ftd

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
004(07)
З-984
ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
Методические указания
к практическим занятиям
Челябинск
2014
Министерство образования и науки Российской Федерации
Южно-Уральский государственный университет
Кафедра «Безопасность информационных систем»
004(07)
З-984
ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
Методические рекомендации
к практическим занятиям
Челябинск
Издательский центр ЮУрГУ
2014
УДК 004.056.55(075.8)
З-984
Одобрено
учебно-методической комиссией приборостроительного факультета
Рецензент О.В. Митина
З-984
Теория информации: методические указания к практическим
занятиям / сост. Н.Д. Зюляркина. – Челябинск: Издательский центр
ЮУрГУ, 2014. – 27 с.
В данном руководстве содержатся рекомендации к практическим занятиям по
разделам: «Алгебраические структуры», «Коды, исправляющие ошибки».
Методические рекомендации предназначены для проведения практических
занятий со студентами направления подготовки бакалавров «Информационная
безопасность» и специальностей «Информационная безопасность автоматизированных систем», «Безопасность информационных технологий в правоохранительной сфере», изучающими курс «Теория информации».
УДК 004.056.55(075.8)
© Издательский центр ЮУрГУ, 2014
Ðàçäåë 1. ÏÐÅÄÂÀÐÈÒÅËÜÍÛÅ ÑÂÅÄÅÍÈß
Ïîäðîáíîå èçëîæåíèå ìàòåðèàëà ïî äàííîìó ðàçäåëó ìîæíî íàéòè â [4]
Òåìà 1.1. Àëãåáðàè÷åñêèå ñòðóêòóðû
Ãðóïïîé (ïîëóãðóïïîé) íàçûâàåòñÿ íåïóñòîå ìíîæåñòâî G ñ îïðåäåëåííîé
íà íåì áèíàðíîé îïåðàöèåé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ àññîöèàòèâíîé, óíèòàðíîé è
ñèììåòðè÷íîé (àññîöèàòèâíîé).  àáñòðàêòíîé ãðóïïå äàííóþ îïåðàöèþ íàçûâàþò óìíîæåíèåì, åäèíè÷íûé ýëåìåíò îáîçíà÷àþò ÷åðåç e, à îáðàòíûé ýëåìåíò ê x ÷åðåç x−1 . Åñëè ãðóïïîâàÿ îïåðàöèÿ ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíîé, òî
ãðóïïó íàçûâàþò àáåëåâîé, îïåðàöèþ â íåé ÷àñòî íàçûâàþò ñëîæåíèåì, åäèíè÷íûé ýëåìåíò íóëåâûì, à îáðàòíûé ýëåìåíò ïðîòèâîïîëîæíûì, ïðèìåíÿÿ
ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèå îáîçíà÷åíèÿ. Ïîðÿäêîì ãðóïïû G íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòü ìíîæåñòâà åå ýëåìåíòîâ. Ãðóïïà íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîé, åñëè îíà èìååò
êîíå÷íûé ïîðÿäîê. Ïîðÿäîê ãðóïïû G îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì |G|.
Ãðóïïû ïåðåñòàíîâîê. Ïóñòü X ýòî íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Òîãäà ïåðåñòàíîâêîé ìíîæåñòâà X íàçûâàåòñÿ áèåêöèÿ σ : X → X . Ìíîæåñòâî âñåõ ïåðåñòàíîâîê X îáîçíà÷èì ÷åðåç S(X). Åñëè X ýòî êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïîðÿäêà
n, òî áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî X = {1, 2, . . . , n}. Ìíîæåñòâî S(X) â ýòîì ñëó÷àå îáîçíà÷àåòñÿ êàê Sn . Îòìåòèì, ÷òî |Sn | = n!. Îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè ìíîæåñòâî S(X) îáðàçóåò ãðóïïó. Ôóíêöèî!
1
2
...
n
íàëüíûì âèäîì ïåðåñòàíîâêè σ íàçûâàåòñÿ çàïèñü
.
σ(1) σ(2) . . . σ(n)
Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ èç X , äëÿ êîòîðûõ σ(x) =
6 x, íàçûâàåòñÿ íîñèòåëåì ïåðåñòàíîâêè σ . Åñëè íîñèòåëü σ ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ x1 , x2 , . . ., xk , òàêèõ ÷òî
σ(x1 ) = x2 , σ(x2 ) = x3 , . . ., σ(xk ) = x1 , òî σ íàçûâàåòñÿ öèêëîì äëèíû k è çàïèñûâàåòñÿ â âèäå (x1 , x2 , . . . , xk ). Òîæäåñòâåííàÿ ïåðåñòàíîâêà îäíîýëåìåíòíîãî
ìíîæåñòâà {x} ñ÷èòàåòñÿ öèêëîì äëèíû 1 è çàïèñûâàåòñÿ êàê (x). Èçâåñòíî,
÷òî ëþáóþ ïåðåñòàíîâêó êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ íåçàâèñèìûõ öèêëîâ. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ öèêëè÷åñêîé
ôîðìîé çàïèñè ïåðåñòàíîâêè. Öèêëû äëèíû 1 êàê ïðàâèëî íå èíôîðìàòèâíû,
è èõ ìîæíî íå âêëþ÷àòü â ýòî ïðîèçâåäåíèå.
Ïðèìåð 1.1.1. Çàïèñàòü â öèêëè÷åñêîì
âèäå ïåðåñòàíîâêó
!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
σ=
.
5 10 8 9 2 6 4 3 7 1
Ðåøåíèå. Âûïèñûâàòü íåçàâèñèìûå öèêëû íà÷íåì ñ íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà, â íèõ âõîäÿùåãî (ýòî äåëàåòñÿ äëÿ îäíîçíà÷íîñòè).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì,
÷òî σ = (1, 5, 2, 10)(3, 8)(4, 9, 7)(6)= (1, 5, 2, 10)(3, 8)(4, 9, 7).
Ïîðÿäîê ýëåìåíòà â ãðóïïå. Ïîðÿäêîì ýëåìåíòà x ãðóïïû G íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, òàêîå, ÷òî xn = e. Åñëè òàêîãî n íå
ñóùåñòâóåò, òî ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî x èìååò áåñêîíå÷íûé ïîðÿäîê. Åñëè ãðóïïà G
êîíå÷íà, òî âñå åå ýëåìåíòû èìåþò êîíå÷íûå ïîðÿäêè, ÿâëÿþùèåñÿ äåëèòåëÿ3
ìè |G|. Ïîðÿäîê ýëåìåíòà x îáîçíà÷àåòñÿ êàê |x|. Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå
ïîëåçíî ïðè îïðåäåëåíèè ïîðÿäêà çàäàííîãî ýëåìåíòà è ïðè íàõîæäåíèè ýëåìåíòà çàäàííîãî ïîðÿäêà.
Óòâåðæäåíèå (î ñâîéñòâàõ ïîðÿäêà). Ïóñòü G ãðóïïà, x ∈ G è
|x| = n. Òîãäà áóäóò ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
(1) xm = e òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà m äåëèòñÿ íà n,
(2) åñëè n = km, ãäå k è m íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî |xk | = m.
Êîëüöîì íàçûâàåòñÿ íåïóñòîå ìíîæåñòâî K ñ îïðåäåëåííûìè íà íåì áèíàðíûìè îïåðàöèÿìè + è · , òàêèìè, ÷òî (K, +) ýòî àáåëåâà ãðóïïà, (K, ·)
ïîëóãðóïïà, è îïåðàöèè + è · ñâÿçàíû çàêîíàìè äèñòðèáóòèâíîñòè. Åñëè
îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ â K êîììóòàòèâíà, òî K íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíûì
êîëüöîì, à åñëè îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ â K óíèòàðíà, òî K íàçûâàåòñÿ êîëüöîì ñ åäèíèöåé. Íåéòðàëüíûé ýëåìåíò ïî ñëîæåíèþ è åäèíè÷íûé ýëåìåíò ïî
óìíîæåíèþ (åñëè îí ñóùåñòâóåò) â K îáîçíà÷àþò ñèìâîëàìè 0 è 1.
×èñëîâûå êîëüöà. Îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ êîëüöàìè áóäóò Z , Q, R è C .
Êîëüöà âû÷åòîâ. Ïóñòü n ýòî íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Òîãäà êîëüöîì âû÷åòîâ Zn áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ðàçëè÷íûõ îñòàòêîâ
îò äåëåíèÿ öåëûõ ÷èñåë íà n, íà êîòîðîì îïðåäåëåíû îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è
óìíîæåíèÿ ïî ìîäóëþ n. Ñíà÷àëà ýëåìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ èëè óìíîæàþòñÿ
êàê îáû÷íûå ÷èñëà, à çàòåì ïîëó÷åííîå ÷èñëî äåëèòñÿ ñ îñòàòêîì íà n. Ýòîò
îñòàòîê è ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì îïåðàöèè.
Ïðèìåð 1.1.2. Ñîñòàâèì òàáëèöó ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ â êîëüöå Z3 :
X
0 0 0 1 1 1 2 2 2
Y
0 1 2 0 1 2 0 1 2
X+Y 0 1 2 1 2 0 2 0 1
XY 0 0 0 0 1 2 0 2 1
Ïóñòü K ýòî êîëüöî ñ åäèíèöåé. Ýëåìåíò a èç K íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò a−1 êîëüöà K , ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî: 1=a−1 a = aa−1 . Ìíîæåñòâî îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ êîëüöà K îáðàçóåò
ãðóïïó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ. Ýòà ãðóïïà íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïîé êîëüöà K è îáîçíà÷àåòñÿ êàê K ∗ .
Óòâåðæäåíèå (êðèòåðèé îáðàòèìîñòè â êîëüöå âû÷åòîâ).Ýëåìåíò
m îáðàòèì â êîëüöå Zn òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ÍÎÄ(m,n)=1.
Ïðèìåð 1.1.3. Íàéòè ãðóïïó îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ êîëüöà Z14 .
Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ êðèòåðèåì îáðàòèìîñòè â Zn . Ýëåìåíò m áóäåò
îáðàòèì â Z14 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ÍÎÄ(m,14)=1. Ñëåäîâàòåëüíî,
îáðàòèìûìè ýëåìåíòàìè â Z14 áóäóò 1, 3, 5, 9, 11 è 13.
4
Ïîëåì íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé, îòëè÷íîé îò 0, â êîòîðîì êàæäûé íåíóëåâîé ýëåìåíò îáðàòèì.
×èñëîâûå ïîëÿ. Îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ
ïîëÿìè áóäóò Q, R è C .
Ïîëÿ âû÷åòîâ. Êîëüöî Zp áóäåò ïîëåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà p - ýòî
ïðîñòîå ÷èñëî.
Êîíå÷íûå ïîëÿ. Ïîëå íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì, åñëè â íåì ñîäåðæèòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ.
Îñíîâíàÿ òåîðåìà î êîíå÷íûõ ïîëÿõ.
(1) Åñëè P ýòî êîíå÷íîå ïîëå, òî |P | = pn , ãäå p ïðîñòîå ÷èñëî, à n íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
(2) Äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p è äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ïîëå P , äëÿ êîòîðîãî |P | = pn .
(3) Åñëè P1 è P2 êîíå÷íûå ïîëÿ îäèíàêîâîãî ïîðÿäêà, òî îíè èçîìîðôíû.
Ââèäó äàííîé òåîðåìû êîíå÷íîå ïîëå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì ïîðÿäêîì, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïðèìàðíûì ÷èñëîì. Äëÿ êîíå÷íîãî ïîëÿ ïîðÿäêà
q ïðèíÿòî îáîçíà÷åíèå Fq èëè GF (q).
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ êîíå÷íîãî ïîëÿ. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ïîëå GF (q), q = pn , ãäå p ïðîñòîå ÷èñëî, à n íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
1) Íàõîäèòñÿ íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí f (x) ñ êîýôôèöèåíòàìè èç Zp ñòåïåíè n.
2) Ýëåìåíòû ïîëÿ GF (q) çàïèñûâàþòñÿ â âèäå ìíîãî÷ëåíîâ îò ïåðåìåííîé
α ñòåïåíè íå áîëüøåé ÷åì n − 1.
3) Óìíîæåíèå è ñëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ èç 2) îïðåäåëÿåòñÿ ïî ìîäóëþ f (x).
Ïðèìåð 1.1.4. Ïîñòðîèòü ïîëå F9 .
Ðåøåíèå. Òàê êàê 9 = 32 , òî p = 3, n = 2.
1)  êà÷åñòâå òðåáóåìîãî ìíîãî÷ëåíà âîçüìåì f (x) = x2 +1. Îí íåïðèâîäèì,
òàê íå èìååò êîðíåé â Z3 .
2) F9 = {0, 1, 2, α, α + 1, α + 2, 2α, 2α + 1, 2α + 2}
3)  ïîñòðîåííîì ïîëå f (α) = 0, ÷òî âëå÷åò α2 = 2.
Ñòðîåíèå ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïû êîíå÷íîãî ïîëÿ. Äëÿ êîíå÷íûõ ïîëåé ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà î ñòðîåíèè ìóëüòèïëèêàòèâíîé
ãðóïïû:
Òåîðåìà. Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà êîíå÷íîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé.
Äàííàÿ òåîðåìà ãîâîðèò î òîì, ÷òî â êîíå÷íîì ïîëå ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò β , íàçûâàåìûé ïðèìèòèâíûì, ñòåïåíÿìè êîòîðîãî èñ÷åðïûâàþòñÿ âñå
íåíóëåâûå ýëåìåíòû äàííîãî ïîëÿ. Åñëè èñõîäíîå ïîëå èìåëî ïîðÿäîê q , òî β
áóäåò ïðèìèòèâíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |β| = q − 1 â ãðóïïå Fq∗ .
5
Åñëè β ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíûì, òî β k áóäåò ïðèìèòèâíûì òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà ÍÎÄ(k,q-1)=1
Ïðèìåð 1.1.5. Â ïîëå F9 íàéòè âñå ïðèìèòèâíûå ýëåìåíòû.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ïîëå F9 , ïîñòðîåííîå â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. Ïóñòü
β = α + 1. Òîãäà, âû÷èñëÿÿ ñòåïåíè β , ìû ïîëó÷èì:
β 2 = (α + 1)2 = 2α,
β 3 = 2α(α + 1) = 2α + 1,
β 4 = (2α)2 = 2,
β 5 = 2(α + 1) = 2α + 2,
β 6 = 2α · 2 = α,
β 7 = 2(2α + 1) = α + 2,
β 8 = 22 = 1.
Èç äàííûõ âû÷èñëåíèé âèäíî, ÷òî |β| = 8 è β ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíûì.
Êðîìå β ïðèìèòèâíûìè áóäóò β 3 = 2α + 1, β 5 = 2α + 2 è β 7 = α + 2.
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
1. Ïîñòðîèòü ïîëÿ F4 , F8 , F16 , F27 .
2. Íàéòè âñå ïðèìèòèâíûå ýëåìåíòû ïîëåé èç çàäà÷è 1.
3. Ïîëå F25 ïîñòðîåíî ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíà f (x) = x2 + 2, α êîðåíü
äàííîãî ìíîãî÷ëåíà. Âû÷èñëèòü â ýòîì ïîëå: (3α + 2)−1 (α + 4)
∗
. Ïîëå F25 ïîñòðîåíî ñ
4. Îïðåäåëèòü ïîðÿäîê ýëåìåíòà 2α + 3 â ãðóïïå F25
2
ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíà f (x) = x + 3, α êîðåíü äàííîãî ìíîãî÷ëåíà.
∗
5. Â ãðóïïå F25
íàéòè ýëåìåíò ïîðÿäêà 6.
Òåìà 1.2. Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà è ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ
Âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì P íàçûâàåòñÿ íåïóñòîå ìíîæåñòâî
V , íà êîòîðîì îïðåäåëåíà áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ +, äëÿ ëþáîãî α ∈ P è äëÿ
ëþáîãî v ∈ V îïðåäåëåí ýëåìåíò αv ∈ V , è âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå àêñèîìû:
(1) (V, +) àáåëåâà ãðóïïà,
(2) (α + β)v = αv + βv äëÿ ëþáûõ α, β ∈ P , v ∈ V ,
(3) (αβ)v = α(βv) äëÿ ëþáûõ α, β ∈ P , v ∈ V ,
(4) α(v + w) = αv + αw äëÿ ëþáûõ α ∈ P , v, w ∈ V ,
(5) 1v = v äëÿ ëþáîãî v ∈ V .
Ýëåìåíòû èç V íàçûâàþò âåêòîðàìè, à ýëåìåíòû èç P ñêàëÿðàìè.
Íóëåâîé ýëåìåíò ãðóïïû (V, +) íàçûâàþò íóëåâûì âåêòîðîì è îáîçíà÷àþò
êàê ~0.
Ïðîñòðàíñòâî âåêòîð-ñòðîê Ïóñòü P ïîëå. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
P n = {(a1 , . . . , an )|ai ∈ P }. Îïåðàöèþ ñëîæåíèÿ îïðåäåëèì ïî ïðàâèëó :
(a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn ),
à îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð ïî ïðàâèëó:
α(a1 , . . . , an ) = (αa1 , . . . , αan ).
6
Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òî P n áóäåò âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä P îòíîñèòåëüíî äàííûõ îïåðàöèé. Áóäåì íàçûâàòü ýòî ïðîñòðàíñòâî
ïðîñòðàíñòâîì âåêòîð-ñòðîê äëèíû n íàä P . Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî
îïðåäåëèòü ïðñòðàíñòâî âåêòîð-ñòîëáöîâ âûñîòû n íàä P .
Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü. Ïóñòü v1 , . . . vm ñèñòåìà âåêòîðîâ èç V ,
C1 , . . . Cm ýëåìåíòû ïîëÿ P . Òîãäà âåêòîð C1 v1 + . . . + Cm vm íàçûâàåòñÿ
ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ v1 , . . . vm ñ êîýôôèöèåíòàìè C1 , . . . Cm .
Ñèñòåìà âåêòîðîâ v1 , . . . vm èç V íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé, åñëè
ðàâåíñòâî C1 v1 + . . . + Cm vm = ~0 âûïîëíÿòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
C1 = . . . = Cm = 0. Áåñêîíå÷íàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé, åñëè ëèíåéíî íåçàâèñèìà ëþáàÿ åå êîíå÷íàÿ ïîäñèñòåìà.
Áàçèñ. Ðàçìåðíîñòü. Êîîðäèíàòû âåêòîðà â áàçèñå. Ñèñòåìà âåêòîðîâ èç V íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè ëþáîé âåêòîð èç V ïðåäñòàâèì â âèäå
ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç äàííîé ñèñòåìû.
Ïîëíàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ èç V íàçûâàåòñÿ áàçèñîì.
Âåêòîðû áàçèñà, êàê ïðàâèëî, óïîðÿäî÷èâàþò îïðåäåëåííûì îáðàçîì, è â
äàëüíåéøåì ìû áóäåì ñ÷èòàòü áàçèñ óïîðÿäî÷åííîé ñèñòåìîé âåêòîðîâ.
Òåîðåìà Åñëè â ïðîñòðàíñòâå V ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé áàçèñ, òî ëþáîé
áàçèñ V êîíå÷åí, è âñå áàçèñû ñîäåðæàò îäíî è òî æå ÷èñëî âåêòîðîâ.
Ïðîñòðàíñòâî, èìåþùåå êîíå÷íûé áàçèñ, íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì, à êîëè÷åñòâî âåêòîðîâ â åãî áàçèñå íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ äàííîãî ïðîñòðàíñòâà.
Çàìå÷àíèå. Ïðîñòðàíñòâî, ñîäåðæàùåå òîëüêî íóëåâîé âåêòîð, òàêæå êîíå÷íîìåðíî, à åãî ðàçìåðíîñòü ñ÷èòàåòñÿ ðàâíîé 0.
Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà V îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì dim V .
Ïðèìåð 1.2.1. Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà P n ðàâíà n. Ñòàíäàðòíûì áàçèñîì P n áóäåò ñèñòåìà [e1 , . . . en ], ãäå
e1 = (1, 0, . . . , 0),
e2 = (0, 1, . . . , 0),
...
en = (0, 0, . . . , 1).
Ïóñòü [e1 , . . . en ] áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V íàä P , x ∈ V . Òîãäà êîîðäèíàòàìè
âåêòîðà x â áàçèñå [e1 , . . . en ] íàçûâàåòñÿ íàáîð (x1 , . . . xn ) ýëåìåíòîâ èç P ,
òàêîé ÷òî x = x1 e1 + . . . + xn en .
Çàìåòèì, ÷òî êîîðäèíàòû âåêòîðà â áàçèñå îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî. Ïðè
ñëîæåíèè âåêòîðîâ èõ êîîðäèíàòû ñêëàäûâàþòñÿ, à ïðè óìíîæåíèè âåêòîðà
íà ñêàëÿð åãî êîîðäèíàòû óìíîæàþòñÿ íà ýòîò ñêàëÿð.
7
Ïîäïðîñòðàíñòâà. Ñìåæíûå êëàññû. Ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàí-
ñòâî íàä P , L åãî íå ïóñòîå ïîäìíîæåñòâî. Òîãäà L íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì V , åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
(1) v + w ∈ L äëÿ ëþáûõ v, w ∈ L,
(2) αv ∈ L äëÿ ëþáûõ v ∈ L, α ∈ P .
Çàìåòèì, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâî L ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî ñóæåíèÿ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð.
Ïðèìåð 1.2.2. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé ñ
ìàòðèöåé
H íàä
P:
 


0
x1
 

.
. 
 

 



H . =
 . .
 

.
. 
 

0
xn
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî åå ðåøåíèé îáðàçóåò ïîäïðîñòðàíñòâî â
n
P . Áàçèñîì ýòîãî ïîäïðîñòðàíñòâà áóäåò ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé
äàííîé ñèñòåìû.
Òåîðåìà.Ëþáîå ïîäïðîñòðàíñòâî èç P n ìîæåò áûòü çàäàíî êàê ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé íåêîòîðîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé íàä
P.
Îïèøåì àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé,
çàäàþùèõ ïîäïðîñòðàíñòâî L â P n .
1. Íàõîäèòñÿ e1 , . . . em ïîëíàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ â L ( íàïðèìåð, áàçèñ L).
2. Êîîðäèíàòû âåêòðîâ e1 , . . . em çàïèñûâàþòñÿ â ìàòðèöó A.
3. Íàõîäèòñÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé f1 , . . . fk ñèñòåìû ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ
óðàâíåíèé


 
h1
0


 
 . 
.


 


 



A .  = 
 . .


 
 . 
.


 
hn
0
4. Êîîðäèíàòû âåêòîðîâ
f1 , . . . fk çàïèñûâàþòñÿ â ñòðîêè ìàòðèöû H .

 
x1
0


 
 . 
.


 


 



5. Ñèñòåìà H  .  = 
 .  áóäåò èñêîìîé.


 
 . 
.


 
xn
0
Ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä P , L åãî ïîäïðîñòðàíñòâî, x ∈ V .
Òîãäà ñìåæíûì êëàññîì V ïî L ñ ïðåäñòàâèòåëåì x íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
L + x = {v + x|v ∈ L}.









8
Ñìåæíûå êëàññû îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
(1) äâà ñìåæíûõ êëàññà V ïî L ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ëèáî ñîâïàäàþò,
(2) L + x = L + y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x − y ∈ L.
Óïðàæíåíèå Ïóñòü V n-ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä Fq , L åãî k -ìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Äîêàçàòü, ÷òî êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ñìåæíûõ
êëàññîâ V ïî L áóäåò â òî÷íîñòè q n−k .
Ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïóñòü V è W âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà
íàä P . Îòîáðàæåíèå ϕ : V → W íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì, åñëè
âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
(1) ϕ(v + w) = ϕ(v) + ϕ(w); v, w ∈ V (àääèòèâíîñòü),
(2) ϕ(αv) = αϕ(v); α ∈ P , v ∈ V (îäíîðîäíîñòü).
Ïóñòü ϕ : V → W ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, [e1 , . . . , ek ], [f1 , . . . , fn ] áàçèñû
V è W . Òîãäà ìàòðèöåé îòîáðàæåíèÿ ϕ â áàçèñàõ [e1 , . . . , ek ], [f1 , . . . , fn ]
íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà [ϕ], â i-ì ñòîëáöå êîòîðîé çàïèñàíû êîîðäèíàòû âåêòîðà
ϕ(ei ) â áàçèñå [f1 , . . . , fn ].
Ïóñòü ϕ : V → W ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, òîãäà îáðàçîì ϕ íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâî Im ϕ = {w ∈ W |∃v ∈ V, (, )ϕ(v) = w}, à ÿäðîì ϕ íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâî ker ϕ = {v ∈ V |ϕ(v) = ~0}.
ßäðî è îáðàç ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâàìè V è W
ñîîòâåòñòâåííî.
Óòâåðæäåíèå (êðèòåðèé èíúåêòèâíîñòè)Ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ èíúåêòèâíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî èìååò íóëåâîå ÿäðî.
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
1. Íàéòè áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé
H íàä ïîëåì
P:


1 1 0 1 0

a) H =
1 1 1 1
, P = F2 ;
0 0 1 0 1

1 2 2 1 0



b) H =  2 1 0 1 1 
, P = F 3 ;
0 1 1 0 2!
2 3 4 1 2
c) H =
, P = F5 ;
2 2 2 3 1
!
α+1
2
α
1
2
d) H =
,
2
2α + 1 2 α + 2 2
P = F9 , α êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x)!= x2 + 1;
3α + 2
2
α 2α 2
e) H =
,
4
2α + 3 2 α 4
P = F25 , α êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x) = x2 + 2.

1

9
2. Çàïèñàòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé, çàäàþùóþ ïîäïðîñòðàíñòâî L ïðîñòðàíñòâà Fq n :
a) L =< (1, 0, 1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 0, 0) >, q = 2;
b) L =< (1, 2, 1, 2, 1, 0), (1, 1, 2, 1, 0, 1), (0, 2, 1, 1, 2, 1) >, q = 3;
c) L =< (5, 3, 1, 2, 1), (6, 1, 4, 3, 1), (2, 1, 4, 1, 5) >, q = 7.
3. Âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè îòîáðàæåíèå ϕ ëèíåéíûì.  ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîãî îòâåòà çàïèñàòü ìàòðèöó ϕ â ñòàíäàðòíûõ áàçèñàõ, íàéòè áàçèñ ÿäðà è
îáðàçà.
a) ϕ : F22 → F24 ,
ϕ(a1 , a2 ) = (a1 + a2 , a21 + a22 , a1 + a2 , a31 + a2 )
b) ϕ : F32 → F34 ,
ϕ(a1 , a2 ) = (a1 + a2 , a21 , a32 , a1 + a2 )
c) ϕ : F52 → F54 ,
ϕ(a1 , a2 ) = (a1 + 3a2 , 2a1 + a2 , a1 , 4a2 )
Ðàçäåë 2. ÊÎÄÛ, ÈÑÏÐÀÂËßÞÙÈÅ ÎØÈÁÊÈ
Ïîäðîáíîå èçëîæåíèå ìàòåðèàëà ïî äàííîìó ðàçäåëó ìîæíî íàéòè â [1, 2,
3, 4, 5].
Òåìà 2.1. Îáùèå õàðàêòåðèñòèêè ëèíåéíûõ êîäîâ
Îñíîâíûå çàäà÷è òåîðèè êîäèðîâàíèÿ. Ðàññìîòðèì ñõåìó ïðîñòåé-
øåãî êàíàëà ñâÿçè, êîòîðûé ñîñòîèò èç îòïðàâèòåëÿ èíôîðìàöèè, ïîëó÷àòåëÿ
èíôîðìàöèè è èíôîðìàöèîííîãî êàíàëà. Èíôîðìàöèîííûé êàíàë ïîäâåðæåí
âíåøíèì âîçäåéñòâèÿì (òàê íàçûâàåìîìó øóìó), êîòîðûå èñêàæàþò ïðîõîäÿùóþ ïî íåìó èíôîðìàöèþ. Îòïðàâèòåëü çàèíòåðåñîâàí â òîì, ÷òîáû ïåðåäàâàåìàÿ èíôîðìàöèÿ äîøëà äî ïîëó÷àòåëÿ áåç îøèáîê è ÷òîáû äëÿ ýòîãî
ïîòðåáîâàëîñü êàê ìîæíî ìåíüøå âðåìåíè.
Óìåíüøèòü âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïðè ïåðåäà÷å ñîîáùåíèé ìîæíî ïóòåì ïåðåäà÷è äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè. Ðàññìîòðèì äâà ïðèìåðà, êîòîðûå èëëþñòðèðóþò äàííûé ïîäõîä.
Ïðèìåð 2.1.1. (Êîä ñ ïðîâåðêîé íà ÷åòíîñòü).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â êà÷åñòâå ïåðåñûëàåìûõ ñîîáùåíèé èñïîëüçóþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç 0 è 1. Ïðè ïåðåäà÷å ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (a1 , a2 , . . . , an )
äîáàâèì ê íåé îäèí äîïîëíèòåëüíûé ñèìâîë b, êîòîðûé ðàâåí 0, åñëè ÷èñëî
åäèíèö â èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷åòíî, è ðàâåí 1, åñëè ÷èñëî åäèíèö
â èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå÷åòíî. Òàêèì îáðàçîì, ïî èíôîðìàöèîííîìó êàíàëó ìû áóäåì ïåðåäàâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (a1 , a2 , . . . , an , b), êîòîðàÿ
ïîä âîçäåéñòâèåì ïîìåõ ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó (c1 , . . . , cn+1 ). Ýòî ñîîáùåíèå
è áóäåò àíàëèçèðîâàòüñÿ ïîëó÷àòåëåì. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî â îòïðàâëÿåìîì
ñîîáùåíèè ÷èñëî åäèíèö âñåãäà ÷åòíî. Ïîýòîìó âñÿêîå ñîîáùåíèå ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì åäèíèö áóäåò ïðîèíòåðïðåòèðîâàíî ïîëó÷àòåëåì êàê îøèáî÷íîå.
10
Äàííûé ñïîñîá êîäèðîâàíèÿ ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü íàëè÷èå â ïîëó÷åííîì ñîîáùåíèè îøèáêè, åñëè ÷èñëî èçìåíåííûõ ñèìâîëîâ íå÷åòíî.
Ïðèìåð 2.1.2. (Êîä ñ ïîâòîðåíèÿìè). Ïóñòü ïåðåäàâàåìàÿ èíôîðìàöèÿ îïÿòü èìååò âèä ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç 0 è 1. Ïðè ïåðåäà÷å ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (a1 , a2 , . . . , an ) çàïèøåì êàæäûé åå ñèìâîë òðè ðàçà. Òàêèì îáðàçîì, ïî èíôîðìàöèîííîìó êàíàëó ìû áóäåì ïåðåäàâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(a1 , a1 , a1 , a2 , a2 , a2 , . . . , an , an , an ), êîòîðàÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ïîìåõ ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó (c1 , . . . , c3n ). Ýòî ñîîáùåíèå ëîãè÷íî äåêîäèðîâàòü ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
1) âñå ïîëó÷åííûå ñèìâîëû ðàçáèâàþòñÿ íà n ãðóïï, êàæäàÿ èç êîòîðûõ
ñîñòîèò èç òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ
2) êàæäàÿ ãðóïïà äåêîäèðóåòñÿ ïî ïðèíöèïó "áîëüøèíñòâà ãîëîñîâ".
Ïðè òàêîì ñïîñîáå äåêîäèðîâàíèÿ ìû ïîëó÷èì èñõîäíîå ñîîáùåíèå, åñëè â
êàæäîì áëîêå èõ òðåõ ýëåìåíòîâ (ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîìó ñèìâîëó èñõîäíîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè) áóäåò íå áîëåå îäíîé îøèáêè.
Çàìåòèì, ÷òî êîä, îïèñàííûé â ïðèìåðå 2.1.2, ïîçâîëÿåò íå òîëüêî îáíàðóæèòü îøèáêè â ïîëó÷åííîì ñîîáùåíèè, íî è ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ
èñïðàâèòü èõ. Íî ýòî äîñòèãàåòñÿ çà ñ÷åò çíà÷èòåëüíîãî óäëèííåíèÿ îòïðàâëÿåìîãî ñîîáùåíèÿ. Ïîýòîìó, âûèãðûâàÿ â íàäåæíîñòè, ìû ïîëó÷àåì ïîòåðþ
âî âðåìåíè.
Îáû÷íî, ïðè ïîèñêå îïòèìàëüíîãî ñïîñîáà êîäèðîâàíèÿ íàêëàäûâàåòñÿ îãðàíè÷åíèå ëèáî íà äëèíó ïåðåäàâàåìîãî ñîîáùåíèÿ, ëèáî íà âåðîÿòíîñòü, õàðàêòåðèçóþùóþ íàäåæíîñòü ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè.
Ëèíåéíûå êîäû.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïåðåäàâàåìàÿ èíôîðìàöèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (a1 , . . . , an ), ãäå ai ∈ Fq ,
Fq êîíå÷íîå ïîëå ïîðÿäêà q . Áóäåì òàêæå ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïðè âîçäåéñòâèè øóìà ñèìâîëû ïåðåäàâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå èñ÷åçàþò, ê íèì íå
äîáàâëÿþòñÿ íîâûå, à âîçìîæíà ëèøü çàìåíà ai íà bi ∈ Fq . Êðîìå òîãî, áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïðàâèëüíîé ïåðåäà÷è ñèìâîëà ïîñòîÿííà, íå çàâèñèò
îò âèäà ñèìâîëà è îò åãî ïîëîæåíèÿ â ïåðåäàâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Åñëè ýòà âåðîÿòíîñòü áîëüøå 0.5, òî íàçîâåì êàíàë ñâÿçè "íàäåæíûì", è äàëåå
ñòàíåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òàêèå êàíàëû.
Ëèíåéíûì êîäèðîâàíèåì áóäåì íàçûâàòü èíúåêòèâíîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ϕ : Fqk → Fqn , ãäå k ≤ n.
Ïóñòü ϕ : Fqk → Fqn ëèíåéíîå êîäèðîâàíèå. Òîãäà îáðàç ϕ íàçûâàåòñÿ
ëèíåéíûì (n, k) êîäîì.
Çàìå÷àíèå.
Çàìåòèì, ÷òî ëèíåéíûé êîä ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì
âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà Fqn ðàçìåðíîñòè k . Î÷åâèäíî è òî, ÷òî ëþáîå ïîäïðîñòðàíñòâî Fqn ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ëèíåéíûé êîä.
11
Òàêèì îáðàçîì èçó÷åíèå ëèíåéíûõ êîäîâ ñâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ ïîäïðîñòðàíñòâ
èç Fqn .
Ïóñòü ϕ : Fqk → Fqn ëèíåéíîå êîäèðîâàíèå, C ëèíåéíûé êîä, îïðåäåëÿåìûé ϕ. Òîãäà ìàòðèöà G îòîáðàæåíèÿ ϕ, çàïèñàííàÿ â ñòàíäàðòíûõ áàçèñàõ,
íàçûâàåòñÿ ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé ëèíåéíîãî êîäà C .
Èç îïðåäåëåíèÿ ïîðîæäàþùåé ìàòðèöû ñëåäóåò, ÷òî â åå ñòîëáöàõ çàïèñàíû êîîðäèíàòû îáðàçîâ áàçèñíûõ âåêòîðîâ. Ïîýòîìó ñòîëáöû ïîðîæäàþùåé
ìàòðèöû îáðàçóþò áàçèñ ëèíåéíîãî êîäà.
Òàê êàê ëèíåéíûé êîä ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà
n
Fq , òî åãî ýëåìåíòû ìîæíî çàäàòü êàê ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåêîòîðîé ñèñòåìû
ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé.
Ïóñòü C ëèíåéíûé (n, k) êîä. Òîãäà ìàòðèöà H ðàçìåðà (n − k) × n
ñèñòåìû ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé, çàäàþùèõ C , íàçûâàåòñÿ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé êîäà C .
Çàìå÷àíèå. Çàìåòèì, ÷òî ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà H îïðåäåëÿåòñÿ íåîäíîçíà÷íî. Èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ G è H ìîæíî óâèäåòü, ÷òî ýòè ìàòðèöû
ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì HG = O (èëè Gt H t = Ot ), ãäå O íóëåâàÿ ìàòðèöà
ðàçìåðà (n − k) × k . Ëåãêî ïîêàçàòü òàêæå, ÷òî ëþáàÿ ìàòðèöà H 0 ðàçìåðà
(n−k)×n ðàíãà n−k ñî ñâîéñòâîì H 0 G = O áóäåò ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé êîäà
C . Ïîýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû ïî ïîðîæäàþùåé ìàòðèöå äîñòàòî÷íî íàéòè ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ
îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé Gt , êîòîðàÿ è áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñòðîêè ìàòðèöû H . Åñëè æå èçâåñòíà ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà, òî äëÿ íàõîæäåíèÿ
ïîðîæäàþùåé ìàòðèöû íàõîäÿò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé ñèñòåìû
ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé H , âåêòîðû êîòîðîé çàïèñûâàþò
â ñòîëáöû ìàòðèöû G.
Ïðèìåð 2.1.3. Òðåáóåòñÿ íàéòè ïîðîæäàþùóþ è ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöû
äëÿ êîäà ñ ïîâòîðåíèÿìè èç ïðèìåðà 2.1.2 ïðè n = 2.
Ðåøåíèå: Íàéäåì îáðàçû áàçèñíûõ âåêòîðîâ:
ϕ(e1 ) = (1, 1, 1, 0, 0, 0),
ϕ(e2 ) = (0, 0, 0, 1, 1, 1).
Çíà÷èò ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà äëÿ ýòîãî êîäà áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì
îáðàçîì:

G=
1 0

0


0

.
1


1

0 1

1


1


0


0

12
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû íàéäåì ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó
ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ
îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé Gt :


1 1 1 0 0
0 0 0 1 1
h1


h 
 2

!

0 
 h3 



1 
 h4 


h 
 5
0
=
.
0
!
h6
Âûðàçèì áàçèñíûå ïåðåìåííûå h1 è h4 ÷åðåç ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå h2 , h3 , h5 , h6 :
h1 = h2 + h3 ,
h4 = h5 + h6 .
Ïðèäàâàÿ ñâîáîäíûì ïåðåìåííûì ëèíåéíî-íåçàâèñèìûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì
ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé:
h1 h4 h2 h3 h5 h6
1 0 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1
Ñëåäîâàòåëüíî,
â êà÷åñòâå
ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû ìîæíî âçÿòü ìàòðèöó


1 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

.
H=
0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 1
Ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà ëèíåéíîãî (n, k)-êîäà C íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêîé,
åñëè îíà èìååò âèä:
!
Ek×k
,
G=
A(n−k)×k
ãäå Ek×k åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè k × k , à A(n−k)×k ïðîèçâîëüíàÿ
ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè (n − k) × k .
Çàìå÷àíèå. Åñëè ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà èìååò êàíîíè÷åñêèé âèä, òî êîäèðîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó a1 a2 . . . ak → a1 a2 . . . ak b1 . . . bn−k , ãäå
ñèìâîëû b1 . . . bn−k ëèíåéíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç a1 a2 . . . ak ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû
A.  ñëó÷àå êàíîíè÷åñêîãî êîäèðîâàíèÿ ïåðâûå k ñèìâîëîâ êîäîâîãî ñëîâà
íàçûâàþòñÿ èíôîðìàöèîííûìè, à ïîñëåäíèå n − k ïðîâåðî÷íûìè.

1


0

Òåîðåìà (Î êàíîíè÷åñêîì
âèäå ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû)
!
Ïóñòü G =
Ek×k
êàíîíè÷åñêàÿ ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà êîäà C .
A(n−k)×k
Òîãäà â êà÷åñòâå ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû êîäà C ìîæíî âçÿòü ìàòðèöó
H = ( A(n−k)×k E(n−k)×(n−k) )
13
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
1. Âûÿñíèòü, êàêèå îòáðàæåíèÿ èç F22 â F24 ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè êîäèðîâàíèÿìè è äëÿ ëèíåéíûõ êîäèðîâàíèé íàéòè ïîðîæäàþùóþ è ïðîâåðî÷íóþ
ìàòðèöó
ñîîòâåòñòâóþùåãî êîäà.
1) ϕ(a1 , a2 ) = (a1 + a2 , a41 + a32 , a1 + a22 , a1 + a2 )
2) ϕ(a1 , a2 ) = (a1 + a2 , a21 , a32 , a1 + a2 )
3) ϕ(a1 , a2 ) = (a1 + a2 , a1 + a42 , a1 , a22 )
4) ϕ(a1 , a2 ) = (a1 a2 , a21 , a32 , a1 )
5) ϕ(a1 , a2 ) = (a1 + a2 , a41 a2 , a1 + a2 , a1 )
6) ϕ(a1 , a2 ) = (a1 + a2 , a21 , a42 , a21 + a2 )
7) ϕ(a1 , a2 ) = (a1 + a2 , a1 a22 , a1 + a2 , a1 + a2 )
8) ϕ(a1 , a2 ) = (a31 + a2 , a21 , a31 , a1 + a2 )
2. Íàéòè ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó êîäà íàä Zp , åñëè èçâåñòíà åãî ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà


0 4

1


5
1)
, p = 7

2

5 2

3 1


7 5





2)  1 5 
, p = 11


3 2


5 9

3 1


1 0





3)  4 3 
, p = 5


3 2


1 4 

3 1


 7 10 




, p = 13
4) 
5
7




3
2 


3 9
3. Íàéòè ïîðîæäàþùóþ ìàòðèöó êîäà íàä Fq , åñëè èçâåñòíà åãî ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà.
!
2+α 2
α
1+α
1) H =
.
α
2 1+α
2α
Ïîëå F9 ïîñòðîåíî ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíà f (x) = x2 + 1 è f (α) = 0.

3


1


1

14
1 + 3α 4
2) H =
2α
3
Ïîëå F25 ïîñòðîåíî
5 α 6α
3) H =
α 6 4α
Ïîëå F49 ïîñòðîåíî
α
1 + 2α
.
1 + 2α
4α
ñ ïîìîùüþ
ìíîãî÷ëåíà f (x) = x2 + 2 è f (α) = 0.
!
1 + 4α
.
2+α
ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíà f (x) = x2 + 1 è f (α) = 0.
!
Òåìà 2.2. Ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ëèíåéíîãî êîäà
Ðàññòîÿíèå è âåñ Õýììèíãà. Ïóñòü x è y ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè Fqn . Ðàñ-
ñòîÿíèå Õýììèíãà ìåæäó x è y íàçûâàåòñÿ ÷èñëî d(x, y), ðàâíîå êîëè÷åñòâó
ðàçëè÷íûõ êîîðäèíàò ó x è y .
Ïðèìåð 2.2.1. Ïóñòü x è y ýëåìåíòàìû F35 ,
x = (1, 2, 0, 1, 2), y = (2, 1, 0, 1, 1). Òîãäà d(x, y) = 3.
Ñâîéñòâà ðàññòîÿíèÿ Õýììèíãà:
(1) d(x, y) ≥ 0 è d(x, y) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = y (ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü),
(2) d(x, y) = d(y, x) (ñèììåòðè÷íîñòü),
(3) d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà).
Äàííûå ñâîéñòâà ãîâîðÿò î òîì, ÷òî ðàññòîÿíèå Õýììèíãà ÿâëÿåòñÿ ìåòðèêîé íà Fqn .
Âåñîì Õýììèíãà ýëåìåíòà x íàçûâàåòñÿ ÷èñëî w(x) = d(x, ~0).
Âåñ Õýììèíãà è ðàññòîÿíèå Õýììèíãà ñâÿçàíû ðàâåñòâîì d(x, y) = w(x−y).
Ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå êîäà. Åñëè C ýòî êîä â Fqn , òî ìèíèìàëüíûì ðàññòîÿíèåì êîäà C íàçûâàåòñÿ ÷èñëî dmin (C) = min{d(x, y)|x, y ∈
C, x =
6 y}.
Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ëèíåéíîãî êîäà áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî
dmin (C) = min{w(x)|x ∈ C, x 6= ~0}.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî êîä îáíàðóæèâàåò t îøèáîê, åñëè ëþáîå ñîîáùåíèå,
ñîäåðæàùåå m îøèáîê, 0 < m ≤ t, áóäåò èíòåðïðåòèðîâàíî ïîëó÷àòåëåì êàê
íåâåðíîå. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî êîä èñïðàëÿåò t îøèáîê, åñëè ëþáîå ñîîáùåíèå, ñîäåðæàùåå m îøèáîê, 0 ≤ m ≤ t, áóäåò äåêîäèðîâàíî ïîëó÷àòåëåì ïðàâèëüíî.
Ïðè äåêîäèðîâàíèè ïî ïðèíöèïó ìàêñèìàëüíîé âåðîÿòíîñòè äëÿ ïîëó÷åííîãî ñîîáùåíèÿ y íàõîäÿò êîäîâîå ñîîáùåíèå x, äëÿ êîòîðîãî âåðîÿòíîñòü îòïðàâêè áóäåò ìàêñèìàëüíîé. Ïðè äåêîäèðîâàíèè â "áëèæàéøåãî ñîñåäà" äëÿ
ïîëó÷åííîãî ñîîáùåíèÿ y íàõîäÿò êîäîâîå ñîîáùåíèå x, äëÿ êîòîðîãî d(x, y)
ìèíèìàëüíî. Ïðè âûïîëíåíèè îïèñàííûõ ðàíåå ñîãëàøåíèé è îäèíàêîâîé
àïðèîðíîé âåðîÿòíîñòè îòïðàâêè äëÿ êîäîâûõ ñëîâ ýòè ñïîñîáû äåêîäèðîâàíèÿ áóäóò ýêâèâàëåíòíû.
Òåîðåìà (î ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèè).Ïóñòü C êîä â Fqn è
dmin (C) = d. Òîãäà C áóäåò îáíàðóæèâàòü d − 1 è èñïðàâëÿòü [(d − 1)/2]
îøèáîê.
15
Äàííàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå êîäà ÿâëÿåòñÿ
õàðàêòåðèñòèêîé åãî íàäåæíîñòè.
Òåîðåìà (î ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöå)Ïóñòü H ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà
êîäà C â Fqn , dim C = k , dmin (C) = d. Òîãäà áóäóò ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
óòâåðæäåíèÿ
(1) d ≥ s + 1 ⇐⇒ ëþáûå s + 1 ñòîëáöîâ H ëèíåéíî íåçàâèñèìû,
(2) d ≤ n − k + 1,
(3) d = n − k + 1 ⇐⇒ ëþáûå n − k ñòîëáöîâ H ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ dmin (C) ñ ïîìîùüþ äàííîé òåîðåìû îïðåäåëÿþò ìàêñèìàëüíîå s, äëÿ êîòîðîãî èñòèííî óòâåðæäåíèå As ={ ëþáûå s + 1 ñòîëáöîâ H
ëèíåéíî íåçàâèñèìû}. Òîãäà dmin (C) = s + 1.
Òåîðåìà (Ãðàíèöà Õýììèíãà) Ïóñòü C ëèíåéíûé êîä â Fqn , èñïðàâëÿþùèé t îøèáîê, dim C = k . Òîãäà áóäåò ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:
Pt
i
i
n−k
.
i=0 Cn (q − 1) ≤ q
Åñëè â ãðàíèöå Õýììèíãà äëÿ êîäà C äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî, òî C íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííûì êîäîì. Çàìåòèì, ÷òî ñîâåðøåííûå êîäû ÿâëÿþòñÿ êîäàìè
ñ îäíîçíà÷íûì äåêîäèðîâàíèåì. Èçâåñòíî, ÷òî ëþáîé ñîâåðøåííûé êîä ýêâèâàëåíòåí ëèáî êîäó Õýììèíãà, ëèáî îäíîìó èç êîäîâ Ãîëåÿ.
Òåîðåìà (Ãðàíèöà Ïëîòêèíà) Ïóñòü C ëèíåéíûé êîä â Fqn , dim C =
k , dmin (C) = d. Òîãäà áóäóò ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:
k
k−1
)
d ≤ n(qqk−q
.
−1
Ðàâåíñòâî â Ãðàíèöå Ïëîòêèíà áóäåò äîñòèãàòüñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà âñå íåíóëåâûå êîäîâûå ñëîâà èìåþò îäèí è òîò æå âåñ, è íå ñóùåñòâóåò
êîîðäèíàòû, ðàâíîé 0 äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ êîäà.
Ïðèìåð 2.2.2. Äàíà ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà áèíàðíîãî ëèíåéíîãî êîäà.
Íàéòè ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ýòîãî êîäà. Âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííûé
êîä ñîâåðøåííûì
è äîñòèãàåòñÿ ëè ðàâåíñòâî â ãðàíèöå Ïëîòêèíà.

1 0 1 0 1 0 1

H=
1 1 0 0 1 1
.
0 0 0 1 1 1 1
Ðåøåíèå. Áóäåì èñêàòü ìàêñèìàëüíîå s, äëÿ êîòîðîãî èñòèííî óòâåðæäåíèå As ={ ëþáûå s + 1 ñòîëáöîâ H ëèíåéíî íåçàâèñèìû}:
s = 1: A1 èñòèííî, òàê êàê â ìàòðèöå H íåò íóëåâûõ ñòîëáöîâ,
s = 2: A2 èñòèííî, òàê êàê â ìàòðèöå H íåò äâóõ îäèíàêîâûõ ñòîëáöîâ,
s = 3: A3 ëîæíî, òàê êàê â ìàòðèöå H ïåðâûå òðè ñòîëáöà ëèíåéíî çàâèñèìû (h1 + h2 + h3 = ~0).
Ïî òåîðåìå î ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöå ïîëó÷èì, ÷òî dmin (C) = 2 + 1 = 3.
Äàííûé êîä èñïðàâëÿåò 1 îøèáêó. Îïðåäåëèì åãî ïàðàìåòðû:
n = 7,
k = n − r(H) = 7 − 3 = 4.

0

16
Âûÿñíèì, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííûé êîä ñîâåðøåííûì. Çàïèøåì äëÿ íåãî ãðàíèöó Õýììèíãà:
P1
i
i=0 C7
≤ 27−4
1 + 7 ≤ 8. Âèäèì, ÷òî â ãàíèöå Õýììèíãà äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî, ñëåäîâàòåëüíî äàííûé êîä ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííûì.
Ãðàíèöà Ïëîòêèíà äëÿ äàííîãî êîäà ïðèîáðåòåò âèä:
4
−23 )
3 ≤ 7(224 −1
èëè
7·8
3 ≤ 15 .
Ñëåäîâàòåëüíî â ãðàíèöå Ïëîòêèíà ðàâåíñòâî íå äîñòèãàåòñÿ.
Òåîðåìà (Ãðàíèöà Ãèëüáåðòà Âàðøàìîâà) Ïóñòü n, q , k , d íàòóðàëüíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì:
(1) q ïðèìàðíîå ÷èñëî,
(2) d ≤ n − k + 1,
P
i
i
n−k
(3) d−2
.
i=0 Cn−1 (q − 1) < q
n
Òîãäà â Fq ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé êîä C , äëÿ êîòîðîãî dim C = k è
dmin (C) ≥ d.
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíûì è ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó äàííîãî êîäà. Ïåðâûå n − k ñòîëáöîâ âûñîòû
n−k ýòîé ìàòðèöû âûáèðàþòñÿ ïðîèçâîëüíî ñ óñëîâèåì ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè (ìîæíî âçÿòü ñòîëáöû åäèíè÷íîé ìàòðèöû). Äàëåå ïðîèñõîäèò äîáàâëåíèå
ñòîëáöîâ òàêèì îáðàçîì, ÷òî äîáàâëÿåìûé ñòîëáåö íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé íå áîëåå ÷åì d − 2 ñòîëáöîâ èç óæå âûáðàííûõ. Óñëîâèå (3) ãàðàíòèðóåò íàëè÷èå òàêîãî ñòîëáöà.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ ìàòðèöà, â êîòîðîé
ëþáûå d−1 ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Ïî òåîðåìå î ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöå ïîëó÷èì,
÷òî dmin (C) ≥ d.
Ïðèìåð 2.2.3. Çàäàíû ïàðàìåòðû k = 4, q = 2 è d = 4. Íàéòè ìèíèìàëüíîå n, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû Ãðàíèöà Ãèëüáåðòà Âàðøàìîâà è ïîñòðîèòü ñîîòâåòñòâóþùèé êîä.
Ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ d ≤ n − k + 1 ïîëó÷èì, ÷òî n ≥ 7.
P
i
i
n−k
Óñëîâèå d−2
ïåðåïèøåòñÿ â âèäå
i=0 Cn−1 (q − 1) < q
P2
i
n−4
.
i=0 Cn−1 < 2
Áóäåì ïðîâåðÿòü åãî âûïîëíåíèå äëÿ n ≥ 7:
n = 7: C60 + C61 + C62 = 1 + 6 + 15 < 23 = 8 ëîæíî,
n = 8: C70 + C71 + C72 = 1 + 7 + 21 < 24 = 16 ëîæíî
n = 9: C80 + C81 + C82 = 1 + 8 + 28 < 25 = 32 ëîæíî,
n = 10: C90 + C91 + C92 = 1 + 9 + 36 < 26 = 64 èñòèííî.
17
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòðèöû H ñíà÷àëà çàïèøåì 6 ñòîëáöîâ åäèíè÷íîé ìàòðèöû ðàçìåðà 6 × 6. Çàòåì áóäåì äîáàâëÿòü îòëè÷íûå îò íóëåâîãî ñòîëáöû,
êîòîðûå íå ñîâïàäàþò ñ óæå âûáðàííûìè è íå ÿâëÿþòñÿ ñóììîé äâóõ ñòîëáöîâ èç óæå âûáðàííûõ. Òàêèì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü ê ïðèìåðó òàêóþ
ìàòðèöó:


H=
1 0
1
0
0
0
0 0

0


0


0


0

0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1

1


0


0


1

1
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
1. Äàíà ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà áèíàðíîãî ëèíåéíîãî êîäà. Íàéòè ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ýòîãî êîäà. Âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííûé êîä ñîâåðøåííûì
è äîñòèãàåòñÿ ëè ðàâåíñòâî â ãðàíèöå Ïëîòêèíà.
0 1 1 0 0 1



1)  0 0 1 1 1 0 

1
0
1
0
1
1


0 1 1 0 0 1


0 0 1 1 1 0



2) 
1 0 1 0 1 1


1 1 1 1 11

0 1 1 1 0



3)  0 0 1 1 1 

1 0 1 0 1

1 1 1 0 0



4) 
0
1
1
1
1


1
0
1
0
1


0 1 1 0 0



5) 
 0 1 1 1 1 .
1 0 1 0 1
2. Çàäàíû ïàðàìåòðû k , q è d. Íàéòè ìèíèìàëüíîå n, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû Ãðàíèöà Ãèëüáåðòà Âàðøàìîâà è ïîñòðîèòü ñîîòâåòñòâóþùèé êîä.
1) k = 4, q = 3, d = 4
2) k = 5, q = 5, d = 4
3) k = 4, q = 2, d = 5
4) k = 6, q = 3, d = 4


18
Òåìà 2.3. Äåêîäèðîâàíèå ëèíåéíûõ êîäîâ
Ïóñòü C ëèíåéíûé êîä â Fqn ñ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé H . Äëÿ âåêòîðà y
èç Fqn îïðåäåëèì ñèíäðîì s(y) êàê âåêòîð-ñòîëáåö, âû÷èñëåííûé ïî ïðàâèëó:
s(y) = Hy t .
Ñâîéñòâà ñèíäðîìà:
(1) C + y = C + x ⇐⇒ s(y) = s(x),
(2) s(αx + βy) = αs(x) + βs(y),
(3) x ∈ C ⇐⇒ s(x) = ~0.
Ïóñòü M íå ïóñòîå ïîäìíîæåñòâî èç Fqn . Ëèäåðîì ìíîæåñâà M íàçûâàåòñÿ ýëåìåíò äàííîãî ìíîæåñâà, èìåþùèé íàèìåíüøèé âåñ Õýììèíãà.
Äåêîäèðîâàíèå ëèíåéíîãî êîäà ñ ïîìîùüþ òàáëèöû ñèíäðîìîâ è ëèäåðîâ
îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåìó àëãîðèòìó:
1.  êàæäîì ñìåæíîì êëàññå C + y îïðåäåëÿåòñÿ ëèäåð e, è âû÷èñëÿåòñÿ
åãî ñèíäðîì s(e). Åñëè ëèäåðîâ íåñêîëüêî, òî âûáèðàåòñÿ îäèí èç íèõ. Ñîñòàâëÿåòñÿ òàáëèöà, ñîäåðæàùàÿ ýëåìåíòû e è s(e) äëÿ âñåõ ñìåæíûõ êëàññîâ.
(Ýòè âû÷èñëåíèÿ ïðîäåëûâàþòñÿ îäèí ðàç äëÿ äàííîãî êîäà, è â äàëüíåéøåì
õðàíèòñÿ òîëüêî ïîëó÷åííàÿ òàáëèöà.)
2. Äëÿ äåêîäèðóåìîãî ñîîáùåíèÿ y âû÷èñëÿåòñÿ s(y).
3. Ïî íàéäåííîìó ñèíäðîìó íàõîäèòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèé åìó ëèäåð e â
òàáëèöå èç ï.1.
4. Ñîîáùåíèå y äåêîäèðóåòñÿ â x = y − e.
Ïðèìåð 2.3.1 Äàíà ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà áèíàðíîãî ëèíåéíîãî êîäà.
Ñîñòàâèòü ñïèñîê ñèíäðîìîâ è ëèäåðîâ.
Äåêîäèðîâàòü
ñîîáùåíèå
y.


1 0 1 1 1

1 1 0 1
H=
,
1 1 0 0 1
y = (1, 1, 1, 0, 1).
Ðåøåíèå. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîäîâûõ ñëîâ íàéäåì âñå ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé H .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ìíîæåñòâî C = {(0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0, 0)}. Çàìåòèì, ÷òî
|C| = 4, è êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ñìåæíûõ êëàññîâ áóäåò ðàâíî 25 /4 = 8. Âûïèøåì äàííûå êëàññû, âûáèðàÿ ïðåäñòàâèòåëåé òàê, ÷òî áû îíè íå âñòðå÷àëèñü
â óæå ïåðå÷èñëåííûõ êëàññàõ:
1) C + (0, 0, 0, 0, 0) = {(0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0, 0)},
2) C + (1, 0, 0, 0, 0) = {(1, 0, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0, 0)},
3) C + (0, 1, 0, 0, 0) = {(0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0, 0)},
4) C + (0, 0, 1, 0, 0) = {(0, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0, 0)},
5) C + (0, 0, 0, 1, 0) = {(0, 0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 0)},
6) C + (0, 0, 0, 0, 1) = {(0, 0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 0, 1)},

0

19
7) C + (1, 0, 0, 0, 1) = {(1, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 0, 1)},
8) C + (0, 0, 1, 0, 1) = {(0, 0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0, 1)}.
 êàæäîì ñìåæíîì êëàññå ïîä÷åðêíóòû ëèäåðû.
Òàáëèöà ñèíäðîìîâ è ëèäåðîâ áóäåò èìåòü âèä:
ëèäåð
ñèíäðîì
0
 
0
 
0
 
1
 
0
 
1
 
0
 
1
 
1
 
1
 
1
 
0
 
1
 
0
 
0
 
1
 
1
 
1
 
0
 
1
 
0
 
0
 
0
 
1

(0, 0, 0, 0, 0)
(1, 0, 0, 0, 0)
(0, 1, 0, 0, 0)
(0, 0, 1, 0, 0)
(0, 0, 0, 1, 0)
(0, 0, 0, 0, 1)
(1, 0, 0, 0, 1)
(0, 0, 1, 0, 1)

1
 
t

Äåêîäèðóåì ñîîáùåíèå y . Âû÷èñëèì s(y) = Hy = 
 1 . Ñîîòâåòñòâóþ1
ùèé ëèäåð e = (0, 0, 0, 0, 1). Òàêèì îáðàçîì y äåêîäèðóåòñÿ â x = y − e =
(1, 1, 1, 0, 0).

Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ

1. Äàíà ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà áèíàðíîãî ëèíåéíîãî êîäà.
Ñîñòàâèòü ñïèñîê ñèíäðîìîâ è ëèäåðîâ.
Äåêîäèðîâàòü
ñîîáùåíèå
y.


1)
0 1 1 0 0

0 1 1 1

1 0 1 0 1

0

20
y = (1, 1, 1, 1, 0)
0 1 1 0

0 0 1 1

2) 
1 0 1 0

1 1 1 1
y = (1, 1, 1, 1, 1)
1 1 1 0


3)  0 1 1 1
1 0 1 0
y = (1, 1, 1, 1, 1)
0 1 1 0

0 1 1 1

4) 
1 0 1 0

1 1 1 1
y = (1, 0, 1, 1, 1)
0

1

.
1

1

0

1
.
1

0

1

.
1

1

Òåìà 2.4. Äâîéñòâåííûé êîä. Ýêâèâàëåíòíûå êîäû
Îïðåäåëèì íà Fqn "ñêàëÿðíîå" ïðîèçâåäåíèå ïî ïðàâèëó (x, y) = ni=1 xi yi .
Îíî áóäåò îáëàäàòü ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
(1) (x, y) = (y, x),
(2) (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z).
Åñëè C ëèíåéíûé êîä â Fqn , òî äâîéñòâåííûì êîäîì ê C íàçûâàåòñÿ êîä
C ⊥ = {y ∈ Fqn |(x, y) = 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ C}.
Òåîðåìà (î äâîéñòâåííîì êîäå)Ïóñòü C ëèíåéíûé êîä â Fqn ñ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé H è ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé G. Òîãäà ìàòðèöà H t áóäåò
ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé, à Gt ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé äëÿ äâîéñòâåííîãî
êîäà.
Èç äàííîé òåîðåìû âûòåêàåò, ÷òî dim C ⊥ = n − dim C .
Ïóñòü C êîä â Fqn è σ ∈ Sn . Îïðåäåëèì êîä σ(C) ïî ïðàâèëó: σ(C) =
{(xσ(1) , . . . , xσ(n) |x ∈ C}.
Êîäû C1 è C2 â Fqn íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ
ïåðåñòàíîâêà σ ∈ Sn , ÷òî C2 = σ(C1 ).
Òåîðåìà (îá ýêâèâàëåíòíîì êîäå)Ïóñòü C ëèíåéíûé êîä â Fqn ñ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé H è ïîðîæäàþùåé ìàòðèöåé G, σ ∈ Sn è C 0 = σ(C).
Òîãäà ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà êîäà C 0 áóäåò ïîëó÷àòüñÿ èç H ïóòåì ïðèìåíåíèÿ ïåðåñòàíîâêè σ ê åå ñòîëáöàì, à ïîðîæäàþùàÿ ìàòðèöà C 0 ïîëó÷èòñÿ
èç G ïóòåì ïðèìåíåíèÿ ïåðåñòàíîâêè σ ê åå ñòðîêàì
P
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
1. Íàéòè ïîðîæäàþùóþ è ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó äâîéñòâåííîãî êîäà íàä
F9 åñëè èçâåñòíà ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà
H èñõîäíîãî êîäà.
!
H=
1 + 2α 2α 2 2 + α
.
1 + α 2α 1
2
21
Ïîëå ïîñòðîåíî ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíà f (x) = x2 + 1 è f (α) = 0.
2. Íàéòè ïîðîæäàþùóþ è ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó äâîéñòâåííîãî êîäà íàä
F9 åñëè èçâåñòíà ïîðîæäàþùàÿ
ìàòðèöà èñõîäíîãî êîäà.

2+α
2

α
1+α

.
G=
α
2 

1+α
2α
Ïîëå ïîñòðîåíî ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíà f (x) = x2 + 1 è f (α) = 0.
3. Äàíà ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà áèíàðíîãî ëèíåéíîãî êîäà C1 .
Çàïèñàòü ïîðîæäàþùóþ è ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó êîäà C2 , ýêâèâàëåíòíîãî
äàííîìó, åñëè ïåðåñòàíîâêà
σ , ïåðåâîäÿùàÿ C1 â C2 èìååò âèä (1, 4, 5)(2, 3).

0 1 1 0 0



H=
 0 1 1 1 1 .
1 0 1 0 1






Òåìà 2.5. Ñïåöèàëüíûå ëèíåéíûå êîäû
Êîäû Õýììèíãà. Ïóñòü m ≥ 2 íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Áèíàðíûì êîäîì
Õýììèíãà ñ ïàðàìåòðîì m íàçîâåì êîä íàä F2 , ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà êîòîðîãî ñîñòîèò èç âñåõ ðàçëè÷íûõ íåíóëåâûõ áèíàðíûõ ñòîëáöîâ âûñîòû m. Çàìåòèì, ÷òî êîä Õýììèíãà îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè, òàê êàê
ñòîëáöû ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû ìîæíî çàïèñûâàòü â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå.
Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü óïîðÿäî÷åííûå êîäû Õýììèíãà, ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà êîòîðûõ ñîäåðæèò â i-òîì ñòîëáöå áèíàðíóþ çàïèñü ÷èñëà i. Ðàçðÿäû
ñ÷èòàþòñÿ âîçðàñòàþùèìè ñâåðõó âíèç.
Ïðèìåð 2.5.1. Çàïèøåì ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó êîäà Õýììèíãà ñ ïàðàìåòðîì m = 3:

1 0 1 0 1 0 1



H=
 0 1 1 0 0 1 1 .
0 0 0 1 1 1 1
Òåîðåìà (î êîäàõ Õýììèíãà).Ïóñòü Cm áèíàðíûé êîä Õýììèíãà ñ
ïàðàìåòðîì m. Òîãäà áóäóò ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
(1) Cm ÿâëÿåòñÿ (2m − 1, m) - êîäîì. Åãî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ðàâíî
3.
(2) Cm ñîâåðøåííûé êîä, èñïðàâëÿþùèé îäíó îøèáêó.
Äåêîäèðîâàíèå óïîðÿäî÷åííûõ áèíàðíûõ êîäîâ Õýììèíãà î÷åíü ïðîñòîå.
Îíî îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåìó àëãîðèòìó:
1. Íàõîäèòñÿ s(y).
2. Ïî íàéäåííîìó s(y) îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëî i, áèíàðíàÿ çàïèñü êîòîðîãî
ñîäåðæèòñÿ â s(y).
3. Â ñîîáùåíèè y êîîððäèíàòà yi çàìåíÿåòñÿ íà yi .
22
Ïðèìåð 2.5.2. Äàí êîä Õýììèíãà (m=3) c óïîðÿäî÷åííîé ïðîâåðî÷íîé
ìàòðèöåé.
Äåêîäèðîâàòü ñîîáùåíèå y = (1, 0, 1, 1, 1, 1, 0).
Ðåøåíèå. 1. Íàéäåì s(y):
 
1
1 0 1 0 1 0

s(y) = 
0 1 1 0 0 1
0 0 0 1 1 1

 
0
 
 

1 
1
 
 
1
1
 

1 
1
 
1
 
1
 

=
 0 .
1


0
2. Íàõîäèì íîìåð êîîðäèíàòû, áèíàðíàÿ çàïèñü êîòîðîé ñîäåðæèòñÿ â s(y):
i = 5.
3. Äåêîäèðóåì ñîîáùåíèå, èçìåíèâ â íåì ïÿòóþ êîîðäèíàòó:
y → x = (1, 0, 1, 1, 0, 1, 0).
Äâîéñòâåííûé êîä ê áèíàðíîìó êîäó Õýììèíãà íàçûâàåòñÿ áèíàðíûì ñèìïëåêñíûì êîäîì.
Ïóñòü m ≥ 2 íàòóðàëüíîå ÷èñëî, q ïðèìàðíîå ÷èñëî. Îáîáùåííûì
êîäîì Õýììèíãà ñ ïàðàìåòðîì m íàä Fq íàçîâåì êîä, ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà
êîòîðîãî ñîñòîèò èç âñåõ ðàçëè÷íûõ íåïðîïîðöèîíàëüíûõ ñòîëáöîâ âûñîòû m
ñ êîôôèöèåíòàìè íàä Fq .
Ïðèìåð 2.5.3. Çàïèøåì ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó îáîáùåííîãî êîäà Õýììèíãà ñ ïàðàìåòðîì m =!2 íàä F3 :
0 1 1 1
H=
.
1 0 1 2
Òåîðåìà (îá îáîáùåííûõ êîäàõ Õýììèíãà).Ïóñòü Cm îáîáùåííûé
êîä Õýììèíãà ñ ïàðàìåòðîì m íàä Fq . Òîãäà áóäóò ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
óòâåðæäåíèÿ:
(1) Cm ÿâëÿåòñÿ ((q m −1)/(q−1), m) - êîäîì. Åãî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå
ðàâíî 3.
(2) Cm ñîâåðøåííûé êîä, èñïðàâëÿþùèé îäíó îøèáêó.
Äåêîäèðîâàíèå îáîáùåííûõ êîäîâ Õýììèíãà òîæå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì. Îíî
îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåìó àëãîðèòìó:
1. Íàõîäèòñÿ s(y).
2. Ïî íàéäåííîìó s(y) îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñëî i è ýëåìåíò ïîëÿ α, äëÿ êîòîðûõ
âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî αhi = s(y).
3. Â ñîîáùåíèè y êîîðäèíàòà yi çàìåíÿåòñÿ íà yi − α.
Ïðèìåð 2.5.4. Äëÿ êîäà èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà äåêîäèðîâàòü ñîîáùåíèå
y = (1, 2, 2, 1).
Ðåøåíèå. 1. Íàéäåì s(y):
23
1
!
! 

2
0 1 1 1 
2
 =
.
s(y) =

2
1 0 1 2 
2
1
2. Íàõîäèì íîìåð i ñòîëáöà, ïðîïîðöèîíàëüíîãî s(y), è êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè α:
i = 3, α = 2.
3. Äåêîäèðóåì ñîîáùåíèå, èçìåíèâ â íåì òðåòüþ êîîðäèíàòó:
y → x = (1, 2, 0, 1).
Á×Õ-êîäû. Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ýêâèâàëåíòíûå îïðåäåëåíèÿ äàííîãî
êëàññà êîäîâ. Ìû îïðåäåëèì èõ ÷åðåç ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó.
Ïóñòü q , n, c, d íàòóðàëüíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì:
(1) q ïðèìàðíîå ÷èñëî,
(2) ÍÎÄ(n, q) = 1,
(3) c ∈ {1, . . . , n − 1},
(4) 1 ≤ d ≤ n.
Òîãäà Á×Õ-êîäîì ñ ïàðàìåòðàìè q , n, c è êîíñòðóêòèâíûì ðàññòîÿíèåì
d íàçûâàåòñÿ êîä â Fqn , ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà êîòîðîãî èìååò âèä:


1
βc
β 2c
...
β (n−1)c


 1
β c+1
β 2(c+1) . . . β (n−1)(c+1) 


,


...
...
...
...
...


c+d−2
2(c+d−2)
(n−1)(c+d−2)
1 β
β
... β
ãäå β ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü èç 1 â íåêîòîðîì ðàñøèðåíèè ïîëÿ Fq .
Òåîðåìà (î Á×Õ-êîäàõ).Ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå Á×Õ-êîäà ñ êîíñòðóêòèâíûì ðàññòîÿíèåì d íå ìåíüøå ÷åì d.
Åñëè ïàðàìåòð c = 1, òî ñîîòâåòñòâóþùèé Á×Õ-êîä íàçûâàþò Á×Õ-êîäîì
â óçêîì ñìûñëå. Åñëè n = q − 1, òî äàííûé Á×Õ-êîä íàçûâàþò ïðèìèòèâíûì
Á×Õ-êîäîì.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöû Á×Õ-êîäà ïðèìåíÿþò ñëåäóþùèé
àëãîðèòì:
1. Íàõîäÿò ìèíèìàëüíîå m, òàêîå ÷òî q m − 1 äåëèòñÿ íà n.
2. Ñòðîÿò ïîëå Fqm .
3. Â ïîñòðîåííîì ïîëå íàõîäÿò ýëåìåíò β , èìåþøèé ïîðÿäîê n ïî óìíîæåíèþ.
4. Çàïèñûâàþò ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó.
Ïðèìåð 2.5.5. Çàïèñàòü ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó ìàòðèöó äëÿ ïðèìèòèâíîãî
Á×Õ-êîäà â óçêîì ñìûñëå ñ ïàðàìåòðàìè q = 7, d = 5.
Ðåøåíèå. Òàê êàê Á×Õ-êîä ïðèìèòèâåí, òî n = 6 è ýëåìåíò β íàõîäèòñÿ
â ïîëå F7 . Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òî â êà÷åñòâå β ìîæíî
âçÿòü 3. Èñêîìàÿ ìàòðèöà áóäåò èìåòü âèä:


24
1 3 2 6 4 5


1 2 4 1 2 4


.
H=
1 6 1 6 1 6


1 4 2 1 4 2
Äåêîäèðîâàíèå Á×Õ-êîäîâ ñâÿçàíî ñ ðåøåíèåì ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé,
íàõîæäåíèåì êîðíåé ìíîãî÷ëåíîâ è äèñêðåòíûì ëîãàðèôìèðîâàíèåì. Îïèøåì ñîîòâåòñòâóþùèé àëãîðèòì. Ïóñòü Á×Õ êîä èñïðàâëÿåò t = [d − 1]/2
îøèáîê.


s1


 . 





1. Íàõîäèòñÿ s(y) =  . 
.


 . 


sd−1
2. Íàõîäèòñÿ íàèáîëüøåå r ≤ t, òàêîå ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé
sj+r + τ1 sj+r−1 + . . . + τr sj = 0, 1 ≤ j ≤ r
ëèíåéíî íåçàâèñèìà.
3. Ïî ðåøåíèþ ñèñòåìû (τ1 , . . . , τr ) èç ï.2 ñîñòàâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåí îøèáîê
f (x) = 1 + τ1 x + τ2 x2 + . . . + τr xr è íàõîäÿòñÿ åãî êîðíè (x1 , . . . , xr ).
4. Íàõîäÿòñÿ ëîêàòîðû îøèáîê (ν1 , . . . , νr ), ãäå νi = x−1
i .
5. Îïðåäåëÿþòñÿ ìåñòà (m1 , . . . , mr ), ñîîòâåòñòâóþùèå íåíóëåâûì êîîðäèíàòàì â âåêòîðå îøèáîê e èñõîäÿ èç ðàâåíñòâà β mi = νi . Ìåñòà íóìåðóþòñÿ
íà÷èíàÿ ñ 0.
6. Îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ îøèáîê (1 , . . . , r ) èç ñèñòåìû óðàâíåíèé
c1 ν1j + . . . + cr νrj = sj , 1 ≤ j ≤ r
7. Ñîñòàâëÿåòñÿ âåêòîð îøèáîê e, ó êîòîðîãî íà ìåñòå mi çàïèñûâàåòñÿ ci ,
à îñòàëüíûå êîîðäèíàòû îáíóëÿþòñÿ.
8. Ñîîáùåíèå y äåêîäèðóåòñÿ â x = y − e.
Ïðèìåð 2.5.6. Ðàññìàòðèâàåòñÿ Á×Õ-êîä èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà. Äåêîäèðîâàòü ñîîáùåíèå y = (2, 2, 3, 2, 2, 1).
Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì îïèñàííûé âûøå àëãîðèòì.
 
2

 
 

1 3 2 6 4 5 2
4


 
 
1 2 4 1 2 43
0
 
 

   =  .
1. Âû÷èñëèì s(y) = 
1 6 1 6 1 62
2

 
 
 


1 4 2 1 4 2 2
0
1
2. Ñîñòàâèì è ðåøèì ñèñòåìó äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà
îøèáîê. Çàìåòèì ÷òî â äàííîì ñëó÷àå r = 2.





2 + 0τ1 + 4τ2 = 0
0 + 2τ1 + 0τ2 = 0
25
Ïîëó÷èì τ1 = 0, τ2 = 3.
3. Ñîñòàâèì ìíîãî÷ëåí îøèáîê è íàéäåì åãî êîðíè.
f (x) = 1 + 3x2 ,
1 + 3x2 = 0,
x1 = 3, x2 = 4.
4. Íàéäåì ëîêàòîðû îøèáîê:
ν1 = 3−1 = 5, ν2 = 4−1 = 2.
5. Îïðåäåëèì ìåñòà îøèáîê:
5 = 3m1 , ÷òî âëå÷åò m1 = 5,
2 = 3m2 , ÷òî âëå÷åò m2 = 2.
6. Íàéäåì çíà÷åíèÿ îøèáîê.



5c1 + 2c2 = 4
4c1 + 4c2 = 0
Ïîëó÷àåì c1 = 6, c2 = 1.
7. Çàïèñûâàåì âåêòîð îøèáîê:
e = (0, 0, 1, 0, 0, 6).
8. Äåêîäèðóåì ïîëó÷åííîå ñîîáùåíèå:
y → x = y − e = (2, 2, 2, 2, 2, 2).
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
1. Äàí êîä Õýììèíãà (m=4) c óïîðÿäî÷åííîé ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé.
Äåêîäèðîâàòü ñîîáùåíèå 100010111111100.
2. Äàí êîä Õýììèíãà (m=4) c óïîðÿäî÷åííîé ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöåé.
Äåêîäèðîâàòü ñîîáùåíèå 100111101110011.
3. Çàïèñàòü ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó äëÿ îáîáùåííîãî êîäà Õýììèíãà ñ ïàðàìåòðîì m = 3 íàä F3 .
4. Çàïèñàòü ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó äëÿ áèíàðíîãî ñèìïëåêñíîãî êîäà ñ ïàðàìåòðîì m = 3.
5. Çàïèñàòü ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó äëÿ áèíàðíîãî ñèìïëåêñíîãî êîäà ñ ïàðàìåòðîì m = 4.
6. Çàïèñàòü ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó ìàòðèöó äëÿ ïðèìèòèâíîãî Á×Õ-êîäà
â óçêîì ñìûñëå ñ ïàðàìåòðàìè q = 11, d = 5.
7. Çàïèñàòü ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó ìàòðèöó äëÿ Á×Õ-êîäà
â óçêîì ñìûñëå ñ ïàðàìåòðàìè n = 12, q = 5, d = 3.
8. Çàïèñàòü ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó ìàòðèöó äëÿ Á×Õ-êîäà
â óçêîì ñìûñëå ñ ïàðàìåòðàìè n = 8, q = 7, d = 5.
9. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèìèòèâíûé Á×Õ-êîä â óçêîì ñìûñëå ñ ïàðàìåòðàìè
q=13, d=5. Ýëåìåíò β = 2. Íàéòè âåêòîð îøèáîê, åñëè èçâåñòåí ñèíäðîì s(y)
ïîëó÷åííîãî ñîîáùåíèÿ y :
26
0
 
4

 ,
a) s(y) = 
4
 
2 

9


 1 


,
b) s(y) = 
 4 


11
 
1
 
9

 .
c) s(y) = 
7
 
5


ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1. Âåðíåð, Ì. Îñíîâû êîäèðîâàíèÿ / Ì. Âåðíåð. Ì.: Òåõíîñôåðà, 2004.
2. Ãàëëàãåð, Ð. Òåîðèÿ èíôîðìàöèè è íàäåæíàÿ ñâÿçü / Ð. Ãàëëàãåð. Ì.:
Ñîâ. Ðàäèî, 1974.
3. Äóõèí, À. À. Òåîðèÿ èíôîðìàöèè: ó÷åáíîå ïîñîáèå / À. À. Äóõèí. Ì.:
Ãåëèîñ ÀÐÂ, 2007.
4. Ëèäë, Ð. Êîíå÷íûå ïîëÿ / Ð. Ëèäë, Ã. Íèäåððàéòåð. Ì.: Ìèð, 1988.
5. Ìàê-Âèëüÿìñ, Ô.Äæ. Òåîðèÿ êîäîâ, èñïðàâëÿþùèõ îøèáêè / Ô. Äæ.
Ìàê-Âèëüÿìñ , Í.Äæ.Ë.Ñëîýí. Ì.: Ñâÿçü, 1979
27
ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
Методические указания
к практическим занятиям
Техн. редактор А.В. Миних
Издательский центр Южно-Уральского государственного университета
Подписано в печать 30.12.2014. Формат 60×84 1/16. Печать цифровая.
Усл. печ. л. 1,63. Тираж 30 экз. Заказ 793/640.
Отпечатано в типографии Издательского центра ЮУрГУ.
454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76.