Решение логарифмических неравенств повышенной сложности

Решение логарифмических неравенств повышенной сложности
на уроках алгебры в 11-х классах.
Рябченкова С.В.
учитель математики
МКОУ Лицей №1 имени А.Блока
Мастер класс проведен в рамках кафедры физико-математического цикла лицея №1
имени А.Блока.
Автор учебника Мордкович А.Г. в методическом пособии для учителя за 11 класс
рассматривает решения ряда логарифмических неравенств. Способ, который предлагается
использовать, отличается от авторского. Лично для меня он оказался открытием. Речь
идет о замене неравенства вида:
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) 𝑓(𝑥) −𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) 𝑔(𝑥) ≤ 0
системой
(𝑎(𝑥) − 1)(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) ≤ 0,
𝑎(𝑥) > 0,
𝑎(𝑥) ≠ 1,
𝑓(𝑥) > 0,
𝑔(𝑥) > 0.
{
Очевидно, что знак нестрогого неравенства «≤» можно заменить знаком «≥» или любым
знаком строго неравенства.
Решим несколько заданий из учебника.
№18.17 в.
𝑙𝑜𝑔42 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔4 𝑥 ≤ 2
После переноса и разложения на множители получим:
(𝑙𝑜𝑔4 𝑥 − 2)(𝑙𝑜𝑔4 𝑥 + 1) ≤ 0;
1
(𝑙𝑜𝑔4 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔4 16) (𝑙𝑜𝑔4 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔4 ) ≤ 0
4
Каждую разность заменяем произведением по известной формуле и переходим к системе:
1
{
(4 − 1)(𝑥 − 16)(4 − 1) (𝑥 − ) ≤ 0
4
1
<=> {
(𝑥 − 16) (𝑥 − ) ≤ 0
4
𝑥>0
<=>
1
4
<=>
𝑥>0
≤ x ≤ 16
Ответ: [ 0,25 ; 16].
№18.17 г.
2
𝑙𝑜𝑔0,2
𝑥 ≥ 6 − 𝑙𝑜𝑔0,2 𝑥
Приведем к виду:
(𝑙𝑜𝑔0,2 𝑥 + 3)(𝑙𝑜𝑔0,2 𝑥 − 2) ≥ 0
Каждый множитель заменяем разностью логарифмов
(𝑙𝑜𝑔0,2 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔0,2 125)(𝑙𝑜𝑔0,2 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔0,2 0,04 ) ≥ 0
{
(0,2 – 1)( x − 125)(0,2 − 1)(x – 0,04) ≥ 0;
𝑥 > 0;
Ответ: (0; 0,04]∪ [125; +∞);
Особенно удобен данный метод при решении логарифмических неравенств, содержащих в
основании переменную. Чем удобно? Метод позволяет не переходить к совокупности
неравенств, в которых отдельно рассматриваются значения основания от 0 до 1 и больше
1. Например:
№18.32 а.
𝑙𝑜𝑔𝑥−2 (2𝑥 − 3) > 𝑙𝑜𝑔𝑥−2 (24 − 6𝑥)
Чтобы получить разность логарифмов, переносим все в одну часть и заменяем ее
произведением по известной формуле, учитывая область допустимых значений
неравенства.
𝑙𝑜𝑔𝑥−2 (2𝑥 − 3) − 𝑙𝑜𝑔𝑥−2 (24 − 6𝑥)>0
(x – 2 – 1)(2x – 3 − 24 + 6x) > 0;
2𝑥 − 3 > 0;
<=>
24 − 6𝑥 > 0;
𝑥 − 2 > 0;
{
𝑥 − 2 ≠ 1;
(𝑥 − 3)(8𝑥 − 27) > 0;
𝑥 > 1,5;
{
𝑥 < 4;
𝑥 > 2;
Ответ: (2 ; 3) ∪(3,375; 4).
№18.35 б.
𝑙𝑜𝑔10−𝑥 2 (3,2𝑥 − 𝑥 2 ) < 1
𝑙𝑜𝑔10−𝑥 2 (3,2𝑥 − 𝑥 2 ) − 1 < 0
число 1 заменяем логарифмом с тем же основанием(10 – x2)
𝑙𝑜𝑔10−𝑥 2 (3,2𝑥 − 𝑥 2 ) − 𝑙𝑜𝑔10−𝑥 2 (10 − 𝑥 2 ) < 0
(10 − 𝑥 2 − 1)(3,2𝑥 − 𝑥 2 − 10 + 𝑥 2 ) < 0
3,2𝑥 − 𝑥 2 > 0
{
10 − 𝑥 2 > 0
10 − 𝑥 2 ≠ 1
Упростим.
(3 − 𝑥)(3 + 𝑥)(𝑥 − 3,125) < 0;
𝑥(𝑥 − 3,2) < 0;
{
(𝑥 − √10)(𝑥 + √10) < 0;
Ответ: (0; 3)∪(3,125; √10).
Мы рассматриваем самые сложные задания по этой теме, но их решения сводятся к
достаточно простым системам.
№18.37 а.
𝑙𝑜𝑔4(x + 12) ∙ logx2 ≤ 1;
применим логарифмические преобразования
𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 12)
− 2 ≤ 0;
𝑙𝑜𝑔2 𝑥
𝑙𝑜𝑔 2 (𝑥+12)− 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 2
log 2 𝑥−𝑙𝑜𝑔2 1
≤ 0;
Как обычно мы получили разности логарифмов с одинаковым основанием, что важно для
применения известной формулы.
−(2 − 1)(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)
≤ 0;
(2
−
1)(𝑥
−
1)
{
𝑥 > −12;
𝑥 > 0;
Ответ: (0;1)∪[4; + ∞).
№18.46 а.
𝑙𝑜𝑔5𝑥−4𝑥 2 (4−𝑥 ) > 0;
составим разность двух логарифмов
𝑙𝑜𝑔5𝑥−4𝑥 2 (4−𝑥 ) − 𝑙𝑜𝑔5𝑥−4𝑥 2 1 > 0;
(5𝑥 − 4𝑥 2 − 1)(4−𝑥 − 1) > 0;
{
5𝑥 − 4𝑥 2 > 0;
Для разности двух показательных выражений с одним основанием можно применить
аналогичную формулу. Нам известно, что выражение вида a(x)f(x) – a(x)g(x) имеет те же
знаки, что и выражение (a(x) - 1)(f(x) – g(x)). Следовательно, получаем следующую
систему
{
−4(𝑥 − 1)(𝑥 − 0,25)(4 − 1)(−𝑥 − 0) > 0;
𝑥(5 − 4𝑥) > 0;
Ответ: (0; 0,25)∪(1; 1,25).
Вывод:
Как показывает опыт, этот способ усваивается достаточно легко учениками. Надеюсь, что
решения, показанные в данной работе, будут полезны так же и учителям, работающим в
старших классах . Задания данной темы соответствуют заданиям группы C3 на ЕГЭ.