Тема: Непрерывность функции 1. Приращения аргумента и функции Опр. z

Тема: Непрерывность функции
1. Приращения аргумента и функции
Опр. Приращением z любой переменной
величины z называется разность между новым
значением этой величины и ее прежним
значением:
z=z1-z.
Пусть y=f(x) – некоторая функция. Дадим
аргументу x приращение х, тогда y получит
приращение y:
y+y = f(x+х).
Т.е. y = f(x+х)- f(x).
1
Геометрическая интерпретация
2
2. Непрерывность и разрыв
Опр. Функция f(x), определенная на
множестве X, называется непрерывной в
точке x, если:
1) функция определена в точке х;
2) y  0 при х= x1-х0, т.е.
lim[ f ( x  x )  f ( x )]  0.
x  0
3
Опр. Функция f(x) называется непрерывной
на множестве X, если:
1) функция определена на множестве X;
2) непрерывна в каждой точке этого
множества, т.е. x  X : lim y  0.
x0
1, x  [0,1]

Пример. f ( x)  
0, x  [0,1]
Функция непрерывна на [0,1], но не
является непрерывной на X=R.
4
Точки разрыва
Опр. Точка, в которой нарушается непрерывность
функции, называется точкой разрыва этой функции.
Пусть х=х0 – точка разрыва функции y=f(x), тогда
возможны случаи:
1й случай.
f(x) определена при х=х0 и lim y  0.
x0
2й случай.
f(x) не определена при х=х0 и говорить о y в т. х0
не имеет смысла.
Эту точку условимся называть точкой разрыва
только тогда, когда функция определена в
непосредственной близости значения х0.
5
Опр.
Если
можно
изменить
или
дополнительно определить ф-ию f(x) в т. х0 так,
что измененная функция f(x) будет непрерывна
при х=х0 , то эта точка называется устранимой
точкой разрыва f(x).
Если f(x) остается разрывной в т. х0 при
любом выборе f(x0), то эту точку называют
неустранимой точкой разрыва f(x).
6
3. Классификация точек разрыва
1. Неустранимый разрыв 1го рода:
если
lim f ( x)  lim f ( x)
xx0 0
xx0 0
и оба предела существуют и конечны;
= f(x0+0)- f(x0-0) – скачок функции f в точке x0.
7
2. Устранимый разрыв 1го рода:
lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 )
если x
x0 0
xx0 0
и оба предела существуют и конечны.
8
3. Разрыв 2го рода (неустранимый):
если хотя бы один из односторонних
f ( x) или lim f ( x)
пределов x lim
x0  0
x  x0  0
не существует или бесконечен.
9
4. Свойства непрерывных функций
Теорема 1. Сумма конечного числа
непрерывных функций есть функция
непрерывная.
Теорема 2. Произведение конечного числа
непрерывных функций есть функция
непрерывная.
Следствие. Целый полином (многочлен)
P(x)=a0+a1x+…+anxn
есть
функция
непрерывная.
10
Теорема 3. Частное от деления двух
непрерывных
функций
есть
функция
непрерывная во всех точках, в которых
делитель не равен 0.
Следствие. Дробная рациональная функция
непрерывна всюду, за исключением тех
значений х, где знаменатель равен 0.
Теорема 4. Сложная функция, состоящая из
непрерывных функций, непрерывна.
11
Теорема 5. Если функция y=f(x) непрерывна
и строго монотонна на промежутке (a;b), то 
однозначная обратная функция x=(y),
определенная на (f(a);f(b)), причем эта функция
непрерывна и монотонна.
12
Непрерывность основных
элементарных функций
1. Степенная функция y=xn непрерывна
xR.
2. Показательная функция y=ax
непрерывна xR и а>0.
3. Тригонометрические функции
y=sin x и y=cos x непрерывны xR.
Теорема. Все элементарные («школьные») функции
непрерывны в своей области определения.
13