 0, VF · =6 0, − 14,75 + F · 3 = 0, D = 7,0417 кН –кН. значит, VF =Н−1,5417  М D= Х0,= 0, −Н + q · 8 = 0, 0 = 0. E − НD направление реакции выбрано VF · 6 − 14,75 + F · 3 = 0, неверно, поэтому меняем его на VF = −1,5417 кН – значит, противоположное. направление реакции выбрано  МDпоэтому = 0, неверно, меняем его на  МV F = ·0,6 − 14,75 + F · 3 = 0, противоположное. F – F ·кН 3 =–0,значит, VD · V6 −=14,75 −1,5417 F VD = 6,162 кН  Мнаправление реакции выбрано F = 0, 6 − 14,75 поэтому – F · 3 = 0,меняем его на VD · неверно, + VF + F = 0, 0 = 0.  Y==6,162 0, VD кН V D противоположное. Y = 0, МVD=+0,VF + F = 0, 0 = 0. F VD · 6 − 14,75 – F · 3 = 0, VD = 6,162 кН 88  Y = 0, VD + VF + F = 0, 0 = 0. 88 88 — 83 — Эпюра поперечных сил в целом для рамы будет иметь следуюЭпюра поперечных в целом рамы будет иметь следующий вид: Эпюра поперечных силсил в целом длядля рамы будет иметь следующий вид: щий вид: Эпюра поперечных сил в целом для рамы будет иметь следующий вид: Построение эпюры продольных (нормальных) сил Nнана основании Построение эпюры продольных (нормальных) сил ос8. 8.12.Построение эпюры продольных (нормальных) сил NNна основании новании построенной эпюры сил: поперечных сил: построенной эпюры поперечных 8. построенной Построение эпюры продольных (нормальных) сил N на основании эпюры поперечных сил: остроенной эпюры поперечных сил: 0, NВD = 0,  Х=Х0,= N ВD = 0,  Х = 0, NВD=Y0,= 0, −NАВ + 2,1563 = 0,  Y = 0, −NАВ + 2,1563 = 0, = 2,1563 кН. + 2,1563 2,1563 = 0,  Y = 0, −N AB N АВN= кН. AB NAB = 2,1563 кН.  Y=Y0= 0 N = 0= 0  Y = 0 NCD CD NCD = 0  X=X0= 0 N= 0= 0  X = 0 NDF DF NDF = 0 — 84 — 0, YY==0, −NDE − 2,1563 − 6,4583 = 0, −N DE − 2,1563 − 6,4583 = 0, = −8,6146 кН – направлено в NСD направлено в Nпротивоположную СD = −8,6146 кН –сторону. противоположную сторону.  X = 0, −7,0147 X = 0, + 7,0147 = 0, 0 = 0. −7,0147 + 7,0147 = 0, 0 = 0. Эпюрапродольных продольных в целом для рамы иметь следуЭпюра силсил N вN целом для рамы будет будет иметь следующий вид: ющий вид: Эпюра продольных сил N в целом для рамы будет иметь следующий вид: 13. Согласно построенным эпюрам M, N, Q определяем опорные реакции рамы и составляем условие статического 9. Согласно построенным эпюрам M, N, Q равновесия определяем рамы опорные в целом. реакции рамы и составляем условие статического равновесия рамы в целом. Для этого используем формулы статического равновесия сиДля этого используем формулы статического равновесия системы в в целом (2.19)–(2.21). реакции VA,опорные VE 9.стемыСогласно построеннымВертикальные эпюрам M, опорные N, Q определяем целом (2.19)–(2.21). Вертикальные опорные реакции VA, VE определяем по определяем по эпюре продольных сил N, горизонтальные реакции реакции рамы и составляем условие статического равновесия рамы в целом. эпюре сил N, горизонтальные HA, HE, Hпо вертикальную HA, Hпродольных , HC и вертикальную реакцию реакции VF определяем поC и эпюре E Для этого используем формулы статического равновесия системы в перечных сил Q, а реакцию M определяем по эпюре изгибающих сил Q, а реакцию ME определяем реакцию VF определяем по эпюре поперечных E целомпомоментов (2.19)–(2.21). Вертикальные опорные реакции VA, VE определяем по М. эпюре изгибающих моментов М. эпюре продольных сил N, горизонтальные реакции HA, HE, HC и вертикальную реакцию VF определяем по эпюре поперечных сил Q, а реакцию ME определяем по эпюре изгибающих моментов М. 90 — 85 — 90 ʤ ൌ Ͳǡ െ‫ܪ‬஺ ൅ ‫ ݍ‬ή ͺ െ ‫ܪ‬ா െ ‫ܪ‬஼ ൌ Ͳǡ Ͳ ൅ ͵ ή ͺ െ ͳ͸ǡͻͷͺ͵ െ ͹ǡͲͶͳ͹ ൌ Ͳǡ Ͳ ൌ ͲǤ ܻ ൌ Ͳǡ െܸ஺ ൅ ܸா െ ‫ ܨ‬൅ ܸி ൌ Ͳǡ െʹǡͳͷ͸͵ ൅ ͺǡ͸ͳͶ͸ െ ͺ ൅ ͳǡͷͶͳ͹ ൌ Ͳǡ Ͳ ൌ ͲǤ ‫ܯ‬௄ ൌ Ͳǡ ‫ܪ‬஺ ή ͸ െ ܸ஺ ή ʹ െ ‫ ݍ‬ή ͺ ή Ͷ െ ܸா ή ʹ ൅ ‫ܪ‬ா ή ͺ െ ‫ܯ‬ா ൅ ‫ ܨ‬ή ͷ െ ܸி ή ͺ ൅ ‫ܪ‬஼ ή Ͷ ൌ Ͳǡ Ͳ ή ͸ െ ʹǡͳͷ͸͵ ή ʹ െ ͵ ή ͺ ή Ͷ െ ͺǡ͸ͳͶ͸ ή ʹ ൅ ͳ͸ǡͻͷͺ͵ ή ͺ െ ͵Ͷǡͺ͹ͷ ൅ ൅ͺ ή ͷ െ ͳǡͷͶͳ͹ ή ͺ ൅ ͹ǡͲͶͳ͹ ή Ͷ ൌ Ͳǡ Ͳ ൌ ͲǤ Проверки выполнены, выполнены, значит, рама рассчитана верно, эпюрыэпюры M, N, Q Проверки значит, рама рассчитана верно, M, N, Q построены правильно. построены правильно. 3. Расчет статически неопределимых балок методом фокусных отношений 92 — 86 — 3. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК МЕТОДОМ ФОКУСНЫХ ОТНОШЕНИЙ 3.1. Основные положения расчета неразрезных балок методом 3.1. Основные положения расчета неразрезных балок фокусных отношенийметодом фокусных отношений При расчете неразрезной балки (построении эпюр изгибающих моментов При расчете неразрезной балки (построении эпюр изгибающих и поперечной на действие временной нагрузки следует воспользоваться моментовсилы) и поперечной силы) на действие временной нагрузки слеметодом моментных фокусных Этим методом можно дует воспользоваться методом отношений. моментных фокусных отношений. Этим методом и в одного случае загружения только воспользоваться и вможно случаевоспользоваться загружения только пролета неразрезной одного пролета неразрезной балки. балки. Рассмотрим неразрезную многопролетную балку, нагруженную Рассмотрим неразрезную многопролетную балку, нагруженную в одном в одном пролете произвольной нагрузкой (рис. 3.1). пролете произвольной нагрузкой (рис. 3.1). Рис. 3.1 Рис. 3.1 При наложении эпюр изгибающих моментов от различных нагружений (F и ∆F) полученные эпюры в ненагруженных пролетах При наложении эпюр изгибающих моментов от различных нагружений (F будут проходить через нулевые точки как через фокусы (рис. 3.1). и ∆F) полученные эпюры в ненагруженных пролетах будут проходить через Причем в обоих случаях через одни и те же. При анализе работы танулевые через фокусы (рис. 3.1). Причем в обоих случаях через при одни кой точки балкикак установлено, что в каждом ненагруженном пролете нагрузкиработы справатакой (или балки слева) установлено, от него эпюра и теположении же. При анализе что моментов в каждом имеет нулевую точку, причем местоположение этой точки постоянненагруженном пролете при положении нагрузки справа (или слева) от него но и не зависит от интенсивности и вида загружения пролета. Эта эпюра моментов имеет нулевую точку, причем местоположение этой точки точка называется моментным фокусом. Различают правые и левые постоянно и не зависит от интенсивности и вида загружения пролета. Эта точка моментные фокусы. Левым (правым) моментным фокусом назыназывается моментным фокусом. Различают данного правые пролета и левыепри моментные вается нулевая точка эпюры моментов нагруфокусы. Левым (правым) фокусом называется нулевая точкаправее эпюры жении одного илимоментным нескольких пролетов, расположенных (левее) рассматриваемого пролета. одного или нескольких пролетов, моментов данного пролета при нагружении расположенных правее (левее) рассматриваемого — 87 — пролета. 92 Положение фокусных точек в пролетах определяется фокусным отношением. Под фокусным отношением понимают отношение длин частей данного ненагруженного пролета, на которые он делится фокусной точкой. Различают фокусные отношения справа и слева от нагруженного пролета. Для определения левых коэффициентов моментно-фокусных отношений балки переменного сечения используется формула (3.1), а для балки постоянного сечения – формула (3.2): �′′ � (3.1) (3.1) � (3.2) (3.2) �� л � � � �� лл � ; �′′ � �� л � � � �� лл �. � �� ′ �� л ′′ �пр � �� л � ; �� ′ �� пр �� ′′ �� пр �; �� л �пр � �� л� �. � � � � �� пр �. � �� пр �� ′ �� пр � � пр � �� пр � ; пр� пр �� , �� , �� и��′т. д.). �� ′′′ (3.1) Для определения правых коэффициентов моментно-фокусных (3.3) отношений балки переменного сечения используется формула (3.3), (3.2) а для балки постоянного сечения – формула (3.4): (3.4) ��′ ′ �� л�л � � �� (3.3) �� лл ��;; (3.3) ′ ′ �� лл �� ; ; (3.1) (3.1) ллл ф пр пр ф ��′′′ ф ф � � � � � � �� пр �� лл �� . �. � �� . (3.4) �� (3.4) � � пр л л �� ; (3.5) � пр � �� л пр � �� л �� лл� �� . �. (3.2) (3.2) �фф л фф всегда ллл пр пр � пр ′′ л Коэффициенты фокусных положительны. �� л ��Их �� пр пр и т. д.); �� , �� , отношений � и�т. ��л ,��л , �� д.). � �� прпр ��;; . (3.6) �� лл � пр пр ′ ′ �� ′ ′ ′ � пр � величина не зависит от нагрузки, а� пр зависит �� ф��лишь от геометрической � � пр��ф �� прпр �;; (3.3) (3.3) пр � (3.5) �� ′′ �� л пр ��′;� � �� неразрезной � �� схемы балки, то есть от длин пролетов балки. �� пр прВычисле� �� прпр �.�. �� ф ф �� ние коэффициентов фокусных отношений для левых � пр пр��л �� производится: �� (3.6) �� л� �пр�� . �� прпр �. пр (3.4) (3.4) прпр пр�. пр пр пр �� лл� ��лл�� лл�� ,,правых д.); �� ,,�� коиит.т.д.). д.). ,,��,,�� иит.т.д.); д.); для коэффициентов – слева направо ( ′��,�� пр пр� пр � пр пр пр лл лл лл л фф пр пр фф � �(�� ,�� ; (3.1) ,�� ииналево т. т.��д.); д.); �� иил т. т.�д.). д.). эффициентов��– справа ,�′�� ,, �� д.). ��,�� ,, � �� лл�� прпр �� ;; � �� ф ф ф пр пр пр ф ф ф Коэффициенты фокусных отношений в крайних пролетах зави� � �� л � � �� л�� .�� ллл�� пр ;; (3.5) (3.5) � �� (3.2) пр пр �� ф ф ф ф �� В). лл�� сят от способа закрепления балки в��этих пролетах (прил. �� .. � �� пр пр лл�� ф ф ф ллл ф ф ф ′ зная величины � �� Для любой неразрезной �� коэффициентов пр балки,�� пр ��ллл;��пр (3.3) �� . . (3.6) (3.6) ��′ � пр пр � л и т. д.); ��л ,��л , �� моменты не� � � �� фокусных отношений, можно вычислить все опорные Рис. 3.2 ф � �ф�� разрезной балки. пр �� ; �� пр �. �� (3.7) (3.4) � � ��лл �� Опорные моменты по концам загруженного пролета неразрезпр пр �фф3.2 пр Рис. л � , �� и 3.2) т. д.);вычисляются ��, �� , �� по ипр .т.формулам д.). ��л ,��л(рис. ной балки (3.5), (3.6): �� (3.8) � � пр �� ф � ф пр ф ф � ф пр �; �� ; �� л � л� пр � ; �� пр пр � �� ф �ф �� (3.7) (3.5) (3.5) (3.9) �� пр .ф л ф � � �� лл .�� (3.8) (3.10) (3.6) �� ∑�� . � �� Рис. Рис. 3.2 вр 3.2 . �� пост л (3.12) (3.10) ��ф�ф� . �� л �� пр �� пр ; � � �� пост �� ∑��вр �; (3.9) (3.11) Рис. Рис.3.2 3.2 �� пост � ∑��вр �; ��ф�ф�ф� 88 — � ∑�� —�пост � �� ллл ;; вр �; �� пост � ∑��вр �. �� пост � ∑��вр �. ффф � �� (3.6) � �� .. пр пр пр �� ;; (3.13) ��л�л (3.11) фф �� (3.14) � �� прпр.. � �� (3.12) �� (3.7) (3.7) (3.8) (3.8) . �� пр л � �� пр пр� �� пр� �� л и т. д.); ��пр , ��пр ,�� и т. д.). ��л ,��л , �� пр л и т. д.); �� , �� , �� и т. д.). ��л ,��л , �� ф пр ф � �� ф��л�прпр ф ; �′� �� ; �� л � �� ′�� л � пр � � � � � ф�′ �� ф ��л� � ; �� ′�� л�� л � � � �� ; � �л �� ф��л �л �� пр ф . �� л �� . л� �. л � пр �� л � � �� . л �� ′ �′�� пр �пр � � � � ′ �� пр� � ; �′� �� пр � ; �� пр �� (3.6) (3.5) (3.5) (3.1 (3.1 (3.6) (3.6) (3.2 (3.2 (3.3 (3.3 � (3.4 (3.4 � 3.2 Рис. прпролетов пр пр л л Для � загруженных крайнихпр нераз,�� л , �� , ��пр , ф�� и т. д.). пр шарнирно-опертой л и т. д.); �� и т. � д.); �� , �� , �� и т. д.). ��л ,��л , �� ; (3.7) резной балки один из моментов нагруженного пролета определя�� л ф пр ф �� ф� �� пр �� ф � �� а��лдругой (3.5 �� ется по сокращенным формулам (3.7), (3.8), пр � ; – по общим � �� ф �� пр �� ; (3.5 �� л � � � �� формулам (3.5), (3.6): �� пр . (3.8) ф ф �� л ��ф� если загружен крайний правый пролет: �� 3.2 � ��ф ��л ��л �� (3.6 �� Рис. пр � . � � �� 3.2 . (3.6 � � пр � �;Рис. л �� (3.9) ��ф�� пр � �� (3.7) �� ф�л ; (3.7) �� ; (3.7) �� .пролет:�ф��л (3.10) �� л если загружен крайний левый �� (3.8) �� фпр . � � (3.8) (3.11) (3.8) �� пр . вр �; �� пост � ∑�� пр ; Вnф – правая опорная реакция пролета ℓnвр от�.фиктивной нагрузки (3.12) (3.9) ∑�� пост �� (3.9) � � � � пр ; � (правая фиктивная реакция). �� л ∑�� . � ��реакция �� (3.13)(3.10) пост � вр �; �� Аn+1ф – левая опорная . ℓn+1 от фиктивной нагруз(3.10) �� пролета л �� ки (левая фиктивная реакция). ∑�� пост � �. (3.14) ∑�� пост � вр (3.11) вр �; Величины фиктивных�� реакций определяются � �пост � ∑��вр �; по табл. А.2 (3.11) Рис. 3.2 вр �. ∑�� (3.12) �� пост (прил. А) в зависимости от внешней нагрузки, приложенной в Рис. 3.2 �� пост � ∑�� ф 93(3.12) вр �. �ф� пролете. ∑�� ; (3.13) � �� ; (3.7 � пост вр �� лл ; вр �;пролетов нераз(3.7 �незагруженных (3.13) Опорные моменты по � концам �� пост � ∑�� ∑�� ф � �пост �(3.9), (3.14) ��формулам вр �. �� резной балки вычисляются�по (3.10): ф �� ∑�� (3.8 ��пр . вр �. �� (3.14) � �пост �� от (3.8 �� пр . для пролетов, расположенных справа �� нагруженного пролета: � � �� пр� �. �пр � Рис. 3.2� � � � �� . �� пр �� (3.9) � � � �� пр ; �� пр ; � �� для пролетов, расположенных слева от нагруженного пролета: �� . �� л�� . �� (3.10) �л �� По полученным значениям опорных можно постро� �постмоментов � ∑��вр �; �� пост � ∑��вр �; �� ить эпюру изгибающих моментов. Эпюра поперечных сил строится �� пост � ∑��вр �. �моментов � ∑�� по готовой эпюре изгибающих (см. п. 1.4.2). �� пост вр �. ��постоянной � �пост � ∑�� Если неразрезная балка кроме нагрузки вр �; загружается �� пост � ∑��вр �; временной нагрузкой по различным пролетам, которая может при�� пост � ∑��вр �. �� пост � ∑��вр �. — 89 — 93 (3.9 (3.9 93 (3.10 (3.10 (3.11 (3.11 (3.12 (3.12 (3.13 (3.13 (3.14 (3.14 9 9 ′ ��лл � �� лл � �. �. � �� ; �� л ′ пр �� ′′ �� ;; пр� � �� прл � �� пр � ′′ �� . � �� л �� (3.2) (3.2) (3.1) (3.3) (3.3) (3.2) �� пр ′ � сутствовать при различных возможных сочетаниях, то необходимо (3.4) �� пр ��прпр пр �. �� (3.4) � �пр��.; �� (3.3) �′ �� определить такие схемы загружения, �при которых в сечениях балки �� пр пр пр лл и т. д.); � пр , �� пр , � пр и т. д.). ,��ллнаибольший �� лл ,�� ,, � и т. д.); �и�� наименьший , пр �� , �� и� т. д.). � возникают изгибающие моменты, наи� (3.4) �� пр �. ф пр пр �ф ф�� ф большая и наименьшая перерезывающая �� сила. �� Поэтому при расчете � �� ; � �� (3.5) � пр л �� пр �� ; (3.5) ��пр� �� пр пр � �� л л � �� неразрезной на постоянную и �т.�временную нагрузки в балке �� ,�� , �� и д.). ��л ,��л , �балки � �� и т. д.); ф л ф л �� ф �� ф �� строят объемлющую эпюру изгибающих моментов и объемлющую прф ф � � � � � �� (3.6) � пр��..� � � л �� пр �� (3.6) � � �� ; � � л �� пр �� л �� эпюру поперечных сил. Эпюры моментов от постоянной и времен- (3.5) �� ф л построения ф ной нагрузки являются исходными �для объемлющей �� (3.6) �� л � пр � . �� ординат �� эпюры изгибающих моментов. Подсчет объемлющей эпюры моментов лучше всего проводить в табличной форме. Все эпюры изгибающих моментов от временной нагрузки необходимо строить в том же масштабе, что и эпюра изгибающих моментов от постоянной нагрузки. Они строятся одна под другой. Для построения объемлющей эпюры изгибающих моментов нужно каждый пролет разбить на три части и подсчитать соответствующие Рис. 3.2 3.2 Рис. величины ординат изгибающих моментов. Для получения величин ф �ф максимальных ординат изгибающих моментов (Mmax) в каждом се- (3.7) � � �� лл ;; �� (3.7) �� Рис. 3.2 чении к моменту от постоянной нагрузки (Мпост) прибавляют все поф �ф ф ложительные ординаты эпюр моментов от временной (3.8) �. �изгибающих �� пр (3.8) �� пр.�л ; (3.7) � � � � нагрузки [формула (3.11)]. Для получения величин минимальных � �� ф �� (M (3.9) пр � ординат изгибающих моментов � ;;) в каждом сечении к момен- (3.9) �min �пр . (3.8) �� пр �� ту от постоянной нагрузки (Мпост� ) �� – все отрицательные ординаты от � �� лл�� . (3.10) �� (3.10) � �� . ; временной нагрузки [формула � �� (3.12)]: � (3.9) ��пр �� ∑��вр �� ∑�� ; (3.11) �� (3.11)(3.11) �� пост � вр �; � �пост (3.10) �� л�� . �� ∑��вр �� пост � ∑�� . (3.12) (3.12)(3.12) �� пост � вр �. � (3.11) �� пост � ∑��вр �; ∑�� значения �пост � ∑�� ; (3.13) Аналогично этому находят объемлющей эпюры попе-(3.13) �� пост � вр �; � � вр ��(3.14)]: � �пост � ∑��вр �. (3.12) речных сил [формулы (3.13), ∑��вр �� пост � ∑�� . (3.14) �� пост � вр �. � (3.14) (3.13) (3.13) �� пост � ∑��вр �; �� пост � ∑��вр �. 93 (3.14) (3.14) 93 93 — 90 — 3.2. Последовательность выполнения расчета неразрезной балки на временную и постоянную нагрузки методом фокусных отношений 1. Вычислить левые и правые коэффициенты фокусных отношений. 2. Загрузить балку постоянной нагрузкой. Для полученного загружения балки вычислить: – фиктивные реакции нагруженного пролета; – опорные моменты нагруженного пролета; – опорные моменты ненагруженных пролетов; – момент в середине нагруженного пролета. По полученным значениям построить эпюру Мпост. По построенной эпюре изгибающих моментов построить эпюру поперечных сил Qпост. 3. Загрузить балку временной нагрузкой последовательно во все пролеты балки. Для каждого загружения балки вычислить: – фиктивные реакции нагруженного пролета; – опорные моменты нагруженного пролета; – опорные моменты ненагруженных пролетов; – момент в середине нагруженного пролета. По полученным значениям построить эпюры Мiвр. По построенным эпюрам изгибающих моментов построить эпюры поперечных сил Qiвр. 4. Построить объемлющую эпюру изгибающих моментов Моб. 5. Построить объемлющую эпюру поперечных сил Qоб. 3.3. Вопросы для самоконтроля 1. Дать определение неразрезной балки. 2. Дать понятие фокуса. 3. Сформулировать понятие «фокусное отношение». 4. Сформулировать понятие «коэффициент фокусного отношения». 5. Записать формулу для левых коэффициентов фокусного отношения. 6. Записать формулу для правых коэффициентов фокусного отношения. — 91 — 7. Пояснить формулы для определения моментов нагруженного пролета балки. 8. Пояснить сокращенные формулы для определения моментов нагруженного пролета балки. 9. Пояснить формулы для левых моментов ненагруженных пролетов балки. 10. Пояснить формулы для правых моментов ненагруженных пролетов балки. 11. Дать понятие фиктивной опорной реакции. Примеры определения фиктивных опорных реакций от различных типов нагружения. 12. Сформулировать порядок построения эпюры изгибающих моментов. 13. Сформулировать порядок построения эпюры поперечных сил. 14. Определение изгибающих моментов и поперечных сил в произвольном сечении неразрезной балки. 15. Сформулировать порядок построения объемлющей эпюры изгибающих моментов. 16. Сформулировать порядок построения объемлющей эпюры поперечных сил. 3.4. Пример расчета балки методом фокусных отношений Рассчитать заданную неразрезную балку (рис. 3.3) методом фокусов на постоянную нагрузку qпост = 2,0 кН/м и последовательное нагружение пролетов временной (подвижной) нагрузкой qвр = 1,5 кН/м. Рис. 3.3 Рис. 3.3 ��л � ∞ (прил. В) 1 �� 1 3 ∙ �2 � л � � 2 � ∙ �2 � � � 4; ∞ �� 3— 92 — �� 1 �� 1 3 л �� 2 � ∙ �2 � л � � 2 � ∙ �2 � � � 4,62; 4 �� 2 �� л � 2 � 1. По формулам (3.2), (3.4) определяем левые и правые коэффиРис. 3.3 циенты фокусных отношений: ��л � ∞ (прил. В) �� 1 3 1 ��л � 2 � ∙ �2 � л � � 2 � ∙ �2 � � � 4; �� 3 ∞ �� 1 3 1 Рис. � 3.3 � � 4,62; ��л � 2 � ∙ �2 � л � � 2 � ∙ �2 �� 4 �� Рис.2 3.3 л В)1 �� ∞ �(прил. 2 1 � л 2 � В) ∙��2 � л � 1 � � 2,89; � 1 � 2 � 4 ∙3�2 � 4,63 (прил. ��л ��∞ � � л � � 2 �� ∙ 1�2 �� л � � 2 � ∙1�2 � � � 4; �� 3 � ∞ � 3 � � �� 1 2� � ∙ �24 � � �1 4; �� л � 2л � ∙ �2 � 32 � �2 �� 2� � �∙��2 ∞� ��л� л � 1� � 3,32� л �� 1 � � 2 � 5 3 ∙ �22,89 �� ∙ �2 � �� 4,62; 2� л 1 � 1 3 пр � 4 2 �� В) �� (прил. ��л ��2� �� ∞∙ �2 � л � � 2 � ∙ �2 � � � 4,62; 4 � 2 � 1 � 1 2 � � � пр � 2,89; ��л�� 2 �1 � ��4,5; 2�� ∙ ∙�2 �2��1 � 2��5 ∙ ∙�2 л �� 2 2 � � 1 � 1 2 � � л 4,63 � 4 � � � � 4 �∞� 2,89; ��л � 2 � ∙ �2�� л � � �2 � ∙ �2 � �� 1 4 4 4,63 11 пр 3,32� ��л�� 2�� ∙ ∙�2 �2��1 � 2��4 ∙ �2 л �� 2 2 �2 � 2,89��5,56; � 1 � � 1 4 � � ��л� 25 4,53,32� � �� л � 2 � пр ∙ �2�� л � � �2 � �2 � �� В)1 5 � �� ∞ �(прил. 2 2,89 1 � пр� пр 2 � В) ∙��2 � л � � 2 � ∙5�2 � 1 � � 3,21; ��∞пр�(прил. �� 1 � 3 5,55 �� 2 � �� ∙ 1�2 ��л � � 5 2 � 4 ∙1�2 � ∞� � 4,5; пр �� 1 2 � ∙ �23 � 14,5; � � 2 � ∙ �2 �� пр �� пр� �2� � �∙��2 ∞ � 1 � � 3,69� ��л� л � 1 � 42 � 3 ∙4�2 � 3,21 � � � � 5,56; �� 2 � �� 2 � �� ∙ 1�2 ��л � � 4 2 � 2 ∙1 4,5 пр � � 5,56; �� 2 � ∙ �2 � � � 2 � ∙ �2 � л 2. Построение и1 поперечных сил от 2 моментов �� изгибающих 2 4,5 � � 1 пр �� эпюр � � 3,21; �� 2 � ∙ 1�2ℓ� �� 2125 � ∙ �2 � л ф ф 1 � 2 постоянной � 5,55 пр � нагрузки: 3 � 10,42 �пост �� ; 2,0 ∙∙ �2 � ∙� � �� 2 � � � 3,21; �� ∙ � �2�� 2 24 1 3 24 3 5,55 1 �� лизгибающих а) построение моментов: пр �� эпюры � � 3,69� �� 2 � ∙ �2 � л� � 2 � ∙ �2 � 1 3 � пр � 3 1 3,21пролета (табл. А.2 � –– определяем фиктивные � � � 3,69� �� 2 � �2 � ∙ �2 � �реакции � 2�� ∙загруженного л ф 3,21 3 �� 10,42 прил. А): � �3,�6 ��; �� 6 ∙ �л � �6 �∙ ℓ� 5 ∙ 3,32 125 ф ф �� ℓфпост ∙л �125 � 10,42 �� ; � ф 2,0 ∙ 24 10,42 ∙ �3,32 � 10,42 ф ф �� ∙ �� 24 � �� 6 � 10,42 �� ; ∙ �пост � 0; ∙ ∙ 24 л� 2,0 пр 24 � �6 ∙ 5 ∙ �3,32 ∙ ∞ � 1�(3.6), так –– определяем моменты нагруженного пролета по формуле �� ∙ �� ∙ �� 1� как загружен крайнийфправый пролет по формуле (3.7): �� 10,42 ф ∙ � �3,�6 ��; � �6 ∙ �� 6 �� л 10,425 ∙ 3,32 � � �3,�6 ��; �� 6 ∙ л � �6ф∙ ф �� ∙5�∙�л3,32 10,42 ∙ 3,32 � 10,42 � �� ф ф �� 6 � 0; �10,42 �6 ∙ ∙ 3,32 � 10,42 л � пр �� ∙∙��л∙ �� 5 ∙ �3,32 ∙ ∞ � 1� ∙ � � 1� � � � � �6 ∙ � 0; �� 6 ∙ пр 5 ∙ �3,32 ∙ ∞ � 1� �� ∙ ��л ∙ �� 1� –– определяем моменты ненагруженных пролетов по формуле (3.10), так как ненагруженные пролеты расположены слева от нагруженного пролета: — 93 — 96 96 96 �� 3,76 � 1,30 ��; л �� 2,89 �� 1,3 �� 3,76 � �0,28 ��; �� л�� л ��1,30 ��; 4,62 �� 2,89 �� 0,28 �� 1,3 � � 0,07 ��; �� л�� л��0,28 ��; 4 �� 4,62 �� 0,07 �� 0,28 � � л ��0,07 ��; � 0; �� л�� ∞ � 4� �� 0,07 �� среднее � � значение � � 0; эпюры моментов нагруженного –– определяем ∞� |�� | � |�� | 2 ∙ 25 3,77 � 0 ��л ср �� 4,37 ��; � � � � � пролета: 2 8 2 8 � �� |�� | � |�� | 2 ∙ 25 3,77 � 0 ср �� ℓ�� 4,37 ��; ф 8� 1,5 ∙ 272 � 1,69 �� ; 8 �ф � �2 � � � �вр ∙ 24 24 –– по полученным значениям изгибающих моментов строим эпюру 27 ℓ�� ф ф � пост � � � � � � ф пр ф � 1,69 �� 1,5 ∙ ∙ �3,76 М (рис. � 3.4, � а); вр � �� ∙24 �� ; ; 1,69 ∙ 2,69 � 1,69 1,30 �� л24 � � � 0; ∙ 2,89л пр сил (рис. � �63.5, ∙ а): � ��6поперечных б) построение эпюры 3 ∙ �2,69 ∙ ∞ � 1� � ∙ ф�� ∙ �� 1� ф�� пр �1,3 �3,76 1,69 ∙ 2,69 � 1,69 ��ф� эпюры � и�построения –– порядок расчета поперечных сил аналогичен � ∙л�� ; �0,28 ��; � ∙�� 0; �6∙ ∙ 1,69 �� 6 � 1,30 л� � пр� 4,62 � л � ∙�0,91 ��; �6 ∙ � �6 � 2,89 �� ∙ ��балки �2,69 3 ∙ ∞ � 1� пр ∙ �� 1� порядку при расчете уравнением 3-х моментов (см. пример 3 ∙ 3,69 � � �0,28 � � �� ф �1,3 � 0,07 ��; � � � 1,69 ��; 1.4.6).�� л �� л � �0,28 � �0,91 ��; �� 6 �� 6 ∙ 4 ��∙ пр4,62 � �0,91 3 ∙ 3,69 � � � � �0,07 3. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил от � ��0,28 � � � � � � � пр �� 0; � 0,28 ��; �� л 3,21 � 0,07 ��; � � � � � л ∞ � временной нагрузки, расположенной в первом пролете: � 4 � �� 0,91 �� 0,28 � �0,07 � 0,28 ��; �� пр� � � а) построение эпюры изгибающих моментов: � �0,05 ��; � � � � пр � 0; �� 3,21 5,55 �|� 2 ∙ 25 3,77 � 0 � | � |� �| срл� � ∞ � –– определяем � фиктивные загруженного пролета (табл. � � � 4,37 ��;А.2 � � � �реакции 0,28 �� 2 �0,05 8 8� ��0,05 ��; �� пр�� пр � 0,01 ��;2 � � прил. А): 4,5 3,77 � 0 �� |�� |5,55 ��|� � � | � 2 ∙ 25 ср ℓ 27 � 4,37 ��; � �� ф�� 0,01 � ф �0,05 �∙ 8 ��; �� 1,5 ∙ � 0; �21,69 �� ; 0,01 �� 8� пр � ��2�врпр �� 24 24 4,5 �� ∞ �� 27 ф пролета�по формуле (3.5), так ℓ�0,01 � ф ф �� –– определяем моменты нагруженного ф пр �∙ 0;� �� 1,69 ��1,69 �� ∙ �� 1,5 ; пр�� 2,69��01,69 � � � 24 | � �|�� |� �6 1,5∙ ∙ 9 ∙0,91 ∞� ∙ �|� � вр �пр ср ∙24�� 0; как загружен�крайний левый пролет по�формуле (3.8): � ��6 л � � � �2,69 3 ∙ ∙ ∞ �� 1�1,23 ��; � ��8∙ �� ∙ �� 2� 1� 2 8 ф прф ф 1,69 1,69 � � полученным изгибающих моментов строим эп |по | 1,5 ∙1,69 0,91∙ 2,69 �0 � 9 значениям �� �|� � ∙�� |� �� ср вр ∙ � �6 � 0; � � 1,23 ��; �� ∙ �6 ∙� � � �0,91 ��; � �6 ∙ � �6 пр л б); пр �� 8� (рис. 3.4, 3 ∙ �2,69 �� ∙ �� ∙�2�� 1� 38 ∙ 3,69 2 ∙ ∞ � 1� ф  по полученным значениям изгибающих моментов строим эпюру � 1,69 вр �6б); ∙ �пр�� 6 ∙ �0,91 �0,91 �� 3.4, �� (рис. � ф 27��; ℓ��0,28 ф �� ; �� 3 ∙ 3,69 пр � 1,69 �� ; � 1,5 ∙ � ∙ �� вр 3,2124 �� 24 � –– определяем моменты пролетов по формуле (3.9), ��ℓненагруженных 0,2827 � ф ф�� � �0,91 � определяем нагруженного по формулам (3 �0,05 ��; � ��1,5 � 0,28 ��; � � � � � � 1,69 �� ∙ �моменты � � � � ∙ ; справапролета � � пр � пр вр� 5,55 так как��ненагруженные пролеты расположены от нагру3,21 24 �� 24 (3.6): �0,28 �0,05 �� моменты женного пролета:  � определяем � 0,01 ��; пролета по формулам (3.5) и ��пр ��пр � � � �0,05нагруженного ��; � � � 4,5 ��5,55 �� (3.6): ��0,05 �0,01 �� 0; 0,01� ��; �� пр��пр � � � ∞ �� 4,5 �� — 94 — 97 �� 0,01 �� пр �� |� |��0;|� | 1,5 ∙ 9 0,91 � 0 � � � ср ∞ � 1,23 ��; �� 2 8 2 8 �� 3 ∙ �2,69 ∙ ∞ � 1� 1� �� фл �пр� �� ∙ф��∙ �0,07 � ��; �ф��∙ �пр 1,69 ∙ 2,69 � 1,69 4�ф � � �ф �� 6 ∙1,69 1,69∙ 2,69 � 1,69 � 0; � � �6 ∙ ��∙ �л� �пр�0,07 � �6 � 0; �� 6 ∙ �� ∞ � 1��; � ∙�0,91 � ∙ � ∙ 3 ∙ �2,69 ∙ �� 1��6 пр пр �� л��∙ � � �� 0; � �2,69 ∙ ∞ � 1� 3 3 ∙∙ 3,69 � ∙ �� ∙ � 1� л � ф � � ∞� � �ф � 1,69 �� 6 ∙ ��пр � �6 ∙ 1,69 � �0,91 ��; � �0,91 ��; �� 6 ∙ �� пр ��∙ 3 ∙ 3,69 �0,91 � � �6 3,69 �� |�� | 3� �∙ |� � � | 2 ∙�25 0,283,77 ��;� 0 ср � � � 4,37 ��; � �� пр � 3,21 � 2 2 8 8 �� 0,91 � 0,28 � �0,91 � �� 0,28 ��; � � �� 0,05 ��; пр � 0,28 ��; �� пр�пр� �� 3,21 5,55 27 �� ℓ� � ф� ф 3,21 � �� 0,28 �� 1,69 �� ; � 1,5 ∙ �вр�∙ �0,05 �24 24 0,28 � �0,05 ��; �� пр�� пр � ��;� 0,01 ��; �� 0,05 �� пр� �� 5,55 4,5 5,55ф�� пр �� ф �� 0,05 ��∙�� 0,01 1,69 ∙ 2,69 � 1,69 �� 0,05 � 0,01 ��; �� пр� � � � 0; �6 ∙ ��6 � � � � 0; ∙ пр ��; прл� 0,01 �� пр� �� ∙4,5 3 ∙ �2,69 ∙ ∞ � 1� �� ∙ �� ∞ 1� � �4,5 �� 0,01 ф �значение 1,69 � 0; эпюры � � �� пр � ��0,01 � –– определяем моментов нагруженного � ��|� �0,91 ��среднее �6 ∙ �6 0;�∙| � |�� | � 1,5 �� ∞ �� пр 0,91 � 0 ∙ 9 ��; �� пр � � ср 3 ∙ 3,69 � � ∞ � � � 1,23 ��; � � � �� пролета: 2 8 2 8 � |� | |� | �� 1,5 ∙ 9 0,91 � 0 �  по полученным значениям изгибающих моментов строим эп � � ср ��| � |��0,91 |� | �1,5 ∙ 9 �0,91 � 0 � 1,23 ��; �ср� ��вр�� 0,28 ��; � � � � (рис. 3.4, б); �� 8 � � пр 2 3,21 � 8 � 2 � 1,23 ��; 2 8 8 полученным � 2  по значениям изгибающих моментов строим эпюру –– поврполученным значениям изгибающих моментов строим строим эпюру � 0,28  по полученным значениям изгибающих моментов эпюру � (рис. 3.4, б); �вр � �0,05 ��; � � � � � (рис.3.4, 3.4,�б); б); ф� пр ф 5,55 ℓ�� 27 �� (рис. � � � �� ∙ � 1,69 �� ; � 1,5 ∙ �� вр �� поперечных �0,05 24 3.5, б): 24 сил (рис. б) построение эпюры � � 0,01 ��; ��ф � � пр ℓ� � 27 ф �� 4,5 эпюры –– порядок поперечных сил аналогичен моменты нагруженного пролета по формулам (3 � 1,69 �� ф ��и�построения ; �ф расчета � � 1,5 ∙27 �∙ ℓопределяем � 1,69 �� ; ∙ �� врвр�∙ � 24� 1,5 24 �0,01 порядку при расчете балки уравнением 3-х моментов (см. пример 24 24 (3.6): � 0; �� пр � �  определяем моменты ∞ нагруженного пролета по формулам (3.5) и � � 1.4.6). определяем моменты нагруженного пролета по формулам (3.5) и (3.6): 4. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил от (3.6): �� |�� | � |�� | 1,5 ∙ 9 0,91 � 0 ср � 1,23 ��; �� во втором � временной нагрузки, расположенной пролете: 2 8 2 8 а) построение эпюры изгибающих моментов:  по полученным значениям изгибающих моментов строим9797 эпюру вр �� (рис. 3.4, б); –– определяем фиктивные реакции загруженного пролета (табл. А.2 прил. А): ф ф ф пр �� вр ∙ ℓ�� 27 � 1,5 ∙ � 1,69 �� ; 24 24 –– определяем моменты нагруженного пролета по формулам и определяем моменты нагруженного пролета по(3.5) формулам (3.5) и (3.6): (3.6): �� 6 ∙ ф �� ∙ �� 1,69 ∙ 3,21 � 1,69 � �6 ∙ � �0,63 ��; пр 3 ∙ �4 ∙ 3,21 � 1� �� ∙ ��л ∙ �� 1� ф ф �� ∙ ��л � �� 1,69 ∙ 4 � 1,69 � �6 ∙ � �0,85 ��; �� 6 ∙ пр л 3 ∙ �4 ∙ 3,21 � 1� �� ∙ �� ∙ �� 1� –– определяем моменты М3, М4 и М5 ненагруженных пролетов по �� 0,63 � 0; ненагруженные пролеты расположены � � так как �формуле � � � л (3.9), ∞ �� справа � от нагруженного пролета, и момент М0 ненагруженного �0,85 � � 0,15так ��; �пролета � по�формуле (3.10), как ненагруженный пролет распо� � � пр 5,56 �� ложен слева нагруженного пролета: �� от 0,15 � �0,03 ��; �� пр � � — 95 — 4,5 �� 0,03 � 0; �� пр � � ∞ �� 97 3 ∙ �4 ∙ 3,21 � 1� ��ф∙ �� ∙ �� 1� ф пр �� ф∙ �� пр� �� ф ф л 1,69 ф ∙ 3,21 � 1,69 � ∙ �� ∙ �1,69 1,69 ∙ 4�0,63 � 1,69��; �� 6 ∙ � �� ∙ 3,21 1,69� пр� �� 6 л∙ ��6 � �0,85 ��; �6 ∙� ∙ 3,21 � 1��4 � �0,63 ��; � � ∙ �� ∙ �� ∙ � 1� пр ∙3 ∙ �4� �� 6 �∙� � л� �6 3 ∙ ∙ 3,21 � 1� л � пр�� ∙ �� ∙ � � 1� 3 ∙ �4 ∙ 3,21 � 1� �� ∙ф��л∙ �� ф� 1� � �� ф∙ �� л� �� ф 1,69 ∙ 4 � 1,69 �� 6 ∙ ��л ∙ ��пр� �� 6 ∙ 1,69 ∙ 4 � 1,69 � �0,85 ��; �� 1� �0,63 �� 6 �∙� ∙ �� л∙ ��пр � �6 3∙ ∙ �4 ∙ 3,21 � 1� � �0,85 ��; �� 30; ∙ �4 ∙ 3,21 � 1� �� ∙�� ∙ ��л � 1� ∞ � �� 0,63 �� 0,85 �� 0;� �� пр � 0,15 ��; � ��0,63 л �� л � � ∞ �� 0; 5,56 ∞� �� 0,85 0,15 � �� пр �� 0,85 �5,56 � пр��0,15 � ��; � �0,03 ��; � �� пр � � �� 0,15 4,5��; 5,56 � �� 0,15��ф пр �0,03 ф 1,69 ∙ 3,21 � 1,69 ∙ �� 0; �пр��0,03 ��; �� пр �� 0,15 � � � � ��6 � �0,63 ��; � ∙ � �6 ∙ 4,5 ∞ � �0,03 ��; �� л пр � пр 3 ∙ �4 ∙ 3,21 � 1� ��ф ∙ �� ∙ �� 1� 4,5 �ф� пр �0,03 � � 1,69 � 1,69 �� 0,03 �значение ф 0; л эпюры ф ∙ 3,21 � �∙� � �� –– определяем среднее моментов нагруженного ��6 � ∙� �пр � � ∙� � ��|� �∙ 4�0,63 ��; �� 6 ∙��|� � |� � | пр ∞ 1,5 ∙ 91,69 0,63 �1,69 0,85 �� 0; �� л� � � � ср � 0,95 �0,85 ��; � �6 ∙ � �6 ∙� пр �4 � 3 ∙ ∙ 3,21 1� � ��∙ �� ∞1�� л пр � � ��; � пролета: �� ∙�� 4 3 ∙ ∙ 3,21 � � � ∙ �� ∙ � � 1� � � � �2 8 2 1� ф ф8 л �� ∙|� 1,69 ∙ 4 � 1,69 изгибающих моментов строим эп �� |� по �� | � 1,5∙∙ 9 значениям 0,63 � 0,85 � �0,85 ��; � � |�полученным � � �6 ��  �� ср �6 ∙ ��вр л |�пр �� ср� �� | |� | 1,5 ∙ ∙9� �� 0,63 �4 ∙0,63 3 3,21��0,85 1� � 0,95 ��; ∙ �� ∙ � 1� � � в); � �(рис. 3.4, � � � 2 �� 8�� 2л � � � 8 � 0;� � 0,95 ��; 2 ∞ 8 изгибающих ��2 значениям  по 8полученным моментов –– по полученным значениям изгибающих моментов строимстроим эпюруэпюру вр �  3.4, полученным значениям изгибающих моментов строим эпюру �� по �0,63�� 0,85 8 ℓ в); ��вр(рис. � ф ф � 0; � 3.4, �� 1,5 0,15∙ ��; � �� ∙ �� 0,5 �� ; � (рис. в); �� (рис. � ∞ ��пр� � �вр5,56 ��л3.4,в); 24 24 � �� ф �0,85 б) построение эпюры поперечных сил (рис. 3.5, в): 0,15 8 ℓ� � � ф � �� 0,15 �� 0,5 �0,03 �� 5,56 � �∙ ф��; пр ф ��; �� ф�� пр 1,5 �� ∙ ℓпр ;� 8�� вр �� ф� �4,5 ∙ 5,56 � 0,5 ��поперечных –– порядок расчета построения сил аналогичен 24 24 �∙ ∙ эпюры � �� и 0,5 �� ∙ ��6�∙ 1,5 ;�6 ∙ 0,5 вр � � �0,28 ��; � � � 24 24 пр л �при 0,15 ��балки �0,03 � �4,62 2 ∙ ∙ 5,56 � 1� порядку расчете уравнением 3-х моментов (см. при� ∙ �� ∙ � � 1� �ф ��; � � � �0,03 �� пр �� ф пр � 0;ф0,5 ∙ 5,56 � 0,5 � � пр � � ф �� 4,5 л � � ф∙ �� пр� �� ф ∞ мер 1.4.6). ∙ 4,62 � 0,5��; ∙ ��6 � пр� � � � � �∙ �� 0,5 ∙ 5,56 �0,5 � �0,28 �� 6 ∙ � ∙ � � � � л �6 ∙ � 1� л� �6 � �6 ∙ �0,5 � �0,22 ��; �� ∙� � �0,03 2∙ ∙ �4,62 ∙ 5,56 1� � �0,28 ��; � � ∙ �� л∙ � пр� ∙ �� ∙ � пр � 0; �4,62 2 ∙ ∙ 5,56 � 1� изгибающих моментов и поперечных сил от � 1� � �5.� Построение �� пр�6 � ��эпюр 2 ∙ �4,62 ∙ 5,56 � 1� �� 1�� ∙ф∞ �� л∙ ��|�ф | |� | �� 1,5 ∙ 9 0,63 � 0,85 �� 0,5 ∙ 4,62пролете: � 0,5 ср�� ф∙ �� ф временной л � 0,95��; ��; �в третьем � �� нагрузки, �6 � ∙ � � �0,22 ��лрасположенной 0,5 � 20,5 � � � 2� �6 ∙ 2 ∙ �4,62 8 ∙ 4,62 8∙∙ ��пр��1� ∙ 5,56 � 1� � �0,22 ��; � ∙ �� 6 ∙ � �6 ∙ � эпюры � л �� пр �0,28 а) построение изгибающих моментов: |��полученным �4,62  ��|� значениям изгибающих ∙ 9 0,63 �� |� ∙ 0,85 ∙ 5,56 � 1� моментов строим эпюр ∙ по �� ∙| ��1,5 � 1� ср �� 2�0,07 ��; � �� л �� 0,95 ��; (табл. А.2 �� вр�(рис. 4загруженного –– определяем пролета 3.4, 2 8 2 в); ��реакции 8� фиктивные � �0,28 � 0,07 � �  �А): по полученным изгибающих моментов строим эпюру прил. ��; � 0; �значениям � � �� 0,28 вр л �� л��0,07 � ∞ �� (рис. 3.4, ��;8 � �� фл � �ф 4 �� ℓ0,07 ��в); � 1,5 ∙ � 0,5 �� ; �� 0,07 �вр� ∙ 24 � 0,22 � �4� 24 �� 0,05 ��; � �пр0;� � � �0,07 �� л �� 8 0; 4,5 �� ф � ��моменты � � ∞ нагруженного ф � л ℓ� � –– определяем пролета по формулам (3.5) и � 0,5 �� 1,5 ∙ ∙ ; ф пр ф ∞ � вр�� 0,22� �24 0,5 ∙ 5,56 � 0,5 � �� 24 �� ∙ �� 0,05 � 0,05 ��; �� 0,22 � 0; � � � � пр (3.6):�� 0,28 ��; �6 ∙ � �6 ∙ � 4,5 пр л пр �� пр � � ��∙ � ��; ∞ 2 ∙ �4,62 ∙ 5,56 � 1� ��0,05 � ∙ �� 1� ф пр ф 4,5 � � ��∙ �� 0,05 0,5 ∙ 5,56значение � 0,5 � определяем �� ф л среднее ф эпюры моментов нагружен ��0; 0,5 ∙ � 4,62 � 0,5 � ��6 � ∙� пр � пр0,05 �∙ � �6 ∙ �� 0,28 ��; �� л � �0,22 ��; � � �6 ∙ � �6 ∙ � 1� �4,62 ∙ 5,56 ∙ �� ∞� 1�� 0; � �� пролета: � пр2 ∙ л ��∙�� пр 2 ∙ �4,62 ∙ 5,56 � 1� �ф� ∙ �� ∙ �� 1� �ф� л ∞  определяем значение эпюры �� ∙ �� среднее 0,5 ∙ 4,62 � 0,5 моментов нагруженного �среднее значение эпюры моментов нагруженного � �6 ∙ � �0,22 ��; �� �6 ∙ определяем пр л пролета: �� ∙ �� ∙ �� 1� �0,282 ∙ �4,62 ∙ 5,56 � 1� � пролета: � 0,07 ��; �� л � � ��М и М 4ненагруженных пролетов по форму–– определяем моменты 4 5 �� 0,28�� 0,07 98 ле расположены справа от 0,07 � � так �как ��(3.9), �� ненагруженные 0; � �� ;�пролеты 98 4 ��л ��л ∞ нагруженного пролета, М0 и М1 ненагруженных проле�� 0,07 �� и моменты 0,22 �� по � �формуле �� (3.10), � 0,05 ��; � � 0;� � тов ∞ ��пр так как ��л 4,5 ненагруженные пролеты располо�� от нагруженного 0,22 �� жены слева пролета: 0,05 �� пр �� пр0,05 � ��; � 0; � � 4,5 �� ∞ �� — 96 — ��  0,05 определяем среднее значение эпюры моментов нагруженног � 0; �� пр � � ∞ �� пролета:  определяем среднее значение эпюры моментов нагруженного �� 6 ∙ ф � ф �� ∙ ��л � �� 0,5 ∙ 4,62 � 0,5 � �0,22 ��; � �6 ∙ пр 2 ∙ �4,62 ∙ 5,56 � 1� �� ∙ ��л ∙ �� 1� �� 0,28 �� 0,07 ��; 4 ��л �� 0,07 �� л � � � 0; ∞ �� 0,22 �� пр � � � 0,05 ��; 4,5 �� 0,05 �� пр � � � 0; ∞ ��  определяем среднее значение эпюры моментов нагружен �� –– определяем среднее значение эпюры моментов нагруженного пролета: пролета: � � |� | � |1,5 ∙1,5 9 ∙ 0,28 � 0,22 9 0,28 � 0,22 �| � � � |�|� срср �� | � �|�� 0,5 ��; �8 � � 2 � 0,5 ��; �� 8 � � 2 2 8 2 8  попополученным изгибающих моментов строим эпюру эпюр –– поврполученным значениямзначениям изгибающих моментов строим эпюрустроим полученным значениям изгибающих моментов ��вр (рис. 3.4, г); �� (рис. (рис. 3.4, 3.4, г); г); б) построение эпюры сил (рис. 3.5, г): 64 ℓ�� поперечных ф ф � � 4 � � 1,5 ∙ � � � � ∙ ; 64 ℓ вр �ф � ф � –– порядок эпюры�� поперечных 24 24 � 4 �� ; сил аналогичен �� расчета � 1,5 ∙ � �� и�построения ∙ вр 24 24 порядку при расчете балки уравнением 3-х моментов (см. приф пр ф � 4 ∙ 4,5 � 4 ∙ � � � � ф � пр � мер 1.4.6). ф � �6 ∙ �� 6 ∙ л ∙ �пр � � � ∙ 4,5 �� 4 �1,75 ��; �2,89 4 ∙ ∙4 � 1� ∙ �� ∙изгибающих �� 1�� 6. Построение моментов и4,5 поперечных сил от ��; � �1,75 � �6 ∙ �� 6�∙�эпюр пр ф �лл |� ф| �2,89 4 ∙ ∙ 4,5 � 1� |� | 0,28 � 0,22 1,5 ∙ 9 �� ∙ �� ∙ � � 1� � 4 ∙ 2,89 � 4 ∙ � � � � � � ср � �� временной в∙ четвертом � 0,5 ��; ��; � пролете: �� нагрузки, � �0,94 �6� ∙ � �� расположенной ф �прл ф� �6 � л8 80,224∙ 4,5 29 � �2,89 4 ∙ �21�� 4 � ∙ �� ∙ � � 1� � ∙ 2,89 ∙ � � � |� | |� | 0,28 � 1,5 ∙ �� а) построение эпюры изгибающих моментов: � � �� ср  ∙ по полученным значениям изгибающих строим � �0,94 ��; эпюр �6 �6 ∙ � 0,5 ��; моментов � � �� л� пр8 ∙ 4,5 �(табл. 1� А.2 2 4 ∙ �2,89 8�вр (рис. –– определяем фиктивные пролета �2� ∙ �� 1�загруженного г);� ∙реакции � �� 3.4, �1,75 прил.по полученным значениям изгибающих моментов строим эпюру � 0,38 ��; �А): � �� л �� вр 4,62 �� (рис. 3.4, г); �� 0,38 �1,75ℓ� 64 ф 0,38 ��ф� л�� вр�0,09 ∙ �� 1,5 ��; ∙ � 4 �� ; ��; � � � 24 24 4 4,62 ��л�ℓ�� 64 � ф ф � 0,38 ––�определяем нагруженного пролета по формулам (3.5) и �� 1,5 ∙ ф �пр4 �� врмоменты ∙� � ��0,09 ; ф��; � �� 0,09 � � � � � �� л 24 � 0; �24 4 ∙ 4,5 � 4 ∙ � � � л� � � � � 4 � (3.6): ∞ �� 1,75 ��; � �6 ∙ � �� 6 ∙ пр л �2,89 4 ∙ ∙ 4,5 � 1� �� ∙ �� ∙ �� 1� �� 0,09 ф ф � �пр �0,94 � � ф 0; ф 4 ∙ 4,5 � 4 �� пр∙ �л��∞ � ��∙�6 4 ∙� 2,89 � 4 ��; ��л 0; � ��л� пр � ∞ ∙ � �1,75 �� 6�∙ �� 0,94 ��; �6� ∙ 1� � л пр4 ∙��2,89 � �6 ∙ 4,5∙ � 1� �� ∙ �� ∙ � � �2,89 4∙ ∙ 4,5 � 1� �� 0,94 �� ∙ �� ∙ �� 1� ф ф л � �ср� � �� ∙пр �� |�� | �1,50;∙ 9 4 ∙1,75 � 4 �|� �| � ∞��6 ∙ � 2,89��0,94 �� пр �0,94 �� 6 �� 1,65 ��;��; �� ∙ � л �2� 1� �1,75 2 � 1� 84 ∙ �2,89 ∙ 4,5 �� ∙8�� ∙ �� 0,38 ��; � �� л ��  по � полученным значениям изгибающих моментов строим эпюру 4,62 � � � вр 1,75 �по 0,94 1,5 ∙ 9 пролета �� |� � |�0,38 ––� определяем М формуле (3.9), �5| ненагруженного �| ср3.4, момент (рис. д); � �1,75 � � � 1,65 ��; �� 0,09��; � �� 0,38 ��; � � � � � 2 8 8 так справа от нагружен� как ненагруженный л 4 расположен ��л 2пролет 4,62 � � ф � по значениям изгибающих моментов �ℓ�� ф 0,38 ного пролета, иполученным моменты М�0,09 , 125 М1 и�М7,81 ненагруженных пролетовстроим эпюр � 0∙ 2 вр �� 1,5 � � ∙ ; � 0; � � � � пост � л � (рис. ��24 �0,09 ��; � � л 3.4, � �д); так �� ∞24 по формуле пролеты расположены � как ненагруженные 4 �� (3.10), � �0,94 � �0,09 слева от�нагруженного пролета: ф � �� пр0;�� 0; �� ф л � � ℓ 7,81∞ 125 ф � �� ∙ ∙ � � 1,5 � �2,82��; � �6 7,81 �� ; ∙ ��∙ ��∞�л пост �� 6 3,32 � � 97 —24 245 ∙ — �� 0,94 ф л 0; �� пр � � ср ��ф �� |� � 7,81 ∙ �� | � |�� | 7,81 � 0,94 1,5 ∙ 93,321,75 � � �� 6� � 0;� 1,65 ��; ∙� ∞ ∙ � �ф л �пр � � �6 � 5 ∙ �3,32 ∙ ∞ � 1� 2 8 �� ∙�� 8∙ �� 1�27,81 � �� ∙��ф� ∙ � 4 ∙ 4,5 �пр�� ф 4 ∙� 4,54 � 4 � �1,75 ��; ф�� 6 л ∙ ф � пр� �� 4 ∙ 2,89��1,75 4 ∙ � � � л ��; � ∙�6 ∙ � �6 ∙ ��6 � � � �2,89 4 ∙ ∙ 4,5 1� пр �� ∙ � � ∙�� 1�|� л |� |� � �0,94 �� 6 �6 ∙ � 0,28 0,22 1,5 ∙ 94 � � ∙� ∙ �2,89 ∙� 4,5 � 1� �� ∙ �� 1� � | пр ср � � л � ∙��ф � �2,89 4 ∙ ∙ 4,5 � 1� ф � ∙ �� ∙ � � 1� � 0,5 ��; �� ∙ � ф� �� 8 4 ∙�2,89 �24 �ф�л ∙�� л� �8 � �2 4 ∙0,22 2,89 � 4 � �0,94 ��; � � �| �� пр �� ср � �6 ∙ �6 ∙ |� | |� 0,28 � 1,5 ∙ 9 �� по л� ��� �6 � �0,94 строим ��; эпю � �6 полученным значениям изгибающих моментов 4 ∙ 4,5∙ � ��∙∙ �� ∙ �л��∙ � ��пр1�� 1�0,5 ��; �∙ ∙�2,89 �вр 4 ∙ �2,89 4,5 � 1� �� ∙ �� 1,75 1� � � � �� (рис.8 3.4, ��г); � �2� л �� 8 � 0,38 2��; 4,62 изгибающих моментов строим эпюру �� значениям  по �� полученным �1,75 вр � �1,75 � 0,38 � � 0,38 ��; �� г); (рис. � � ℓ� ��; �3.4, � ��ф�� л�� 0,3864 � �0,09 ��; фл � � � 4 �� ; �� л�� 4,62 �вр4,62 4∙ �∙� � 1,5 �� 0,38 24 24 � �0,09 64 ℓ��0,38 ��0,09 ��; �� ф� ��фл� � �� 0; � ; �� ; 4�� ∙�0,09 �лвр ∙ 4� ф� � � л 1,5 пр ф 4 ∞ � 24 24 � � � 4 ∙ 4,5 � 4 ∙ � � � � � �0,09 � � � �0,09 �� 1,75 ��; �6 �� л�� ∙ �� 0; � пр �0,94� �6 ∙ л �� л�ф�� ∙пр��пр� ∙��ф� � 0; � 1� � 0; 4 ∙ �2,89 ∙ 4,5 � 1� � ∞ �� ∙ �∞ 4 ∙ 4,5 � 4 �� ф�� ф∞ ��∙ � �0,94 � �1,75 ��; �� 6 ∙��л0;� �� 6 ∙ �2,89 4 ∙ 2,89 � 4 пр л ��0,94 � � � � � � � 4 ∙ ∙ 4,5 � 1� ��6 ∙ �� ∙ значение �� 1� � � � пр � �0,94 ��; �среднее ∙ �� 6 ∙ �пр � 0;эпюры � –– определяем моментов нагруженного пр � � ∞ л �� 2,89 4 ∙∙ 9 ∙ 4,5��0,94 1� ∙ ф|� �� |��1� ∞ �� срф �∙��∙�� |�� | 4 1,75 1,5 л�� ∙ 2,89 � 4 � пролета: � � 1,65 ��; �� 6 ∙ �� л 8 пр� � �2 �6 ∙ � 8 � 2� �0,94 ��; � �2,89 4 ∙ ∙ 4,5 � 1� |� | |� | �� 1,5 ∙ 9 1,75 � 0,94 � � ∙ �� ∙ � � 1� � �|� � � � �� ср �по| � ��1,75 |� 1,75 � 0,94 значениям изгибающих моментов строи � �� ср�� | ��1,5 �∙ 9 � 1,65 ��; ��; �� полученным � 1,65 ��; � 2 � л 2 8 0,38 8�вр�(рис. �� 4,62 � 3.4, д); 2 8 2 8 � �1,75значениям изгибающих моментов строим эпюру   по �� полученным � значениям � – моментов строим эпюрустроим эпюру полученным значениям изгибающих моментов �изгибающих 0,38 ��; ��; �� по � �� 0,38 вр– по полученным л � �0,09 � � вр 3.4, д); �� (рис. � �� л 4,62 (рис. 3.4, д); 125 ℓ 4 � (рис. 3.4, д); � ф � � �� ф�� 0,38 � 7,81 �� ; � 1,5 ∙ � ��0,09 �пост ∙ б)� построение сил (рис. 3.5, д): 24 24 � �0,09 ��; � �л � �эпюры �� поперечных � �� 0; 125 ℓ4� ℓ� ф ф� �� 125 ∞ ∙ эпюры ��лпостроения �1,5 ф�расчета ф�пост � 7,81 �� ∙ ; �� –– порядок и поперечных � � 7,81 ��сил � �� пост ; аналогичен �� 0,09 ф 1,5 24∙ 24 7,81 24 ∙ 24�0,94 � � � � 0; � � � � порядку при 3-х моментов (см. при� � лрасчете � 0; � �балки �∙ �луравнением � � �6 � �� ф �� пр ∞ � � ∞ � �6 ∙ 5 ∙ 3,32 � �2,82 ��; � � �ф �0,947,81 мер 1.4.6). �� ф7,81л ф � �� 6 ��; �� ∙�6� ��0; 7,81 ∙ 3,32сил � 7,81 ∙ �� 2,82 � пр ∙� � �� лэпюр 7. Построение изгибающих моментов и поперечных от ��2,82 ��; ��6 � ∙��6 �∞ ∙3,32 � 5 ∙ �� л �6 � 0; ∙ �6 ∙ � 0,94 � | пр1,5 ∙ 9 � 1,75 �� |�� | � 5|�∙ л�3,32 ср �3,32 5 ∙ ∙ ∞ � 1� ф ф временной� нагрузки, расположенной в пятом пролете: � ∙ �� ∙ � � 1� л � 1,65 ��; � � � � � ф ф 7,81 ∙ 3,32 � 7,81 � � � � � �� ∙ � л �2 2 � 7,81 8 7,81 ∙ 3,32 8 �� ∙ �изгибающих � �6 ∙ моментов: � � � ��построение � 0;� 0; � а) эпюры |�полученным |� |1� ��1,5 1,75 � ∙0,94 ∙ 9�6 л� | �пр ��6 ��∙�6 ∙ �� ∙ � �� по ср �3,32  значениям изгибающих моментов 5 ∙ ∞ � 1�� пр ∙ ∙ � � �� ∙ �� л � 1,65 ��;А.2 строим эпю � � � � �3,32 � 5 ∙ ∙ ∞ ∙ �� 1� загруженного пролета1� вр � � –– определяем (табл. 2 8 2� реакции �� (рис.8фиктивные 3.4, д);  А): по полученным значениям изгибающих моментов строим эпюру прил. вр �� (рис. 3.4, д); ℓ�� 125 ф ф � 1,5 ∙ � 7,81 �� ; �� пост ∙ 24 24 � 125 ℓ� ф ф � –– определяем пролета по формуле (3.6), так � 7,81 �� 1,5 ∙ � �пост ∙ фнагруженного ; �� моменты 24 24 � 7,81 � правый пролет по формуле (3.7): как загружен крайний � �2,82 ��; �� 6 ∙ л � �6 ∙ 5 ∙ 3,32 ф �� 99 � 7,81 ф 9 ф �� 6 ∙ �л � �6 �� ∙ ��л � �� 2,82 ��; 7,81 ∙ 3,32 � 7,81 5 ∙ 3,32 � � �� 6 � 0; � �6 ∙ � �∙ пр л 5 ∙ �3,32 ∙ ∞ � 1� � � 1� ф � ∙ �� ∙ ф �� ∙��л �� 7,81 ∙ 3,32 � 7,81 �� 6 ∙ � �6 ∙ � 0; пр 5 ∙ �3,32 ∙ ∞ � 1� �� ∙ ��л ∙ �� 1� –– определяем моменты ненагруженных пролетов по формуле (3.10), так как ненагруженные пролеты расположены слева от нагруженного пролета: — 98 — 99 �� 2,82 � л �� 0,98�� 2,82 � �2,82 2,89 �� 0,98�� л� � � � 0,98�� л � � 2,89 �� 0,98 2,89 � � л �� 0,21�� 0,98 � 0,98 4,62 � �� л� � � � � �0,21�� л � � 4,62�� 0,21�� 0,21 � 4,62 � � л �� 0,05�� 0,21 � �0,21 4 � � 0,05�� л� � � �� л � � 4 �� 0,05�� 0,05 � � �4 л � � � 0� �� 0,05 � 0,05 ∞ � � �� л� � � � 0� 0� �� л � � ∞ �  определяем среднее моментов значение нагруженного эпюры моментов нагружен ∞ –– определяем �среднее значение эпюры �  ��определяем среднее значение эпюры моментов нагруженного �2,82 пролета: значение эпюры моментов нагруженного пролета: �среднее 0,98��  � лопределяем �� пролета: �� |�� | � |�� | 1,5 ∙ 25 �,�� 0 пролета: �� 2,89 ср � �,28�� |� | � |�� | 1,5 ∙ 25 � �,�� 0 � � �� 0,98 ср �� 2 8|�� | � 1,52∙ 25 � �,�� 8� 0 � �,28�� |�� |��0,21�� ср � л � �,28�� 8 2 2 8  по значениям изгибающих моментов строим эп � �� 4,62 2 8 изгибающих 2 полученным 8 врполученным  ��по моментов –– поврполученным значениям изгибающих моментов строимстроим эпюру эпюру �0,21 � (рис. 3.4, е); значениям  по� полученным значениям изгибающих моментов строим эпюру � 0,05�� 3.4, � вр� (рис. е); �� л � � 3.4, е); 4 �� (рис. (рис. �3.4, � е); �� 0,05 �пост3.5, � �� б) построение эпюры сил�(рис. е): вр �� 0�поперечных � � �� л �� пост � ��вр �� ∞ � � �пост �поперечных ��вр �� сил аналогичен �� эпюры –– порядок расчета и построения � �пост � ��нагруженного �� вр �,  определяем среднее значение эпюры моментов � � � �� , � порядку при расчете балки уравнением 3-х вр моментов (см. припост � �� пролета: � � �, �� пост вр � мерср1.4.6). |�� |вр �� ∑�� |� – � | 1,5 ∙ 25 �,�� 0 � �,28�� – � � ∑�� вр 8. После определения моментов в характерных сечениях балки 2 8 ∑��вр �8– ∑��вр2� – ∑�� –  по полученным значениям изгибающих моментов эпюру вр от постоянных нагрузок и временной, расположенной в строим различных вр ∑��вр � – �� (рис. 3.4, е); пролетах, в табличной форме (табл. 2) вычисляют формулам: �� пост �по �� вр �� пост � ��вр �� пост � ��вр �� вр��пост � ��вр �� пост � �� пост � ��вр �� пост � ��сил Объемлющую эпюру поперечных вр �� строят аналогичным образом �пост � �� вр �, Объемлющую эпюру поперечных сил строят аналогичным образом (рис. Объемлющую эпюру поперечных сил строят аналогичным образом (рис. 3.6, б). где3.6, Mпост б). – изгибающий момент в сечении от постоянной нагрузки; 3.6, б). ∑�� вр � – S(+M ) – сумма положительных изгибающих моментов в сечении ∑��врвр� – от временной нагрузки (отрицательные значения здесь не учитываются); S(-Mвр) – сумма моментов �� отрицательных �пост � ��вризгибающих �� в сечении от временной нагрузки (положительные значения здесь �� пост � ��вр �� не учитываются). Объемлющую эпюрузначениям поперечныхстроят сил строят аналогичным образом (рис. По вычисленным объемлющую эпюру изги3.6, б). бающих моментов. Для этого в характерных точках при каждом нагружении временной и постоянной нагрузками расчетные изгибающие моменты откладывают от горизонтальной оси (отрицательные – вверх, положительные – вниз) и полученные вершины соединяют характерными линиями (отдельно положительные и отдельно отрицательные (рис. 3.6, а). — 99 — 100 100 Рис. Рис.3.4 3.4 101 — 100 — Рис. 3.5 3.5 Рис. — 101 — 102 �� 2,82 � 0,98�� 2,89 ��л �� 0,98 �� л � � � �0,21�� 4,62 �� 0,21 � 0,05�� л � � 4 �� 0,05 � 0� �� л � � ∞ ��  определяем среднее значение эпюры моментов нагруженного пролета: �� |�� | � |�� | 1,5 ∙ 25 �,�� 0 ср � �,28�� 2 8 2 8  по полученным значениям изгибающих моментов строим эпюру вр �� (рис. 3.4, е); �� пост � ��вр �� пост � ��вр �, Рис. 3.6 Рис. 3.6 ∑��вр � – этому находят значения объемлющей эпюры ∑��врАналогично �– поперечных сил по формулам (3.13), (3.14) (табл. 3): �� пост � ��вр �� пост � ��вр �� 103 Объемлющую эпюру поперечных сил строят аналогичным образом (рис. 3.6, б). — 102 — Объемлющую эпюру поперечных сил строят аналогичным образом (рис. 3.6, б). Таблица 2 Определение изгибающих моментов в характерных сечениях объемлющей эпюры М от временной нагрузки № сече- Мпост ния (кНм) Mmax Mmin М2вр М3вр М4вр М5вр (кНм) (кНм) М1 (кНм) (кНм) (кНм) (кНм) (кНм) 0 опора 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1 пролет (середина) 0,04 −0,46 −0,32 0,03 −0,05 0,03 1,33 −0,33 1 опора 0,07 −0,91 −0,63 0,07 −0,09 0,05 0,19 −1,57 2 пролет (середина) −0,11 −0,32 −0,74 −0,10 0,14 −0,08 0,99 −0,60 2 опора −0,28 0,28 −0,85 −0,28 0,38 −0,21 0,38 −1,62 3 пролет (середина) 0,51 0,12 −0,35 −0,25 −0,69 0,38 1,51 −0,53 3 опора 1,30 −0,05 0,15 −0,22 −1,75 0,98 2,43 −2,02 4 пролет (середина) −1,24 −0,02 0,06 −0,09 −1,35 −0,92 0,47 −2,26 4 опора −3,76 0,01 −0,03 0,05 −0,94 −2,82 −3,71 −11,28 5 пролет (середина) −1,89 0,005 −0,02 0,02 −0,47 −1,41 7,68 3,88 5 опора 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 вр — 103 — Таблица 3 Определение поперечных сил в характерных сечениях объемлющей эпюры Q от временной нагрузки № сечения Qпост (кНм) Qmax Qmin Q2вр Q3вр Q4вр Q5вр (кНм) (кНм) Q1 (кНм) (кНм) (кНм) (кНм) (кНм) 0 опора 0,023 1,95 −0,21 0,02 −0,03 0,017 2,01 −0,217 1 пролет (точка перегиба) 0,023 0 −0,21 0,02 −0,03 0,017 0,06 −0,217 1 опора слева 0,023 −2,55 −0,21 0,02 −0,03 0,017 0,06 −2,767 1 опора справа −0,117 0,4 2,14 −0,167 0,157 −0,087 2,58 −0,371 2 пролет (точка перегиба) −0,117 0,4 0 −0,167 0,157 −0,087 0,44 −0,371 2 опора слева −0,117 0,4 −2,36 −0,167 0,157 −0,087 0,44 −2,731 2 опора справа 0,79 −0,17 0,5 1,54 −1,065 0,595 3,425 −0,445 3 пролет (точка перегиба) 0,79 −0,17 0,5 0 −1,065 0,595 1,885 −0,445 3 опора слева 0,79 −0,17 0,5 −1,46 −1,065 0,595 1,885 −1,905 3 опора справа −1,29 0,015 −0,038 0,068 3,203 4 пролет (точка перегиба) −1,29 0,015 −0,038 0,068 0 −0,95 −1,207 −2,278 4 опора слева −1,29 0,015 −0,038 0,068 2,797 −0,95 −1,207 −5,075 4 опора справа 5,75 −0,002 0,006 −0,01 0,188 4,314 10,258 5,738 5 пролет (точка перегиба) 0 −0,002 0,006 −0,01 0,188 −4,25 −0,002 0,006 −0,01 0,188 −3,186 −4,062 −7,454 5 опора вр — 104 — −0,95 0 1,996 −2,278 0,194 −0,012 4. РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ 4.1. Использование симметрии системы При расчете статически неопределимой системы с большим числом неизвестных приходится совместно решать канонические уравнения со многими неизвестными. Рис. Рис. 4.14.1 Рассмотрим, например, раму, изображенную на рис. 4.1, со�� ∙ δ�� из � �двух � �� ∙ δ�� контуров �� ∙ δ�� δ�� ∙ δ�� шесть стоящую замкнутых и,� ∙следовательно, � ∙ δ�� раз �� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � � �� При � расчете �� этой �� рамы � с��помощью �� статически ос� � �� неопределимую. �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� (4.1) новной системы, показанной на рис. 4.2, а, и эквивалентной систе�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� мы на рис. 4.2, б, необходимо составить и решить шесть уравнений � ��4.1 ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ��Рис. с шестью � �� ∙ δ�� ∙ (система δ�� ∙ δ4.1). �� ∙ δ�� неизвестными �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � � �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� (4.1) (4.1) �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� — 105 — Рис. 4.2 Рис. 4.2 Решение такой системы уравнений требует большой затраты времени. Однако то обстоятельство, что рассматриваемая рама является системой симметричной, у которой не только ее геометрическая схема (образованная осями стержней) имеет ось симметрии, но и жесткости симметрично расположенных элементов равны друг другу, позволяет значительно упростить ее расчет. Упрощение основано на возможности при расчете симметричных систем всегда так выбрать основную систему, чтобы Мi от каждого неизвестноРис.эпюра 4.2 го Xi была симметричной или обратно симметричной. Рис. 4.3 Если при расчете рассматриваемой рамы (рис. 4.1) в качестве основной системы принять, например, изображенную на рис. 4.3, а, то эквивалентная примет вид, показанный на рис. 4.3, б. Тогда эпюры М2, М3, М5 и М6 от симметричных единичных усилий X2, X3, X5 и X6 будут симметричными (рис. 4.4, б, в, д, е), а эпюры М1, М4 от обратно симметричных единичных усилий X1 и X4 (рис. 4.4, а, г) – обратно симметричными (косо симметричными). Рис. 4.3 Рис. 4.3 Если при расчете рассматриваемой рамы (рис. 4.1) в качестве основной 115 — 106 — на рис. 4.3, а, то эквивалентная системы принять, например, изображенную примет вид, показанный на рис. 4.3, б. Тогда эпюры М2, М3, М5 и М6 от симметричных единичных усилий X2, X3, X5 и X6 будут симметричными (рис. Если при расчете рассматриваемой рамы (рис. 4.1) в качестве основной системы принять, например, изображенную на рис. 4.3, а, то эквивалентная примет вид, показанный на рис. 4.3, б. Тогда эпюры М2, М3, М5 и М6 от симметричных единичных усилий X2, X3, X5 и X6 будут симметричными (рис. 4.4, б, в, д, е), а эпюры М1, М4 от обратно симметричных единичных усилий X1 и X4 (рис. 4.4, а, г) – обратно симметричными (косо симметричными). Рис. Рис. 4.44.4 Произведение симметричной эпюры на обратно симметричную Рис. 4.4 l M 1умножив n Так, эпюру равно нулю. эпюру М М � �� (рис. � �4.4, а) на �� эпюру � M2  dx � � � � �� 1 � � � � �� 2 (4.2) δ��   �� EI (рис. 4.4, б), получим i  10 формулу (4.2): n l M1 M 2 � ��  dx � � � � �� (4.2) (4.2) δ��   �� i  1 0�� ∙ EI δ�� ∙ δ�� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � Аналогично рассматриваемой рамы равны нулю все побоч� �� для δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ определяемые � ∙ δ�� симметричной ные перемещения, умножением эпю- (4.3) � ∙ δ � � ∙ δ � � � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � � � �� ры�на∙ δобратно эпюру, а именно: ,δ ,δ ,δ ,δ ,δ , ∙симметричную δ�� ∙�δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� δ12 ∙ δ� δ�� δ�� 13 15 16 21 24 � �� ∙� � ∙� δ�31�, �δ34 , δ , δ , δ , δ , δ , δ , δ , δ . ∙�δ� ∙ δ45�� ∙� ��51�∙ δ�� ∙64δ�� ∙ δ� δ�� δ�� δ�� 43� � 46 54 61 ��42� �� ∙� � ∙� (4.3) �� ∙ δ�� ∙ δ�� 107 ∙ δ��— � �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� — � ∙ δ � � ∙ δ � � � � � �� ∙�δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� (4.4) �� ∙ δ�� ∙ δ�� Рис. 4.4 n l M1 M 2 � ��  dx � � � � �� (4.2) δ��   �� EI n l M 1  M �� 2 i  10  dx � � � � �� δ��   �� вид В результате этого система канонических уравнений примет EI i  10 (4.3): �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � � �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙∙ δδ�� ∙∙ δδ�� ∙∙ δδ�� ∙ � � � �� ∙ δ�� δ�� (4.3) �� ∙ δ � � ∙ δ � � � � �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙∙ δδ�� ∙∙ δδ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙∙ δδ�� ∙∙ δδ�� ∙∙ δδ�� ∙ � � � �� ∙ δ�� δ�� ∙ δраспадется ∙ δ��независимые � �� ∙ δ�� (4.3) �� ∙ δ�� Таким образом, �система на��две системы уравнений �� ∙ δ�� (4.4) �� ∙ δи��(4.5): � �� ∙ δ�� ∙� � � �� δ�� δ�� ∙∙ δ � � �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ � �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� (4.3) (4.4) (4.4) (4.5) Первая из этих систем (4.4) содержит два обратно симметричных неизвестных и два уравнения, а вторая (4.5) – четыре симметричных неизвестных и четыре уравнения. Использование симметрии при выборе основной системы позволило решение системы из шести уравнений с шестью неизвестными заменить решением двух независимых систем, одна из которых содержит два уравнения с двумя неизвестными, а другая – четыре уравнения с четырьмя неизвестными. Это значительно сокращает объем вычислений и поэтому позволяет более точно определить значения неизвестных. Объем вычислений уменьшается не только в результате упрощения системы канонических уравнений и уменьшения количества подсчитываемых перемещений δ, но и потому, что эти перемещения могут теперь определяться перемножением соответствующих эпюр только для элементов одной половины сооружения (с удвоением полученного результата). Если симметричная рама имеет среднюю стойку, то подсчет пеРис. 4.5 ремещений δ от обратно симметричных неизвестных производится сначала перемножением соответствующих эпюр для элементов одной половины средней � �� ∙ (без δ�� стойки); затем полученный ре�� ∙ δ�� рамы � зультат удваивается результат перемножения �� ∙ δ�� и�к∙ нему δ�� прибавляется �� эпюр для средней стойки рамы. �� ∙ δ�� — 108 — 4.2. Группировка неизвестных усилий � 116 (4. (4. (4. Рассмотрим теперь симметричную раму, изображенную на рис. 4.5, а. Эта рама три раза статически неопределима. На рис. 4.5, б, показан один из возможных вариантов основной системы, а на рис. 4.5, в, соответственно эквивалентная система. Эта основная система несимметрична, так как закрепления нижних концов крайних стоек различны. �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� Несимметричны �1,�X2, X3. Однако эпюры �� ∙ δ�� ∙ δ�� и�неизвестные � ∙ δ�� ∙ δусилия �� X � � δ� ∙�действия δ� ∙ δ� ∙ δ�� ∙�δ�� ∙ δ� ∙ δ��(4.5) �� ∙ δ�� в�� основной ∙∙ δδ�� δ∙ �� ∙ δ�� моментов �� изгибающих от неизвестных �� ∙ системе �� ∙∙ δδ� �� δ∙ �� δ� δ� ∙эпюра � ∙ δ� ∙ δ�� ∙�δ�� ∙ δот � ∙ δ�� ∙ δ�� 4.5, � �∙ � ��симметричны, �� а � �� действия X1 = �1�и∙ δX�� =�1�(рис. не2 � ��г,�д)�� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � �� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � �� известного X3 = 1 (рис. 4.5, е)�обратно симметрична. � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � �� ∙ δ� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � �� Рис. Рис.4.5 4.5 Поэтому система канонических уравнений, состоящая из трех � � ∙ δ � �� ∙ δданной �� уравнений основной системе), распадется на две не(4.6) � � �� (при �� ∙ δ�� ∙ δ�� зависимые системы уравнений [формулы (4.6), (4.7)], это4.5 имеет Рис.как 4.5 Рис. �� ∙ при δ�� симметричных �� место и обратно симметричных неизвестных.(4.7) � ∙δ �� ∙δ �� ∙ δ� ∙ δ� ∙ δ� ∙ δ�� ∙ δ усилий �� ∙ δ�� 4.2. Группировка неизвестных � � � �� (4.6) При расчете сооружений, имеющих несколько пролетов, невозможно (4.7) �� ∙ δ� ∙ δ�� поместить все неизвестные на оси симметрии; поэтому для получения симметричных и обратно симметричных эпюр приходится принимать за Группировка усилий 4.2. Группировка неизвестных усилий неизвестные не отдельные4.2. силы, а группы сил.неизвестных При При расчете сооружений, имеющих несколько пролетов расчете сооружений, имеющих несколько прол — 109 — поместить все неизвестные на оси симметрии; поэтому дл поместить все неизвестные на оси симметрии; поэтом симметричных и обратно симметричных эпюрэпюр приходится симметричных и обратно симметричных приходип 4.2. Группировка неизвестных усилий При расчете сооружений, имеющих несколько пролетов, невозможно поместить все неизвестные на оси симметрии; поэтому для получения симметричных и обратно симметричных эпюр приходится принимать за неизвестные не отдельные силы, а группы сил. Для выяснения сущности этого приема рассмотрим шесть раз статически неопределимую раму, изображенную на рис. 4.6, а. Если для ее расчета выбрать основную систему, изображенную на рис. 4.6, б, то эквивалентная система примет вид, показанный на рис. 4.6, в. Это система с несимметричными лишними неизвестными X1, X2, X3, X4, X5 и X6, поэтому придется совместно решать шесть уравнений [система (4.8)], так как в этом случае ни одно из значений δ не будет равно нулю. Рис. Рис. 4.6 4.6 Если же за неизвестные принять не силы X1, X2, X3, X4, X5 и X6, а� группы сил Z2,�Z� , Z , Z и Z6 (рис. ��Z∙ 1δ, �� ∙ δ�� 4.6, �� г) ∙ δпри �� ∙же δ��основной � �� ∙ δ�� той 3 � ∙ 4δ��5 � �� системе, многие коэффициенты окажутся равными нулю, �� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ ��как �� ∙ δ�� то � �� так � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � � будут определяться симметричных эпюр � �� произведением � �� на обрат�� (4.8) � �110 � ∙ δ— �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� — �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� но симметричные эпюры. При этом Z1 будет представлять собой две одновременно действующие равные и противоположно направленные горизонтальные силы; Z2 – две равные горизонтальные силы, направленные в одну сторону; Z3 – две равные вертикальные силы, направленные вверх; Z4 – две равные вертикальные силы, направленные в противоположные стороны; Z5 – два равных противопоРис. Z 4.6– два равных момента, действуюложно направленных момента; 6 щих в одном направлении. �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � � �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� (4.8) (4.8) �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� Эпюры изгибающих моментов от указанных единичных групповыхгрупсил Эпюры изгибающих моментов от указанных единичных повых на сил изображены рис. М 4.7, г; из них эпюры М1, (рис. М3 и4.7, М5а,– изображены рис. 4.7, г; из нихна эпюры 1, М3 и М5 – симметричны а, в, симметричны д), а эпюры М , М4.7, иМ 2 4 в, д), асимметричны эпюры М2, М4 и(рис. М6 –4.7, обратно (рис. б, 6г,–е).обратно симметричны (рис. 4.7, б, г, е). 118 Рис.4.7 4.7 Рис. � � � 111 , ��— — � �� , (4.9) (4.10) Сопоставив две эквивалентные системы, изображенные на Рис. рис. 4.6, в, г, нетрудно убедиться в4.7 том, что между лишними неРис. Рис. 4.7 4.7 известными X и Z существуют следующие зависимости [формулы (4.9)–(4.14)]: � �� , � � �� , (4.9) � � � � �� Рис. � � � � �� 4.7��,, � � �� , � � � �� , �� , � � �� , � � �� , �� , � � �� ,, � �� , � � � � � � �� . � � �� ,. (4.9) (4.9) (4.10) (4.10) (4.10) (4.11) (4.11) (4.11) (4.9) (4.12) (4.12) (4.12) (4.10) (4.13) (4.13) (4.13) (4.11) (4.14) (4.14) (4.14) (4.12) В результате произведенной группировки неизвестных система �� , �� канонических уравнений (4.8) распадется на две независимые си-(4.13) � � ∙∙ δ � � ∙∙ δ � � ∙∙ δ � �� δ � � δ � � δ � �� стемы, в одну из��которых только симметричные [система ∙ δ�� ∙ δ�� войдут � ∙ δ�� . (4.14) � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � �� (4.15) � � �� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � � � � �� (4.15)], а в другую �– обратно [система (4.15) �� симметричные �� неизвестные �� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � � �� ∙собой δ�� ∙ δ�� перемещения. �� ∙ δ�� (4.16)]. Здесь δij представляют �� групповые �� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � �� δ �� ∙∙ δ δ∙ �� ∙∙∙δ δδ�� ∙∙∙ δδ δ�� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � (4.16) �� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � � (4.15)(4.15) (4.16) ∙ δ�� ∙ δ � � ∙ δ � � � � � � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � ��∙ δ � �� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � � � �� ∙∙ δδ�� ∙ δ∙ δ�� ∙∙δδ�� 119 �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� 119 119 (4.16)(4.16) �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� Таким образом, сложная система уравнений (4.8) благодаря 119 искусственной группировке неизвестных распадается на две более простые (4.15) и (4.16). Объем вычислений уменьшается благодаря этому в несколько раз. В дальнейшем неизвестные усилия будем обозначать буквой X независимо от того, являются ли они отдельными или групповыми. Групповые перемещения определяются, как и обычные (негрупповые) перемещения, т. е. путем перемножения соответствующих эпюр, построенных для основной системы. Определение групповых перемещений не сложнее, чем обычных; оно также производится путем перемножения эпюр для половины рамы с удвоением результата. При наличии в раме средней стойки перемножение эпюр про- — 112 — изводится сначала для элементов одной половины рамы (без средней стойки), затем полученный результат удваивается и к нему прибавляется результат перемножения эпюр для средней стойки рамы. 4.3. Симметричные и обратно симметричные нагрузки При действии только симметричной или только обратно симметричной нагрузки на симметричное сооружение задача еще более упрощается, так как в этом случае можно выбрать такую основную систему, что не только все единичные эпюры, но и грузовые будут симметричны или обратно симметричны. Вследствие этого не только многие из коэффициентов при неизвестных, но и некоторые из свободных членов системы канонических уравнений окажутся равными нулю. Рассмотрим заданную раму (рис. 4.8, а), находящуюся под действием симметричной нагрузки. В ней шесть лишних неизвестных (nст = 6). Соответственно, канонические уравнения будут иметь вид системы (4.8). основная система эквивалентная система Рис. 4.8 Рис. 4.8 Сделав разрез верхнего ригеля посредине и отбросив три опорных стержня, получим основную систему (рис. 4.8, б) и эквивалентную систему с симметричными и обратно симметричными неизвестными (рис. 4.8, в). Лишние неизвестные, расположенные не на оси симметрии и представляющие собой в данном случае горизонтальные составляющие крайних опорных реакций, сразу разложены на две группы сил – Х4 и Х5 (проведена группировка неизвестных). Эпюры изгибающих моментов для основной системы от всех единичных неизвестных и от нагрузки представлены на рис. 4.9, а–ж. — 113 — Рис. 4.8 Рис.4.9 4.9 Рис. Поскольку все неизвестные усилия были выбраны так, что разПоскольку все неизвестные усилия выбраны так,(Хчто на делились на две группы усилий – были симметричные , Хразделились ,Х иХ)и 1 2 3 4 обратно (Х5 и Х6(Х ), 1то уравне, Х2система , Х3 и Х4)канонических и обратно симметричные две группы симметричные усилий – симметричные (4.8) распадется на две независимые системы уравнений (4.17) (Хний 5 и Х6), то система канонических уравнений (4.8) распадется на две �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ� � � �∙ δ � �∙ δ � �� δ�� ∙ �� δ�� ∙ �� δ�� ∙ δ�� ∙ δ∙ �� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ �� ∙ �� ∙ �� δ �� δ �� δ �� ∙δ �� (4.17) � � �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ �� 120 � ∙δ �� ∙δ �� ∙δ �� ∙δ �� и (4.18). системы уравнений (4.17) и (4.18). независимые � �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� δ�� ∙ δ�� ∙�δ∙��δ�� ∙�δ∙��δ�� ∙� �� (4.18) ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ � ∙ δ � ∙ δ � � � � � �� δ�� ∙ δ�� ∙ �� ∙ δ�� δ�� ∙ δ�� ∙∆δ��и�∆�� равны ∙ δ�� нулю, �� ∙ ∙δδ��перемещения В системе грузовые δ�� ∙ (4.18) � �� 5F 6F так как они определяются перемножением обратно симметричных � ∙ δ � �� ∙ δ�� эпюр М5 и М6 с симметричной от нагрузки (рис. 4.9). F � � �� ∙эпюрой δ��М �� δ∙ �� ∙� δ �� ∙ δ�� ∙∙ �� δδ�� Следовательно, система обратно � �� ∙ δ��(4.18), � �� содержащая � �� ∙∙ δδуравнений �� ∙ δ�� симметричные неизвестные, может быть представлена в виде системы (4.19): � ∙ δ � �� ∙ δ�� (4.19) � � �� ∙ δ�� ∙ δ�� — 114 — (4. (4. (4. Отсутствие свободных членов указывает на равенство нулю обратно симметричных неизвестных Х5 и Х6, в чем легко убедиться, подставляя в эту систему значения Х5 = 0 и Х6 = 0. Если бы на данную систему (рис. 4.8, а) действовала обратно симметричная нагрузка, то, очевидно, были бы равны нулю все симметричные неизвестные (Х1, Х2, Х3 и Х4). Обобщая полученный результат, можно сформулировать два правила: 1) при действии на симметричную систему симметричной нагрузки в ней возникают одни лишь симметричные неизвестные, обратно симметричные неизвестные при этом равны нулю; 2) при действии на симметричную систему обратно симметричной нагрузки в ней возникают одни лишь обратно симметричные неизвестные, а симметричные неизвестные при этом равны нулю. 4.4. Способ преобразования нагрузки Правила, сформулированные в предыдущем параграфе, могут быть использованы при расчете симметричного сооружения на несимметричную нагрузку, так как любую нагрузку, приложенную к симметричному сооружению, можно разложить на составляющие симметричного и обратно симметричного вида. Пусть на симметричную систему (рис. 4.10) действуют равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q и сосредоточенная сила F, приложенные несимметрично. Эта система шесть раз статически неопределима (nст = 6), а значит, имеет шесть неизвестных усилий. Так как в этой системе грузовая эпюра не симметрична и не обратно симметрична, то канонические уравнения примут вид системы (4.8). В этой системе только часть коэффициентов обнулится, и система уравнений распадется на две – симметричную и обратно симметричную. Разложим нагрузку q и силу F на составляющие симметричного (рис. 4.11, а) и обратно симметричного (рис. 4.11, б) вида. Сумма этих нагрузок в каждой точке оси ригеля равна заданной нагрузке. В самом деле, в результате сложения нагрузок в системах, изображенных на рис. 4.11, а, б, левый ригель окажется загруженным — 115 — � ∙ δ � �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� (4.18) � ∙ δ � �� ∙ δ�� (4.19) �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� δ�� ∙� � ∙ δ�� ∙ � δ�� ∙ δ�� равномерно (4.19) лишь распределенной нагрузкой q, а правый – сосре�� ∙ δ�� ∙ δ�� доточенной силой F. � ∙ δ � �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� Рис.4.10 4.10 Рис. Рис. 4.10 Рис. 4.10 Рис. 4.11 4.11 Рис. Рис. 4.11 В эквивалентной системе с симметричной нагрузкой (рис.�4.12, а) будут действовать одни лишь симметричные неизвест� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� δа��∙именно �� ∙�� δ�� ∙ δ�� ∙�δ∙�� δсилы (4.20) ные, Х��1� ,�Х��2 и Х3. Обратно симметричные �групповые �� ∙�δ �� δ� �� ∙ δ�� обращаются �∙�δ∙�� δ�� нуль. � � ∙ � � � (4.20) �Х�4�, ∙Хδ �и∙ δ ��при �� Х этом в Канонические уравнения � � 5 6 Рис. 4.11 � ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � � �� (4.8) � в �� упростятся �� системы этом случае и примут вид системы уравнений (4.20): 121 �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� (4.20) 121 �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� В эквивалентной системе с обратно симметричной нагрузкой (рис. 4.12, б) будут действовать только обратно симметричные лишние неизвестные Х4, Х5 и Х6, а симметричные Х1, Х2 и Х3 при этом обращаются в нуль. — 116 — Рис. 4.12 Рис. 4.12 4.12 Рис. Канонические (4.8) в этом случае также упростятся и пр Канонические уравнения уравнения (4.8) в этом случае также упростятся и вид системы (4.21): примут вид системы (4.21): Канонические уравнения (4.8) в этом случае также упростятся и примут вид системы (4.21): �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� (4.21) �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ��∙ δ�� ∙ δ�� ∙ �δ�� ∙ δ��∙ δ�� ∙ δ�� (4.21) �� ∙ δ�� ∙ δ�� ∙ δ � � ∙ δ � � ∙ δ � � � � � � �� преобразования � �� нагрузки �� Способ путем разложения ее на симметричную Способ и обратно симметричную нагрузки большинстве преобразования нагрузки путемв разложения ее на симметри случаев не упрощает вычисления перемещений ∆ системы Способ преобразования нагрузки грузовых путем разложения ее на симметричную и обратно симметричную нагрузки в большинстве случаев не упро уравнений, а потому применение случаев его в таких случаях иканонических обратно симметричную нагрузки в большинстве не упрощает вычисления грузовых перемещений ∆ системы канонических уравнен нецелесообразно. вычисления грузовых перемещений ∆ системы канонических уравнений, а потому применение его в таких случаях нецелесообразно. потому применение его в таких случаях нецелесообразно. 4.5. Вопросы для самоконтроля 4.5. для самоконтроля 4.5. Вопросы дляВопросы самоконтроля 1. Пояснить принцип использования симметрии системы. 1. принцип Пояснить принцип симметрии использования симметрии системы. 2. Сформулировать правила упрощения расчетов системы. систем. 1. Пояснить использования 3. Указать параметры, заправила счет которых происходит упрощение рас2. Сформулировать правила упрощения расчетов систем. 2. Сформулировать упрощения расчетов систем. чета 3. сложных Указать3.систем. параметры, за параметры, счет которыхзапроисходит упрощение расчетаупрощение ра Указать счет которых происходит 4. Сформулировать принцип группировки неизвестных усилий. сложных систем. сложных систем. 5. Сформулировать правило преобразования нагрузки. 4. Сформулировать принцип группировки неизвестных усилий. 4. Сформулировать принцип группировки неизвестных усилий. 5. Сформулировать правило преобразования нагрузки. 5. Сформулировать правило преобразования нагрузки. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 122 — 117 — БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Дарков, А.В. Строительная механика [Электронный ресурс] : учебник / А.В. Дарков, В.А. Шапошников. – 12-е изд., стер. – СПб. : Лань, 2010. – 656 с. – (Учебники для вузов. Специальная литература). 2. Шапошников, Н.Н. Строительная механика [Электронный ресурс] : учебник / Н.Н. Шапошников, Р.Е. Кристалинский, А.В. Дарков ; под общ. ред. Н.Н. Шапошникова. – 13-е изд., перераб. и доп. – СПб. : Лань, 2012. – 704 с. – (Учебники для вузов. Специальная литература). 3. Анохин, Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах : учеб. пособие для вузов. В 2 ч. Ч. 1. Статически определимые системы / Н.Н. Анохин. – 2-е изд., доп. и перераб. – М. : АСВ, 2007. – 334 с. 4. Анохин, Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах : учеб. пособие для вузов. В 2 ч. Ч. 2. Статически неопределимые системы / Н.Н. Анохин. – 2-е изд., доп. и перераб. – М. : АСВ, 2007. – 464 с. — 118 — Приложение А Приложение А Таблица А.1 Координаты центров тяжести и площадей фигур Таблица А.1 Координаты центров тяжести и площадей фигур Фигура Площадь Ω Абсциссы центра тяжести Z1 Z2 �� 2 � 2 �� 2 � 3 2� 3 �� 3 � 4 3� 4 �� 2 �� 2 2�� 3 3� 8 �� 8 124 — 119 — Таблица А.2 Фиктивные реакции нагруженного пролета Фиктивные реакции Расчетная схема, нагрузка ф А� ф В� �� 16 �� 16 �� 6� �� 6� �� 2 �� 2 �� 32 �� 32 �� 24 �� 24 3�� 128 �� 384 �� 3� �� 3� 13�� 648 13�� 648 �� 3� � 2�� 12 �� 3� � 2�� 12 — 120 — 130 Таблица А.3 Эпюры статически определимых однопролетных балок Эпюры статически определимых однопролетных балок Шарнирно-опертая по концам балка Консольная балка 126 — 121 — — 122 — Схема балки и воздействия на нее Эпюры изгибающих моментов МВ 0 0 0 0 МА �� 1 � � � � 2 �� 8 �� 2 �� 2 �� 8 �� 2 C-середина �� 16 C-середина �� 2� C-середина �� 2�� 127 �� 8 RВ RА МС Эпюрыизгибающих изгибающих моментов моментов в воднопролетных балках Эпюры однопролетных балках Приложение Б Б Приложение — 123 — Схема балки и воздействия на нее Эпюры изгибающих моментов �� 12 �� 12 2�� 12 �� 0 2�� МС МВ МА 12�� 128 12�� 2 �� 1 � 2�� 1 � 2�� 2 RВ RА — 124 — Эпюры изгибающих моментов 0 ͵‫ߙܫܧ‬ο‫ݐ‬ ʹ݄ ‫ߙܫܧ‬ο‫ݐ‬ ݄ 0 ͵‫ܫܧ‬ ݈ଶ ‫ߙܫܧ‬ο‫ݐ‬ ݄ МВ МА ‫ߙܫܧ‬ο‫ݐ‬ ݄ 0 ͵‫ߙܫܧ‬ο‫ݐ‬ ʹ݄݈ ͵‫ܫܧ‬ ݈ଷ C-середина ͵‫ܫܧ‬ ʹ݈ଶ ͵‫ߙܫܧ‬ο‫ݐ‬ Ͷ݄ RА МС Примечание: α – температурный коэффициент линейного расширения, h – высота поперечного сечения Схема балки и воздействия на нее 0 129 ͵‫ߙܫܧ‬ο‫ݐ‬ ʹ݄݈ ͵‫ܫܧ‬ ݈ଷ RВ Приложение В Определение коэффициентов фокусных отношений Приложение В Определение коэффициентов фокусных отношений Схема опирания крайнего пролета балки Коэффициенты фокусных отношений ��л � � ��л � � ��л � � пр �� пр �� пр �� — 125 — 2. Все записи и расчеты производятся чернилами на одной сто а, рисунки выполняются карандашом. 3. Приложение Г Расчеты должны содержать решения в общем (буквенном) ви Общие указания по оформлению расчетно-графических работ 1. Расчетно-графическая работа (РГР) должна быть выполнена на овое решение. стандартных листах бумаги формата А4 (210×297 мм). 4. Все записи и расчеты производятсяс чернилами на одной стороне Все2.вычисления производятся точностью до 0,001. 5. 3. Расчеты должны решения в согласно общем (буквенном) виде и приведен Титульный лист содержать оформляется образцу, листа, рисунки выполняются карандашом. числовое решение. 4. Все вычисления производятся с точностью до 0,001. 5. Титульный лист оформляется согласно образцу, приведенному ниже. 6. Полностью выполненная и оформленная РГР 6. Полностью выполненная и оформленная РГР сшивается (скоросшиватель) и сдается в указанные сроки. росшиватель) и сдается в указанные сроки. . ФГБОУ ВО «ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Архитектурно-строительный институт Кафедра «Промышленное, гражданское строительство и городское хозяйство» Расчетно-графическая работа № 1 «Статически определимые системы» Студент Иванов И.И. Группа ПГСз-431 Вариант 4/5 Проверил Ефименко Э.Р. Тольятти 2018 На всех листах выполняется рамка: На всех листах выполняется рамка: отступ слева 2 см отступ справа 0,5 см отступ слева 2 см отступ сверху 0,5 см отступ снизу 0,5 см отступ справа 0,5 см отступ сверху 0,5 см — 126 — сшива

Ефименко

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Ефименко

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib