Лекция 14. Непрерывность функции. 14.1. Определения непрерывности функции. Определение 14.1. Функция f x называется непрерывной в точке a, если она удовлетворяет следующим трём условиям: 1) f x определена в точке а (то есть существует f a ); 2) f x имеет конечный предел функции при x а ; 3) этот предел равен частному значению функции в точке а, то есть lim f x f a . xa Определение 14.2. Функция f (x ) называется непрерывной справа (слева) в точке a, если правое (левое) предельное значение этой функции в точке a существует и равно частному значению f a lim f x f a . x a 0 Пример 14.1. Приведём примеры непрерывных функций: 1) f x x n , так как lim f x a n f a . x a Pn x при Qm a 0 . Qm x 3) Функция f x sgn x свойством непрерывности в точке x 0 не обладает. 2) R x Определение непрерывности в точке а может быть записано и так: lim f x f lim x , xa xa то есть для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции. Очевидно, что непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью её графика при прохождении данной точки (без отрыва карандаша от листа бумаги). Дадим аргументу а приращение х . Тогда функция y f x получит приращение у , определяемое как разность наращенного и исходного значений функции (см. рис. 14.1): у f a x f a . Рис. 14.1. Определение 14.3. Функция y f x называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim y 0 . x 0 Определение 14.4. Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва функции. Например, функция Дирихле разрывна в каждой точке ; . Точки разрыва имеют различный характер и классифицируются следующим образом. 1) Если f a 0 f a 0 f a , то а называется точкой устранимого разрыва функции f x . При этом значение f a может быть и не определено. 2) Если f a 0 f a 0 , то а называется точкой разрыва с конечным скачком функции f x . Значение f a может быть любым, а может быть и не определено. 61 3) Конечный скачок и устранимый разрыв функции f x называются разрывами I рода. Их отличительным признаком является существование конечных односторонних пределов f a 0 и f a 0 . Все другие разрывы называются разрывами II рода. В точке разрыва II рода хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует. Пример 14.2. 1) Пусть x при х 0; Очевидно, f x 1 при х 0. f 0 0 f 0 0 0 , но f 0 1 (рис. 14.2). Следовательно, x 0 – точка устранимого разрыва функции f x . Если положить f 0 0 , то разрыв устраняется. Рис. 14.2. x при х 0; 2) Пусть f x Здесь f 0 0 1, f 0 0 0 (рис. 14.3). Следовательно, x 1 при х 0. x 0 – точка разрыва с конечным скачком функции f x . При переходе через точку x 0 значения функции f x меняются скачком от значений, сколь угодно близких к 1 при x 0 к значению, равному 0 в точке x 0 , и значениям, сколь угодно близким к 0 при x 0 . Рис. 14.3. 62 1 3) Пусть f x 5 x x 0 . Определим односторонние пределы: f 0 0 0 , f 0 0 . Точка x 0 – точка разрыва функции f x II рода (рис. 14.4). Рис. 14.4. Определение 14.5. Функция непрерывна на множестве x, если она непрерывна в любой точке x x. Функция непрерывна на интервале a; b или на сегменте a; b , если lim f x f a ; lim f x f b . xa 0 x b 0 14.2. Свойства функций, непрерывных в точке. ♦ Теорема 14.1. 1) Если функции f x и g x определены на x и непрерывны в точке a, f x то их алгебраическая сумма (разность) f x g x , произведение f x g x и частное g x g a 0 являются функциями, непрерывными в точке a. Доказательство следует из определения непрерывности функции и аналогичных свойств пределов функций. ■ ♦ 2) Если функция y f x непрерывна в точке а и f a 0 , то существует такая окрестность точки а, в которой f x 0 . Доказательство этого свойства основывается на том, что при малых приращениях аргумента х 0 в соответствии с определением 14.3 можно получить как угодно малое приращение функции у , так что знак функции y f x в окрестности точки а не изменится. ■ ♦ 3) Если функция y f u непрерывна в точке u0 , а функция u x непрерывна в точке x0 , и x0 u0 , то сложная функция y f x непрерывна в точке x 0 . Доказательство. Малому приращению аргумента х 0 в силу определения 14.3 соответствует как угодно малое приращение u 0 , приводящее, в свою очередь, в силу того же определения непрерывности функции y f u к как угодно малому приращению у 0. ■ Свойство 3 может быть записано в виде lim f x f lim x , x a x a то есть под знаком сложной функции можно переходить к пределу. Функция y f x называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения. 63 Пример 14.3. Доказать непрерывность функции y cos x . 2 x x x sin Найдём lim y lim cosx x cos x 2 lim sin 0 . Таким образом, x 0 x 0 x 0 2 2 получили, что lim y 0 , следовательно, по определению 14.3 функция y cos x является x 0 непрерывной на всей числовой оси. Отметим ещё некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке: 1) Если функция y f x непрерывна на отрезке а; b, то она ограничена на этом отрезке (см. рис. 14.5). Рис. 14.5. 2) Если функция y f x непрерывна на отрезке а; b, то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M (см. рис. 14.6). Рис. 14.6. 3) Если функция y f x непрерывна на отрезке а; b и значения её на концах отрезка f a и f b имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдётся точка a; b такая, что f 0 (cм. рис. 14.7). Рис. 14.7. 64