Конспект урока "Степень с рациональным показателем" Вам уже знакомы понятия степени числа с натуральным и целым показателями. Напомним, что степенью с натуральным показателем называется произведение показатель степени, при . Здесь а – основание степени, – . В свою очередь, степенью с отрицательным целым показателем называется натуральное число. , где , – . Однако в алгебре существует ещё и понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число. Итак, попытаемся записать как некоторую степень числа а, то есть Мы знаем, что . . Исходя из того, что мы представили что . По свойству возведения степени в степень имеем произведение . Следовательно, Тогда получаем, что что , то получим, . Откуда видим, что . . По свойству возведения корня n-й степени в степень получим, . Например, . Сделаем вывод: если числом, то при Пусть — натуральное число, причём справедливо равенство , причём — целое число и частное является целым . — целое число. Отсюда Тогда . . Если же частное не является целым числом, то степень числа а, где выполнялась формула Таким образом, формула числа , , то есть и в этом случае считают, что справедлива для любого целого числа и положительного основания степени . , определяют так, чтобы . и любого натурального Например, . Напомним, что рациональное число формуле – это число вида получаем , где – целое, – натуральное число. Тогда по . Таким образом, степень определена для любого рационального показателя основания а. Если рациональное число степени, но и при , то выражение , причём Пользуясь формулой наоборот. имеет смысл не только при положительном основании . Поэтому считают, что при . , степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и Запомните! Степенью числа натуральное, причём и любого положительного с рациональным показателем , называется число , где – целое число, а – . Замечание: из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого и любого рационального число – положительно. Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби. По основному свойству дроби частное можно представить, как частное , где и – натуральные числа, – целое число. Тогда при любом Что легко доказать применяя свойства корней. Имеем справедливо равенство . Заметим, что при отрицательном основании степени рациональная степень числа а не определяется. Отрицательные числа нельзя возводить в рациональную степень, не являющуюся целым числом. А теперь перейдём к основным свойствам степени и покажем, что все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием. А именно для любых рациональных чисел Доказательства: и и любых и верны равенства: . А теперь давайте приступим к практической части нашего урока. Задание. Найдите значения выражения Решение. . Вариант 1 1.Представьте выражения в виде степени числа х (х>0): а) 5 √х3 11 10 х0,5 ∙ √х ; б) 4 2. Ответ а) x ; б) 1. √х 2 2.Вычислите: а) 3 33 ∙814 1 − 3 3 1 1 −1 ; б) (10−3 ∙ 0,013 ) . 1 Ответ а) 81; б) 10. 1 3.Упростите выражение: (𝑎 + 𝑏 4 ) (𝑎 − 𝑏 4 ) + √𝑏. 1 𝑥−1 4. Упростите выражение: 3 1 ∙ 1 𝑥 2 +𝑥 4 1 Ответ a 2 1 − 𝑥 4. Ответ x 1 4 𝑥 2 −1 𝑥 4 +𝑥 2 --------------------------------------------------------------------------------------Вариант 2 1.Представьте выражения в виде степени числа х (х>0): а) 10 1,1 ; б) 2.Вычислите: а) 83 ∙√2 √х9 ∙𝑥 6 √х3 √𝑥 Ответ а) x 2 ; б) 1. . 2 1 − 2 2 1 1 −1 ; б) (25−4 ∙ 5−2 ) . 1 1 Ответ а) 8; б) 5. 3 3.Упростите выражение: (𝑎 3 + 𝑏) (𝑎 3 − 𝑏) − √𝑎2. 1 4. Упростите выражение: 𝑥−1 3 1 ∙ 𝑥 4 −𝑥 2 1 𝑥 2 −𝑥 4 1 𝑥 2 −1 1 ∙ 𝑥 4 − 1. Ответ b 2 1 Ответ x 2