Рисунок 1.2 - Расчетные схемы Исходные данные: F=28 kH; q = 3,5 кН/м; m=3,5 кH м ; l=3,5м; a=1 м; 30 0 ; b=2м. Решение: 1 Рассматриваем равновесие балки. Проведём координатные оси x, y и изобразим действующие на балку силы и реакции опор. 2 Для определения FAY составим уравнение суммы моментов относительно опоры В: _ m B (Fi ) 0 ; FAY m F sin ( a) q b( a b / 2) 0 , откуда FAY m F sin ( a) q b( a b / 2) 5 10 sin 60 0 (10 4) 8 4(10 4 4 / 2) 18,5кH l 10 . 3 Для определения FBY составим уравнение суммы моментов относительно опоры А: _ m A ( Fi ) 0 ; FBY q b(a b / 2) F sin a m 0 . 0 Откуда FBY q b(a b / 2) F sin a m 8 4(4 4 / 2) 10 sin 60 4 5 22,2кH . l 10 4 Для определения FBZ составим уравнение суммы проекций на осьZ х: Fi 0 , FBZ F cos 0 Если значения реакций опор получаются со знаком "-", значит их направления противоположны первоИсходные данные начальным. Откуда FBX F cos 10 cos 600 5 кH . 5 Проверка: F iy 0 , FAY FBY F sin q b 0 , 18,5+22,2-8,7-32=0 0=0. Задание 2 Центральное растяжение и сжатие прямых стержней переменного сечения Для стального ступенчатого стержня (Рисунок 2.1), находящегося под действием сил Fi, приложенных в осевом направлении, требуется: 1) построить эпюры нормальных сил N, нормальных напряжений ; 2) определить его полное удлинение (укорочение) l. Исходные данные в таблице 2.1 F1=18 kH F2=28 kH F=26 kH Площадь сечения А=12∙10-4 м2 Длина участка а=1,3 м, Е=2∙105МПа Рисунок 2.2 - Расчетная схема 1. Определяем реакции опоры FX=0; HA-2F3-F2+2F1=0; HA=2F3+F2-2F1=52+28-36=44 kH; HA=44kH; 2. Развиваем брус на участки и методом сечений определяем продольные силы и напряжения на участках Сечение 1 ∑FX=0; -N1+HA=0; N1=HA=44kH; N1=44kH; HA N1 σ1= 2F1 N2 HA N1 44 *103 =18,3 МПа; 2A 2 *12 *10 4 Сечение 2 ∑FX=0; -N2+2F1+HA=0; N2=2F1+HA=36+44=80kH; σ2= N3 F2 HA 2F1 A N2 80 *10 3 33,3МПа; 2A 2 *12 *10 4 Сечение 3 ∑FX=0; -N3-F2+2F1+HA=0; N3=2F1+HA-F2=36+44-28=52kH; N 3 52 *10 3 σ3= 43,3 МПа; A 12 *10 4 I участок: 0 Z1 a l1= N1 Z 1 0 44 *10 3 * Z1 , ìì 4 4 2 AE 2 *12 *10 * 2 *10 0,11 II Участок: 0 Z 2 a l2= l1+ 0,11 N2 X 2 80 *10 3 * X 2 1,19 , ìì 4 11 2 AE 2 *12 *10 * 2 *10 0,28 III участок: 0 Z 3 a l3= l2+ 52 *10 3 * Z 3 0,28 N 3Z 3 3,35 , ìì 4 11 EA 12 *10 * 2 *10 0,85 Полное перемещение бруса l =0,85 мм Рисунок 2.3 - Эпюры Задание 3 Расчет на кручение круглых стержней Для стального вала (рисунок 3.1), один конец которого условно принят защемленным, при выбранных исходных данных требуется: 1) найти через известные скручивающие моменты mi; мощности Pi соответствующие 2) найти неизвестный момент Т4 из условия равенства нулю угла поворота свободного конца вала; 3) построить эпюру крутящих моментов T; 4) подобрать круглое сечение из условий прочности; 5) построить эпюры сечения; углов поворота по длине вала круглого Исходные данные в таблице 3.1. Рисунок 3.1 - Расчетные схемы № п\п P1 P2 P3 Длины участков, м a b c Допускаемые напряжения, [], МПа Мощность, кВт Угловая скорость , рад/с рад\с Таблица 3.1 10 50 30 40 0.7 0.5 0.6 60 60 Пример решения задания 3 Рассмотрим пример расчета вала Для стального вала требуется: 1.Найти через известные мощности Рi,, сответствующие скручивающие моменты mi; 2.Найти известный момент mA из условия равенства нулю угла закручивания свободного конца вала; 3.Построить эпюру крутящих моментов Мк; 4.Подобрать круглое сечение из условия прочности; 5.Построить эпюру углов поворота . Решение: Заданная схема показана на рисунке 4.2. 1 Определяем скручивающие моменты: T1 1,02 1,02 P2 1,02 T2 1,02 T3 1,02 P1 100 2,91 кНм ; 35 60 1,75 кНм ; 35 40 1,17 кНм . 35 2 Значение неизвестного момента mA найдем из того условия, что угол закручивания свободного конца вала равен нулю, т.е. А=0. Для удобства счета разобьем этот угол на составляющие, зависящие от каждого скручивающего момента, т.е. φА = φТА + φТ1 + φТ2 + φТ3 = 0 , где φТА - угол поворота концевого сечения от действия только момента ТА, φТ1- то же, но от действия только момента Т1; φТ2 - от действия только момента Т2; φТ3 - от действия только момента Т3; т.е. А Т А ( 2 а b c ) Т1 ( а b c ) Т 2 ( а c ) Т 3 а 0 GI P GI P GI P GI P Подставив числовые значения, после преобразований, получим ТA = 1,57 кНм 3 Пользуясь методом сечений, определяем величины крутящих моментов на отдельных участках вала. Участок 1 0 ≤Z1≤ а; ТK1= +ТА = +1,57 кНм Участок 2 0 ≤ Z2 ≤ b; ТК2= ТА –Т 1 = 1,57 - 2,91 = -1,34кНм Участок 3 0 ≤ Z3 ≤с; ТK3 = ТА –Т 1 + Т 2 = 1,57 - 2,91 +1,75 = 0,41кНм Участок 4 0 ≤ Z4 ≤а; ТК4 = ТА –Т 1 + Т2 – Т3 = 1,57 - 2,91 +1,75 -1,17 = -0,76кНм По полученным значениям крутящих моментов строим эпюру Tк . 4 Определим диаметр вала из условия прочности по максимальному крутящему моменту max max Т K , W где W=0,2 D3 Тогда D3 max Т K = 0,2 3 1,57 10 5 =6,4 см=64 мм округляя до стандартного, 0,2 30 получаем D=65 мм 5 Вычислим углы поворота «» ÒK z G I Участок 1: 0 z1 а=1 м 1 ÒK 1 z1 ; G I z1=0 z1=1,0 м 1=0 1 1.57 10 6 100 0,0109 рад. 8 10 4 0.1 (65) 4 Участок 2: 0 z2 в=0,8 м 2 1 z2=0 ÒK 2 z 2 G I z2 = в=0,8 м=80 см 2=1=0,0109 рад 2 109,33 10 4 1,34 10 4 80 34,68 10 4 рад. 5 4 8 10 0,1 (6,5) Участок 3 0 z3 0,6 м 3 2 z3=0; ÒK 3 z 3 ; G I z3 с=0,6 м 3=2=34,6810-4 рад; 3 34,68 10 4 0,41 10 4 60 51,18 10 4 рад. 8 10 5 0,1 (6,5) 4 Участок 4 0 z4 а=1,0 м=100 см 4 3 z4=0; ÒK 4 z 4 ; G I z4=100 см; 4=3=51,1810 рад; 4 51,18 10 -4 4 0,76 10 4 100 0 8 10 5 0,1 (6,5) 4 По полученным значениям I строим эпюру углов поворота «» (рисунок 4.2). Задание 4 Плоский изгиб балочных систем Для заданной балки (рисунок 4.1) требуется: 1) построить эпюры поперечных сил Q, изгибающих моментов М; 2) подобрать; - для балок с 1 по 6 схемы – из сортамента двутавровое сечение, материал балки – сталь []=160 МПа; - для балок с 7 по 12 схемы – круглое сечение, материал балки – дерево []=10 МПа; - для балок с 13 по 18 схемы - прямоугольное сечение с отношением сторон h:b=2, материал - сталь []=160 МПа; Исходные данные в таблице 4.1 Пример решения задания 4 Расчетная схема: Исходные данные: а=2 .м; b= 4 м; =10 м; с = 2 м; M 8 kH м ; F=12 кН; q=16 кН/м; [] 160 МПа ; поперечное сечение балки Решение: 1 Определим опорные реакции mB 0, FA F (a ) M qв 2 / 2 0. FA F (a ) M (q b 2 / 2) / (12 12 8 16 8)/ 10 26,4 kH ; F iy 0 FA FB q 4 F 0 , FB 12 16 4 26,4 49,6 kH . 2 Разбиваем балку на участки, границами которых являются сечения, где приложены сосредоточенные силы и моменты, а также сечения, где начинается или кончается действие распределённой нагрузки. По этому принципу балка разбита на 4 участка. 3 Построение эпюр внутренних силовых факторов. Согласно методу сечений Q Fiy , M x mx( Fi ) , где суммирование ведётся по всем нагрузкам, приложенным к рассматриваемой части бруса. При этом сила считается положительной, если вращается относительно сечения по часовой стрелке; момент считается положительным, если изгиб балку вверх. I участок: 0 Z1 a 2 м. Q1= -F = -12 kH; M1 = -FZ1; Z1=0, M1=0; Z1=a, M1= -12*2= -24 kHм. II участок: 2 Z 2 4. Q2 = -F+FA = -12+26,4 = 14,4 kHм; M2 = -FZ2 + F2(Z2-2); Z2 = 2м, М2 = 24 кНм; Z2 = 4 м, М2 = 4,8 кНм. III участок: 4 Z 3 8. Q3 = -F + FA = 14,4 kH; M3 = -FZ3 + F(Z3 - 2) + M; Z3 = 4, M3 = -12*4 + 26,4*2 + 8 = 12,8 kHм. Z3 = 8, M3 = -12*8 + 26,4*6 + 8 = 70,4 kHм. IV участок: 0 Z 4 в 4 м. Q4 = -FB + qZ4; M4 = FBZ4 – qZ24 / 2; Z4 = 0: Q4 = -49,6 kH, M4 = 0; Z4 = 4: Q4 = -49,6 + 16*4 = 14,4 kH, M4 = 49,6*4 – 16*16/2 = 70,4 kHм. На этом участке Q меняется линейно, а момент – по закону параболы. Там, где Q = 0, момент достигает максимума. Из условия Q4 = 0 находим Z0 = FB/q = 49,6/16 = 3,1 м, Мmax= 49,6 *3,1 – 16*3,12/2 = 76,88 kHм. По полученным данным строим эпюры Q и Mx. 4 Из условия прочности max M max . Wx Определяем размеры поперечного сечения. При h = 2в имеем Wx = вh2/6 = 2в3/3. Подставив в условие прочности, находим в3 3M max 3 * 76,88 3 0,09 м . 2 2 * 160 * 10 3 Тогда: h = 2в = 0,18м.