СОДЕРЖАНИЕ Задача 33 ........................................................................................................................... 3 Задача 93 ........................................................................................................................... 4 Литература ....................................................................................................................... 7 2 Задача 33 Даны точка А(3,3) и вектор N (2,3) . Необходимо: 1) Записать уравнение прямой l, проходящей через точку A, параллельно вектору N . 2) Записать уравнение прямой L, проходящей через точку A, перпендикулярно N. 3) Определить угол между прямыми l и L. Решение 1) Уравнение прямой, проходящей через точку А, параллельно вектору N , будет иметь вид: x xA y yA Nx Ny y x 3 y 3 2 3 3 9 x 3 2 2 y y 3 3 ( x 3) 2 3 3 x . 2 2 3 k l Угловой коэффициент этой прямой: 2. 2) Поскольку прямые L и l перпендикулярны, то их угловые коэффициенты будут связаны соотношением k L kl 1, откуда kL 1 1 2 3 kl 3. 2 Тогда уравнение прямой L: 2 y y A k L ( x x A ) y 3 ( x 3) 3 2 y x 5. 3 2 y 3 x 2 3 3) Поскольку прямые L и l перпендикулярны, то угол между ними равен 900. 3 3 y x Ответ: 1) 2 2; 2 y x5; 2) 3 3 3) 900. Задача 93 Необходимо: 1. проверить, что функция z=f(x,y) удовлетворяет заданному уравнению: z y 1 дz 1 дz z ; ( x 2 y 2 )5 x дx y дy y 2 ; 2. исследовать на экстремум функцию: z x 3 3xy2 15 x 12 y . Решение 1) Находим частные производные первого порядка функции z=f(x,y): дz д y 5y 10 xy 2 2 x ; дx дх ( x y 2 )5 ( x 2 y 2 )6 ( x 2 y 2 )6 / 2 2 5 2 2 5 / [ y ] y ( x y ) y [( x y ) ] y дz д y 2 2 5 2 2 10 дy дy ( x y ) (x y ) 1 ( x 2 y 2 )5 y 5( x 2 y 2 ) 4 (2 y ) x 2 y 2 10 y 2 2 2 10 2 2 6 (x y ) (x y ) x2 9 y 2 2 . 2 6 (x y ) Тогда 1 дz 1 дz 1 10 xy 1 x2 9 y 2 10 y ( 2 ) x дx y дy x ( x y 2 )6 y ( x 2 y 2 )6 ( x 2 y 2 )6 x2 9 y 2 10 y 2 x 2 9 y 2 x2 y 2 1 y ( x 2 y 2 )6 y ( x 2 y 2 )6 y ( x 2 y 2 ) 6 y ( x 2 y 2 )5 y z 2 2 , 2 5 2 y (x y ) y т.е. функция z=f(x,y) удовлетворяет заданному уравнению. 4 2) Найдем критические точки функции, для чего вычислим частные производные функции и приравняем их к нулю: z ( x 3 3 xy2 15 x 12 y ) 3 x 2 3 y 2 15 0 x x z ( x 3 3 xy2 15 x 12 y ) 6 xy 12 0 y y x2 y 2 5 xy 2 x1 2, y1 1; x2 1, y2 2; x3 1, y3 2; x4 2, y4 1. Получили четыре критические точки: M1 (2; 1) , M 2 (1; 2) , M 3 (1; 2) , M 4 (2;1) . Вычислим вторые частные производные: 2 z (3x 2 3 y 2 15) 2 z (3x 2 3 y 2 15) 6 x; 6 y; x 2 x xy y 2 z (6 xy 12) 6 x. y 2 y В точке M1 (2; 1) имеем: 2 z A 2 |M1 ( 2; 1) 6 (2) 12; x 2 z B |M ( 2; 1) 6 (1) 6; xy 1 2 z C 2 |M1 ( 2; 1) 6 (2) 12. y Поскольку AC B 2 (12) (12) (6) 2 108 0 и А<0, то функция z в точке M1 (2; 1) имеет максимум: z max z (2; 1) (2) 3 3 (2) (1) 2 15 (2) 12 (1) 28 . В точке M 2 (1; 2) имеем: 2 z 2 z A 2 |M 2 ( 1; 2) 6 (1) 6; B |M ( 1; 2) 6 (2) 12; x xy 2 2 z C 2 |M 2 ( 1; 2) 6 (1) 6. y Поскольку AC B 2 (6) (6) (12) 2 108 0 , то функция z не имеет экстремума в точке M 2 (1; 2) . 5 В точке M 3 (1; 2) имеем: 2z A 2 | M 3 (1; 2) 6 1 6; x 2 z B | M (1; 2) 6 2 12; xy 3 2z C 2 | M 3 (1; 2) 6 1 6. y Поскольку AC B 2 6 6 12 2 108 0 , то функция z не имеет экстремума в точке M 3 (1; 2) . В точке M 4 (2;1) имеем: 2 z 2 z A 2 |M 4 ( 2;1) 6 2 12; B |M ( 2;1) 6 1 6; x xy 4 2 z C 2 |M 4 ( 2;1) 6 2 12. y Поскольку AC B 2 12 12 6 2 108 0 и А>0, то функция z в точке M 4 (2;1) имеет минимум: z min z (2;1) 23 3 2 12 15 2 12 1 28 . Ответ: 1) функция z=f(x,y) удовлетворяет заданному уравнению; 2) z max z (2; 1) 28 ; zmin z(2;1) 28 . 6 Литература 1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002.-479 с. 2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие для вузов. – 12-е изд., перераб. – М.: Высшее образование, 2006. – 476 с. 3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1,2. - М.: Мир и образование, 2007. 4. Демидович Б. П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики: учебное пособие для вузов. - М. : Астрель : АСТ, 2007. - 656 с. 5. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу: учебное пособие для вузов.-СПб. ; М.; Краснодар: Лань, 2009.-464 с. 6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: учебное пособие для втузов /Минорский В. П.-М.: Изд-во Физико-математической лит-ры, 2006.-336 с. 7. Пискунов Н.Н. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1,2, М.: Интеграл-Пресс, 2009. 8. Привалов И.И. Аналитическая геометрия: учебник М.: Лань, 2008. –304с. 9. Высшая математика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей сельскохозяйственных высших учебных заведений / Штейнгардт Д.А. – 5-е изд. – М.: Высшая школа, 1990. – 127с. 10.Высшая математика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей сельскохозяйственных высших учебных заведений / Н.А. Абакумова, О.Г. Бельчикова, Н.Л. Гамершмид, В.М. Щербаков. - Барнаул: Изд-во АГАУ, 2013. - 108с. 7