Ижевский государственный технический университет им. М.Т. Калашникова Физика лазеров Калугин Алексей Игоревич 1 Темы лекций 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Основы квантовой механики. Электронная структура атомов и молекул. Оптические переходы в атомах и молекулах. Основы физики твердого тела. Электронная структура твердых тел. Квазичастицы в кристалла. Оптические переходы в твердых телах. Уширение спектральных линий. Активная среда. Физические процессы в активной среде. Физические принципы работы лазеров. Насыщение поглощения и усиления. Сверхизлучение и суперлюминисценция. Провал Лэмба. Основы матричной оптики. Гауссовы пучки. Открытые оптические резонаторы. Классификация. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. Устойчивые и неустойчивые резонаторы. Интегральное уравнение открытых резонаторов. Резонаторы твердотельных лазеров. Тепловая линза. Условие динамической стабильности. Оптическая накачка. Электрическая накачка. Стационарный режим работы лазера. Многомодовая генерация. Селекция мод. Модуляция добротности. Синхронизация мод. Модуляция усиления. Твердотельные лазеры. Газовые лазеры. Полупроводниковые лазеры. Лазеры на красителях. Лазеры на свободных электронах. 2 Список литературы 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Т. 4. Оптика. Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Т. 5. Атомная физика. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика. Д.И. Блохинцев. Основы квантовой механики. Ю П., Кардона М. Основы физики полупроводников. М.П. Шаскольская. Кристаллография. А.И. Ансельм. Введение в теорию полупроводников. Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. Н.Г. Бахшиев. Введение в молекулярную спектроскопию. В.М. Агранович. Теория экситонов. О. Звелто. Принципы лазеров. Ю.А. Ананьев. Оптические резонаторы и лазерные пучки. В.П. Быков, О.О. Силичев. Лазерные резонаторы. А.М. Гончаренко. Гауссовы пучки света. А. Джеррард, Дж.М. Бёрч. Введение в матричную оптику. 3 Основы квантовой механики Ψ – волновая функция 1. 2. 3. 4. Комплексная. Непрерывна. Однозначна. Нормирована Ψ 2 𝑑𝑉 = 1 Принцип суперпозиции Ψ = с1 Ψ1 + с2 Ψ2 Ψ= с𝑖 Ψ𝑖 с𝑖 2 = 1 4 Операторы 𝐴𝑢 = 𝑣 𝐴 с1 Ψ1 + с2 Ψ2 = с1 𝐴Ψ1 + с2 𝐴Ψ2 Эрмитовы (самосопряженные) операторы 𝐴 = 𝐴∗ 𝑢𝐴𝑣 𝑑𝑉 = 𝑣𝐴 𝑢 𝑑𝑉 𝑢 ∗ 𝐴𝑣 𝑑𝑉 = 𝑣𝐴∗ 𝑢∗ 𝑑𝑉 Коммутатор 𝐴, 𝐵 = 𝐴 𝐵 − 𝐵 𝐴 5 Среднее значение величины 𝐴= Ψ ∗ 𝐴Ψ 𝑑𝑉 Собственные значения и собственные функции 𝐴Ψ𝑖 = 𝑎𝑖 Ψ𝑖 Условие возможности одновременного измерения 𝐴, 𝐵 = 0 6 Оператор координаты 𝑥 Ψ = 𝑥Ψ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)Ψ = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)Ψ Оператор импульса 𝜕Ψ 𝑝𝑥 Ψ = −𝑖ℏ 𝜕𝑥 𝑥 , 𝑝𝑥 = 𝑖ℏ 7 Оператор момента импульса 𝐋 = 𝐫, 𝐩 𝐿𝑥 = 𝑖ℏ 𝑧 𝜕 𝜕 −𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝐿𝑦 = 𝑖ℏ 𝑧 𝜕 𝜕 −𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝐿𝑧 = −𝑖ℏ 𝐿𝑧 = 𝑖ℏ 𝑥 𝜕 𝜕 −𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝜑 Оператор квадрата момента импульса 𝐿2 = 𝐿2𝑥 + 𝐿2𝑦 + 𝐿2𝑧 Правила коммутаций момента импульса 𝐿𝑖 , 𝐿𝑗 = 𝑖ℏ𝐿𝑘 𝐿𝑖 , 𝐿2 = 0 8 Собственные значения и собственные функции момента импульса 𝐿2 Ψ = 𝐿2 Ψ 𝐿2 = 𝑙(𝑙 + 1)ℏ2 𝐿𝑧 Ψ = 𝐿𝑧 Ψ 𝐿𝑧 = 𝑚ℏ 𝑚 = 0, ±1, ±2, … , ±𝑙 Правило сложения моментов импульса 𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 , 𝐿1 + 𝐿2 − 1, … , 𝐿1 − 𝐿2 9 Оператор кинетической энергии 𝑝2 𝑇= 2𝑚 𝑝2 1 ℏ2 2 2 2 2 𝑇= = 𝑝 + 𝑝𝑦 + 𝑝𝑧 = − 𝛻 2𝑚 2𝑚 𝑥 2𝑚 2 2 2 𝜕 𝜕 𝜕 𝛻 2 = ∆= 2 + 2 + 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Оператор Гамильтона (гамильтониан) 𝐻 = 𝑇 + 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) Оператор Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном поле 1 𝑒 2 𝐻= 𝑝 − 𝑨 + 𝑒𝑉 + 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) 2𝑚 𝑐 10 Уравнение Шредингера 𝜕Ψ 𝐻 Ψ = 𝑖ℏ 𝜕𝑡 Стационарное уравнение Шредингера Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝐸 −𝑖 𝑡 = 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒 ℏ 𝐻𝜓 = 𝐸𝜓 11 Одномерная прямоугольная потенциальная яма 𝑑2𝜓 + 𝑘2𝜓 = 0 2 𝑑𝑥 𝑘2 = 2𝑚𝐸 ℏ2 𝜓 = 𝐴 cos 𝑘𝑥 + 𝐵 sin 𝑘𝑥 𝐴 cos 𝑘𝑎 + 𝐵 sin 𝑘𝑎 = 0 𝑥 = +𝑎 𝐴 cos 𝑘𝑎 − 𝐵 sin 𝑘𝑎 = 0 𝑥 = −𝑎 12 1) 𝜓 = 𝐴 cos 𝑘𝑥 при 𝑘𝑎 = 𝜋 2 , 3𝜋 2 , 5𝜋 2 , … 2) 𝜓 = 𝐵 sin 𝑘𝑥 при 𝑘𝑎 = 2𝜋 2 , 4𝜋 2 , 6𝜋 2 , … 𝜓= 1 𝑛𝜋𝑥 cos 2 𝑎 1 𝑛𝜋𝑥 sin 2 𝑎 при нечетных 𝑛 при четных 𝑛 𝑛𝜋 𝑘= 2𝑎 ℏ𝜋 2 2 𝐸= 𝑛 8𝑚𝑎2 13 −𝑈0 < 𝐸 < 0 𝑑2𝜓 + 𝑘2𝜓 = 0 2 𝑑𝑥 𝑘2 = 2𝑚(𝐸 − 𝑈0 ) ℏ2 𝜓1 = 𝐴 cos 𝑘𝑥 + 𝐵 sin 𝑘𝑥 𝑑2𝜓 − 𝛼2𝜓 = 0 2 𝑑𝑥 𝛼2 = − 𝜓2 = 2𝑚𝐸 ℏ2 𝐶𝑒 −𝛼𝑥 при 𝑥 > 𝑎 𝐷𝑒 𝛼𝑥 при 𝑥 < −𝑎 14 𝐴 cos 𝑘𝑎 + 𝐵 sin 𝑘𝑎 = 𝐶𝑒 −𝛼𝑎 𝑥 = +𝑎 −𝑘𝐴 sin 𝑘𝑎 + 𝑘𝐵 cos 𝑘𝑎 = −𝛼𝐶𝑒 −𝛼𝑎 𝐴 cos 𝑘𝑎 − 𝐵 sin 𝑘𝑎 = 𝐷𝑒 −𝛼𝑎 𝑥 = −𝑎 𝑘𝐴 sin 𝑘𝑎 + 𝑘𝐵 cos 𝑘𝑎 = 𝛼𝐷𝑒 −𝛼𝑎 𝐴≠0 𝐶=𝐷 𝑘 tg 𝑘𝑎 = 𝛼 𝐵≠0 𝐶 = −𝐷 𝑘 ctg 𝑘𝑎 = −𝛼 15 𝐸>0 𝛼 = 𝑖𝛽 𝑑2𝜓 + 𝛽2𝜓 = 0 2 𝑑𝑥 𝜓1 = 𝐴′ cos 𝑘𝑥 + 𝐵′ sin 𝑘𝑥 при 𝑥 > 𝑎 𝜓2 = 𝐴′′ cos 𝑘𝑥 + 𝐵′′ sin 𝑘𝑥 при 𝑥 < −𝑎 𝜓3 = 𝐴 cos 𝑘𝑥 + 𝐵 sin 𝑘𝑥 при − 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 16 Гармонический осциллятор 1 𝑈 𝑥 = 𝑘𝑥 2 2 ℏ2 𝑑 2 𝜓 1 2 − + 𝑘𝑥 𝜓 = 𝐸𝜓 2𝑚 𝑑𝑥 2 2 𝜆= 2𝐸 ℏ𝜔 𝜉=𝑥 𝑘 ℏ𝜔 𝜔= 𝑘 𝑚 𝑑2𝜓 − 2 + 𝜉 2 𝜓 = 𝜆𝜓 𝑑𝜉 𝜓 = 𝑒 𝛼𝜉 2 17 1 − 4𝛼 2 𝜉 2 − 2𝛼 = 𝜆 ∀𝜉 1 − 4𝛼 2 = 0 𝜆 = −2𝛼 1 𝛼=± 2 𝜓 = 𝑒 −𝜉 2 2 𝜓 = 𝑃𝑛 (𝜉)𝑒 −𝜉 при 𝜆 = 1 2 2 𝑃𝑛 (𝜉) – полиномы Чебышева-Эрмита 𝐸𝑛 = ℏ𝜔 𝑛 + 1 2 18 Система двух взаимодействующих частиц 𝑚= 𝑚1 𝑚2 𝑚1 + 𝑚2 приведенная масса ℏ2 2 ℏ2 2 − 𝛻 − 𝛻 + 𝑈(𝐫𝟏 − 𝐫𝟐 ) 𝜓 = 𝐸𝜓 2𝑚1 1 2𝑚2 2 𝐑(𝑋, 𝑌, 𝑍) = 𝑚1 𝐫𝟏 + 𝑚2 𝐫𝟐 𝑚1 + 𝑚2 𝛻12 = 𝜕2 𝜕2 𝜕2 + + 𝜕𝑥12 𝜕𝑦12 𝜕𝑧12 𝐫(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐫𝟏 − 𝐫𝟐 ℏ2 ℏ2 2 2 − 𝛻 − 𝛻 + 𝑈(𝐫) 𝜓 = 𝐸𝜓 2(𝑚1 + 𝑚2 ) 𝐑 2𝑚 𝜓 = 𝜓(𝐫)𝜓(𝐑) ℏ2 − 𝛻𝐑2 𝜓(𝐑) = 𝐸𝐑 𝜓(𝐑) 2 𝑚1 + 𝑚2 𝐸 = 𝐸𝐫 + 𝐸𝐑 ℏ2 2 − 𝛻 + 𝑈(𝐫) 𝜓(𝐫) = 𝐸𝐫 𝜓(𝐫) 2𝑚 Сферически симметричный случай (водородоподобный атом) 𝜕 2 𝜓 2 𝑑𝜓 𝑞 + + − 𝛽2 𝜓 = 0 2 𝜕𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑟 2𝑚𝑍𝑒 2 𝑞= ℏ2 2𝑚𝐸 𝛽2 = − 2 ℏ 𝜓= 𝑢(𝑟) −𝛽𝑟 𝑒 𝑟 𝜕2𝑢 𝑑𝑢 𝑞 − 2𝛽 + 𝜓=0 𝜕𝑟 2 𝑑𝑟 𝑟 ∞ 𝑎𝑘 𝑟 𝑘 𝑢= 𝑘=𝛾 2𝛽𝑛 − 𝑞 = 0 𝑚𝑍 2 𝑒 4 𝐸=− 2 2 2ℏ 𝑛 20 Движение в поле центральной силы (водородоподобный атом) ℏ2 𝜕 2 2 𝑑 𝐻𝑟 = − + + 𝑈(𝑟) 2𝑚 𝜕𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟 1 𝐻 = 𝐻𝑟 + 𝐿2 2 2𝑚𝑟 𝜕 2 𝜓 2 𝑑𝜓 2𝑚 1 2 + + 𝐸 − 𝑈 − 𝐿 𝜓=0 𝜕𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟 ℏ2 2𝑚𝑟 2 𝜕 2 𝜓 2 𝑑𝜓 2𝑚 ℏ2 𝑙(𝑙 + 1) + + 2 𝐸−𝑈− 𝜓=0 𝜕𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟 ℏ 2𝑚𝑟 2 ℏ2 𝑙(𝑙 + 1) 𝑈→𝑈 𝑟 + 2𝑚𝑟 2 𝑚𝑍 2 𝑒 4 𝐸=− 2 2 2ℏ 𝑛 𝑛 = 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 21 Энергетические уровни атомов щелочных металлов 𝑍𝑎 𝑒 2 𝑍𝑎 𝑒 2 𝑈=− −𝐶 2 𝑟 𝑟 ℏ2 𝑙(𝑙 + 1) 𝑍𝑎 𝑒 2 ℏ2 𝑙 ∗ (𝑙 ∗ + 1) −𝐶 2 = 2𝑚𝑟 2 𝑟 2𝑚𝑟 2 1 𝑙∗ = − ± 2 1 𝑙+ 2 2 − 2𝑚 𝐶𝑍𝑎 𝑒 2 2 ℏ 𝑚𝑍𝑎2 𝑒 4 𝐸=− 2 2ℏ 𝑛𝑟 + 𝑙 ∗ + 1 2 𝑚𝑍𝑎2 𝑒 4 𝐸=− 2 2ℏ 𝑛𝑟 + ∆ 2 ∆= 𝑙 ∗ − 𝑙 22 Электронная структура атомов. Квантовые числа 1) Главное квантовое число 2) Орбитальное квантовое число 3) Магнитное квантовое число 4) Спиновое квантовое число 𝑛 𝑙 𝑚 𝑠 Полный угловой момент 𝐣 = 𝐥 + 𝐬 𝐽2 = 𝑗(𝑗 + 1)ℏ2 𝑗 – внутреннее квантовое число Мультиплетность уровня 2𝑠 + 1 Обозначение электронного уровня 𝑛 2𝑠+1𝑙𝑗 Спин-орбитальное взаимодействие → тонкая структура уровня Совокупность подуровней → мультиплет 23 Связь Рассела-Саундерса (нормальная связь) 𝐋 = 𝐥𝟏 + 𝐥𝟐 + 𝐥𝟑 + ⋯ 𝐒 = 𝐬𝟏 + 𝐬𝟐 + 𝐬𝟑 + ⋯ 𝐉=𝐋+𝐒 𝑛 2𝑆+1𝐿𝐽 Правила отбора ∆𝐽 = 𝐽′ − 𝐽 = ±1 или 0 ∆𝐿 = 𝐿′ − 𝐿 = ±1 или 0 Ноль не может быть, если 𝐿′ = 0 или 𝐿 = 0 24 Прохождение частицы через потенциальный барьер 𝐷 = 𝐷0 𝑒 𝐷 = 𝐷0 𝑒 − − 2𝑙 2𝑚(𝑈−𝐸) ℏ 2 𝑥2 2𝑚(𝑈(𝑥)−𝐸)𝑑𝑥 ℏ 𝑥1 25 Принцип тождественности частиц Принцип Паули 𝜓 𝑞2 , 𝑞1 = 𝑃𝜓 𝑞1 , 𝑞2 𝜓 𝑞1 , 𝑞2 = 𝑃𝜓 𝑞2 , 𝑞1 = 𝑃2 𝜓 𝑞1 , 𝑞2 𝑃 = ±1 𝜓𝑠 𝑞1 , 𝑞2 = 𝜓𝑠 𝑞2 , 𝑞1 𝜓𝑎 𝑞1 , 𝑞2 = −𝜓𝑎 𝑞2 , 𝑞1 𝐻1 + 𝐻2 + ⋯ 𝜓 = 𝐸𝜓 ℏ2 2 𝐻𝑖 = − 𝛻 + 𝑈(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ) 2𝑚𝑖 𝑖 𝐻𝑖 𝜑𝑗 (𝑖) = 𝐸𝑖 𝜑𝑗 (𝑖) 26 𝜓 = 𝜑𝛼 1 𝜑𝛽 2 … 𝜑𝜔 (𝑁) Четные функции 𝜓𝑠 = 𝑃𝜓 𝜓𝑠 = 𝜑𝛼 1 𝜑𝛽 2 + 𝜑𝛼 2 𝜑𝛽 1 Нечетные функции 𝜑𝛼 1 𝜓𝑎 = 𝜑𝛼 2 ⋯ 𝜑𝛼 𝑁 𝜑𝛽 1 𝜑𝛽 2 ⋯ 𝜑𝛽 𝑁 ⋯ 𝜑𝜔 1 ⋯ 𝜑𝜔 2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝜑𝜔 𝑁 27 Электронная структура молекул 𝐸 = 𝐸эл + 𝐸кол + 𝐸вр + 𝐸эл−кол + 𝐸эл−вр + 𝐸кол−вр 𝐸 = 𝐸эл + 𝐸кол + 𝐸вр 𝐸кол ≈ 𝐸эл 𝑚𝑒 𝑚𝑁 𝐸вр 𝑚𝑒 ≈ 𝐸эл 𝑚𝑁 𝐸кол ≈ 0.01 ÷ 0.1 𝐸эл 𝐸вр ≈ 0.0001 ÷ 0.001 𝐸эл 28 Вращательные спектры молекул ℏ2 𝐸вр,𝑗 = 2 𝑗 𝑗 + 1 + 𝐶𝑗 2 𝑗 + 1 2 8𝜋 𝐼 ∆𝑗 = ±1 Колебательные спектры молекул Гармонический осциллятор Ангармонический осциллятор 1 𝐸кол,𝜈 = ℏ𝜔 𝜈 + 2 1 ℏ𝜔 2 1 𝐸кол,𝜈 = ℏ𝜔 𝜈 + − 𝜈+ 2 4𝐸дисс 2 ∆𝜈 = ±1 ∆𝜈 = ±1, ±2, ±3, … 2 29 Колебательно-вращательные переходы молекул 1 ℏ𝜔 2 1 𝐸𝜈,𝑗 = ℏ𝜔 𝜈 + − 𝜈+ 2 4𝐸дисс 2 ∆𝑗 = +1 2 ℏ2 + 2 𝑗 𝑗 + 1 + 𝐶𝑗 2 𝑗 + 1 2 8𝜋 𝐼 ∆𝑗 = −1 30 Нормальные колебания Валентные колебания: меняется длина связей, не меняются углы Деформационные колебания: не меняется длина связей, меняются углы Симметричные колебания Антисимметричные колебания 31 Обозначения электронных состояний молекулы 2𝑆+1Λ*+,−+ *𝑔,𝑢+ Σ+ 𝑢 3 Λ – орбитальное квантовое число Λ 1 2 3 4 Знак Σ Π Δ Φ 𝑆 – спиновое квантовое число *+, −+ – симметричная и антисимметричная волновые функции *𝑔, 𝑢+ – четная и нечетная волновые функции Правила отбора ΔΛ = 0, ±1 Δ𝑆 = 0 −⇔− +⇔+ 𝑢 ⇔𝑔 32 Кристаллическая структура твердых тел 𝑻 = 𝑛1 𝒂1 + 𝑛2 𝒂2 + 𝑛3 𝒂3 Ω = 𝒂1 , 𝒂2 , 𝒂3 Элементарная ячейка Примитивная ячейка Простая и сложная ячейка Ячейка Вигнера-Зейтца 33 Категория Решетки Браве Сингония Тип решетки Простая Базоцентрированная Объемноцентрированная Гранецентрированная Триклинная P Низшая Моноклинная P C P C Ромбическая I F 34 Категория Решетки Браве (продолжение) Сингония Тип решетки Простая Базоцентрированная Объемноцентрированная Гранецентрированная Ромбоэдрическая R Средняя Тетрагональная P I Гексагональная P 35 Категория Сингония Тип решетки Простая Базоцентрированная Объемноцентрированная Гранецентрированная I F Высшая Кубическая P Сингония Симметрия ячейки Характеристики Международный символ Символ по Шенфлису Триклинная 1 𝐶 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐, 𝛼 ≠ 𝛽 ≠ 𝛾 Моноклинная 2 𝑚 𝐶2ℎ 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐, 𝛼 = 𝛾 = 90°, 𝛽 ≠ 90° Ромбическая 𝑚𝑚𝑚 𝐷2ℎ 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐, 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90° Ромбоэдрическая 3𝑚 𝐷3𝑑 𝑎 = 𝑏 = 𝑐, 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 < 120°, ≠ 90° Тетрагональная 4 𝑚𝑚𝑚 𝐷4ℎ 𝑎 = 𝑏 ≠ 𝑐, 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90° Гексагональная 6 𝑚𝑚𝑚 𝐷6ℎ 𝑎 = 𝑏 ≠ 𝑐, 𝛼 = 𝛽 = 90°, 𝛾 = 120° Кубическая 𝑚3𝑚 𝑂ℎ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐, 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90° 36 Обратная решетка. Зоны Бриллюэна 𝑉 𝒓 = 𝑉(𝒓 + 𝑻𝒏 ) 𝑉𝒃 𝑒 𝑖𝒃𝒓 𝑉 𝒓 = 𝒃 Вектора обратной решетки 𝒃 = 𝑚1 𝒃1 + 𝑚2 𝒃2 + 𝑚3 𝒃3 𝒃1 = 2𝜋 𝒂2 , 𝒂3 Ω 𝒃2 = 2𝜋 𝒂3 , 𝒂1 Ω 𝒃1 = 2𝜋 𝒂1 , 𝒂2 Ω Квазиволновой вектор 𝒌= 𝑔1 𝑔2 𝑔3 𝒃1 + 𝒃2 + 𝒃3 𝐺 𝐺 𝐺 37 𝑒 𝑖 𝒌+𝒃 𝒂 = 𝑒 𝑖𝒌𝒂 𝑒 𝑖𝒃𝒂 = 𝑒 𝑖𝒌𝒂 𝑒 𝑖2𝜋 = 𝑒 𝑖𝒌𝒂 −𝜋 < 𝒌𝒂𝒊 < 𝜋 Ячейка Вигнера-Зейтца в обратной решетке – первая зона Бриллюэна Триклинная Моноклинная простая Моноклинная базоцентрированная Орторомбическая простая Ромбоэдрическая Тетрагональная простая 38 Гексагональная Кубическая простая Кубическая объемноцентрированная Символ Описание Символ Γ Центр зоны Бриллюэна Объемноцентрированный куб Простой куб Кубическая гранецентрированная Описание H Соединение угловых точек четыре кромки M Центр ребра N Центр грани R Угловая точка P Угловая точка, соединяющая три кромки X Центр грани Гексагональная решетка Гранецентрированный куб A Центр шестиугольной грани H Угловая точка K Середина кромки, соединяющей две прямоугольные грани K Середина ребра, соединяющего два шестиугольные грани L Центр шестиугольной грани U Середина ребра, соединяющего шестиугольную и квадратную грани L Середина соединение края шестиугольная и прямоугольная грань W Угловая точка M Центр прямоугольной грани X Центр квадратной грани 39 Теорема Блоха 𝜓𝒌 𝒓 + 𝑻𝑛 = 𝑒 𝑖𝒌𝑻𝑛 𝜓𝒌 𝒓 𝜓𝒌 𝒓 = 𝑢𝒌 𝒓 𝑒 𝑖𝒌𝒓 𝑢𝒌 𝒓 + 𝑻𝑛 = 𝑢𝒌 𝒓 𝐸𝑛 𝒌 = 𝐸𝑛 𝑅 𝒌 𝑅 – оператор точечной группы симметрии кристалла Тензор обратной эффективной массы 1 𝐸𝑛 𝒌 = 𝐸𝑛 𝒌0 + 2 𝛼,𝛽 𝜕 2 𝐸𝑛 𝒌 𝜕𝑘𝛼 𝜕𝑘𝛽 (𝑘𝛼 − 𝑘𝛼0 )(𝑘𝛽 − 𝑘𝛽0 ) 𝒌=𝒌0 1 1 𝜕 2 𝐸𝑛 𝒌 = 𝑚𝛼𝛽 ℏ2 𝜕𝑘𝛼 𝜕𝑘𝛽 𝒌=𝒌0 40 Теоремы Хоэнберга-Кона I. Для любой системы взаимодействующих электронов, находящихся во внешнем потенциале 𝑉𝑒𝑥𝑡 𝑟 , потенциал 𝑉𝑒𝑥𝑡 𝑟 определяется однозначно электронной плотностью основного состояния 𝑛(𝑟). II. Существует универсальный функционал 𝐸,𝑛- электронной плотности, справедливый для любого внешнего потенциала 𝑉𝑒𝑥𝑡 𝑟 . Для некоторого вполне определенного внешнего потенциала 𝑉𝑒𝑥𝑡 𝑟 экстремум 𝐸,𝑛достигается для электронной плотности основного состояния 𝑛(𝑟). Функционал Кона-Шэма 𝐸𝐾𝑆 𝑛 = 𝑇𝑆 𝑛 + 𝑉𝐻 𝑛 + 𝑉𝑒𝑥𝑡 𝑛 + 𝑉𝑥𝑐 𝑛 41 Уравнение Кона-Шэма 1 2 − 𝛻 𝜓𝑖𝒌 𝒓 + 𝑣𝑒𝑥𝑡 𝑟 + 𝑣𝐻 𝑟 + 𝑣𝑥𝑐 𝑟 𝜓𝑖𝒌 𝒓 = ℰ𝑖𝒌 𝜓𝑖𝒌 𝒓 2 𝑛(𝑟 ′ ) 𝑑𝑟′ 𝑟 − 𝑟′ Кулоновский потенциал 𝑣𝐻 𝑟 = Обменно-корреляционный потенциал 𝛿𝑉𝑥𝑐 𝑛 𝑣𝑥𝑐 𝑟 = 𝛿𝑛(𝑟) Электронная плотность 𝑛 𝑟 = 𝜓𝑖𝒌 𝒓 2 𝑖,𝒌 Приближение локальной плотности 1.222 11.4 𝑣𝑥𝑐 𝑛 = − − 0.066 ln 1 + 𝑟𝑠 𝑛 𝑟𝑠 𝑛 𝑉𝑥𝑐 𝑟 = 𝑣𝑥𝑐 𝑛 𝑛 𝑟 𝑑𝑟 3 𝑟𝑠 𝑛 = 4𝜋𝑛 1/3 42 Зонная структура полупроводников Германий Арсенид галлия Кремний 43 Квазичастицы в твердых телах ℰ −𝒌 = ℰ 𝒌 𝑣 −𝒌 = −𝑣 𝒌 𝑣 𝒌 =0 𝒌 𝒋 = −𝑒 𝑣 𝒌 =0 𝒌 Ток полностью заполненной зоны равен нулю 44 𝜂𝑛 𝒌 = 1 − 𝜂𝑝 𝒌 𝒋 = −𝑒 𝜂𝑛 𝒌 𝑣 𝒌 = −𝑒 𝒌 𝒋 = −𝑒 𝑣 𝒌 𝒌 𝑣 𝒌 +𝑒 𝒌 1 − 𝜂𝑝 𝒌 𝜂𝑝 𝒌 𝑣 𝒌 = +𝑒 𝒌 𝜂𝑝 𝒌 𝑣 𝒌 𝒌 дырки 45 Экситоны Свободные Ванье-Мотта Френкеля 𝐸 < 𝐸𝑔 Слабая связь Большой радиус Метастабильные Параболические Гиперболические Гибридные 𝐸 > 𝐸𝑔 Сильная связь Малый радиус 𝑚∗ 𝑒 4 𝐸𝑛 = 𝐸𝑔 − 2 2 2ℏ 𝜀0 𝑛2 46 Оптические переходы Прямые переходы ℏ𝜔 = 𝐸𝑐 − 𝐸𝑣 𝒌𝑐 = 𝒌𝑣 Непрямые переходы ℏ𝜔 = 𝐸𝑐 − 𝐸𝑣 𝒌𝑐 = 𝒌𝑣 + 𝒌ф 47 Оптические функции Комплексный коэффициент отражения 𝑟= 𝑟 = 𝑟 𝑒 𝑖𝜃 𝑛1 cos 𝜑 − 𝑛2 cos 𝜓 𝑛1 cos 𝜑 + 𝑛2 cos 𝜓 𝜑 – угол падения излучения на поверхность раздела двух сред 𝜓 – угол преломления излучения на поверхности раздела двух сред 𝑛 = 𝑛 − 𝑖𝑘 Комплексный показатель преломления 𝑛 – показатель преломления 𝑘 – показатель поглощения (коэффициент экстинкции) Комплексная диэлектрическая проницаемость 𝜀 = 𝑛2 Коэффициент поглощения 𝜀1 = 𝑛2 − 𝑘 2 𝜀 = 𝜀1 − 𝑖𝜀2 𝜀2 = 2𝑛𝑘 4𝜋𝑘 𝛼= 𝜆 48 Диэлектрическая проницаемость Спектры диэлектрической проницаемости кристалла GaAs 𝑫 = 𝜀𝑬 = 𝑬 + 4𝜋𝑷 𝑑𝑷 𝑡 = 𝑓 𝑡 − 𝑡′ 𝑬 𝑡′ 𝑑𝑡′ 𝑡 𝑫(𝑡) = 𝑬(𝑡) + 4𝜋 𝑓 𝑡 − 𝑡′ 𝑬 𝑡′ 𝑑𝑡′ −∞ 49 1 𝑫(𝑡) = 2𝜋 ∞ 1 𝑬(𝑡) = 2𝜋 𝑫(𝜔)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔 −∞ ∞ 𝑬(𝜔)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔 −∞ 1 𝑓(𝑡) = 2𝜋 ∞ 𝑓(𝜔)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔 −∞ ∞ 𝑫 𝜔 − 1 + 𝑓(𝜔) 𝑬(𝜔) 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔 = 0 −∞ 𝑫 𝜔 =𝜀 𝜔 𝑬 𝜔 ∞ 𝑓(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝜀 𝜔 = 1 + 𝑓 𝜔 = 1 + 4𝜋 0 𝜀1 −𝜔 = 𝜀1 𝜔 𝜀2 −𝜔 = −𝜀2 𝜔 𝜀𝑖𝑗 = 𝜀𝑖𝑗 (𝜔, 𝒌) 50 Показатель преломления 𝑬 = 𝑬0 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝝒𝒓) 𝛻2𝑬 = 𝜀 𝑬 𝑐2 𝜔 𝜘= 𝑛 𝑐 𝑥 𝜔𝑘 − 𝑥 𝑖𝜔 𝑛 𝑐 −𝑡 𝑬 = 𝑬0 𝑒 𝑐 𝑒 Соотношения Крамерса-Кронига 𝜀1 𝜔0 = 1 + 𝜀2 𝜔0 = − 2 𝜋 2𝜔0 𝜋 ∞ 0 ∞ 0 𝜔𝜀2 𝜔 2 𝑑𝜔 2 𝜔 − 𝜔0 𝜀1 𝜔 𝑑𝜔 𝜔 2 − 𝜔02 51 Теория междузонных переходов 1 𝜕𝑨 𝑬=− 𝑐 𝜕𝑡 𝑯 = rot 𝑨 2 1 𝑒 𝐻= 𝑝 − 𝑨(𝒓, 𝑡) + 𝑉 𝒓 = 𝐻0 + 𝐻 ′ 2𝑚 𝑐 Гамильтониан электромагнитного возмущения 𝐻′ = 𝑒 𝑨𝑝 𝑚𝑐 Векторный потенциал 𝑨 = 𝐴0 𝒆 ∙ 𝑒 −𝑖(𝜔𝑡−𝝒𝒓) Матричный элемент перехода 𝑖𝑒ℏ 𝑃𝑐𝑣 = − 𝐴 𝑚𝑐Ω 0 ∗ 𝑢𝑐,𝒌 𝒆𝛻 𝑢𝑣,𝒌 𝑑 2 𝑟 = 𝐴0 Ω 𝑒 𝒆𝒑𝑐𝑣 𝑚𝑐 52 Число переходов в единицу времени в единице объема 2𝜋 𝑊𝑐𝑣 = ℏ 𝑃𝑐𝑣 2 𝛿 𝐸𝑐 𝒌 − 𝐸𝑣 𝒌 − ℏ𝜔 2 𝑑3𝑘 3 2𝜋 Коэффициент поглощения 𝛼= 𝑐,𝑣 𝑊𝑐𝑣 1 𝑒 2 = 𝑁𝑣 𝜋 𝑚2 𝑐𝑛𝜔 𝒆𝒑𝑐𝑣 2 𝛿 𝐸𝑐 𝒌 − 𝐸𝑣 𝒌 − ℏ𝜔 𝑑 3 𝑘 𝑐,𝑣 𝛿 𝑓 𝑥 = 𝑛 1 𝑒2 𝛼= 𝜋 𝑚2 𝑐𝑛𝜔 𝛿 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑓′ 𝑥𝑛 𝒆𝒑𝑐𝑣 2 𝑐,𝑣 𝑑𝑆 𝛻 𝐸𝑐 𝒌 − 𝐸𝑣 𝒌 𝑆: 𝐸𝑐 𝒌 − 𝐸𝑣 𝒌 = ℏ𝜔 53 Оптические свойства кристалла MgF2 Спектр отражения Спектр 𝜀2 54 Уширение спектральных линий 1) Однородное уширение (контур Лоренца) 𝑔 𝜔 − 𝜔0 𝜏 1 = ∙ 𝜋 1 + 𝜔 − 𝜔0 2 𝜏 2 ℏ𝜔0 = 𝐸𝑐 − 𝐸𝑣 55 Столкновительное уширение 𝑙 𝜏𝑐 = 𝑣𝑡 𝑙= 𝑘𝑇 2𝑝𝜋𝑎2 𝑣𝑡 = 8𝑘𝑇 𝜋𝑀 1 𝑀𝑘𝑇 𝜏𝑐 = 4𝑝𝑎2 𝜋 Естественное уширение 𝜏 = 𝜏спонт ∆𝜔 = 2𝜋 ∆𝐸 = 𝜏 ℏ 56 2) Неоднородное уширение (контур Гаусса) 𝑔 𝜔 − 𝜔0 = 1 𝜎 2𝜋 ∙𝑒 − 𝜔−𝜔0 2 2𝜎2 𝑤 = 8 ln 2 𝜎 57 Доплеровское уширение 𝜔′ = 𝜔 1±𝑣 𝑐 2 𝑔 𝜔 − 𝜔0 𝑀𝑐 − ∙ 2𝜋 𝑀𝑐 2 = ∙ 𝑒 2𝑘𝑇 𝜔0 2𝜋𝑘𝑇 𝜔−𝜔0 2 2𝜔02 Штарковское уширение 58 3) Смешанное уширение (контур Фойгта) ∞ 𝐺 𝜔′ − 𝜔0 , 𝜎 𝐿 𝜔′ − 𝜔 − 𝜔0 , 𝜏 𝑑𝜔′ 𝑔 𝜔 − 𝜔0 = −∞ 𝑤 = 0.5346𝑤𝐿 + 0.2166𝑤𝐿2 + 𝑤𝐺2 59 Величины уширения линий в разных средах Механизм Однородное Газы Жидкости Твердые тела Естественное 1 кГц – 10 МГц – – Столкновения 5 – 10 МГц/(мм рт. ст.) ~10 ТГц – – – ~300 ГГц Доплеровское 0.05 – 1 ГГц – – Локальное поле – ~15 ТГц 30 ГГц – 15 ТГц Фононы Неоднородное 60 Структура энергетических уровней YAG:Nd3+ 61 Тонкая структура энергетических уровней Nd3+ Спектры поглощения и излучения 62 63
