МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Самарский государственный технический университет» (ФГБОУ ВО «СамГТУ») Расчетно-графическая работа №1 по дисциплине «Теория пластин и оболочек» на тему «Изгиб прямоугольных пластин. Метод Бубнова-Галеркина» Подготовил: студент 1 курса группы 20ПМ3 Старкова Е.М. Проверил: доцент каф.СМИГОФ Вронская Е.Н. Самара, 2021 Исходные данные: Вариант №13 Прямоугольная пластинка изгибается поперечной нагрузкой интенсивностью q т/м2. Задано уравнение изогнутой срединной поверхности: Требуется: 1) установить характер опирания пластинки по всему контуру; 2) используя уравнение Софи-Жермен, найти коэффициент С; 3) Определить величину изгибающих моментов Мх и Му па опорах и в центре пластинки. 4) составить выражения для изгибающих моментов, крутящих моментов и поперечных сил; 5) построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для двух характерных сечений вдоль осей х и у. В качестве материала пластинки для всех вариантов принять железобетон: B15, модуль упругости Eб=1,5·105 кг/см2, коэффициент Пуассона μ = 0,17. Арматура — А400, Rb = 100 кг/см2. Решение: 1.Выясним вид закрепления краёв пластины. а) Проверяем граничное условие W=0 При х = ± а W= C((± a)2-a2)(y2-b2)=0, т.е. вертикальная опора есть. При y = ± b W= C(x2-a2)((± b)2-b2)=0, б) Проверяем углы поворота граней При х = ± а 𝜕𝑊 𝜕𝑥 = 2𝐶𝑥 (𝑦 2 − 𝑏 2 )≠0 Эти края шарнирно закреплены (свободно опёрты) При y = ± b 𝜕𝑊 𝜕𝑥 = 2𝐶 (𝑥 2 − 𝑎2 )𝑦=0 Края имеют подвижное (в направлении оси z) защемление. 2. Найдем коэффициент С, используя уравнение Софи-Жермен. Последнее умножим на принятую функцию прогибов 𝜔=C(x2-a2)(y2-b2) и проинтегрируем по всей площади обе части равенства: 𝑎 𝑏 ∫∫ 0 0 𝑞 2 𝐶(𝑥2 − 𝑎2 )(𝑦2 − 𝑏 )𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 Найдем соответствующие производные от W: 4W 0; x 4 4W 0; y 4 4W 4 C. x 2y 2 𝜕 2𝑊 = 2𝐶(𝑦 2 − 𝑏 2 ), 𝜕𝑥 2 𝜕 2𝑊 = 2𝐶(𝑥 2 − 𝑎2 ). 𝜕𝑥 2 Тогда 0+8·С+ 0= q q откуда С = D 8 D Окончательно 𝜔 = 𝑞 8𝐷 (𝑥 2 − 𝑎2 )(𝑦 2 − 𝑏 2 ), в таком виде уравнение удовлетворяет граничным условиям. 3. Выражаем изгибающие моменты: 𝜕 2𝑊 𝜕 2𝑊 𝑞 𝑀𝑥 = −𝐷 ( 2 + 𝜇 ) = − ((𝑦 2 − 𝑏 2 ) + 𝜇(𝑥 2 − 𝑎2 )), 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 4 𝜕 2𝑊 𝜕 2𝑊 𝑞 𝑀𝑦 = −𝐷 ( 2 + 𝜇 ) = − ((𝑥 2 − 𝑎2 ) + 𝜇(𝑦 2 − 𝑏 2 )). 2 𝜕𝑦 𝜕𝑥 4 В центре пластинки, при x = 0, y = 0: 𝑀𝑥𝑚𝑎𝑥 = 0, 𝑀𝑦𝑚𝑎𝑥 = 0, 4. Крутящие моменты: 𝑀𝑥𝑦 = −𝐷(1 − 𝜇) 5. Поперечные силы: 𝜕 2𝑊 𝜕𝑥𝑦 𝜕 3𝑊 𝜕 3𝑊 𝑄𝑥 = −𝐷 ( 3 + 𝜇 ), 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 2 𝜕 3𝑊 𝜕 3𝑊 𝑄𝑦 = −𝐷 ( 3 + 𝜇 ), 𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 2 6. Построение эпюр: