Вариант 5 Задача №1. Стальной стержень (Е = 2·105 МПа) находится под действием силы Р 1 =90кН, Р 2 =120кН, Р 3 =110кН, А 1 =16см 2 , А 2 =8см2 , А 3 =110см2 Материал стержня – ст50 Решение: Выбираем положительное направление оси z, показанное на рисунке. Разобьем стержень на участки. Границы участков определяются сечениями, в которых изменяются размеры поперечных сечений или приложены нагрузки. В данном случае стержень имеет четыре участка. Рассмотрим уравнения равновесия сил ΣN = 0. z Участок I: -N + Р 3 = 0 ; N = Р 3 = 110 kH I I Участок II: -N + Р 3 – Р 2 =0; N = Р 3 – Р2 = -10 kH. II II Участок III:-N + Р 3 – Р 2 =0; N = Р 3 – Р 2 = -10 kH. III III Участок IV:-N + Р 3 –Р 2 –Р 1 =0; N =Р 3 –Р 2 –Р 1 = -100kH=R (реакция заделки) III III A Таким образом, участок I, растягивается (значения N получены со знаком плюс), а участки II, III,IV сжимаются. В пределах каждого участка внутренние силы остаются постоянными и изменяются скачкообразно на границах участков, где приложены внешние силы. В соответствии с полученными данными строим эпюру продольных сил. Минимально допускаемые площади сечения стержня на i-ом участке определяются по формуле 𝑁𝑖 𝑆𝑖 = [𝜎] 1 где 𝑁𝑖 – продольная сила на i-м участке определяется из эпюры продольных сил; [σ] – допускаемое напряжение, определяемое по формуле [𝜎 ] = 160МПа [𝜎] = { р [𝜎с ] = 160МПа Минимальные площади сечения составляют: 𝑁1 110 ∙ 103 𝑆1 = = = 6,9 см2 [𝜎] 160 𝑁2 10 ∙ 103 𝑆2 = = = 0,6 см2 [𝜎] 160 𝑁3 10 ∙ 103 𝑆3 = = = 0,6 см2 [𝜎] 160 𝑁3 100 ∙ 103 𝑆4 = = = 6,3 см2 [𝜎] 160 Используем ступенчатый равнопрочный стержень площади сечения: 2 1) на первом участке: 7 см , 2 2) на втором участке: 1 см , 2 3) на третьем участке: 1 см . 2 4) на четвертом участке: 7 см . Однако с технологической точки зрения целесообразно изготовить этот стержень постоянного сечения с максимальной площадью (из полученных 2 минимальных площадей), равной 7 см . При этом на третьем и втором участках напряжения будут заведомо ниже допускаемых, и при этом одновременно будет достигаться экономия материала от уменьшения исходного сечения стержня. Рассчитываем нормальные напряжения на этих участках. Для удобства 6 6 2 расчетов напряжений используем переходные выражения: 1МПа = 10 Па =10 Н/м 2 2 2 = 1Н/мм = 0,1кН/см или иначе говоря: 1кН/см = 10МПа. 𝑁1 110 𝜎1 = = 10 = 138 МПа А2 8 𝑁2 −10 𝜎2 = = 10 = −0,9 МПа А3 110 𝑁3 −10 𝜎3 = = 10 = −6,3 МПа А1 16 𝑁3 −100 𝜎4 = = 10 = −62,5 МПа А1 16 В соответствии с полученными данными строим эпюру нормальных напряжений. 2 Находим перемещение каждого участка бруса и его свободного конца, начиная с IV участка: 𝑁4 𝑙4 𝜎4 𝑙4 −62,5 ∙ 0,8 ∆𝑙4 = = = = −25 ∙ 10−5 м = −0,25 мм 5 𝐸𝐹 𝐸 2 ∙ 10 ∆𝑙𝐼𝑉 = 0 + ∆𝑙4 = −0,25 мм ∆𝑙3 = 𝑁3 𝑙3 𝜎3 𝑙3 −6,3 ∙ 0,5 = = = −1,6 ∙ 10−5 м = −0,016 мм 5 𝐸𝐹 𝐸 2 ∙ 10 ∆𝑙𝐼𝐼𝐼 = ∆𝑙4 + ∆𝑙3 = −0,266мм ∆𝑙2 = 𝜎2 𝑙2 −0,9 ∙ 0,8 = = −0,36 ∙ 10−5 м = −0,004 мм 5 𝐸 2 ∙ 10 ∆𝑙𝐼𝐼 = ∆𝑙𝐼𝐼𝐼 + ∆𝑙2 = −0,27 мм ∆𝑙1 = 𝜎1 𝑙1 138 ∙ 0,5 = = 34,5 ∙ 10−5 м = 0,345 мм 5 𝐸 2 ∙ 10 ∆𝑙𝐼 = ∆𝑙𝐼𝐼 + ∆𝑙1 = 0,075 мм В соответствии с полученными результатами строим эпюру удлинения стержня. Полное удлинение стержня составляет ∆𝑙п = 0,075 мм, т.е. стержень под действием нагрузок растягивается. 3 Задача № 2. Абсолютно жесткие балки СЕ и DF соединены между собой и с опорой В деформируемыми стальными стержнями СD и АВ. Определить поперечные сечения стержней СД и АВ. Р 1 =20кН,а=15м Решение: Не все исходные данные: - неизвестно где т.С и т.Д - чему равна b - чему равно d - чему равна q 4 Задача № 3. Абсолютно жесткий недеформируемый брус АВ опирается на шарнирнонеподвижную опору и удерживается в равновесии двумя деформированными стальными стержнями. Выполнить расчет на прочность стальных стержней. Р=50кН, l1=Lм, А1=3Асм2, l2=2Lм, А2=Асм2, Решение: 1.Определение опорных реакций. Рисуем на схеме реакции опор А и В, считая их направление положительным. Составляем уравнения равновесия и определяем величину реакций, для чего приравниваем к нулю сумму проекций всех сил на горизонтальную ось x (ΣP =0). x x Откуда R =0. a Приравниваем к нулю сумму моментов всех сил относительно опоры А (ΣM =0). Момент силы считаем положительным, если сила стремится повернуть a балку против хода часовой стрелки относительно рассматриваемой точки. Раскрыв уравнение моментов, получим: −аР + 3а𝑁2 = 0 аР Р = = 16,7кН 3а 3 Приравниваем к нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y (ΣP =0), найдем 𝑁1 : 𝑁2 = y 𝑁1 − Р + 𝑁2 = 0 𝑁1 = Р − 𝑁2 = 33,3 кН 5 Проводим обязательную проверку правильности вычислений опорных реакций. Для этого составляем сумму моментов всех сил относительно произвольной точки, например С: −2а𝑁1 + аР + а𝑁2 = −66,6а + 50а + 16,6а = 0 Сумма моментов равна нулю, следовательно, опорные реакции определены верно. Составляем расчетную схему балки в виде оси с действующими на нее нагрузками. 2. Построение эпюр. 3. Определение размеров поперечного сечения балки. Размеры балки определяются максимальными напряжениями в наиболее опасном сечении. В нашей схеме опасное сечение находится над опорой Е. Из условия прочности определим момент сопротивления поперечного сечения: М𝑚𝑎𝑥 𝑊𝑥 ≥ [𝜎] 3 33,3 ∙ 10 𝑊𝑥 ≥ = 20,8 см3 160 ∙ 106 Для балки: • круглого поперечного сечения: 𝜋𝑑 3 𝑊𝑥 = 32 3 32𝑊 3 32 ∙ 20,8 𝑥 𝑑=√ =√ = 6см 𝜋 3,14 𝜋𝑑 2 𝑆= = 28,3 см2 4 6 Задача № 4. Приведена схема трансмиссионного вала с насаженными шкивами: один из них ведущий, остальные ведомые. К шкивами приложены пары сил. Вал вращается равномерно. Исходные данные: l1=0,3м; l2=0,5м; l3=0,6м; М1=12кНм; М2=6кНм; М3=18кНм; [τ]=45МПа Решение: Из условия равновесия ΣM =0 находим крутящий момент M : x 0 - M + M - M - M = 0; 1 0 2 3 M = M + M + M = 12+6+18 = 36 кНм. 0 1 2 3 Знак этого момента положительный – значит, стрелка момента М изображена 0 правильно. Пользуясь методом сечений, определяем крутящие моменты в произвольном сечении каждого из участков бруса, по направлению слева направо. Участок I. Условие равновесия: M = - M = -12кНм. K 1 Участок II. Условие равновесия: - M + M - M = 0, отсюда M = - M + M = 1 0 K K 1 0 12 + 36 = 24 кНм, Участок III. Условие равновесия: - M + M - M – M = 0, отсюда M = - M + 1 M – M = -12 + 36 - 6= 18 кНм, 0 2 7 0 2 K K 1 По полученным данным строим эпюру M , из которой видно, что участок II K вала является наиболее опасным, так как в его поперечных сечениях крутящий момент по абсолютному значению имеет максимальную величину: M =24кНм. K 2. Определяем диаметр бруса. Из условия прочности имеем 𝜏= Мк 16Мк = ≤ [𝜏] 𝑊𝑝 𝜋𝑑 3 откуда 3 3 16М 16 ∙ 24 к 𝑑=√ =√ = 0,0140м = 14мм 𝜋[𝜏] 3,14 ∙ 45 ∙ 106 3.Округляем значение диаметра до стандартного большего размера и окончательно принимаем d =14 мм. При этом полярные моменты сопротивления и инерции определятся соответственно: 3 . . -2 3 -6 3 W ≈0,2d =0,2 (1,4 10 ) = 0,55.10 м ; P 4 . . -2 4 -8 4 J ≈0,1d =0,1 (1,4 10 ) =0,38.10 м . P 5. Вычисляем величины касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях отдельных участков бруса: Участок I: М1к −12 1 𝜏 = = = −21,8МПа 𝑊𝑝 0,55 ∙ 10−6 Участок II: М2к 24 2 𝜏 = = = 43,6 МПа 𝑊𝑝 0,55 ∙ 10−6 Участок III: М3к 18 3 𝜏 = = = 32,7 МПа 𝑊𝑝 0,55 ∙ 10−6 Знак касательного напряжения не имеет физического смысла и здесь указан лишь для достижения соответствия эпюр τ и M . Все значения касательных K напряжений не превышают допускаемого (τ < [τ] = 45 МПа), следовательно, диаметр вала по условию прочности подобран правильно. При W =const касательные напряжения прямо пропорциональны крутящему P моменту M , поэтому эпюры τ и M подобны и отличаются только масштабом. K K 6. Углы поворота поперечных сечений бруса на различных его участках относительно неподвижного сечения О определяем по формуле 8 Мк 𝑙 𝐺𝐽𝑝 где l – длина участка, для которого определяется угол поворота. М В пределах между границами участков при к = const величины углов 𝜑= 𝐺𝐽𝑝 поворота изменяются по линейному закону. Жесткость поперечного сечения рассчитываемого вала: 4 6 -8 4 2 GJ =8⋅10 ⋅10 Па.31,1.10 м = 24880 Нм . P Определяем углы поворота сечений вала по его участкам: 1) участок АВ: Мк 𝑎 −12 ∙ 0,5 𝜑𝐴𝐵 = = = −0,0002рад = −0,2° 𝐺𝐽𝑝 24880 2) участок ВС: Мк 𝑏 24 ∙ 0,5 𝜑ВС = = = 0,0005рад = 0,3° 𝐺𝐽𝑝 24880 3) участок CD: Мк 𝑐 18 ∙ 0,6 𝜑𝐶𝐷 = = = 0,0003рад = 0,2° 𝐺𝐽𝑝 24880 Определяем абсолютные углы поворота сечений вала: 1) 𝜑𝐴 =0 2) 𝜑𝐵 = 𝜑𝐴 + 𝜑𝐴𝐵 = 0 − 0,2 = −0,2° 3) 𝜑𝐶 = 𝜑𝐵 + 𝜑𝐵𝐶 = −0,2 + 0,3 = 0,1° 4) 𝜑𝐷 = 𝜑𝐶 + 𝜑𝐶𝐷 = 0,1 + 0,2 = 0,3° По полученным данным построена эпюра 𝜑 . Относительные углы поворота сечений определяются по формуле 𝜑𝑖 М𝑖 𝜃𝑖 = = 𝑙𝑖 𝐺𝐽𝑝 При GJ = const относительный угол поворота Θ прямо пропорционален P крутящему моменту M и, следовательно, эпюры Θ и M подобны. Определяем относительные углы поворота сечений вала: Участок I: 𝜑𝐴𝐵 −0,2 𝜃1 = = = −0,4 град/м 𝑎 0,5 Участок II: 𝜑𝐵𝐶 0,1 𝜃2 = = = 0,2 град/м 𝑏 0,5 Участок III: 9 𝜑𝐶𝐷 0,3 град = = 0,5 𝑐 0,6 м Проверяем полученные углы поворота поперечных сечений на условие жесткости вала: θ ≤ [θ] = 1 град./м 𝜃3 = i Если это условие не выполняется, то определяется допустимый диаметр вала, исходя из условия жесткости, в нашем случае выполняется 10 Задача 5 Приведена схема нагружения стальных балок, все действующие силы лежат в одной плоскости, проходящей через ось балки и вертикальную ось поперечных сечений. Балка считается невесомой. Известно: q = 15кН/м; Р = 30кН; М = 25кНм; [σ] = 160 МПа. Подобрать двутавровую балку. 1. Определение опорных реакций. Рисуем на схеме реакции опор А и В, считая их направление положительным. Составляем уравнения равновесия и определяем величину реакций, для чего приравниваем к нулю сумму проекций всех сил на горизонтальную ось x (ΣP =0). x x Откуда R =0. a Приравниваем к нулю сумму моментов всех сил относительно опоры А (ΣM =0). Момент силы считаем положительным, если сила стремится повернуть a балку против хода часовой стрелки относительно рассматриваемой точки. Раскрыв уравнение моментов, получим: −0,5Р − 0,25 ∙ 0.5𝑞 + 6,5𝑅с − 6,75 ∙ 0.5𝑞 − 𝑀 = 0 0,5Р + 0,25 ∙ 0.5𝑞 + 6,75 ∙ 0.5𝑞 + 𝑀 = 14.2кН 6,5 Приравниваем к нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y (ΣP =0), найдем R : 𝑅с = y A 𝑅𝑎 − Р − 2 ∙ 0.5𝑞 + 𝑅с = 0 𝑅𝑎 = Р + 2 ∙ 0.5𝑞 − 𝑅с = 30 + 2 ∙ 0.5 ∙ 15 − 14.2 = 30.8кН Проводим обязательную проверку правильности вычислений опорных реакций. Для этого составляем сумму моментов всех сил относительно произвольной точки, например C: −6,5𝑅𝑎 + 6Р + 6,25 ∙ 0.5𝑞 − 0,25 ∙ 0.5𝑞 − 𝑀 = −200.2 + 180 + 47 − 1.8 − 25 = 0 Сумма моментов равна нулю, следовательно, опорные реакции определены верно. Составляем расчетную схему балки в виде оси с действующими на нее нагрузками. 2. Построение эпюр. 11 Балку разделим на четыре участка АВ, ВС, СD. На участках АВ, ВС построение эпюр ведем от сил слева, а на участке СD – от сил справа от сечения. Участок АВ (0 ≤ x ≤ 0,5м) Q = R – qx A При x=0 Q= 30.8 кН; при x=0.5 Q= 23.3 кН M = -R x + 0.5qx2-M A При x=0 M=-25kHм; при x=0.5м М= -38,5 кНм Участок BC (0.5м ≤ x ≤ 6.5м): Q = R – P – 0.5q =-6,7 А M = -R x + 0.5q(x-0.25) + P(х-0.5) -M A При x=0.5 M = -38,5; при x=6.5 M = 1,8 кНм. Участок CD (0м ≤ x ≤ 0.5м): Q = qx При x=0 Q= 0 кН; при x=0.5 Q= 7.5 кН M = 0.5qx2 При x=0 M=0; при x=0.5м М= 1,8 кНм Построение эпюры производим непосредственно под рисунком схемы балки с действующими нагрузками. 3. Определение размеров поперечного сечения балки. Размеры балки определяются максимальными напряжениями в наиболее опасном сечении. В нашей схеме опасное сечение находится над опорой E. Из условия прочности определим момент сопротивления поперечного сечения: М𝑚𝑎𝑥 𝑊𝑥 ≥ [𝜎] 3 38,5 ∙ 10 𝑊𝑥 ≥ = 24,1 см3 160 ∙ 106 Для балки: • сечения из двутавра: из таблицы сортамента выбираем двутавр № 10 , имеющий параметры: 3 W =39,7 см x 12 13