Equation Section 1Задача
1. Пассажир оставил вещи в автоматической камере
хранения, а когда пришел их получать вспомнил лишь то, что в коде число 23.
Какова вероятность того, что он наберет с первой попытки 4-х значный код.
Решение:
Возможно три варианта:
23хх, х23х, хх23, где х – цифра от 0 до 9.
Всего возможных вариантов:
n 3 10 10
1
1
P( A)
n 300
1
0.003
300
Ответ:
Задача 2. Завод изготавливает изделия, каждое из которых может с
вероятностью p=0.01 может иметь дефект. Какой должен быть объем случайной
выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие,
была не менее 0.99.
Решение:
A хотя бы одно изделие бракованно
A бракованных изделий нет
Вероятность того, что изделие не имеет дефектов:
q 1 p 0.99
P ( A) q n ,
где n – объем выборки.
P( A) 1 q n 0.99
0.99n 0.01
n ln(0.01) / ln(0.99) 458.2
Ответ: 459.
Задача 3. Прочность детали X имеет нормальный закон распределения с
параметрами m1=20 и 1=1. На деталь действует нагрузка Y N(14,2) , т. е.
Y имеет нормальный закон распределения вероятности с параметрами m2=14 и
2=2. Найти вероятность разрушения детали, т. е. вероятность A={X<Y}.
Решение:Equation Section 3
A{ X Y } A{Z Y X 0}
Найдем плотность распределения сл. в. Z:
Разность величин распределенных нормально так же распределена по
m m1 и 12 22
нормальному закону с параметрами 2
.
Z N (6, 5)
3
P( Z 0) 1
3.645 10
5
Ответ: 3.645x10-3.
Задача 4. За значение некоторой величины принимается среднее
арифметическое 500 измерений. Предполагая, что среднее квадратичное отклонение
возможного результата каждого измерения не превосходит 0.5, оценить вероятность
того, что отклонение найденных таким образом значений не превосходит 0.1.
Решение:Equation Section 4
Найдем искомый интервал с использованием второго неравенства Чебышева
2
P x Mx b 2
bn
2
P x Mx b 1 2
bn
0.25
P x Mx 0.1 1
0.95
500 0.01
P x Mx 0.1 0.95
Ответ:
.
Задача 5.Equation Section 5 Случайная величина X имеет нормальный закон
2
1
p X (x)
e (x ) 2
2
распределения с плотностью распределения
,где α=-0,2 σ=2,1.
Найти плотность распределения вероятностей pY(y) случайной величины Y=f(X).
Функция y=f(x) представлена на графике.
0.5
0.075
0.58
0.17
y
1
0.25
0.67
1.08
1.5
0.35
0.77
1.2
x
Решение:
y=f(x)
0, при x -1
f ( x) x 1, при 1 x 0
1, при x 0
Найдем вероятности того, что функция случайной величины принимает
заданные значения:
P Y 0
0
1
e (t )
2
1 p2 2
e
dp
2
1
e (t )
1 2
P Y 1
1
t
p
2 2
dt
dt
dp
0.2
0,538
2.1
t
p
2 2
dt
dp dt
1 p2 2
1
1 0.2
e
dp 1
1
0,284
2
2.1
Отсюда находим плотности вероятностей:
pY (0) ( y )P y 0 0,538 ( y )
pY (1) ( y 1)P y 1 0,284 ( y 1)
При –1<x<0 плотность вероятности можно найти по общей формуле:
dx
pY ( y )
p X ( x( y ))
dy
x( y ) y 2 ,
( y 2 )2
dx
2| y|
dy
( y 2 0.2) 2
2 | y | 2 2
2| y|
pY ( y )
e
e 8.82
2
2.1 2
0, при y 1
0,284 ( y 1), при y 1
( y 2 0.2) 2
2 | y |
pY ( y )
e 8.82 , при -1<y 0
2.1 2
0,538 ( y ), при y 0
0, при y 0
Ответ:
Задача 6.Equation Section 6 Ковариация случайного процесса
K x ( ) De | | (cos
sin | |)
, где 13, 5, D 1 . Случайные процессы x и
y связаны соотношением
a
dy
dx
c h x(t )
dt
dt
, где a=4, c=2, h=5. Спектральная
D
2 2
S x ( )
2
( 2 2 ) 2 4 2 2 .
плотность процесса x:
Решение:
dy
dy
2 5 x(t )
dt
Процессы x и y связаны соотношением dt
, следовательно, их
спектральные плотности связаны соотношением:
4 2 S y ( ) 2 2 S x ( ) 5S x ( )
4
2 2 5
D
2 2
2 2 5
S y ( )
S x ( )
4 2
( 2 2 2 ) 2 4 2 2 4 2
D
2
5 D
1
2
( 2 2 ) 2 4 2 2 2 ( 2 2 2 ) 2 4 2 2
D1
2 2
D2
2( 2 2 )
( 2 2 2 ) 2 4 2 2
( 2 2 2 ) 2 4 2 2
D 1
5
1
5
D1 D2
D
2
2
2 2
2 2( )
776
, где
K y ( ) D1e | | (cos
sin | |) D2e | | (cos sin | |)
1
13
5 13| |
13
e 13| | (cos5 sin 5 | |)
e (cos5 sin 5 | |)
2
5
776
5
1
13
5 13| |
13
K y ( ) e 13| | (cos5 sin 5 | |)
e (cos5 sin 5 | |)
2
5
776
5
Ответ:
.
