Ðàçäåë 8. Ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è â ËÍÏ Ëåêöèÿ 16 Ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è â ËÍÏ. Îïðåäåëåíèÿ ýêñòðåìóìîâ. Φ : X → E 1 ôóíêöèîíàë, M ⊂ X ïîäìíîæåñòâî. x0 òî÷êà ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà Φ íà M , åñëè x0 ∈ M è ∃r > 0 ∀x ∈ Sr (x0 ) ∩ M : Φ(x) ≤ Φ(x0 ) (äëÿ ìèíèìóìà Φ(x) ≥ Φ(x0 )). Åñëè M = X áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì (ìèíèìóì, ìàêñèìóì), åñëè M X óñëîâíûé. Ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì: ∀x ∈ M : Φ(x) ≤ Φ(x0 ) (äëÿ ìèíèìóìà Φ(x) ≥ Φ(x0 )). Îïÿòü ìîæåò áûòü óñëîâíûé è áåçóñëîâíûé.  ïðèâåäåííûõ âûðàæåíèÿõ íåðàâåíñòâà íåñòðîãèå, ýêñòðåìóì òîæå íåñòðîãèé. Åñëè çàìåíèòü ñòðîãèìè íåðàâåíñòâàìè ïðè x ̸= x0 áóäóò ñòðîãèå ýêñòðåìóìû. Òàêèì îáðàçîì, ýêñòðåìóìû áûâàþò: ìàêñèìóì è ìèíèìóì; ëîêàëüíûé è ãëîáàëüíûé; ñòðîãèé è íåñòðîãèé; óñëîâíûé è áåçóñëîâíûé. Ëþáûå ñî÷åòàíèÿ. Êàê âñåãäà, òî÷êà = ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà (íàïðèìåð, ôóíêöèÿ). Çàìå÷àíèå.  ìàòàíàëèçå ðàçëè÷àåòñÿ òî÷êà ýêñòðåìóìà (ýòà òî÷êà äîëæíà áûòü âíóòðåííåé) è íàèáîëüøåå (íàèìåíüøåå) çíà÷åíèå ôóíêöèè. Çäåñü ìû íå áóäåì ýòîãî ðàçëè÷èÿ, è äîïóñêàåòñÿ, ÷òî x0 ãðàíè÷íàÿ òî÷êà M . Çàìå÷àíèå. Çàäà÷è íà ïîèñê ýêñòðåìóìà (ìàêñèìóìà, ìèíèìóìà) íàçûâàþòñÿ çàäà÷àìè îïòèìèçàöèè.  ÷àñòíîñòè, ðàçëè÷àþò çàäà÷è áåçóñëîâíîé è óñëîâíîé îïòèìèçàöèè (ïîèñê áåçóñëîâíîãî è óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà). Çàìå÷àíèå. Èçîëèðîâàííûå òî÷êè M òî÷êè ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà è ìàêñèìóìà îäíîâðåìåííî. Äàëüøå íå ðàññìàòðèâàåì. Çàìå÷àíèå. Åñëè M åäèíè÷íàÿ ñôåðà èëè åäèíè÷íûé çàìêíóòûé øàð, à ôóíêöèîíàë Φ ëèíåéíûé, òî çíà÷åíèå ýòîãî ôóíêöèîíàëà â òî÷êå ìàêñèìóìà (åñëè îíà ñóùåñòâóåò) ýòî åãî íîðìà. Åñëè Φ(x) = ∥Ax∥, ãäå A ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð, òî òî çíà÷åíèå òàêîãî ôóíêöèîíàëà â òî÷êå ìàêñèìóìà íà M (åñëè îíà ñóùåñòâóåò) ýòî íîðìà îïåðàòîðà A. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà. Ïóñòü x(t) àáñòðàêòíàÿ ôóíêöèÿ, x(0) = x0 , ∀t ∈ [0, 1] : x(t) ∈ M . Îáðàç ôóíêöèè êðèâàÿ â M , íà÷èíàþùàÿñÿ â òî÷êå x0 . Ðàññìîòðèì ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ φ(t) = Φ(x(t)). Åñëè x0 òî÷êà ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà (ìèíèìóìà) Φ, òî ôóíêöèÿ φ ïðè t = 0 òàêæå äîëæíà èìåòü ëîêàëüíûé ìàêñèìóì (ìèíèìóì). Åñëè ôóíêöèÿ φ èìååò îäíîñòîðîííþþ ïðîèçâîäíóþ φ′+ (0) ïðè t = 0, òî ýòà ïðîèçâîäíàÿ äîëæíà áûòü íåïîëîæèòåëüíà (íåîòðèöàòåëüíà). 1 Ïóñòü òåïåðü M âûïóêëîå ìíîæåñòâî. Òîãäà â êà÷åñòâå x(t) ìîæíî âçÿòü ôóíêöèþ x0 + th, ãäå h = z − x0 , z ∈ M , îáðàçîì êîòîðîé ïðè t ∈ [0, 1] ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé x0 è z è, â ñèëó âûïóêëîñòè M , öåëèêîì ëåæàùèé â ýòîì ìíîæåñòâå.  ýòîì ñëó÷àå φ′+ (0) = ∂Φ(x) ∂h = ∥h∥ Var[Φ(x0 , h0 )] , x=x0 ãäå h0 = h/∥h∥ = (z − x0 )/∥z − x0 ∥ åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè z − x0 . Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî íåîáõîäèìûì óñòîâèåì òîãî, ÷òî x0 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà (ìèíèìóìà) ôóíêöèîíàëà Φ, ÿâëÿåòñÿ íåïîëîæèòåëüíîñòü (íåîòðèöàòåëüíîñòü) åãî âàðèàöèé âäîëü âñåõ äîïóñòèìûõ íàïðàâëåíèé, äëÿ êîòîðûõ òàêèå âàðèàöèè ñóùåñòâóþò. Çàìå÷àíèå. Äîïóñòèìå íàïðàâëåíèÿ íàïðàâëåíèÿ, âåäóùèå èç x0 â òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå M . Åñëè ôóíêöèîíàë äèôôåðåíöèðóåì ïî Ôðåøå â òî÷êå x0 , òî ∂Φ(x) ∂h = Φ′ (x0 )(h) = ∥h∥Φ′ (x0 )(h0 ) . x=x0 Íàçîâåì òî÷êó x0 âíóòðåííåé òî÷êîé M , åñëè íàðÿäó ñ ïðîèçâîëüíûì äîïóñòèìûì íàïðàâëåíèåì h0 òàêæå äîïóñòèìûì áóäåò è ïðîòèâîïîëîæíîå åìó íàïðàâëåíèå −h0 . (!!! Çàìå÷àíèå. Ýòî íå ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåíèþ âíóòðåííåé òî÷êè ìíîæåñòâà, äàííîìó ðàíåå. Íàïðèìåð, äëÿ ïðîäïðîñòðàíñòâà, ñîãëàñíî íîâîìó îïðåäåëåíèþ, âñå òî÷êè áóäóò âíóòðåííèìè, à ïî ñòàðîìó âñå òî÷êè ãðàíè÷íûå, åñëè ïîäïðîñòðàíñòâî íå ñîâïàäàåò ñ X : ëþáàÿ îêðåñòíîñòü ñîäåðæèò òî÷êè èç äîïîëíåíèÿ.)  ýòîì ñëó÷àå, ïîñêîëüêó Φ′ (x0 )(−h) = −Φ′ (x0 )(h), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî âî âíóòðåííåé òî÷êå ýêñòðåìóìà Φ′ (x0 )h = 0 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî äîïóñòèìîãî âåêòîðà h. Òàêîå óñëîâèå íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì ñòàöèîíàðíîñòè, à òî÷êà x0 , â êîòîðîé îíî âûïîëíÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ôóíêöèîíàëà Φ íà M èëè, åñëè h ëþáîå, íà âñåì X . Çàìå÷àíèå. Åñëè M = X (áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì), òî îòñþäà ñëåäóåò Φ′ (x0 ) = O. Çàìå÷àíèå. Åñëè M ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ íåêîòîðóþ ãèïåðïîâåðõíîñòü â X (íåâûïóêëîå, âîîáùå ãîâîðÿ, ìíîæåñòâî), òî h êàñàòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ. Ìíîæåñòâî êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ îáðàçóåò êàñàòåëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â ïðîñòðàíñòâå X . ×àñòíûé ñëó÷àé: ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî. Äåéñòâèå ôóíêöèîíàëà Φ′ (x0 ) íà ýëåìåíò h ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñêàëàðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ Φ′ (x0 )(h) = (grad Φ(x0 ), h) . 2 Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìàêñèìóìà (ìèíèìóìà) íåïîëîæèòåëüíîñòü (íåîòðèöàòåëüíîñòü) (grad Φ(x0 ), h) â äîïóñòèìûõ íàïðàâëåíèÿõ. Äëÿ âíóòðåííèõ òî÷åê íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà ðàâåíñòâî (grad Φ(x0 ), h) = 0.  ñëó÷àå áåçóñëîâíîãî ýêñòðåìóìà grad Φ(x0 ) = 0. Ýëåìåíòû âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ïóñòü X = C 1 [a, b], à Φ èíòåãðàëüíûé ôóíêöèîíàë âèäà ∫ b Φ(x) = f (s, x(s), ẋ(s)) ds . a Êëàññè÷åñêîå âàðèàöèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå çàíèìàåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, çàäà÷àìè íà ïîèñê ìàêñèìóìà èëè ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëîâ òàêîãî âèäà. Çàìå÷àíèå. Ðàíüøå ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ âñåãäà íåçûâàëè t, íî ñåé÷àñ t ó íàñ çàíÿòî, ïîýòîìó èñïîëüçóåì s. Ôóíêöèþ f (s, u, v) áóäåì ñ÷èòàòü äîñòàòî÷íî ãëàäêîé. Íàì ïîòðåáóåòñÿ íåïðåðûâíîñòü ïî ïåðâîé ïåðåìåííîé, íåïðåðûâíàÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïî âòîðîé è òðåòüåé, ïðè÷åì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíîìåðíî ëèïøèöåâûìè: |fu′ (s, u1 , v1 ) − fu′ (s, u2 , v2 )| ≤ L(|u1 − u2 | + |v1 − v2 |) |fv′ (s, u1 , v1 ) − fv′ (s, u2 , v2 )| ≤ L(|u1 − u2 | + |v1 − v2 |) (ïîñòîÿííàÿ Ëèïøèöà L íå çàâèñèò îò s, u è v ).  ýòîì ñëó÷àå f (s, u + ξ, v + η) − f (s, u, v) = fu′ (s, u, v)ξ + fv′ (s, u, v)η + ω(s, u, v, ξ, η) , ãäå |ω(s, u, v, ξ, η)| ≤ L(|ξ| + |η|)2 (äîêàæèòå!) Çàìå÷àíèå. Øòðèõè ïðè ïðîèçâîäíûõ áóäåì îïóñêàòü: fu′ = fu , fv′ = fv . Çàìå÷àíèå. ×àñòî âìåñòî fu è fv ïèøóò fx è fẋ . Óòâåðæäåíèå. Ôóíêöèîíàë Φ äèôôåðåíöèðóåì ïî Ôðåøå. Äåéñòâèòåëüíî, ∫ b = a Φ(x + h) = Φ(x) = ∫ f (s, x(s) + h(s), ẋ(s) + ḣ(s)) ds − b f (s, x(s), ẋ(s)) ds = a ∫ b [f (s, x(s) + h(s), ẋ(s) + ḣ(s)) − f (s, x(s), ẋ(s))] ds = = a ∫ b = [fx (s, x(s), ẋ(s))h(s) + fẋ (s, x(s), ẋ(s))ḣ(s) + ω(s, x(s), ẋ(s), h(s), ḣ(s))] ds = a ∫ b = [fx (s, x(s), ẋ(s))h(s) + fẋ (s, x(s), ẋ(s))ḣ(s)] ds + ω̂(x, h) = a = dΦ(x, h) + ω̂(x, h) , ãäå ∫ b [fx (s, x(s), ẋ(s))h(s) + fẋ (s, x(s), ẋ(s))ḣ(s)] ds − dΦ(x, h) = a 3 íåïðåðûâíûé ëèíåéíûé îòíîñèòåëüíî h ôóíêöèîíàë, äèôôåðåíöèàë Ôðåøå, à ∫ b ω̂(x, h) = ω(s, x(s), ẋ(s), h(s), ḣ(s)) ds − a ïîïðàâî÷íîå ñëàãàåìîå, |ω̂(x, h)| ≤ L(b − a)∥h∥2C 1 [a,b] = o(∥h∥C 1 [a,b] ) . (Çàìå÷àíèå. Ëèïøèöåâîñòü ÿâëÿåòñÿ íåñêîëüêî èçáûòî÷íûì òðåáîâàíèåì, íî îíî óäîáíî äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíîê è ïî÷òè âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ.) Òåïåðü ìû ïåðåõîäèì ê ðàññìîòðåíèþ çàäà÷è íà ïîèñê ýêñòðåìóìà ôóíêöèîíàëà Φ ëèáî íà âñåì ïðîñòðàíñòâå (çàäà÷à áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèè), ëèáî íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå M (çàäà÷à óñëîâíîé îïòèìèçàöèè).  ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ýêñòðåìóìà ÿâëÿåòñÿ îáðàùåíèå â íóëü äèôôåðåíöèàëà Ôðåøå ëèáî íà âñåõ ôóíêöèÿõ h ∈ C 1 [a, b], ëèáî íà äîïóñòèìûõ, îïðåäåëÿåìûõ êîíêðåòíûì âèäîì ìíîæåñòâà M (â ïîñëåäíåì ñëó÷àå ðå÷ü èäåò î âíóòðåííèõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà â îãîâîðåííîì âûøå ñìûñëå, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íóæíî ðàññìàòðèâàòü íåðàâåíñòâà äëÿ âàðèàöèé). Äàëåå ìû ðàññìîòðèì äâå çàäà÷è êëàññè÷åñêîãî âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ: çàäà÷ó ñ çàêðåìëåííûìè êîíöàìè è çàäà÷ó ñî ñâîáîäíûìè êîíöàìè. Ëèáî îäíó, ëèáî äðóãóþ îáû÷íî íàçûâàþò "ïðîñòåéøåé çàäà÷åé âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ íî ðàçíûå àâòîðû äåëàþò ðàçíûé âûáîð (îäíà ïðîùå ïî ïîñòàíîâêå, äðóãàÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ ðåøåíèÿ), ïîýòîìó ìû íå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ýòîé ôîðìóëèðîâêîé. Çàäà÷à ñî ñâîáîäíûìè êîíöàìè: íàéòè òî÷êè ýêñòðåìóìà ôóíêöèîíàëà Φ(x) ñðåäè âñåõ x ∈ C 1 [a, b]. Ýòî çàäà÷à íà áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì, è íåîáõîäèìûì óñëîâèåì òàêîãî ýêñòðåìóìà ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà ∫ b [fx (s, x(s), ẋ(s))h(s) + fẋ (s, x(s), ẋ(s))ḣ(s)] ds = 0 a ïðè âñåõ h ∈ C 1 [a, b]. Çàäà÷à ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè: íàéòè òî÷êè ýêñòðåìóìà ôóíêöèîíàëà Φ(x) ñðåäè âñåõ x ∈ C 1 [a, b], óäîâëåòâîðÿþùèõ êðàåâûì óñëîâèÿì x(a) = A , x(b) = B , ãäå A è B çàäàííûå ÷èñëà. Ýòî óæå çàäà÷à óñëîâíîé îïòèìèçàöèè, ìíîæåñòâî M ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç C 1 [a, b], óäîâëåòâîðÿþùèõ êðàåâûì óñëîâèÿì. Åñëè õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë A èëè B îòëè÷íî îò íóëÿ, óñëîâèÿ íåîäíîðîäíûå, è ýòî íå ïîäïðîñòðàíñòâî. Ãèïåðïëîñêîñòü, ñìåùåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Âûïóêëîå ìíîæåñòâî (ïðîâåðèòü!). Îãðàíè÷åíèÿ íà h: ôóíêöèÿ x + h äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü êðàåâûì óñëîâèÿì: x(a) + h(a) = A , x(b) + h(b) = B . 4 Ïîñêîëüêó ñàìà ôóíêöèÿ x äîëæíà ýòèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿòü, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî h(a) = h(b) = 0 . Ýòî óñëîâèå óæå îäíîðîäíî è îïðåäåëÿåò ïîäïðîñòðàíñòâî C01 [a, b] (çàìêíóòîå ïðîâåðèòü). Ñîîòâåòñòâåííî, èíòåãðàë, ÿâëÿþùèéñÿ äèôôåðåíöèàëîì Ôðåøå, äîëæåí îáðàùàòüñÿ â íóëü íà ëþáîì ýëåìåíòå ýòîãî ïîäïðîñòðàíñòâà h ∈ C01 [a, b]. Äëÿ òîãî, ÷òîáû äâèíóòüñÿ äàëüøå â ðàññìîòðåíèè ýòèõ äâóõ çàäà÷, íàì ïîíàäîáèòñÿ äîêàçàòü íåñêîëüêî âàæíûõ âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé. Ëàãðàíæà. Ïóñòü u ∈ C[a, b], è äëÿ ëþáîãî h ∈ C01 [a, b] ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî ∫ b u(s)h(s) ds = 0 . Ëåììà a Òîãäà ôóíêöèÿ u òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ. (Çàìå÷àíèå. Èñïîëüçîâàííàÿ çäåñü áóêâà u íå èìååò îòíîøåíèÿ ê ôîðìàëüíîìó ïàðàìåòðó ôóíêöèè f .) Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè u ∈ C[a, b], íå ðàâíîé íóëþ òîæäåñòâåííî, íàéäåòñÿ ôóíêöèÿ h ∈ C01 [a, b] òàêàÿ, ÷òî èíòåãðàë íå áóäåò ðàâåí íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü u(s0 ) ̸= 0, ãäå s0 íåêîòîðàÿ âíóòðåííÿÿ òî÷êà. Òîãäà â ñèëó íåïðåðûâíîñòè u íàéäåòñÿ îêðåñòíîñòü ýòîé òî÷êè (α, β) ⊂ (a, b), â êîòîðîé u èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è u(s0 ). Ñòðîèì ôóíêöèþ h ∈ C01 [a, b], ëîêàëèçîâàííóþ íà (α, β) è ïîëîæèòåëüíóþ íà ýòîì èíòåðâàëå (òàêèå ñóùåñòâóþò íàïðèìåð, êâàäðàòè÷íûé ñïëàéí ïîñòðîèòü!). Ïðîèçâåäåíèå íåïðåðûâíî è çíàêîïîñòîÿííî íà (α, β), íóëü çà ïðåäåëàìè èíòåðâàëà, èíòåãðàë íå ðàâåí íóëþ. Åñëè s0 , ãäå u(s0 ) ̸= 0 ãðàíè÷íàÿ òî÷êà, òî ïî íåïðåðûâíîñòè íàéäåòñÿ è âíóòðåííÿÿ. Ëåììà äîêàçàíà. Äþáóà-Ðåéìîíà. Ïóñòü v ∈ C[a, b], è äëÿ ëþáîãî h ∈ C01 [a, b] ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî ∫ b v(s)ḣ(s) ds = 0 . Ëåììà a Òîãäà ôóíêöèÿ v êîíñòàíòà. (Çàìå÷àíèå. Èñïîëüçîâàííàÿ çäåñü áóêâà v íå èìååò îòíîøåíèÿ ê ôîðìàëüíîìó ïàðàìåòðó ôóíêöèè f .) Óáåäèìñÿ ñíà÷àëà, ÷òî äëÿ êîíñòàíòû èíòåãðàë ðàâåí íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè v = C , òî ∫ b b C ḣ(s) ds = Ch|a = 0 . a 5 Òåïåðü ïðèñòóïèì ê äîêàçàòåëüñòâó. Çàìåòèì, ÷òî åñëè g íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ íà [a, b] òî ∫ ∃hg ∈ b : g(s) = ḣg (s) ⇔ g ∈ C[a, b] ∧ C01 [a, b] g(s) ds = 0 . a Äåéñòâèòåëüíî, åñëè g(s) = ḣg (s), òî g ∈ C[a, b] â ñèëó íåïðåðûâíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè hg , è ∫ ∫ b g(s) ds = a a b b ḣg (s) ds = hg |a = 0 . Îáðàòíî, åñëè g íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ñ íóëåâûì ñðåäíèì, òî ∫ s hg (s) = g(τ ) dτ ∈ C01 [a, b] , a ïîñêîëüêó ýòà ôóíêöèÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è îáðàùàåòñÿ â íóëü íà ãðàíèöàõ. Òåïåðü îáîçíà÷èì ∫ b 1 C= v(s) ds − b−a a ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè v íà îòðåçêå, è g(s) = v(s) − C − íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ñ íóëåâûì ñðåäíèì (ïðîâåðèòü!). Òîãäà äëÿ ëþáîãî h ∈ C01 [a, b], ñîãëàñíî óñëîâèþ ëåììû, ∫ ∫ b a ∫ b b (v(s) − C)ḣ(s) ds = g(s)ḣ(s) ds = a v(s)ḣ(s) ds = 0 . a Âûáåðåì h(s) = hg (s), òîãäà ∫ ∫ b b g 2 (s) ds = 0 , g(s)ḣg (s) ds = a a Ïîñêîëüêó ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îíà òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ íà îòðåçêå [a, b], ò.å. g 2 (s) = (v(s) − C)2 = 0 , îòêóäà v(s) = C , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Îáîáùåííàÿ ëåììà Äþáóà-Ðåéìîíà. 6 (Çàìå÷àíèå. Íåêîòîðûå àâòîðû ïîä ëåììîé Äþáóà-Ðåéìîíà ïîíèìàþò èìåííî ýòó ëåììó.) Ïóñòü u, v ∈ C[a, b], è äëÿ ëþáîãî h ∈ C01 [a, b] ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî ∫ b (u(s)h(s) + v(s)ḣ(s)) ds = 0 . a Òîãäà ôóíêöèÿ v ∈ C 1 [a, b], è u(s) = v̇(s) . Óáåäèìñÿ ñíà÷àëà, ÷òî â ñëó÷àå u(s) = v̇(s) èíòåãðàë äåéñòâèòåëüíî îáðàùàåòñÿ â íóëü. Äåéñòâèòåëüíî, ∫ ∫ b b (u(s)h(s) + v(s)ḣ(s)) ds = a ∫ = a (v̇(s)h(s) + v(s)ḣ(s)) ds = a b (v(s)h(s))· ds = (v(s)h(s))|a = 0 . b Òåïåðü ïðèñòóïèì ê äîêàçàòåëüñòâó. Îáîçíà÷èì ∫ s w(s) = u(τ ) dτ , a òîãäà u(s) = ẇ(s), è ∀h ∈ C01 [a, b]: ∫ ∫ b (u(s)h(s) + v(s)ḣ(s)) ds = a (ẇ(s)h(s) + v(s)ḣ(s)) ds = a ∫ b b = (w(s)h(s))|a + b ∫ (−w(s)ḣ(s) + v(s)ḣ(s)) ds = a b (−w(s) + v(s))ḣ(s) ds = 0 . a Òîãäà, ñîãëàñíî ëåììå Ðþáóà-Ðåéìîíà, −w(s) + v(s) = C , ò.å. v(s) = w(s) + C . Òîãäà v ∈ C [a, b], êàê ñóììà w ∈ C 1 [a, b] è êîíñòâíòû. Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî, ïîëó÷àåì: 1 v̇(s) = ẇ(s) = u(s) , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 7 Çàìå÷àíèå. Åñëè áû áûëî çàðàíåå èçâåñòíî, ÷òî v ∈ C 1 [a, b], äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî áûëî áû ñîêðàòèòü: ∫ b (u(s)h(s) + v(s)ḣ(s)) ds = a = ∫ b (v(s)h(s))|a ∫ b (u(s)h(s) − v̇(s)h(s)) ds = + a b (u(s) − v̇(s))h(s) ds = 0 , = a è òîãäà ïî ëåììå Ëàãðàíæà u(s) − v̇(s) = 0 . Òåïåðü âîçâðàùàåìñÿ ê ðàññìîòðåíèþ çàäà÷è ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà â ýòîé çàäà÷å â òî÷íîñòè ïîâòîðÿåò óñëîâèÿ èç îáîáùåííîé ëåììû Äþáóà-Ðåéìîíà ïðè u(s) = fx (s, x(s), ẋ(s)) , v(s) = fẋ (s, x(s), ẋ(s)) . Ïîýòîìó â ñèëó ðåçóëüòàòà ëåììû èìååì: d fẋ (s, x(s), ẋ(s)) = fx (s, x(s), ẋ(s)) . ds Ïðèíÿòî ýòî óðàâíåíèå, èìåíóåìîå óðàâíåíèåì Ýéëåðà (èëè óðàâíåíèåì Ýéëåðà-Ëàãðàíæà) çàïèñûâàòü â âèäå − d fẋ (s, x(s), ẋ(s)) + fx (s, x(s), ẋ(s)) = 0 . ds Ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ (íåçàâèñèìî îò òîãî, óäîâëåòâîðÿåò ëè îíî êðàâåâûì óñëîâèÿì) íàçûâàþò ýêñòðåìàëüþ èñõîäíîãî ôóíêöèîíàëà. d Ïðîèçâîäíàÿ ds ïî ïåðåìåííîé s ïîëíàÿ, ó÷èòûâàþùàÿ çàâèñèìîñòü îò s âñåõ àðãóìåíòîâ: d fẋ (s, x(s), ẋ(s)) = ds = fsẋ (s, x(s), ẋ(s)) + fxẋ (s, x(s), ẋ(s))ẋ + fẋẋ (s, x(s), ẋ(s))ẍ (ýòà ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà, åñëè âñå ïðîèçâîäíûå â ïðàâîé ÷àñòè ñóùåñòâóþò). Êàê ìû âèäèì, óðàâíåíèå Ýéëåðà îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî x(s), äëÿ êîòîðîé, ñ ó÷åòîì óñëîâèé x(a) = A , x(b) = B ìû ïîëó÷àåì ïåðâóþ êðàåâóþ çàäà÷ó, ðåøåíèå êîòîðîé (â ïðèíöèïå îíî ìîæåò áûòü íå îäíî) íåçûâàåòñÿ äîïóñòèìîé ýêñòðåìàëüþ (ò.å. ýêñòðåìàëüþ, äîïóñòèìîé ïî îãðàíè÷åíèþ) è ÿâëÿåòñÿ 8 ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ôóíêöèîíàëà íà ìíîæåñòâå M è êàíäèäàòîì íà ðîëü óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà. ×òîáû âûÿñíèòü, äîñòàâëÿåò ëè íàéäåííàÿ ôóíêöèÿ ýêñòðåìóì ôóíêöèîíàëó, à åñëè äà, òî êàêîé èìåííî (ìàêñèìóì èëè ìèíèìóì), òðåáóåòñÿ äàëüíåéøèé àíàëèç, êîòîðûé èíîãäà ïî òðóäîåìêîñòè ïðåâîñõîäèò ñîáñòâåííî ïðîöåññ ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è. Ïåïåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ çàäà÷è ñî ñâîáîäíûìè êîíöàìè, ò.å. çàäà÷è áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèè, êîãäà íà ôóíêöèþ x(s) íå íàêëàäûâàåòñÿ íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé.  ýòîì ñëó÷àå äèôôåðåíöèàë Ôðåøå dΦ äîëæåí îáðàùàòüñÿ â íóëü íà ëþáûõ ýëåìåíòàõ h ∈ C 1 [a, b], â òîì ÷èñëå è íà h ∈ C01 [a, b]. Îòñþäà, îïÿòü ïðèìåíÿÿ îáîáùåííóþ ëåììó Äþáóà-Ðåéìîíà, ìû ñíîâà ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ Ýéëåðà. Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå ðåøåíèå îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è áåç îãðàíè÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ýêñòðåìàëüþ ôóíêöèîíàëà Φ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîïîëíèòü óðàâíåíèå Ýéëåðà êðàåâûìè óñëîâèÿìè, ñíîâà âûïîëíèì èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì, òåïåðü óæå íå ñ÷èòàÿ, ÷òî h ∈ C01 [a, b]: ∫ b (fx (s, x(s), ẋ(s))h(s) + fẋ (s, x(s), ẋ(s))ḣ(s)) ds = a b = (fẋ (s, x(s), ẋ(s))h(s))|a + ) ∫ b( d + fx (s, x(s), ẋ(s)) − fẋ (s, x(s), ẋ(s)) h(s) ds = ds a = fẋ (b, x(b), ẋ(b))h(b) − fẋ (a, x(a), ẋ(a))h(a) = 0 . Ïîñëåäíèé èíòåãðàë èñ÷åç, òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ â ñèëó óðàâíåíèÿ Ýéëåðà, îñòàëàñü ïîäñòàíîâêà, êîòîðàÿ òàêæå äîëæíà îáðàùàòüñÿ â íóëü ïðè ïðîèçâîëüíûõ h ∈ C01 [a, b]. Ïîî÷åðåäíî ïîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ôóíêöèþ h(s) = s − a è h(s) = s − b, ìû ïîëó÷èì, ÷òî fẋ (a, x(a), ẋ(a)) = fẋ (b, x(b), ẋ(b)) = 0 . Ýòè óñëîâèÿ íîñÿò íàçâàíèå óñëîâèé òðàíñâåðñàëüíîñòè èëè, â äðóãîé òåðìèíîëîãèè, åñòåñòâåííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (åñòåñòâåííûõ â òîì ñìûñëå, ÷òî ìû èõ íå íàêëàäûâàåì ïðè ïîñòàíîâêå çàäà÷è, êàê â çàäà÷å ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè, à îíè âûïîëíÿþòñÿ íà ýêñòðåìàëüíîì ýëåìåíòå ñàìè ñîáîé). Ðåøèâ êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ Ýéëåðà, ïîëó÷èì ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó ôóíêöèîíàëà íà âñåì ïðîñòðàíñòâå C01 [a, b] (èëè íåñêîëüêî òàêèõ òî÷åê). Êàæäîå èç ðåøåíèé çàòåì, êàê è â çàäà÷å ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè, íóæíî èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìàëüíîñòü. Çàìå÷àíèå. Óñëîâèÿ òðàíñâåðñàëüíîñòè âîçíèêàþò â êà÷åñòâå êðàåâûõ óñëîâèé äëÿ óðàâíåíèÿ Ýéëåðà è ïðè ïîèñêå ýêñòðåìóìà ôóíêöèîíàëîâ áîëåå îáùåãî âèäà, ñîäåðæàùèõ, íàðÿäó ñ èíòåãðàëüíûì ñëàãàåìûì, òàêæå ñëàãàåìûå, çàâèñÿùèå îò çíà÷åíèé ôóíêöèè x â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ. Äëÿ òàêèõ ôóíêöèîíàëîâ óñëîâèÿ òðàíñâåðñàëüíîñòè èìåþò áîëåå ñëîæíûé âèä. 9