Ëåêöèè ïî òåîðèè ÷èñåë
À.Ñòàðîëåòîâ
Ëåêöèÿ 1
Ïîëå àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë è êîëüöî öåëûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë
Ïîä êîëüöîì áóäåì ïîíèìàòü àññîöèàòèâíîå êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé. Òàêæå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïîäêîëüöà â êîëüöå ñîäåðæàò åäèíèöó êîëüöà.
Çàìå÷àíèå.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè R êîëüöî, òî ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ R[x] îò ïåðåìåííîé x òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì. Àíàëîãè÷íî R[x, y] := (R[x])[y] è, áîëåå îáùå, R[x1 , . . . , xn ] :=
(R[x1 , . . . , xn−1 ])[xn ] êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.
Ñâîéñòâà.
Íàïîìíèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâ.
1. Åñëè f (x) ∈ R[x] íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí, òî f (x) çàïèñûâàåòñÿ åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì â âèäå f = a0 + a1 x + . . . + an xn , ãäå ai ∈ R è an ̸= 0. Êîýôôèöèåíò a0 íàçûâàåòñÿ
ñâîáîäíûì, à an ñòàðøèì. ×èñëî n íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ ìíîãî÷ëåíà è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç deg f . Ïî îïðåäåëåíèþ ñ÷èòàåì, ÷òî deg 0 = −∞.
2. Åñëè f, g ∈ R[x], òî deg(f + g) ⩽ max(deg(f ), deg(g)) è â ñëó÷àå ïîëÿ deg(f g) =
deg(f ) + deg(g).
3. Åñëè R ïîëå è f, g ∈ R[x], ãäå g ̸= 0, òî ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå ìíîãî÷ëåíû
q(x), r(x) ∈ R[x] òàêèå, ÷òî f (x) = q(x)g(x) + r(x) è deg(r) < deg(g).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî S ïîäêîëüöî â êîëüöå R. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòîâ r1 , . . . , rm ∈ R îïðåäåëèì
Îïðåäåëåíèå.
S[r1 , . . . , rm ] := {f (r1 , . . . , rm ) | f ∈ S[x1 , . . . , xm ]}.
Òîãäà S[r1 , . . . , rm ] ÿâëÿåòñÿ ïîäêîëüöîì â R. Çàìåòèì, ÷òî åñëè S ïîëå, òî S[r1 , . . . , rm ]
ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä S .
Óïðàæíåíèå.
òû r1 , . . . , rm .
S[r1 , . . . , rm ] íàèìåíüøåå ïîäêîëüöî â R, êîòîðîå ñîäåðæèò S è ýëåìåí-
×èñëî α ∈ C íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì, åñëè ñóùåñòâóåò íåíóëåâîé
ìíîãî÷ëåí f (x) ∈ Q[x] òàêîé, ÷òî f (α) = 0. Ìíîæåñòâî âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A. Åñëè α ∈ C \ A, òî α íàçûâàåòñÿ òðàíñöåíäåíòíûì ÷èñëîì.
Îïðåäåëåíèå.
Åñëè α ∈ Q, òî α êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x) = x − α ∈ Q[x], ïîýòîìó Q ⊆ A. Äëÿ
÷èñëà i + 1 íàõîäèì, ÷òî (i + 1)2 = 2(i + 1) − 2, ïîýòîìó f (i + 1) = 0 äëÿ f (x) = x2 − 2x + 2.
×èñëà e è π ÿâëÿþòñÿ òðàíñöåíäåíòíûìè (äîêàæåì ïîçæå).
Ïðèìåð.
Ëåììà 1.1.
Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ äëÿ α ∈ C ýêâèâàëåíòû.
1) α ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì;
2) Q[α] êîíå÷íîìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä Q.  ýòîì ñëó÷àå, åñëè m =
dimQ Q[α], òî â êà÷åñòâå áàçèñà ìîæíî âçÿòü ýëåìåíòû 1, α, . . . , αm−1 .
3) Q[α] ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.
1
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè α = 0, òî âñå 3 ïóíêòà òðèâèàëüíî âûïîëíåíû, ïîýòîìó ñ÷èòàåì
äàëåå, ÷òî α ̸= 0.
1) =⇒ 2): Ïóñòü α ∈ A. Òîãäà íàéäåòñÿ ìíîãî÷ëåí f (x) = a0 +a1 x+. . .+an xn , ãäå ai ∈ Q
n−1
.
è an ̸= 0, òàêîé, ÷òî 0 = f (α) = a0 +a1 α +. . .+an αn . Òîãäà αn = − aan0 − aan1 α −. . .− an−1
an α
n
Çíà÷èò, åñëè ðàññìàòðèâàòü Q[α] êàê âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, ïîëó÷àåì, ÷òî α ∈ U =
⟨1, α, . . . , αn−1 ⟩Q .
Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî k , ÷òî αk ∈ U . Ïîíÿòíî, ÷òî ýòî âåðíî ïðè k ≤ n − 1, êðîìå òîãî
ìû äîêàçàëè ýòî óòâåðæäåíèå ïðè k = n. Ïîêàæåì ïåðåõîä èíäóêöèè îò k ê k + 1. Ïóñòü
n−1
n−1
P
P
λi αi . Òîãäà αk+1 = α · αk =
λi αi+1 . Ïîñêîëüêó i + 1 ≤ n, òî êàæäîå ñëàãàåìîå
αk =
i=1
i=1
λi αi+1 ëåæèò â U , ïîýòîìó αk+1 ∈ U . Ïåðåõîä
P äîêàçàí.
Êàæäûé ýëåìåíò β ∈ Q[α] èìååò âèä
λi αi , ãäå i ïðîáåãàåò êîíå÷íîå ìíîæåñòâî èíäåêñîâ, ïîýòîìó â ñèëó äîêàçàííîãî β ∈ U . Çíà÷èò Q[α] ⊆ U è ïîýòîìó Q[α] = U . Ïóñòü
òåïåðü m = dimQ Q[α]. Ðàññìîòðèì ýëåìåíòû 1, α, . . . , αm−1 . Åñëè îíè ëèíåéíî çàâèñèìû,
òî íàéäåòñÿ èíäåêñ i ≤ m − 1 òàêîé, ÷òî αi ∈ ⟨1, α, . . . , αi−1 ⟩Q . Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèå âûøå, ïîëó÷àåì, ÷òî Q[α] = ⟨1, α, . . . , αi−1 ⟩Q ; ïðîòèâîðå÷èå, ïîñêîëüêó ⟨1, α, . . . , αi−1 ⟩Q èìååò
ðàçìåðíîñòü íå áîëåå m − 1. Çíà÷èò m ýëåìåíòîâ 1, α, . . . , αm−1 ëèíåéíî íåçàâèñèìû â Q[α],
ïîýòîìó îáðàçóþò áàçèñ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà.
2) =⇒ 3). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n = dimQ Q[α] < ∞. ×òîáû ïðîâåðèòü, ÷òî êîëüöî Q[α]
ÿâëÿåòñÿ ïîëåì, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîé íåíóëåâîé ýëåìåíò îáðàòèì. Ïîêàæåì,
÷òî α îáðàòèì. Ìû çíàåì, ÷òî 1, α, . . . , αn−1 áàçèñ Q[α], ïîýòîìó íàéäóòñÿ ci ∈ Q òàêèå,
n−1
P
÷òî αn =
ci αi . Çàìåòèì, ÷òî c0 ̸= 0, èíà÷å ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî ïîäåëèòü (â C) íà α è
i=1
ïîëó÷èòü ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü íàáîðà 1, α, . . . , αn−1 , ÷òî íåâåðíî. Ñëåäîâàòåëüíî,
αn − c1 α − c2 α2 − . . . − cn−1 αn−1 = c0 ⇔ α ·
1 n−1
(α
− c1 − c2 α − . . . − cn−1 αn−2 ) = 1,
c0
òî åñòü ìû íàøëè îáðàòíûé ê α â Q[α]. Ïóñòü òåïåðü β ∈ Q[α] \ {0}. Òîãäà êîëüöî Q[α]
ñîäåðæèò Q è β , ïîýòîìó Q[β] ⊆ Q[α]. Çíà÷èò Q[β] ïîäïðîñòðàíñòâî â Q[α], ïîýòîìó îíî
êîíå÷íîìåðíî. Ñëåäîâàòåëüíî, íàøå ðàññóæäåíèå ðàáîòàåò è äëÿ β â Q[β]: β1 ∈ Q[β] ⊆ Q[α].
3) =⇒ 1). Ïóñòü Q[α] ïîëå. Òîãäà α1 ∈ Q[α], ïîýòîìó íàéä¼òñÿ íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí
f ∈ Q[x] òàêîé, ÷òî f (α) = α1 . Çíà÷èò α êîðåíü íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëåíà xf (x) − 1 è,
ñëåäîâàòåëüíî, α ∈ A.
Åñëè α1 , . . . , αn àëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëà è dimQ (Q[αi ]) = ki ïðè 1 ⩽
i ⩽ n, òî dimQ Q[α1 , . . . , αn ] ⩽ k1 k2 · · · kn .  ÷àñòíîñòè, ëþáîé ýëåìåíò èç Q[α1 , . . . , αn ]
ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì.
Ïðåäëîæåíèå 1.2.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ëåììû 1.1 ïîëó÷àåì, ÷òî Q[αi ] = ⟨1, αi , . . . , αiki −1 ⟩Q . Ëþáîé ýëåìåíò
èç Q[α1 , . . . , αn ] ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé ñóììîé ñëàãàåìûõ âèäà c · α1m1 · · · αnmn . Êàæäûé ìíîæèòåëü αimi çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ýëåìåíòîâ 1, αi , . . . , αiki −1 . Ïîñëå
ðàñêðûòèÿ ñêîáîê â ïðîèçâåäåíèè ýòèõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ÷èñëî c · α1m1 · · · αnmn ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ÷èñåë α1t1 · · · αntn , ãäå 0 ⩽ t1 ⩽ k1 − 1, . . . , 0 ⩽ tn ⩽
kn − 1. Çíà÷èò, Q[α1 , . . . , αn ] ñîâïàäàåò ñ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ýòèõ ýëåìåíòîâ è ïîýòîìó
dimQ Q[α1 , . . . , αn ] ⩽ k1 · k2 · · · kn .
Åñëè α ∈ Q[α1 , . . . , αn ], òî Q[α] ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì â Q[α1 , . . . , αn ], ïîýòîìó îíî
êîíå÷íîìåðíî. Ïî ëåììå 1.1 ïîëó÷àåì, ÷òî α ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì.
Óïðàæíåíèå.
Åñëè, α1 , . . . , αn ∈ A, òî Q[α1 , . . . , αn ] ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.
Íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí f (x) ∈ F[x] íàçûâàåòñÿ óíèòàðíûì, åñëè åãî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ðàâåí 1.
Îïðåäåëåíèå.
Åñëè α ∈ A, òî α ÿâëÿåòñÿ êîðíåì íåêîòîðîãî íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëåíà èç
Q[x]. Ïîäåëèâ ìíîãî÷ëåí íà ñòàðøèé êîýôôèöèåíò âñåãäà ìîæíî ïîëó÷èòü óíèòàðíûé
ìíîãî÷ëåí, èìåþùèé òî æå ìíîæåñòâî êîðíåé, ÷òî è èñõîäíûé. Óíèòàðíûé ìíîãî÷ëåí
íàèìåíüøåé ñòåïåíè, êîðíåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ α, íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì ìíîãî÷ëåíîì äëÿ α è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç µα (x).
Îïðåäåëåíèå.
2
Çàìå÷àíèå. Ýòîò ìíîãî÷ëåí îïðåäåë¼í îäíîçíà÷íî: åñëè f è g äâà ðàçëè÷íûõ óíèòàðíûõ ìíîãî÷ëåíà îäèíàêîâîé ñòåïåíè è f (α) = g(α), òî f − g íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí
ìåíüøåé ñòåïåíè è (f − g)(α) = 0.
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1) Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí àëãåáðàè÷åñêîãî ÷èñëà íåïðèâîäèì â Q[x];
2) Åñëè α ∈ A è g(α) = 0, òî g äåëèò µα .
3) Óíèòàðíûé íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåíîì äëÿ ëþáîãî
èç ñâîèõ êîðíåé;
4) Âñå êîìïëåêñíûå êîðíè íåïðèâîäèìîãî íàä Q ìíîãî÷ëåíà ðàçëè÷íû.
Ëåììà 1.3.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî α ∈ A è µα (x) ïðèâîäèì, ò.å. µα (x) = g(x)h(x), ãäå
deg g, deg h < deg µα . Òîãäà 0 = µα (α) = g(α)h(α). Çíà÷èò, g(α) = 0 èëè h(α) = 0, ÷òî íåâîçìîæíî ïîñêîëüêó ýòè ìíîãî÷ëåíû èìåþò ìåíüøóþ ñòåïåíü, ÷åì ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî α ∈ A è g(α) = 0. Ðàçäåëèì g íà µα ñ îñòàòêîì: g(x) = q(x)µα (x) +
r(x), ãäå deg r < deg µα . Òîãäà 0 = g(α) = q(α)µα (α) + r(α) è ïîýòîìó r(α) = 0. Ïîñêîëüêó
deg r < deg µα , òî r(x) = 0. Çíà÷èò g äåëèòñÿ íà µα .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî α êîðåíü óíèòàðíîãî íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåí f ∈ Q[x]. Ïî ïðåäûäóùåìó ïóíêòó f (x) äåëèòñÿ íà µα (x).  ñèëó íåïðèâîäèìîñòè f ïîëó÷àåì, ÷òî f = cµα ,
ãäå c ∈ Q. Ïîñêîëüêó ìíîãî÷ëåíû f è µα óíèòàðíû, òî c = 1 è f = µα .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f ∈ Q íåïðèâîäèì è èìååò êðàòíûé êîðåíü β . Òîãäà f (x) = (x −
β)k g(x), ãäå k ⩾ 2 è g(x) ∈ C[x], â ÷àñòíîñòè deg f ≥ 2. Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî,
íàõîäèì, ÷òî f ′ (x) = (x−β)k−1 (kg(x)+(x−β)g ′ (x)). Çíà÷èò β êîðåíü f ′ . Ïî ïðåäûäóùåìó
ïóíêòó deg f = deg µβ . Òîãäà f ′ (β) = 0 è f ′ èìååò ñòåïåíü, ìåíüøóþ ÷åì deg µβ , ïðè ýòîì
deg f ′ = deg f − 1 ≥ 1; ïðîòèâîðå÷èå ñ ìèíèìàëüíîñòüþ µα .
Ñòåïåíü ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà µα (x) íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ
àëãåáðà√
è÷åñêîãî ÷èñëà α è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç deg α. Ïðèìåð: i èìååò ñòåïåíü 2, à 3 2 ñòåïåíü
3.
Îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè α àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî, òî êîðíè åãî ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà
íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæ¼ííûìè ñ α.  ñèëó ëåììû 1.3 α èìååò â òî÷íîñòè deg µα ñîïðÿæ¼ííûõ ñ íèì ÷èñåë. Ïðèìåð −i ñîïðÿæ¼í ñ i.
Åñëè α ∈ A, òî dimQ Q[α] = deg µα (x).
Óïðàæíåíèå.
Ëåêöèÿ 2
Îïðåäåëåíèå. Ïîëå F íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì, åñëè âñÿêèé ìíîãî÷ëåí èç
F[x] íåíóëåâîé ñòåïåíè èìååò õîòÿ áû îäèí êîðåíü â F. Ïðèìåð: ïîëå C ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì. Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå: ëþáîé ìíîãî÷ëåí èç F ïîëîæèòåëüíîé
ñòåïåíè ðàñêëàäûâàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé â F[x].
Åñëè E ïîäïîëå â àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîì ïîëå F , òî àëãåáðàè÷åñêèì
çàìûêàíèåì ïîëÿ E íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîå ïîäïîëå E â F ,
ñîäåðæàùåå E :
\
E=
K.
Îïðåäåëåíèå.
E⊆K⊆F,K
àëã. çàìêíóòî
Ïðèìåð: R = C = C.
Çàìå÷àíèå.  êóðñå òåîðèè Ãàëóà äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ïîëÿ E åñòü àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîå ïîëå F , êîòîðîå ñîäåðæèò E .
Òåîðåìà 2.1.
êàíèåì Q â C.
Ìíîæåñòâî âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë A ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì çàìû-
Äîêàçàòåëüñòâî. Íóæíî äîêàçàòü òðè ôàêòà: 1) A ïîäïîëå â C; 2) A àëãåáðàè÷åñêè
çàìêíóòî; 3) A ñîäåðæèòñÿ â ëþáîì äðóãîì àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîì ïîäïîëå, ñîäåðæàùåì Q.
3
Åñëè α, β ∈ A, òî αβ, α ± β ∈ Q[α, β].  ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1.2 ïîëó÷àåì, ÷òî αβ, α ±
β ∈ A. Çíà÷èò A ïîäêîëüöî â C. Ïóñòü α ∈ A \ {0} è µα (x) = a0 + a1 x + . . . + xn ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ α. Èç ðàâåíñòâà 0 = a0 + a1 α + . . . + αn ñëåäóåò ðàâåíñòâî
0 = a0 ( α1 )n + a1 ( α1 )n−1 + . . . + 1, ïîýòîìó 1/α ∈ A. Ñëåäîâàòåëüíî, A ïîäïîëå â C.
Äîêàæåì òåïåðü àëãåáðàè÷åñêóþ çàìêíóòîñòü A. Ïóñòü f (x) ∈ A[x], ãäå f (x) = β0 +
β1 x + . . . + βn xn , βj ∈ A è βn ̸= 0.  ñèëó àëãåáðàè÷åñêîé çàìêíóòîñòè ïîëÿ C ó ìíîãî÷ëåíà
f íàéäåòñÿ êîìïëåêñíûé êîðåíü α. Îáîçíà÷èì γi = βi /βn äëÿ 0 ⩽ i ⩽ n − 1. Ïîñêîëüêó
A ïîëå, òî γi ∈ A. Òîãäà αn = −γ0 − γ1 α − . . . − γn−1 αn−1 . Èñïîëüçóþ ýòî ðàâåíñòâî,
äîêàæåì èíäóêöèåé ïî k , ÷òî αk ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ÷èñåë α0 , . . . , αn−1 ñ
êîýôôèöèåíòàìè èç Q[γ0 , . . . , γn−1 ]. Ýòî î÷åâèäíî âûïîëíÿåòñÿ ïðè k ≤ n − 1. Ïóñòü k ≥ n.
n−1
P
Çàïèøåì ïî èíäóêöèè αk−1 =
ri αi , ãäå ri ∈ Q[γ0 , . . . , γn−1 ]. Òîãäà
i=0
αk = ααk−1 = α(
n−1
X
i=0
n
X
ri αi ) = (
ri−1 αi ) = −γ0 rn−1 −(r0 −γ1 rn−1 )α−. . .−(rn−2 −γn−1 rn−1 )αn−1 .
i=1
 ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1.2, ó ïðîñòðàíñòâà Q[γ0 , . . . , γn−1 ] ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé áàçèc
{e1 , e2 , . . . , em } íàä Q. Ïîêàæåì, ÷òî Q[γ0 , . . . , γn−1 , α] = ⟨ei αj | 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ n − 1⟩Q , â
k
P
÷àñòíîñòè îíî êîíå÷íîìåðíî. Ïóñòü x ∈ Q[γ0 , . . . , γn−1 , α]. Òîãäà x =
pi (γ0 , . . . , γn−1 )αi ,
i=0
ãäå k ∈ N ∪ {0} è pi (x1 , . . . , xn ) ∈ Q[x1 , . . . , xn ]. Ïî äîêàçàííîìó, ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü
n−1
P
ýòî âûðàæåíèå ÷åðåç ïåðâûå n ñòåïåíåé α: x =
qi (γ0 , . . . , γn−1 )αi , ãäå qi (x1 , . . . , xn ) ∈
i=0
Q[x1 , . . . , xn ]. Êàæäîå ÷èñëî qi (γ1 , . . . , γn−1 ) ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ÷èñåë {ei }. Çíà÷èò ÷èñëà ei αj , ãäå 1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ n − 1 ïîðîæäàþò ïðîñòðàíñòâî Q[γ0 , . . . , γn−1 , α]. Î÷åâèäíî,
÷òî Q[α] ïîäïðîñòðàíñòâî â Q[γ0 , . . . , γn−1 , α]. Çíà÷èò dimQ Q[α] < ∞ è α ∈ A ïî ëåììå 1.1.
Ïóñòü òåïåðü K àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîå ïîëå, ñîäåðæàùåå Q. Òîãäà K ñîäåðæèò âñå
êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ èç K[x], íî Q[x] ⊆ K[x], ïîýòîìó A ⊆ K . Çíà÷èò K = Q.
Àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî α íàçûâàåòñÿ öåëûì àëãåáðàè÷åñêèì, åñëè ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí µα èìååò öåëûå êîýôôèöèåíòû. Ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç AZ . Ïðèìåð: åñëè a ∈ Q, òî µa (x) = x − a, ïîýòîìó
a ∈ AZ ∩ Q òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a ∈ Z. ×èñëî √12 èìååò ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí
x2 − 1/2, ïîýòîìó √12 ∈ A \ AZ .
Îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå. Ìíîãî÷ëåí f ∈ Z[x] íàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíûì, åñëè íàèáîëüøèé îáùèé
äåëèòåëü âñåõ åãî êîýôôèöèåíòîâ ðàâåí 1.
(ëåììà Ãàóññà) Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïðèìèòèâíûõ ìíîãî÷ëåíîâ ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíûì ìíîãî÷ëåíîì.
n
m
P
P
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x) =
ai xi è g(x) =
bi xi äâà ïðèìèòèâíûõ ìíîãî÷ëåíà.
Ëåììà 2.2.
i=0
i=0
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîãî÷ëåí f (x)g(x) íå ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíûì. Òîãäà íàéäåòñÿ ïðîñòîå
÷èñëî p, êîòîðîå äåëèò âñå êîýôôèöèåíòû ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. Çàìåòèì, ÷òî f (x)g(x) =
m+n
P
P
ci xi , ãäå êîýôôèöèåíòû âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì ci =
ak bj . Ïîñêîëüêó f è g
i=0
k+j=i
ïðèìèòèâíû, òî íàéäóòñÿ t, l òàêèå, ÷òî at è bl íå äåëÿòñÿ íà p. Âûáåðåì t íàèìåíüøåå
÷èñëî ñ òàêèì ñâîéñòâîì äëÿ f , à l íàèìåíüøåå äëÿ g . Ïîêàæåì, ÷òî ct+l íå äåëèòñÿ íà p.
Ïî ôîðìóëå ct+l ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ak bj , ãäå k + j = t + l. Åñëè k < t èëè j < l, òî
â ñèëó âûáîðà t, l ïîëó÷àåì, ÷òî ak äåëèòñÿ íà p èëè bj äåëèòñÿ íà p. Åñëè æå k ≥ t è j ≥ l,
òî k + j = t + l ðîâíî â îäíîì ñëó÷àå k = t, j = l. Íî at bl íå äåëèòñÿ íà p, çíà÷èò è ct+l
íå äåëèòñÿ íà p. Ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî p äåëèò âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà f (x)g(x).
Ñëåäîâàòåëüíî, f (x)g(x) ïðèìèòèâåí.
Ëåììà 2.3. Åñëè f (x) ∈ Q[x], òî íàéäóòñÿ ÷èñëî a ∈ Q è ïðèìèòèâíûé ìíîãî÷ëåí
f1 (x) ∈ Z[x] òàêèå, ÷òî f (x) = af1 (x).
4
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ïðîèçâåäåíèå âñåõ çíàìåíàòåëåé êîýôôèöèåíòîâ f ÷åðåç q .
Òîãäà h(x) = qf (x) ∈ Z[x]. Îáîçíà÷èì ÷åðåç p íàèáîëüøèé äåëèòåëü âñåõ êîýôôèöèåíòîâ
h(x). Åñëè çàïèñàòü h(x) = pf1 (x), òî f1 (x) ïðèìèòèâíûé ìíîãî÷ëåí è ïîýòîìó f (x) =
p
q f1 (x) òðåáóåìîå ïðåäñòàâëåíèå.
Ëåììà 2.4.
èç Z[x].
×èñëî α ∈ AZ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà α êîðåíü óíèòàðíîãî ìíîãî÷ëåí
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè α ∈ AZ , òî â êà÷åñòâå òðåáóåìîãî ìíîãî÷ëåíà ìîæíî âçÿòü µα (x).
Ïóñòü òåïåðü α êîðåíü íåêîòîðîãî óíèòàðíîãî ìíîãî÷ëåíà f ∈ Z[x], â ÷àñòíîñòè ïðèìèòèâíîãî. Òîãäà µα [x] ∈ Q[x] è ïî ëåììå 1.3, µα äåëèò f â Q[x]: íàéäåòñÿ g(x) ∈ Q[x]
òàêîé, ÷òî f (x) = µα (x)g(x). Ïîñêîëüêó, µα è f óíèòàðòíû, òî è g óíèòàðåí. Ïî ëåììå çàïèøåì g(x) = ab g1 (x) è µα (x) = dc h1 (x), ãäå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ÍÎÄ(a, b) = ÍÎÄ(c, d) = 1
è a, b, c, d > 0. Çàìåòèì, ÷òî dµα = ch1 , ïîýòîìó âñå êîýôôèöèåíòû µα äåëÿòñÿ íà c. Ïîñêîëüêó µα óíèòàðåí, ïîëó÷àåì, ÷òî c = 1. Àíàëîãè÷íî a = 1. Çíà÷èò, bdf (x) = h1 (x)g1 (x).
Ïîñêîëüêó, f ïðèìèòèâåí, òî íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü êîýôôèöèåíòîâ ñëåâà ðàâåí bd.
Ïî ëåììå Ãàóññà h1 (x)g1 (x) ïðèìèòèâíûé ìíîãî÷ëåí, ïîýòîìó íàèáîëüøèé äåëèòåëü êîýôôèöèåíòîâ ó ìíîãî÷ëåíà ñïðàâà ðàâåí 1. Ñëåäîâàòåëüíî bd = 1. Òîãäà b = d = 1 è
µα (x) = h1 (x) ∈ Z[x].
Ïóñòü α ∈ A è n = deg(α). Òîãäà íàéäåòñÿ d ∈ N òàêîå, ÷òî dα ∈ AZ .
Óïðàæíåíèå.
Ïóñòü R êîëüöî. Ìíîãî÷ëåí f ∈ R[x1 , . . . , xn ] íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè åãî âèä íå ìåíÿåòñÿ ïðè ëþáîé ïåðåñòàíîâêå
ïåðåìåííûõ. Ïðèìåð: σ1 =
P
x1 + . . . + xn , σ2 = x1 x2 + x1 x3 + . . . + xn−1 xn , σk =
xi1 xi2 · · · xik ýëåìåíòàð-
Íàïîìèíàíèå.
1⩽i1 <i2 <...<ik ⩽n
íûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû. Åñëè f ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè k , òî
íàéäåòñÿ g ∈ R[x1 , . . . , xn ] ñòåïåíè ≤ k òàêîé, ÷òî f (x1 , . . . , xn ) = g(σ1 , . . . , σn ). Ïðèìåð
f (x1 , x2 ) = x31 x22 + x21 x32 + 2x1 + 2x2 − 3 = σ22 · σ1 + 2σ1 − 3, ïîýòîìó g(x1 , x2 ) = x22 x1 + 2x1 − 3.
Íàïîìèíàíèå.
(Ôîðìóëû Âèåòà) Åñëè
f (x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 + xn = (x − α1 ) · · · (x − αn ),
òî σi (α1 , . . . , αn ) = (−1)i an−i äëÿ 1 ⩽ i ⩽ n.
Ëåêöèÿ 3
Ïóñòü p(x, y) ∈ Z[x, y] óíèòàðíûé ìíîãî÷ëåí îò x, ò.å. êàê ýëåìåíò
(Z[y])[x]. Ïóñòü α ∈ AZ è âñå ñîïðÿæ¼ííûå ñ α ÷èñëà ýòî α1 , . . . , αn . Òîãäà ìíîãî÷ëåí
q(x) = p(x, α1 )p(x, α2 ) · · · p(x, αn ) óíèòàðåí è ïðèíàäëåæèò Z[x].
Ëåììà 3.1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèþ êàæäûé ìíîãî÷ëåí p(x, αi ) óíèòàðåí, ïîýòîìó è èõ ïðîèçâåäåíèå q(x) óíèòàðíûé ìíîãî÷ëåí. Çàâåä¼ì n íîâûõ ïåðåìåííûõ t1 , . . . , tn è ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåíû p(x, ti ) êàê ìíîãî÷ëåíû èç R[t1 , . . . , tn ], ãäå R = Z[x]. Òîãäà ìíîãî÷ëåí
p(x, t1 )p(x, t2 ) · · · p(x, tn ) ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì â R[t1 , . . . , tn ], ïîñêîëüêó ýòî ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè ëþáîé ïåðåñòàíîâêå t1 , . . . , tn . Ïî îñíîâíîé òåîðåìå î ñèììåòðè÷åñêèõ
ìíîãî÷ëåíàõ íàéäåòñÿ ìíîãî÷ëåí h(t1 , . . . , tn ) ∈ R[t1 , . . . , tn ] òàêîé, ÷òî h(σ1 , σ2 , . . . , σn ) =
p(x, t1 )p(x, t2 ) · · · p(x, tn ), ãäå σi := σi (t1 , . . . , tn ). Ïîñêîëüêó h ∈ R[t1 , . . . , tn ] = Z[t1 , . . . , tn ][x],
k
P
òî h ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
xi hi (t1 , . . . , tn ), ãäå hi ∈ Z[t1 , . . . , tn ] è k ∈ N. Ïóñòü µα (x) =
i=0
xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ α. Òîãäà ïî ôîðìóëàì Âèåòà
σi (α1 , . . . , αn ) = (−1)i an−i ∈ Z äëÿ ëþáîãî 1 ≤ i ≤ n. Ñëåäîâàòåëüíî,
q(x) = p(x, α1 )p(x, α1 ) · · · p(x, αn ) = h(σ1 (α1 , . . . , αn ), . . . , σn (α1 , . . . , αn ))
=
k
X
xi hi (σ1 (α1 , . . . , αn ), . . . , σm (α1 , . . . , αn )) ∈ Z[x].
i=0
5
Òåîðåìà 3.2.
Ìíîæåñòâî öåëûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë AZ ÿâëÿåòñÿ ïîäêîëüöîì ïîëÿ C.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî α, β ∈ AZ . Íàì íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî α ± β, αβ ∈ AZ .
Ïóñòü µα (x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 . Çàïèøåì âñå ñîïðÿæ¼ííûå ñ α è β ÷èñëà: α1 =
α, α2 , . . . , αn è β1 = β, β2 , . . . , βm . Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåí p(x, y) = µα (x − y). Ïî ëåììå 3.1
m
Q
p(x, βi ) ∈ Z[x] è óíèòàðåí. Ïîäñòàâèì α + β :
g(x) =
i=1
g(α + β) =
m
Y
p(α + β, βi ) = p(α + β, β)
i=1
m
Y
p(α + β, βi ).
i=2
Íî p(α + β, β) = µα (α + β − β) = µα (α) = 0. Ïî ëåììå 2.4 ïîëó÷àåì, ÷òî α + β ∈ AZ .
Àíàëîãè÷íî, ïðèìåíÿÿ ëåììó äëÿ p(x, y) = µα (x + y), ïîëó÷èì ìíîæèòåëü p(α − β, β) =
µα (α) = 0 è ïîýòîìó α − β ∈ AZ .
Äëÿ αβQðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåíû p(x, y) = y n µα (xy −1 ) = xn + an−1 yxn−1 + . . . + a0 y n
è g(x) =
p(x, βi ) ∈ Z[x]. Òîãäà ïðè âû÷èñëåíèè g(αβ) ìíîæèòåëü p(αβ, β) = (αβ)n +
n−1
an−1 β(αβ)
+ . . . + a0 (β)n = β n µα (α) = 0. Çíà÷èò αβ ∈ AZ .
Èñïîëüçóÿ
äîêàçàòåëüñòâî, íàéäèòå ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ α + β ,
√
2 + 1 è β = 3 + 1.
Óïðàæíåíèå.
ãäå α =
√
Äèîôàíòîâû ïðèáëèæåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî Q ïëîòíî â R. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè α ∈ C \ R, òî
äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà x âåðíî, ÷òî |α − x| ≥ Im α. Ïîýòîìó áóäåì ïðèáëèæàòü
ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè òîëüêî ýëåìåíòû R.
Çàìå÷àíèå.
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü φ : N → R>0 óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ. Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî α äîïóñêàåò ïðèáëèæåíèå ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè p/q ïîðÿäêà φ(q), åñëè ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ
c > 0 òàêàÿ, ÷òî íåðàâåíñòâî |α − pq | < cφ(q) (∗) èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé â ÷èñëàõ p ∈ Z è q ∈ N, p/q ̸= α. Åñëè ïðè ýòîì äëÿ íåêîòîðîãî c1 íåðàâåíñòâî (∗) èìååò ëèøü
êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé, òî ãîâîðÿò, ÷òî φ åñòü íàèëó÷øèé ïîðÿäîê ïðèáëèæåíèÿ
÷èñëà α.
 ñëó÷àå íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ êîíñòàíòó c1 ìîæíî âçÿòü òàê, ÷òîáû
ðåøåíèé íåðàâåíñòâà âîâñå íå áûëî.
Çàìå÷àíèå.
×àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ ôóíêöèÿ φ(q) =
Óïðàæíåíèå.
Åñëè α ∈ Q, òî φ(q) =
1
q
1
qν ,
ãäå ν > 0.
íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå äëÿ α.
 ñëó÷àå ôóíêöèè φ(q) = q1ν , ν > 0 áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî α äîïóñêàåò äèîôàíòîâî ïðèáëèæåíèå ïîðÿäêà ν , èëè ÷òî ν åñòü íàèëó÷øèé ïîðÿäîê äèîôàíòîâà ïðèáëèæåíèÿ α ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè ñîîòâåòñòâåííî.
Îïðåäåëåíèå.
Óïðàæíåíèå. Åñëè ν åñòü íàèëó÷øèé ïîðÿäîê äèîôàíòîâà ïðèáëèæåíèÿ α, òî α íå
äîïóñêàåò äèîôàíòîâûõ ïðèáëèæåíèé ïîðÿäêà µ ïðè µ > ν .
(Äèðèõëå î äèîôàíòîâûõ ïðèáëèæåíèÿõ, 1842) Äëÿ ëþáûõ α ∈ R, N ∈ N
1
íàéäóòñÿ òàêèå p ∈ Z è q ∈ N, ÷òî α − pq < qN
è q ⩽ N.
Òåîðåìà 3.3.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ k = 0, 1, . . . , N ðàññìîòðèì
k k+1 ÷èñëà ξk = {kα} = kα − [kα]. Ðàçäåëèì
ïîëóèíòåðâàë [0, 1) íà N ïîëóèíòåðâàëîâ N
, N , k = 0, . . . , N − 1. Ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå
ñðåäè ÷èñåë ξ0 , . . . , ξN êàê ìèíèìóì äâà ÷èñëà ξk è ξl ëåæàò â îäíîì è òîì æå ïîëóèíòåðâàëå
ïðè k < l, òî åñòü |ξl − ξk | < N1 . Ïîëîæèì p = [lα] − [kα], q = l − k ⩽ N . Òîãäà
α−
Ñëåäñòâèå.
1
1
p
1
= |α(l − k) − ([lα] − [kα])| = |ξl − ξk | <
.
q
q
q
qN
Åñëè α ∈ R \ Q, òî α äîïóñêàåò äèîôàíòîâî ïðèáëèæåíèå ñòåïåíè 2.
6
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå Äèðèõëå äëÿ ëþáîãî N ∈ N ñóùåñòâóåò ÷èñëî
0< α−
pN
qN
òàêîå, ÷òî
pN
1
<
è qN ⩽ N.
qN
qN N
(1)
1
N
è |α − pqN
| < N1 . Åñëè ÷èñëà pq11 , . . . , pqkk óæå âûáðàíû, òî âîçüìåì N
2
qN
k+1
òàêîå, ÷òî
|α − pqii | ïðè âñåõ 1 ≤ i ≤ k è ïîñòðîèì ÷èñëî pqk+1
ïî N . Òîãäà ïðè 1 ≤ i ≤ k
pk+1
pk+1
pi
1
âåðíû íåðàâåíñòâà |α − qk+1 | < N < |α − qi |, ïîýòîìó qk+1 ̸= pqii . Ïîëó÷àåì áåñêîíå÷íîå
ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà |α − pq | < q12 .
Òîãäà |α −
pN
qN |
1
N <
Ëåììà 3.4.
<
Ïóñòü α ∈ Q. Åñëè ôóíêöèÿ φ : N → R>0 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ lim qφ(q) =
q→∞
0, òî α íå äîïóñêàåò ïðèáëèæåíèÿ ñòåïåíè φ(q).
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì ÷èñëî c > 0. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S ìíîæåñòâî âñåõ ïàð (p, q) ∈
(Z×N)\{α} òàêèõ, ÷òî |α − pq | < cφ(q). Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì q äëÿ íåðàâåíñòâà
ïîäõîäèò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî âàðèàíòîâ äëÿ p. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |S| = ∞. Òîãäà q â S
áûâàþò ñêîëü óãîäíî áîëüøèå. Ïóñòü α = ab , ãäå a ∈ Z, b ∈ N. Òîãäà äëÿ (p, q) ∈ S
âûïîëíÿåòñÿ
aq − bp
a p
1
=
⩾ .
cφ(q) ⩾
−
b
q
bq
bq
Çíà÷èò qφ(q) ⩾
1
bc ,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ lim qφ(q) = 0 è áåñêîíå÷íîñòè âàðèàíòîâ
q→∞
äëÿ q â S .
Ñëåäñòâèå.
Ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî α íå äîïóñêàåò äèîôàíòîâî ïðèáëèæåíèå ñòåïåíè ν > 1.
Ïðåäëîæåíèå 3.5.
×èñëî e èððàöèîíàëüíî.
1
1
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì 1 + 1!
+ . . . + n!
= pn!n . Òîãäà
pn
1
1
1
1
1
1
2
e−
=
1+
+
+ ... <
1 + + 2 + ... =
.
n!
(n + 1)!
n + 2 (n + 2)(n + 3)
(n + 1)!
2 2
(n + 1)!
2
Çàäàäèì ôóíêöèþ φ : N → R>0 êàê φ(1) = 1 è φ(q) = (n+1)!
, (n − 1)! < q ⩽ n!, n ⩾ 2.
2
2
Åñëè (n − 1)! < q ⩽ n!, òî qφ(q) ⩽ n! (n+1)! = n+1 . Çíà÷èò lim qφ(q) = 0. Ïðè ýòîì
q→∞
|e −
pn
n! |
< φ(n!) äëÿ ëþáîãî n. Ïî ëåììå 3.4 ïîëó÷àåì, ÷òî e èððàöèîíàëüíî.
(Ëèóâèëëü, 1844) Ïóñòü α àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî ñòåïåíè n. Òîãäà α íå
äîïóñêàåò äèîôàíòîâà ïðèáëèæåíèÿ ñòåïåíè ν > n.
Òåîðåìà 3.6.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàíåå óæå ïîëó÷èëè ýòî óòâåðæäåíèÿ äëÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ò.å. êîãäà
n = 1. Ïóñòü äàëåå n ≥ 2. Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî c > 0, ÷òî äëÿ ëþáûõ p ∈ Z,
q ∈ N âûïîëíåíî
c
p
> n.
(2)
α−
q
q
Äîìíîæèì µα íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî a òàê, ÷òî h(x) = a · µα (x) ∈ Z[x]. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
n
Q
α = α1 , . . . , αn ∈ C âñå êîðíè µα (x). Òîãäà h(x) = an xn + . . . + a1 x + a0 = an
(x − αk ) =
k=1
(x − α)h1 (x), ãäå an > 0.
Ïóñòü (p, q) ∈ Z × N. Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ.
1. |α − pq | ⩾ 1. Òîãäà |α − pq | ⩾ 1 ⩾ q1n .
2. |α − pq | < 1. Îáîçíà÷èì M = max{|αi | | 1 ⩽ i ⩽ n}. Òîãäà 1 + |α| = 1 + | − α| >
|α − pq | + | − α| ≥ | pq | è ïîýòîìó | pq | < 1 + M .
|h( pq )|
p
|an pn + an−1 pn−1 q + . . . + a0 q n |
|α − | =
=
.
p
q
|h1 ( q )|
q n |h1 ( pq )|
7
Ïîñêîëüêó h íåïðèâîäèì, òî h( pq ) ̸= 0 è ïîýòîìó |an pn + an−1 pn−1 q + . . . + a0 q n | ⩾ 1. Ñ
äðóãîé ñòîðîíû,
n
n
Y
Y
p
p
p
|h1 ( )| = an
| − αi | ⩽ an
(| | + |αi |) < an · (1 + 2M )n−1 .
q
q
q
i=2
i=2
1
1
Çíà÷èò |α − pq | > an (1+2M
)n−1 · q n .
1
Îïðåäåëèì c = an (1+2M
)n−1 . Ïîñêîëüêó c < 1, òî c òðåáóåìàÿ êîíñòàíòà äëÿ îáîèõ
ñëó÷àåâ.
Åñëè ν > n è c1 > 0, òî íàéäåòñÿ q0 ∈ N òàêîå, ÷òî qcn > qcν1 ïðè q > q0 . Çíà÷èò α− pq < qcv1
òîëüêî ïðè q < q0 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû ïðè ôèêñèðîâàííîì q äàííîå íåðàâåíñòâî âåðíî ëèøü
äëÿ êîíå÷íîãî êîëè÷åñòâà ÷èñåë p ∈ Z.  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè c1 , ïîëó÷àåì, ÷òî α íå
äîïóñêàåò äèîôàíòîâà ïðèáëèæåíèÿ ñòåïåíè ν .
Ñëåäñòâèå. Âåùåñòâåííîå ÷èñëî, äîïóñêàþùåå ðàöèîíàëüíîå ïðèáëèæåíèå ñêîëü óãîäíî
áîëüøîé ñòåïåíè, òðàíñöåíäåíòíî.
(Òóý, 1909) Ïóñòü α ∈ A, deg α = n ⩾ 2. Òîãäà α íå äîïóñêàåò äèîôàíîòîâà
ïðèáëèæåíèÿ ñòåïåíè ν > n/2 + 1.
Òåîðåìà 3.7.
Òåîðåìà 3.8. (Ê.Ô. Ðîò, 1955) Ïóñòü α ∈ A, deg α = n ⩾ 2. Òîãäà α íå äîïóñêàåò
äèîôàíîòîâà ïðèáëèæåíèÿ ñòåïåíè ν > 2.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Áîðåâè÷ Ç.È., Øàôàðåâè÷ È.Ð., Òåîðèÿ ÷èñåë. Ì.: Íàóêà, 1985.
[2] Áóõøòàá À.À., Òåîðèÿ ÷èñåë. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Ìîñêâà, Êðàñíîäàð: Ëàíü, 2008.
[3] Âäîâèí Å.Ï., Êîëåñíèêîâ Ï.Ñ., Ýëåìåíòû àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè ÷èñåë. Êóðñ ëåêöèé
(ýëåêòð.). Íîâîñèáèðñê: ÍÃÓ, 2013. http://math.nsc.ru/~vdovin/lectures/numth_
eng.pdf
[4] Âèíîãðàäîâ È.Ì., Îñíîâû òåîðèè ÷èñåë. Ì.: Íàóêà, 1981.
[5] Ãàëî÷êèí À.È., Íåñòåðåíêî Þ.Â., Øèäëîâñêèé À.Á., Ââåäåíèå â òåîðèþ ÷èñåë. Ì.,
ÌÃÓ, 1995.
[6] Ãóáàðåâ Â.Þ., Òåîðèÿ ÷èñåë, êóðñ ëåêöèé ÍÃÓ, 2021.
[7] Êàðàöóáà À.À., Îñíîâû àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè ÷èñåë. Ì.: Íàóêà, 1975.
[8] Nathanson M.B., Elementary methods in number theory. Graduate Texts in Mathematics,
195. Springer-Verlag, New York, 2000.
[9] Õàññå Ã., Ëåêöèè ïî òåîðèè ÷èñåë. Ì.: Íàóêà, 1953.
8
