Основные теоремы дифф. исчисления

§ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
ТЕОРЕМА 1 (Ролля). Пусть функция y  f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b) . Если значения функции на концах отрезка равны, т.е. f (a)  f (b) , то существует хотя бы
одна точка   (a; b) такая, что f ( )  0 .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Так как y  f (x) непрерывна на отрезке [a; b] , то по теореме Вейерштрасса она принимает на [a; b] свое наибольшее значение M и
наименьшее значение m . Т. е. существуют x1, x2  [a; b] такие, что
M  f ( x1 )  f ( x) , x  [a; b] ,
m  f ( x2 )  f ( x) , x  [a; b] .
Для чисел M и m имеются две возможности: M  m и M  m . Рассмотрим их.
1) Пусть M  m . Так как m  f ( x)  M , x  [a; b] , то в этом случае получаем
f ( x)  m  M , x  [a; b] .
Т.е. функция f (x) на отрезке [a; b] сохраняет постоянное значение и,
следовательно, в любой точке интервала (a; b) ее производная равна нулю. В этом случае за  можно взять любую точку интервала (a; b) .
2) Пусть M  m . Так как значения функции на концах отрезка равны,
то хотя бы одно из значений M или m функция принимает во внутренней точке отрезка [a; b] , т.е. либо x1  (a; b) , либо x2  (a; b) . Пусть,
например, x1  (a; b) . Покажем, что x1 и будет искомой точкой  , т.е.
что f ( x1 )  0 .
Действительно, т.к. M – наибольшее значение функции на [a; b] , то
для любого  x
 f ( x1 )  f ( x1   x)  f ( x1 )  0
(при этом предполагается, что x1   x  [a; b] ).
 f ( x1 )
Тогда
 0 , если  x  0
x
 f ( x1 )
и
 0 , если  x  0 .
x
Так как по условию производная функции f (x) в точке x1 суще f ( x1 )
 f ( x1 )
 f ( x1 )
ствует, то существуют lim
, lim
, lim
, причем
 x 0  x
 x  0  x
 x  0  x
имеет место равенство
 f ( x1 )
 f ( x1 )
 f ( x1 )
lim
 lim
 lim
.
(1)
 x 0  x
 x  0  x
 x  0  x
 f ( x1 )
 f ( x1 )
lim
 0 (так как
Но
 0 , если  x  0 )
 x  0  x
x
 f ( x1 )
 f ( x1 )
lim
 0 (так как
а
 0 , если  x  0 ).
 x  0  x
x
Следовательно, равенство (1) возможно только если
 f ( x1 )
 f ( x1 )
 f ( x1 )
lim
 lim
 lim
 0.
 x 0  x
 x  0  x
 x  0  x
 f ( x1 )
 0,
Итак, мы доказали, что если x1  (a; b) , то f ( x1 )  lim
 x 0  x
т.е. x1 и есть искомая точка  . ∎
ТЕОРЕМА 2 (Лагранжа). Пусть функция y  f (x) непрерывна на
отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b) . Тогда существует хотя бы одна точка   (a; b) такая, что
f (b)  f (a)
(2)
 f ( ) .
ba
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Рассмотрим вспомогательную функцию
f (b)  f (a)
F ( x)  f ( x)  f (a ) 
( x  a) .
ba
Функция F (x) удовлетворяет на [a; b] условиям теоремы Ролля.
Действительно,
1) F (x) непрерывна на [a; b] (как сумма непрерывных на [a; b] функций);
2) F (x) дифференцируема на (a; b) (как сумма дифференцируемых на
(a; b) функций);
3) F (b)  F (a)  0 .
Следовательно, по теореме Ролля, существует хотя бы одна точка
  (a; b) такая, что F ( )  0 . Но
f (b)  f (a)
 f (b)  f (a)

,
F ( x)  f ( x)   f (a)   
( x  a)   f ( x) 
ba
ba


f (b)  f (a)
0
ba
f (b)  f (a)
⇒ f ( ) 
. ∎
ba
⇒ F ( )  f ( ) 
Замечание. Формулу (2) можно переписать в виде
f (b)  f (a)  f ( )  (b  a)
(3)
Формулу (3) называют формулой Лагранжа или формулой конечных
приращений.
СЛЕДСТВИЕ теоремы Лагранжа. Пусть функция y  f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b) . Функция f (x) принимает на отрезке [a; b] постоянное значение C тогда и
только тогда, когда f ( x)  0 , x  (a; b) .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1) Необходимость (⇒).
f ( x)  C , x  [a; b] .
Имеем:
f ( x)  C   0 , x  (a; b)
Тогда
(см. правила дифференцирования).
2) Достаточность (⇐).
f ( x)  0 , x  (a; b) .
Имеем:
f ( x)  C , x  [a; b] .
Докажем, что
Пусть x1, x2  [a; b] , x1  x2 . На отрезке [ x1; x2 ] функция y  f (x)
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. Следовательно, существует
хотя бы одна точка   ( x1; x2 ) такая, что
f ( x2 )  f ( x1 )  f ( )  ( x2  x1 ) .
Но по условию f ( )  0 . Следовательно,
f ( x2 )  f ( x1 )  0 ,
⇒ f ( x2 )  f ( x1 ) , x1, x2  [a; b] ,
⇒ f ( x)  C , x  [a; b] . ∎
ТЕОРЕМА 3 (Коши). Пусть функции f (x) и  (x) непрерывны на
отрезке [a; b] и дифференцируемы на интервале (a; b) , причем
 ( x)  0 , x  (a; b) . Тогда существует хотя бы одна точка   (a; b)
такая, что
f (b)  f (a) f ( )
.

 (b)   (a)  ( )
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1) Докажем сначала, что  (b)   (a)  0 .
Предположим противное. Пусть  (b)   (a)  0 .
⇒  (b)   (a) .
Тогда, по теореме Ролля, существует хотя бы одна точка   (a; b) такая,
что f ( )  0 . Но это противоречит условию теоремы. Следовательно,
предположение неверно и  (b)   (a)  0 .
2) Рассмотрим вспомогательную функцию
f (b)  f (a)
 ( x)   (a).
F ( x)  f ( x)  f ( a ) 
 (b)   (a)
Функция F (x) удовлетворяет на [a; b] условиям теоремы Роля.
Действительно,
1) F (x) непрерывна на [a; b] (как сумма непрерывных на [a; b] функций);
2) F (x) дифференцируема на (a; b) (как сумма дифференцируемых на
(a; b) функций);
3) F (b)  F (a)  0 .
Следовательно, по теореме Ролля, существует хотя бы одна точка
  (a; b) такая, что F ( )  0 .
 f (b)  f (a)


Но
F ( x)  f ( x)   f (a)   
( ( x)   (a))  ,
  (b)   (a)

f (b)  f (a)
⇒ F ( x)  f ( x) 
  ( x) ,
 (b)   (a)
f (b)  f (a)
⇒ F ( )  f ( ) 
  ( )  0 ,
 (b)   (a)
и, так как  ( )  0 ,
f (b)  f (a) f ( )
. ∎

 (b)   (a)  ( )