{ определение непрерывности функции в точке

{ определение непрерывности функции в точке - пример - классификация точек разрыва – примеры функции, непрерывные на множестве - свойства непрерывных функций - равномерно непрерывная
функция }
Пусть f
: X  Rm, X  Rm .
Функция непрерывна в точке x0 и x0 -
x0  X ,
и существует lim f ( x )  f ( x0 ) .
точка непрерывности функции f(x) , если
точка X
x0 – предельная
x x0
x0 – точка разрыва функции f(x) , если x0 – предельная точка X и она
не является точкой непрерывности f(x) .
Функция f(x) непрерывна в точке x0 , если:
  0   0 :
y
x  x0    f ( x )  f ( xo )  
f ( x )  f ( xo )  
y = f(x)
f ( x0 )
f(x)
0
(
x0 - 
)
x0 + 
x0
x  x0  
x
Функция f(x) непрерывна в точке x0 если  lim
x x0
y  1 x2
D: x 1
lim 1  x 2  1  y
x 0
f ( x )  f ( x0 )
x 0
 1 0 2  1
y
x
0
Функция f(x) непрерывна в точке x0 , если бесконечно малому приращению
аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции
 lim ( x  x0 )  0   lim ( f ( x )  f ( x0 ))  0
x x0
x x0
x  infinitesimal   y  infinitesimal
@
Доказать, что функция e
x
непрерывна в точке 0
Решение
x
Требуется доказать, что | e – 1 | <  при | x | < ()
   ex 1  

1    ex  1  
логарифмируем последние неравенства по основанию e
 ln
ln( 1   )  x  ln( 1   )


 (  )  min ln( 1   ), ln
1 
1   
1
1 
 x  ln( 1   )
 (  )  x  (  )
Итак, чтобы заданная функция была непрерывна
при x = 0, достаточно потребовать x  ln( 1   )
x0 предельные точки X
  0 :
X  ( x0 ; x0   )  {}
  0 :
X  ( x0 ; x0   )  {}
первого ( I ) рода
второго ( II ) рода
 lim f ( x )  R \ { f ( x0 )}
x0  X 
 lim f ( x )  R
 lim f ( x )  R \ { f ( x0 )}
x0  X 
 lim f ( x )  R
x x0 0
x x0 0
x x0 0
x x0 0
 lim f ( x )  R
  0 :
X  ( x0 ; x0   )  {}
X  ( x0 ; x0   )  {}
x x0 0
lim f ( x )  f ( x0 ) 
x x0 0
lim f ( x )  f ( x0 ) 
x x0 0
x0  X
Не существует хотя
бы одного конечного
одностороннего
предела
@
x , x  0
x0  0
f( x )  
 1, x  0
lim f ( x )  1  f ( 0 )  1
y
x 0
x 0
x
0
-1
lim f ( x )  lim x  f ( 0 )  0
x 0
x 0
x 0
x 0
Разрыв первого рода
@
1
x
f ( x )  2 , D : x  R\ { 0 }
lim 2
x 
lim 2
1
x
x 0
x 0
lim 2
x 0
x 0
1
x
1
x
y
1
1
 0 f ( 0 )
  f ( 0 )
x0  0
x
0
lim 2
x 
1
x
1
Разрыв второго рода
Функция непрерывна в точке, если данная точка является ее точкой
непрерывности, функция непрерывна на множестве, если она непрерывна
в каждой точке данного множества.
Пусть y = f(x) - непрерывна и строго монотонна на промежутке Х , тогда
справедливо следующее:
на промежутке Y существует непрерывная обратная функция x = f -1(y) ,
характер монотонности обратной функции такой же, как и у прямой.
Все элементарные функции – непрерывны в области своего определения.
y  arctgx D : x  R
p/2
y
0
-p/2
x
Теорема 1
Пусть X  R n , f , g : X  R m непрерывны в x0  X . Тогда f + g , fg , и f / g
( если g ( x0 )  0 ) непрерывны в x0 .
Теорема 2
Если X  R n , Y  R m , f : X  Y , g : Y  R l , y0  f ( x0 ) , f непрерывна в x0 ,
g непрерывна в y0 , тогда g( f(x) ) непрерывна в x0 .
g
y
y = f(x) = -x
0
x
g ( f(x) ) = e-x2
2
0
x
Теорема 3 (Вейерштрасса)
Область значений непрерывной на замкнутом ограниченном множестве
функции замкнута и ограничена.
Теорема 4 (Больцано–Коши, о промежуточном значении)
Если f : [ a ; b ]  R непрерывна на [ a, b ] и f(a) f(b) < 0 , то
существует c  ( a ; b ) , для которой f(c) = 0 .
y
f(a)
y
f(a)
Разрывная функция
f( x ) 0
a
[
c
0
]
b x
f(b)
a
[
]
b
f(b)
x
Функция f : X  R m , X  R n равномерно непрерывна на X , если
  0 :   0 : x , x   X : x  x     f ( x )  f ( x )  
Пример
2
1
1
2
, x 
, n N
н .ф . x  (0; ] x0 
( 2n  1 )p
np
x
p
( 2n  1 )p
 f ( x0 )  sin
 1 , f(x)  sin( np )  0
2
f ( x )  sin
 f ( x )  f ( x0 )  1
То есть для  = 1 нельзя указать  ,
удовлетворяющее неравенству x  x0
одновременно для всех
Равномерной непрерывности нет.

2
x , x0  ( 0 , ]
p
.