Н.С. Переславцева В.В. Елисеев А.А. Воропаев РУКОВОДСТВО К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО МЕХАНИКЕ: СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Учебное пособие Воронеж 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет» Н.С. Переславцева В.В. Елисеев А.А. Воропаев РУКОВОДСТВО К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО МЕХАНИКЕ: СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Утверждено учебно-методическим советом университета в качестве учебного пособия Воронеж 2017 УДК 539.3/6(075.8) ББК 22.3я7 П 272 Переславцева Н.С. Руководство к выполнению контрольной работы по механике: сопротивление материалов: учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые и граф. данные (1,9 Мб) / Н.С. Переславцева, В.В. Елисеев, А.А. Воропаев. – Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017. – 1 электрон. опт. диск (СD-ROM): цв. – Систем. требования: ПК 500 и выше; 256 Мб ОЗУ; Windows XP; SVGA с разрешением 1024х768; Adobe Acrobat; CD-ROM дисковод; мышь. – Загл. с экрана. Учебное пособие содержит программу курса, краткий теоретический материал, задания на контрольную работу, примеры решения задач, вопросы для самопроверки и список литературы. Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению 13.03.01 «Теплоэнергетика и теплотехника» (направленность «Промышленная теплоэнергетика»), дисциплине «Механика»; направлению 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» (направленность «Электромеханика», «Электроснабжение», «Электропривод и автоматика»), дисциплине «Прикладная механика». Табл. 4. Ил. 88. Библиогр.: 11 назв. Рецензенты: кафедра «Социально-гуманитарные, естественнонаучные и общепрофессиональные дисциплины» филиала РГУПС в г. Воронеж (зав. кафедрой канд. техн. наук, доц. О.А. Лукин); д-р техн. наук, проф. Д.В. Хван © Переславцева Н.С., Елисеев В.В., Воропаев А.А., 2017 © ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017 ВВЕДЕНИЕ Современная механика – это отрасль знаний, которая создает и исследует механические модели для описания изменений положения и формы материальных объектов, их прочности и надежности при воздействии эксплуатационных нагрузок, в агрессивных условиях и при аварийных ситуациях. Целью преподавания дисциплины студентам технических специальностей является обеспечение их знаниями, необходимыми для решения вопросов конструирования, расчета, использования машин в производственно-технологических проектах, конструкторских и исследовательских задачах. В курсе дисциплины изучаются основные положения «Сопротивления материалов» и «Деталей машин и механизмов». Для изучения курса необходимо иметь соответствующую математическую подготовку. Перечень разделов других дисциплин, знание которых необходимо при изучении механики: – Дисциплина «Математика». Разделы: «Векторная алгебра» (операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведение; определители, матрицы, методы решения алгебраических систем); «Дифференциальное и интегральное исчисление» (понятие дифференциала и производной; вычисление и геометрический смысл производных; производные сложных функций; функции многих переменных, частные производные; неопределенный интеграл; криволинейные, двойные, тройные интегралы, примеры вычисления площадей и объемов, центров тяжести фигур); «Дифференциальные уравнения» (обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядков, общие и частные решения; примеры интегрирования 3 дифференциальных уравнений, методы разделения переменных, вариации переменных и др.; однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, подстановки Эйлера, приемы отыскания частных решений); – Дисциплина «Физика». Разделы: «Физические основы классической механики» (элементы кинематики точки; силы трения); – Дисциплина «Теоретическая механика». Разделы: «Статика» (виды силового воздействия; типы реакций связей; момент силы относительно точки и оси; условия равновесия системы сил; центр масс; моменты инерции твердого тела); «Кинематика» (простейшие виды движения твердого тела; кинематика плоского механизма); «Динамика и аналитическая механика» (потенциальное силовое поле; принцип Лагранжа; теория колебаний; теория удара); – Дисциплина «Материаловедение» (упругая и пластическая деформация; состав и механические свойства материалов; диаграмма состояния железо-цементит; кристаллическая структура, строение, текстура металлов и композитов); – Дисциплина «Инженерная графика» (оформление чертежей и технической документации в системе ЕСКД). ПРОГРАММА КУРСА В программе дается перечень вопросов, которые, как основная часть курса, должны изучаться студентами всех направлений подготовки. Также приводятся вопросы, которые в зависимости от степени их актуальности для данной направленности и числа часов, отведенных на дисциплину учебным планом, могут по решению кафедры включаться в программу не полностью или не включаться вовсе. Эти вопросы поставлены в скобках и о включении их в программу кафедра должна сообщить студентам. По решению кафедры 4 для отдельных направленностей в программу могут включаться и другие дополнительные вопросы, перечень которых тоже должен быть представлен студентам. «Сопротивление материалов» Введение в сопротивление материалов. Роль и место раздела «Сопротивление материалов» в курсе механики. Расчетные схемы. Типы нагрузок и других факторов, влияющих на расчетные схемы. Метод сечений. Внутренние силовые факторы. Основные виды деформирования: растяжение, кручение, изгиб. Напряжения. Перемещения. Деформации. Закон Гука. Принцип Сен-Венана. Основные гипотезы и теоремы сопротивления материалов. Свойства материалов. Геометрические характеристики плоских сечений. Статические моменты. Центр тяжести сечения. Осевые, центробежный и полярный моменты инерции сечения. Главные оси, главные моменты инерции сечения. Механические испытания материалов. Испытания на одноосное растяжение. Диаграмма растяжения. Характеристики прочности. Характеристики пластичности. Влияние на механические свойства температуры, скорости деформирования. Растяжение. Напряжения и деформации при растяжении-сжатии стержней. Закон Гука. Понятие о статически неопределимых стержневых системах. Расчет на прочность и жесткость при растяжении. Закон Пуассона Кручение. Кручение круглого прямого вала. Эпюры крутящих моментов в поперечных сечениях вала. Напряжения и деформации при кручении. Расчеты на прочность и жесткость при кручении. (Пути экономии материалов при проектировании валов. Определение внутренних усилий в валах). Изгиб. Виды изгибов. Плоский прямой изгиб. Внутренние силовые факторы, нормальные и касательные напряжения в балке. Дифференциальные зависимости 5 Журавского и следствия из них. Условия прочности при изгибе. Косой изгиб. (Внецентренное растяжение-сжатие). Расчеты на жесткость при изгибе. Дифференциальное уравнение упругой оси балки. Расчет на устойчивость стержневых систем. Задача Эйлера о продольно сжатых стержнях. (Влияние способов закрепления на критическую силу Эйлера. Диапазон применимости формулы Эйлера). Коэффициент экономичности. Теория напряженно-деформированного состояния. Теории прочности. Циклическое нагружение. Напряженное состояние в точке. Закон парности касательных напряжений. Напряжения на произвольно ориентированной площадке. Тензор напряжений. Главные площадки и главные нормальные напряжения. Главные касательные напряжения. Классификация типов напряженных состояний. Понятие о деформированном состоянии. Обобщенный закон Гука. Условие несжимаемости. Энергия деформирования. Главные деформации, главные оси. Чистый сдвиг. Деформации при сдвиге. Закон Гука при сдвиге. (Срез). Теории прочности. Разрушение. Вязкое и хрупкое разрушение. Хрупкое разрушение при статическом нагружении. Вязкость разрушения. Контактные напряжения. Контактная прочность. (Различные случаи контакта тел). Причины концентрации напряжений. Теоретический и эффективный коэффициенты концентрации напряжений. Усталость материалов. Кривая усталости. Предел выносливости и базовое число циклов нагружения. Влияние различных факторов на выносливость материала. Геометрия оболочек вращения. Уравнение Лапласа. Расчеты на прочность оболочек вращения. (Расчет на прочность сферической и цилиндрической оболочек). «Детали машин» Введение. Цели и задачи дисциплины. Классификация деталей машин. Критерии работоспособности. Элементы теории надежности. Чистота обработки деталей машин. 6 Допуски и посадки. Квалитеты точности. Системы отверстий и вала. Передачи. Классификация передач. Силовые и кинематические параметры передач. Зубчатая передача. Основная теорема зацепления. Геометрия цилиндрических и конических зубчатых передач. Зубчатые передачи со смещением. (Зубчатые передачи Новикова). Усилия в зацеплении. Формула Герца. Расчеты зубчатых передач на контактную выносливость и по напряжениям изгиба. Ременная передача. Скольжение в ременной передаче. Расчет по тяговой способности. Расчет на долговечность. Задача Эйлера. Валы. Расчеты валов на прочность. Уточненный расчет валов. Расчет валов на колебания. Подшипники. Подшипники скольжения. Расчеты подшипников скольжения при различных режимах нагружения. Расчет подшипников качения на долговечность. (Виды и условия смазки подшипников скольжения и качения). Муфты. Назначение и классификация муфт. Устройство и принципы действия жестких муфт, компенсационных муфт, синхронных и асинхронных муфт, самодействующих муфт. (Расчет элементов муфт) Соединения. Классификация соединений. Разъемные и неразъемные соединения. Расчеты сварных и заклепочных соединений. Резьбовые соединения. Усилия в резьбе. Коэффициент полезного действия. (Расчеты соединений в различных условиях нагружения). Шлицевые, шпоночные и штифтовые соединения. Расчеты на прочность. (Фигурные соединения). Заклепочные соединения. В результате изучения дисциплины студенты должны знать о видах деформирования наиболее часто встречающихся элементов конструкций; основы проектирования и расчета деталей машин и критерии их работоспособности; уметь использовать методы, понятия, модели и законы механики; решать задачи по основным разделам сопротивления материалов и деталей машин; владеть навыками проведения 7 расчетов на прочность, жесткость стержневых систем; проектировать и проводить расчеты на прочность некоторых деталей машин. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ КУРСА Изучение дисциплины проводится в течение двух семестров. В данном пособии изложены основные понятия и задания для изучения первого раздела курса – «Сопротивление материалов». В течение семестра студенты выполняют контрольную работу, которая должна быть зачтена до начала сессии. Небрежно оформленные работы или выполненные не по тому варианту не проверяются! Незачтенные работы возвращаются с замечаниями для исправления. Контрольная работа оформляется в тонкой тетради. На обложке указывается следующая информация: Контрольная работа по дисциплине «ххххх» студента ФЗО группы «ххххх» Ххххх Ххххх Ххххх (Ф.И.О. полностью) № зачетной книжки: ххххх Дата сдачи на проверку: ххххх Подпись: ххххх Контрольная работа состоит из трех задач: Р1 (растяжение-сжатие), К1 (кручение) и И1 (изгиб). К каждой задаче дается 10 рисунков и таблица дополнительных условий. Нумерация рисунков двойная. Например, рис. Р1.4 – это рис. 4 к задаче Р1 и т.д. Номера условий от 0 до 9 проставлены в 1-ом столбце таблицы. Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпоследней цифре номера зачетной книжки, а номер условия в таблице – по последней. Например, если номер книжки оканчивается числом 46, то берется рисунок 4 и условие 6 из таблицы. 8 Решение каждой задачи рекомендуется начинать с новой страницы на развороте тетради. Сверху указывается номер задачи, делается чертеж (только карандашом!) и записывается, что в задаче дано и требуется определить (текст задачи не переписывать). Чертеж выполняется с учетом условий решаемого варианта задачи, на нем все углы, действующие силы, геометрические параметры тел должны соответствовать этим условиям. Построение эпюр проводится под схемой нагружения в строгом соответствии с масштабом! Решение задачи необходимо сопровождать краткими пояснениями (какие формулы и критерии применяются, какие ГОСТы используются, откуда получаются те или иные результаты и т.п.) и подробно излагать весь ход расчетов. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний. На зачет/экзамен необходимо представить зачтенную преподавателем работу, в которой все погрешности и замечания должны быть исправлены. Зачтенная работа является необходимым допуском к аттестационному испытанию, во время которого студент должен ответить на любой вопрос, относящийся к выполненному заданию. При выполнении работы следует пользоваться обозначениями, приведенными в таблице ниже. ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Обозначения Размерность a,b,... м (метр) длина участка стержня, вала, балки D, d м диаметр Е Па (паскаль) модуль Юнга (модуль упругости первого рода) F м2 площадь поперечного сечения стержня, вала, балки 9 Продолжение таблицы G Па J max , J min м4 Jp м4 Jx , J y м4 J xy м4 l м M, m Н м модуль сдвига (модуль упругости второго рода) главные моменты инерции сечения полярный момент инерции сечения осевые моменты инерции сечения центробежный момент инерции сечения длина стержня момент внешних сил; скручивающий момент M A , mA Н м реактивный момент M O , mO Н м Mx , M y Н м Mк Н м N Н (ньютон) n алгебраический момент силы относительно точки O на плоскости; изгибающие моменты относительно главных центральных осей поперечного сечения крутящий момент относительно продольной оси вала нормальная (продольная) сила, усилие в поперечном сечении стержня коэффициент запаса прочности; степень статической неопределимости системы; 10 Продолжение таблицы P Н сосредоточенная сила; Px , Py , Pz Н проекции силы на оси; Qx , Q y Н q Н/м RA , RAx , X A Н силы реакции r м радиус-вектор поперечные (перерезывающие) силы интенсивность распределенной нагрузки 3 статические моменты сечения относительно осей поперечного сечения C температура Sx , S y м T t c u, v время главные центральные оси инерции поперечного сечения Wp м3 полярный момент сопротивления сечения Wx , W y м3 осевые моменты сопротивления сечения град -1 оси координат; координаты точки коэффициент линейного расширения угловая деформация (угол сдвига) x, y, z рад 11 Окончание таблицы l м абсолютное удлинение м статическое перемещение n е p рад/м [...] относительная продольная деформация относительная поперечная деформация относительная упругая деформация относительная пластическая (остаточная) деформация относительный угол закручивания коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации) Па нормальное напряжение Па касательное напряжение рад угол закручивания допускаемые параметры Методические указания по решению задач даются для каждой задачи после изложения ее текста под рубрикой «Указания», затем приводится пример решения задачи. Цель примера – разъяснить ход решения, но не воспроизводить его полностью. Поэтому в ряде случаев промежуточные расчеты опускаются. Но при выполнении задания все преобразования и числовые расчеты должны быть обязательно проделаны с 12 необходимыми пояснениями, в конце должны быть даны ответы. Естественно, решение задач необходимо предварять изучением теоретического материала. При изучении теории сначала следует прочитать весь материал темы, особенно не задерживаясь на том, что представляется не совсем понятным. Часто первоначально неясные положения становятся понятны при дальнейшем изложении материала. Затем следует вернуться к местам, вызвавшим затруднения и внимательно разобраться в том, что было неясно. Особое внимание при повторном чтении следует обратить на формулировки основных понятий, определений, теорем и т.п. В точных формулировках существенно каждое слово и очень полезно понять, почему данное положение сформулировано именно так. Закончив изучение темы, полезно составить краткий конспект. При составлении конспекта следует указывать страницы учебника, на которых излагается соответствующий раздел, и заносить возникающие вопросы. При составлении конспекта следует использовать и материалы лекции. Данное учебное пособие разработано с учётом того, что в настоящих учебных планах выделяется значительное число часов на самостоятельное изучение дисциплины. Для этого в пособие включена теоретическая часть, кратко, но ёмко охватывающая основные понятия, критерии, теоремы, необходимые для решения задач соответствующих разделов. Подчеркиваем, что в данном пособии изложены лишь основы теории сопротивления материалов, без которых нельзя решить задачи контрольной работы. Для освоения программы курса необходимо воспользоваться дополнительными источниками. Список рекомендуемой литературы приведен в конце пособия. В конце каждого раздела приведены контрольные вопросы, позволяющие студентам самостоятельно оценить степень их знаний. 13 1. ВВЕДЕНИЕ В СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Сопротивление материалов – это дисциплина о прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций. Под прочностью понимается способность элемента конструкции сопротивляться эксплуатационным нагрузкам без разрушения. Под жесткостью понимается способность элемента конструкции сопротивляться эксплуатационным нагрузкам без недопустимых изменений его формы и размеров. Здесь следует заметить, что если в теоретической механике тела принимаются как абсолютно жесткие, то в сопротивлении материалов тела рассматриваются как деформируемые, то есть, учитывается, что под действием внешних сил (нагрузок) тело меняет свою форму и размеры (деформируется). Под устойчивостью понимается способность элемента конструкции сохранять свое первоначальное состояние упругого равновесия под действием эксплуатационных нагрузок. В то же время рассчитываемый конструктивный элемент должен соответствовать требованиям экономичности, связанным в первую очередь с металлоемкостью. Повышение прочности, жесткости и устойчивости достигается, как правило, увеличением расхода материала и, следовательно, веса конструкции, что приводит в итоге к её удорожанию. Следовательно, при выполнении расчетов необходимо соблюдать разумный компромисс между взаимно противоречивыми требованиями прочности, жесткости и устойчивости, с одной стороны, и экономичности – с другой. Сопротивление материалов изучает процессы деформирования и разрушения тел с целью установить расчетные методы оценки прочности элементов конструкции. Эти методы можно классифицировать следующим образом: 1) На основании исследования процессов деформации и 14 разрушения определяют состояние элемента конструкции, при котором произойдет его разрушение или деформации получат недопустимую величину и примут нежелательный характер (опасное или предельное состояние). 2) Одновременно устанавливают величины, которые могут численно охарактеризовать это состояние для различных материалов при различных внешних воздействиях (расчетные характеристики прочности и деформируемости материалов). 3) Используя эти характеристики, рассчитывают нагрузку или иное внешнее воздействие, соответствующее предельному состоянию (предельная нагрузка, предельное внешнее воздействие). 4) Исходя из предельной нагрузки (предельного внешнего воздействия), устанавливают нагрузку (внешнее воздействие), которая не должна быть превышена в процессе изготовления и эксплуатации конструкции (допускаемая нагрузка, допускаемое внешнее воздействие). 5) При известной допускаемой нагрузке (допускаемом внешнем воздействии) оказывается возможным установить, является ли действующая на заданный элемент конструкции нагрузка в пределах допускаемой (произвести проверку прочности и деформируемости), или же подобрать геометрические размеры элемента из заданного материала так, чтобы действующая на него нагрузка не превосходила допускаемой (провести подбор сечения элемента). Основной расчетной моделью твердого тела, достаточно хорошо изученной с точки зрения механики деформирования, является сплошное деформируемое тело. Поэтому теоретическое исследование процессов деформирования тел в сопротивлении материалов строится на основе результатов механики сплошных деформируемых тел (механики сплошных сред), в частности, теории упругости и теории пластичности. Расчетные модели материалов, которые используют в сопротивлении материалов, требуют исходные расчетные 15 характеристики прочности и жесткости. Эти параметры определяют экспериментально, используя методы отрасли материаловедения, называемой испытание материалов. Данные методы широко используются и при постановке специальных опытов как для построения эмпирических и полуэмпирических расчетных зависимостей, так и для проверки теоретических результатов. Отсюда возникает одна из важнейших задач сопротивления материалов – анализ применимости и надежности результатов, полученных по методам механики сплошных сред, для расчета элементов реальных конструкций и экспериментальная проверка как предпосылок теоретических построений, так и результатов последних. Задачами точного определения деформаций и напряжений занимается наука, называемая теорией упругости. В теории упругости приходится пользоваться строгими математическими методами. На практике при расчете элементов машин и сооружений зачастую не требуется слишком большой точности. Точность должна быть только достаточной, а методы расчета должны быть настолько простыми, чтобы их легко можно было применять. Поэтому при расчете машин и сооружений обычно применяют методы сопротивления материалов, которые значительно более просты, чем методы теории упругости, и дают достаточно точные результаты. Упрощение расчетных методов в сопротивлении материалов достигается благодаря введению некоторых допущений. Как в теории упругости, так и в сопротивлении материалов обычно рассматриваются упругие деформации. Но на практике встречается немало случаев, когда в материале возникают пластические деформации. Пластические деформации изучаются в науке, называемой теорией пластичности, которая в последнее время получила большое развитие. 16 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ Важнейшими из них являются понятия о деформации и напряжении. Деформацией тела называют изменение его формы и размеров. Тела способные получать деформации, называют деформируемыми телами. В теоретической механике тела рассматриваются как абсолютно твердые, т.е. совершенно не изменяющие своей формы под действием приложенных к ним сил. Опыт показывает, что все реально существующие тела являются деформируемыми. Так, при воздействии приложенных к нему внешних сил любое тело получает деформацию, величина, характер и вид которой зависят от формы и размеров тела, от способа приложения внешних сил и их величины, а также от свойств материала тела. При прочих равных условиях возрастание величины внешних сил сопровождается возрастанием деформаций и изменением их характера. Твердые тела обладают способностью противодействовать изменению относительного расположения своих частиц. Это проявляется в возникновении внутри тела сил, которые сопротивляются его деформации и стремятся вернуть частицы в положения, которые они занимали до деформации. Силы эти называются внутренними силами или силами упругости. Свойство твердых тел устранять деформацию, вызванную внешними силами, после прекращения их действия называется упругостью. Мерой для оценки внутренних сил упругости служит так называемое напряжение. Вполне упругими или абсолютно упругими называются тела, у которых после прекращения действия внешних сил полностью исчезает вызванная силами деформация. Совершенно неупругими называются тела, полностью сохраняющие вызванную в них деформацию и после прекращения действия внешних сил. В природе нет тел ни абсолютно упругих, ни совершенно неупругих. 17 Деформация, полностью исчезающая после прекращения действия внешних сил, называется упругой деформацией. Неисчезающая деформация называется остаточной или пластической деформацией. При малых нагрузках деформации имеют в основном обратимый характер, при больших нагрузках они становятся преимущественно необратимыми или, как их принято называть, остаточными. Нарастание остаточных деформаций заканчивается разрушением. Для оценки прочности элементов инженерных конструкций с помощью расчета основное значение имеет установление связи между силами, действующими на элементы, и возникающими при этом деформациями. Возможность теоретического подхода к исследованию процесса деформирования тел оказывается связанной с необходимостью принятия некоторой расчетной модели твердого тела, которой приписываются свойства, лишь в известном приближении отражающие действительность. Расчетная схема – это идеализированный (упрощенный) объект расчета, освобожденный от особенностей, несущественных с точки зрения их влияния на прочность, жесткость и устойчивость. Геометрия объекта и свойства его материала идеализируются. Идеализация геометрии сводится к тому, что конструктивные элементы приводят к схемам стержня, оболочки или массива. Под стержнем понимают тело, у которого один из размеров (длина) значительно больше других характерных размеров. Сечения, перпендикулярные к оси стержня, называются поперечными. Ось стержня – геометрическое место центров тяжести его поперечных сечений. Если ось прямая, то стержень называют прямым, если изогнута – кривым. Если поперечное сечение не изменяется по длине стержня, то его называют стержнем постоянного сечения. В противном случае – стержнем переменного сечения. 18 Примерами стержней являются стойки, колонны, валы, стержни, балки перекрытий. Оболочкой называют тело, у которого один из размеров (толщина) существенно меньше двух других размеров. Примерами оболочек являются мембраны, сосуды, котлы, баки, цистерны, крыло самолета, корпусные детали. Массивом называют тело, у которого все размеры одного порядка. К массивам относятся основания и фундаменты зданий, шарик подшипника и др. Это наиболее сложные для расчета тела. Материал, из которого изготовляются конструкции, считается сплошным (непрерывным), однородным во всех точках тела и изотропным. Сплошным называют тело, любая часть объема которого заполнена материалом. Однородным называют тело, любые сколь угодно малые и произвольно ориентированные в пространстве части которого обладают одинаковыми свойствами. Изотропным называют тело, свойства которого во всех направлениях одинаковы. В сопротивлении материалов, как правило, рассматриваются только те задачи о поведении тел под действием внешних нагрузок, когда деформация мала по сравнению с размерами тела. 1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ВНЕШНИХ СИЛ К внешним силам относятся: 1) нагрузки, приложенные к телу; 2) реакции связей, обеспечивающих определенное состояние движения рассматриваемого тела по отношению к другим. Нагрузки, приложенные к телу, в первую очередь возникают в результате действия на него других, соприкасающихся с ним тел. По геометрии области приложения нагрузки делят на: 1) сосредоточенные. Сосредоточенной называют нагрузку, область приложения которой настолько мала, что её 19 можно считать приложенной в точке. Единицей измерения сосредоточенной нагрузки, если это сила, служит Н , если это момент (пара сил), то соответственно Н м . 2) распределенные. Нагрузка, не попадающая под определение сосредоточенной, называется распределенной. Она характеризуется величиной, определяемой главным вектором и главным моментом всех сил, возникающих при соприкосновении рассматриваемого тела с другим, и поэтому имеющей размерность силы или момента сил Количественной мерой такой нагрузки является её интенсивность q – т.е. доля нагрузки, отнесенной к единице области распределения. Распределенные нагрузки делят на три группы: а) распределенные по длине (погонная нагрузка). Примером нагрузки, распределенной по длине, может служить собственный вес провода, вес его оледенения. Размерность [q] H / м . б) распределенные по площади (поверхностные). Примерами таких нагрузок являются слой снега на крыше, давление пара на поршень, воздуха на крыло самолета. Размерность [q ] H / м 2 . в) распределенные по объему (объемные или массовые). Примерами таких нагрузок являются силы тяжести, силы инерции, силы магнитного притяжения. Размерность H / м3 . По характеру изменения во времени нагрузки делят на статические, динамические и циклические. К статическим относятся нагрузки, постоянные во времени или изменяющиеся настолько медленно, что возникающие при этом силы инерции не оказывают существенного влияния на прочность, жесткость и устойчивость элемента конструкции. Примером статической нагрузки может служить вес самого элемента конструкции. Нагрузки, изменяющиеся во времени с большой скоростью, относят к динамическим. Возникающие при этом [q] 20 значительные силы инерции необходимо учитывать при выполнении расчетов на прочность, жесткость и устойчивость. Примерами динамических нагрузок служат забивание свай, удар тела о преграду, ковка на молотах, штамповка взрывом, когда время действия нагрузки исчисляется малыми долями секунды. Циклическими называют нагрузки, периодически повторяющиеся во времени. Примером такой нагрузки является нагрузка на шатун двигателя, непрерывно изменяющаяся по величине и направлению. При этом число перемен такой нагрузки за время работы шатуна достигает многих миллионов. К циклическим нагрузкам можно отнести силы инерции, возникающие при колебаниях. 1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ВНУТРЕННИХ СИЛ Действию нагрузок на тело противостоят силы внутреннего сопротивления, силы взаимодействия между отдельными его частями, которые называют внутренними силами. По мере роста внешних сил внутренние силы тоже возрастают, и при некоторой величине нагрузок они могут превзойти силы сцепления частиц материала, что приводит к его разрушению. Опыт показывает, что разрушение начинается в том месте, где внутренние силы, обусловленные нагрузками, достигают наибольшей величины. Поэтому для оценки прочности, жесткости и устойчивости элемента конструкции необходимо определить внутренние силы. В сопротивлении материалов внутренние усилия определяют методом сечений, аналогичным методу разбиения в теоретической механике. Метод сечений заключается в мысленном разделении тела на части с целью определения величины внутренних усилий. При этом считается, что если рассматриваемое тело находится под действием нагрузок в равновесии, то в равновесии должна находиться и любая выделенная из него часть. Пусть произвольный стержень (см. рис. 1.1) находится в равновесии под действием системы внешних сил, в которую 21 входят как активные силы (нагрузки), так и реакции связи. Разрежем мысленно этот стержень плоскостью, совпадающей с поперечным сечением, на две Рис. 1.1 части и отбросим одну из частей. В месте разреза высвободятся силы взаимодействия между отброшенной и оставшейся частями, то есть внутренние силы. В соответствии с законом о равенстве сил действия и противодействия внутренние силы будут равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому безразлично, какую из частей рассматривать при определении внутренних усилий. Согласно гипотезе сплошности материала внутренние силы непрерывно распределяются по всей поверхности сечения. Рассмотрим отсеченную часть стержня. Начало отсчета декартовой системы осей координат x, y, z совместим с центром тяжести сечения (рис. 1.1). Ось z направим по касательной к оси стержня, а оси x, y расположим в плоскости рассматриваемого поперечного сечения. Возникающую в этом сечении систему внутренних сил, согласно основной теореме статики, можно привести к главному вектору P и главному моменту M . Проецируя главный вектор и главный момент на оси, получим три силы: нормальную (продольную) N и поперечные (перерезывающие) Qx и Q y ; и три момента: крутящий M К M z и изгибающие M x и M y (см. рис. 1.1). Эти шесть составляющих называются внутренними силовыми факторами в сечении. Их величину можно определить через значения внешних сил из шести уравнений равновесия, 22 которые можно составить для рассматриваемой отсеченной части стержня: Pkx 0; Pky 0; Pkz 0; M x 0; M x 0; M x 0. (1.1) Внутренние силовые факторы могут меняться как по величине, так и по направлению вдоль оси стержня. Для определения наиболее нагруженного (опасного) сечения строят графики (эпюры) внутренних усилий. В зависимости от характера нагружения стержня в его сечениях могут возникать либо все шесть внутренних силовых факторов, либо только некоторые из них (например, только нормальная сила). В соответствии с тем, какие из внутренних силовых факторов оказываются отличными от нуля, различают тот или иной вид деформирования. 1.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ Внутренние силовые факторы имеют ярко выраженный физический смысл. Каждому из них соответствует определенный вид деформирования. 1) Если в поперечном сечении стержня возникает только нормальная сила ( N 0 ), то в зависимости от направления этой силы деформирование называют растяжением (рис. 1.2: а – до деформации, б – после деформации) или сжатием (рис. 1.3). Рис. 1.2 Рис. 1.3 23 2) Если в поперечном сечении стержня действует только крутящий момент ( M К 0 ), то деформирование называют кручением (рис. 1.4). 3) Если в поперечном сечении стержня возникает только изгибающий M y 0 ), то момент ( M x 0 или Рис. 1.4 деформирование называют чистым изгибом (рис. 1.5). 4) Если в поперечном сечении стержня возникает только поперечная сила ( Qx 0 или Q y 0 ), то деформирование называют сдвигом (срезом) (рис. 1.6). Рис. 1.5 Рис. 1.6 Перечисленные четыре вида деформирования называют простыми, всякое их сочетание называют сложным деформированием (сложным сопротивлением). 1.5. НАПРЯЖЕНИЕ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ Как уже говорилось, внешние силы, действующие на тело, вызывают в нем появление внутренних сил сопротивления. Внешние силы деформируют тело, а внутренние стремятся сохранить его первоначальную форму и объем. 24 Для решения задач сопротивления материалов необходимо уметь определять внутренние силы и деформации тела. При определении внутренних сил в каком-нибудь сечении тела пользуются методом сечений, аналогичным методу разбиения в теоретической механике. Суть этого метода заключается в следующем. Пусть деталь (например, стержень) нагружена внешними силами Проведем ( P1 ,..., Pn ) . произвольное сечение и рассмотрим правую отсеченную часть стержня, площадь поперечного сечения которого равна (рис. 1.7). F Рис. 1.7 Внутренние силы распределены по сечению в общем случае неравномерно. Выделим в этом сечении в окрестности некоторой произвольной точки А достаточно малую площадку и обозначим F равнодействующую внутренних сил, передаваемых через эту площадку, через P . Средним напряжением на рассматриваемой площадке P, называется величина, равная отношение силы действующей на элементарной площадке, к площади F этой площадки: P . рср F Полным напряжением в рассматриваемой точке называют предельное отношение силы, действующей на элементарной площадке, к площади этой площадки, которая стягивается в точку (стремится к нулю): P (1.2) р lim F 0 F Вектор полного напряжения р обычно раскладывают на составляющие (рис. 1.8): проекцию вектора на нормаль к площадке называют нормальным напряжением; проекцию 25 на плоскость сечения называют касательным напряжением. Касательное напряжение в свою очередь раскладывают по двум взаимно перпендикулярным направлениям в плоскости площадки x и y . Тогда p 2 2 x Рис. 1.8 2 y . Разложение полного напряжения на нормальное и касательное имеет определенный физический смысл. Нормальные силы, мерой интенсивности которых является , стремятся сблизить или отдалить частицы материала друг от друга, что может привести к разрушению тела в результате отрыва частиц. Касательные внутренние силы, мерой интенсивности которых является , вызывают сдвиг частиц материала друг относительно друга, что может привести к разрушению тела в результате взаимного сдвига частиц. Как следует из (1.2), напряжение – это интенсивность внутренних сил, то есть величина внутренних сил взаимодействия, приходящихся на единицу площади, выделенной в окрестности рассматриваемой точки. При этом считается, что в теле, свободном от нагрузок, напряжений нет (гипотеза естественной ненапряженности). Единицей измерения напряжения является Паскаль: Н . [ p] Па м2 Поскольку Па – очень малая величина, то в практических расчетах обычно используют более крупную величину – МПа . Н МПа . мм2 26 1.6. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ Здесь и далее будем рассматривать тела, на которые наложены связи таким образом, что перемещения тела как жесткого целого исключены. Такие тела называют кинематически (геометрически) неизменяемыми. Перемещения отдельных точек и сечений такого тела определяются только его деформацией. Выберем в недеформированном теле произвольную точку (частицу) А . В результате действия на тело эксплуатационных нагрузок оно продеформируется, положение этой точки изменится, и она Рис. 1.9 переместится в положение A1 (рис. 1.9). Вектор полного линейного перемещения точки равен: u A AA1 . Его проекции u Аx , u Аy , u Аz на координатные оси называются линейными перемещениями точки по осям. Измеряется в мм или мкм . Подобно линейным, можно получить и угловые перемещения. Рассмотрим достаточно малый линейный элемент тела, занимающий до нагружения положение BC , а после приложения нагрузок – положение B1C1 . При деформировании тела рассматриваемый элемент поворачивается. Угол поворота элемента называется угловым перемещением. Он характеризуется вектором, который тоже можно разложить по осям x, y, z . Т.о., угловое перемещение – это угол между направлениями элемента соответственно до и после деформирования. 27 1.7. ДЕФОРМАЦИИ Деформацией называют изменение формы и размеров тела под действием нагрузок. Изменение размеров характеризуется линейной деформацией, формы – угловой деформацией. Выьерем в недеформированном теле линейный элемент AB и обозначим его длину через l (рис. 1.10). Нагружаем деталь эксплуатационными нагрузками ( P1 ,..., Pn ) . После деформирования отрезок Рис. 1.10 займет положение A1B1 длиной l1 . Линейной деформацией (относительным удлинением) в точке A в направлении AB называют величину: l1 l . (1.3) А lim l 0 l Это предел отношения приращения длины отрезка к его начальной длине при устремлении точки B к точке A (предельное отношение разности конечной и начальной длины к его первоначальной длине, стягивающейся в точку). Размерность: [ А ] [ ] или [ А ] % (если (1.3) умножить на 100 %). Обозначим в недеформированном теле перпендикулярный угол, ограниченный линейными элементами AB и AC (рис. 1.11). После деформирования эти отрезки займут положение Рис. 1.11 28 A1 B1 и A1C1 соответственно. Угловой деформацией (углом сдвига) в точке A в плоскости ABC называют величину: ^ А lim АВ АС 0 0 ^ ВАС В1 А1С1 . (1.4) Это предел разности углов BAC и B1 A1C1 при устремлении точек B и C к точке A (предел искажения прямого угла при его стремлении к нулю). Размерность: [ А ] [ рад ] . ЗАКОН ГУКА 1.8. Основные свойства материала в сопротивлении материалов определяются законом, открытым в 1676 году английским механиком Робертом Гуком. Любой материал при нагружении достигает двух состояний: упругого и пластического. Если после снятия нагрузки форма и размеры детали восстанавливаются, деформация будет воспроизводимой или упругой. Если после снятия нагрузки остается изменение формы и размеров детали – деформация остаточная или пластическая. Пусть деталь нагружается в упругой области. В произвольной точке тела приложим силу Р Ax , А направленную вдоль оси x (рис. 1.12). В Рис. 1.12 другой точке B тела возникнет перемещение u By , направленное вдоль оси y . Между ними существует прямо пропорциональная связь: Р Ax kuBy . 29 (1.5) Это и есть закон. Коэффициент пропорциональности k зависит от физических свойств материала (температуры, давления и пр.), формы тела, положения точки приложения нагрузки A и точки B , перемещение которой определяется. Закон Гука устанавливает пропорциональность деформаций соответствующим напряжениям. Этот закон является приближенным. Для одних материалов, например, для стали, его можно считать достаточно точным, а для других, таких как чугун, его можно принять только в грубом приближении. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ (ГИПОТЕЗЫ) СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 1.9. Данные гипотезы позволяют получить приближенные решения целого ряда задач, которые очень сложно, а иногда и невозможно, решить в строгой постановке. Проверка достоверности решений, получаемых с использованием введенных принципов, осуществляется путем сопоставления расчета и эксперимента. Гипотеза независимого действия сил (принцип суперпозиции) Она непосредственно следует из закона Гука. Согласно принципу суперпозиции перемещения, деформации и напряжения, возникающие в упругом теле при действии на него системы сил, не зависят от порядка приложения нагрузок и равны суммам перемещений, деформаций и напряжений от действия каждой из нагрузок в отдельности. Это значит, что деформация детали не зависит от последовательности приложения действующих сил. Это позволяет свести сложную задачу к ряду простых. Гипотеза начальных размеров В сопротивлении материалов рассматриваются малые по сравнению с размерами тела перемещения. Согласно принципу начальных размеров в случае малых деформаций и перемещений при составлении уравнений для решения равновесия, совместности перемещения или 30 состояния, тело можно рассматривать как жесткое, имеющее начальную форму и размеры. Принцип Сен-Венана Согласно принципу, в точках тела, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, напряжения и деформации не зависят от способа приложения нагрузки. Это значит, что характер приложения нагрузки влияет на распределение деформаций и напряжений лишь в области, распространяющейся на величину порядка ширины сечения (рис. 1.13). В дальнейшем Рис. 1.13 будем считать, что эта область исключена из рассмотрения. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Каковы основные задачи курса сопротивления материалов? 2. Какие методы оценки прочности используют в сопротивлении материала? 3. Что такое расчетная схема? 4. Что является предметом изучения курса сопротивления материалов? 5. С какими объектами работают в сопротивлении материалов? 6. Какие гипотезы используются при описании свойств материала? 7. По каким признакам и как классифицируют нагрузки? 8. Что представляют собой внутренние силы? 9. В чем сущность метода сечений? 10. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечном сечении стержня в общем случае нагружения? 11. Дайте определение деформации. По каким признакам и как классифицируют виды деформирования? 31 12. Что называется напряжением и какую размерность оно имеет? 13. Что называется нормальным и касательным напряжением? Каков физический смысл напряжения? 14. Что понимают под перемещениями? 15. Что называют линейной и угловой деформациями? 16. В чём состоит закон Гука? 17. В чём заключается принцип независимости действия сил? 18. В чём состоит принцип начальных размеров? 19. Как формулируется принцип Сен-Венана? 32 2. РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ 2.1. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Осевым растяжением (или сжатием) стержня принято называть его деформацию, при которой все волокна получают одинаковое удлинение (или укорочение). При этом мы будем предполагать, что в рассматриваемом стержне все плоские сечения, нормальные к его оси, остаются и после деформации плоскими и нормальными. Эта гипотеза носит название гипотезы плоских сечений. Отсюда следует, что все продольные элементы стержня растягиваются совершенно одинаково. Растяжение (сжатие) реализуется, когда в сечениях стержня прикладывают параллельную оси стержня силу (или сплошную равномерно распределенную по Рис. 2.1 площади сечения нагрузку). При этом в поперечном сечении стержня действует только нормальная составляющая реакции N (рис. 2.1). Если она направлена из сечения – происходит растяжение, если в сечение – сжатие. Рассмотрим пример (рис. 2.2 а). Пусть стержень нагружен системой сил реализующих ( P1 , P2 , R3 ) , растяжение (сжатие). P1 15 кН , P2 3 кН , R3 7 кН . Определим внутреннюю силу на расстоянии z от конца стержня. Используем метод сечений. Мысленно разрежем Рис. 2.2 деталь на две части и рассмотрим равновесие одной из них (рис. 2.2 б). Приложим нормальную реакцию N , направленную из сечения, в 33 предположении, что стержень растягивается (если по решению она получится отрицательной, то стержень сжимается). Составляем уравнение равновесия: N P2 P1 0 . Piz 0 : Отсюда находим: N P2 P1 12 кН . Т.о. нормальная сила равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения, на ось стержня в противоположном направлении: N Piz . (2.1) 2.2. НАПРЯЖЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИЯ Т.к. в поперечных сечениях стержня внутренняя сила направлена вдоль нормали (рис. 2.3), то возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и определяемые по формуле N , (2.2) F где N – нормальная сила в сечении стержня, F – площадь поперечного сечения стержня. Предположим, что под действием нагрузки P , стержень начальной длины l0 и площадью поперечного сечения F , изменит свою длину на l (рис. 2.4). Абсолютное удлинение Рис. 2.3 равно: (2.3) l l l0 . Линейная деформация: l . (2.4) l0 В знаменатель (2.4) может входить не l0 , а l , если использовать принцип начальных размеров (см. раздел 1.9.2). 34 В пределах упругой деформации между напряжением и деформацией существует прямо пропорциональная связь (закон Гука): (2.5) E . Коэффициент пропорциональности Е – модуль Юнга (модуль упругости первого рода). Это механическая характеристика материала. Она равна напряжению при деформации в единицу: 1, Е. Согласно (2.5), при одном и том же напряжении относительная деформация будет меньше у того материала, для которого модуль Рис. 2.4 Юнга будет больше. Следовательно, модуль упругости характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформации. Величина модуля упругости материалов устанавливается экспериментально, она зависит от физических свойств материала (давления и температуры). Для материалов, не подчиняющихся закону Гука (камень, цемент, кожа, чугун и др.), пользуются степенной зависимостью: m E . Показатель m подбирается опытно. Формулу (2.5), выражающую закон Гука, Рис. 2.5 можно представить в другом виде. Рассмотрим стержень (рис. 2.5) площадью поперечного сечения F , который под действием нагрузки P , изменил свою длину на l . Выберем элементарный участок dz , который под нагрузкой продеформировался на величину dz . Согласно (2.4): dz . dz Подставим в dz l dz dz dz . dz l l l 35 С учетом (2.5) и (2.2): N l dz dz . E ЕF l (2.6) l Величина называется жесткостью при EF растяжении (сжатии). Чем больше будет жесткость стержня, тем меньшую деформацию он получит при одной и той же длине. Жесткость характеризует одновременно физические свойства материала и геометрические размеры сечения. Формула для напряжения (2.2) и закон Гука (2.5) являются основными при расчетах на растяжение и сжатие. Если реакция и сечение постоянны, то (2.6) принимает вид: Nl l . (2.7) EF Отсюда следует, что удлинение (укорочение), получаемое стержнем, прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) силе, длине стержня и обратно пропорционально площади поперечного сечения и величине модуля упругости материала. Иногда модули при сжатии и растяжении не равны (чугун). В наиболее общем случае, когда законы изменения N и F для отдельных участков стержня различны: k N i dz , (2.8) E F i 1l i i i где k – число участков стержня. При Ni const, Ei Fi const в пределах каждого из участков из (2.8) как частный случай следует формула: k N i li (2.9) l . EF i 1 i i l Взаимное перемещение каких-либо двух поперечных сечений стержня равно удлинению (укорочению) той его части, которая заключена между этими сечениями. 36 2.3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ Экспериментально установлено, что детали из одинакового материала разрушаются при практически одинаковом значении напряжения. Его называют предельным напряжением пред . В расчетах, чтобы исключить случайный фактор (колебания свойств материала или окружающей среды), используют допустимое напряжение [ ] : пред , (2.10) n где n – коэффициент запаса прочности. Как правило n (1,...,5) , но в некоторых случаях может достигать и 10 (например, в прессах). Отсюда получаем условие прочности при растяжении (сжатии) – деталь прочная, если наибольшее напряжение не превышает предельного: [ ]. (2.11) max Представим это условие в виде: N (2.12) [ ]. F Из условия прочности (2.12) вытекают три вида расчетов: проверочный расчет, проектный расчет и расчет на предельную нагрузку. 1) Проверочный расчет (или проверка прочности). Известны нагрузки, размеры, материал и допустимое напряжение. Сводится к вычислению возникающих в детали напряжений и непосредственной проверке соблюдения условия (2.12). 2) Проектный расчет (или подбор сечений). Известны нагрузки, материал и допустимое напряжение. Заключается в определении минимально необходимой площади поперечного сечения стержня. Для этого условие (2.12) представляется в виде: [ ] 37 N (2.13) . [ ] 3) Расчет на предельную нагрузку (или расчет грузоподъемности). Известны размеры, материал и допустимое напряжение. Надо определить допустимую величину нагрузки. Нагрузка будет наибольшей, когда условие (2.12) из неравенства превращается в равенство. Из него определяется допустимое значение нормальной силы: (2.14) [N ] F [ ] . По найденному значению [N ] с использованием эпюры N или уравнений статики устанавливают допустимые значения приложенных к стержню нагрузок. F 2.4. РАСЧЕТ НА ЖЁСТКОСТЬ Процесс сжатия описывается либо линейной деформацией l , (2.15) l0 либо характеризуется просто удлинением: Nl l . (2.16) EF Оно влияет на качество технологических операций. Деталь называют жёсткой, если наибольшее удлинение не превышает допускаемых значений [ l ] : l max l. (2.17) Допускаемое перемещение l обычно задается конструктором, исходя из условий эксплуатации. Подставим (2.17) в (2.18): Nl (2.18) l. EF Расчет на жёсткость обычно проверочный – из (2.13) определяют размеры детали, проверяют условие жёсткости (2.18) и если оно не выполняется, корректируют размеры. 38 2.5. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ И СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Системы, состоящие из элементов, имеющих форму стержня, называют стержневыми. Стержневые системы подразделяют на статически определимые и статически неопределимые. Стержневые системы, в которых нормальные силы и реакции связей определяются при помощи метода сечений и уравнений равновесия, называются статически определимыми. В статически неопределимых системах использование метода сечений и уравнений равновесия для определения нормальных сил и реакций связей оказывается недостаточным. Разность между числом неизвестных усилий, подлежащих определению, и количеством независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены, называется степенью статической неопределенности системы – n . 2.5.1. Эпюры внутренних сил и перемещения При решении статически определимых задач используется следующий алгоритм: 1) Определение опорных реакций (при необходимости). 2) Разбиение стержня на участки. Границами участков являются: сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, начинается/заканчивается распределенная нагрузка, меняется геометрия сечения. 3) Составление уравнений для нормальной силы на участках. 4) Составление уравнений для нормальной напряжения на участках. 5) Построение эпюр N (z ) и (z ) . 6) Определение перемещений. 7) Проверка на прочность и жёсткость. 39 2.5.2. Статически неопределимые стержневые системы Для определения усилий в статически неопределимых системах, подвергающихся деформации, условия равновесия системы сил из статики являются необходимыми. Для составления уравнений равновесия можно использовать любую из трёх эквивалентных форм условий равновесия плоской системы сил: 1) Первая или основная форма. Для равновесия плоской системы сил, действующих на тело, необходимо, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил, также была равна нулю: n n Pix 0, i 1 n Piy i 1 0, m A ( Pi ) 0. (2.19) i 1 2) Вторая форма или теорема о трех моментах. Для равновесия плоской системы сил, приложенных к телу, необходимо, чтобы суммы алгебраических моментов сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю: n n m A ( Pi ) i 1 0, n m B ( Pi ) i 1 0, mC ( Pi ) 0, (2.20) i 1 где точки A , B и C не лежат на одной прямой. 3) Третья форма: Для равновесия плоской системы сил, приложенных к телу, необходимо, чтобы суммы алгебраических моментов сил относительно двух любых точек, лежащих в плоскости действия сил, были равны нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на какую-либо ось плоскости, не перпендикулярную прямой, проходящей через две моментные точки, также была равна нулю: 40 n n m A ( Pi ) i 1 0, n m B ( Pi ) i 1 0, Pix 0, (2.21) i 1 где за ось Ox принята любая прямая, не перпендикулярная AB . Однако данные условия не являются достаточными. Их следует дополнить уравнениями совместности перемещений, основанными на рассмотрении геометрической стороны деформации системы и использовании развернутого закона Гука. Необходимое число этих дополнительных уравнений равно степени статической неопределимости системы n . Для определения усилий в стержнях статически неопределимой системы, т.е. раскрытие ее статической неопределимости, используют следующий алгоритм. 1) Создаем силовую схему. Отбрасываем связи, наложенные на систему, заменяя их неизвестными усилиями и реакциями согласно аксиоме связей статики. Если имеем систему сходящихся сил, то применяем метод вырезания узлов. 2) Составляем независимые уравнения статики, содержащие неизвестные усилия, и устанавливают степень статической неопределимости системы. Если n 0 , то задача статически определимая и её решение проводится в соответствии с разделом 2.5.1. Если n 0 , то задача статически неопределимая. Параметр n показывает, сколько надо составить дополнительных уравнений совместности перемещений, чтобы решить задачу. 4) Создаем схему совместности перемещений. Рассматриваем систему в деформированном состоянии: устанавливаем связь между деформациями и перемещениями отдельных ее элементов и составляем уравнения совместности перемещений. 5) С помощью развернутого закона Гука входящие в уравнения совместности перемещений абсолютные удлинения стержней выражаем через действующие в них усилия, и получаем уравнения, содержащие неизвестные усилия. 41 6) Решаем систему уравнений, состоящую из уравнений статики (п. 2) и уравнений совместности перемещений (п. 5), определяем неизвестные усилия. 2.6. ЗАКОН ПУАССОНА Рассмотрим стержень, который растягивается продольной силой Р (рис. 2.6). Опытным путём установлено, что даже при очень небольших деформациях стержня в продольном направлении его поперечные размеры изменяются. Удлинение в продольном направлении вызывает сужение в поперечном направлении. И наоборот: укорочение в Рис. 2.6 продольном направлении сопровождается поперечным расширением. Т.о., при растяжении тело удлиняется и становится тоньше, а при сжатии укорачивается и становится толще. Поперечные деформации при растяжении или сжатии пропорциональны продольной деформации. Если обозначить относительную продольную деформацию через , а относительную поперечную деформацию через n , то: а а0 , (2.22) n а . (2.23) Соотношения (2.22) и (2.23) установлены эмпирическим путем. Коэффициент пропорциональности – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона). Это безразмерная величина. Симон Пуассон полагал, что коэффициент для всех материалов одинаков и равен 0,25. Однако позднейшие опыты показали, что это не так, его величина лежит в пределах от 0 до 0,5. В практических расчетах для стали принимают равным 0,3; за упругими пределами растет до 0,5. n 42 2.7. ЗАДАЧА Р1 К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ Стальной ступенчатый стержень, защемленный с одной стороны, нагружен сосредоточенными силами Pi и распределенной нагрузкой интенсивностью qi (рис. Р1.0–Р1.9). Определить силы реакции. Построить эпюры нормальной силы и нормального напряжения. Проверить прочность стержня при допускаемом напряжении для его материала [ ] 160 МПа. Проверить жесткость стержня, если допускаемое перемещение [ l ] 0,5 мм. Собственным весом стержня пренебречь, E 2 10 5 МПа. Численные данные приведены в таблице Р1. Рис. Р1.0 Рис. Р1.1 Рис. Р1.2 Рис. Р1.3 43 Рис. Р1.4 Рис. Р1.5 Рис. Р1.6 Рис. Р1.7 Рис. Р1.8 Рис. Р1.9 44 Таблица Р1 № a, b c d F1 F2 F3 м F, P1 P2 P3 q1 q2 q3 кН / м см 2 0 0,5 a 2a 3a 3F 5F 4F 2 2qa 1 0,8 2a 3a 1,5a 2F 3F 4F 4 5qa 2 1,0 3a 4,5a a 4F F 3F 5 10qa 3 1,2 a 3,5a 2a 5F 2F 4F 2 4 1,4 2a 1,5a 4a 5F 6F 3F 3 5qa 5 0,7 1,5a a 2a 3F F 6F 3 3qa 6 0,6 3a 2,5a a F 4F 2F 4 6qa 7 0,9 2a 5a 3a 5F 2F 3F 4 3qa 8 1,3 3a a 5a 3F 2F F 6 10qa 9 1,1 3a 4a 2a 2F 1,5 F 3F 5 45 q, 6qa 4q 4qa 4qa 7qa 10 5q 3q 3q 5qa 3q 5 q 12 2q 15 7q 8 6q 7qa 5q 11 2q 5qa 3qa 7 4q 8q 9 6 4q 13 Указания. Задача Р1 – на расчет на прочность и жесткость статически определимого ступенчатого стержня при растяжении. Решение задачи проводится в соответствии с алгоритмом, описанным в разделе 2.5.1. Подробный ход решения аналогичной задачи приведен в примере Р1. Пример Р1. Стальной ступенчатый стержень, защемленный с одной стороны, нагружен сосредоточенной силой P и распределенной нагрузкой интенсивностью q Рис. 2.7 (рис. 2.7). Определить реакцию защемления. Построить эпюры нормальных сил и напряжений. Проверить прочность стержня при допускаемом напряжении [ ] для его материала. Проверить жесткость стержня при допускаемом перемещении [ l ] . Собственным весом стержня пренебречь. кН Дано: F 103 мм2 , a 1 м , Р 10 кН , q 30 , м 2 105 МПа , [ ] 200 МПа , [ l ] 0,5 мм . Решение: 1) Стержень защемлен с одной стороны. Отбрасываем заделку, заменяя её силой реакции R (рис. 2.8 а). Для определения реакции защемления составим уравнение равновесия в проекции на ось балки: E n Piz 0 : P qa R 0 . i 1 Вычисляем: R 10 30 1 20 кН . Знак минус указывает, что истинное направление реакции заделки противоположно изображенному на рис. 2.8 а. 46 Рис. 2.8 2) Разобьем стержень на 2 участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, резко (скачком) изменятся распределенная нагрузка или площадь поперечного сечения. На каждом участке запишем выражение для нормальных сил и нормальных напряжений. 3) 1 участок: 0 z 2a . Рассечем этот участок произвольным поперечным сечением z1 (рис. 2.9). Составим условия равновесия для участка: 47 n Piz 0 : N1 P 0. i 1 Отсюда нормальная сила N1 P 10 кН . Нормальное напряжение N1 P 10 103 H 10 МПа . 1 F1 F 103 мм2 Удлинение N1l1 2 Pa 2 10 4 H 10 3 мм l1 Н F1E FE 10 3 мм2 2 10 5 мм2 На этом участке нормальные сила и напряжение постоянны, участок сжимается. 4) 2 участок: 2a z 3a . Рассечем этот участок произвольным поперечным сечением z 2 (рис. 2.10). Составим условия равновесия для участка: 0 : N2 P q( z 2 2a ) 0,1 мм . Рис. 2.10 n Piz Рис. 2.9 0. i 1 Нормальная сила N 2 P q ( z 2 2a ) кН . Вычислим значения нормальной силы на границах участка: N 2 z 2 2a 10 30(2 1 2 1) 10 кН , N 2 z 2 3a 10 30(3 1 2 1) Нормальное напряжение 48 20 кН . N 2 P q ( z 2 2a ) qz 2 P 2qa МПа . F2 2F 2F 2F Вычислим значения нормального напряжения границах участка: 2 10 103 H 2 z 2 2a 2 103 мм2 20 103 H 2 z 2 3a 2 103 мм2 Удлинение 3a l2 2a P 2 FE N2 dz F2 E 3a 2a 2 q( z 2a) 4 FE на 5 МПа , 10 МПа . P dz 2 FE 3a 2a 3a 2a Pa 2FE q ( z 2a ) dz 2 FE qa2 4FE Н 1м 10 3 мм 10 10 H 10 мм м Н Н 2 10 3 мм 2 2 10 5 4 10 3 мм 2 2 10 5 2 мм мм 2 0,025 0,0375 0,0125 мм . На этом участке нормальные сила и напряжение изменяются по линейному закону, участок растягивается. 5) По полученным данным в системе координат " N z" строим в масштабе эпюру нормальных сил (рис. 2.8б). Очевидно, что для определения реакции защемления не было необходимости составлять уравнение, как мы это проделали в п.1. Это значение можно «снять» с построенной эпюры в месте заделки. Проведем анализ эпюры N (z ) . Точки разрыва I рода (скачки) возникают в местах, где возникают (исчезают) сосредоточенные силы. В нашем случае таких точек две: одна создается силой P , другая – реакцией заделки. 3 30 10 3 3 49 6) По полученным значениям в системе координат " z" строим с соблюдением масштаба эпюру нормальных напряжений (рис 2.8в). Проведем анализ эпюры (z ) . Т.к. напряжение зависит от нормальной реакции, то скачки, характерные для N (z ) также присутствуют на эпюре (z ) . Кроме того, поскольку напряжение зависит от площади поперечного сечения стержня, в эпюре (z ) возникает дополнительный разрыв в точке изменения геометрии сечения. 7) Проверка условия прочности. Снимаем с эпюры (z ) максимальное нормальное напряжение: max 10 МПа [ ] 200 МПа . Условие прочности выполняется. 8) Проверка условия жёсткости. Определим перемещение стержня как сумму удлинений участков стержня: l l1 l2 0,1 0,0125 0,0875 мм [ l ] 0,5 мм . Условие жёсткости выполняется. Ответ: Реакция заделки R 20 кН . Условия прочности и жесткости выполняются. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Какой вид деформирования называется растяжением (сжатием)? Когда он реализуется? 2. В чем заключается гипотеза плоских сечений? 3. Как определяется нормальная сила в произвольном поперечном сечении стержня? Какое правило знаков принято при определении нормальной силы через внешние силы? 4. Что называется полным или абсолютным продольным удлинением? Что называется относительным продольным удлинением? Какова его размерность? Какова связь между относительной продольной и поперечной деформациями? Что называют абсолютным удлинением? 50 5. Сформулируйте закон Гука. Что характеризует модуль упругости первого рода? Какова размерность модуля упругости? Что называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии? Все ли материалы подчиняются действию закона Гука? 6. Как определяются напряжения при растяжении (сжатии) для различных видов расчетов на прочность: проверочного, проектного, на предельную нагрузку? 7. Какое напряжение называется предельным? Какое напряжение называется допускаемым? Как оно выбирается для хрупких и пластичных материалов? 8. Расчет на жесткость: проверочный, проектный, на предельную нагрузку? 9. Какие системы называются статически определимыми и статически неопределимыми? Как устанавливается степень статической неопределимости? 10. Сформулируйте алгоритм решения статически неопределимых задач с применением уравнений совместности перемещений. 11. Закон Пуассона. Что такое коэффициент Пуассона? 51 3. КРУЧЕНИЕ 3.1. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ Кручением называют такой вид деформирования, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только одна внутренняя сила – крутящий момент М к (или М z ). Деформации кручения подвергаются многие детали машин и конструкций: валы, пружины и пр. Стержень, работающий на кручение, называют валом. В машиностроительных конструкциях элементы, работающие на кручение, как правило, имеют круглое поперечное сечение. Кручение прямого бруса стержня происходит при нагружении его внешними (скручивающими) моментами mi (или miz ) относительно его продольной оси z . Крутящий момент в поперечном сечении вала определяют методом сечений. Он равен алгебраической сумме скручивающих моментов mi , приложенных к валу по одну сторону сечения: n Мк mi . (3.1) i 1 При этом входящие в (3.1) скручивающие моменты считаются положительными, если они действуют против часовой стрелки относительно оси вала z , если смотреть со стороны сечения; отрицательными – если по часовой стрелке (рис. 3.1). Рис. 3.1 3.2. ЗАКОН ГУКА ПРИ КРУЧЕНИИ При изучении деформации стержня, работающего на кручение, вводятся следующие предположения: 1) поперечные сечения вала в процессе нагружения остаются плоскими и перпендикулярными к его оси; 52 2) расстояния между поперечными сечениями в процессе нагружения вала не меняются; 3) радиусы поперечных сечений в процессе нагружения не искривляются и не изменяют своей длины. Т.о. в процессе нагружения вала каждое поперечное сечение поворачивается в своей плоскости как жёсткая фигура на некоторый угол (этот угол свой для каждого сечения), причем расстояния между сечениями не изменяются. При кручении в каждой точке сечения возникает только касательное напряжение , которое перпендикулярно радиусу, соединяющему данную точку с центром тяжести сечения. Согласно закону Гука в пределах упругого деформирования между касательным напряжением и угловой деформацией существует прямо пропорциональная связь: G , (3.2) где G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода). E , (3.3) G 2(1 ) где – коэффициент Пуассона. 3.3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ В поперечном сечении вала площадью F рассмотрим произвольную точку A , отстоящую от центра тяжести сечения на расстоянии . Выберем в окрестности точки элементарную площадку dF (рис. 3.2). Используем определение момента как произведение силы на плечо: dM ( dF ) , Mк dF . Рис. 3.2 (3.4) F 53 Интегрирование (3.4) в общем виде невозможно, т.к. зависимость (F ) не известна. Задача является статически неопределимой. Для её решения рассмотрим схему деформирования (совместности перемещения). Двумя близкими Рис. 3.3 поперечными сечениями dz и одним цилиндрическим радиусом вырежем элемент вала (рис. 3.3). Рассмотрим вырезанный элемент более подробно (рис. 3.4). Проведём образующую AB . Считаем сечение B условно неподвижным, сечение A совершает относительно него поворот, при котором точка A займёт положение A1 . Обозначим, AOA1 d – взаимный угол поворота двух поперечных ABA1 сечений, – угол сдвига. Учитывая малость этих углов, из AOA1 ABA1 треугольников и вычисляем: Рис. 3.4 AA1 d ; AA1 dz. Отсюда получаем: d . (3.5) dz Величина d (3.6) dz называется относительным углом закручивания. Это угол поворота d , приходящийся на единицу длины dz . Тогда (3.5) с учётом (3.6) примет вид: . (3.7) 54 Подставим (3.7) в закон Гука (3.2): G . Считая в пределах сечения const поворачивается целиком), подставим (3.8) в (3.4): Mк 2 G dF . (3.8) (сечение (3.9) F Величина 2 Jp (3.10) dF F называется полярным моментом инерции. Он является геометрической характеристикой сечения. Тогда: Mк G J p . (3.11) Отсюда Mк . GJ p Величина (3.12) GJ p – жёсткость (крутильная жёсткость сечения). Подставим (3.12) в (3.8): Mк . Jp при кручении (3.13) Если применить (3.13) к одному сечению, то учитывая, что в этом случае J p и Mк не меняются, получим, что касательное напряжение является линейной функцией радиуса (рис. 3.5). Рис. 3.5 55 3.4. ПОЛЯРНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ И ПОЛЯРНЫЙ МОМЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ ТРУБЧАТОГО СЕЧЕНИЯ ВАЛА Рассмотрим сечение вала с наружным диаметром D и d диаметром соосного отверстия d . Обозначим . D Двумя близкими цилиндрическим сечениями радиусом и d вырежем элемент вала (рис. 3.6). В силу малости толщины кольца его площадь: dF 2 d . Рис. 3.6 Тогда полярный момент инерции (3.10): D/2 2 Jp dF 3 2 F 4 d d /2 D 4 (1 ). 32 Полярным моментом величина: Jp Wp . 32 (D 4 d 4) (3.14) сопротивления называется (3.15) max Для вала трубчатого (кольцевого) сечения с учётом (3.14) получим: Jp D3 4 Wp (1 ). (3.16) D/2 16 3.5. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ Деталь прочная, если наибольшее напряжение не превышает допускаемого [ ] : Mк max Jp max касательное (3.17) [ ] или, с учётом (3.15): 56 Mк max Wp [ ]. (3.18) Из условия прочности (3.18) вытекают три вида расчетов: 4) Проверочный расчет. Сводится к вычислению возникающих в детали напряжений и непосредственной проверке соблюдения условия (3.18). 5) Проектный расчет. Заключается в определении минимально необходимой площади поперечного сечения вала. Для этого условие (3.18) представляется в виде: Mк Wp . (3.19) [ ] Для вала трубчатого сечения с учётом (3.16) условие прочности имеет вид: 16 M к . (3.20) 4 [ ](1 ) 6) Расчет на предельную нагрузку. Надо определить допустимую величину нагрузки. Для этого (3.18) представляем в виде: [ M к ] [ ]W p . (3.21) D 3 Определив максимальное допустимое значение [ M к ] , с использованием эпюры крутящих моментов устанавливают допустимые значения скручивающих моментов. 3.6. РАСЧЕТ НА ЖЁСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ Определим взаимный угол поворота концевых сечений вала используя соотношения (3.6) и (3.12): Mк d dz dz , (3.22) GJ p l Mк dz . GJ p (3.23) 57 При постоянных М к и J p на участке длиной l формула (3.23) принимает вид: M кl . (3.24) GJ p Взаимный угол поворота концевых сечений ступенчатого вала, который можно разбить на n участков определяют по формуле: n M кili , GJ i 1 i pi (3.25) если модуль сдвига, крутящий момент и полярный момент инерции сечения постоянны на каждом участке вала. Условие жёсткости для абсолютных углов закручивания имеет вид: [ ] (3.26) max где [ ] – допускаемое значение абсолютного угла закручивания, задаваемое конструктором из условий эксплуатации. Условие жесткости по относительному углу закручивания представляется в виде Mк (3.27) [ ], max GJ p где [ ] – допускаемое значение относительного угла закручивания. По условиям (3.26) и (3.27) проводят те же виды расчетов, что и из условия прочности (3.18). 3.7. ЭПЮРЫ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ При решении статически определимых используется следующий алгоритм: 1) Определение реактивных моментов необходимости) из условий равновесия. 58 задач (при 2) Разбиение вала на участки. Границами участков являются: сечения, в которых приложены сосредоточенные моменты, начинается/заканчивается распределенный момент, меняется геометрия сечения. 3) Составление уравнений для крутящего момента на участках. 4) Определение абсолютных углов закручивания на участках. 4) Построение эпюр M к (z ) и (z ) . 5) Проверка на прочность и жёсткость. Если рассчитывается статически неопределимый вал, то дополнительно надо провести раскрытие статической неопределимости: установить степень статической неопределимости; рассматривая схему деформирования вала; составить уравнение совместности перемещений; в уравнении совместности перемещений заменить углы поворота сечений через крутящие моменты и жесткости ступней вала. 3.8. ЗАДАЧА К1 К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ Стальной вал кольцевого сечения нагружен скручивающими моментами mi (рис. К1.0–К1.9). Определить реактивный и наибольший крутящий момент. Построить эпюры крутящих моментов и абсолютных углов закручивания. При заданном для материала допускаемом напряжении [ ] 100 МПа определить из условия прочности диаметр вала и округлить его до ближайшего стандартного размера. Проверить жесткость вала при заданном допускаемом значении относительного угла закручивания [ ] 4 . G 8 10 4 см МПа. Численные данные приведены в таблице К1. Указания. Задача К1 – на расчет на прочность и жесткость при кручении статически определимого вала. Решение задачи проводится в соответствии с алгоритмом, описанным в разделе 3.7. Подробный ход решения аналогичной задачи приведен в примере К1. 59 Таблица К1 № a, м b c d m1 , кH м 0 1 0,6a 0,9a 1,2 a –0,2 1 0,5 2a 1,5a 0,8a 2 0,8 1,2 a 0,8a 0,5a 3 0,6 1,1a 0,7 a 2a 4 1,2 0,8a 0,5a 1,5a 5 0,9 0,9a 1,4 a 1,3a 6 0,7 1,3a 1,1a 0,6a 7 1,1 0,5a 0,6a 0,9a 8 0,4 1,4 a 1,2 a 1,1a 1,8a 2a 1,4 a 9 0,3 m2 , кH м m3 , кH м 0,6 0,5 0,8 –0,9 0,3 m4 , кH м m5 , кH м 0,7 0,9 1,1 –0,3 0,4 0,85 1,3 0,95 1,4 –0,2 0,8 1,5 0,5 0,7 1,3 0,85 1,1 0,9 1,4 0,8 1,2 0,65 1,5 –1,2 –0,7 –1,3 –0,6 1,7 0,8 –1,2 1,4 1 1,5 –1,8 1,1 60 1,2 –0,7 0,8 –1 0,7 0,1 1 –0,4 n m6 , кH м –0,9 Рис. К1.0 Рис. К1.1 Рис. К1.2 Рис. К1.3 Рис. К1.4 Рис. К1.5 Рис. К1.6 Рис. К1.7 Рис. К1.8 Рис. К1.9 61 Пример К1. Полый стальной вал, защемлённый в сечении A , нагружен четырьмя скручивающими моментами (рис. 3.7). Определить реактивный и Рис. 3.7 наибольший крутящий момент. Построить эпюры крутящих моментов и абсолютных углов закручивания. При заданном допускаемом напряжении [ ] для материала определить из условия прочности диаметр вала и округлить его до ближайшего стандартного размера. Проверить жесткость вала при заданном допускаемом значении относительного угла закручивания [ ] . d 0.75 , a 1 м , m1 3 кН м , m 2 2 Дано: D кН м , m3 1 кН м , [ ] 100 МПа , [ ] 5 m4 5 кН м , G 8 10 4 МПа , . см Решение: 1) Определяем реактивный момент. Вал защемлен с одной стороны. Отбрасываем жёсткую заделку, заменяя её реактивным моментом M A (рис. 3.8 а). Для определения момента заделки составим уравнение равновесия: mi 0 : M A m4 m3 m2 m1 0 . Вычисляем: M A 5 1 2 3 1 кН м . 2) Построим эпюру крутящих моментов. Разобьем вал на участки. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные моменты, резко (скачком) изменятся интенсивность распределенных моментов или площадь поперечного сечения. Согласно этому правилу вал следует разбить на четыре участка. 62 Рис.3.8 Составляем для каждого из участков вала уравнение для определения крутящего момента (3.1), рассматривая каждый раз правую часть вала. 1 участок: 0 z a . Рассечем этот участок произвольным поперечным сечением z1 (рис. 3.9). Для определения крутящего момента составим уравнение равновесия на участке: 63 Рис. 3.9 mi 0 : M к1 m1 Отсюда M к1 m1 3 кН м . 0. 2 участок: 0 z a . Рассечем этот участок произвольным поперечным z2 сечением (рис. 3.10). Для определения крутящего момента составим уравнение равновесия: mi 0 : M к 2 m2 m1 0 . Вычисляем M к 2 m1 m2 5 кН м . Рис. 3.10 3 участок: 0 z a. Рассечем этот участок произвольным поперечным сечением (рис. 3.11). z3 Составляем уравнение равновесия на участке: mi 0 : M к3 m3 m2 m1 Находим M к3 m1 m2 m3 4 кН м . 0. 4 участок: 0 z a . Рассечем этот участок произвольным поперечным сечением z 4 (рис. 3.12). Из уравнения равновесия mi 0 : M к 4 m4 m3 m2 m1 получаем M к 4 m1 m2 m3 m4 64 0 1 кН м . Рис. 3.11 Рис. 3.12 Строим в масштабе эпюру крутящих моментов (рис. 3.8 б). 3) Определяем диаметр вала. Для нахождения этой величины проведём проектный расчёт по формуле (3.20). Из анализа эпюры крутящих моментов следует, что крутящий момент достигает наибольшего по модулю значения на втором участке вала: M к 2 5 кН м . Вычисляем 16 5 10 6 16 M к 2 3 72 мм . 4 [ ](1 ) 3.14 100(1 0.75 4 ) Округляем эту величину до ближайшего большего стандартного значения: D 75 мм . 4) Построим эпюру абсолютных углов закручивания . Построение этой эпюры начнём от неподвижного сечения, т.е. от заделки: А 0 . Предварительно вычислим крутильную жёсткость: D GJ p 3 D 4G (1 32 4 ) 3.14 75 4 8 10 4 (1 0.75 4 ) 32 1.7 1011 Н мм2 . Определим углы закручивания на участках. 4 участок. Положение произвольного сечения этого участка задаётся координатой z 4 , а угол поворота определяется углом закручивания части вала ( a z 4 ) , расположенного между этим сечением и заделкой. Используя формулу (3.24), получаем М к 4 (a z 4 ) . 4 GJ p Таким образом, 4 является линейной функцией координаты z . Вычисляем его значение на границах участка: z4 a : 4 A 0; 65 z4 0: 4 K M к4a GJ p 1 10 6 10 3 5,9 10 3 рад. 11 1,7 10 3 участок. Угол поворота произвольного сечения определяется как сумма угла поворота K сечения K и угла поворота данного сечения относительно сечения K : M к 3 (a z 3 ) уравнение прямой. 3 K GJ p Вычисляем его значение на границах участка: z3 z3 a: 3 0: 5,9 10 3 рад; K 3 5,9 10 C 3 4 10 6 103 11 17.7 10 3 1,7 10 рад. 2 участок. Определим угол поворота произвольного сечения данного участка как сумму угла поворота C сечения C и угла поворота рассматриваемого сечения относительно сечения C : M к 2 (a z 2 ) прямая. 2 С GJ p На границах участка получаем: z2 а: 2 z2 0: С 17.7 10 3 рад; 2 17.7 10 3 B 4 10 6 103 11 47.2 10 3 1,7 10 рад. 1 участок. Аналогично для угла поворота произвольного сечения этого участка получаем: M к1 (a z1 ) прямая. 1 B GJ p На границах участка вычисляем: 66 z1 a: z1 0: 1 B 1 47.2 10 3 рад; 47.2 10 3 O 1 10 6 103 11 64.9 10 3 1,7 10 рад. По полученным значениям строим с соблюдением масштаба эпюру углов закручивания (рис. 3.8 в). 5) Проверка жёсткости вала. Чтобы выполнить проверку, определим наибольший относительный угол закручивания, подставив в формулу (3.12) наибольшее по модулю значение крутящего момента M к 2 5 кН м : max M к2 GJ p 5 10 6 11 2,94 10 5 рад . мм 1.7 10 По условию задачи 5 рад [ ] 5 8,7 10 3 . см 180 10 мм Проверяем жёсткость по критерию (3.27): рад 5 рад [ ] 8,7 10 3 . max 2,94 10 мм мм Вал жёсткий. Ответ: Реактивный момент M A 1 кН м . Диаметр вала D 75 мм . Условие жесткости выполняется. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Какой вид деформирования называется кручением? 2. Как определяют крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала? 3. Как определяют напряжения при кручении круглого вала (Закон Гука)? Как распределяются напряжения в сечении при кручении круглого вала? 4. Запишите интегральное уравнение равновесия при кручении. 67 5. Что называют абсолютным и относительным углом закручивания? Как они вычисляются? 6. Что такое полярный момент инерции и момент сопротивления? Как они вычисляются для вала круглого кольцевого и сплошного сечения? 7. Сформулируйте условие прочности при кручении круглого вала. Как оно применяется для различных видов расчетов? 8. Что такое жесткость вала? 9. Сформулируйте условие жесткости при кручении круглого вала. Как оно используется для различных видов расчетов? 10. Сформулируйте алгоритм построения эпюр крутящих моментов для статически определимых задач. Как он изменится применительно к неопределимым задачам? 68 4. ИЗГИБ 4.1. ВИДЫ ИЗГИБОВ Изгибом называют такой вид деформирования, при котором в поперечном сечении стержня действует изгибающий момент. Стержень, работающий на изгиб, называют балкой. Приложим к балке внешние нагрузки, лежащие в одной из плоскостей, совпадающей с главными центральными осями инерции, например, z и y (рис. 4.1). Такой изгиб называется плоским прямым. При прямом изгибе ось изогнутой балки располагается в плоскости действия приложенных Рис. 4.1 нагрузок (в противном случае изгиб называют косым). При этом в балке возникнут внутренние силы: поперечные (перерезывающие) силы Qx и Q y и изгибающие моменты M x и M y . Если в поперечных сечениях балки действуют только изгибающие моменты M x и/или M y , то изгиб называется чистым. Если в поперечных сечениях балки действуют как изгибающие моменты M x и/или M y , так и перерезывающие силы Qx и/или Q y , то изгиб называется поперечным. 4.2. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ ПРИ ИЗГИБЕ Для определения внутренних сил используется метод сечений, рассмотренный ранее: в произвольном поперечное сечение на каждом участке балки составляются уравнения для поперечной силы и изгибающего момента. Границами участков 69 являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы или сосредоточенные моменты, начинается/заканчивается распределенная нагрузка (распределенные моменты), меняется геометрия сечения. Далее будем рассматривать прямой поперечный изгиб, когда в поперечных сечениях балки возникают изгибающий момент M M x и перерезывающая сила Рис. 4.2 Q Q y (рис. 4.2). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения: Рис. 4.3 n Pi . Q (4.1) i 1 Составляющая в (4.1) положительна, если сила поворачивает отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке; отрицательна – если против часовой (рис. 4.3). Изгибающий момент M в сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил относительно центра тяжести рассматриваемого сечения, приложенных по одну сторону от Рис. 4.4 сечения: 70 n mO ( Pi ) . M (4.2) i 1 Составляющая в (4.2) положительна, если сила слева от сечения создаёт изгибающий момент, направленный по часовой стрелке, а справа – по часовой. И наоборот справа от сечения (рис. 4.4). 4.3. ТЕОРЕМЫ Д.И. ЖУРАВСКОГО Рассмотрим произвольную двухопорную балку, находящуюся в равновесии под действием произвольной распределённой нагрузкой (рис. 4.5). Используя метод сечений, двумя близкими Рис. 4.5 поперечными сечениями вырежем элемент балки длиной dz на расстоянии z от опоры A (рис. 4.6). В силу малости участка dz , считаем нагрузку постоянной с интенсивностью Действие q. отброшенных частей заменим Рис. 4.6 нагрузками Q и M слева и (Q dQ ) и ( M dM ) справа. Поскольку балка находится в равновесии, то и рассматриваемый участок должен удовлетворять условиям равновесия: Piy 0 : Q (Q dQ ) q dz 0 . Отсюда следует: dQ q . (4.3) dz Это 1-ая теорема Журавского в дифференциальной форме: интенсивность распределённой нагрузки на участке балки равна первой производной поперечной силы по абсциссе z. 71 q(dz ) 2 M ( M dM ) 0 . 2 Откуда, учитывая порядок малости второго слагаемого, получаем: dM Q . (4.4) dz Это 2-ая теорема Журавского в дифференциальной форме: поперечная сила в сечении балки равна первой производной изгибающего момента по абсциссе z . Подставим (4.30 в (4.4): mO ( Pi ) 0: Q dz d 2M . (4.5) dz 2 Интенсивность распределённой нагрузки в сечении балки равна второй производной изгибающего момента по абсциссе z . Рассмотрим следствия этих теорем: 1) Если на участок балки действует распределённая нагрузка постоянной интенсивности q const , то поперечная сила является линейной функцией от координаты z , а изгибающий момент изменяется по параболическому закону: q qz 2 C1z C2 . 2 1) Если распределённая нагрузка на участке балки отсутствует, то поперечная сила отсутствует, а изгибающий момент изменяется по линейному закону: Q const , M C1 z C 2 . Q qz C1 , M 4.4. ЧИСТЫЙ ИЗГИБ Рассмотрим случай чистого изгиба, когда в поперечных сечениях балки действует только изгибающий момент M x (рис. 4.7). Рис. 4.7 72 4.4.1. Закон Гука при чистом изгибе Пусть балка под действием двух равных моментов испытывает чистый изгиб (рис. 4.8). Согласно гипотезе плоских сечений плоское Рис. 4.8 поперечное сечение до деформации остается плоским и нормальным к оси балки и после деформации. Это значит, что часть продольных волокон балки сжимается, а часть растягивается. Волокна, удлинения которых равны нулю, называют нейтральными. Их совокупность образует нейтральный слой, который пересекается с плоскостью поперечного сечения по нейтральной линии этого сечения. Из сказанного выше следует, что закон Гука имеет такой же вид, что и при растяжении (сжатии) – нормальное напряжение прямо пропорционально деформации: (4.6) E . 4.4.2. Интегральные уравнения равновесия Выделим в поперечном сечении балки в окрестности некоторой произвольной точки А с координатами x, y достаточно малую площадку dF , на которой действует сила, создающая нормальное напряжение . Тогда: (4.7) dM x y dF , dM y x dF , (4.8) dN dF . Интегрируя (4.7)–(4.9), уравнения равновесия: N dF 0 , получаем (4.9) интегральные (4.10) F My x dF 0 , (4.11) F 73 Mx y dF M. (4.12) F 4.4.3. Напряжения при чистом изгибе Рассмотрим схему деформирования балки, испытывающей чистый изгиб (рис. 4.9). Ось балки z совпадает с положением нейтрального волокна OO1 , проходящего через центр тяжести сечения. Двумя близкими Рис. 4.9 поперечными сечениями вырежем элемент балки длиной dz . Сечения в близких точках A и B , бывшие до деформации параллельными, после изгиба будут пересекаться (рис. 4.10). Точка их пересечения C является центром кривизны нейтрального волокна, – радиус кривизны нейтрального волокна. После деформации волокно AB превратится в дугу A1B1 . Вычислим его относительное Рис. 4.10 удлинение: A1B1 AB A1B1 OO1 AB OO1 ( y)d d y = . (4.13) d Преобразуем (4.6), (4.10)–(4.12) с учетом (4.13): y (4.14) E E . N dF F E dF F E ydF F 74 E Sx 0. (4.15) Т.к. S x 0 , то ось OO1 действительно является центральной, т.е. проходит через центр тяжести сечения. E E (4.16) My x dF xydF J xy 0 . F Т.к. F J xy 0 , то ось OO1 является главной осью инерции. Mx y F dF E y 2 dF E Jx M. (4.17) F Отсюда E M . Jx Подставим (4.18) в (6.14): E M y y. Jx Т.о. нормальные напряжения распределены по высоте балки по линейному закону (рис. 4.11). (4.18) (4.19) 4.4.4. Расчёт на прочность при чистом изгибе Деталь прочная, если наибольшие Рис. 4.11 напряжения не превышают допускаемого: (4.20) max [ ] . С учётом (4.19) условие прочности имеет вид: M (4.21) y max [ ] , Jx где ymax – точка сечения, наиболее удаленная от его центра тяжести. Осевым моментом сопротивления сечения называется величина: 75 Jx . (4.22) ymax Тогда условие прочности примет вид: M (4.23) [ ]. Wx Из условия прочности (4.23) вытекают три вида расчетов: проверочный, проектный расчет и расчет на предельную нагрузку. 7) Проверочный расчет. Сводится к вычислению возникающих в детали напряжений и непосредственной проверке соблюдения условия (4.23). 8) Проектный расчет. Заключается в определении минимально необходимой площади поперечного сечения стержня. Для этого условие (4.23) представляется в виде: M Wx . (4.24) [ ] Для балки трубчатого сечения, как было показано раньше: Wx D4 4 (1 ). 32 Учитывая, что J p J x Jp Jx Jy D4 (1 64 4 Jy и Jx J y , получаем ). Подставляя (4.25) и y max (4.25) D , получим: 2 Jx D3 4 (1 ). (4.26) D/2 32 Для вала трубчатого (кольцевого) сечения с учётом (3.14) получим: Jp D3 4 Wp (1 ). (4.27) D/2 16 Wx 76 С учетом (4.27), условие прочности (4.23) примет вид: 16 M . (4.28) 4 [ ](1 ) 9) Расчет на предельную нагрузку. Надо определить допустимую величину нагрузки. Нагрузка будет наибольшей, когда условие (4.23) из неравенства превращается в равенство. Из него определяется допустимое значение изгибающего момента: (4.29) M Wx [ ] . По найденному значению с использованием эпюры M или уравнений статики устанавливают допустимые значения приложенных к балке нагрузок. Примечание. Если допускаемые напряжения на растяжение и сжатие отличаются, то условие (4.23) разбивается на два: M M (4.30) [ ]р и [ ]c , max min W xр Wxc D 3 где [ ] р и [ ]c – допускаемые напряжения на растяжение и сжатие. 4.4.5. Коэффициент экономичности В формуле (4.28) критерия прочности M [ ] Wx осевой момент сопротивления стоит в знаменателе, следовательно, с увеличением момента сопротивления увеличивается и прочность балки. Поэтому с точки зрения экономии материала наиболее рациональными будут такие сечения, у которых при малой площади моменты сопротивления получаются большими. Так, например, прямоугольное сечение балки, выгоднее, чем квадратное. Балка прямоугольного сечения, положенная плашмя, будет иметь 77 момент сопротивления момент сопротивления меньше, следовательно, класть балку плашмя невыгодно. Для оценки экономичности детали используют коэффициент эффективной прочности (экономичности): K Wx F . (4.31) 3 Прямоугольное и круглое сечения чаще всего встречаются в деревянных балках. Для металлических балок выбирают другие, более рациональные сечения. Так как вблизи от нейтральной оси материал мало напряжен, то выгоднее больше материала сосредоточивать подальше от нейтральной оси, т.е. переносить его от мест, где он напряжен мало, к местам, где он будет напряжен больше. Существует ряд сечений балок, обладающих наибольшей прочностью при наименьшем весе: двутавр, швеллер, уголок неравнобокий, уголок равнобокий, тавр (рис. 4.12). Часто применяют сварное соединение профилей. Рис. 4.12. а) двутавр, б) швеллер, в) уголок неравнобокий, г) уголок равнобокий, д) тавр, е) сварное соединение профилей Поэтому для балок из металла, сопротивляющегося одинаково растяжению и сжатию, часто сечения выбирают в виде двутавра, швеллера; применяются сварные балки. Такие балки в сравнении с балками прямоугольного и круглого сечений, имеющими такую же площадь сечения, дают значительно большие моменты сопротивления. Нейтральная 78 линия в этих сечениях проходит посредине высоты, поэтому наибольшие напряжения растяжения и сжатия для таких сечений будут одинаковыми. Для балок, материал которых сопротивляется неодинаково растяжению и сжатию, например чугун, берутся сечения, несимметричные относительно нейтральной линии, как, например, тавровое сечение (рис. 4.12). Тавр тогда располагают так, чтобы в горизонтальной полке были напряжения растяжения; последние благодаря приближению нейтральной оси к горизонтальной полке оказываются меньшими напряжений сжатия. На практике нередко встречается кольцевое (трубчатое) сечение. Момент сопротивления кольцевого сечения больше, чем круглого сечения равной площади, так как материал в кольцевом сечении более рационально использован: он отнесен дальше от нейтральной линии. Моменты инерции и моменты сопротивления катаных профилей стандартных размеров задаются в таблицах сортамента ГОСТ. 4.5. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ Рассмотрим более подробно случай поперечного изгиба, когда в поперечных сечениях балки возникают изгибающий момент M Mx и перерезывающая сила Q Q y (рис. 4.13). Рис. 4.13 4.5.1. Напряжения при поперечном изгибе. Формула Журавского Пренебрегая силами трения между волокнами изогнутой балки, будем считать, что гипотеза плоских сечений условно выполняется (хотя небольшая депланация присутствует). Нормальное напряжение: M (4.32) y. Jx 79 Двумя близкими поперечными сечениями вырежем часть балки длиной dz (рис. 4.14). Мысленно разрежем балку, испытывающую изгиб, продольным сечением. Рассмотрим равновесие верхнего элемента площадью сечения F и шириной Рис. 4.14 основания b , приложив к нему нагрузки со стороны отброшенных частей. Касательные напряжения на взаимноперпендикулярных гранях равны и направлены от общего ребра, согласно теореме парности. Составим уравнение равновесия: Piz 0 : ( N dN ) N b dz 0 , 1 dN . b dz Подставим (4.32) в (4.10): M N dF y dF Jx F F (4.33) M Jx y dF F M S x , (4.34) Jx где S x – статический момент площади. Полагая балку постоянного сечения, т.е. S x const , M M (z ) , продифференцируем (4.35) J x const , координате z с учетом 1-ой теоремы Журавского (4.4): S dN S x dM Q x. dz J x dz Jx Подставим (4.35) в (4.33): 80 по (4.35) Q Sx . b Jx Это формула Журавского. (4.36) 4.5.2. Расчёт на прочность при поперечном изгибе Для нормальных напряжений проводится по тем же критериям, что и при чистом изгибе: M M y max [ ]. max Jx Wx (4.37) Расчет по касательным напряжениям, как правило, делается проверочным: Q Sx (4.38) [ ]. max b Jx Обычно, согласно экспериментальному соотношению: [ ] 0.58[ ] . (4.39) 4.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ 4.6.1. Виды перемещений при изгибе Рассмотрим деформацию консольной балки под действием силы P , испытывающей изгиб (рис. 4.15). Изогнутая ось балки является геометрическим местом центров тяжести поперечных сечений деформированной балки и называется упругой линией. На произвольном расстоянии z проведём поперечное сечение B . Рис. 4.15 В точке B1 упругой линии проведём касательную и нормаль n , которая совпадает с плоскостью поперечного сечения изогнутой балки в точке B1 . 81 Для описания деформации балки в плоскости yz используются две характеристики: 1) прогиб y – линейное вертикальное перемещение BB1 центра тяжести сечения; 2) угол поворота сечения – угол, на который поворачивается поперечное сечение балки относительно его первоначального положения. Вследствие малости углов: dy tg y . (4.40) dt 4.6.2. Дифференциальное уравнение упругой линии балки При выводе формулы для напряжения при чистом изгибе было получено: E Mx . Jx ds где – радиус кривизны балки. d Отсюда: 1 Mx . (4.41) EJ x Величина EJ x const называется жёсткостью балки при изгибе (изгибная жесткость). Из дифференциальной геометрии известно, что кривизна кривой в точке равна: 1 y k . (4.42) (1 ( y ) 2 ) 3 2 1 , получаем: Учитывая, что перемещения малы и y 1 (4.43) y . 82 Подставим (4.43) в (4.11) и получим дифференциальное уравнение упругой линии балки: Mx . (4.44) y EJ x Интегрируя (4.44) и учитывая (4.40), получим уравнение углов поворота: Mx y dz C1 . (4.45) EJ x l Интегрирование (4.45) даёт уравнение упругой линии: y l l Mx dz EJ x C1 z C2 . (4.46) Для определения неизвестных констант интегрирования C1 и C 2 нужны граничные условия. Для консольной балки (рис. 4.16) граничные условия имеют вид: z 0 : y 0; (4.47) z 0 : y 0. Для шарнирно-опертой балки (рис. 4.17) граничные условия можно представить в форме: z 0 : y 0; (4.48) z l : y 0. Рис. 4.16 Рис. 4.17 4.6.3. Условие жёсткости при изгибе Деталь жёсткая, жесткости: y max [ y ], [ ], max если выполняются условия (4.49) 83 где [ y ] и [ ] – допускаемые значения прогиба и угла поворота, задаваемые из конструктивных и технологических соображений. Обычно [ y ] (0.0001 0.0004 )l , 0.01 рад для шарикоподш ипников; [ ] 0.001 рад для роликовых подшипников. По условиям жесткости (4.53) выполняют те же виды расчетов, что по условию прочности (4.20). 4.7. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ СИЛ ПРИ ИЗГИБЕ При решении статически определимых задач используется следующий алгоритм: 1) Определение сил реакций (при необходимости) из условий равновесия. 2) Разбиение вала на участки. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, приложены сосредоточенные моменты, начинается/заканчивается распределенная нагрузка, меняется геометрия сечения. 3) Составление уравнений для перерезывающей силы и момента на участках. 4) Построение эпюр Q(z ) и M (z ) . 5) Проверка на прочность и жёсткость. Если рассчитывается статически неопределимая балка, то дополнительно надо провести раскрытие статической неопределимости: установить степень статической неопределимости; рассматривая схему деформирования балки; составить уравнение совместности перемещений; в уравнении совместности перемещений заменить углы поворота сечений через крутящие моменты и жесткости ступней вала. 84 4.8. ЗАДАЧА И1 К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ Консольная или духопорная стальная балка, нагружена сосредоточенными силами Pi , распределенной нагрузкой интенсивностью qi и внешними моментами mi (рис. И1.0– И1.9). Марка стали: Ст. 3, предел текучести T 225 МПа. Определить силы реакции. Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента в поперечном сечении балки. Определить из условия прочности размеры сечения для балки (рис. И1): а) круглого сплошного сечения (диаметр D ); б) прямоугольного сечения (размеры b и h , считая h 1,5b ); в) двутавра; г) швеллера; д) поставленных друг к другу вплотную одинаковых несвязанных швеллеров. Выбрать рациональное сечение, проведя оценку коэффициентов экономичности. Численные данные приведены в таблице Р1, где n – коэффициент запаса прочности. Указания. Задача И1 – на расчет на прочность при изгибе статически определимой балки. Решение задачи проводится в соответствии с алгоритмом, описанным в разделе 4.7. Ход решения подобной задачи приведен в примере И1. Рис. И1.0 Рис. И1.1 85 Рис. И1.2 Рис. И1.3 Рис. И1.4 Рис. И1.5 Рис. И1.6 Рис. И1.7 Рис. И1.8 Рис. И1.9 86 Таблица И1 № a, м b 0 0,8 1,2 a 0,5a 2a 1 1 0,5a 1,2 a 0,4a 2 0,2 0,4a 0,3a 0,8a 3 1,4 0,6a 0,8a 0,5a 4 0,5 1,2 a 2a 1,5a 5 0,6 2a 1,4 a 1,6 a 2qa 6 0,3 3a 4a 2a 5qa 7 0,9 1,5a 1,1a 1,2 a 8 1,1 0,8a 1,3a 1,7 a qa 9 0,7 0,9a 1,6 a 1,1a 3qa c d P1 P2 P3 m1 , qa m2 , m3 , q1 q2 2q 3qa 2 2qa 4qa 2 6qa 6qa 2 7qa 4qa 4q 9 qa 2 87 7 8q 4qa 2 4q 8 11 6q 2qa 2 5 3 6q qa 2 кН м 7q 3qa 2 5qa 2 q, 10 5q 2qa 2 8qa q3 q 4 5q 2 12 а) б) в) г) д) Рис. И1 Пример И1. Консольная стальная балка нагружена сосредоточенной силой, распределенной нагрузкой и моментом (рис. 4.18). Определить реактивный и наибольший крутящий Рис. 4.18 момент. Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента. Определить из условия прочности размеры сечения для балки (рис. И1) и выбрать рациональное Дано: a 1 м , P 40 кН , q 20 кН / м , m 60 кН м , T 225 МПа, n 1,2 , h 1,5b . Решение: 1) Определяем силы реакции. Балка защемлена с одной стороны. Отбрасываем жёсткую заделку, заменяя её реактивным моментом M A и силами реакции Y A и Z A (рис. 4.19 а). Составим уравнения равновесия: Piz 0 : Z A 0 ; Piy 0 : YA m A ( Pi ) MA 2qa 0: M A P 2qa 2 20 кН м . 88 0 , YA 0; 3Pa m 0, Рис. 4.19 2) Разобьем вал на 3 участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, приложены сосредоточенные моменты, начинается/заканчивается распределенная нагрузка, меняется геометрия сечения. На каждом участке запишем выражение для перерезывающей силы и изгибающего момента. 1 участок: 0 z a . Рассечем этот участок произвольным поперечным сечением z1 (рис. 4.20). Перерезывающая сила Q1 0 . Изгибающий момент 89 Рис. 4.20 M1 m 60 кН м . На этом участке поперечная сила и изгибающий момент постоянны. 2 участок: 0 z a . Рассечем этот участок произвольным поперечным сечением z 2 (рис. 4.21). Перерезывающая сила Q2 P 40 кН . Изгибающий момент Рис. 4.21 M2 m Pz 2 . Вычислим значения момента на границах участка: M 2 z2 0 m 60 кН м , M 2 z2 a m Pa 20 кН м . На этом участке поперечная сила постоянна, изгибающий момент изменяется по линейному закону. 3 участок: 0 z 2a . Рассечем этот участок произвольным поперечным сечением z 3 (рис. 4.22). Перерезывающая сила Q3 P qz3 кН . Вычислим значения силы на границах участка: Q3 z 2 0 P Рис. 4.22 40 кН . Q3 z 2 2a P 2qa Изгибающий момент 0 кН . qz 32 M3 m P(a z 2 ) . 2 Вычислим значения момента на границах участка: 90 M 3 z2 0 m Pa 20 кН м , qa32 20 кН м . 2 На этом участке поперечная сила изменяется по линейному закону, изгибающий момент является квадратичной функцией. 4) По полученным данным в системе координат " Q z" строим в масштабе эпюру поперечных сил (рис. 4.19 б). Точки разрыва I рода (скачки) появляются в местах, где возникают (исчезают) сосредоточенные силы. В нашем случае таких точек одна – она создается силой P . Скачки на эпюре M (z ) (рис. 4.19 в) возникают в точках приложения моментов – внешнего момента m и момента заделки M A . Снимаем с эпюры максимальный изгибающий момент: M max 60 кН м . 7) Определение геометрии сечения. Используем условие прочности при изгибе в виде: M max Wx , [ ] где допускаемое напряжение: 225 T [ ] 187,5 МПа. n 1.2 Вычисляем значение осевого момента сопротивления: M 3 z2 a Wx m 3Pa 60 10 5 2 320 cм3 . 187,5 10 а) Круглое сечение. Вычисляем его диаметр по формуле: 32W x 3 32 320 D 3 14,9 cм . Округляем до ближайшего большего стандартного значения: 91 D 15 cм . Вычисляем площадь, коэффициент экономичности: момент F D2 4 15 2 4 176,7 cм 2 , Wx D3 32 15 3 32 331,3 cм3 , K Wx (F ) 331,3 3 (176,7) 3 сопротивления и 0,141 . б) Прямоугольное сечение. bh 2 b(1,5b) 2 0,375b 3 . 6 6 Отсюда находим размеры сечения: Wx 320 3 b 3 9,5 10 cм , 0.375 0,375 h 1,5b 15 cм . Вычисляем площадь, момент сопротивления коэффициент экономичности: Wx F bh 10 15 150 cм 2 , Wx bh 2 6 Kx 10 152 6 и 375 cм3 , Wx 375 (F )3 (150 ) 3 0.204 . в) Двутавр. Из таблицы сортамента (ГОСТ 8239–89) подбираем профиль с осевым моментом сопротивления наиболее близким (но не меньшим!) к рассчитанному: 40,2 cм 2 . № 27 , W x 371 cм3 , F Вычисляем коэффициент экономичности: 92 K Wx 371 (F ) 3 (40.2) 3 1,455 . г) Швеллер. Из таблицы сортамента (ГОСТ 8240–97) подбираем профиль с осевым моментом сопротивления наиболее близким (но не меньшим!) к рассчитанному: №[ 30 , W x[ 387 cм3 , F [ 40,5 cм 2 . Вычисляем коэффициент экономичности: K[ W x[ 387 [ 3 (F ) (40.5) 3 1,502 . д) Сдвоенный швеллер. Поскольку сечение составлено из двух одинаковых профилей, то расчетное значение осевого момента для одного швеллера равно: Wx 320 Wx[1 160 cм3 , 2 2 Из таблиц сортамента подбираем профиль: №[1 20a , W x[1 167 cм3 , Fx[1 25,2 cм 2 . Вычисляем коэффициент экономичности: 2W x[1 K ][ [1 3 (2 F ) Поскольку 2 167 (2 25,2) 3 0,934 . K [ > K > K ][ > K [] > K , то рациональным является сечение швеллера. 20 кН м . Геометрия Ответ: реакция заделки M A сечений и коэффициенты эффективности: а) для круглого сечения D 15 cм , K 0,141 ; б) для прямоугольного сечения b 10 cм , h 15 cм , K x 0.204 ; в) для двутавра № 93 27 , F 40,2 cм 2 , K cм 2 , K [ Fx[1 [ 1,455 ; г) для швеллера №[ 30 , F 40,5 №[1 20a , 1,502 ; д) для сдвоенного швеллера 25,2 cм 2 , K ][ 0,934 . Рациональным является сечение швеллера. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Какой вид деформирования называют изгибом? Дайте определение: прямого, косого, чистого и поперечного изгиба 2. Чему равна перерезывающая сила, возникающая в поперечном сечении балки? Как определяется её знак? 3. Чему равен изгибающий момент, возникающий в поперечном сечении балки? Как определяется его знак? 4. Сформулируйте теоремы Журавского для поперечного изгиба. Каковы их следствия? 5. Что называют нейтральной линией сечения? Сформулируйте закон Гука при чистом изгибе. 6. Запишите интегральные уравнения равновесия 7. Как определяют нормальные напряжения при плоском прямом изгибе? Как они распределены по сечению? 8. Как проводится расчет на прочность при чистом изгибе по нормальным напряжениям? 9. Что такое коэффициент экономичности. Какие формы поперечных сечений являются рациональными для балок? 10. Запишите формулу Журавского. 11. Как проводится расчет на прочность при поперечном изгибе по нормальным напряжениям? 12. Как и в каких случаях проводится расчет на прочность по касательным напряжениям? 13. Виды перемещений при изгибе. 14. Запишите дифференциальное уравнение упругой линии балки. Как выглядят граничные условия для консольной и шарнирно-опертой балки? 15. Сформулируйте условие жёсткости при изгибе. 94 16. Сформулируйте алгоритм применения способа Верещагина для определения перемещений при прямом изгибе 17. Какие системы называют статически неопределимыми? Какие связи называют дополнительными (лишними)? Как устанавливают степень статической неопределимости стержневой системы? 95 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Сопротивление материалов занимает важное место среди дисциплин, необходимых для образования бакалавров различных профилей технических направлений подготовки. Данное учебное пособие разработано с учётом того, что в настоящих учебных планах выделяется значительное число часов на самостоятельное изучение дисциплины. Для этого в пособие включена теоретическая часть, кратко, но ёмко охватывающая основные понятия, определения, теоремы, критерии, необходимые для решения задач соответствующих разделов. Задачи контрольной работы многовариантны. Они являются типовыми, что позволяет приобрести навыки решения, требуемые впоследствии при изучении достаточно сложных механизмов. Приведённый список контрольных вопросов позволяет студенту не только проверить насколько хорошо он усвоил материал, но и проанализировать успешность применения полученных знаний для решения конкретных задач. Для более тщательного изучения дисциплины в библиографическом списке приведен перечень литературы, к которой может обратиться читатель. 96 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016. 543 с. 2. Кинасошвили Р.С. Сопротивление материалов / Р.С. Кинасошвили. – М.: Наука, 1975. 384 с. 3. Гастев В.А. Краткий курс сопротивления материалов / В.А. Гастев. – М.: Наука, 1977. 456 с. 4. Сборник задач по сопротивлению материалов / под ред. В.К. Качурина. – М.: Наука, 1972. 432 с. 5. Сборник задач по сопротивлению материалов / под ред. А.А. Уманского. – М.: Наука, 1973. 496 с. 6. Сборник задач по сопротивлению материалов / под ред. А.В. Александрова. – М.: Стройиздат, 1977. 335 с. 7. Ицкович Г.М. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов / Г.М. Ицкович, А.И. Винокуров, Л.С. Минин. – М.: Высш. шк., 1998. 568 с. 8. ГОСТ 8239-89. Двутавры стальные горячекатаные. Сортамент. – М.: ФГУП Стандартформ, 2012. –5 с. 9. ГОСТ 8240-97. Швеллеры стальные горячекатаные. Сортамент. – М.: ФГУП Стандартформ, 2008. –14 с. 10. ГОСТ 8510-86. Уголки стальные горячекатаные неравнополочные. Сортамент. – М.: ФГУП Стандартформ, 2008. –5 с. 11. ГОСТ 8509-93. Уголки стальные горячекатаные равнополочные. Сортамент. – М.: ФГУП Стандартформ, 2005. –14 с. 97 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение………………………………………………………. 3 1. Введение в сопротивление материалов…………………... 14 1.1. Основные понятия сопротивления материалов……… 17 1.2. Классификация внешних сил………………………… 19 1.3. Классификация внутренних сил……………………… 21 1.4. Классификация видов деформирования……………... 23 1.5. Напряжение. Метод сечений………………………… 24 1.6. Перемещения………………………………………….. 27 1.7. Деформации…………………………………………… 28 1.8. Закон Гука……………………………………………… 29 1.9. Основные принципы (гипотезы) сопротивления материалов…………………………… 30 Вопросы для самопроверки……………………………….. 31 2. Растяжение, сжатие………………………………………… 33 2.1. Внутренние силы при растяжении…………………… 33 2.2. Напряжение и деформация…………………………… 34 2.3. Расчет на прочность…………………………………… 37 2.4. Расчет на жёсткость…………………………………… 38 2.5. Статически определимые и статически неопределимые системы……………………………… 39 2.5.1. Эпюры внутренних сил и перемещения……… 39 2.5.2. Статически неопределимые стержневые системы…………………………… 40 2.6. Закон Пуассона………………………………………... 42 2.7. Задача Р1 к контрольной работе……………………… 43 Вопросы для самопроверки……………………………….. 50 3. Кручение……………………………………………………. 52 3.1. Внутренние усилия при кручении…………………… 52 3.2. Закон Гука при кручении……………………………... 52 3.3. Интегральное уравнение равновесия при кручении………………………………………....... 53 3.4. Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления трубчатого сечения вала…………….. 56 98 3.5. Расчет на прочность при кручении…………………... 56 3.6. Расчет на жёсткость при кручении…………………... 57 3.7. Эпюры крутящих моментов…………………………... 58 3.8. Задача К1 к контрольной работе……………………... 59 Вопросы для самопроверки……………………………….. 67 4. Изгиб………………………………………………………… 69 4.1. Виды изгибов………………………………………….. 69 4.2. Внутренние силы при изгибе………………………… 69 4.3. Теоремы Д.И. Журавского……………………………. 71 4.4. Чистый изгиб…………………………………………... 72 4.4.1. Закон Гука при чистом изгибе…………………. 73 4.4.2. Интегральные уравнения равновесия…………. 73 4.4.3. Напряжения при чистом изгибе……………….. 74 4.4.4. Расчёт на прочность при чистом изгибе………. 75 4.4.5. Коэффициент экономичности…………………. 77 4.5. Поперечный изгиб…………………………………….. 79 4.5.1. Напряжения при поперечном изгибе. Формула Журавского…………………………… 79 4.5.2. Расчёт на прочность при поперечном изгибе… 81 4.6. Определение перемещений при изгибе ……………... 81 4.6.1. Виды перемещений при изгибе………………... 81 4.6.2. Дифференциальное уравнение упругой линии балки…………………………… 82 4.6.3. Условие жёсткости при изгибе………………... 83 4.7. Эпюры внутренних сил при изгибе………………….. 84 4.8. Задача И1 к контрольной работе..…………………… 85 Вопросы для самопроверки……………………………….. 94 Заключение………………………………………………...... 96 Библиографический список………………………………... 97 99 Учебное издание Переславцева Наталья Сергеевна Елисеев Владимир Васильевич Воропаев Алексей Алексеевич РУКОВОДСТВО К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО МЕХАНИКЕ: СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ В авторской редакции Компьютерный набор Н.С. Переславцевой Подписано к изданию 15.12.2017. Объем данных 1,9 Мб. ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет» 394026 Воронеж, Московский просп., 14
