Обобщающий урок «Применение непрерывности функции»
Цели:
Обучающие: закрепить умения вычислять пределы функций; продолжить формирование
умений применять непрерывность функций к решению различных задач.
Развивающие: развитие памяти учащихся; развитие умственных операций (обобщение,
сравнение, анализ, синтез); развитие познавательного интереса; развитие
психических процессов мышления, смысловой памяти, аргументированной
речи, доказательного воспроизведения в процессе деятельности; развитие
творческих способностей учащихся.
Воспитательные:
воспитывать
доброжелательность,
дисциплинированность,
взаимоуважение, трудолюбие; воспитывать ответственность за свой учебный
труд; воспитывать культуру ученического труда; развитие эстетических норм и
качеств.
Оборудование: мультимедийный проектор, графопроектор, карточки с заданиями для
групп, слайды с выполненным домашним заданием, чистая плёнка для
выполнения заданий, условия заданий на плакатах.
План урока:
Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
Работа в группах.
Защита выполненных заданий.
Итог урока, задание на дом.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ход урока:
1. Организационный момент. Организую детей на урок, объявляю тему урока и ставлю цель
перед учащимися.
Сегодня на уроке мы заканчиваем изучение темы «Непрерывность функции», поэтому
каждому из вас предоставляется такая возможность: провести небольшое исследование и с
полученными результатами познакомить нас.
2. Проверка домашнего задания. Через мультимедийный проектор предлагается решение
домашнего задания. Ребята, обменявшись тетрадями, проверяют и выставляют оценки.
3. Устная работа. Восстановить в памяти определения:
3.1. Какая функция называется непрерывной в точке?
Функция называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и
её lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
3.2. Какая функция называется непрерывной на отрезке?
Дударева Татьяна Валентиновна 103-619-719
Если функция непрерывна в каждой точке отрезка, то она непрерывна на всём
отрезке.
3.3. Если функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥)непрерывны в точке а, то что можно сказать о их
сумме, произведении и о частном?
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) – непрерывная функция; 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)– непрерывная функция,
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
- непрерывная функция, если 𝑔(𝑥) 0
3.4 Что вы можете сказать о непрерывности рациональной функции?
Рациональная функция непрерывна на области действительных чисел.
3.5 Что вы можете сказать о непрерывности дробно – рациональной функции?
Дробно-рациональная функция непрерывна на своей области определения.
3.6. Какими свойствами обладают непрерывные функции?
а) Если 𝑓(𝑥) непрерывна на отрезке а; b и принимает на его концах значения
разных знаков, то она обращается в нуль хотя бы в одной точке этого отрезка.
б) Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна на интервале а; b и не обращается в нуль
ни в одной точке этого интервала, то она имеет один и тот же знак во всех
точках данного интервала.
4. Работа в группах. Класс разделён на группы по 4 человека. Каждой группе
выдано задание. Учащиеся выполняют задания на плёнке и
представляют его через графопроектор.
ПЕРВАЯ ГРУППА: Исследуйте функцию на непрерывность и постройте схематически
график.
𝑥 + 5, если 𝑥 < −1
𝑓(𝑥) = {𝑥 + 3, если − 1 ≤ 𝑥 < 2
3𝑥 + 5, если 𝑥 ≥ 2
2
Решение: Каждая отдельная функция, входящая в исходную, непрерывна, следовательно, разрывы
могут возникнуть лишь в точках, при переходе через которые одно выражение сменяется другим,
т.е. в точках 𝑥 = −1 и 𝑥 = 2. Рассмотрим, как ведёт себя функция в окрестности точки 𝑥 = −1.
1) 𝑥 = −1
lim (𝑥 + 5) = 4
следовательно, в точке 𝑥 = −1
lim (𝑥 2 + 3) = 4
функция непрерывна.
lim (𝑥 2 + 3) = 7
следовательно, в точке 𝑥 = 2
lim (3𝑥 + 5) = 11
функция имеет разрыв I рода.
𝑥→−1−
𝑥→−1+
2) 𝑥 = 2
𝑥→2−
𝑥→2+
Рисунок1.
Дударева Татьяна Валентиновна 103-619-719
ВТОРАЯ ГРУППА: Найдите область определения функции
у
х 2 7 х 12
х
Решение: Так как арифметический квадратный корень можно вычислить из неотрицательного
𝑥 2 +7𝑥+12
числа, то
𝑥
≥ 0. Вводим функцию 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +7𝑥+12
, 𝐷(𝑓) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) .
𝑥
Находим нули функции 𝑓(𝑥) = 0, тогда 𝑥 2 + 7𝑥 + 12 = 0; по теореме Виета и обратной к ней
получаем 𝑥1 = −3,
𝑥1 + 𝑥2 = −7,
𝑥2 = −4
𝑥1 ∙ 𝑥2 = 12
Рисунок 2.
𝑥 ∈ [−4; −3] ∪ (0; +∞)
Ответ: 𝐷(𝑦) = [−4; −3] ∪ (0; +∞)
ТРЕТЬЯ ГРУППА:
𝒏𝟐 +𝟑𝒏−𝟐
а) Докажите, что 𝐥𝐢𝐦 𝟏+𝟐+⋯+𝒏 = 𝟐
𝒏→∞
𝒙𝟐 −𝟔𝒙+𝟓
б) Вычислите: 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝟐 −𝟐𝟓
𝒙→𝟓
а) В знаменателе дроби под знаком предела стоит сумма членов арифметической прогрессии,
поэтому её можно записать как 𝑠 =
𝑎1 +𝑎2
2
∙𝑛=
1+𝑛
2
∙𝑛 =
𝑛2 +𝑛
2
, тогда
𝟔 𝟒
𝟐+ − 𝟐 𝟐
𝒏𝟐 + 𝟑𝒏 − 𝟐
𝒏𝟐 + 𝟑𝒏 − 𝟐
𝟐𝒏𝟐 + 𝟔𝒏 − 𝟒 [∞]
𝒏 𝒏
𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦
=
= 𝐥𝐢𝐦
= =𝟐
𝟏
𝒏→∞ 𝟏 + 𝟐 + ⋯ + 𝒏
𝒏→∞
𝒏→∞
[∞] 𝒏→∞
𝒏𝟐 + 𝒏
𝒏𝟐 + 𝒏
𝟏
𝟏+
𝒏
𝟐
б) 𝐥𝐢𝐦
𝒙𝟐 −𝟔𝒙+𝟓
𝒙→𝟓 𝒙𝟐 −𝟐𝟓
[𝟎]
(𝒙−𝟓)(𝒙−𝟏)
𝒙−𝟏
𝟒
𝟐
= [𝟎] = 𝐥𝐢𝐦 (𝒙−𝟓)(𝒙+𝟓) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙+𝟓 = 𝟏𝟎 = 𝟓
𝒙→𝟓
ЧЕТВЁРТАЯ ГРУППА:
𝒙→𝟓
Докажите, что уравнение 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟏 имеет корень на отрезке
[𝟎; 𝟏] и найдите его с точностью до 0,1.
Решение: Введём функцию 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 1, она непрерывна на всей числовой прямой, а её
значения 𝑓(0) = 1; 𝑓(1) = −1. Так как функция разных знаков на концах отрезка, то на этом
интервале она может обратиться в нуль хотя бы в одной точке. Разобьем интервал [𝟎; 𝟏] на
более мелкие отрезки и составим таблицу:
𝑥
𝑓(𝑥)
0
1
0,2
0,408
0,4
0,6
0,8
1
−0,135 −0,584 −0,888 −1
Вывод: так как функция меняет знак на отрезке [0,2; 0,4], то корень уравнения с точностью до
0,1 будет равен 𝑥 = 0,3.
Ответ: 𝑥 = 0,3.
ПЯТАЯ ГРУППА: Решить неравенство:
(𝒙−𝟐)𝟑 (𝒙+𝟓)
>0
(𝒙+𝟑)𝟐
Дударева Татьяна Валентиновна 103-619-719
Решение: Вводим функцию 𝑓(𝑥) =
(𝒙−𝟐)𝟑 (𝒙+𝟓)
(𝒙+𝟑)𝟐
; 𝐷(𝑓) = (−∞; −3) ∪ (−3; +∞)
Найдём нули функции: 𝑓(𝑥) = 0, следовательно, (𝑥 − 2)3 (𝑥 + 5) = 0, тогда 𝑥 = 2, 𝑥 = −5.
Рисунок 3.
𝑓(3) =
(3−2)3 (3+5)
(3+3)2
> 0;
𝑓(0) =
−40
9
−216
< 0; 𝑓(−4) = (−1)2 < 0;
𝑥 ∈ (−∞; −5] ∪ [2; +∞)
Ответ: 𝑥 ∈ (−∞; −5] ∪ [2; +∞)
5. Защита выполненных работ.
6. Подведение итогов, задание на дом: №254(в, г); №250(в, г)
𝑓(−6) =
(−8)3 (−1)
(−3)2
>0
