Тема: Уравнения и неравенства (решение задач с помощью линейных уравнений), 7 класс ЦЕЛЬ из ФРП: Составлять и решать линейное уравнение по условию задачи, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат Средство историзации: Старинная задача – задачи из исторических математических источников. Как правило, старинные задачи требуют исторической справки, в которой содержится информация: из какого источника взята задача, какой исторический метод решения предлагается, каков современный способ решения и др. Задача № 26 из папируса Райнда представляет собой частный случай так называемых задач на «аха» (или, как раньше писали, «хау»). С современной точки зрения, в них решаются уравнения первой степени вида 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥+. . . = 𝑝, откуда 𝑝 𝑥= 1 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐+. . . Несомненно, что задачи этого рода соответствуют нашим линейным уравнениям с одним неизвестным. Само слово «аха» означает «кучу», «груду» — здесь в смысле количества, и, конечно, это количество есть неизвестная, которую требуется найти. Однако, как ни просты эти задачи, существуют различные толкования их решения. Скорее всего, египтяне пользовались приемом, который много позднее в Европе Средних веков получил название способа ложного положения. Условие задачи № 26 в папирусе Райнда гласит: «Количество и его четвертая 1 часть дают вместе 15» (мы бы записали: 𝑥 + 𝑥 = 15), а решение начинается 4 словами: «Считай с 4; от них ты должен взять четверть, имеют 1; вместе 5». После того вычисляются 15: 5 = 3 и 4 ∙ 3 = 12. Естественно понимать дело так. Вычислитель принимает, что количество есть 4, тогда прибавление четверти количества дает 5, а должно быть втрое больше (15: 5 = 3); поэтому искомое количество также должно быть втрое больше принятого (4 ∙ 3 = 12). Вообще, если «ложное положение» есть 𝑥1 и оно дает 𝑝1 вместо 𝑝, то 𝑥: 𝑥1 = 𝑝: 𝑝1 , 𝑥 = 𝑥1 ∙ 𝑝 𝑝1 Такие общие рассуждения и пропорции в папирусах не встречаются, но идея пропорциональности, на которой основано правило ложного положения, была очень простой и доступной и, кроме того, широко распространенной в древности. В группе задач на «аха», первых в истории математики отвлеченных задачах, решенных единым методом, мы видим зачатки алгебры как науки о решении уравнений [1, C. 29-30]. В Британском музее хранится так называемый папирус Райнда, расшифрованный профессором А. Эйзенлором в 1877 г. Рукопись относится к периоду 2000—1700 лет до н. э. В ней содержится 84 задачи, причем большинство из них арифметического характера. Оказывается, как показала расшифровка папирусов, египтяне еще четыре тысячи лет назад решали ряд практических задач по арифметике, алгебре, геометрии, причем в арифметике пользовались не только целыми числами, но и дробями [2, C. 56]. ЗАДАЧА ИЗ ПАПИРУСА РАЙНДА Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10 [2, C. 6]. Решение задачи сводится к решению уравнения откуда x = 9 [1, C. 57]. ЗАДАЧА СРИДХАРЫ Задача взята из трактата «Сущность вычисления» («Ганитасара») индийского математика Сридхары, жившего в промежутке VI—X вв. Сридхара является автором ряда задач, которые широко использовались индийскими математиками последующих времен [2, C. 143]. Пятая часть пчелиного роя сидит на цветке кадамба, одна треть на цветках силиндха. Утроенная разность двух последних чисел направилась к цветам кутая. И осталась еще одна пчелка, летающая взад и вперед, привлеченная ароматом жасмина и пандануса. Спрашивается, сколько всего пчел [2, C. 22]. Задача приводит к уравнению Решая это уравнение, получаем х = 15. Следовательно, всего было 15 пчел [2, C. 143]. 1. История математики с древнейших времен до начала нового времени / Башмакова И.Г., Березкина Э.И., Володарский А.И., Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П. и др. – М.: Наука. 1970. – 352 с. 2. Чистяков В. Д. Старинные задачи по элементарной математике. — 3-е изд., испр. — Мн. : Вышэйш. школа, 1978. — 272 с. — Лит.: с. 267—269.
