МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
«Самарский национальный исследовательский университет
имени академика С.П. Королёва»
(Самарский университет)
Институт авиационной и ракетно-космической техники
Кафедра космического машиностроения
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к курсовой работе по курсу «Строительная механика» на тему
«РАСЧЁТ ТОНКОСТЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ
С ДВУХЗАМКНУТЫМ КОНТУРОМ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ. РАСЧЁТ
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПО БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ»
Выполнил
студент группы 1412
Хрунков М. А.
Проверил доцент
С.А. Чернякин
Самара 2023
РЕФЕРАТ
Пояснительная записка: 38 с, 16 рисунков, 4 источника.
ТОНКОСТЕННАЯ КОНСТРУКЦИЯ, ДВУХЗАМКНУТЫЙ КОНТУР,
ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ, ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ, МОМЕНТ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ, НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ, ПОГОННЫЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ
СИЛЫ, СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ
В данной работе расчёт производится для замкнутой двухконтурной
тонкостенной конструкции. Строится эпюра нормальных напряжений, действующих на участках. Раскрывается неопределенность (раскрывая контур по
двум точкам) и находятся погонные касательные напряжение при простом изгибе и при свободном кручении, с последующим нанесением этих эпюр на
контур конструкции. Находятся центр изгиба и крутящий момент относительно этой точки. По принципу суперпозиции находятся погонные касательные силы при совместном действии поперечной силы и крутящего момента и,
следовательно, строятся их эпюры. Определяется закон изменения нормального давления вдоль образующей составной оболочки, строятся его эпюры.
Выполняется расчёт меридиональных и окружных погонных усилий в оболочке, соответственно строятся их эпюры, также определяется максимальные
значения окружных и меридиональных напряжений во всех частях составной
оболочки.
2
ЗАДАНИЕ
3
4
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 6
1 Определение нормальных напряжений в поясах и обшивке от изгиба
конструкции. Построение эпюры нормальных напряжений .............................. 7
2
Определение погонных касательных сил при простом изгибе .................. 11
2.1 Определение закона изменения статического момента 𝑆𝑟𝑥 по контуру
условно разомкнутого сечения. Построение эпюры 𝑆𝑟𝑥 ............................... 11
2.2 Расчет погонных касательных сил 𝑇 ∗ для разомкнутого сечения.
Построение эпюры 𝑇 ∗....................................................................................... 13
2.3 Проверка равенства равнодействующей погонных касательных
усилий перерезывающей силе. ......................................................................... 15
2.4
Определение касательных сил 𝑋1 и 𝑋2 ................................................. 17
2.5 Построение эпюры погонных касательных сил 𝑇изг для случая
простого изгиба .................................................................................................. 20
2.6
3
Проверка правильности по условию равенства углов закручивания . 21
Определение погонных касательных сил при свободном кручении ......... 23
3.1
Расчет положения центра изгиба сечения 𝑥 .......................................... 23
3.3 Расчет погонных касательных сил при свободном кручении 𝑇кр и
построение эпюры этих сил .............................................................................. 24
4 Построение эпюры погонных касательных сил 𝑇 при совместном
действии поперечной силы и крутящего момента............................................. 27
5
Расчет оболочек вращения по безмоментной теории ................................. 28
5.1 Определение закона изменения нормального давления вдоль
образующей составной оболочки и построение его эпюры .......................... 28
5.2 Расчет меридиональных и окружных погонных усилий по
безмоментной теории и построение их эпюр .................................................. 30
5.3 Определение максимальных значений окружных и меридиональных
напряжений во всех частях составной оболочки ............................................ 36
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................... 37
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ........................................... 38
5
ВВЕДЕНИЕ
При создании летательных аппаратов широкое применение получили
тонкостенные конструкции. Они представляют собой удлинённые оболочки
цилиндрической или конической формы с произвольным контуром поперечного сечения и удовлетворяют требованиям минимальной массы конструкции
при её достаточной жёсткости и прочности. Как правило, тонкая обшивка подкрепляется продольным силовым набором. Крыло самолёта, его фюзеляж,
корпус летательного аппарата можно отнести к подкреплённым тонкостенным
конструкциям. В связи с этим необходимо чётко представлять возможности
конструкции, для чего производится ряд расчётов, направленных на определение их характеристик.
Курсовая работа содержит расчёт сечения тонкостенной конструкции. В
нём рассмотрен метод определения нормальных напряжений и погонных касательных сил в однозамкнутом сечении тонкостенной конструкции.
6
1 Определение нормальных напряжений в поясах и обшивке от изгиба
конструкции. Построение эпюры нормальных напряжений
Отнесём тонкостенную конструкцию к декартовой системе координат
Oxyz, направив ось Ox вдоль продольной оси оболочки.
В общем случае нормальные напряжения в конструкции определяются
по формуле
𝑀𝑦
𝑀𝑥
𝑁𝑧
𝜎 = 𝜑( 𝑦−
𝑥 + ),
𝐼𝑟𝑥
𝐼𝑟𝑦
𝐹𝑟
где 𝜑 – редукционный коэффициент (коэффициент приведения);
𝑀𝑥 , 𝑀𝑦 – изгибающий момент относительно осей Ox и Oy;
𝑁𝑧 – нормальное усилие;
𝐼𝑟𝑥 , 𝐼𝑟𝑦 – моменты инерции приведённого сечения относительно осей Ox
и Oy;
𝐹𝑟 – приведённая площадь.
В данном случае конструкция нагружена только изгибающим моментом
𝑀𝑥 . Тогда формула для нормальных напряжений упростится и примет вид
𝜎=𝜑
𝑀𝑥
𝑦.
𝐼𝑟𝑥
E
За основной материал выберем материал оболочки – Д16 (φд = д =1),
E
0
материал поясов – 30ХГСА (φст =
Eст
E0
= 2,93).
Далее необходимо вычислить момент инерции сечения 𝐼𝑟𝑥 относительно
оси Ox. Разобьём сечение на участки, как показано на рисунке 1.
7
Рисунок 1 – Разбиение расчетной схемы на участки
Так как конструкция симметрична вычисляем момент инерции по формуле:
𝐹
𝐹
1−2
2−3
3−4
2−6
𝐼𝑟𝑥 = 2(𝐼𝑟𝑥
+ 𝐼𝑟𝑥
+ 𝐼𝑟𝑥
+ 𝐼𝑟𝑥1 + 𝐼𝑟𝑥2 ) + 𝐼𝑟𝑥
.
Приведенные моменты инерции участков вычисляются по формуле:
𝑖
𝐼𝑟𝑥
= ∫ 𝜑𝑦 2 𝛿𝑖 𝑑𝑠 ,
𝑙𝑖
где 𝑙𝑖 – длина i-го участка, 𝛿𝑖 – толщина обшивки на i-м участке, 𝑑𝑠 – длина
участка.
Определим момент инерции на участке 1-2, расчетная схема приведена
на рисунке 2.
Рисунок 2 – Участок 1-2
Для нахождения параметров сечения необходимо определить угол 𝛼:
8
𝑦 350
=
= 0,5;
𝑥 700
𝑦
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) = 26,57°.
𝑥
𝑡𝑔𝛼 =
Длину участка определим по формуле:
𝑑𝑠 =
𝑑𝑥
.
𝑐𝑜𝑠𝛼
Координата y определяется по формуле:
𝑑𝑦 = 𝑑𝑥𝑡𝑔𝛼.
Таким образом момент инерции на участке 1-2 будет определятся по
формуле:
𝑏
1−2
𝐼𝑟𝑥
= ∫ 𝜑(𝑥𝑡𝑔𝛼)2 𝛿1
0
1−2
𝐼𝑟𝑥
𝑑𝑥
𝑥 3 (𝑡𝑔𝛼)2 𝛿1
=
;
𝑐𝑜𝑠𝛼
3𝑐𝑜𝑠𝛼
7003 (𝑡𝑔(26,57°))2 × 1,4
=
= 0,448 × 108 мм4 .
3 × 𝑐𝑜𝑠(26,57°)
Момент инерции на участке 2-3 будет определяться формулой:
2−3
𝐼𝑟𝑥
𝑏 2
= ( ) 𝛿2 𝑎;
2
2−3
𝐼𝑟𝑥
= (350)2 × 1,7 × 1000 = 2,08 × 108 мм4 .
Момент инерции на участке 3-4:
3−4
1−2
𝐼𝑟𝑥
= 𝐼𝑟𝑥
= 0,45 × 108 мм4 .
Определим моменты инерции подкрепляющих элементов по формуле:
𝐹
𝐼𝑟𝑥𝑖
𝑏 2
= 𝜑ст 𝐹𝑖 𝑦 = 𝜑ст 𝐹𝑖 ( ) ;
2
2
𝐹
𝐼𝑟𝑥1 = 2,93 × 210 × 3502 = 0,75 × 108 мм4 ;
𝐹
𝐼𝑟𝑥2 = 2,93 × 230 × 3502 = 0,83 × 108 мм4 ;
Момент инерции на участке 2-6:
2−6
𝐼𝑟𝑥
2−6
𝐼𝑟𝑥
𝛿2 𝑏 3
=
;
12
1,6 × 7003
=
= 0,448 × 108 мм4 .
12
По найденным значениям определим момент инерции всего сечения:
9
𝐼𝑟𝑥 = 2 × 108 × (0,448 + 2,08 + 0,448 + 0,75 + 0,83) + 0,45 × 108 =
= 9,562 × 108 мм4 .
Определим значения нормальных напряжений, действующих в тонкостенной конструкции, и построим эпюру (рис. 3):
𝜎1 = 𝜎2′ = 𝜎4 = 0;
25 × 106
𝜎2 = 𝜎3 =
× 350 = 9,15 МПа;
9,562 × 108
25 × 106
𝜎𝐹1 = 𝜎𝐹2 = 2,93 ×
× 350 = 26,81 МПа.
13,13 × 108
Рисунок 3 – Эпюра нормальных напряжений
10
2 Определение погонных касательных сил при простом изгибе
2.1
Определение закона изменения статического момента 𝑆𝑟𝑥 по
контуру условно разомкнутого сечения. Построение эпюры 𝑆𝑟𝑥
Для определения статического момента относительно оси Ox используем формулу:
𝑛
𝑆
𝑆𝑟𝑥 = ∫ 𝑦𝛿𝑑𝑠 + ∑ 𝜑𝑖 𝐹𝑖 𝑦.
0
𝑖=1
Статический момент в точке 1:
1
𝑆𝑟𝑥
= 0;
Зависимость статического момента на участке 1-2 определяется функцией:
𝑏
1−2
𝑆𝑟𝑥
1−2(2)
𝑆𝑟𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 𝑡𝑔𝛼𝛿1
=∫
𝑡𝑔𝛼𝛿1
=
;
𝑐𝑜𝑠𝛼
2𝑐𝑜𝑠𝛼
0 2
7002 × 𝑡𝑔(26,57°) × 1,4
=
= 19,18 × 104 мм3 .
2 × 𝑐𝑜𝑠(26,57°)
Статический момент в точке 2’:
2′
𝑆𝑟𝑥
= 0;
Зависимость статического момента на участке 2’-2 определяется функцией:
2′ −2
𝑆𝑟𝑥
𝑏/2
=∫
0
2′ −2(2)
𝑆𝑟𝑥
=
𝑑𝑦
𝛿2 𝑦 2
𝛿 𝑑𝑦 =
;
2 2
2
𝛿2 𝑏 2 1,6 × 7002
=
= 9,8 × 104 мм3 .
8
8
Зависимость статического момента на участке 2-3 определяется функцией:
2−3
𝑆𝑟𝑥
𝐹
𝑆𝑟𝑥1
=
1−2
𝑆𝑟𝑥
+
2′ −2
𝑆𝑟𝑥
+
𝐹
𝑆𝑟𝑥1
+
𝐹
𝑆𝑟𝑥2
2𝑎
+∫
0
𝑏
𝛿 𝑑𝑥 =
2 3
𝑏
𝐹
𝐹
1−2
2′ −2
= 𝑆𝑟𝑥
+ 𝑆𝑟𝑥
+ 𝑆𝑟𝑥1 + 𝑆𝑟𝑥2 + 𝛿3 𝑥;
2
𝑏
700
= 𝜑ст 𝐹1 = 2,93 ×
× 210 = 21,5 × 104 мм3 ;
2
2
11
𝑏
700
𝐹
𝑆𝑟𝑥2 = 𝜑ст 𝐹2 = 2,93 ×
× 230 = 23,6 × 104 мм3 ;
2
2
Статический момент в точке 2:
2−3(2)
𝑆𝑟𝑥
′
𝐹
1−2
2 −2
= 𝑆𝑟𝑥
+ 𝑆𝑟𝑥
+ 𝑆𝑟𝑥1 = (19,18 + 9,8 + 21,5) × 104
= 50,48 × 104 мм3 ;
Статический момент в точке 𝐹2 :
2−3(𝐹2 лев)
𝑆𝑟𝑥
2−3(2)
= 𝑆𝑟𝑥
𝑏
700
+ 𝛿3 𝑥 = 50,48 × 104 +
× 1,7 × 500 =
2
2
= 80,23 × 104 мм3 ;
2−3(𝐹2 прав)
𝑆𝑟𝑥
2−3(2)
= 𝑆𝑟𝑥
= (50,48 + 23,6) × 104 +
𝑏
𝐹
+ 𝑆𝑟𝑥2 + 𝛿3 𝑥 =
2
700
× 1,7 × 500 = 103,83 × 104 мм3 ;
2
Статический момент обшивки на участке 2-3, в точке 3:
2−3(3)
𝑆𝑟𝑥 обш = 104 × (19,18 + 9,8) +
700
× 1,7 × 2 × 500 =
2
= 88,48 × 104 мм3 .
Статический момент сечения на участке 2-3, в точке 3:
2−3(3)
𝑆𝑟𝑥
𝐹
𝐹
3
1
2
4
3
= 𝑆𝑟𝑥
обш + 𝑆𝑟𝑥 + 𝑆𝑟𝑥 = 133,58 × 10 мм .
Зависимость статического момента на участке 3-4 определяется функцией:
𝑥
𝑥
3−4
3
𝑆𝑟𝑥
= 𝑆𝑟𝑥
+ 𝑡𝑔𝛼𝛿1
;
2
𝑐𝑜𝑠𝛼
Статический момент в точке 3:
3−4(3)
𝑆𝑟𝑥
= 133,58 × 104 мм3 ;
Статический момент в точке 4:
3−4(4)
𝑆𝑟𝑥
= 133,58 +
700
700
𝑡𝑔(26,57°) × 1,4 ×
=
2
𝑐𝑜𝑠(26,57°)
= (133,58 + 19,18) × 104 = 152,76 × 104 мм3 ;
Построим эпюру статических моментов (рис. 4).
12
Рисунок 4 – Эпюра статических моментов
2.2
Расчет погонных касательных сил 𝑇 ∗ для разомкнутого сечения.
Построение эпюры 𝑇 ∗
Погонные касательные усилия определяются по формуле:
𝑄𝑦
𝑆 ;
𝐼𝑟𝑥 𝑟𝑥
𝑇∗ =
𝑄𝑦 = 𝑄1 + 𝑄2 = 21 + 18 = 39 кН.
Определим значение множителя
𝑄𝑦
𝐼𝑟𝑥
:
𝑄𝑦
39000
Н
−4
=
=
0,407
×
10
;
𝐼𝑟𝑥 9,562 × 108
мм4
Определим погонные касательные усилия на участке 1-2:
∗
𝑇1−2
=
𝑄𝑦 1−2
𝑆 ;
𝐼𝑟𝑥 𝑟𝑥
Погонные касательные усилия в точке 1:
∗
𝑇1−2(1)
= 0;
Погонные касательные усилия в точке 2:
∗
𝑇1−2(2)
=
𝑄𝑦 1−2(2)
Н
𝑆𝑟𝑥
= 0,407 × 10−4 × 19,18 × 104 = 7,8
.
𝐼𝑟𝑥
мм
13
Определим погонные касательные усилия на участке 2’-2:
∗
𝑇1−2
=
𝑄𝑦 2’−2
𝑆
;
𝐼𝑟𝑥 𝑟𝑥
Погонные касательные усилия в точке 2’:
∗
𝑇2’−2(2’)
= 0;
Погонные касательные усилия в точке 2:
∗
𝑇2’−2(2)
=
𝑄𝑦 2’−2(2)
Н
𝑆𝑟𝑥
= 0,407 × 10−4 × 9,8 × 104 = 3,99
.
𝐼𝑟𝑥
мм
Определим погонные касательные усилия на участке 2-3:
∗
𝑇2−3
=
𝑄𝑦 2−3
𝑆 ;
𝐼𝑟𝑥 𝑟𝑥
Погонные касательные усилия в точке 2:
∗
𝑇2−3(2)
=
𝑄𝑦 2−3(2)
Н
𝑆𝑟𝑥
= 0,407 × 10−4 × 50,48 × 104 = 20,55
;
𝐼𝑟𝑥
мм
Погонные касательные усилия в точке 𝐹2 :
∗
𝑇2−3(𝐹
=
2 лев)
∗
𝑇2−3(𝐹
=
2 прав)
𝑄𝑦 2−3(𝐹2лев)
Н
𝑆𝑟𝑥
= 0,407 × 10−4 × 80,23 × 104 = 32,65
;
𝐼𝑟𝑥
мм
𝑄𝑦 2−3(𝐹2прав)
Н
𝑆𝑟𝑥
= 0,407 × 10−4 × 103,83 × 104 = 42,26
;
𝐼𝑟𝑥
мм
Погонные касательные усилия в точке 3:
∗
𝑇2−3(3)
=
𝑄𝑦 2−3(3)
Н
𝑆𝑟𝑥
= 0,407 × 10−4 × 133,58 × 104 = 54,37
.
𝐼𝑟𝑥
мм
Определим погонные касательные усилия на участке 3-4:
∗
𝑇3−4
=
𝑄𝑦 3−4
𝑆 ;
𝐼𝑟𝑥 𝑟𝑥
Погонные касательные усилия в точке 3:
∗
𝑇3−4(3)
=
𝑄𝑦 3−4(3)
Н
𝑆𝑟𝑥
= 0,407 × 10−4 × 133,58 × 104 = 54,37
;
𝐼𝑟𝑥
мм
Погонные касательные усилия в точке 4:
∗
𝑇3−4(4)
=
𝑄𝑦 3−4(4)
Н
𝑆𝑟𝑥
= 0,407 × 10−4 × 152,76 × 104 = 62,17
.
𝐼𝑟𝑥
мм
Построим эпюру погонных касательных усилий (рис. 5).
14
Рисунок 5 – Эпюра погонных касательных сил
2.3
Проверка
равенства
равнодействующей
погонных
касательных усилий перерезывающей силе.
Так как эпюра погонных касательных усилий симметрична относительно оси Ox, то сумма касательных сил относительно оси Ox будет равна
нулю. Тогда определение равнодействующей касательных сил сведется к
определению касательных сил относительно оси Oy.
∑ 𝑂𝑦 = ∫ 𝑇 ∗ cos (𝑇 ∗ ; 𝑂𝑦)𝑑𝑠
𝑆
∫ 𝑇 ∗ cos(𝑇 ∗ ; 𝑂𝑦) 𝑑𝑠 = 2 (∫ 𝑇 ∗ cos(𝑇 ∗ ; 𝑂𝑦) 𝑑𝑠 + ∫
𝑆
𝑇 ∗ cos(𝑇 ∗ ; 𝑂𝑦) 𝑑𝑠 +
2′ −2
1−2
+ ∫ 𝑇 ∗ cos (𝑇 ∗ ; 𝑂𝑦)𝑑𝑠) ;
3−4
Найдём значение составляющей силы на оси Оу для всех участков, перечисленных выше.
Участок 1-2:
15
∗
𝑥 2 𝑡𝑔𝛼𝛿1
𝑇1−2
∫ 𝑇 cos(𝑇 ; 𝑂𝑦) 𝑑𝑠 = − ∫
𝑡𝑔(𝛼)𝑑𝑥 = −
𝑥𝑡𝑔𝛼;
3
1−2
0 𝐼𝑟𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝛼
∗
𝑏𝑄
𝑦
∗
∗
𝑇1−2(2)
=−
7,8
× 700 × 𝑡𝑔(26,57°) = −910,2 Н.
3
Участок 2’-2:
𝑇2∗′−2
∫ 𝑇 cos(𝑇 ; 𝑂𝑦) 𝑑𝑠 = −
𝑦;
3
2′ −2
∗
𝑇2∗′−2
∗
𝑇2∗′−2 𝑏
3,99 700
=−
× =−
×
= −465,5 Н.
3
2
3
2
Участок 3-4:
∗
𝑏𝑄
𝑦
∗
∫ 𝑇 cos(𝑇 ; 𝑂𝑦) 𝑑𝑠 = ∫
3−4
0
𝑥
𝑥
3
+ 𝑡𝑔𝛼𝛿1
(𝑆𝑟𝑥
) 𝑡𝑔(𝛼)𝑑𝑥 =
𝐼𝑟𝑥
2
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑄𝑦
𝑥 3 𝑡𝑔𝛼𝛿1
3
=
× (𝑆𝑟𝑥 𝑡𝑔(𝛼)𝑑𝑥 +
);
𝐼𝑟𝑥
6𝑐𝑜𝑠𝛼
∗
𝑇3−4(4)
=
39000
×
9,562 × 108
7003 𝑡𝑔(26,57°) × 1,4
× (133,58 × 10 × 𝑡𝑔(26,57°) × 700 +
) = 20898,26 Н.
6 × 𝑐𝑜𝑠(26,57°)
8
Подставим найденные значение в выражение для нахождения результирующего усилия:
∫ 𝑇 ∗ cos(𝑇 ∗ ; 𝑂𝑦) 𝑑𝑠 = 2 × (−910,2 − 465,5 + 20898,26) = 39045,12 Н.
𝑆
Проведем проверку:
∆=
∆=
|∫𝑆 𝑇 ∗ cos(𝑇 ∗ ; 𝑂𝑦) 𝑑𝑠 − 𝑄𝑦 |
𝑄𝑦
× 100%;
|39045,12 − 39000|
× 100% = 0,115% < 5%.
39000
16
2.4
Определение касательных сил 𝑋1 и 𝑋2
Для определения касательных сил 𝑋1 и 𝑋2 рассмотрим случай простого
изгиба тонкостенной конструкции. В этом случае сечение не поворачивается
относительно оси z, а лишь получает поступательные перемещения вдоль осей
x и y. Для нахождения уравнений разобьем сечения в точках 1 и 2’ и образуем
вспомогательные единичные функции. Результат операции приведен на рисунке 6.
Рисунок 6 – Образование вспомогательных контуров
Составим канонические уравнения закручивания контуров при простом
изгибе (𝛼 = 0°):
𝑇 ∗ 𝑇̅1
𝑇̅1 𝑇̅1
𝑇̅2 𝑇̅1
∮
𝑑𝑠 + 𝑋1 ∮
𝑑𝑠 + 𝑋2 ∮
𝑑𝑠 = 0
𝐺𝛿
𝐺𝛿
𝐺𝛿
;
𝑇 ∗ 𝑇̅2
𝑇̅1 𝑇̅2
𝑇̅2 𝑇̅2
∮
𝑑𝑠 + 𝑋1 ∮
𝑑𝑠 + 𝑋2 ∮
𝑑𝑠 = 0
𝐺𝛿
𝐺𝛿
𝐺𝛿
{
Учитывая, что величина G (модуль упругости второго порядка) постоянна вынесем её за знак интеграла и сократим.
Перемножение эпюр сводится только к определению площадей, т.к.
умножение производим на единичные эпюры:
17
𝑇 ∗ 𝑇̅1
П1−2 П2−3 П3−4
∮
𝑑𝑠 = 2 × (
+
+
);
𝛿
𝛿1
𝛿3
𝛿1
где П𝑖 – площадь i-го участка эпюры погонных касательных сил.
Определим площади участков эпюры погонных касательных сил:
Участок 1-2:
1 ∗
𝑏
7,8 × 700
П1−2 = 𝑇1−2(2)
=
= 2034,91 Н;
3
𝑐𝑜𝑠𝛼 3 × cos (26,57°)
Участок 2-3:
𝑎
𝑎
𝑎
∗
∗
∗
+ (𝑇2−3(𝐹
−
𝑇
+
𝑇
+
)
лев)
2−3(2)
2−3(𝐹
прав)
2
2
2
4
2
𝑎
∗
∗
+(𝑇3−4(3)
− 𝑇2−3(𝐹
;
)
прав)
2
4
1000
1000
1000
= 20,55 ×
+ (32,65 − 20,55)
+ 42,26
+
2
4
2
1000
+(54,37 − 42,26)
= 37457,5 Н.
4
∗
П2−3 = 𝑇2−3(2)
П2−3
Участок 3-4:
∗
∗
− 𝑇3−4(3)
(𝑇3−4(4)
)𝑏
𝑏
П
=
+
;
𝑐𝑜𝑠𝛼
3𝑐𝑜𝑠𝛼
(62,17 − 54,37) × 700
700
= 54,37 ×
+
= 44588 Н;
𝑐𝑜𝑠(26,57°)
3𝑐𝑜𝑠(26,57°)
3−4
П3−4
∗
𝑇3−4(3)
Подставляя найденные значения получаем:
𝑇 ∗ 𝑇̅1
2034,91 37457,5 44588
∮
𝑑𝑠 = 2 × (
+
+
) = 110671,8 Н;
𝛿
1,4
1,7
1,4
Аналогично выполняем перемножение эпюр:
𝑇 ∗ 𝑇̅2
П2′−2 П2−3 П3−4
∮
𝑑𝑠 = 2 × (
+
+
);
𝛿
𝛿2
𝛿3
𝛿1
Определим площади участков эпюры погонных касательных сил:
Участок 2′ − 2:
1 ∗
𝑏 3,99 × 700
П2′−2 = 𝑇2’−2(2)
=
= 465,5 Н;
3
2
6
18
Площади участков П2−3 и П3−4 определены раннее. Таким образом получаем:
𝑇 ∗ 𝑇̅2
465,5 37457,5 44588
∮
𝑑𝑠 = 2 × (
+
+
) = 108346,67 Н.
𝛿
1,6
1,7
1,4
Умножение единичных эпюр произведем по формулам:
𝑇̅1 𝑇̅1
𝑙1−2 𝑙 2−3 𝑙 3−4
∮
𝑑𝑠 = 2 (
+
+
);
𝛿
𝛿1
𝛿3
𝛿1
′
𝑇̅2 𝑇̅2
𝑙 2 −2 𝑙 2−3 𝑙 3−4
∮
𝑑𝑠 = 2 (
+
+
);
𝐺𝛿
𝛿1
𝛿3
𝛿1
𝑇̅1 𝑇̅2
𝑇̅2 𝑇̅1
𝑙 2−3 𝑙 3−4
∮
𝑑𝑠 = ∮
𝑑𝑠 = 2 (
+
);
𝐺𝛿
𝐺𝛿
𝛿3
𝛿1
∮
=2×(
𝑇̅1 𝑇̅1
𝑏
𝑎
𝑏
𝑑𝑠 = 2 (
+ +
)=
𝛿
𝛿1 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝛿3 𝛿1 𝑐𝑜𝑠𝛼
700
1000
700
+
+
) = 3412,64 Н;
1,4 × 𝑐𝑜𝑠(26,57°)
1,7
1,4 × 𝑐𝑜𝑠(26,57°)
∮
=2×(
∮
𝑇̅2 𝑇̅2
𝑏
𝑎
𝑏
𝑑𝑠 = 2 (
+ +
)=
𝐺𝛿
2𝛿1 𝛿3 𝛿1 𝑐𝑜𝑠𝛼
700
1000
700
+
+
) = 2732,05 Н;
1,4 × 2
1,7
1,4 × 𝑐𝑜𝑠(26,57°)
𝑇̅1 𝑇̅2
𝑎
𝑏
1000
700
𝑑𝑠 = 2 × ( +
+
)=2×(
)=
𝐺𝛿
𝛿3 𝛿1 𝑐𝑜𝑠𝛼
1,7
1,4 × cos(26,57°)
= 2294,55 Н.
Подставляем найденные значения в каноническое уравнение и находим
неизвестные:
110671,8 + 𝑋1 × 3412,64 + 𝑋2 × 2294,55 = 0
;
{
108346,67 + 𝑋1 × 2294,55 + 𝑋2 × 2732,05 = 0
Получаем:
𝑋1 = −13,2 Н/мм;
𝑋2 = −28,5 Н/мм.
19
2.5 Построение эпюры погонных касательных сил 𝑇изг для случая простого
изгиба
Погонные касательные усилия от простого изгиба определяем по формуле:
𝑇изг = 𝑇 ∗ + 𝑋1 𝑇̅1 + 𝑋2 𝑇̅2 .
Определим погонные касательные усилия в характерных точках:
1−2(1)
∗
= 𝑇1−2(1)
− 13,2𝑇̅1 = 0 − 13,2 = −13,2 Н⁄мм ;
𝑇изг
1−2(2)
∗
= 𝑇1−2(2)
− 13,2𝑇̅1 = 7,8 − 13,2 = −5,4 Н⁄мм ;
2′ −2(2′ )
= 𝑇2∗′−2(2′) − 28,5𝑇̅2 = 0 − 28,5 = −28,5 Н⁄мм ;
𝑇изг
𝑇изг
2′ −2(2)
𝑇изг
2−3(2)
𝑇изг
= 𝑇2∗′−2(2) − 28,5𝑇̅2 = 3,99 − 28,5 = −24,51 Н⁄мм ;
∗
= 𝑇2−3(2)
− 13,2𝑇̅1 − 28,5𝑇̅2 = 20,55 − 13,2 − 28,5 =
= −21,15 Н⁄мм ;
2−3(𝐹2лев )
𝑇изг
∗
= 𝑇2−3(𝐹
− 13,2𝑇̅1 − 28,5𝑇̅2 = 32,65 − 13,2 − 28,5 =
2лев )
= −9,05 Н⁄мм ;
2−3(𝐹2прав )
𝑇изг
∗
= 𝑇2−3(𝐹
− 13,2𝑇̅1 − 28,5𝑇̅2 = 42,26 − 13,2 − 28,5 =
2прав )
= 0,56 Н⁄мм ;
2−3(3)
𝑇изг
∗
= 𝑇2−3(3)
− 13,2𝑇̅1 − 28,5𝑇̅2 = 54,37 − 13,2 − 28,5 =
= 12,67 Н⁄мм ;
3−4(3)
𝑇изг
3−4(4)
𝑇изг
2−3(3)
= 𝑇изг
= 12,67 Н⁄мм ;
∗
= 𝑇3−4(4)
− 13,2𝑇̅1 − 28,5𝑇̅2 = 62,17 − 13,2 − 28,5 =
= 20,47 Н⁄мм ;
Следующим шагом построим эпюру погонных касательных сил в конструкции многозамкнутого контура в условиях простого изгиба. Эпюра приведена на рисунке 7.
20
Рисунок 7 – Эпюра погонных касательных сил при простом изгибе
2.6 Проверка правильности по условию равенства углов закручивания
Проверку произведем, используя формулу относительного угла закручивания контура:
𝛼𝑖 =
1 𝑇изг 𝑑𝑠
∮
.
𝛺𝑖
𝐺𝛿
Учитывая, что удвоенная площадь и модуль упругости второго рода постоянные величины получим следующую формулу:
𝛼𝑖 𝛺𝑖 𝐺 = ∮
𝑇изг 𝑑𝑠
;
𝛿
Определим площади участков эпюр;
1−2(1)
1−2(2)
2𝑏(𝑇изг
П1−2
1−2(2)
− 𝑇изг ) 𝑏𝑇изг
П1−2 =
+
=
3𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
2 × 700 × (−13,2 + 5,4)
700 × 5,4
=−
−
= −8296,17 Н;
3 × 𝑐𝑜𝑠(26,57°)
𝑐𝑜𝑠(26,57°)
2−3(2)
П2−𝐹2лев =
𝑎 (𝑇изг
2−3(𝐹2лев )
− 𝑇изг
)
2−3(𝐹2лев )
𝑎𝑇изг
+
=
4
2
1000 × (−21,15 + 9,05) 1000 × 9,05
=−
−
= −7550 Н;
4
2
𝑎 2−3(3)
𝑎 2−3(𝐹 )
2−3(𝐹
)
П𝐹2прав−3 = (𝑇изг
− 𝑇изг 2прав ) + 𝑇изг 2прав =
4
2
1000
1000
=
× (12,67 − 0,56) +
× 0,56 = 3307,5 Н;
4
2
21
3−4(4)
𝑏 (𝑇изг
3−4(3)
− 𝑇изг
3−4(3)
)
𝑏𝑇изг
П
=
+
=
3𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
700 × (20,47 − 12,67) 700 × 12,67
=
+
= 11951,18 Н;
3 × 𝑐𝑜𝑠(26,57°)
𝑐𝑜𝑠(26,57°)
3−4
2′ −2(2′)
𝑏 (𝑇изг
2′−2(2)
− 𝑇изг
)
2′ −2(2)
𝑏𝑇изг
П
=−
−
=
3
2
700 × (−28,5 + 24,51) 700 × 24,51
=−
−
= −9509,5 Н.
3
2
2′ −2
Тогда относительный угол закручивания 1 контура определим по формуле:
П1−2 П2−𝐹2лев П𝐹2лев−3 П3−4
2(
+
+
+
)=
𝛿1
𝛿3
𝛿3
𝛿1
= 2 (−
8296,17 7550 3307,5 11951,18
−
+
+
) = −20734 + 20964,29;
1,4
1,7
1,7
1,4
|П− − П+ |
∆=
× 100%;
П−
|−20734 + 20964,29|
∆=
× 100% = 1,1% < 5%.
20734
Относительный угол закручивания 2 контура определим по формуле:
′
П2 −2 П2−𝐹2лев П𝐹2лев−3 П3−4
2(
+
+
+
)=
𝛿2
𝛿3
𝛿3
𝛿1
= 2 (−
9509,5 7550 3307,5 11951,18
−
+
+
) = −20769,2 + 20964,29;
1,6
1,7
1,7
1,4
|П− − П+ |
∆=
× 100%;
П−
|−20769,2 + 20964,29|
∆=
× 100% = 0,94% < 5%.
20769,2
22
3 Определение погонных касательных сил при свободном кручении
3.1
Расчет положения центра изгиба сечения 𝑥̅
Расчет координаты центра изгиба будем производить с помощью формулы, полученную из уравнения равновесия при простом изгибе:
𝑥̅ =
1
∮ 𝑇изг 𝜌𝑑𝑠 ,
𝑄𝑦
где 𝜌 – плечо погонной касательной силы относительно полюса p.
В качестве полюса выберем точку 2’. Преобразуя формулу для нахождения координаты центра изгиба получим следующее выражение:
𝑥̅ =
2
(П1−2 𝜌1−2 + П2−𝐹2лев 𝜌2−3 + П𝐹2прав−3 𝜌2−3 + П3−4 𝜌3−4 ).
𝑄𝑦
Определим расстояния от полюса до линий действия погонных касательных сил.
Для участка 1-2:
𝜌1−2 = 𝑏𝑠𝑖𝑛𝛼 = 700 × sin(26,57°) = 313,1 мм;
Для участка 2-3:
𝜌2−3 =
𝑏
= 350 мм;
2
Для участка 3-4:
𝜌3−4 = (𝑎 + 𝑏)𝑠𝑖𝑛𝛼 = (700 + 1000) × sin(26,57°) = 760,39 мм.
Определим положение координаты центра изгиба:
𝑥̅ =
2
(−8296,17 × 313,1 − 7550 × 350 + 3307,5 × 350 +
39000
+11951,18 × 760,39) = 256,68 мм.
3.2
Определение крутящего момента относительно центра изгиба
Составим формулу для определения крутящего момента от внешних сил
относительно центра изгиба:
𝑎
𝑀кр = −𝑄1 𝑥̅ + 𝑄2 ( − 𝑥̅ ) = −21000 × 256,68 +
2
1000
+18000 × (
− 256,68) = −1 × 106 Н × мм.
2
23
3.3
Расчет погонных касательных сил при свободном кручении 𝑇кр и
построение эпюры этих сил
Для определения погонных касательных усилий при свободном кручении составим систему канонических уравнений, которая включает в себя два
уравнения для относительного угла закручивания и уравнение крутящего момента:
𝑑𝑠
𝑑𝑠
− 𝑇2 ∮
𝐺𝛿
𝐼−𝐼𝐼 𝐺𝛿
𝛼𝛺1 = 𝑇1 ∮
𝐼
𝑑𝑠
𝑑𝑠 ;
− 𝑇1 ∮
𝐼𝐼 𝐺𝛿
𝐼−𝐼𝐼 𝐺𝛿
= 𝑇1 𝛺1 + 𝑇2 𝛺2
𝛼𝛺2 = 𝑇2 ∮
{
𝑀кр
В качестве контуров для расчета сил при свободном кручении выберем
контура 1-2-2’-6-1 и 2’-2-3-4-5-6-2’.
Определим модуль сдвига:
𝐺=
𝐸
72000
=
= 27692,3 МПа;
2(1 + 𝜇) 2 × (1 + 0,3)
Определим удвоенные площади, ограниченные средней линией контуров:
𝑏2
𝛺1 = 2 (2 × ) = 7002 = 490000 мм2 ;
4
𝑎𝑏 𝑏 2
1000 × 700 7002
𝛺2 = 4 ( + ) = 4 × (
+
) = 1890000 мм2 .
2
4
2
4
Преобразуем систему уравнений, учитывая, что G постоянная величина:
𝐺𝛼𝛺1 = 𝑇1 ∮
𝐼
𝑑𝑠
𝑑𝑠
− 𝑇2 ∮
𝛿
𝐼−𝐼𝐼 𝛿
𝑑𝑠
𝑑𝑠 ;
− 𝑇1 ∮
𝐼𝐼 𝛿
𝐼−𝐼𝐼 𝛿
= 𝑇1 𝛺1 + 𝑇2 𝛺2
𝐺𝛼𝛺2 = 𝑇2 ∮
{
𝑀кр
Определим значения подынтегральных функций:
∮
𝐼
𝑑𝑠
𝑏
𝑏
700
700
=2
+ =2×
+
= 1555,6;
𝛿
𝛿1 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝛿2
1,4 × 𝑐𝑜𝑠(26,57°) 1,6
24
∮
𝐼𝐼
=2×(
𝑑𝑠
𝑏
𝑎
𝑏
= 2(
+ +
)=
𝛿
2𝛿2 𝛿3 𝛿1 𝑐𝑜𝑠𝛼
700
1000
700
+
+
) = 2732,1;
2 × 1,6
1,7
1,4 × 𝑐𝑜𝑠(26,57°)
𝑑𝑠
𝑏
700
=
=
= 437,5.
𝛿
𝛿
1,6
2
𝐼−𝐼𝐼
∮
Подставим найденные значения в систему уравнений и найдем неизвестные:
𝛼27692,3 × 490000 = 𝑇1 1555,6 − 𝑇2 437,5
{𝛼27692,3 × 1890000 = 𝑇2 2732,1 − 𝑇1 437,5 ;
−1 × 106 = 𝑇1 490000 + 𝑇2 1890000
Получаем:
𝑇1 = 6,45
Н
Н
1
; 𝑇2 = −2,2
; 𝛼 = 8,1 × 10−7
.
мм
мм
мм
Погонные касательные усилия при свободном кручении находятся по
формуле:
𝑇кр = 𝑇1 𝑇̅1 + 𝑇2 𝑇̅2 .
Определим погонные касательные усилия на участках тонкостенной
конструкции и построим эпюру (рис. 8):
Н
;
мм
Н
2−2′
𝑇кр
= 6,45 × 𝑇̅1 + 2,2 × 𝑇̅2 = 8,65
;
мм
Н
2−3
𝑇кр
= 0 × 𝑇̅1 − 2,2 × 𝑇̅2 = −2,2
;
мм
Н
3−4
𝑇кр
= 0 × 𝑇̅1 − 2,2 × 𝑇̅2 = −2,2
;
мм
1−2
𝑇кр
= 6,45 × 𝑇̅1 + 0 × 𝑇̅2 = 6,45
25
Рисунок 8 –Эпюра погонных касательных сил при свободном кручении
26
4 Построение эпюры погонных касательных сил 𝑇 при совместном
действии поперечной силы и крутящего момента
Величины погонных касательных сил при совместном действии поперечной силы и крутящего момента определяем по формуле:
𝑇 = 𝑇изг + 𝑇кр .
Определим значения погонных касательных усилий на участках тонкостенной конструкции:
1−2(1)
𝑇 1−2(1) = 𝑇изг
1−2
+ 𝑇кр
= −13,2 + 6,46 = −6,74 Н⁄мм ;
1−2(2)
𝑇 1−2(1) = 𝑇изг
′
2′ −2(2′ )
′
𝑇 2 −2(2 ) = 𝑇изг
′
2′ −2(2)
𝑇 2 −2(2) = 𝑇изг
2−3(2)
𝑇 2−3(2) = 𝑇изг
1−2
+ 𝑇кр
= −5,4 + 6,46 = 1,06 Н⁄мм ;
′
2−2
+ 𝑇кр
= −28,5 − 8,65 = −37,15 Н⁄мм ;
′
2−2
+ 𝑇кр
= −24,51 − 8,65 = −33,16 Н⁄мм ;
2−3
+ 𝑇кр
= −21,15 − 2,2 = −23,35 Н⁄мм ;
2−3(𝐹2лев )
𝑇 2−3(𝐹2лев) = 𝑇изг
2−3
+ 𝑇кр
= −9,05 − 2,2 = −11,25 Н⁄мм ;
2−3(𝐹2прав )
𝑇 2−3(𝐹2прав) = 𝑇изг
2−3
+ 𝑇кр
= 0,56 − 2,2 = −1,64 Н⁄мм ;
2−3(3)
2−3
+ 𝑇кр
= 12,67 − 2,2 = 10,47 Н⁄мм ;
3−4(3)
3−4
+ 𝑇кр
= 12,67 − 2,2 = 10,47 Н⁄мм ;
3−4(4)
3−4
+ 𝑇кр
= 20,47 − 2,2 = 18,27 Н⁄мм ;
𝑇 2−3(3) = 𝑇изг
𝑇 3−4(3) = 𝑇изг
𝑇 3−4(4) = 𝑇изг
На основе полученных результатов построим эпюру погонных касательных усилий (рис. 9).
Рисунок 9 – Эпюра погонных касательных усилий
27
5 Расчет оболочек вращения по безмоментной теории
Определение закона изменения нормального давления вдоль
5.1
образующей составной оболочки и построение его эпюры
Для определения закона изменения нормального давления вдоль образующей составной оболочки разобьем конструкцию на участки, как показано на
рисунке 10.
Рисунок 10 – Разбиение оболочки вращения на участки
Определим нормальное давление в характерных точках:
Участок 1-2:
1−2(1)
= 𝑝 = 0,22 МПа;
1−2(2)
= 𝑝 = 0,22 МПа.
𝑝𝑛
𝑝𝑛
Участок 2-3:
2−3(2)
𝑝𝑛
2−3(3)
= 𝑝𝑛
= 𝑝 = 0,22 МПа;
Участок 3-4:
𝑝𝑛3−4 = 𝑝 + 𝜌1 𝑔𝑦;
где 𝑦 – координата, отсчитываемая от точки 3.
28
3−4(3)
при 𝑦 = 0 𝑝𝑛
= 𝑝 = 0,22 МПа;
3−4(4)
при 𝑦 = 𝐻1 𝑝𝑛
= 𝑝 + 𝜌1 𝑔𝐻1 = 0,22 + 880 × 10−9 × 9,8 × 800 =
= 0,2269 МПа;
Участок 4-5:
𝑝𝑛4−5 = 𝑝 + 𝜌1 𝑔𝐻1 + 𝜌1 𝑔𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃;
4−5(4)
при 𝜃 = 90° 𝑝𝑛
4−5(4)
при 𝜃 = 0° 𝑝𝑛
= 𝑝 + 𝜌1 𝑔𝐻1 = 0,2269 МПа;
4−5(4)
= 𝑝𝑛
+ 𝜌1 𝑔𝑅 = 0,2269 + 880 × 10−9 × 9,8 × 800 =
= 0,2338 МПа;
Построим эпюру распределения нормального давления вдоль образующей оболочки вращения (рис. 11).
Рисунок 11 – Эпюра распределения нормального давления
29
5.2
Расчет меридиональных и окружных погонных усилий по
безмоментной теории и построение их эпюр
Определим усилия на участке 1-2(рис. 12).
Рисунок 12 – Участок 1-2 оболочки вращения
𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅0 ;
Определим равнодействующую внешних сил:
Ф(𝜃) = 𝑝𝑛 𝜋𝑟 2 = 𝑝𝑛1−2 𝜋𝑅02 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
Составим уравнение равновесия для определения меридиональной погонной силы:
2𝜋𝑟𝑁11−2 𝑠𝑖𝑛𝜃 = Ф;
2𝜋𝑅0 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑁11−2 = 𝑝𝑛1−2 𝜋𝑅02 𝑠𝑖𝑛2 𝜃;
𝑁11−2
𝑝𝑛1−2 𝑅0 0,22 × 900
=
=
= 99 Н⁄мм ;
2
2
Определим из уравнения Лапласа окружную погонную силу:
𝑁1 𝑁2
+
= 𝑝𝑛 ;
𝑅1 𝑅2
𝑁11−2 + 𝑁21−2 = 𝑝𝑛1−2 𝑅0 ;
𝑁21−2 = 𝑝𝑛1−2 𝑅0 − 𝑁11−2 = 0,22 × 900 − 99 = 99 Н⁄мм.
Определим усилия на участке 2-3 (рис. 13).
30
Рисунок 13 – Участок 2-3 оболочки вращения
𝑅1 = ∞; 𝑅2 = 𝑅
Определим равнодействующую внешних сил:
Ф = 𝜋𝑅2 𝑝𝑛2−3 .
Составим уравнение равновесия для определения меридиональной погонной силы:
2𝜋𝑅𝑁12−3 = 𝜋𝑅2 𝑝𝑛2−3 ;
𝑁12−3
𝑅𝑝𝑛2−3 800 × 0,22
=
=
= 88 Н⁄мм.
2
2
Определим из уравнения Лапласа окружную погонную силу:
𝑁1 𝑁2
+
= 𝑝𝑛 ;
𝑅1 𝑅2
𝑁1
→ 0;
𝑅1
𝑁22−3
= 𝑝𝑛2−3 ;
𝑅2
𝑁22−3 = 𝑝𝑛2−3 𝑅2 = 0,22 × 800 = 176 Н⁄мм.
31
Определим усилия на участке 3-4 (рис. 14).
Рисунок 14 – Участок 3-4 оболочки вращения
Определим равнодействующую внешних сил:
Ф = 𝜋𝑅2 𝑝𝑛3−4 − 𝐺 = 𝜋𝑅 2 (𝑝 + 𝜌1 𝑔𝑦) − 𝜌1 𝑔𝑉ц ,
где 𝑉ц – объем цилиндра.
𝑉 = 𝜋𝑅 2 𝑦;
Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Ф = 𝜋𝑅2 (𝑝 + 𝜌1 𝑔𝑦) − 𝜌1 𝑔𝜋𝑅2 𝑦.
Составим уравнение равновесия для определения меридиональной погонной силы:
2𝜋𝑅𝑁13−4 = 𝜋𝑅2 (𝑝 + 𝜌1 𝑔𝑦) − 𝜌1 𝑔𝜋𝑅2 𝑦
𝑁13−4 =
𝑅(𝑝 + 𝜌1 𝑔𝑦) − 𝜌1 𝑔𝑅𝑦
;
2
Определим меридиональную погонную силу в точках 3 и 4:
3−4(3)
𝑦 = 0 → 𝑁1
=
𝑅𝑝 800 × 0,22
=
= 88 Н⁄мм ;
2
2
3−4(4)
𝑦 = 800 → 𝑁1
32
=
800 × (0,22 + 880 × 10−9 × 9,81 × 800) − 880 × 10−9 × 9,81 × 800 × 800
=
2
= 88 Н⁄мм ;
Определим из уравнения Лапласа окружную погонную силу:
𝑁1 𝑁2
+
= 𝑝𝑛 ;
𝑅1 𝑅2
𝑁1
→ 0;
𝑅1
𝑁23−4
= 𝑝𝑛3−4 ;
𝑅2
3−4(3)
𝑁2
3−4(4)
𝑁2
3−4(3)
= 𝑝𝑛
3−4(4)
= 𝑝𝑛
𝑅2 = 0,22 × 800 = 176 Н⁄мм ;
𝑅2 = 0,2269 × 800 = 181,52 Н⁄мм ;
Определим усилия на участке 4-5 (рис. 15).
Рисунок 15 – Участок 4-5 оболочки вращения
𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅;
Примем независимую переменную y, которая проходит вдоль оси оболочки вращения и берет свое начало из нижней точки оболочки.
Определим равнодействующую внешних сил:
Ф(𝜃) = 𝑝𝑛4−5 𝜋𝑟 2 + 𝐺 = (𝑝 + 𝜌1 𝑔𝐻1 + 𝜌1 𝑔𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃)𝜋𝑅2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 𝜌1 𝑔𝑉сф ;
33
Приведем все неизвестные к независимой переменной y.
𝑟 2 = 𝑅2 − (𝑅 − 𝑦)2 = 𝑅2 − (𝑅2 − 2𝑅𝑦 + 𝑦)2 = 2𝑅𝑦 − 𝑦 2 = 𝑦(2𝑅 − 𝑦)
𝜋𝑦 2
(3𝑅 − 𝑦);
𝑉сф =
3
𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑅 − 𝑦
𝑟 2 𝑦(2𝑅 − 𝑦)
𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 2 =
.
𝑅
𝑅2
2
Таким образом формула для нахождения равнодействующей силы будет
выглядеть следующим образом:
𝜋𝑦 2
(3𝑅 − 𝑦);
Ф(𝜃) = (𝑝 + 𝜌1 𝑔𝐻1 + 𝜌1 𝑔(𝑅 − 𝑦))𝜋𝑦(2𝑅 − 𝑦) + 𝜌1 𝑔
3
Составим уравнение равновесия для определения меридиональной погонной силы:
2𝜋𝑟𝑁14−5 𝑠𝑖𝑛𝜃 = Ф(𝜃);
2𝜋𝑅𝑠𝑖𝑛
2
𝜃𝑁14−5
𝜋𝑦 2
(3𝑅 − 𝑦);
= (𝑝 + 𝜌1 𝑔𝐻1 + 𝜌1 𝑔(𝑅 − 𝑦))𝜋𝑦(2𝑅 − 𝑦) + 𝜌1 𝑔
3
2𝜋𝑅𝑠𝑖𝑛
𝑁14−5
2
𝜃𝑁14−5
2𝜋𝑦(2𝑅 − 𝑦)𝑁14−5
=
;
𝑅
𝑦
𝑅(𝑝 + 𝜌1 𝑔𝐻1 + 𝜌1 𝑔(𝑅 − 𝑦))(2𝑅 − 𝑦) + 𝑅𝜌1 𝑔 (3𝑅 − 𝑦)
3
=
=
2(2𝑅 − 𝑦)
𝑦
𝑅(𝑝 + 𝜌1 𝑔𝐻1 + 𝜌1 𝑔(𝑅 − 𝑦)) 𝑅𝜌1 𝑔 3 (3𝑅 − 𝑦)
+
.
2
2(2𝑅 − 𝑦)
Вычислим меридиональную погонную силу в точках 4 и 5:
При 𝑦 = 0:
𝜌1 𝑔 = 880 × 10−9 × 9,81 = 8632,8 × 10−9
4−5(5)
𝑁1
=
(0,22 + 8632,8 × 10−9 × 800 + 8632,8 × 10−9 × 800) × 2 × 800 × 800
+0=
2 × (2 × 800 − 0)
= 93,52
Н⁄мм ;
При 𝑦 = 800 мм:
4−5(4)
𝑁1
=
800 × (0,22 + 8632,8 × 10−9 × 800 + 𝜌1 𝑔 × 0)
+
2
34
800
800 × 8632,8 × 10−9 × 3 (3 × 800 − 800)
+
= 92,6 Н⁄мм ;
2 × (2 × 800 − 800)
Определим из уравнения Лапласа окружную погонную силу:
𝑁24−5 = 𝑝𝑛4−5 𝑅 − 𝑁14−5 ;
Вычислим окружную погонную силу в точках 4 и 5:
При 𝑦 = 800 мм:
4−5(4)
𝑁2
4−5(4)
= (𝑝 + 𝜌1 𝑔𝐻1 + 𝜌1 𝑔(𝑅 − 𝑦))𝑅 − 𝑁1
=
= (0,22 + 8632,8 × 10−9 × 800 + 8632,8 × 10−9 × 0) × 800 − 92,6 =
= 88,92 Н⁄мм ;
При 𝑦 = 0:
4−5(5)
𝑁2
4−5(5)
= (𝑝 + 𝜌1 𝑔𝐻1 + 𝜌1 𝑔(𝑅 − 𝑦))𝑅 − 𝑁1
=
= (0,22 + 8632,8 × 10−9 × 800 + 8632,8 × 10−9 × 800) × 800 − 93,52 =
= 93,53 Н⁄мм ;
По полученным значениям построим эпюры меридиональных и окружных погонных сил (рис. 16).
Рисунок 16 – Эпюра меридиональных и окружных погонных сил
35
5.3
Определение максимальных значений окружных и
меридиональных напряжений во всех частях составной оболочки
Определим максимальные значения меридиональных и окружных
напряжений на всех участках оболочки вращения.
Участок 1-2:
𝜎11−2
1−2
𝑁1𝑚𝑎𝑥
99
=
=
= 47,14 МПа;
ℎ1
2,1
𝜎21−2
1−2
𝑁2𝑚𝑎𝑥
99
=
=
= 47,14 МПа.
ℎ1
2,1
𝜎12−3
2−3
𝑁1𝑚𝑎𝑥
88
=
=
= 38,26 МПа;
ℎ1
2,3
𝜎22−3
2−3
𝑁2𝑚𝑎𝑥
176
=
=
= 76,52 МПа.
ℎ1
2,3
𝜎13−4
3−4
𝑁1𝑚𝑎𝑥
88
=
=
= 38,26 МПа;
ℎ2
2,3
Участок 2-3:
Участок 3-4:
𝜎23−4
3−4
𝑁2𝑚𝑎𝑥
181,52
=
=
= 78,92 МПа.
ℎ2
2,3
Участок 4-5:
𝜎14−5
4−5
𝑁1𝑚𝑎𝑥
93,5
=
=
= 38,96 МПа;
ℎ3
2,4
𝜎24−5
4−5
𝑁2𝑚𝑎𝑥
93,5
=
=
= 38,96 МПа.
ℎ3
2,4
36
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе выполнения курсовой работы выполнены следующие этапы.
В первой части произведён расчёт тонкостенной конструкции с двухзамкнутым контуром поперечного сечения. Определено положение координаты центра изгиба сечения, момент инерции, нормальные напряжения в поясах и обшивке при изгибе конструкции. Выведен закон изменения статического момента по контуру разомкнутого сечения. Рассчитаны погонные касательные
силы. По результатам расчетов построены эпюры статических моментов, погонных касательных сил при простом изгибе и при свободном кручении.
Во второй части определён закон изменения нормального давления
вдоль образующей составной оболочки вращения, построены его эпюры. Выполнен расчёт меридиональных и окружных погонных усилий в оболочке, по
результатам расчеты построены эпюры, также определены максимальные значения окружных и меридиональных напряжений во всех частях составной оболочки.
37
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1 Зацепина, М.В. Балочная теория расчета тонкостенных конструкций
[Текст]: Учебное пособие / М.В. Зацепина. - Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та., 2012. - 48 с.
2 Строительная механика ракет [Текст]: учеб. пособие / Л. М. Савельев,
Ю. В. Скворцов. – Электрон. текст. и граф. дан. (7 Мб). – Самара: Изд-во Самарского университета, 2017.
3 Дуплякин, В.М. Плоские фермы. Тонкостенные конструкции: Учебное
задание по курсу «Строительная механика летательных аппаратов и теория
упругости» [Текст] / В.М. Дуплякин, В.И. Леонов. Самара, 1993. - 40с.
4 Кан, С.Н. Элементы строительной механики тонкостенных конструкций [Текст]: Учебное пособие / С.Н. Кан, Я.Г. Пановко. - М.: Оборонгиз, 1952.
- 160с.
38
